人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法》_21
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2.2 平面向量的线性运算
教学目标
1.通过物理中的位移合成、力的合成等实例，认识、理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程。
2．理解、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义. 会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力.
3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
4.通过由实例到概念，由具体到抽象，使学生学会如何用数学方法描述问题、解决问题。
教学重点、难点
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量及向量加法的运算律．
教学难点：对向量加法意义的理解．
教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.
教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．
教法与学法导航
教学方法；启发诱导，讲练结合．
学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．
教学准备
教师准备：课件、直尺．
学生准备：练习本、直尺.
教学过程
一、 创设情境，导入新课
上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断． 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移、力的合成来学习向量的加法运算及其几何意义.
二、主题探究，合作交流
1. 师生互动：教师引导学生回顾物理中位移的概念，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移 、 的结果，与A点直接到C点的位移 结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.
图（1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图（2）表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．
你能发现F与F1、F2之间的关系吗？
力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1与F2的合力．
合力F与力F1、F2有怎样的关系呢？由图（3）发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．
数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．
讨论结果：1. 向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作 =a，
=b，则向量 叫做a与b的和，记作a+b，即a+b= + = ．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2. 向量加法的法则：
（1）向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．
（2）向量加法的平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线 就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形则．
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
3.下面请同学们来体验一下如何用所学的向量加法的两条法则作图
师生合作完成例一：
例1 如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．
活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．
解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作 =a， =b，则 =a+b．
作法二：在平面内任取一点O（上右图），作 =a， =b．以OA、OB为邻边作 OACB，连接OC，则 =a+b．
小练习： 学生动手完成课本84页练习1（1）和(2)、2，然后展示结果，老师给予点评．（学生通过自己动手作图进一步体验如何区分用两种向量加法法则作图的的方法）．
4.观察教材82页图2.2-10， 师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算.
提问:当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ 用哪条法则进行求和？
（讨论结果：两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段． 用的是三角形法则来求两个共线向量的和）
类比数的加法 ，数0与任意实数a 的和仍得实数a．
对于零向量与任一向量a，我们规定 a+0=0+a=a．
5.思考|a+b|，|a|，|b|存在着怎样的关系？
由例一发现：当a，b不共线时，|a+b|<|a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边）; 当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;
当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）．
6 .数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．
如下左图，作 =a， =b，以AB、AD为邻边作 ABCD，则 =b， =a．
因为 = + =a+b， = + =b+a，所以a+b=b+a．
如上右图，因为 = + =（ + ）+ =（a+b）+c，
= + = +（ + ）=a+（b+c），所以（a+b）+c=a+（b+c）．
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。
三、拓展创新，应用提高
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h．
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）;
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．
活动：本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用．这样的问题在物理中已有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小）．引导点拨学生正确理解题意，将实际问题反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系．
解：如上右图所示， 表示船速， 表示水速，以AD、AB为邻边作 ABCD，则 表示船实际航行的速度．
所以| |= ≈5.4．
因为tan∠CAB= ，由计算器得∠CAB=68°．
答：船实际航行速度的大小约为5．4 km/h，方向与水的流速间的夹角为68°．
点评：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．
四、小结
请课代表起来给大家总结本节课所学的主要内容．
五、作业
课本91页习题2.2A组1、2、3、4（1、2、3）．
