上海市浦东新区洋泾中学2016学年高一(上)期中数学试卷

2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题B= ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U2．若函数，则f（x）•g（x）= ．3．函数y=的定义域是．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．413．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣315．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题B= {0} ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．B={x|x≤}，最后根据交集定义运算得出结果．【分析】先确定集合A={0，3}，再确定CU【解答】解：因为A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，而B={x|x＞}，且U=R，B={x|x≤}，所以，CU所以，{x|x≤}∩{0，3}={0}，B={0}，即A∩CU故答案为：{0}．【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．2．若函数，则f（x）•g（x）= x（x＞0）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（x）•g（x）==x，x＞0．故答案为：x（x＞0）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．3．函数y=的定义域是{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：﹣1≤x＜1或1＜x≤4．函数的定义域为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．故答案为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为（﹣∞，] ．【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，∴不等式bx﹣a≥0可化为2ax﹣a≥0，两边同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，解得x≤故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查不等式的解集，得出a的正负是解决问题的关键，属基础题．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是[﹣7，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得≤，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f（2）的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴为x=，由题意可得≤，解得a≤2，则f（2）=4﹣2（a﹣1）+5=11﹣2a≥﹣7．故答案为：[﹣7，+∞）．【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，A∩B=B，∴m﹣1≥2，解得m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”．【考点】四种命题．【专题】演绎法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”，故答案为：“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，则函数f（x）对应的图象如图：即当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，当0＜x＜1或﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价为或，即或，即或，即x＞2或0＜x＜1，即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），故答案为：（0，1）∪（2，+∞）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m 的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，∴f（2）=f（﹣2）=1；∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤x+a≤2，即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，∴﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为 3 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：解：∵ x2﹣2x+3=（2x2﹣6x+9）= [（x﹣3）2+x2]≥，令n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，解得n=（舍去），n=3；令x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．取m=0．∴m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．【分析】由集合间的关系判断（1）；写出方程组的解集判断（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均为B的子集判断（3）；画图说明（4）正确．【解答】解：（1）∅⊆{0}．故（1）错误；（2）方程组的解集是{（1，﹣2）}．故（2）错误；（3）若A∪B=B∪C，则A=C或A、C均为B的子集．故（3）错误；（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，如图，则A⊆∁B．故（4）正确．U∴正确命题的个数是1个．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题．13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；判别式法；简易逻辑．【分析】一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△＜0．解出即可判断出．【解答】解：若一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△=a2﹣4＜0．解得﹣2＜a＜2．∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣3【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】原不等式化为＜0，分类讨论即可得到答案．【解答】解：化为式﹣1＞0，即＞0，即＜0，当a+3＞0时，即a＞﹣3时，原不等式为x+a＜0，即x＜﹣a，∵﹣4∉P，∴a≥4；当a+3＜0时，即a＜﹣3时，原不等式为x+a＞0，即x＞﹣a，∴﹣4∉P，∴a＜﹣3；当a+3=0时，即x∈∅，∴﹣4∉P，综上所述：a的取值范围为a≥4，或a≤﹣3，故选：C．【点评】本题考查分式不等式解法的运用，关键是分类讨论，属于与基础题．15．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．【解答】解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．【点评】对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．【考点】充要条件．【专题】转化思想；集合思想；简易逻辑．【分析】（1）若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得实数b的取值范围；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，进而得到结论．【解答】解：（1）∵a=2，∴β：B={x|b﹣2＜x＜b+2}．若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得：b∈[﹣1，1]；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，即a＜1，b≤|a﹣1|【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解并熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得：二次函数的对称轴为x=，由条件可得：2a＞a+c，所以x=＜＜1，进而得到f（x）在区间[1，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．（2）二次函数的对称轴是x=，讨论f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．【解答】解：（1）因为二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c的图象的对称轴x=，因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，所以x=＜＜1，所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．所以f（x）min=f（1）=a﹣c，因为f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，所以a﹣c＞c2﹣2c+a，所以0＜c＜1；（2）二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c图象的对称轴是x=．若f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，所以函数f（x）在区间（0，）和（，1）内分别有一零点．故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；若f（0）=c＜0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a 的取值范围．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】应用题；新定义；函数思想．【分析】（1）取值带入即可；（2）根据函数f （x ）的定义求解x 0即可；（3）利用函数的思想求解．【解答】解：（1）令x 0=2，则，成立；（2）假设函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2是集合M 中的元素，则存在x 0，使f （x 0+1）≤f（x 0）f （1）成立，即（x 0+1）2﹣（x 0+1）﹣2≤（）（﹣2），解得：， 故x 0组成的集合是：{x 0|}； （3）∵函数f （x ）=，∴，设g （x ）==，∴0＜g （x ）＜3，2a=0时显然成立，当a ＞0时，a ＞g （x ），∴a＞3；a ＜0时，a ＜g （x ），∴a＜0；综上，a≤0或a ＞3【点评】本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题。

上海中学高一期中数学卷2016.11一. 填空题1. 设集合{0,2,4,6,8,10}A =，{4,8}B =，则A C B =2. 已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =I3. “若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是4. 若2211()f x x x x +=+，则(3)f = 5. 不等式9x x>的解是 6. 若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是7. 不等式2(3)30x --<的解是8. 已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠U 且A B ≠∅I ，则m 的 取值范围是9. 不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 10. 设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为 11. 已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个 实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是 12. 已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为二. 选择题1. 不等式||x x x <的解集是（ ）A. {|01}x x <<B. {|11}x x -<<C. {|01x x <<或1}x <-D. {|10x x -<<或1}x >2. 若A B ⊆，A C ⊆，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数 为（ ）A. 4B. 15C. 16D. 323. 不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（ ） A. 7- B. 7 C. 5- D. 54. 已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等” 的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要三. 解答题1. 解不等式：（1）|2||23|4x x -+-<； （2）2232x x x x x -≤--；2. 已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+； （2）222a b c ab bc ca ++≥++；3. 已知二次函数2()1f x ax bx =++，,a b R ∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且 最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；4. 设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根 的两倍，求p 的取值范围；5. 已知二次函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，记[2]()(())fx f f x =，例：2()1f x x =+， 则[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()fx x =； （2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()fx x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；参考答案一. 填空题1. {0,2,6,10}2. {1,0,1}-3. 若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠；4. 75. (3,0)(3,)-+∞U6. 1(,)3-∞-7. (0,6)8. [6,8)- 9. 16 10. 25 11. 3(3,)2- 12. 2+二. 选择题1. C2. C3. C4. A三. 解答题1.（1）1(,3)3；（2）(1,0]{1}(2,)-+∞U U ；2. 略；3.（1）2()21f x x x =++；（2）3k <或134k =； 4. 107p <<； 5.（1）0x =或2x =；（2）4∆>；。

2016年上海市浦东新区高三上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 设全集，集合，，则．2. 函数的反函数为，则．3. ，则函数的值域是．4. 已知集合，，则．5. 如图，正三棱柱中，有，则与平面所成的角的正弦值为．6. 已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的中位数是．7. 若不等式的解集中的整数有且仅有，，，则的取值范围．8. 的展开式中的系数是．9. 从总体中抽取一个样本：，，，，，则总体标准差的估计值为．10. 已知是奇函数，且，若，则．11. 已知，，且，则使成立的的集合是．12. 在中，两直角边分别为，，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱，，两两垂直，且长度分别为，，，设棱锥底面上的高为，则．二、选择题（共6小题；共30分）13. “”是“在定义域内为增函数”的条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要14. 如图，直线，相交于点且，成角，过点与，都成角的直线有A. 条B. 条C. 条D. 条15. 有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为A. B. C. D.16. 已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，满足的等量关系是A. B.C. D.17. 已知函数则不等式的解集是A. B. C. D.18. 我们定义渐近线：已知曲线，如果存在一条直线，当曲线上任意一点沿曲线运动时，可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①；②；③；④；其中有渐近线的函数的个数为A. B. C. D.三、解答题（共5小题；共65分）19. 用一个半径为的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．20. 已知全集，集合，，，求，．21. 如图：三棱锥中，底面，若底面是边长为的正三角形，且与底面所成的角为．若是的中点，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22. 甲厂以千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元．（1）写出生产该产品小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品小时获得的利润不低于元，求的取值范围．23. 已知函数；（1）作出函数的图象；（2）根据（）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点（3）关于的方程（）恰有个不同的实数解，求的取值范围．答案第一部分1.【解析】因为全集，集合，，所以，所以．2.【解析】根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令函数，其中，解得；所以．3.【解析】因为，则，；那么：函数，当且仅当时取等号．所以函数的值域是．4.【解析】因为集合，，所以．5.【解析】取的中点，连接，，则，正三棱柱中，所以面面，面面，所以面，所以就是与平面所成的角，在中，因为，．6.7.【解析】因为，又由已知解集中的整数有且仅有，，，故有．8.【解析】由题意，二项式的展开式通项是，故展开式中的系数是．9.【解析】样本数据：，，，，的平均数为：，方差为，所以标准差为．10.【解析】由题意，是奇函数，且，所以解得，所以．11. 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为【解析】，即，．当时，上述不等式等价于解得；当时，原不等式等价于解得．综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．12.【解析】因为，，两两互相垂直，，，在平面内，所以平面．设在平面内部，且，由已知有：，，所以，即．第二部分13. A 【解析】当时，，在定义域内为增函数，则在定义域内为增函数成立，即充分性成立，若，，在定义域内为减函数，满足在定义域内为增函数，此时不成立，即必要性不成立，故“”是“在定义域内为增函数”的充分不必要条件．14. C 【解析】在，所确定的平面内有一条如图，平面外有两条．如图：15. A【解析】有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本，将其随机地并排放到书架的同一层上，基本事件总数，同一科目的书都相邻包含的基本事件个数，所以同一科目的书都相邻的概率为．16. C 【解析】因为，所以，同理：，，由，得．17. A 18. C 【解析】对于①，根据渐近线的定义，不存在渐近线；对于②是由的图象向上平移个单位得到，其渐近线方程为；对于③是由向右平移一个单位得到，其渐近线方程为；对于④，其渐近线方程为，；综上，有渐近线的函数的个数为个．第三部分19. 如图所示，设为轴截面，过点作，，解得，所以是等边三角形，所以．所以它的最高点到桌面的距离为．20. 由，得．由，得 ． 由 ，得 ． 所以 ， ．21. （1） 因为 底面 ， 与底面 所成的角为，所以， 因为 ， 所以 ，．（2） 连接 ，取 的中点，记为 ，连接 ，则 ，所以 为异面直线 与 所成的角， 计算可得： ， ， ，， 异面直线 与 所成的角为． 22. （1） 设生产该产品 小时可获得利润为 ，则元， ， ．（2） 由题意可得：，化为： ， ． 解得 ．所以 的取值范围是 ．23. （1） 函数．作出函数的图象如图：（2）由函数的图象得函数的定义域为，函数的值域为，在和上单调递增，在和单调递减，函数关于轴对称，是偶函数，函数与轴没有交点，无零点．即：性质定义域值域单调性奇偶性零点在上单调增偶函数无零点在上单调减（3）因为，且函数为偶函数，所以令，则方程等价为，则由图象可知，当时，方程有个不同的根，当时，方程有个不同的根．当或时，方程有个不同的根，若方程（）恰有个不同的实数解，等价为方程（）恰有个不同的实数解，即有两个不同的根，其中，，则．。

上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。