2018最新四年级奥数.数论.整除性质的应用(C级).学生版

数的整除（ 1）性质、特色、奇偶性教室：姓名：学号：【知识要点】：整除性：（ 1）若是数 a、b 都能被 c 整除，那么它的和（ a+b）或差（ a－ b）也能被 c 整除。

（2）若是数 a 能被自然数 b 整除，自然数 b 能被自然数 c 整除，数 a 必能被数 c 整除。

（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它的也能被个数整除。

（4）若是一个数能被两个互数中的每一个数整除，那么，个数能被两个互数的整除。

反之，若一个数能被两个互数的整除，那么个数能分被两个互数整除。

整除特色：（ 1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，个数能被4（或25）整除。

（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，个数能被8（或125）整除。

（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，个数能被3（或9）整除。

（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，个数能被11 整除。

（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位从前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被 7（或 13）整除，个数能被7（或 13）整除。

奇偶性：（ 1）奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数±偶数 =奇数（ 4）奇数×奇数 =奇数（ 5）偶数×偶数 =偶数（ 6）奇数×偶数 =偶数（ 7）奇数÷奇数 =奇数（ 8）⋯【典型例】例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的尾端数后，所得的两位数是17 的倍数，的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是17 的倍数的数中最大的17×5=85（ 17× 6=102） .于是所求数的前两位数字 85.因 8+5=13 ，故所求数的个位数字2、5、8 ，数能被 3 整除，使数最大，其个位数字8.最大三位数是858.例 2： 1～ 200 200 个自然数中，能被 6 或 8 整除的数共有多少个？解：1～ 200 中，能被 6 整除的数共有33 个（ 200÷ 6=33⋯），能被 8 整除的数共有25 个（ 200 ÷8=25 ） .但［ 6， 8］=24 ， 200÷ 24=8⋯⋯ 8，即 1～ 200 中，有 8 个数既被 6 整除，又被8 整除。

整除性质的应用知识框架一、常见数字的整除判定方法：（1）一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；（2）一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；（3）一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（4）一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；（5）一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（6）如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.（7）1001特征(家有三子7、11、13)一个数除以7的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以7的余数；一个数除以11的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以11的余数；或者，其奇数位数字之和(从个位往高位数，个位为第1位，即为奇数位)减去偶数位数字之和所得的差除以11的余数；一个数除以13的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差(大减小)能被13整除；【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a，且d｜c，那么ac｜bd；例题精讲【例1】是2008的倍数．a _________【巩固】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例2】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？【巩固】在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【巩固】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________．【例3】某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少?【例4】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除．则ABCDEF的最小值是；已知当ABCDEF取得最大值时0F=，那么ABCDEF的最大值是________．C=，6【巩固】有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab可被2整除，三位数abc可被3整除，四位数abcd可被4整除，……依此类推，九位数abcdefghi可被9整除．请问这个九位数abcdefghi是多少？【例5】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？【巩固】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？【例6】某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【巩固】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？【例7】某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？【巩固】有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由.【例8】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个.【巩固】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?【例9】有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．【巩固】在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除。

所以答案为 11．
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….20102011，则这个数除以 9 余数是 1. 无敌乱切，按 1/2/3/4 到 2011 的等差数列求和，看除以 9 的余数；
2.3.3 同余定理
2.3.2.1 同余定义和充要条件
定义: 用给定的正整数 m 分别除整数 a、b，如果所得的余数相等，则称 a、 b 关于模 m 同余或 a 同余于 b 模 m，记作 a≡b(mod m)，如 56≡0 （mod 8）， 式子称为同余式，m 称为该同余式的模。
的余数是多少？
奇数位数字和：（0+9+8+…+1）×2+0+9+7+5+3+1=115
偶数位数字和：3+2×10+1×10+8+6+4+2=53
115-53=62；62÷11，余 7；
【例】求
被 13 除余数是多少？
解：注意 13|111111，即每连续 6 个 1 是 13 的倍数，且 2012 除以 6 余 2，
2.2.4 三位一截判别法（用以判别能否被 7/11/13 整除）
2.2.4.1 基本用法 从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段， 看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被 7、11、13 整除； 如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为 372，求两者差 看能否被 7 整除，同样，不够减前面加 1 个或多个 7，直到够减，余数位的判断 法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2 特殊用法 ① 一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数 7 的倍数，分别从右边和左边抵 消缩减位数，到最后看 7 的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看 7 的哪个倍 数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即 为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减 7 后为 1 到 9 间的自然数，则加 或减 7 后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为 5 463925□01234，答案为 1 和 8 ② 特殊求空格数 根据整除的因数性，如果 1 个数能被 1001 整除，则这个数能被 7、11、13、

整除——当两个整数a和b(b≠0)，a被b除的余数为0时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a;倍数和约数——把a叫作b的倍数，b叫作a的约数；数的整除特征：①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；求满足下面各小题条件的a：(a代表同一个数字)⑴312a a⑵512a a⑶910a a有一个五位数可同时被9和11整除。

若将这个五位数的第一位、第三位与第五位数码移除，则可得到一个两位数35；若将这个五位数的前三位数码移除，则剩下的两位数可被9整除；若将这个五位数的末三位数码移除，则剩下的两位数也可以被9整除，请问这个五位数是什么？有些六位数，组成六位数的六个数字都不相同，而相邻两个数字组成的两位数能被3整除，这样的六位数一共有几个？如果从5，6，7，8，9五个数字中，选出四个数字组成一个四位数，它能被3，5，7都整除，求这些数中最大的四位数。

有一个五位数679a b ，它可被72整除。

请问a 2＋b 2等于多少？如果七位数2008□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么，它的最后三位数是_____。

从1～99中选出连续3个自然数，使得它们的乘积能被30整除，一共有_____种选法。

测试题1．173□是个四位数。

数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数。

依次可被9、11、6整除。

”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？2．如果六位数1992□□能被95整除，那么，它的最后两位数是_____。

整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。

整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。

整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

整除规则第十条（10）：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除整除规则第十一条（11）：将一个数从右往左数，将奇数位上的数与偶数位上的数分别相加，然后将两个数的和相减，若差值能被11整除（包括差值为0）则原数可以被11整除整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

数论之整除性九进制乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。

他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。

他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。

他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。

拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。

拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。

拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻人维也纳，也是相隔129年。

拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔129年后进攻苏联。

美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。

两人同在星期五并在女人的参与下被刺遇害。

接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。

更巧的是，杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔又是100年。

兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。

他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。

兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。

他发现将l、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。

他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。

取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。

他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。

这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如整除在购物找零中的应用。
-应用整除解决实际问题：通过实际例题，学会运用整除知识简化计算过程，如求解最大公因数、最小公倍数等。
举例：讲解质数2、3、5的倍数特征时，强调它们能整除的数的末尾数字规律；在解决购物问题时，运用整除性质快速计算出总价的几种支付方式。
2.教学难点
-理解整除的推广：学生往往难以理解整除概念在分数、小数中的推广，如分数的整数倍、循环小数的整除性质。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调整除的定义和整除性质这两个重点。对于难点部分，比如因数分解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整除相关的实际问题，如如何用整除性质快速找出一个数的因数。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际操作，演示整除的基本原理，如用纸牌游戏来模拟整除过程。
3.合作与交流：通过小组讨论、合作探究，培养学生有效沟通、协作的能力，学会在团队中发挥个人优势，共同解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解整除的定义：整除是数学中的基本概念，学生需要掌握能被一个整数整除的数的特征，即除数、被除数、商都是整数，且余数为零。
-掌握整除的性质：包括质数与合数的整除性质，如质数的倍数特征，合数的因数分解等。

数论知识点整除定义及特征判断1、数的整除性：整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除a，记作：b｜a．2、整除的性质：性质1. 如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）性质2. 如果bc｜a，则b｜a，c｜a性质3. 如果c｜b，b｜a，则c｜a3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。

4、涉及极值的整除问题：贪心法、弃倍法、逐步调整法。

5、数的整除特征：a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整除；f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。

如果相加的和能被99所整除，那么这个数就能被99所整除。

奇数、偶数与奇偶性的应用一、奇数和偶数的概念：1)整数可以分成奇数和偶数两大类。

2)能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

3)因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)，因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k＋1来表示奇数(这里k是整数)。

四年级奥数整除
思维聚焦
了解整除的特征，1能整除任何整数，0能整除任意非零整数。

能被3和9整除的数的特征，各个数字的和能被3或者9整除，能被5整除的数的特征：一个数的末尾是0或5.能被2整除的数的特征是数字末尾是0,2,4,6，8。

能被7整除的数的特征是去掉个位数字，再从剩下的数中减去个位数字的2倍，差是7的倍数。

一、典型例题
判断789654能否被3或9整除
解答：
7+8+9+6+5+4=39
39能被3整除，不能被9整除，所以789654能被3整除，不能被9整除。

二、触类旁通
判断2689,12354能否被7整除
解答：
268-9×2=250
因为250不能被7整除，所以2689不能被7整除
1235-4×2=1227
122-7×2=108
因为108不能被7整除，所以12354不能被7整除。

三、熟能生巧
1、判断3022250能否被2整除
2、判断987654321能否被7整除
3、判断1020306能否被3整除
4、求一个能被5整除的最大五位数
5、判断3022250能否被5整除
6、判断123456789能否被9整除
7、已知一个自然数，它是45的倍数，并且每个数位上的数字只有
0和3，这个自然数最小是多少？
8、已知一个自然数，它是36的倍数，并且每个数位上的数字只有
0和6.这个自然数最小是多少？。

数论中的整除性质与除法算法数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和它们之间的关系。

在数论中，整除性质是一个非常重要的概念，它与除法算法密切相关。

本文将介绍数论中的整除性质和除法算法，并探讨它们在数学和实际应用中的意义。

一、整除性质在数论中，我们使用符号“|”表示整除关系。

如果一个整数a除以另一个整数b，得到的商为整数且余数为0，我们就说a可以被b整除，记作b|a。

例如，4|12表示4可以被12整除。

整除性质有以下几个重要性质：1. 传递性：如果a|b且b|c，那么a|c。

这表示如果一个整数可以整除另外两个整数，则它也可以整除它们的乘积。

2. 反对称性：如果a|b且b|a，那么a=b或a=-b。

这表示如果两个整数互相整除，则它们必须相等或相反。

3. 整除的性质：如果a|b且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。

这表示如果一个整数同时整除两个整数，则它也可以整除它们的线性组合。

4. 整除的性质：如果a|b且a|c，那么a|(b±c)，其中±表示加法或减法。

这表示如果一个整数同时整除两个整数，则它也可以整除它们的和或差。

二、除法算法除法算法是从给定的被除数和除数中计算商和余数的方法。

在数论中，我们常用的算法有两种：带余除法和终止除法。

1. 带余除法带余除法是最基本的除法算法，它描述了如何计算商和余数。

给定两个整数a和b（b≠0），我们要找到整数q和r，使得a=bq+r，其中0≤r<|b|。

带余除法的步骤如下：步骤1：令r=a。

步骤2：找到一个整数q，满足0≤r<|b|。

步骤3：计算商q和余数r。

例如，我们要计算15÷4的商和余数：步骤1：令r=15。

步骤2：找到一个整数q，使得0≤r<4。

我们找到的q=3。

步骤3：根据商q和余数r，计算15÷4的商为3，余数为3。

2. 终止除法终止除法是一种更高效的除法算法，它使用整除性质来求解商和余数。

小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学的学生学习奥数对学校所学数学的一个补充和提高，同学们快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是小编为大家收集到的数的整除数论奥数知识讲解及习题，供大家参考。

一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的'数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

数的整除性下面我们给出数的整除的几个重要的性质1. 如果数a b都能被c为整数，则（a+b）与（a-b）也能被c整除2. 如果a能被b整除，c为整数，则积ac也能被b整除3. 如果数a能同时被数b c整除，且b c互质，则a一定能被bc之积整除例1 在（）内填上适当的数，使六位数32787（）能被4或25整除例2 六位数3ABABA是６的倍数，这样的六位数有多少个（A、B可以相同）例3在865后面补上三个数字，组成一个六位数，是他能被3、4、5 整除，且使这个数值尽可能的小例4 六位数12（）34（）是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？例5 一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数73（）问：（）里的数字是几？思考与练习用简便方法计算下面各题1. 在358的后面不上3个数字,组成一个六位数,使它分别能被3.4.5整除,且使这个数值尽可能地小2.在( )里填上合适的数字,使( )895( )能被8 .9整除3. 有一个四位数3AA1,他能被9整除.A代表的数字是几?4. 1~100的自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少?5. 用0.1.3.5.7这五个数字中的四个数字,可以组成许多能被11整除的四位数,其中最小的一个四位数是多少?6. 173( )是个四位数.王老师:"我在这个数的( )中先后填入3个数,所得的3个四位数依次能被7.11.6整除"王老师先后填入的3个数字的和是多少?7. 小王买了3支铅笔,5支圆珠笔4本笔记本和3块橡皮,总共用去20元钱.已知铅笔4角1支,圆珠笔1元5角一支,笔记本2元4角一本.问,售货员阿姨的账有没有算错?8.用1 2 3 4 5 6 7 8 9(每个数字用一次)组成三个能被9整除的三位数.如果这3个数的和最大,这3个三位数是多少?9. 一个无重复数字的五位数3( )6( )5能被75整除,这样的五位数有哪几个?。

数论-整除-整除的基本概念-1星题课程目标知识提要整除的基本概念•定义如果整数a除以整数b（b≠ 0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b∣a．注意：如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a．•整除的性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

精选例题整除的基本概念1. 再过12天就到2016年了，昊昊感慨地说：我到目前只经过2个闰年，并且我出生的年份是9的倍数，那么2016年昊昊是岁．【答案】9【分析】根据题意“我到目前只经过2个闰年”可得我的出生年份在2005 2008,这之间只有2007是9的倍数，则昊昊是2007年出生，则2016年昊昊是2016−2007=9岁.2. 若六位数201ab7能被11和13整除，则两位数ab=．【答案】48【分析】由11的整除特征可知：(7+a+0)−(2+1+b)=a+4−b=0或11,若a+4−b=11,a−b=7,只有8−1=9−2=7,六位数201817、201927都不能被13整除．若a+4−b=0,则a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情况，构成的六位数201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，则ab=48．3. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么2011ABCD是多少？【答案】20111221【分析】试除法得出答案：20111231÷101=199121⋯⋯10，31−10=21，所以ABCD=1221．4. 若4b+2c+d=32，试问abcd能否被8整除？请说明理由．【答案】见解析．【分析】由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可．bcd=100b+10c+d，有bcd−(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8整除，所以abcd能被8整除．。

第11讲整除图形推理1.整除的性质。

性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

2.2、3、5倍数的特征。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除；能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除；能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。

能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

3.因数与倍数。

如果一个数能被另一个数整除，那么这个数是另一个数的倍数，另一个数是这个数的因数。

1只有1个因数。

两个或多个数公有的倍数中，最小的一个叫作最小公倍数；两个或多个数公有的因数中，最大的一个叫作最大公因数。

两个数除了1以外没有其他的公因数，那么这两个数互质（互为质数）。

4.质数和合数。

如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数（素数）。

2是最小的质数。

如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。

1既不是质数也不是合数。

5.奇数和偶数。

如果一个数能够被2整除，那么这个数叫作偶数；如果不能被2整除，那么这个数叫作奇数。

第一，整除的意义；第二，奇数、偶数、质数（素数）、合数的理解；第三，倍数和因数的认识，以及2、3、5倍数的特征；兔妈妈和小白兔、小黑兔、小灰兔去地里拔萝卜，小白兔拔了2根，小黑兔拔了3根，小灰兔拔了5根，兔妈妈拔的萝卜分别是小白兔的、小黑兔、小灰兔的倍数，兔妈妈至少拔了多少根？例1.在3、5、8、14、24、27、30、43、51、62、68、70中，能够被2整除的有_____________，能够被3整除的有____________，能够被5整除的有_____________。

第18讲数的整除性知识概述能整除a 。

如果a能被b整除，那么,b叫做a 的因数，a叫做b的倍数。

下面我们给出数的整除的几个重要的性质：1.如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(ab)也能被c整除。

2.如果数a 能被b整除，c为整数，则积ac也能被b整除。

3.如果数a能同时被数b、c整除，且b、c互质，则a一定能被b、c之积整除。

例题精学例1在□内填上适当的数，使六位数32787□能被4或25整除。

【思路点拨】末位填4这个数就可以被4整除，填上5就可以被25整除。

个数要能被4或25整除，应该看这个数的末两位，而不是像能被2(或5)整除的数那样看末位。

末两位是7□,要能被4整除，是否可以填0、2、4、6、8?要能被4整除，0、4和8是不可以填的，只可以填2或6;要能被25整除，就只可以填5。

例题精学例2六位数3ABABA是6的倍数，这样的六位数有多少个(A、B可以相同)?【思路点拨】六位数3ABABA是6的倍数，就是说它能被6整除，因为6=2x3,所以和能否被2和3整除有关系。

要使这个六位数能被2整除，A可取0,2,4,6,8五个数。

这个六位数的和是3+A+B+A+B+A=3×(A+1)+2B,3×(A+1)的乘积可以被3整除，2B在B是0,3,6,9的情况下可以被3整除，它们的和也就可以被3整除。

例题精学例3在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小。

【思路点拨】能被5整除的数，末位是0或5,要使这个数尽可能小，就要尽可能地填0。

百位数字和个位数字一样，也应选0,这样，已知的五个数字和就是8+6+5+0+0=19。

19不能被3整除，要使它能被3整除，应该加上2,5,8。

还要考虑能被4整除，这个数的末两位就要能被4整除，再按题意，要求尽可能小，所以十位上就要填2。

例题精学例4六位数12□34□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少?【思路点拨】88=8×11,8和11互质，也就是说这个六位数既是11的倍数也是8的倍数。

一、 常见数字的整除判定方法：（1） 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； （2） 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； （3） 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； （4） 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除； （5） 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（6） 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.（7） 1001特征(家有三子7、11、13)一个数除以7的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以7的余数； 一个数除以11的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以11的余数； 或者，其奇数位数字之和(从个位往高位数，个位为第1位，即为奇数位)减去偶数位数字之和所得的差除以11的余数；一个数除以13的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差(大减小)能被13整除；【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、 整除性质性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c ︱a ， c ︱b ，那么c ︱(a ±b)．性质2 如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ， c ∣b ，那么c ∣a ．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ，那 么b ∣a ，c ∣a ．性质4 如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b 与c 的乘积整除．即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c)=1，那么bc ∣a ．知识框架整除性质的应用例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除．如果 b ｜a ，那么bm ｜am （m 为非0整数）；性质6 如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么bd 也能被ac 整除．如果 b ｜a ，且d ｜c ，那么ac ｜bd ；【例 1】 1872a a 是2008的倍数．a _________【巩固】 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【例 2】 六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？【巩固】 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?例题精讲【巩固】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________．【例 3】某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【巩固】在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少?【例 4】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除．则ABCDEF的最小值是；已知当ABCDEF取得最大值时0F=，那么ABCDEF的最大值是________．C=，6【巩固】有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab可被2整除，三位数abc可被3整除，四位数abcd可被4整除，……依此类推，九位数abcdefghi可被9整除．请问这个九位数abcdefghi是多少？【例 5】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？【巩固】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？【例 6】某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【巩固】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？【例 7】某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11【巩固】有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由.【例 8】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个.【巩固】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?【例 9】有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．【巩固】在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除。

人音版二年级下册音乐教学进度表
教学进度
《顽皮的小杜鹃》教学反思：《音乐课程标准》指出：“音乐课的教学过程就是音乐艺术的实践过程。

因此，所有的音乐教学领域都应重视学生的艺术实践，积极引导学生参与各项音乐活动，将其作为学生走进音乐，获得音乐审美体验的基本途径。

”所以在《顽皮的小杜鹃》这堂课中，我运用了“听音练习、视唱练习、演唱、表演”等多种形式队学生进行授课，让学生充分的参与到音乐实践中来。

歌曲《顽皮的小杜鹃》是一首奥地利童谣，它结构简单，旋律优美流畅，情绪欢快活泼，非常适合孩子们学唱。

歌曲中加入“咕咕”叫声使整首歌充满了童趣，能使学生很快进入情境，感受鸟儿可爱的形象，从而增强对音乐的喜爱。

所
以在教学目标中，能用欢快、活泼的情绪和轻巧、有弹性的声音演唱《顽皮的小杜鹃.,是活动的重点内容。

首先在课的导入中我运用了杜鹃的叫声和杜鹃的图片一下子就抓住了学生们吸引力，为接下来的学习做铺垫。

在接下来的环节中，我为了解决歌曲中知识点，顿音记号的演唱，带动学生更形象生动的掌握杜鹃歌唱的特点。

其次旋律是重点，于是我用了分角色歌唱的方式呈现给孩子们，在师生对唱中我能感受到孩子们的心情是越快的、欢快的，这一练习也就是我们在歌曲中需要解决的一个教学点，学生愉快地用着自己的方式，快乐地把歌曲的难点部分学会了，同样这种方法我用在表演杜鹃演唱“咕咕”的时候，在那个环节我通过加上顿音记号让孩子们体会顽皮的小杜鹃应该怎么样歌
唱。

运用这样的手段进行教学就会一举两得，即愉悦了学生有淡化了教学点。

到了歌曲教唱环节，让孩子们分角色演唱进行表演唱，当孩子们合作演唱整首歌曲时，我能明显的感受到学生们投入了全部的情感，全身心的感受音乐。