论怎样学习数学建模

《数学模型》作业数学学院2006级农村教育硕士题目：1．仿照波利亚《怎样解题》，论述怎样学习数学建模，用恰当的例子加以说明。

（建立数学模型的过程，模型准备，模型假设）30分2．自拟题目，建立模型。

28分3．自选三道课后习题（每题各在一章），任意两人允许有一道重复。

14分/题1．论怎样学习数学模型随着科学技术的发展，数学模型在现代社会活动中发挥着重要的作用，数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学，作为认识世界和改造世界的工具，促进了科学技术和生产建设的发展。

当实际问题需要人民对所研究的现实对象提供分析、预测、决策、控制等方面的定量结果时，都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节。

数学模型是指针对或参照某种事物系统的主要特征,用形式化的数学语言,概括或近似地表述出来的一种数学结构.数学建模的一般步骤：第一步，模型准备。

对某个实际问题进行数学建模，通常要先了解问题的实际背景,明确建模的目的.掌握研究对象的这种信息如数据资料等,并弄清对象的特征.为了做好准备,有时要作一番深入细致的调查研究,碰到问题要虚心向有关方面的专家能人请教, 尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，按模型的需要有目的地合理地收集所需数据.第二步，模型假设。

一个实际问题会涉及到很多因素，如果把涉及的所有因素都考虑到，既不可能也没必要，而且还会使问题复杂化导致建模失败。

要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设，根据实际对象的特性和建模目的,在掌握必要资料的基础上,对问题进行必要的简化, 去除一些次要因素，并且用精确的语言作出假设，初步确定描述问题的变量及相互关系。

假设作的不合理或过分简单,会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改和补充假设;假设作得过于详细，考虑因素过多，会使模型太复杂而无法进行下一步工作;所以,要抓住主要因素,去除次要因素,尽量将问题均匀化，线性化. 为数学建模带来方便使问题得到解决。

第三步，模型建立。

根据所作的假设,选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等），在建模时究竟采用什么数学工具要根据问题的特征，建模的目的要求及建模者的数学特长而定.数学的任一分支在建立各种数学模型时都可能用到,而同一实际问题也可采用不同的数学方法建立起不同的数学模型. 在保证精度的条件下尽量采用简单的数学工具,以便得到的模型被更多的人了解和使用.第四步，模型求解。

根据采用的数学工具, 在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，有些可以用计算机软件来做这些工作，要求建模者掌握相应的数学知识,尤其是计算机技术、计算技巧.第五步，模型分析。

建模的目的是解释自然现象、寻找规律以解决实际问题。

要达到此目的，还要对获得结果进行数学上的分析，有时是根据问题的性质,分析各变量之间的依赖关系或稳定状态;有时是根据所得结果给出数学上的预测;有时是给出数学上的最优决策或控制.第六步，模型检验及修改。

将模型分析的结果回到实际对象中用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性及检验模型的正确性.一个较成功的模型可以对实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报。

如果检验结果与实际不符部分不符,并且肯定地建模和求解过程无误的话一般讲,问题出现在模型假设上,就应当修改或充假设,重新建模.如果检验结果正确,满足问所要求的精度,认为模型可用,便可进行型应用了.下面以最优价格给例加以说明问题描述：在工厂产品的产量等于市场上的销售量（产销平衡）的状态下，厂家可以根据产品成本和销售情况指定商品的最优价格。

模型假设：利润是销售支出与生产支出之差，设每件产品售价为p,成本为q,售量为x ，则总收入与总支出分别为I=px ， C=qx模型建立：在市场竞争的情况下售量x 依赖价格p ，x=f(p) (3),f 为需求函数，无论成本q 是否与 x 有关，收入I 和支出C 都是价格p 的函数，利润U 可以表示为U(p)=I(p)-C(p).模型求解：使利润U （p ）达到最优价格 p * ，即**pp P P dp dC dP dI === ，最大利润在边际收入等于边际支出时达到。

设需求函数f(p)是最简单的线性函数，f(p)=a-bp,a,b>0,并且每件产品的成本q 与产量x 无关，则可求得利润最大的p * =b a q 22+。

模型分析：在上式p * =b a q 22+中，a 可以理解为这种产品免费提供时社会的需求量，即“绝对需求量”，b=dp dx- 表示价格上涨一个单位销售量下降的幅度，反映了市场需求对价格的敏感程度。

模型检验：验证模型所得的结果，在实际工作中，a,b 可由价格p 和销售量x 来确定，最优价格是两部分之和，一部分是成本q 的一半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比。

2．自拟题目，建立模型合理设计开水房的数学模型我校（者东镇中）在校学生293人，有一个开水房供应开水，时间为9：00—10：00，共有3个水龙头，学生在大约1m 2的面积供排队打水，开水锅炉的容量很小，大约可以装100壶，开水的流两也很小，经常导致学生排队等了好长时间，最后却没有打到开水，在不浪费资源的情况下，如何设计才合理？模型假设：（1）水房开放的时间是有限的，学生是有限的，在天冷的时候，有水两会稍微增加一些，每个学生到来且相互独立，不考虑出现高峰期和空闲期的可能。

（2）排队方式是单一队列的等待制，先到先服务。

（3）顾客流满足参数为λ的泊松分布，其中A 是单位时间到达顾客的平均数。

（4）水房的3个水龙头服务时间是相同的，均值和方差分别为t 和δ，平均服务的时间是正在服务水龙头的个数m 的函数t =t （m ）。

存在一个临界值m 0,当m ≤m 0时，总管道可以向水龙头充分供水，t （m ）=t 0为常数，当m ﹥m 0时，总管向龙头供水不足，于是，t （m ）﹥t 0且是 m 的单调增函数。

模型建立：设m ≤m 0，对t （m ）=t 0 ；m 0﹤m ≤c,有t （m ）=00t m m ，即全部m 个服务台单位时间服务00t m 个人，与m 0个水龙头同时服务是一样的。

v d v d m 22210ππ=，d 1和d 2 分别表示水龙头和总水管的直径，在供水充足的条件下，各水龙头的流速与总管中水的流速是相同的。

21220d d m =.根据模型求解该系统如下的指标：系统中平均顾客数，系统中平均正在排队的顾客数，顾客在系统内的平均逗留时间，顾客平均排队等待的时间，系统内服务台空闲的概率。

令c t /λ= ，表示单位时间中系统可以为顾客服务的时间比例，在 ﹤1的条件下进行。

3．自选三道课后习题1．第二章第7题。

在超市购物时你注意到大包商品比小包商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格是1.2:1。

试用比例方法构造模型结实这个现象。

（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有的与w 无关的因素。

（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小，解释实际意义是什么。

解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正比的部分，上述三种成本都含有与w,s 均无关的成分，又因为形状一定时有3/2w s ∝，故商品的价格可表为C=的数）为大于0,,(3/2γβαγβα++w w 。

（2）单位重量价格13/1--++==γωβωαωCc ，c 是ω的减函数，说明大包装比小包装的包装的商品。

2.第四章第3题。

某储蓄所每天营业时间是上午9：00到下午5：00，根据经验，每天9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间，储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。

问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？解：设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以12：00～1：00为午餐时间的有x 1名，以1:00为午餐时间的有x 2名，半时服务员中从9:00,10:00,11:00,12:00,1:00开始工作的分别为y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 ,y 5名。

列出模型Min 100x 1+100x 2+40y 1+40y 2+40y 3+40y 4+40y 5s.t x 1+x 2+y 1≥4x 1+x 2+y 1+y 2≥3x 1+x 2+y 1+y 2+y 3≥4x 2+y 1+y 2+y 3+y 4≥6x 1+y 2+y 3+y 4+y 5≥5x 1+x 2+y 3+y 4+y 5≥6x 1+x 2+y 4+y 5≥8x 1+x 2+y 5≥8y 1+y 2+y 3+y 4+y 5≤3x 1,x 2,y 1,y 2,y 3,y 4,y 5≥0且为整数求解得到最优解x 1=3,x 2=4,y 1=0,y 2=0,y 3=2,y 4=0,y 5=1,最小费用为820元。

如果不能雇佣半时服务员，则最优解为x 1=5,x 2=6,y 1=0,y 2=0,y 3=0,y 4=0,y 5=0，最小费用为1100元，即每天至少要增加1100-820=280元。

如果雇佣半时服务员的数量没有限制，则最优解为x 1=0,x 2=0,y 1=4,y 2=0,y 3=0,y 4=2,y 5=8，则最小费用为560元，即每天可以减少820-560=260元。

3．第九章第4题。

某商店要订购一批商品零售，设购进价为c 1，售出价为c 2,订购费c 0（与数量无关），随机需求量r 的概率密度为p(r) ,每件商品的储存费为c 3 （与时间无关）。

问如何订购量才能使商品的平均利润最大，这个平均利润是多少，为使这个平均利润为正值，需要对订购费加什么限制？解：设订购量为u,则平均利润为])()([))()(()(031002⎰⎰⎰-++-+=∞u u u dr r p r u c u c c dr r up dr r rp c u J =⎰-+---udr r p r u c c c u c c 032012)()()()(U 的最优值u *满足⎰+-=*03212)(u c c c c dr r p最大利润为0032**)()()(c dr r rp c c u J u -+=⎰ . 为了使这个利润为正值，应有⎰+<*0320)()(u dr r rp c c c .。