第3章习题答案

− t − t
u C = u C ( 0 + )e
全响应
τ
+ u C (∞)(1 − e
τ
)
零输入响应
零状态响应
求得最后结果。 3.4.1 在图 3.07（a）的电路中，u为一阶跃电压，如图 3.07（b）所示，试求i3和uC。 设uC（0_）=1 V。
题解图 3.04
图 3.07
习题 3.4.1 的图
τ = RC = [( R1 + R3 ) // R2 ] ⋅ C = 0.438 × 10 −6 s
由三要素法
u C = u C (∞) + [u C (0 + ) − u C (∞)]e = 1.5 + (1 − 1.5)e
− t 0.438×10 − 6
6
−
t
τ
= (1.5 − 0.5e − 2.3×10 t ) V
(t ≥ 0)
（2）求B点电位VB
B
V B = V S1 − i1 R1
由图 3.08 知
i1 = i3 = V S1 − u C − V S 2 R1 + R3
即
V B = V S1 −
V S1 − u C − V S 2 ⋅ R1 R1 + R3
6
将已知参数VS1=6 V，R2=5 kΩ，C=100 pF以及（1）中uC结果代入并整理得
E − u C (0 + ) 6 − 3 3 A = A = 0.75 A = 2+2 4 R1 + R 2
i (∞ ) = 3.2.2 态值。
E 6 = A =1 A R1 + R 2 + R3 2 + 2 + 2
图 3.02 所示电路在换路前处于稳态，试求换路后其中iL，uC和iS的初始值和隐
图 3.02
u ab (0 + ) R3
uab（0+）可通过结点电压法求出，即 u u C (0 + ) + R R2 3 u ab (0 + ) = 1 = V 1 1 1 2 + + R1 R 2 R3 则 又
i 3 (0 + ) = u ab (0 + ) 3 = mA R3 4
i 3 (∞ ) =
u 4 = mA = 1 mA R1 + R 2 2 + 2
u C = u C (∞) + [u C (0 + ) − u C (∞)]e = u C (0 + )e
−
−
t
τ
t
τ
= 60 e −100t V
−
t
i1 = i1 (∞) + [i1 (0 + ) − i1 (∞)]e = i1 (0 + )e
−
τ
t
τ
= 12 e −100t mA
（5）画uC、i1随时间变化的曲线，见题解图 3.03。 本题中t=0 时S闭合，电流源I被短接掉，对uC来讲其变化过程实际为零输出响应，因 此在求得uC（0+）后可直接用零输入响应的表达式 u C = u C (0 + )e （负号源于i1与uC参考方向相反） 。 3.3.2 在图 3.04 中，U=20 V，R1=12 kΩ，R2=6 kΩ，C1=10 μF，C2=20 μF。电容 元件原先均未储能。当开关闭合后，试求电容元件两端电压uC。 解：C1与C2串联后的等效电容 C ⋅C 10 × 20 C= 1 2 = μF = 6.67 μF C1 + C 2 10 + 20 （1）确定初始值uC（0+）
图 3.08
习题 3.4.2 的图
解： （1）求电容电压uC
9
u C ( 0 + ) = u C (0 − ) = =
0 − VS 2 ⋅ R2 R 2 + R3; 25 V S1 − V S 2 u C (∞ ) = ⋅ R2 R1 + R 2 + R3 = 6 − (−6) × 5 V = 1.5 V 10 + 5 + 25
习题 3.2.2 的图
解： （1）求初始值：根据换路前（t=0_）的电路（见题解图 3.02（a） ） R2 U ⋅ i L (0 − ) = R1 + R 2 ( R1 // R 2 ) + R3 + R 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 30 15 ⎟A =⎜ × ⎜ 15 + 30 15 × 30 ⎟ + 10 + 10 ⎟ ⎜ 15 + 30 ⎝ ⎠
V B = (3 − 0.14e −2.3×10 t ) V
（3）求 A 点电位 VA
VA=i3R3+VS2
同理将（2）中所求出的电流 i3 表达式代入整理得
V A = (1.5 + 0.36e −2.3×10 t ) V
6
（2） 、 （3）中电流i1、i3 也可通过下式求得 u du （利用基尔霍夫电流定律） i1 = i3 = C + C C R2 dt 3.4.3 电路如图 3.09 所示，换路前已处于稳态，试求换路后（t≥0）的uC。 解：用三要素法求解本题。由于电路中有 IS 和 US 两个电源。所以在确定初始值和终 了值时可运用叠加定理。
1 ⎛2 1⎞ =⎜ × ⎟ A= A 3 ⎝3 2⎠
⎛ 15 × 30 ⎞ + 10 ⎟ ⎜ ( R1 // R 2 ) + R3 + 15 30 ⎟ V = 10 V u C (0 − ) = ⋅U = ⎜ ⎜ 15 × 30 ⎟ [( R1 // R2 ) + R3 ] + R4 + 10 + 10 ⎟ ⎜ ⎝ 15 + 30 ⎠ 根据换路定律得
−
τ
)。
电路如图 3.05 所示，在开关S闭合前电路已处于稳态，求开关闭合后的电压uC。
图 3.05
习题 3.3.3 的图
解：由换路定律
u C (0 + ) = u C (0 − ) = I S ⋅ R1
= 9 × 10 −3 × 6 × 10 3 V =54 V
7
u C (∞) = I S ( R1 // R2 ) = 9 × 10 −3 × = 18 V 6×3 × 10 3 V 6+3
i L (0 + ) = i L (0 − ) =
4
1 A 3
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 10 V
题解图 3.02
） 另外，根据换路后（t=0+）时的电路（见题解图 3.02（b） u (0 ) 2 ⎛ 10 1 ⎞ （R2被S短路） i S (0 + ) = C + − i L (0 + ) = ⎜ − ⎟ A = A 3 R3 ⎝ 10 3 ⎠ （2）求稳态值：根据换路后 t→∞时的电路（见题解图 3.02（c） ）
i (∞ ) = 图 3.01（b）电路中
E 6 = A=3A R2 2
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6 V
i (0 + ) =
E − u C (0 + ) 6 − 6 = A=0 2 R1
i (∞ ) =
图 3.01（c）电路中
E R1 + R 2
=
6 2+2
A = 1.5 A
− t
τ = R ⋅ C = ( R 2 + R1 // R3 ) ⋅ C = ⎜1 +
由三要素法可得
u C = u C (∞) + [u C (0 + ) − u C (∞)]e
8
τ
= 2 + (1 − 2)e （2）再求i3
−
t 2×10 − 3
= (2 − e −500t ) V
i 3 (0 + ) =
i L (∞ ) = 0
（L 被 S 闭合断路）
u C (∞ ) =
R3 ⎛ 10 ⎞ ⋅U = ⎜ × 15 ⎟ V = 7.5 V R3 + R 4 10 + 10 ⎝ ⎠ U 15 i S (∞ ) = = A = 0.75 A R3 + R4 10 + 10
3.3.1
在图 3.03 中，I=10 mA，R1=3 kΩ，R2=3 kΩ，R3=6 kΩ，C=2 μF。在开关S
由t=0+时的电路
i1 (0 + ) = u C (0 + ) 60 = A = 12 × 10 −3 A = 12 mA ( R 2 // R3 ) + R1 3 × 6 +3 3+6
（2）求终了值（稳态值）uC（∞）和i1（∞） 由 t=∞时的电路 uC（∞）=0 i1（∞）=0 （3）求时间常数τ
6
−
t
τ
，进而求出 i1 = −C
du C dt
uC（0+）=uC（0_）=0 （电容原先未储能）
图 3.04
习题 3.3.2 的图
（2）确定终了值uC（∞） uC（∞）=U （3）确定时间常数τ
τ = R 2 ⋅ C = ⎜ 6 × 10 3 ×
（4）由三要素法确定uC
⎛ ⎝
20 ⎞ × 10 − 6 ⎟ s = 0.04 s 3 ⎠
τ = ( R1 // R 2 ) ⋅ C =
根据三要素法，t≥0 时
6×3 × 10 3 × 2 × 10 −6 s = 0.004 s = 4 ms 6+3
t
u C = u C (∞) + [u C (0 + ) − u C (∞)] e = (18 + 36 e − 250t ) V