兰州大学量子力学真题及答案(1991-2011)

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。

7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

2.1 如图所示右设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中其解分别为（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以为零由波函数的连续性得得解得由概率流密度公式入射反射系数透射系数（2）粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得两个方程解反射系数透射系数（二）的情形令,不变此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其解分别为由在右边波函数的有界性得为零（1）粒子从左向右运动得得解得入射反射系数透射系数(2) 粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程由于全部透射过去，所以反射系数 透射系数2.2如图所示在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为总透射系数2.3以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1）左 中 0 a x时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得∴∴ 相应的因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得所以波函数（2） ∞∞左 中 右0 x显然时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得当，为任意整数，则当，为任意整数，则综合得∴当时，，波函数归一化后当时，，波函数归一化后2.4如图所示左中0 a 显然其中其解为由在右边波函数的有界性得为零∴再由连续性条件，即由得则得得除以得再由公式 ,注意到令,其中，不同n对应不同曲线, 图中只画出了在的取值范围之内的部分65n=0只能取限定的离散的几个值，则E 也取限定的离散的几个值，对每个E ，确定归一化条件得2.5则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为令则上式可化成令则只有当有解2.6由 和已知条件可得第三章3.1能量本征值方程为即分离变量法，令则有令则同理令则式中能级简并度为3.2角动量算符在极坐标系下则由能量本征值方程令其解为由周期性得归一化条件则3.4由能量本征值方程令当令 此时 满足的方程为时时只考虑时令其解分别为由波函数有界性得由波函数连续性得再由公式,注意到令,其中 ， 不同n 对应不同曲线,图中只画出了在的取值范围之内的部分65只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，对每个E，确定归一化条件得 1 可求得3.5同理方差算符则由测不准关系代入，验证该式是成立的第四章4.1在动量表象中，则代入得令得则归一化后的4.5本征方程的矩阵形式上式存在非零解的条件是即解得当再由得当，同样第六章6.3解：在z S ˆ 表象，nS ˆ的矩阵元为 其相应的久期方程为 即所以nS ˆ的本征值为2±。

量子力学习题及答案1. 简答题a) 什么是量子力学？量子力学是一门研究微观领域中原子和基本粒子行为的物理学理论。

它描述了微观粒子的特性和相互作用，以及它们在粒子与波的二重性中所呈现出的行为。

b) 什么是波函数？波函数是描述量子体系的数学函数。

它包含了关于粒子的位置、动量、能量等信息。

波函数通常用符号ψ表示，并且可用于计算概率分布。

c) 什么是量子态？量子态是描述量子系统的状态。

它包含了有关系统性质的完整信息，并且根据量子力学规则演化。

量子系统可以处于多个量子态的叠加态。

d) 什么是量子叠加态？量子叠加态是指量子系统处于多个不同态的线性叠加。

例如，一个量子比特可以处于0态和1态的叠加态。

2. 选择题a) 下列哪个物理量在量子力学中具有不确定性？1.速度2.质量3.位置4.电荷答案：3. 位置b) 关于波函数的哪个说法是正确的？1.波函数只能描述单个粒子的行为2.波函数可以表示粒子的位置和动量的确定值3.波函数的模的平方表示粒子的位置概率分布4.波函数只适用于经典力学体系答案：3. 波函数的模的平方表示粒子的位置概率分布c) 下列哪个原理是量子力学的基本假设？1.宏观世界的实在性2.新托尼克力学3.不确定性原理4.不可分割性原理答案：4. 不可分割性原理3. 计算题a) 计算氢原子的基态能级氢原子的基态能级可以通过解氢原子的薛定谔方程得到。

基态能级对应的主量子数为n=1。

基态能级的能量公式为： E = -13.6 eV / n^2代入n=1，可以计算得到氢原子的基态能级为：-13.6 eVb) 简述量子力学中的双缝干涉实验双缝干涉实验是一种经典的量子力学实验，用于研究光和物质粒子的波粒二象性。

实验装置包括一道光源、两个狭缝和一个光屏。

当光的波长足够小，两个狭缝足够细时，光通过狭缝后会形成一系列的波纹，这些波纹会在光屏上出现干涉条纹。

实验结果显示，光在光屏上呈现出干涉现象，表现为明暗相间的条纹。

这种实验结果说明了光具有波动性，同时也具有粒子性。

一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。

2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。

解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。

一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。

写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。

解：()⎰Ω=adrr r d P 022,,ϕθψ。

2. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。

解：能量本征值和本征波函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π ，,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ3. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。

解：有两个条件：0],[,0==∂∂H Q t Q。

4.）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？解：()zL L,2的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlmY。

),(),(,),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L =+=。

5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。

解： ()dxx x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ。

6. 一个电子运动的旋量波函数为()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。

解：电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r 处的几率密度为()22/, r ψ；电子自旋向下（2 -=z s ）的几率为()232/,⎰-r r d ψ。

最新兰大考研量子力学真题考研对于许多学子来说，是一场充满挑战和机遇的征程。

而在物理学相关专业中，量子力学作为一门重要的课程，其在考研中的分量不容小觑。

兰州大学作为一所知名高校，其考研量子力学真题一直备受关注。

今年最新的兰大考研量子力学真题，延续了以往注重基础知识和综合应用能力考察的风格。

从题型上看，依然包括选择题、简答题和计算题等多种形式。

选择题部分，涵盖了量子力学中的基本概念和原理，如波函数、薛定谔方程、算符等。

这些题目看似基础，但需要考生对概念有清晰准确的理解，稍有偏差就可能选错。

例如，关于波函数的概率解释，以及不同算符的性质和应用，都需要考生在短时间内做出准确判断。

简答题部分，更侧重于对一些重要定理和现象的理解和阐述。

比如，要求考生解释不确定性原理的内涵和意义，以及如何从量子力学的角度理解物质的波动性。

这不仅考验考生对知识点的记忆，更要求能够用自己的语言清晰地表达出来，展现出对知识的深入理解。

计算题则是真题中的重头戏。

其中一道题涉及到了一维无限深势阱中粒子的能级和波函数求解。

这道题需要考生熟练运用薛定谔方程，并结合边界条件进行求解。

还有一道关于微扰理论的题目，要求考生计算在微扰作用下体系能级的变化。

这类题目综合性较强，不仅需要考生掌握相关的理论和公式，还需要具备较强的数学运算能力和逻辑推理能力。

在解答这些真题时，考生首先要有扎实的基础知识。

量子力学中的基本概念、定理和公式必须牢记于心，并且能够熟练运用。

同时，要注重理解知识的本质和内在联系，而不是死记硬背。

比如，在理解薛定谔方程时，要明白它是如何描述微观粒子的运动状态的，以及与经典力学方程的区别和联系。

其次，要多做练习题，提高解题能力。

通过大量的练习，熟悉各种题型的解题思路和方法，培养自己的逻辑思维和数学运算能力。

在练习的过程中，要善于总结归纳，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行强化训练。

另外，解题时要注意细节和规范。

在计算过程中，要清晰地写出每一步的推导过程和所用的公式，避免因步骤不清晰而导致扣分。

量子力学统考真题答案解析近年来，量子力学成为物理学领域研究的热点，其在现代科技中的应用也越发广泛。

因此，掌握量子力学相关知识成为了很多学生的目标。

本文将对一些量子力学统考真题的答案进行解析，帮助读者更好地理解这一领域的知识。

真题一：在泊松括号的定义中，以下哪个性质是正确的？A. 反对称性B. 可加性C. 分配律D. 结合律答案解析：泊松括号的正确性质是反对称性，即对于量子力学中的两个算符A和B，其泊松括号满足{A, B} = -{B, A}。

可加性、分配律和结合律均不是泊松括号的性质。

真题二：以下哪个选项是描述薛定谔方程解的最准确的描述？A. 波函数是一种物理量B. 波函数是一种运动学参数C. 波函数描述了粒子的运动状态D. 波函数描述了粒子的位置答案解析：准确描述薛定谔方程解的选项是C，即波函数描述了粒子的运动状态。

量子力学中的波函数是对粒子运动状态的描述，可以通过求解薛定谔方程得到。

真题三：以下哪个选项是正确的？对于一个哈密顿量H，若其本征态满足ψ = Cψ，其中C为常数，则A. H是没有本征值的。

B. ψ是H的本征态。

C. ψ是H的本征值。

D. ψ不是H的本征态。

答案解析：本题要求判断给定情况下的哈密顿量H与其本征态之间的关系。

根据题目中给出的条件，可以得出结论：ψ是H的本征态。

因为薛定谔方程的解包含了波函数和能量本征值，ψ满足薛定谔方程，因此可以认为ψ是H的本征态。

真题四：以下哪个量是角动量算符的一个本征值？A. 平动动量B. 能量C. 电荷D. 波长答案解析：角动量算符的一个本征值是角动量，选项A的平动动量与角动量概念不同，选项B的能量与角动量没有直接关系，选项C的电荷也与角动量无关，只有选项D的波长与角动量有一定关系，因此答案选D。

通过以上对量子力学统考真题的答案解析，希望可以帮助读者更好地理解量子力学知识。

量子力学是一门复杂而且深奥的学科，需要持续的学习和思考。

只有通过理论的学习和实践的应用，我们才能真正掌握量子力学的精髓，为科学技术的发展做出贡献。

量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。

（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。

（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。

（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ˆˆω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω»ν）（a ）求能级的精确值。

（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。

4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x<a ）中运动，处于基态。

写出能级和波函数，并计算平均值x ，x p ，x xp5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。

已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

（i ）无自旋全同粒子。

（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。

量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。

力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。

（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ∆＝1±，m ∆＝0,1±，s m ∆＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。

（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψK ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F-i ∧G )=∧F2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+当ω»ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H ’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01] 则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H -＝-ω 21+0-ων 2241＝-ω 21-ων241E 2＝E 2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝⎪⎩⎪⎨⎧0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a⎰021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=⎰π x p ＝-i ⎰=adx dx d 011ψψ-i ⎰=aa x d a 020)sin 21(2πx xp ＝-i ⎰⎰-=aa a xd a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝⎰-aa x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --⎰adx a x 02]sin π＝0+⎰=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。

* * * *大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称——《量子力学》——— （ A 卷）一、（5×2’＝10’） 1－5╳ ╳√√╳ 二、（5×2’＝10’） 1、,E h h p νλ==2、ˆri p∂=∂ 和ˆpp = 3、A =三、证明（2×10’＝20’）1、厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。

(即*3120d r ψψ=⎰⎰⎰)证明：设 n n nm m mA A A A ψψψψ==，并设(,)m n ψψ存在，有***m m m A A ψψ=，上式右乘,n ψ积分，即(,)(,)m n m m n A A ψψψψ=由于A 是厄米算符，上式左边＝(,)(,)m n n m n AA ψψψψ= 所以有(,)(,n m nm m n A A ψψψψ=，如果m n A A ≠，则必有(,)0m n ψψ=。

得证2、[,]0,[,].x x x y z l p l l i l == 证明：[,]()()0x x x x x xz y x x z y z x y x x z x y l p l p p l yp zp p p yp zp yp p zp p p yp p zp =-=---=--+= （5’）[,]()()()()()()()x y x y y xz y x z x z z y z x z z y x y z x z x y z z z y z x y z x z z y x z z y z z y x zl l l l l l yp zp zp xp zp xp yp zp yp zp yp xp zp zp zp xp zp yp zp zp xp yp xp zp yp zp zp xp zp yp xp zp yp p z zp xp zp p z i xp yp i l =-=-----=--+-++-=+--=-+-=-= (5’) 得证。

招收攻读硕士学位研究生试题提醒：答案请写在专用答题纸上，写在试题上一律无效。

初试科目代码：802 初试科目名称：量子力学（含原子物理学）一、简答题（40 分）1.列举三个作为量子力学基础的实验，并指出哪些现象无法用经典理论解释，结合适当的方程说明这些现象揭示了相关系统的哪些量子属性。

2.什么是德布罗意假说？其物理意义是什么？验证德布罗意假说的实验有哪些？说明量子力学的物质波函数与经典机械波函数之间的差别。

3.解释什么是氢原子的精细结构，成因及其对氢原子能量修正的能量级是多少。

4简述氢原子、一维谐振子和一维无限深势阱的能量本征值E n 对量子数n的依赖关系，并画出这三个系统的能谱示意图。

二、计算题（30 分）氢原子中电子处于1.求电子轨道角动量和的可能测量值及平均值；2.求电子总角动和的可能测量值及平均值；3.求和等于多少时，该状态与波尔模型中的圆形轨道最近似？三、计算题（25 分）2012 年3 月我国大亚湾中微子实验小组报道了对中微子振荡的最新测量，设仅有两种中微和，则体系的Hamilton 量在能量表象为：其中其中和的状态可表示为：设t=0 时刻体系产生一，求t 时刻探测的概率。

四、计算题（25 分）一质量为m 的粒子在一维势其为一小量，求：1.用微扰法求基态和第一激发态准确到一阶的本征能量，2.用微扰法求基态和第一激发态准确到一阶的本征方程，五、计算题（30 分）两个质量均为m 的粒子处于角频率的一维谐振势中，并且两个粒子之间相互作用势能为1.写出该两粒子系统的Hamilton 量；2.求出该系统三个最低能态、其能量和宇称；（）3.若粒子是无自旋的全同粒子，则2 中哪些量子态是被允许的？4.若粒子是自旋为1/2 的全同粒子，则2 中每个态的总自旋数是多少？。

可编辑修改精选全文完整版填空题答案1．量子力学的最早创始人是 普朗克 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 能量量子化 假设，解决了黑体辐射 的问题。

2．按照德布罗意公式λνεh p h ==,，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1 ；能量比E 1：E 2=12:μμ；若粒子速度为v=0.9c ，按相对论公式计算，其德布罗意波长'λ=24202//p c c μλ+。

3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=kT 23（k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max =K h k 221031-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛λμ。

4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小） 缩小1倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n =3,2,12/2222=n a n μπ，相应的波函数=)(x n ψ()a x ax n a n <<=0sin 2πψ和()a x x n≥≤=,00ψ。

5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E=eV eV 51.136.132-=；L= 2；L z = ，轨道磁矩M z =B M 。

6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ϕ，当它们是玻色子时波函数为),(21q q s ψ=()()()()[]玻色体系1221221121q q q q k k k k ϕϕϕϕ+；为费米子时),(21q q A ψ()()()()]费米体系12212211q q q q k k k k ϕϕϕϕ-7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是E n =()()+-'+'+∑≠020m nn m mn mnnE EH H E ，)(x n ψ = ()()() +-'+∑≠00020m m nnm mnn E EH ψψ，其中微扰矩阵元'mn H =()()⎰'τψψd H n m 00ˆ；而'nn H 表示的物理意义是 在未受微扰体系中，H '的平均值 。

量子力学真题和答案解析是物理学中的一个重要分支，研究微观领域的宇宙现象和微观粒子的行为规律。

具有复杂的数学理论基础，因此在学习和研究过程中常常会遇到各种难题和问题。

为了更好地理解和应用，解析真题和答案是非常重要的一步。

首先，解析真题前，我们需要了解一些基本概念和原理。

描述了微观粒子的行为，其中最基本的概念是量子态和波函数。

量子态描述了粒子的所有性质，而波函数则是的核心数学工具，用于描述粒子的状态和演化规律。

在研究真题时，我们需要仔细分析题目中给出的信息和条件。

通常，题目会给出一些实验或者观测结果，然后要求利用所学知识来推断和解释这些结果。

这就需要我们从题目中提取关键信息，并应用的原理进行分析。

解析真题时，我们可以采用逐步推导的方法。

首先，根据题目中给定的信息，我们可以确定所研究系统的量子态。

然后，根据波函数的演化规律，我们可以利用薛定谔方程或者时间演化算符来推导出系统的时间演化。

最后，我们可以根据所给条件和结果来验证和解释我们的推导和计算结果。

在解析真题时，我们还需要注意一些常见的问题和误区。

首先，是一种概率性理论，因此我们无法准确预测每一次实验的结果。

我们只能给出在大量重复实验中的平均结果。

其次，波函数的坍缩现象是的核心特征之一。

在测量时，波函数会坍缩到某一特定的量子态，从而给出确定的结果。

最后，量子纠缠是中的一个重要现象。

它描述了在某些情况下，两个或多个微观粒子之间存在着密切的关联，无论它们之间的距离有多远。

总结一下，解析真题和答案是学习和研究的重要一步。

我们需要了解的基本概念和原理，并且可以采用逐步推导的方法来分析和解决问题。

我们还需要注意中的一些常见问题和误区，以便更好地理解和应用的原理和概念。

通过解析真题和答案，我们可以提高对的理解，并且能够更好地应用于实际问题和研究中。