11_分类加法计数原理和分布乘法计数原理_

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 培养学生运用计数原理解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过合作交流，提高思维能力和创新能力。

二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）了解分类加法计数原理的概念。

（2）学会运用分类加法计数原理解决问题。

2. 分步乘法计数原理：（1）了解分步乘法计数原理的概念。

（2）学会运用分步乘法计数原理解决问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）分类加法计数原理的应用。

（2）分步乘法计数原理的应用。

2. 教学难点：（1）理解分类加法计数原理的含义。

（2）理解分步乘法计数原理的含义。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究。

2. 运用实例分析，让学生直观理解计数原理。

3. 组织小组讨论，培养学生合作交流能力。

五、教学准备1. 课件、黑板、粉笔等教学工具。

2. 相关实例和练习题。

教案内容：一、分类加法计数原理1. 导入：通过生活中的实例，如“统计班级男生女生人数”，引出分类加法计数原理。

2. 讲解：解释分类加法计数原理的概念，即把总数分成几个部分，分别计算每个部分的数量，再相加得到总数。

3. 练习：让学生运用分类加法计数原理解决实际问题，如“统计学校三个年级的学生总数”。

二、分步乘法计数原理1. 导入：通过实例“做一批玩具，每组有5个，一共要做3组”，引出分步乘法计数原理。

2. 讲解：解释分步乘法计数原理的概念，即每步的数量相乘得到最终结果。

3. 练习：让学生运用分步乘法计数原理解决实际问题，如“做一批玩具，每组有5个，一共要做4组，需要多少个玩具？”教学过程：一、分类加法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如统计人数、物品数量等。

2. 讲解分类加法计数原理的概念和步骤。

3. 让学生举例说明并计算。

二、分步乘法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如制作玩具、做饭等。

2. 讲解分步乘法计数原理的概念和步骤。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 让学生学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）概念介绍：同一类对象的数量相加得到总数。

（2）实例讲解：学校举办运动会，参加跑步的有20人，参加跳高的有15人，参加跳远的有10人，请问参加运动会的总人数是多少？a. 班级里有男生30人，女生20人，请问班级里总共有多少人？b. 图书馆里有小说50本，科普书籍30本，请问图书馆里总共有多少本书？2. 分步乘法计数原理：（1）概念介绍：完成一项任务需要多个步骤，每个步骤的数量相乘得到总数量。

（2）实例讲解：做一份报纸，需要先排版（10分钟），印刷（20分钟），装订（10分钟），请问完成这份报纸需要多长时间？a. 制作一个蛋糕，需要打发鸡蛋（10分钟），加入面粉和糖（5分钟），烘烤（20分钟），请问制作一个蛋糕需要多长时间？b. 工厂生产一批玩具，每台机器每小时可以生产10个玩具，共有3台机器工作，请问每小时可以生产多少个玩具？三、教学方法1. 采用讲授法，讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及应用。

2. 利用实例讲解，让学生更好地理解计数原理。

3. 设计练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。

四、教学评价1. 课堂问答：检查学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解。

2. 练习题解答：评价学生运用计数原理解决问题的能力。

3. 课后作业：布置相关题目，让学生进一步巩固所学知识。

五、教学资源1. PPT课件：展示分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及实例。

2. 练习题：提供丰富的练习题，让学生动手实践。

3. 教学视频：可选用的相关教学视频，辅助学生理解计数原理。

4. 黑板、粉笔：用于板书关键词和讲解实例。

六、教学步骤1. 引入新课：通过一个简单的实例，让学生感受分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 分类加法计数原理：定义：如果一个事件可以分成几个互斥的部分，这个事件发生的总次数就等于各部分事件发生次数的和。

公式：P(A) = P(A1) + P(A2) + + P(An)2. 分步乘法计数原理：定义：如果一个事件可以分成几个相互独立的步骤，这个事件发生的总次数等于各步骤事件发生次数的乘积。

公式：P(A) = P(A1) ×P(A2) ××P(An)三、教学重点与难点1. 教学重点：分类加法计数原理的概念和公式。

分步乘法计数原理的概念和公式。

2. 教学难点：如何运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和公式。

2. 运用案例分析法引导学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。

3. 开展小组讨论法，让学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队协作能力。

五、教学步骤1. 导入新课，介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 讲解分类加法计数原理的公式和应用示例。

3. 讲解分步乘法计数原理的公式和应用示例。

4. 开展案例分析，让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。

5. 进行小组讨论，让学生分组讨论和解决问题，分享解题心得。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解程度。

2. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的表现，包括问题解决能力和逻辑思维能力。

3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的参与程度、团队合作能力和问题解决能力。

七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、清晰，是否需要调整或补充。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理首先，让我们介绍一下分类加法计数原理。

分类加法计数原理也被称为分情况计数原理，是指将问题分为几个不同的情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加，得到最终的可能性总数。

为了更好地理解分类加法计数原理，我们举一个例子。

假设我们有三个不同颜色的球，红色、蓝色和黄色，现在要从这三个球中选择两个球。

根据分类加法计数原理，我们可以将这个问题分为三种情况：选择两个红色球、选择一个红色球和一个蓝色球、选择一个红色球和一个黄色球。

然后分别计算出每种情况下的可能性总数，最后将这三种情况的可能性总数相加，即可得到最终的答案。

在这个例子中，我们可以计算出每种情况下的可能性总数。

选择两个红色球有C(3,2)=3种可能；选择一个红色球和一个蓝色球有C(3,1)*C(3,1)=9种可能；选择一个红色球和一个黄色球也有9种可能。

将这三种情况的可能性总数相加，即得到最终的答案，共21种可能的选择方式。

接下来，让我们来介绍一下分步乘法计数原理。

分步乘法计数原理是指将一个问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将各个步骤的可能性数目相乘，得到最终的可能性总数。

同样以一个例子来说明分步乘法计数原理。

假设我们有一个4位数的密码锁，每一位的取值范围是0-9、根据分步乘法计数原理，我们将这个问题分为四个步骤：第一位数字的可能性数目、第二位数字的可能性数目、第三位数字的可能性数目以及第四位数字的可能性数目。

然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘，得到最终的可能性总数。

综上所述，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题中常用的两种方法。

分类加法计数原理适用于将问题分为不同情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加；分步乘法计数原理适用于将问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘。

通过掌握这两种计数原理，我们可以更好地解决各种排列组合问题。

人教A版选修2—3 精讲细练1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、知识精讲.计数原理.计数原理选取对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准, 设计好分类方案，防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤顺序，使各步互不干扰.二、典例细练【题型一】：分类加法计数原理的简单应用例题1:书架上层放有13本不同的数学书，中层放有14本不同的语文书，下层放有15本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？【解析】要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第1类，从上层取一本数学书有13种不同的方法；第2类，从中层取一本语文书有14种不同的方法；第3类，从下层取一本化学书有15种不同的方法.其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事，故从中取一本书的方法种数为13+14+15=42.【点评】分类的原则：标准一致，不重复，不遗漏.变式训练：某校高三共有三个班，其各班人数如下表：(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：第1类，从1班任选一名学生，有50种不同选法；第2类，从2班任选一名学生，有60种不同选法；第3类，从3班任选一名学生，有55种不同选法.由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 50+60+55=165(种)(2)由题设知共有三类：第1类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第2类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第3类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法；由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 30+30+20=80(种).【题型二】：分步乘法计数原理的简单应用例题2:已知集合M= {-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b e M)表示平面上的点，问：⑴点、P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？【解析】:⑴确定平面上的点P(a,b),可分两步完成:第一步确定a的值，有6种不同方法;第二步确定b的值，也有6种不同方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上点P的个数为6x6二36・ (2)确定平面上第二象限内的点P,可分两步完成:第一步确定d的值，由于GV O,所以有3种不同方法;第二步确定方的值，由于b>0,所以有2种不同方法.由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3x2=6.【点评】利用分步乘法计数原理解决问题应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的;⑵各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.变式训练1: (2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )C.|D-4【解析】：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3x3=9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种).故甲、乙两位同学参加同一个兴趣3 1小组的概率P=§=亍变式训练2:现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A. 56B. 65MM 驾4X3X2D. 6x5x4x3x2【解析】：每位同学都有5种选择，则6名同学共有5°种不同的选法，故选A.【题型三】：两个计数原理的综合使用例题3:现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营.(1)若从中选一人作总负责人，共有多少种不同的选法？（2）若每年级各选一名负责人，共有多少种不同的选法？（3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？【解析】（1）从高一选一人作总负责人有50种选法；从高二选一人作总负责人有42种选法；从高三选一人作总负责人有30种选法.由分类加法计数原理，可知共有50+42+30=122种选法.（2）从高一选一名负责人有50种选法；从高二选一名负责人有42种选法；从高三选一人作负责人有30种选法.由分步乘法计数原理，可知共有50X42X30= 63 000种选法. （3）①高一和高二各选一人作中心发言人，有50X42=2 100种选法；②高二和高三各选一人作中心发言人，有42X30=1 260种选法；③高一和高三各选一人作中心发言人，有50X30=1 500种选法.故共有2 100+1 260+1 500=4 860 种选法.【点评】用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是'吩步”，其次要清楚“分类''或“分步"的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步” 时要正确设计“分步''的程序，注意步与步之间的连续性.变式训练：7名同学中，有5名会下象棋，有4名会下围棋•现从这7人中选2 人分别参加象棋和围棋比赛，共有多少种不同的选法？【解析】：\ 3 /依题意，既会象棋又会围棋的“多面手''有5+4-7 = 2人.方法一：第一类，先从会下象棋但不会下围棋的3人中选1人，再从会下围棋的4人中选1人，共有3x4= 12（种）选法.第二类，先从既会下象棋又会下圉棋的2人中选1人，再从会下围棋的剩余3人中选1人下围棋，有2x3 = 6（种）选法，由分类加法计数原理得N =12+6=18（种）. 方法二：第一类，“多面手''不参加，从只会下象棋的3人中选1人，从只会下围棋的2人中选1人，共有3x2 = 6（种）选法.第二类，“多面手"中有一人参加象棋有2种选法，再从只会下围棋的2人中选1 人，共有2x2=4（种）选法.第三类，“多面手'冲有一人参加围棋有2种选法，再从只会下象棋的3人中选1 人，共有2x3 = 6（种）选法.第四类，“多面手''都参加，有2种选法，故N=6+4+6+2=18（种）.【题型四】：经典问题（1）例题4（1）:如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有5种不同的颜色可选，则有种不同的着色方案.【解析】：操场可从5种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的4种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色.根据分步乘法计数原理，共有5x4x3x3=180种着色方案.例题4 （2）用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？【解析】：第一类:1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成,第一步，先涂1 号区域和4号区域，有5种涂法，第二步，再涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有4种涂法，由分步乘法计数原理知，有5x4x4=80种涂法;第二类:1 号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成,第一步，先涂1号区域，有5种涂法, 第二步，再涂4号区域，只要不与1号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步，涂2 号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有3种涂法;第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法.由分步乘法计数原理知，有5x4x3x3=180种涂法.依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法种数为80+180=260.【点评】反思:涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，但也有几种常用方法:⑴按区域的不同，以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;⑵以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段"等问题，用分类加法计数原理分析;⑶将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题.变式训练1:用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？【解析】解法一：A可从5种颜色中任选1种着色；B可从剩下的4种颜色中任选1种着色；C和A、B颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色；D和B、C的颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色.根据分步乘法计数原理，共有5x4x3x3=480种着色方案解法二：先分为两类：第一类，当D与A不同色，则可分为四步完成.第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，第四步涂D有2种涂法，由分步乘法计数原理，共有5X4X3X2=120种方法.第二类，当D与A同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，由分步乘法计数原理共有5X4X3 = 60（种），所以共有120+60=180种不同的方案.变式训练2:用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【解析】：给各区域标记号A、B、C、D、E,则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D 涂色的颜色，如果B 与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种.因此应先分类后分步.第一类，B、D涂同色时，有4X3X2X1X2=48种，第二类，当B、D不同色时，有4X3X2X1X1=24种，故共有48+24=72种不同的涂色方法.变式训练3:如图，一环形花坛被分成A,B,C,D四个区域，现有4种不同的花可供选种,要A.96B.84C.60D.48求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同种法的种数【解析】方法一：先种A地有4种，再种〃地有3种，若C地与A地种相同的花，则C 地有1种，D地有3种；若C地与人地种不同花，则C地有2种，D 地有2种，即不同种法总数为W=4X3X(1X3+2X2) = 84种.方法二：若种4种花有4X3X2X1=24种；若种3种花，则A和C或B和D相同，有2X4X3X2=48种；若种2种花，则A和C相同且B和D相同，有4X3=12 种.共有2=24+48+12=84 种.变式训练4:将1,2,3填入3x3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填A. 6种B. 12 种C. 24 种D. 48 种法，则不同的填写方法共有( )【解析】：假设第一行为1,2,3,则第二行第一列可为2或3,此时，其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3x2x1 =6种填法.故不同填写方法共有6x2=12 种.变式训练5:如图，用6种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能种植同一种作物，则不同的种法共有（ ）A. 400 种C. 480 种【解析】：从A 开始，有6种方法，B 有5种，C 有4种，D. A 种相同作物1 种，D. A 不同作物3种，・・・不同种法有6X5X4X （l+3）=480种.故选C.变式训练6:有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块 种植一种作物，相邻的试验田（有公共边）不能种植同一种作物，共有多少种不同 的种植方法？ AB CD【解析】方法一:第一步,种植A 试验田有4种方法；第二步，种植〃试验田有3种方法；第三步，若C 试验田种植的作物与B 试验田相同，则D 试验田有3种方法，此 时有1X3 = 3种种植方法.若C 试验田种植的作物与B 试验田不同，则C 试验田有2种种植方法，D 也有 2种种植方法，共有2X2=4种种植方法.由分类加法计数原理知，有3+4=7 种方法.第四步，由分步乘法计数原理有2=4X3X7 = 84种不同的种植方法.方法二：（1）若A 、D 种植同种作物，则4、D 有4种不同的种法，B 有3种种植 方法，C 也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4X3X3 = 36种种植方 法.（2）若A 、£＞种植不同作物，则A 有4种种植方法，D 有3种种植方法，B 有2种 种植方法，C 有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4X3X2X2=48种 种植方法. 综上所述，由分类加法计数原理，共有7V=36+48 = 84种种植方法. B. 460 种 D. 496 种【题型五】：经典问题(2) ——组数问题例题5:用0,123,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1)四位密码？⑵四位数？(3)四位奇数？【解析】(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3 种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N = 5X4X3X2=120个.(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4 这4个数字中选一个数字作千位数字，共4种不同的选取方法，第二步从1,2,3,4 中剩余的三个数字和0共4个数字选一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法•由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N=4X4X3X2 = 96 个.(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1、3中任取一个有两种方法，第二步定首位，扌巴1、2、3、4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理共有2X3X3X2 = 36个.变式训练1：从集合｛0,123,4,5,6｝中任取两个互不相等的数a, b组成复数a+bi, 其中虚数有( )A. 30 个B. 42 个C. 36 个D. 35 个【解析】：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法, 根据乘法计数原理，共有6x6=36种方法.变式训练2：用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A. 36 个B. 18 个C. 9个D. 6个【解析】：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次.第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法. 故有3x3x2=18个不同的四位数.变式训练3:从123,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为 ____________________ ・【解析】：⑴当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.⑵不取1时，分两步：①取底数，5 种；②取真数，4 种.其中log23 = log49, log32 = log94, log24=log39, log42 = log93, A7V= 14-5x4-4= 17.变式训练4:用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A. 324B. 328C. 360D. 648【解析】：分两类，第一类，0在末位时，百位有9种排法，十位有8种排法，故共有9x8 = 72（个）. 第二类，0不在末位，也不能在首位，此时末位只能排2,4,6,8中的一个，共4种排法，百位有8种排法，十位有8种排法，共有4x8x8 = 256（个）.综上共有72+256 = 328（个）.。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理是指将一个计数问题分成若干个子问题，然后将子问题的计数结果相加得到最终的计数结果。

其基本思想是将问题中的元素分成若干个不重叠的类别，然后分别计数各个类别的元素个数，最后将各类别的计数结果相加。

这个原理常用于解决包含多个步骤的计数问题。

举个例子来说明分类加法计数原理的应用：假设有一个盒子，里面有红球、蓝球和绿球，分别有3个、4个和5个。

现在要从盒子中任选3个球，问有多少种选择方法。

我们可以将这个问题分为三个子问题：选取3个红球的方法数、选取3个蓝球的方法数和选取3个绿球的方法数。

然后分别计数这三个子问题的方法数，最后将它们相加得到总的方法数。

与分类加法计数原理相对应的是分步乘法计数原理。

分步乘法计数原理是指将一个计数问题分成若干个步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到最终的计数结果。

这个原理常用于解决包含多个独立步骤的计数问题。

举个例子来说明分步乘法计数原理的应用：假设有一个密码锁，需要输入5位密码，每位密码都是从0到9的数字。

问一共有多少种可能的密码组合。

我们可以将这个问题分为5个步骤：第一位密码的选择、第二位密码的选择、第三位密码的选择、第四位密码的选择和第五位密码的选择。

然后计数每个步骤的可能性，最后将它们相乘得到总的可能性。

分步乘法计数原理也可以用于解决其他的计数问题，例如从一个字母表中选择若干个字母组成单词的方法数、从一个数列中选择若干个数的方法数等等。

总的说来，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决组合数学中计数问题的重要方法。

它们可以帮助我们系统地分析和解决各种计数问题，提高我们的计算能力和思维能力。

无论是在学术研究还是在实际应用中，这两个原理都有着广泛的应用价值。

理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.知识聚焦不简单罗列1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有叫种不同的方法，在第二类方案中有吗种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N =种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事情需要n个不同的步骤，完成第一步有1^种不同的方法，完成第二步有1^ 种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N = 种不同的方法.3.两个计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.正本清源不单纯记忆■链接教材1.［教材改编］现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，从中任选1人参加接待外宾的活动，有种不同的选法.2.［教材改编］5位同学站成一排准备照相的时候，有2位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序一定，那么2位老师与同学们站成一排照相的站法总数为.3.［教材改编］如图9551所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有种.图9551■易错问题4.分类加法计数原理：每一种方法都能完成这件事情；类与类之间是独立的.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有种.5.分步乘法计数原理：所有步骤完成才算完成；步与步之间是相关联的.将甲、乙、丙等6人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为.■通性通法6.分类计数原理：分类时标准要明确.如果把个位数是1,且恰有三个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1, 2, 3, 4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有.7.分步计数原理：步骤互相独立，互不干扰；步与步确保连续，逐步完成.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B, C, D中选择，其他四个号码可以从0〜9这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3, 5, 6, 8, 9中选择，其他号码只想在1, 3, 6, 9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有种.探究点一分类加法计数原理1某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A. 3种B. 6种C. 9 种D. 18 种（2）现有5种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，5个侧面分别编号为1, 2, 3, 4, 5,而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有______________ 种.［总结反思］分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词、关键元素或关键位置.首先，根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次，分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.应用分类加法计数原理时，应先明确分类标准，确保计数不重复，不遗漏.式题（1）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，则不同的发言顺序的种数为（）A. 840B. 720C. 600D. 30（2）如图9552所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）图9552A. 15B. 16C. 17D. 18探究点二分步乘法计数原理2（1）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有种.（2）将A, B, C, D, E, F六个字母排成一排，且A, B均在C的同侧，则不同的排法共有种.（用数字作答）［总结反思］利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，以元素（或位置）为主体的计数问题，通常先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）；（2）对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定.式题（1）某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是（）A. 216B. 420C. 720D. 1080（2）用5种不同的颜色为如图9553所示的广告牌着色，要求在①②③④四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色，则不同的着色方法种数为（）图9553A. 320B. 240C. 180D. 135探究点三两个计数原理的综合3 （1）设集合A=｛（xj x2, x3, x4, xj|x产｛—1, 0, 1）, i = 1, 2, 3, 4, 5｝,那么集合A中满足条件“1WI XJ + I XJ + I X3I + I XJ + I X5IW3”的元素个数为（）A. 60B. 90C. 120D. 130（2）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1, 2,…，9的9个小正方形（如图9554）, 使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1, 5, 9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种.图9554［总结反思］(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类.(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成.(3)若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步.式题设集合1={1,2, 3, 4, 5},选择集合I的两个非空子集A和B,若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有()A. 50 种B. 49 种C. 48 种D. 47 种学科能力自主阅读型误区警示21.分类与分步不当致误【典例】若从1, 2, 3,…，9这9个整数中取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种解析D先找出|①和为偶数的各种情况，］再利用分类加法计数原理求解.满足题设的取法可分为三类：一是4个都是奇数，在奇数1, 3,5,7,9中，任意取4个，有C4 = 5(种)；二是2个奇数2 5个偶数，在5个奇数中任取2个，再在偶数2, 4, 6, 8中任取2个，有②C,-C 2 = 60 （种）--- 5 --4--------三是4个都是偶数，取法有1种.所以满足条件的取法共有5 + 60+1 = 66（种）.【踉踪练习】（1）［2015 •唐山二模］一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分.已知甲球队已赛4场，积4分，则在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A. 7 种B. 13 种C. 18 种D. 19 种（2）给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有种.。