导数乘除法则和复合函数求导1
* 导数公式：(1) C 0 (C为常数)n n 1 ( x ) nx (n R ) ( 2)
(3) (sin x ) cos x (4) (cos x) sin xx x ( a ) a ln a ( a 0, a 1) ( 5)
(e x ) e x
(6) (log a x ) 1 (ln x ) x
1 ( a 0, a 1) x ln a
返回
三、导数的运算法则法则1: 两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差),即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).特别地：
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
动手做一做1. 求下列函数的导数：
y
2 3 xx
3
2
(1) y 3 x 2 2 x ( 2) y 4 log 3 xx
1 y 4 ln 4 x ln 3
( 3) y sin x e
x y cos x e x1 y 2 2 x cos x 1
(4) y x 0.5 tan x2. 使得函数 y 个？3
2 x 6 x 的导数等于0的 x 值有几两个，±1 例2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一个
函数的导数乘以第二个函数 数
加上第一个函
乘以第二个函数的导数[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例1 求下列函数的导数：
(1) y x e ;2 x
( 2) y x sin x ; ( 3) y x ln x解析
解：(1)设
f ( x) x , g ( x) e2
x
,可知
§1.2.2复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的
导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
（二）导数的运算法则
导数运算法则1．'
''
()()()()fxgxfxgx
2．'
''
()()()()()()fxgxfxgxfxgx
3．
'
''
2()()()()()
(()0)
()
()fxfxgxfxgx
gx
gx
gx
（2）推论：'
'
()()cfxcfx
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
函数导数
yc
'
0y
*
()()n
yfxxnQ'1n
ynx
sinyx'
cosyx
cosyx
'
sinyx
()x
yfxa'
ln(0)x
yaaa
()x
yfxe'x
ye
()log
afxx'1
()log()(01)
lnafxxfxaa
xa且
()lnfxx'1
()fx
x二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()yfu
和()ugx
，如果通过变量u
，y
可
以表示成x
的函数，那么称这个函数为函数()yfu
和()ugx
的复合函数，记作
()yfgx
。
复合函数的导数 复合函数
()yfgx
的导数和函数()yfu
和()ugx
的导数间的关
系为
xuxyyu
，即y
对x
的导数等于y
对u
的导数与u
对x的导数的乘积．
若
()yfgx
，则
()()()yfgxfgxgx
三．典例分析
例1求y
＝sin（tan x
2）的导数．
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐
层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例2求y
＝
高等数学入门——复合函数的求导法则
一、复合函数的定义
在高等数学中，复合函数是由两个函数通过组合而成的新函数。假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))。其中，g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
二、复合函数的求导法则
对于复合函数f(g(x))，我们希望求出它的导数。根据链式法则，复合函数的导数可以通过内层函数和外层函数的导数相乘来计算。具体的求导法则如下：
1. 内层函数求导：首先求出内层函数的导数g'(x)。
2. 外层函数求导：然后求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))。
3. 乘积求导：将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，即可求得复合函数的导数。
三、示例分析
为了更好地理解复合函数的求导法则，我们来看一个具体的示例。
假设有两个函数f(x) = x^2和g(x) = 2x + 1，我们希望求出复合函数f(g(x))的导数。
求出内层函数g(x)的导数： g'(x) = 2
然后，求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))：
f'(g(x)) = 2g(x) = 2(2x + 1) = 4x + 2
将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数：
[f(g(x))]'
= f'(g(x)) * g'(x)
= (4x + 2) * 2
= 8x + 4
因此，复合函数f(g(x))的导数为8x + 4。
四、总结
通过以上示例分析，我们可以总结出复合函数的求导法则：
1. 求出内层函数的导数。
2. 求出外层函数对内层函数的导数。
3. 将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
复合函数的求导法则在微积分中具有重要的应用价值，它可以帮助我们计算复杂函数的导数。通过理解和掌握复合函数的求导法则，我们可以更好地应用微积分知识解决实际问题。希望本文能够对读者理解复合函数的求导法则有所帮助。
复合函数求导法则
复合函数是由两个或多个函数构成的函数，形式为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(u)是一个与u相关的函数。
在求复合函数的导数时，我们可以使用复合函数求导法则，该法则有三个部分：链式法则，反链式法则和迭代法则。
1.链式法则：
链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个内层函数，f(u)是一个外层函数。链式法则的公式如下：
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)
例如，我们考虑函数f(u) = sin(u^2)，其中g(x) = x^2、我们先计算g'(x)，然后计算f'(u)，最后使用链式法则计算出f(g(x))的导数。首先，计算g'(x)如下：
g'(x)=2x
接下来，计算f'(u)如下：
f'(u) = cos(u^2) * 2u
最后，使用链式法则计算f(g(x))的导数如下：
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)
= cos((x^2)^2) * 2(x^2)
= cos(x^4) * 2x^2
所以，f(g(x)) = sin(x^4) 的导数为 cos(x^4) * 2x^2 2.反链式法则：
反链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个外层函数，f(u)是一个内层函数。反链式法则的公式如下：
[f(g(x))]'=f'(u)*u'
例如，我们考虑函数f(u) = u^3，其中g(x) = sin(x)。我们可以直接计算出g'(x)和f'(u)，然后使用反链式法则计算出f(g(x))的导数。首先，计算g'(x)如下：
g'(x) = cos(x)
接下来，计算f'(u)如下：
f'(u)=3u^2
最后，使用反链式法则计算f(g(x))的导数如下：
[f(g(x))]'=f'(u)*u'
= 3(sin(x))^2 * cos(x)
= 3sin^2(x) * cos(x)
所以，f(g(x)) = sin^3(x) 的导数为 3sin^2(x) * cos(x)。
