高中数学课时跟踪检测十四向量的加法新人教B版必修0

2.利用向量形式的不等式“||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|”求解时,一定要注意等号
成立的条件.
微思考
(1)物理学中,位移的合成与分解遵循什么法则?
提示 位移的合成与分解,都遵循平行四边形法则.
(2)两个不共线向量相加是模相加吗?
提示 不是.因为向量既有大小,又有方向,所以两个向量相加不是模相加.由
则 + = ,作 = ,连接,
则 = + + ,如图所示.
探究二
向量加法运算律的应用

例2化简下列各式:
(1) + + + + ;
(2)( + )+ + + .
分析根据向量加法的交换律使各向量首尾连接,再运用向量加法的结合律
确.对于 B 选项,根据向量加法的平行四边形法则可知, + = ,结论正
确.对于 C 选项,由于 + = ,故结论错误.对于 D 选项, = ,所以
+ = + = =0,结论正确.故选 C.
3.向量( + )+( + )+化简后等于
名师点析 对向量加法的运算律的理解
1.向量的加法与实数加法类似,都满足交换律和结合律,当向量a,b中至少有
一个为零向量时,交换律和结合律依然成立.
2.由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按
照任意的次序与任意组合来进行.例
如:(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).

【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：6.1.2向量的加法含解析6.1。

2向量的加法素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解向量和的定义．2．掌握向量加法的法则．3．了解多个向量相加．4．理解向量加法的运算律．5．了解和向量模的不等式．1。

通过学习和向量定义，培养学生的数学抽象素养．2．通过向量加法的运算,培养学生的直观想象、数学运算素养．必备知识·探新知知识点向量加法的定义及其运算法则（1）向量加法的定义定义：求两个向量和的运算．（2)向量求和的法则三角形法则已知向量a,b，在平面内任取一点A，作错误!＝a，错误!＝b作出向量错误!，则向量__错误!__称为a 与b的和，记作a＋b，即a＋b＝错误!＋错误!＝错误!．平行四边形法则已知两个__不共线__向量a，b，作错误!＝a,错误!＝b，以__错误!__，__错误!__为邻边作□ABCD，则对角线上的向量错误!＝__a＋b__.__≤__｜a＋b|__≤__｜a|＋|b|．思考：(1）向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的?和向量的起点与终点是怎样的？（2）利用向量求和的三角形法则时,若向量a，b中有零向量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？(3)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗?(4)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？提示：（1）求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．(2）对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝A．当两向量共线时,仍可以使用三角形法则求和．（3)不可以,因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量．（4)求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量．知识点多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为__始点__，最后一个向量的终点为__终点__的向量，就是这些向量的和,如图所示．知识点向量加法的运算律交换律结合律a＋b＝b＋（a＋b)＋c＝a＋(b＋c）a思考：（a＋b）＋(c＋d)＝(a＋d）＋(b＋c)成立吗?提示：成立，向量的加法运算满足交换律和结合律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合去进行．关键能力·攻重难题型探究题型向量的加法法则┃┃典例剖析__■典例1(1）如图,在△ABC中,D，E分别是AB，AC上的点,点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD,那么(在横线上只填上一个向量）：①错误!＋错误!＝__错误!__；②错误!＋错误!＝__错误!__．(2)下列说法正确的是__①③__．①若|a｜＝3, |b｜＝2, 则｜a＋b|≥1,②若向量a,b共线，则|a＋b｜＝|a|＋｜b|，③若｜a＋b|＝|a|＋｜b|,则向量a，b共线．(3)如图所示,已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋C．［解析](1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!；②错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!．（2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确,即③正确．（3)a、b、c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量,因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一：(三角形法则)：如图（1)所示，作错误!＝a,错误!＝b，则错误!＝a＋b，再作错误!＝c,则错误!＝错误!＋错误!＝(a＋b）＋c，即错误!＝a＋b＋C．解法二：（平行四边形法则）：∵a、b、c不共线，如图（2）所示．在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b,以错误!、错误!为邻边作□OADB，则对角线错误!＝a＋b，再作错误!＝c，以错误!、错误!为邻边作□OCED．则错误!＝a＋b＋C．规律方法:1。

课时跟踪检测（二十四） 向量基本定理A 级——学考水平达标练1．(多选题)设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )A ．与B ．与AD ―→ AB ―→ DA ―→ BC ―→ C ．与D ．与CA ―→ DC ―→ OD ―→ OB ―→解析：AC 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，与不共线，与不共线；而AD ―→ AB ―→ CA ―→ DC―→ ∥，∥，故A 、C 可作为基底．DA ―→ BC ―→ OD ―→ OB―→ 2.如图所示，矩形ABCD 中，若＝5e 1，＝3e 2，则等于( )BC ―→ DC ―→ OC―→ A.(5e 1＋3e 2)12B.(5e 1－3e 2)12C.(3e 2＋5e 1)12D.(5e 2－3e 1)12解析：选A ＝＝(＋)＝(＋)＝(5e 1＋3e 2)．OC ―→ 12AC ―→ 12BC ―→ AB ―→12BC ―→ DC―→ 123．对于向量a ，b 有下列表示：①a＝2e ，b ＝－2e ；②a＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a＝4e 1－e 2，b ＝e 1－e 2；25110④a＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③ B ．②③④C ．①③④D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，12则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．4．设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3，则( )BC ―→ CD―→ A ．＝－＋ B ．＝－AD ―→13AB ―→ 43AC ―→ AD ―→ 13AB ―→ 43AC ―→ C ．＝＋D ．＝－AD ―→ 43AB ―→ 13AC ―→ AD ―→ 43AB ―→ 13AC ―→解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.AD ―→ AC ―→ CD ―→ AC ―→ 13BC ―→ AC ―→ 13AC ―→ 13AB ―→13AB ―→ 43AC―→ 5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( )A. B ．－1212C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)，则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴Error!∴λ＝－.126．设向量e 1与e 2不共线，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数x ＋y ＝________.解析：∵向量e 1与e 2不共线，∴Error!解得Error!所以x ＋y ＝7.答案：77．如果3e 1＋4e 2＝a,2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为已知向量，则e 1＝________，e 2＝________.解析：由Error!解得Error!答案：3a －4b 3b －2a8.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，那么用与可表示为＝________.EF ―→ AB ―→ AD ―→ EF―→ 解析：因为＝，＝＝－，所以＝＋EC ―→ 12AB ―→ CF ―→ 23CB ―→ 23AD ―→ EF ―→ EC―→＝CF ―→ 12－.AB ―→ 23AD ―→ 答案：－12AB ―→ 23AD―→ 9．已知向量a ，b 不共线，若＝λ1a ＋b ，＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，试探求实数AB ―→ AC―→ λ1，λ2满足的关系式．解：∵A ，B ，C 三点共线，∴＝k (k ≠0)．AB ―→ AC―→∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b .又∵a ，b 不共线，∴Error!∴λ1λ2＝1.10．已知：在四边形ABCD 中，＝a ＋2b ，＝－4a －b ，＝－5a －3b ，求证：四边形AB ―→ BC ―→ CD―→ ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵＝＋＋＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )AD ―→ AB ―→ BC ―→ CD―→ ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴＝2，∴与共线，且||＝2|AD ―→ BC ―→ AD ―→ BC ―→ AD―→ |.BC ―→ 又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．B 级——高考水平高分练1．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C 不妨令a ＝，b ＝，则a －b ＝－＝，由平行四边形法则可知CA ―→ CB ―→ CA ―→ CB ―→ BA―→ ＝e 1－3e 2.BA―→ 2．已知向量＝a ＋3b ，＝5a ＋3b ，＝－3a ＋3b ，则( )AB ―→ BC ―→ CD―→ A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B ＝＋＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2，由于与有公共点B ，因此BD ―→ BC ―→ CD ―→ AB ―→ BD ―→ AB―→ A ，B ，D 三点共线．3.如图所示向量，，的终点在同一直线上，且＝OA ―→ OB ―→ OC ―→ AC―→－3，设＝p ，＝q ，＝r ，则下列等式中成立的是( )CB ―→ OA ―→ OB ―→ OC―→ A ．r ＝－p ＋q B ．r ＝－p ＋2q 1232C ．r ＝p －qD ．r ＝－q ＋2p3212解析：选A ∵＝－3，∴＝－2＝2.∴r ＝＝＋＋＝＋AC ―→ CB ―→ AB ―→ CB ―→ BC ―→ OC ―→ OA ―→ AB ―→ BC ―→ OA―→ ＋＝＋(－)＝－＝－p ＋q .AB ―→ 12AB ―→ OA ―→ 32OB ―→ OA ―→32OB ―→ 12OA―→ 12324.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若＝m ，＝n ，则m ＋n 的值AB ―→ AM ―→ AC ―→ AN―→ 为______．解析：＝(＋)＝＋. ∵M ，O ，N 三点共线，AO ―→ 12AB ―→ AC ―→m 2AM ―→ n 2AN―→ ∴＋＝m 2n21，∴m ＋n ＝2.答案：25.如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上的一点，若＝m ＋，求实数m 的值．AN ―→ 13NC ―→ AP ―→ AB ―→ 211AC―→解：＝＋＝＋＝m ＋，AP ―→ AN ―→ NP ―→ 14AC ―→ NP ―→ AB ―→ 211AC ―→ ∴＝m －.NP ―→ AB ―→ 344AC ―→ 又＝＋＝＋(－)＝－，NB ―→ NC ―→ CB ―→ 34AC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ 14AC ―→ 设＝λ (0≤λ≤1)，则λ－λ＝m －，∴m ＝λ＝.NP ―→ NB ―→ AB ―→ 14AC ―→ AB ―→ 344AC―→3116．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：＝＋.AM ―→ 34AB ―→ 14AC―→ (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设＝x ＋y ，求x ，y 的值．BO ―→ BM ―→ BN―→解：(1)如图，由＝＋可知M ，B ，C 三点共线，AM ―→ 34AB ―→ 14AC―→ 令＝λ⇒＝＋＝＋λ＝＋λ(BM ―→ BC ―→ AM ―→ AB ―→ BM ―→ AB ―→ BC ―→ AB―→ －)＝(1－λ)＋λ⇒λ＝，AC ―→ AB ―→ AB ―→ AC―→14所以＝，即面积之比为1∶4.S △ABM S △ABC 14(2)由＝x ＋y ⇒＝x ＋，＝＋y ，由O ，M ，A 三点共线及BO ―→ BM ―→ BN ―→ BO ―→ BM ―→ y 2BA ―→ BO ―→ x 4BC ―→ BN―→ O ，N ，C 三点共线⇒Error!⇒Error!。

课时分层作业(十四) 向量的加法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2A [依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.]2.如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →C [设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.]3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形D [根据题意，由于在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋BC →. 又∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故其为平行四边形．]4．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝ 2|AO →|＝2|AB →|＝2.]5．下列结论中，正确结论的个数为( )(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；(2)在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；(4)若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B [当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确．]二、填空题6．若|a |＝|b |＝1，则|a ＋b |的取值范围为________． [0,2] [由||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |，知0≤|a ＋b |≤2.]7．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ， 则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)， 因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]8．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．|a|＝|b| [当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角．]三、解答题9.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.[证明] 连接EF (图略)，由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →＝0.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．[解] 如图，作OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|OC →|＝300 (N)，所以|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|·cos 60°＝150(N)，故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[等级过关练]1．在以下各命题中，不正确的命题个数是( ) (1)任一非零向量的方向都是唯一的； (2)|a |－|b |<|a ＋b |；(3)若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；(4)已知A 、B 、C 为平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．]2．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则下面结论正确的是( )A.AE →＝AD →＋F A →B.DE →＋AF →＝0C.AB →＋BC →＋CA →≠0D.AB →＋BC →＋AC →≠0D [容易判断AB →＋BC →＋AC →＝2AC →≠0.故选D.]3．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________，3 [如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3，∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.]4.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.2 [∵AD DB ＝AE EC ＝12，∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1. 如图所示，作CF →＝ED →，连接DF ， 则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2.]5．如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.。