圆内接四边形练习一

九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案答案2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题~~第1题~~(2020北仑.九上期末) 下列四个结论，不正确的是（ ）①过三点可以作一个圆； ②圆内接四边形对角相等③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等A . ②③B . ①③④C . ①②④D . ①②③④考点： 垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆内接四边形的性质;确定圆的条件;~~第2题~~(2020柳州.九上期末) 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B=70°，则∠D 的度数是（ ）A . 110°B . 90°C . 70°D . 50°考点： 圆内接四边形的性质;~~第3题~~(2020无锡.九上期中) 如图所示，已知四边形ABDC 是圆内接四边形，∠1=112°，则∠CDE=（ ）A . 56°B . 68°C . 66°D . 58°考点： 圆内接四边形的性质;~~第4题~~(2019江干.九上期末) 如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝( )A . 70°B . 110°C . 120°D . 140°考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;~~第5题~~(2019三门.九上期末) 如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点.如果∠AOB ＝130°，那么∠A CB 的度数为（ ）答案答案答案答案答案A . 65° B . 115° C . 130° D . 65°或115°考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;~~第6题~~(2019江北.九上期末) 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是（ ）A . 90°B . 100°C . 110°D . 130°考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;~~第7题~~(2019余杭.九上期末) 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若∠AOC=140°，则∠B 的度数是（ ）A . 70°B . 80°C . 110°D . 140°考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;~~第8题~~(2019连云港.九上期末) 如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是（ ）A . 50°B . 60°C . 80°D . 100°考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;~~第9题~~(2019杭州.九上期末)已知ABCD 是一个以AD 为直径的圆内接四边形，分别延长AB 和DC ，它们相交于P ，若∠APD=60°，AB=5，PC=4，则⊙O 的面积为（ ）A . 25πB . 16πC . 15πD . 13π考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;~~第10题~~(2019浙江.九上期末) 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（ ）答案A . 50° B . 60° C . 80° D . 90°考点： 垂径定理;圆内接四边形的性质;2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题答案1.答案：D2.答案：A3.答案：A4.答案：D5.答案：D6.答案：C7.答案：C8.答案：D9.答案：D10.答案：C。

九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题1.(2019拱墅.九上期末) 如图，在△ABC 中，AB =AC ， 以AB 为直径的⊙O 分别交BC ， AC 于点D ， E ， 连结EB ，交OD 于点F ．（1） 求证：OD ⊥BE ．（2） 若DE = ，AB =6，求AE的长．（3） 若△CDE 的面积是△OBF 面积的 ，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．考点： 垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;2.(2019鄞州.九上期末) 如图1，△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F ．（1） 求证：∠ADB=∠CDE ：（2） 若BD=7，CD=3，①求AD·DE 的值；②如图2，若AC ⊥BD ，求tan ∠ACB（3） 若tan ∠CDE= ，记AD=x ，△ABC 的面积和△DBC 面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数解析式．考点： 圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;3.(2019宁波.九上期中) 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．（1） 如图1，若四边形ABCD 是圆美四边形，求美角∠A 的度数．（2） 在(1)的条件下，若⊙O 的半径为5．①求BD 的长．②如图2，在四边形ABCD 中，若CA 平分∠BCD ，则BC+CD 的最大值是．答案解析答案解析（3） 在(1)的条件下，如图3，若AC 是⊙O 的直径，请用等式表示线段AB ，BC ，CD之间的数量关系，并说明理由．考点：含30度角的直角三角形;圆内接四边形的性质;4.(2020昌平.九上期末) 如图，已知 ，.（1） 求证：是等边三角形；（2） 求 的度数．考点： 等边三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;5.(2020宁波.九上期末) 如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M 的半径为5，圆心M 的坐标为(3，0)，⊙M 交x 轴于点D ，交y 轴于A ，B 两点，点C 是 上的一点(不与点A 、D 、B 重合)，连结AC 并延长，连结BC ，CD ，AD 。

中考数学总复习圆内接四边形专项练习题例题1：如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB=60°，∠ADC=106°.求∠OCB及弧DC的度数.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥DC，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD=86°，则∠PCE= °，⌒ADC的度数为例题2，如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，弧AB=弧AD，∠BCD=120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED=150°，AC=37 ,求DE的长.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=BD,BM⊥AC于点M，已知AC=11,CD=7,求CM的长.例3.如图，在△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD，CD，CD与AP交于点E. 求证：∠1=∠2.练：如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC,若∠DAB=20°，则∠ACB= °.例题2，如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F.求证：EF=DE.练：如图，锐角△ABC中，BD，CE是高线，DG⊥CE于点G，EF⊥BD于点F.求证：FG∥BC6.如图，已知△ABC，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转x度（α为锐角），得到△ADE，连接BE，CD，延长CD交BE于点F.（1）用含有x的代数式表示∠ACD的度数为；（2）求证：点B，C，A，F四点共圆.（3）求证：点F为BE的中点.7.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2.求AD的长度，课后习题：1.如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠A+∠BOD=150°，则∠DCE= °2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A与∠C的度数之比为2：3，且弧AD的度数为100°，则弧AB的度数°3,如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且DB=DC.AC是直径，若∠ACB=52°，则∠DAE= °4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠A=120°，CF⊥AB于F，连接DF交CB延长线于E，连接AE，则△AEF的面积为5.如图，已知P为长方形内一点，S△P AB=5, S△PBC=12, 则S△PBD=6.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）7.已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD的长.8.如图，已知△ABC中，AH是高线，AT是角平分线，且TD⊥AB于点D，TE⊥AC于点E.求证：∠AHD=∠AHE.。

圆内接四边形练习题初三题目一：证明圆内接四边形的对角线互相垂直。

解析：我们已知圆内接四边形的定义是指四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四边形的边都是圆的切线。

在这个基础上，我们来证明该四边形的对角线互相垂直。

证明：设圆内接四边形的顶点为A、B、C、D，中点分别为M、N、P、Q，并连结AC和BD两条对角线。

首先，我们已知圆的切线与半径垂直，因此AM⊥AC，AN⊥AB，BM⊥BC，BN⊥BD。

同时，我们知道圆内接四边形的边都是圆的切线，所以AC和BD是垂直于半径的切线，即AM⊥CN，BN⊥PD。

而且根据切线定理，切线与半径的交点与切点连线互相垂直，所以AM⊥CN，BN⊥PD。

因此，四边形的对角线AC和BD互相垂直。

题目二：已知圆内接四边形ABCD，证明AD+BC=AB+CD。

解析：这是一个用勾股定理证明的题目。

我们已知圆内接四边形的定义是指四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四边形的边都是圆的切线。

在这个基础上，我们来证明该等式成立。

证明：设圆内接四边形的顶点为A、B、C、D，中点分别为M、N、P、Q。

根据圆的性质，由圆心到切点的距离等于切点到切线的距离，所以AM = MD，BN = NC，CP = PD。

根据平行四边形的性质，我们知道AM+BN=AB，CP+DM=CD。

将上述等式代入AD+BC的表达式中，得到：AD+BC = (AM+MD) + (BN+NC)= AM + BN + MD + NC= AB + CD因此，已证明AD+BC=AB+CD。

题目三：已知四边形ABCD是一个菱形，且AB=6cm，BC=10cm，求这个菱形的面积。

解析：我们已知菱形的定义是指四边形的四个边相等，并且对角线互相垂直。

在这个基础上，我们来求解这个菱形的面积。

解答：设菱形ABCD的对角线交点为O。

由菱形的性质可知，对角线互相垂直，所以AO⊥BO，CO⊥DO。

又因为菱形的两条对角线相等，所以AO=CO，BO=DO。

2020苏科版九上第二章《圆》的内接四边形性质练习题班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为()A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=62°，则∠BCE等于()A. 28°B. 31°C. 62°D.118°3.如图，已知A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70∘，AO//DC，则∠B的度数为()A. 40∘B. 45∘C. 50∘D. 55∘4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=120∘，∠DOB=()A. 60°B. 90°C. 100°D. 120°5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是弧BE的中点，若∠D=110°，则∠ABE的度数是()A. 30°B. 35°C. 50°D. 55°6.四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是()A. 1：3：2：4B. 7：5：10：8C. 13：1：5：17D. 1：2：3：4二、填空题7.如图，四边形ABCD内接于圆O，∠CBE=70°，则∠ADC的度数是________．8.如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，则∠BCD的度数为______．9.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠A:∠C=4:5，则∠A=________度．10.圆的内接四边形ABCD，已知∠D=95°，∠B=__________ ．11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD//BC，AC与BD相交于点P，若∠APB=50∘，则∠PBC=．12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD=118∘，则∠DCE=__________．三、解答题13.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．(1)求证：BD=CD；(2)若圆O的半径为3，求BĈ的长．14.已知：△APB(∠APB为钝角)内接于⊙O，点C在优AB⌢上，且AC=BC，如图．(1)请用尺规作图，把图形补充完整；(保留作图痕迹，不写作法)(2)若∠APB=120°，连接AC，BC，求证：△ABC是等边三角形．15.如图，在半径为2的⊙O中，弦AB长为2．(1)求点O到AB的距离．(2)若点C为⊙O上一点(不与点A，B重合)，求∠BCA的度数；16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=4：1，写出求DE长的思路．17.如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，且AB⊥CD．⏜上一点(不与点C，D重合)时．求证：∠CPD=∠COB．(1)当P是CAD⏜上(不与点C，D重合)时，写出∠CP′D与∠COB有什么数量关系？(2)当点P′是CBD并证明你的结论．答案和解析1.C解：设∠ADC=x∘，则∠AOC=2x∘．∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠B=∠AOC．∵∠B+∠D=180∘，∴x+2x=180．∴x=60．∴∠ADC=60∘．2.C解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62°，∴∠BCE=180°−∠BCD=∠A=62°，3.D解：连接AD，∵OA=OD，∠AOD=70°，=55°，∴∠ADO=180°−∠AOD2∵AO//DC，∴∠ODC=∠AOD=70°，∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=125°，∴∠B=180°−∠ADC=55°．4.D解：∵∠DAB=120∘，∴∠C=180°−∠DAB=60°，∴∠DOB=2∠C=120°．5.B解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC=180°−∠D=70°，∵BE平分∠ABC，∠ABC=35°，∴∠ABE=126.C解：∵圆的内接四边形对角互补，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是13：1：5：17．7.70°解：∵∠CBE=70°，∴∠ABC=110°，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°−110°=70°．8.100°解：∵∠BOD=160°，∴∠BAD=1∠BOD=80°，2∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BCD=100°，9.80解：，设∠A=4k，∠B=5k，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，，∴4k+5k=180，解得k=20，∴∠A=80º．10.85°解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠D=95°，∴∠B=180°−95°=85°．11.25°解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∠ADC+∠ABC=180°，∵AD//BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ABC=∠BCD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠CDA=90°，∴∠PBC=∠PCB，∵∠APB=50°，∴∠PBC=25°，12.59°解：∵∠BOD=118°，∠BOD=59°，∴∠A=12∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE=∠A=59°．13.(1)证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°−105°=75°，∵∠DBC=75°，∴∠DCB=∠DBC=75°，∴BD=CD；(2)解：∵∠DCB=∠DBC=75°，∴∠BDC=30°，由圆周角定理，得，BC⏜的度数为：60°，故，答：BC⏜的长为π．14.解：(1)如图：射线PC就是所求∠APB的平分线，(2)如图：∵四边形PACB是圆O的内接四边形，∴∠APB+∠ACB=180°，∵∠APB=120°，∴∠ACB=180°−120°=60°，∵PC平分∠APB，∴∠APC=∠BPC，∵∠APC=∠ABC，∠BPC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形．15.解：(1)过点O作OD⊥AB于点D，连接AO，BO.如图1所示：∵OD⊥AB且过圆心，AB=2，AB=1，∠ADO=90°，∴AD=12在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=2，AD=1，∴OD=√AO2−AD2=√3．即点O到AB的距离为√3．(2)如图2所示：∵AO=BO=2，AB=2，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°.⏜上，则∠BCA=30°；若点C在优弧ACB(360°−∠AOB)=150°；若点C在劣弧AB⏜上，则∠BCA=12综上所述：∠BCA的度数为30°或150°．16.解：(1)证明：连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF．∴∠FDC=∠FCD．∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°．∴DF是⊙O的切线；(2)①由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；②由AB=a，求出AC的长度为√2a；③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到AC2=AD⋅AE；④设DE为x，由AD：DE=4：1，求出DE=√2a.2解：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AB=a，∴AC=√2a，∵∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，∴△ACD∽△AEC，∴AC：AE=AD：AC，∴AC2=AD⋅AE，设DE为x，∵AD：DE=4：1，∴AD=4x，∴(√2a)2=20x2，a.解得x=√1010a.即DE=√101017.(1)证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴BC⏜=BD⏜．∴∠COB=∠DOB=1∠COD．2∠COD，又∵∠CPD=12∴∠CPD=∠COB．(2)解：∠CP′D+∠COB=180°．理由如下：连接OD，∠COD，∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=12∠COD，又∵∠CPD=12∴∠CP′D+∠COB=180°．。

九年级数学：圆内接四边形练习（含答案）1．圆内接四边形的对角________．2．圆内接四边形的外角等于内对角．A组基础训练1．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于( )A．120° B．100° C．80° D．90°第1题图2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( )第2题图A．100° B．120° C．140° D．160°3．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( )A．60° B．120° C．140° D．150°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝120°，则∠BCD的度数为( ) A．120° B．90° C．60° D．30°第4题图5.如图，已知∠BAE＝125°，则∠BCD＝________度．6．平行四边形ABCD 为圆内接四边形，则此平行四边形是________． 7．⊙O 的内接四边形ABCD ，∠AOC ＝140°，∠D ＞∠B ，则∠D ＝________．8．如图，已知四边形ABCD 内一点E ，若EA ＝EB ＝EC ＝ED ，∠BAD ＝70°，则∠BCD ＝________．第8题图9．如图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，与△ABC 的外接圆交于点D. (1)求证：DB ＝DC ；(2)若过D 作DP⊥AC 于点P ，DQ ⊥BA 于点Q ，求证：△CDP≌△BDQ.第9题图10．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D. (1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)连结CD ，设∠CDB ＝α，∠ABC ＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．B 组 自主提高8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )第11题图A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°12．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD 的度数为________．第12题图13．如图所示，AB ＝AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE. (1)试判断DE 与BD 是否相等，并说明理由； (2)如果BC ＝6，AB ＝5，求BE 的长．第13题图C组综合运用14.如图，正方形ABCD，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P.(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系？(2)判断点P，F，A，B共圆吗？(3)直接写出∠FPA相等的角．(4)求证：AP＝AB.第14题图3．6 圆内接四边形【课堂笔记】 1．互补 【课时训练】 1－4.BCBA 5. 125 6. 矩形 7.110° 8.110°9．(1)∵AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC ＝∠DAE.∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠DCB ＝∠DAE，∵∠DAC ＝∠DBC，∴∠DCB ＝∠DBC，∴DB ＝DC ； (2)∵AD 平分∠EAC，DP ⊥AC ，DQ ⊥BA ，∴DP ＝DQ ，又∵DB＝DC ，∴△CDP ≌△BDQ(HL)．10．(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED＝90°；④∠BOD ＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC·OE；⑨△BOD 是等腰三角形等； (2)α与β的关系式主要有如下两种形式：①α－β＝90°.证明如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠ABC＝90°①.又∵四边形ACDB 为⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠CDB＝180°②.②－①，得∠CDB－∠ABC＝90°，即α－β＝90°. ②α>2β.证明如下：∵OD＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠OBD＝∠ABC＋∠CBD，∴∠ODB>∠ABC.∵OD ⊥BC ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴∠CDO ＝∠ODB＝12∠CDB ，∴12∠CDB>∠ABC ，即α>2β.11．B 12．60°13．(1)连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD⊥BC，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD，即∠EAD＝∠BAD，∴DE ＝BD ； (2)∵AD⊥BC，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴ADAB 2－BD 2＝4，∵S △ABC ＝12×BC ·AD ＝12AC ×BE ，∴12×6×4＝12×5×BE ，∴BE ＝245.14．(1)BE ＝CF ，BE ⊥CF ，理由：证△BCE≌△CDF(SAS)得BE ＝CF ，∠CBE ＝∠DCF，∵∠DCF ＋∠BCF＝90°，∴∠CBE ＋∠BCF＝90°，即BE⊥CF； (2)点P ，F ，A ，B 共圆．理由：∵BE⊥CF，∠A＝90°，∴点P，F，A，B共圆．(3)∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC.(4)证明：∵∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC，∴∠APB＝90°－∠FPA＝90°－∠EBC＝∠ABP，∴AP ＝AB.。

3.6 圆内接四边形一．选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O上，∠A＝60°，则∠BCD的度数是（）A．15°B．30°C．60°D．120°2．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（）A．70°B．35°C．40°D．20°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（）A．18°B．20°C．25°D．40°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．75°D．130°8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝125°，则∠BOD的度数为（）A．55°B．65°C．110°D．125°9．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数分别为60o、80o、120o，则∠D的度数为（）A．60o B．80o C．100o D．120o10．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．110°C．130°D．140°二．填空题11．在图中四边形ABCD的四个顶点都在圆上，我们称这样的四边形叫做，那么BD 所对的圆周角是，圆心角是；优弧BAD所对的圆周角是；圆心角是由于两个圆心角的和是，所有∠A+∠C＝．12．如果四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D＝．13．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°．若点E在上，则∠E ＝°．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝°．15．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连结AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．三．解答题16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．17．四边形ABCD、ABEF都是⊙O的内接四边形，AD∥BE，CD∥EF，AD与EF交于点G．求证：AF∥BC．为了证明结论，小明进行了探索．请在下列框图中补全他的证明思路：小明的证明思路要证AF∥BC，只要证∠CBA+∠F AB＝180°．由已知条件①，易证∠FEB+∠F AB＝180°，故只要证②，由已知条件AD∥BE，易证③，故只要证∠CBA＝∠DGE．由已知条件四边形ABCD是⊙O的内接四边形，CD∥EF，易证∠CDA+CBA＝180°，④，即可得证．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．19．（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD＝180°，∠DCE＝∠A．（2）依已知条件和（1）中的结论：①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，故选：D．2．解：如图，连接DE，∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BED＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠BED＝70°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，故选：D．3．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝80°，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠ABC＝90°，∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，∵在同圆或等圆中，圆周角是所对弧的圆心角的一半，∴∠BOE＝2∠BCE＝20°，故选：B．4．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．6．解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．7．解：∵BC＝CD，∴＝，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠DAB＝50°，∴∠CAB＝×50°＝25°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣25°＝65°，故选：B．8．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝125°，∴∠C＝180°﹣∠A＝55°，∴∠BOD＝2∠A＝110°，故选：C．9．解：在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴∠D＝360°﹣60°﹣80°﹣120°＝100°，故选：C．10．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，故选：B．二．填空题11．解：在图中四边形ABCD的四个顶点都在圆上，我们称这样的四边形叫做圆内接四边形，那么BD所对的圆周角是∠BCD，圆心角是∠BOD；优弧BAD所对的圆周角是∠BAD；圆心角是∠BOD由于两个圆心角的和是180°，所有∠A+∠C＝180°．故答案是：圆内接四边形；∠BCD；∠BOD；∠BAD；∠BOD；180°；180°．12．解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，即x+3x＝180，∴x＝45°，∴∠A＝45°，∠B＝90°，∠C＝135°，∴∠D＝90°．故答案为90°．13．解：∵∠C+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣110°＝70°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝（180°﹣70°）＝55°，∵四边形ABDE为圆的内接四边形，∴∠E+∠ABD＝180°，∴∠E＝180°﹣55°＝125°．故答案为125．14．解：如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，又∵△AOC为等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，故答案为64．15．解：如图，连接AC，BD．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．故答案为8．三．解答题16．（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．17．解：①∠FEB与∠F AB分别是与所对圆周角，与组成圆周，其圆心角之和为360°，故∠FEB+∠F AB＝180°，此处应填ABEF是⊙O内接四边形；②∵∠FEB+∠F AB＝180°，要证∠CBA+∠P AB＝180°，只需证∠FEB＝∠CBA，故此处填∠CBA＝∠FEB；③AD∥BE，内错角相等，即∠FEB＝∠DGE；④已证∠CDA+∠CBA＝180°，要证∠CBA＝∠DGE，只需证∠CDA+∠DGE＝180°．故答案为：①四边形ABEF是⊙O内接四边形；②∠CBA＝∠FEB；③∠FEB＝∠DGE；④∠CDA+∠DGE＝180°18．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．19．解：（1）连接AC，BD，则：∠1＝∠4，∠2＝∠7，∠3＝∠6，∠5＝∠8，∴∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8＝2（∠1+∠2+∠5+∠6）＝360°，∴∠1+∠2+∠5+∠6＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°；∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠A；（2）①连接DE，∵∠A+∠BED＝180°，∠BDE＞∠BCD，∴∠A+∠BCD＜180°；②延长DC交⊙O于点E，连接BE，∵∠A+∠E＝180°，∠BCD＞∠E，∴∠A+∠BCD＞180°．。

圆内接四边形1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°【变式1】如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（）A．B．C．D．【变式2】如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A．40°B．60°C．70°D．80°【变式3】四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【变式4】已知圆内接四边形ABCD，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（）A．1：2：2：3B．2：2：3：1C．3：6：5：2D．2：3：2：32如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠BCE=65°，则∠BOD的大小为（）A．65°B．115°C．130°D．135°【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．40°【变式2】如图，圆内接四边形ABDC，延长BA和DC相交于圆外一点P，∠P=30°，∠D=70°，则∠ACP=．【变式3】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）当∠E=∠F时，则∠ADC=°；（2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．3如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，4），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．5B．4C．3D．4【变式1】四边形ABCD内接于⊙O，∠A的度数是x，∠C的度数是y，则y与x的函数图象是（）A．B．C．D．【变式2】如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=150°．（1）求证：AB为⊙C直径；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．4如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，=，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE=3，DE=，求∠ABC的度数．【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；（2）若AC=EC，求证：AD=BE．【变式2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．【变式3】已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D=90°，P为上一动点（不与点C，D重合）．（1）若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O的半径；（2）若∠A=90°，=，求证：PB﹣PD=PC．【变式4】研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，己知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD（1）求证：AB=CD；（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．【变式5】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，E在弧AD上一点．（1）若∠C=110°，求∠E的度数；（2）若∠E=∠C，求证：△ABD为等边三角形．【变式6】如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．（1）若BC=DC，∠CBD=39°，求∠BCD的度数；（2）若在AC上有一点E，且EC=BC=DC，求证：∠1=∠2．【变式7】如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．【变式8】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．求证：DB=DC．【变式9】我们学过圆内接三角形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，下面我们来研究它的性质．（I）如图（1），连接AO、OC，则有，．∵∠1+∠2=360°∴，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圆内接四边形对角（相对的两个角）互补．（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角，请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．（III）应用：请你应用上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，如果DE平分∠FDC，求证：AB=AC．【变式10】如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，，试求⊙O的半径；（3）若点B为的中点，试判断四边形ABCO的形状．【课后练习】1．（朝阳区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．130°2．（门头沟区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上一点，如果⊙O的半径为6，∠BCE=60°，那么的长为（）A．6πB．12πC．2πD．4π3．（丰台区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD的度数是（）A．30°B．60°C．80°D．120°4．（西城区一模）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC=30°，∠CBD=80°，则∠BCD的度数为．5．（海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．6．（159期中）圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A=，∠B=，∠C=，∠D=．7．（人大附期末）如图，ABCD是圆内接四边形，E为DA延长线上的一点，若∠C=45°，AB=，则∠BAD=，点B到AE的距离为．8．（平谷区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．求证：∠A=∠AEB．9．（北达资源期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠OAC=40°，求∠ABC的度数．10．（东城区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD 的度数．。

圆内接四边形练习题一、选择题1. 圆内接四边形的对角和是多少度？A. 90度B. 180度C. 270度D. 360度2. 以下哪个条件不能保证四边形是圆内接四边形？A. 对角互补B. 两组对边分别相等C. 两组对边分别平行D. 两组对角相等3. 如果圆内接四边形的一组对边相等，那么另一组对边也相等吗？A. 是B. 不一定C. 不是4. 圆内接四边形的对角线有什么特点？A. 互相垂直B. 互相平分C. 互相平行D. 互相垂直且平分5. 圆内接四边形中，内角和是多少度？A. 180度B. 360度C. 540度D. 720度二、填空题6. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A+∠C=∠B+∠D，那么四边形ABCD 是________。

7. 圆内接四边形ABCD中，如果AB=CD且AD=BC，那么四边形ABCD是________。

8. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A=∠C，∠B=∠D，那么四边形ABCD 是________。

9. 圆内接四边形ABCD中，如果AC平分BD，那么AC是________。

10. 圆内接四边形ABCD中，如果AC垂直于BD，那么四边形ABCD是________。

三、简答题11. 描述圆内接四边形的性质，并给出证明。

12. 如果圆内接四边形ABCD中，AC和BD互相垂直，那么它们是否一定互相平分？为什么？13. 圆内接四边形ABCD中，如果AB和CD是圆的直径，那么∠A和∠C 有什么关系？14. 给定一个圆内接四边形ABCD，如果∠A=90度，那么四边形ABCD 是什么特殊类型的四边形？15. 圆内接四边形ABCD中，如果AB=CD，那么∠A和∠C之间有什么数量关系？四、计算题16. 在圆内接四边形ABCD中，已知AB=6cm，CD=8cm，且AB和CD是圆的直径，求四边形ABCD的面积。

17. 圆内接四边形ABCD中，已知∠A=60度，∠B=120度，且AC=10cm，求BD的长度。

3.6 圆内接四边形一．填空题1．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；2．（2019•黄石港区校级模拟）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．3．（2019•梧州一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB ＝50°，则∠PBC＝．4．（2019春•市南区校级月考）如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝．5．（2019•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连结AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．二．选择题6．（2019•澄海区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°7．（2019春•江岸区校级月考）在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E．已知BC＝3，CD＝2，则线段CE的长为（）A．B．C．D．8．（2019•嘉祥县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°9．（2018•港南区三模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD．∠GBC＝50°．则∠ABD的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°10．（2019•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，．若∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，则下列等式成立的是（）A．AB＝CD B．AB＝CD C．AB＝CD D．AB＝CD11．（2019•长春模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结OA、OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D的大小为（）A．50°B．60°C．80°D．120°12．（2018秋•滨江区期末）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．135°13．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°14．（2019•凤翔县二模）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝6，则⊙O的半径长为（）A．B．C．D．315．（2018秋•四会市校级期中）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，＝，若∠AOB＝58°，∠BDC＝（）A．29°B．58°C．116°D．120°三．解答题16．（2019•鼎城区四模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．17．（2017秋•中山区期末）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．18．（2018秋•盐都区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，∠1＝∠2，EC＝BC．（1）若∠CBD＝39°，求∠CAD的度数；（2）求证：BC＝CD．19．（2017秋•台安县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数．20．（2019•大连一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE．（1）求证：四边形AOCD是菱形；（2）若AD＝6，求DE的长．参考答案一．填空题1．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为100°；【思路点拨】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．【答案】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°【点睛】考查圆内接四边形的外角等于它的内对角．2．（2019•黄石港区校级模拟）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．【思路点拨】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD＝AB可得出△ABD是等边三角形，则DE＝AD，∠ODE＝∠ADB＝30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【答案】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°．∵AD＝AB＝2，∴△ABD是等边三角形．∴DE＝AD＝1，∠ODE＝∠ADB＝30°，∴OD＝＝．故答案为【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．3．（2019•梧州一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB ＝50°，则∠PBC＝25°．【思路点拨】根据平行线的性质得到＝，得到∠PBC＝∠PCB，根据三角形的外角性质计算即可．【答案】解：∵AD∥BC，∴＝，∴∠PBC＝∠PCB，∵∠APB＝50°，∴∠PBC＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．4．（2019春•市南区校级月考）如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝60°．【思路点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【答案】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝135°，有三角形的外角性质可知，∠EDC＝∠BCD﹣∠E＝105°，∴∠F＝∠EDC﹣∠A＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形的外角性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5．（2019•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连结AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为8．【思路点拨】如图，连接AC，BD．由△ABC≌△ADE（SAS），推出∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，推出S四边形ABCD＝S△ACE，由此即可解决问题；【答案】解：如图，连接AC，BD．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠ADC＝18°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．故答案为8．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．二．选择题6．（2019•澄海区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°【思路点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可．【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝55°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝55°，∴∠DAC＝70°，由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．7．（2019春•江岸区校级月考）在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E．已知BC＝3，CD＝2，则线段CE的长为（）A．B．C．D．【思路点拨】作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，则BM∥DN，由平行线得出△BME∽△DNE，得出＝，求出∠CBM＝∠CDN＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝BC＝，CN＝CD＝，BM＝CM＝，DN＝＝，求出MN＝CM﹣CN＝，得出＝，因此EN＝MN＝，即可得出结果．【答案】解：作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，如图所示：则BM∥DN，∴△BME∽△DNE，∴＝，∵∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠CBM＝∠CDN＝30°，∴CM＝BC＝，CN＝CD＝，∴BM＝CM＝，DN＝＝，∴MN＝CM﹣CN＝，∴＝，∴EN＝MN＝，∴CE＝CN+EN＝+＝；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题关键．8．（2019•嘉祥县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【思路点拨】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．9．（2018•港南区三模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD．∠GBC＝50°．则∠ABD的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°【思路点拨】根据四点共圆的性质得：∠GBC＝∠ADC＝50°，由垂径定理得：，则∠DBC＝2∠EAD＝80°，从而求得∠ABD的度数．【答案】解：如图，∵A、B、D、C四点共圆，∴∠GBC＝∠ADC＝50°，∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD＝90°﹣50°＝40°，延长AE交⊙O于点M，∵AO⊥CD，∴，∴∠DBC＝2∠EAD＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠GBC﹣∠CBD＝50°．故选：A．【点睛】本题考查了四点共圆的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题．10．（2019•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，．若∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，则下列等式成立的是（）A．AB＝CD B．AB＝CD C．AB＝CD D．AB＝CD【思路点拨】如图设AC交BD于K．首先证明△CBK的Rt△，∠BCK＝30°，推出KC＝BK，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【答案】解：如图设AC交BD于K．∵＝，∴∠ACD＝∠BDC＝∠BAC＝45°，∴∠DKC＝90°，∵∠BAC＝∠DCK＝45°，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝105°，∴∠DCB＝75°，∠ACB＝30°，∵∠CKB＝90°，∴CK＝BK，∵∠KAB＝∠KDC，∠AKB＝∠DKC，∴△AKB∽△DKC，∴＝，∴AB＝AB，故选：B．【点睛】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．（2019•长春模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结OA、OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D的大小为（）A．50°B．60°C．80°D．120°【思路点拨】利用圆周角定理和圆内接四边形的性质结论．【答案】解：∵四边形内接于⊙O，∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADC+∠ABC＝∠AOC+∠ABC＝180°．又∠AOC＝∠ABC，∴∠AOC＝120°．∴∠D＝60°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的计算，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数，从而得到∠AOC＝∠ABC＝120°，从而得出劣弧AC的长．12．（2018秋•滨江区期末）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．135°【思路点拨】利用圆内接四边形的对角互补得到∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2，然后计算∠D的度数．【答案】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2，而∠B+∠D＝180°，∴∠D＝×180°＝90°．故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．13．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【思路点拨】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【答案】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．14．（2019•凤翔县二模）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝6，则⊙O的半径长为（）A．B．C．D．3【思路点拨】连接BD，作直径BE，连接DE，根据圆内接四边形的性质求出∠A，得到△ABD为等边三角形，求出BD，根据正弦的定义计算即可．【答案】解：连接BD，作直径BE，连接DE，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，又AB＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝6，由圆周角定理得，∠E＝∠A＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴BE＝＝4，∴⊙O的半径长为2，故选：A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（2018秋•四会市校级期中）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，＝，若∠AOB＝58°，∠BDC＝（）A．29°B．58°C．116°D．120°【思路点拨】连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠COB＝∠AOB＝58°，根据圆周角定理计算即可．【答案】解：连接OC，∵＝，∴∠COB＝∠AOB＝58°，由圆周角定理得，∠BDC＝∠BOC＝29°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．三．解答题16．（2019•鼎城区四模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．【思路点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数，根据圆周角定理计算即可．【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，∴∠ABC＝40°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝80°，【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．17．（2017秋•中山区期末）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）延长BO交⊙O于E，连接CE，根据圆周角定理得到∠E＝∠BAC＝60°，根据正弦的概念计算即可．【答案】解：（1）△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）延长BO交⊙O于E，连接CE，由圆周角定理得，∠E＝∠BAC＝60°，∴BE＝＝4，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的判定，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．18．（2018秋•盐都区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，∠1＝∠2，EC＝BC．（1）若∠CBD＝39°，求∠CAD的度数；（2）求证：BC＝CD．【思路点拨】（1）直接利用圆周角定理得出答案；（2）直接利用圆周角定理以及三角形外角的性质分析得出答案．【答案】（1）解：∵∠CBD＝39°，∴∠CAD的度数为：39°（同圆中，同弧所对圆周角相等）；（2）证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠1+∠CBD＝∠2+∠BAC，∵∠1＝∠2，∴∠CBD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠CBD＝∠BDC，∴BC＝CD．【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形外角的性质，正确应用圆周角定理是解题关键．19．（2017秋•台安县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数．【思路点拨】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．也考查了圆周角定理及三角形外角的性质．20．（2019•大连一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE．（1）求证：四边形AOCD是菱形；（2）若AD＝6，求DE的长．【思路点拨】（1）根据等边三角形的判定和菱形的判定解答即可；（2）根据等边三角形的性质和直角三角形的性质解答即可．【答案】证明：（1）∵点D是AC的中点，连接OD，∴，∴AD＝DC，∠AOD＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴∠AOD＝∠DOC＝60°，∵OC＝OD，∴OA＝OC＝CD＝AD，∴四边形AOCD是菱形；（2）由（1）可知，△COD是等边三角形．∴∠OCD＝∠ODC＝60°，∵CE＝AD，CD＝AD，∴CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝∠OCD＝30°，∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，在Rt△ODE中，DE＝OD•tan∠DOE＝6×tan60°＝6．【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，关键是根据等边三角形的判定和菱形的判定解答．。