第十一讲 复合型准则
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第十一讲复合型准则
上节概述
裂纹的类型
G准则，K准则，应力强度因子和能量释放率的关系
裂纹尖端应力场、位移场
裂纹尖端塑性区，线弹性断裂力学应用于小范围屈服
其它裂纹形式的应力强度因子
实际的裂纹往往是张开型和滑移型（I、II）并存或张开型和撕开型（I、III）并存。
Irwin断裂准则不能简单地用于复合型裂纹问题（Irwin的K准则理论假定裂纹按原方向开裂）
1）I、III型裂纹一般按原方向开裂
2）II型裂纹一般不按原方向开裂
3）复合型裂纹一般不按原方向开裂
复合型裂纹要解决的问题
1）裂纹沿什么方向开裂
2）裂纹在什么条件下开裂
1．最大切向应力准则（Erdogan and Sih, 1963）
I、II复合型裂纹尖端应力场
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
23sin
2sin 12cos 2θθθπσr
K I
x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-23cos 2cos 22sin 2θθθπr
K II
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
23sin 2sin 12cos 2θθ
θπσr K I
y 2
3cos 2cos 2sin
2θ
θθ
πr
K II + 23cos 2sin 2cos 2θθθπτr
K I
xy =
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
23sin 2sin 12cos 2θθθπr
K II
转化为极坐标形式
θθτθσθσσcos sin 2sin cos 22xy y x r ++= θθτθσθσσθcos sin 2cos sin 22xy y x -+= )sin (cos cos sin )(22θθτθθσστθ-+--=xy y x r θθsin cos v u u r += θθθcos sin v u u +-= 得： 2sin )1cos 3(2212
cos
)cos 3(221θ
θπθ
θπσ-+
-=II I r K r
K r
2cos ]sin 3)cos 1([221
θ
θθπσθII I K K r
-+=
2cos )]1cos 3(sin [221
θ
θθπτθ-+=
II I r K K r 最大切向应力准则的基本假设
1）裂纹沿最大切向应力σθmax 的方向开裂 2
扩展
假设1要求开裂角σθ满足
0=∂∂θσ
θ， 022
<∂∂θ
σθ
0)1cos 3(sin =-+θθII I K K 22
22420983cos II
I II
I I II K
K K K K K +++=
θ
该方向上的切向应力 r
K K K r
II I πθθθπσθθ22cos ]sin 23
2
cos [21000
2
=-
=
K θ：等效应力强度因子
假设2认为切向应力达到临界值σθC 时裂纹失稳，而临界值σθC 由I 型条件给出 IC II I K K K K =-
=2
cos ]sin 23
2cos [000
2
θθθθ 将复合型裂纹转化为当量I 型裂纹问题 讨论
1）纯I 型，K II = 0，简化为K I = K IC
2）纯II 型，K I = 0，开裂角θ0 = -70.50，起裂条件 IC IC II K K K 866.02
3
≈≥
与实验结果基本相符
x
y
最大切向应力准则在K II 较小时与实验结果较为一致
2．无限板中斜裂纹
图示含穿透斜裂纹无限大板，沿裂纹面 βσσ2sin =y ， ββστcos sin =xy 相应的应力强度因子 βπσπσ2sin a a K y I == ββπσπτcos sin a a K xy II == 开裂角θ0 β
β
ββθ2
2220cos 81cos 8sin cos cos +++=
断裂发生的临界条件为 IC K a K =⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0020
sin cos 232cos sin sin 2cos θβθββθπσθ
3．应变能密度因子准则（Sih, 1972）
应变能密度因子准则（S 准则）综合考虑了裂纹尖端六个应力分量（σx ，σy ，σz ，τxy ，τxz ，τyz ）的作用而提出的裂纹失稳判据。
应力分量 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23cos 2cos 22sin 223sin 2sin 12cos 2θθθθθθσr k r k II I
x 23cos 2cos 2sin 223sin 2sin 12cos 2θθθθθθσr
k r k II I
y +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
2sin 222cos 22θυθυ
σr
k r k II I z -= σ
σ
⎪⎭⎫
⎝⎛-+=
23sin 2sin 12cos 223cos 2sin 2cos 2θθθθθθτr k r k II I
xy 2
sin
2θ
τr k III xz -=
2cos 2θ
τr
k III
yz = 式中：π
i
i K k =
（i = I ，II ，III ）
应变能密度由下式计算
)()(21222x z z y y x z y x E E w σσσσσσυσσσ++-++=
)(12
22xz yz xy E τττυ++++ r
S
=
式中：233222122112III II II I I k a k a k k a k a S +++=
)cos )(cos 1(111θθυ
-++=
k E a θθυ
sin )]1(cos 2[8112--+=k E a
)]1cos 3)(cos 1()cos 1)(1[(8122-++--+=θθθυ
k E a
E
a 2133υ
+=
υ
υ
+-=
13k 平面应力，υ43-=k 平面应变 S 准则的基本假设
1）裂纹沿S 的极小值方向扩展
0=∂∂θS
，022>∂∂θ
S
可确定开裂角θ0
2）S min 达到临界值S C 时裂纹失稳 S min = S(θ0) = S C
与G IC 、K IC 类似，S C 是材料常数，由此可建立S C 与K IC 的定量关系 a ）纯I 型裂纹
第一个条件得出：θ0 = 0
第二个条件得出：C IC
S E
K =-+)21)(1(22υυπ 即：应用S 准则时只需测出K IC b ）纯II 型裂纹 第一个条件得出：3
21cos 0υ
θ-=
开裂角与材料常数相关，υ = 1/3，θ0 = -83.620
第一个条件得出：
C IIC S K E
=--+2
26])1(2)[1(πυυυ 得： IC IIC K K 2
)1(2)
21(3υ
υυ---=
υ = 1/3，K IIC = 0.905K IC
4．无限板中斜裂纹
βπσπσ2sin a a K y I == ββπσπτcos sin a a K xy II == 0=III K
得： βββββσ2222122112sin )cos cos sin 2sin (a a a a S ++= 开裂角：02sin )(2sin 2)2sin()21(2000=-----θβθβθυ 由条件2可得出临界条件
σ
σ
5．应变能释放率准则（G 准则） 假设：
1）裂纹沿应变能释放率最大的方向扩展
0=∂∂θθ
G ，
02
2<∂∂θθG 2）裂纹扩展条件为沿此方向上的应变能释放率达到临界值 IC G G ==0
θθθ
极坐标形式裂纹尖端的应力（略）和位移 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
--+=23cos 2cos )12(22)1(θθπυk K E r u I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---23sin 32sin )12(θθk K II
⎥⎦⎤⎢⎣⎡
++-+=
23sin 2sin )12(22)1(θθπυk K E
r v I ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+-23cos 32cos )12(θθk K II
υ
υ
+-=
13k （平面应力）， υ43-=k （平面应变） 仅考虑裂纹开始扩展的瞬间，则分支裂纹尖端区域的应力场近似等于原裂纹的尖端应力场，则 )(4)
1)(1(2
020II I K K E
k G +++=
υπθ
0I K ，0II K ：裂纹开始扩展时分支裂纹尖端的应力强度因子
]sin 3)cos 1([2
cos 21
0000θθθII I I K K K ++= )]1cos 3(sin [2
cos 21
0000
-+=θθθII I II K K K 由条件1、2可得到开裂角和临界条件
6．复合型断裂的工程经验公式 1）K I -K II 复合型
由图1实验结果，采用偏于安全的方法得出 K I + K II = K IC
2）K I -K III 复合型 图2所示实验结果
12
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛IIIC
III IC
I
K K K
K 位于实验结果的下限，偏于安全。
图1 图2。
