高中数学基本功大赛试题

高中数学比赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+1，则f(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}，其中a1=3，公差d=2，求a5的值：A. 9B. 11C. 13D. 153. 计算下列极限：lim (x→0) [sin(x)/x] 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 34. 圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算复数z=1+2i的模长：________。

6. 一个三角形的三个内角分别为α、β、γ，若α=30°，β=60°，则γ=________°。

7. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)=________。

8. 一个等比数列的前三项依次为2，4，8，求此数列的第5项：________。

三、解答题（每题15分，共30分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的单调区间。

10. 证明：对于任意实数x，不等式x^2-2x+2>0恒成立。

四、综合题（每题20分，共40分）11. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

12. 解方程：x^3-3x^2+4x-4=0，并说明其根的性质。

答案：一、选择题1. B2. D3. B4. A二、填空题5. √56. 907. 3x^2-6x+28. 32三、解答题9. 函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+2。

令f'(x)>0，解得x<1或x>2，因此f(x)在区间(-∞,1)和(2,+∞)上单调递增。

令f'(x)<0，解得1<x<2，因此f(x)在区间(1,2)上单调递减。

高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 0B. -8C. -6D. 12. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_3 \)的值。

A. 7B. 9C. 11D. 133. 若圆\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)与直线\( 2x + 3y - 6 = 0 \)相切，求圆心到直线的距离。

A. 5B. 10C. 15D. 204. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、60°和80°，求\( \sin B \)的值。

A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，\( a \)和\( b \)为正整数，求\( a + b \)的值。

6. 已知等差数列\( \{c_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项\( c_{10} \)的值。

7. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(2) \)的值。

8. 若正六边形的边长为1，求其外接圆的半径。

三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

10. 解不等式：\( |x-2| + |x+3| > 8 \)。

11. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

普特南高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^3 + b^3 = 27 \)，求\( a + b \)的值。

A. 1B. 2C. 3D. 4E. 52. 在直角三角形中，若两直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 8E. 93. 一个圆的半径是5，求其面积。

A. 25B. 50C. 75D. 100E. 1254. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项是前三项的和。

求第10项的值。

A. 143B. 144C. 145D. 146E. 1475. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求\( x \)的值。

A. 2, 3B. 1, 4C. 2, 4D. 3, 4E. 4, 66. 一个正六边形的内角和是多少？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°E. 900°二、填空题（每题5分，共20分）7. 一个数的平方根是4，这个数是_________。

8. 将\( \frac{1}{2} \)和\( \frac{1}{3} \)相加，结果是_________。

9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是_________。

10. 一个正方体的体积是27立方单位，其表面积是_________平方单位。

三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( n^3 - n \)总是3的倍数。

12. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。

13. 一个圆的直径是10，求其内接正方形的面积。

结束语本试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。

希望同学们能够通过解答这些题目，提高自己的数学素养和解决问题的能力。

祝大家取得好成绩！请注意，以上内容是虚构的，仅作为示例。

高二第一学期数学基本功测试 第2期试卷设计：每小题4分，共25道，满分100分,测 试 时 间：第九周星期四晚7:45-8:30温馨提醒：请务必准确填涂10位数考号,本期填涂答题卡题号：26-50，试卷类型A 卷，科目涂数学，测试完上交答题卡，第二节即公布答案，答题卡循环使用，请再次校对自己的考号有没有填涂准确，注意妥善使用不能损坏。

1．设m ∈R ，则下列式子正确的是 ( A)． A ．3－2m ＞1－2m B ．m 3＞m 2C. 1m ＜m D ．－2m ＞－3m2．已知集合P ＝{0，m }，Q ＝{x |2x 2－5x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则m 等于 ( D)． A ．1 B ．2C ．1或25D ．1或23、下列函数中，最小正周期为2π的是 （ B ）A 、)32sin(π-=x y B 、)32tan(π-=x yC 、)62cos(π+=x yD 、)64tan(π+=x y4、函数是x x y 2cos 2sin 2=( A )A 、周期为2π的奇函数 B 、期为2π的偶函数C 、周期为4π的奇函数 D 、期为4π的偶函数5、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈=2,6x ,x cos y 的值域是 ( A )A 、[0,1]B 、[-1,1]C 、[0,23] D 、[-21,1]6、函数)62sin(3π+=x y 的图象是轴对称图形，其中它的一条对称轴可以是 ( C )A 、y 轴 Ｂ、直线12π-=x C 、直线6π=x D 、直线3π=x7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于 ( D )．A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n8．在等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为 ( B )．A ．81B ．120C ．168D ．1929．在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 ( A )．A ．15B ．30C ．31D ．6410．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( B )．A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝111．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 等于 ( B )．A.14B.34C.24D.2312.下面给出的四个点中，满足约束条件10,10x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩的可行解是（ C ） A.（0，2） B.（-2，0）C.（0，-2）D.（2，0）13．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是 ( C )．A ．{x |x ≤－2或x ≥1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅14. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ A ） A ．21- B ．23- C ．21D ．2315. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( A) A ．6 B ．7C ．8D ．916. 记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差0<d ，则当n s 取最大值时，n=（ C ）A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或817．在等比数列{a n }中，若a 1 + a 2 =30, a 3 + a 4 = 120 , 则 a 5 + a 6 = ( D )(A) 240； (B) 280； (C) 440； (D) 480。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。

A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。

A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。

7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。

8. 一个正六边形的内角为______度。

9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。

10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。

14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

中学数学青年教师基本功大赛笔试试卷(专业知识)1.数学课堂教学的目标是什么？它们分别是什么维度的？答：数学课堂教学的目标有三维，分别是知识与技能、过程与方法、情感与价值观。

2.谁被称为解析几何学的创始人？答：法国哲学家、物理学家、数学家、生理学家______被称为解析几何学的创始人。

3.科学家们在探寻“外星人”方面曾借助哪个数学定理？答：数学家曾建议用勾股定理作为人类探寻“外星人”并与“外星人”联系的语言。

4.数学危机中最重要的悖论是什么？答：数学危机中最重要的悖论是___悖论。

5.课程标准的支撑理论是什么？代表人物有哪些？答：课程标准的支撑理论是建构主义，代表人物有___、___、___。

6.数学的作用是什么？答：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

7.教师的主要任务是什么？答：教师的主要任务是激发学生的研究积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生成为研究的主人。

8.初中阶段的数学内容分为哪些领域？答：初中阶段的数学内容分为数与代数、空间与图形、统计与概率和课题研究四个领域。

9.学生研究数学的重要方式有哪些？答：学生研究数学的重要方式有动手操作、自主探究、合作交流。

10.为什么教学要面向全体学生？如何才能实现这一目标？答：不同的人在数学上得到不同的发展，教学要面向全体学生，必须适应每一位学生的发展需要；实现这一目标需要承认差异、尊重差异。

11.义务教育阶段的数学课程标准应该体现哪些方面？答：义务教育阶段的数学课程标准应该体现基础性、普及性、发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学、人人获得必需的数学、不同的人在数学上获得不同的发展。

12.在新课程理念下，教师的角色发生了什么变化？答：在新课程理念下，教师的角色已经由原来的主导者转变成了学生研究活动的组织者、学生探究发现的引导者、与学生共同研究的合作者。

13.举例适合课外学生数学活动的形式。

高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。

下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。

请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。

答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。

全国高中生数学竞赛试题一、选择题1. 若一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-5，那么x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且有a>0，b>0，c>0，那么a+b+c的值是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 一个圆的半径是5cm，圆心位于坐标系的原点，那么圆上一点（3，4）到圆心的距离是：A. 5cmB. 5√2cmC. 2√5cmD. 10cm4. 以下哪个三角形的内角和不是180°？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5. 若a、b、c是等比数列，且abc=8，a+b+c=6，那么b的值是：A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题6. 一个等差数列的前四项之和为26，首项为2，公差为3，求该等差数列的第四项。

7. 已知一个圆的周长为4πcm，求该圆的面积（π取3.14）。

8. 若函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6有唯一的零点，求该零点的值。

9. 一个直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边的长度。

10. 一个等比数列的前三项分别是2，6和18，求该数列的公比。

三、解答题11. 已知一个等差数列的前五项和为35，且第五项是首项的三倍。

求该等差数列的首项和公差。

12. 一个圆与直线y=2x+3相交于点A，且圆心到直线的距离为2√2cm。

若圆的半径为5cm，求圆心的坐标。

13. 证明：若n是正整数，且n^2 + 3n + 2是一个完全平方数，则n 也是正整数。

14. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为x，且周长为30cm。

求x的值。

15. 一个等比数列的前五项之和为31，首项为2，求该等比数列的公比和最后一项的值。

请注意，以上题目仅供参考，实际的全国高中生数学竞赛试题可能会有所不同。

在解答时，考生需要仔细审题，合理运用数学知识和解题技巧，力求准确、高效地完成题目。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。

答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。

答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。

解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。

所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。

2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。

令f’(x) = 0，可以解得x = 1。

再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。

所以x = 1是f(x)的极小值点。

代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。

所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。

四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。

射阳县2010年高中数学青年教师基本功大赛笔试试题(一)(考试时间:90分钟；满分:120分)一、基础知识（共10小题，每题3分，计30分）1. 新课程提倡的学习方式有(请列举三个)：(1)_____________________；(2)______________________； (3)______________________________，改变过去的那种单纯接受式的学习方式.2. 新课程的“三维目标体系”是指：(1)________________________；(2)_________________________； (3)_____________________________.3. 请连线:4. 我们常说要重视“数学思想方法”的教学，请列举三个常见的“数学思想”：(1)_________________________；(2)__________________________；(3)________________________.5.《江苏高考说明》的命题指导思想中提出“重视数学基本能力的综合能力的考查”,请你列举三个“数学基本能力”: (1)___________________；(2)_____________________；(3)____________________.6. 我们常说要“数学地思维”，而良好的思维品质是具有一些特性的,请列举其中的三个特性：(1)_______________________；(2)_________________________；(3)_________________________. 7. 数学史上的三次数学危机是指(不必太详细): (1)____________________________________________； (2)_______________________________________；(3)________________________________________. 8. 华罗庚先生在强调“数形结合”的重要性时曾说过的一句话是:“______________________________, ______________________________________.”9. 高中数学选修课程系列4包括10个专题,请列举其中的三个: (1)______________________________； (2)_____________________________________；(3)____________________________________. 10. 波利亚在“怎样解题”表中把数学题的求解过程分为四个阶段，即第一阶段:弄清问题；第二阶段：______________________；第三阶段：______________________；第四阶段：___________________.二、解题能力测试（共5题，每题18分，计90分）11.请建立适当的模型来推导“两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+”.12. 已知一个函数的解析式为2y x =,它的值域为[0,4],这样的函数有多少个?试写出其中两个函数.欧几里德 勾股定理毕达哥拉斯 形式主义数学希尔伯特 《几何原本》学校:_________姓名:_________13.一半径为,水轮圆心O 距离水面2米.已知水轮按逆时针方向旋转,每分钟转动5圈.现在当水轮上点P 从水中浮现时(图中点0P )开始计时.试探究:(Ⅰ)OP 旋转的角速度ω是多少?(单位:弧度/秒)(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,设点P 距离水面的高度z (米)与时间t (秒)的函数关系为()sin()2z f t A t ωϕ==++,其中0A >,而(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边, 0OP 为终边的角.请写出函数()f t 的解析式；(Ⅲ)点P 第二次到达最高点需要的时间是多少秒?14. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足22222345a a a a +=+, 77S =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (Ⅱ)试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.15. 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .(Ⅰ)过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；(Ⅱ)求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为 4的⊙M 的方程；(Ⅲ)设P 为（Ⅱ）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应 的定值；若不存在，请说明理由.第15题第13题。

数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。

A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。

答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。

答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。

答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。

答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。

答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。

10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。

答案：证明略。

11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。

答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。

答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。

答案：函数的最小值为0。

茅村中学教学基本功大赛数学科试卷姓名 得分1. 高考数学命题的指导思想是 。

2. 数学基本能力主要包括： 这几个方面的能力。

3. 数学应用意识的考查，要求 。

4. 数学创新意识的考查，要求 。

5. 对只是的考查要求依次为 三个层次。

其中，掌握层次要求 。

6. 设z y x ,,为正实数，满足032=+-z y x ，则xzy 2的最小值为 。

（08江苏） 7. 设直线b x y +=21是曲线)0(ln x x y =的一条切线，则实数b 的值为 。

（08江苏）8. 设函数)(13)(3R x x ax x f ∈+-=，若对于任意[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 。

（08江苏）9. 在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆的顶点A （-4，0），C （4，0），顶点B 在椭圆1162522=+y x 上，则=+B C A sin sin sin 。

（07江苏） 10.设)12lg()(a xx f +-=为奇函数，则使0)( x f 的x 的取值范围是（ ） A ．（-1，0） B.（0，1） C.)0,(-∞ D.),1()0,(+∞⋃-∞ (07江苏)教学基本技能题:1. 徒手作出边长为20cm 左右的正方形.2. 徒手作出半径为20cm 左右的圆.3. 徒手作出边长为20cm 左右的正方体4. 徒手作出双曲线14922=-y x参考答案:1. 既考查中学数学的基础知识和方法,又考查学生进入高等学校继续学习所必需的基本能力2. 空间想象,抽象概括,推理论证,运算求解,数据处理3. 能够运用所学的数学知识和思想方法,构造数学模型,将一些简单的实际问题化为数学问题并加以解决.4. 能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法创造性的解决问题。

5. 了解、理解、掌握。

系统的掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强或较为困难的问题6. 37. 12ln -8. 49. 45 10. A。

2020年高中数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）若函数f(x) = x^2 - 2x + a 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是：A. a < 1B. a ≤ 1C. a > 1D. a ≥ 1下列关于向量的说法正确的是：A. 零向量与任意向量平行B. 单位向量的模为1C. 若向量a与b平行，则a与b的方向相同D. 向量a与-a的方向相反，模相等若直线l与平面α平行，点A在平面α内，则：A. l与经过点A的平面都平行B. l与经过点A的平面都相交C. l与经过点A且与α平行的平面平行D. l与经过点A且与α垂直的平面垂直二、填空题（每题4分，共20分）函数y = log₂(x - 1) 的定义域是_______．已知等差数列{an} 的前n项和为Sn，若a1 = 1, S3 = 9，则公差d = _______．在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，若cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)，则A = _______．已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与b的夹角余弦值为_______．若双曲线(x² / 9) - (y² / 16) = 1 的右焦点为F，点P在双曲线上，PF的垂直平分线与x轴交于点Q(6, 0)，则点P的坐标为_______．三、解答题（共60分）（12分）已知函数f(x) = x³ - 3x² + ax + b 在x = 1 和x = 2 时取得极值，求a, b 的值，并讨论f(x) 的单调性。

（12分）设椭圆C: (x² / a²) + (y² / b²) = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F₁, F₂，点P 在椭圆 C 上，且|PF₁| = 4/3|PF₂|，△PF₁F₂ 的面积为4√3。