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递归算法 ppt课件

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14
int fib(int n) { if (n==0) return 0; if (n==1) return 1; return (fib(n-1)+fib(n-2)); }
输入 15 输出 fib(15)=610
//满足边界条件，递归返回 //满足边界条件，递归返回 //递归公式，进一步递归
//调用下一层递归
}

int main()
{
int n,k;

cin >> n >> k;

cout << s(n,k);

return 0;
}
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【例6】数的计数(Noip2001)
【问题描述】
我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数n）。先输入一 个自然数n（n≤1000），然后对此自然数按照如下方法进行处理：
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9
假设把第3步，第4步，第7步抽出来就相当于N=2的情况（把上面2片 捆在一起，视为一片）：
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所以可按“N=2”的移动步骤设计：
①如果N=0，则退出，即结束程序;否则继续往下执行;
②用C柱作为协助过渡，将A柱上的（N-1）片移到B柱上，调用过程mov(n-1,
a,b,c);
本题是典型的递归程序设计题。 (1)当N=1 时，只有一个盘子，只需要移动一次:A—>C; (2)当N=2时，则需要移动三次：
A------ 1 ------> B, A ------ 2 ------> C, B ------ 1------> C. (3)如果N=3，则具体移动步骤为：
《c语言递归算法》课件

《c语言递归算法》课件

《C语言递归算法》PPT 课件
C语言递归算法是一种强大的编程技巧，通过函数自身调用实现问题的解决。 本课件将介绍递归算法的概念、实现方式、应用场景、优缺点以及与循环的 区别，同时还会通过案例演示帮助理解。
什么是递归算法？
基本概念
递归是指函数直接或间接地调用自身的过程。
递归特点
递归算法需要有基准条件和递推关系，用于结 束递归和推进递归过程。
递归算法的实现方式
递归函数
通过函数自身调用实现递归，需要定义递归函数和 递归终止条件。
递归流程图
通过流程图展示递归算法的执行过程，帮助理解递 归逻辑。
递归算法的应用场景
1 数学计算
递归算法可以用于解决数学问题，如斐波那契数列、阶乘等。
2 数据结构
递归算法在树、图等数据结构的遍历和搜索中有广泛应用。
递归算法的优点和缺点
优点
• 简化问题复杂度 • 代码结构清晰
缺点
• 执行效率较低 • 内存占用较高
递归算法与循环的区别
1
循环
2
迭代操作
3
递归
函数自身调用
区别
递归更直观，但消耗资源较多；循环更 高效，但代码可读性差。
递归算法的注意事项
1 递归终止条件
保证递归过程能够结束，否则可能导致死循 环。
2 堆栈溢出
过深的递归调用可能导致堆栈溢出，需要注 意递归深度。
递归算法的案例演示
斐波那契数列
通过递归实现斐波那契数列的计算。
二叉树遍历
通过递归遍历二叉树的各种方式。
教科版选修1《递归法》ppt课件

教科版选修1《递归法》ppt课件

题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法 设计程序
递归法的归纳2：
递归算法所体现的“重复”一般有三个要求： 一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)； 二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为
后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的 输入)； 三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不 再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件 的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条 件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。
• 注意：必须要有一个结束递归的条件，不 得无限递归。
分析步骤：
• 1.决定问题规模的参数。 • 2.问题的边界条件及边界值。 • 3.解决问题的通式。
例:计算一个数的阶乘
• 1!=1 • 2!=1*2 • 3!=1*2*3 • 4!=1*2*3*4 • 5!=1*2*3*4*5 • ……. • n!=1*2*3*4*5*….*n
函数是为了实现某种功能而编写的一段相对独立 的程序。
• 标准函数
Abs( ) 、len( )、mid( )、chr( )、asc( )……
• 自定义函数
自定义函数是指我们自己编写的函数。
自定义函数:
• 在VB中，自定义函数形式如下： • [Public|Private] Function <函数名称> ([参数列表]) [As
f(1)=1 f(2)=f(1)*2 f(3)=f(2)*3 f(4)=f(3)*4 f(5)=f(4)*5 …….. f(n)=f(n-1)*n
递归函数求5！
• Public Function s(n As Integer) As Long
• If n = 1 Then
• s =1
• Else
八、递归ppt

八、递归ppt


递归函数的设计 Hanoi塔问题 结束条件：只有一块盘子，将这一盘子直接送到柱C 递归过程：用C柱过渡，将A柱上的盘子送到柱B 直接把A柱上最后一个盘子移到C 将A柱为过渡， 将B柱上(n-1)个盘子移到C void Honoi (int t, string A, string B, string C) { if (n = = 1) cout<<“move”<<A<<“to”<<C<<endl else { hanoi( n – 1, A, C, B); cout<<“move”<<A<<“to”<<C<<endl; hanoi( n – 1, B, A, C); } }
递归的定义
若一个对象部分地包含它自己，或用它自己给自己下定义，称这 个对象是递归的；若一个过程直接地或间接地调用自己，则称这 个过程是递归的过程。 long Fractorial(long n) { if (n = = 0) return 1; else return n﹡fractorial(n-1); } 用递归的情况 ⑴定义是递归的； ⑵数据结构是递归的； 如：①一个结点，其指针域为NULL，是一个单链表； ②一个结点，其指针域指向一个单链表，仍是一个单链表。 ⑶问题的解法是递归的。
3、递归过程与递归工作栈 下图反映了阶乘函数计算函数调用过程 4! = 4 ×3! 参数 0 = 4 ×(3 ×2!) = 4 ×(3 ×(2 ×1!)) 参数 = 4 ×(3 ×(2×(1×0!))) 1 = 4 ×(3 ×(2×(1×1))) 参数 2 = 4 ×(3 ×(2×1)) = 4 ×(3 ×2) 参数 3 = 4 ×6 参数 = 24
递归算法课件

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问题： 输入之后， 问题：当n，m输入之后，找出一条从左下角到右上角的路径。 ， 输入之后 找出一条从左下角到右上角的路径。 若不存在路径，则输出“ＮＯ” 若不存在路径，则输出“ＮＯ”． 样例 输入： 输入：4 3 输出: 输出 0,0 -> 1,2 -> 3,1 ->4,3
const x0:array[1..4]of integer=(1,2,2,1); y0:array[1..4]of integer=(2,1,-1,-2); var m,n,k,i:integer;{k是栈顶指针 是栈顶指针} 是栈顶指针 x:array[0..1000,1..2]of integer;{保存每一跳的位置} integer;{保存每一跳的位置 保存每一跳的位置} y:array[1..1000]of integer;{栈,保存每一跳的方向 保存每一跳的方向} 栈 保存每一跳的方向 function nok(k:integer):boolean;{会不会出界 会不会出界} 会不会出界 var i,j:integer; begin i:=x[k-1,1]+x0[y[k]]; j:=x[k-1,2]+y0[y[k]]; if(i>n)or(j>m)or(j<0) then nok:=true{出界 出界} 出界 else nok:=false; end;
x[k]:=0 end end ; end. 2 1 0 4 3 1 3 0 4 2 0 3 4 1 2 0 2 1
k
例2、数字排列问题
列出所有从数字1到数字 的连续自然数的排列 列出所有从数字 到数字n的连续自然数的排列 要求所产生的 到数字 的连续自然数的排列,要求所产生的 任一数字序列中不能出现重复的数字． 任一数字序列中不能出现重复的数字． 输入： （ 输入：n（1<=n<=9） ） 输出： 组成的所有不重复的数字序列， 输出：由1～n组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列． ～ 组成的所有不重复的数字序列 每行一个序列． 样例 输入： 输入： ３ 输出： 输出： １ ２ ３ １ ３ ２ ２ １ ３ ２ ３ １ ３ １ ２ ３ ２ １
递归算法课件

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写成函数形式，则为：
当n 0时 1 f ( n) n * f (n 1) 当n 0时
这种函数定义的方法是用阶乘函数自己本身定义了 阶乘函数，称上式为阶乘函数的递推定义式。
数学归纳法表明，如果我们知道某个论点对最小的情 形成立，并且可以证明一个情形暗示着另一个情形，那么我 们就知道该论点对所有情形都成立。 数学有时是按递归方式定义的。 例1：假设S（n）是前n个整数的和，那么S（1）= 1，并且 我们可以将S（n）写成S（n）= S（n-1）+ n。 根据递归公式，我们可以得到对应的递归函数： int S(int n) { if (n == 1) return 1; else return S(n-1) + n; } 函数由递归公式得到，应该是好理解的，要想求出S （n），得先求出S(n-1)，递归终止的条件（递归出口）是(n == 1)。
↑
low 第二次: 下标 元素值 0 1 1 3 2 4
↑
mid 3 5 4 17 5 18 6 31
↑
high 7 33
↑
low 第三次: 下标 元素值 0 1 1 3 2 4 3 5 4 17
↑
mid 5 18 6 31
↑
high 7 33
↑
low high mid
• Public static void main(String args[]) •{ • int[] shus={1,3,4,5,17,18,31,33};
求Fib(5)的递归计算过程如图所示。
Fib(5) Fib(4) Fib(3) Fib(2) Fib(1) Fib(2) Fib(3) Fib(2) Fib(1) Fib(0)
Fib(1) Fib(0) Fib(1)
高中信息技术课件：递归算法 (共19张PPT)

高中信息技术课件：递归算法 (共19张PPT)


(3)编写程序 窗ຫໍສະໝຸດ 中开设一个文本框Text1用于填 人月数N，设置命令框Commandl，点击 它即执行程序求出第N月的兔子数。然后用 文本框Text2输出答案。
根据递推式可以写出递归程序如下：
Function Fib(ByVal N As Integer) As Long If N < 3 Then Fib = 1 Else Fib = Fib(N - 1) + Fib(N - 2) End Function Private Sub Command1_Click() N = Val(Text1.Text) Text2.Text = "第" & N & "月的兔子数目是：" & Fib(N) End Sub
递 归 算 法
什么是递归算法?
递归算法：是一种直接或者间接地调 用自身的算法。在计算机编写程序中，递 归算法对解决一大类问题是十分有效的， 它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
斐波那契的兔子问题
某人有一对兔子饲养在围墙中，如 果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子 在第二个月后也是每个月生一对兔子，问 一年后围墙中共有多少对兔子。
算法:
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 输入计算兔子的月份数：n If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1 i=3 c = a + b：a = b：b = c i=i+1,如果i≤n则返回④ 结束
Private Sub Command1_Click() n = Val(Text1.Text) If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1 For i = 3 To n c=a+b a=b b=c Next i Text2.Text = "第" & n & "月的兔子数目是：" &c End Sub
递归及递归算法分析课件

递归及递归算法分析课件

A(1,1)=2故A(n,1)=2*n ❖ M=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和
A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2^n 。
2 222
❖ M=3时，类似的可以推出
n
❖ M=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数 学式子来表示这一函数。
❖
move(a,b);
❖
hanoi(n-1, c, b, a);
❖
}
❖}
❖ T(n)=2T(n-1)+O(1) n≥1
T(n)=2n-1
0
n=0
4
27
简单递归式的求解
1.T(n)=T(n-1)+c1 n>1
c2
n=1
2. T(n)=2T(n/2)+c1 n ≥2
c2
n<2
3. T(n)=2T(n/2)+Θ(n) n ≥2
O(1)
n<2
28
T( n/2 ) + T( n/2 ) + 1
例1 T(n) =
0
(n = 1)
解 ：T(n)=2T(n/2)+1
=22T(n/22)+2+1
=23T(n/23)+22+2+1
令2r=n =2rT(1)+2r-1+。。。+2+1
=(1-2r)/(1-2)=n-1
∴ T( n ) = n - 1
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递归算法的时间复杂度分析
❖ 递归函数求解
简单递归式求解 master method 递推方程的特征方程求解
第6章--函数递推递归(C++版)PPT课件

第6章--函数递推递归(C++版)PPT课件

函数原型和函数定义在返回值类型、函数名和参数个数与类型必 须完全一致，否则，就会发生编译错误。下面对max()函数原型声明 是合法的。
int max（int x, int y）; 也可以：
int max（int , int ）; 可以看到函数原型声明与函数定义时的第一行类似，只多了一个 分号，成为了一个声明语句而已。
• 例6.4 定义一个函数check(n,d)，让它返回一个布尔值。如果数字d 在正整数n的某位中出现则送回true，否则送回false。
• 3．函数的返回值
在组成函数体的各类语句中，值得注意的是返回语句return。它 的一般形式是：
➢ return（表达式）；
其功能是把程序流程从被调函数转向主调函数并把表达式的值带 回主调函数，实现函数的返回。所以，在圆括号表达式的值实际上就 是该函数的返回值。其返回值的类型即为它所在函数的函数类型。当 一个函数没有返回值时，函数中可以没有return语句（在TC++和VC++ ，函数类型定义为void，可以没有return语句；函数类型定义为int ，必须有返回值），直接利用函数体的右花括号“}”，作为没有返 回值的函数的返回。也可以有return语句，但return后没有表达式。 返回语句的另一种形式是：
在一个程序中可以只有主程序而没有子程序(本章以前都是如此) ，但不能没有主程序，也就是说不能单独执行子程序。
在此之前，我们曾经介绍并使用了C++提供的各种标准函数，如 abs(),sqrt()等等，这些系统提供的函数为我们编写程序提供了很大 的方便。比如：求sin(1)+ sin(2)+．．．+sin(100)的值。但这些函 数只是常用的基本函数，编程时经常需要自定义一些函数。
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int Sum(LinkList *head)
{
if (head==NULL)
return 0;
else
return(head->data+Sum(head->next));
}
什么时候使用递归
3. 问题的求解方法是递归的
一个典型的例子是在有序数组中查找一个数据元素是否存 在的折半查找算法
前提：数据是有序排列的；
第二种递归
struct LNode *next;
} LinkList;
该定义中,结构体LNode的定义中用到了它自身,即指 针域next是一种指向自身类型的指针,所以它是一种递 归数据结构。
什么时候使用递归
对于递归数据结构,采用递归的方法编写算法既方便 又有效。例如,求一个不带头结点的单链表head的 所有data域(假设为int型)之和的递归算法如下：
1、递归的概念
递归的定义
▪ 若一个对象部分地包含它自己, 或用它自己给自 己定义, 则称这个对象是递归的；若一个过程直 接地或间接地调用自己, 则称这个过程是递归的 过程。
递归有两种
▪ 直接递归：自己调用自己 ▪ 间接递归：A调用B，B调用A
2、什么时候使用递归？
1. 问题的定义是递归的
有许多数学公式、数列等的定义是递归的。例如,求n!
return mid; else if(x < b[mid])
return bsearch(b, x, L, mid-1); else
return bsearch(b, x, mid+1, R); }
21
什么时候使用递归
折半查找中的递归现象总结
折半查找无非就是三种情况，其中两种情况的问 题解法如果以算法来表示，都存在算法调用自身 的情况。 递归算法的特点就是：将问题分解成为形式上更 加简单的子问题来进行求解。递归算法不但是一 种有效的分析问题方法，也是一种有效的算法设 计方法，是解决很多复杂问题的重要方法。
17
请问： 是否在 此列表当中？
？
不予考虑
正中间 的元素
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void main() {
int b[] = {05, 13, 19, 21, 37, 56, 64, 75, 80, 88, 92};
int x = 21;
printf("x位于数组的第%d个元素\n", bsearch(b, x, 0, 10));
经典故事的程序设计
void Story()
{
运
puts("从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故 事，它讲的故事是：");
getchar();//按任意键听下一个故事的内容
行 程
Story(); //老和尚讲的故事，实际上就是上面那个故事
序
}
函数的功能？ ——输出这个故事的内容，等用户按任意键后，重复的输出这段
内容。我们发现由于每个故事都是相同的，所以出现导致死循 环的迂回逻辑，故事将不停的讲下去。 出现死循环的程序是一个不健全的程序，我们希望程序在满足某 种条件以后能够停下来，正如我们听了几遍相同的故事后会大 叫：“够了！”。 于是我们可以得到下面的程序：
void tell_story( ) {
static int old_monk, young_monk;
基本思路： - 将目标值与数组的中间元素进行比较； - 若相等，查找成功。否则根据比较的结果 将查找范围缩小一半，然后重复此过程。
请问： 是否在 此列表当中？
14
请问： 是否在 此列表当中？
数组正 中间的 元素。
15
请问： 是否在 此列表当中？
不予考虑
16
请问： 是否在 此列表当中？
正中间 的元素
f(n)=
n*f(n-1)
当n>0时
第一种递归
也就是说，函数f(n)的定义用到了自己本身f(n－1)
什么时候使用递归
2. 数据结构是递归的
有些数据结构是递归的。例如,第2章中介绍过的单链表 就是一种递归数据结构,其结点类型定义如下：
typedef struct LNode
{
ElemType data;
第二章 递归算法
主要内容
➢ 1、递归的概念 ➢ 2、递归算法的设计方法 ➢ 3、递归算法的执行过程 ➢ 4、递归算法的效率分析
递归概念的引入
一个小故事： 山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在
讲故事，它讲的故事是：山上有座庙，庙 里有个老和尚，老和尚在讲故事，它讲的 故事是：…… 小故事的特点？
old_monk = old_monk + 1; // 年龄大了一岁
young_monk = young_monk + 1;
if(old_monk <= 60)
// 递归形式
tell_story ( );
else
printf("对不起，已退休！"); // 递归边界
}
6
1、递归的概念
递归的定义 什么时候使用递归 递归的分类 递归模型的概念
和Fibonacci数列等。这些问题的求解过程可以将其递归
定义直接转化为对应的递归算法。
例如：阶乘函数的定义
1
当n=0时
n！=
n*(n-1)*…*1 当n>0时
什么时候使用递归
阶乘的另外一种定义方法
1
n！=
n*(n-1) ！
当n=0时 当n>0时
这时候递归的定义可以用如下的函数表示：
1
当n=0时
}
如何用递归来实现？
19
问题分析
1. 函数原型： int bsearch(int b[], int x, int L, int R);
2. 递归的形式？ 3. 递归的边b[], int x, int L, int R) {
int mid;
if(L > R) return(-1); mid = (L + R)/2; if(x == b[mid])
由经典故事到程序设计
就象上面的故事那样，故事中包含了故事本身——自己调用自己。 程序设计中函数的出现——因为对自身进行调用，所以需对程序段进
行包装，也就出现了函数。 函数的利用是对数学上函数定义的推广，函数的正确运用有利于简化
程序，也能使某些问题得到迅速实现。对于代码中功能性较强的、重 复执行的或经常要用到的部分，将其功能加以集成，通过一个名称和 相应的参数来完成，这就是函数或子程序，使用时只需对其名字进行 简单调用就能来完成特定功能。 例如我们把上面的讲故事的过程包装成一个函数，就会得到：