第2课时：数形结合张延臣
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《数形结合》
教学内容：青岛版小学数学六年级下册 116-117 页的内容。 教学目标： 1.在回顾整理的过程中， 加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受 数形结合在小学数学学习中的应用，体验数形解决解决问题的优越性。 2. 通过具体的观察，发展数形观念，培养数形结合思想。
3.在利用数形结合思想解决问题的过程中增强学生的合作能力， 体会所学知 识与现实生活的紧密联系，体验到学习的愉悦，感受到数学的乐趣与魅力。 教学重难点： 教学重点：通过一些数形结合的实例，感受数形结合的优越性，建立用数形 结合思想解决问题的思路。 教学难点：尝试运用数形结合解决问题。 教具学具准备：课件、多媒体 教学过程： 一、创设情境，提出问题。 1. 激趣导入。 同学们， 我说一个数字， 你能用你喜欢的一种图形的个数表达出来吗？老师 说，你用手比划一下就可以了，好不好？1、2、3、4„„然后老师出示图形的个 数，让学生说出数字。 2.问题回顾。 同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各 样的图形。利用图形来解决问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所 学的知识，你能举出这样的例子吗？（学生思考样通过画示意图，来 解决问题的方法， 在数学上叫做数形结合，数形结合就是指数和形之间一一对应 的关系， 数形结合是一种很重要的数学思想方法，怎样把数与形结合起来解决问 题呢？这节课我们就重点研究。板书课题：数形结合解决问题。 【设计意图】 教师给学生一定的思考时间，可以使学生对所学过的用图形来
6米 48 平 方米 4米 48 平方米
田的长增加 6 米，或者宽增加 4 米，面积都比原来增加 48 平方米。你知道原来 试验田的面积是多少平方米吗？ 学生独立完成后，展示学生的画图，让学生结合图讲解解题思路和方法， 体会数形结合解决问题的直观性和简洁性。 预设：从图（2）中很快就能发现：根据面积增加的 48 平方米和宽增加的 4 米，求出原来长方形的长，再根据面积增加的 48 平方米和长增加的 6 米求出原 来长方形的宽，从而求出原来长方形的面积。 （3）有两根蜡烛，一根长 8 厘米，另一根长 6 厘米。把两根都燃掉同样长 的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的 3/5。每段燃掉多少厘米？ 学生独立借助线段图解答，体会用线段图解决问题的优越性, 集体交流时， 引导学生陈述自己的解题思路。 【设计意图】 用线段图帮助解决问题是学生平时经常用到的方法，只不过学 生没有将这一方法上升到“数形结合思想”的高度。通过这两个练习题，使学生 进一步体会到运用数形结合的方法解决问题，理清解题思路的优越性。 4.课堂总结。 （1）师：这节课我们主要研究了利用数形结合的方法来解决问题，你能谈 谈自己的收获吗？ 学生谈自己收获。 （2）总结：这节课我们通过具体的实例，不仅知道了通过画示意图来解决 问题的方法， 在数学上叫做数形结合， 而且知道了利用数形结合的方法解决问题， 能够帮助我们把复杂的问题简单化，把抽象的问题直观的、形象化。 【设计意图】课堂即将结束，应当给学生提供自己独立回忆、梳理本节课所 学的机会。几分钟的梳理，既可以使学生对本节课的学习有所整理和巩固，也可 以帮助学生养成及时巩固，定时思考的学习习惯。 板书设计： 数形结合解决问题 描述数据 理解算理算法 数形结合 反映正反比例变化情况 确定位置 简单直观形象
1 生可以在认真倾听的同时，提出自己的疑问或困惑。 2 1 4
预设 1：学生可能画出线段图： 也可能画出正方形图。 1 1 1 1 1 15 根据图形得出： + + + =1= 2 4 8 16 16 16 2.利用数形结合找规律。
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1 2 1 8
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一张桌子可以坐 4 人， 两张桌子拼在一起可以坐 6 人，三张桌子拼在一起可 以坐 8 人„„，50 张桌子拼在一起可以坐多少人？ 学生先尝试画出符合条件的示意图，然后根据题意找规律，再根据找出的规 律解决问题。
四、巩固应用，拓展提高。 1.利用数形结合进行计算。 ○ 1 4 ÷2 5
学生独立完成后，让学生结合自己的图讲解自己的解题思路。 预设：先表示出 4 4 2 ，再把 平均分成 2 份，一份就是 。 5 5 5
○ 2
1 1 1 1 + + + =？ 2 4 8 16
学生独立尝试完成后，找学生展示自己的作图，并讲解自己的思路，其余学
（2）图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况。
（3）平面内确定物体的位置。
质疑： 通过刚才的交流， 我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合， 你能谈一谈自己的体会吗?（找学生回答，教师给予适当评价） 【设计意图】学生个人的想法可能是粗浅的、片面的，而通过小组交流，倾 听他人的想法和意见， 可以进一步完善自己的想法。教师在学生交流的基础上运 用多媒体呈现相关的例子， 通过这些数形结合的直观的例子，让学生充分感受数 形结合在数学学习中的应用。 三、抽象概括，总结提升。 同学们， 数形结合是数学解题中常用的思想方法，它是把抽象的数学语言、 数量关系与直观的几何图形、 位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解 形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
预设：图形中蕴含的规律是：2+2n,所以 50 张桌子可以坐 2+50×2=102 张 3.利用数形结合的方法解决实际问题。 （1）育才小学 2000 年有 60 台计算机，2006 年已经达到 150 台。2006 年比 2000 年增加了百分之几？ 学生独立完成后， 同位之间相互检查订正，反馈时对学生的画图进行合理评 价，以规范学生的画图。 一块长方形试验田，如果这块试验
研究问题的有关知识进行初步的梳理，从而为本节课的学习做好铺垫。 二、自主学习，小组探究。 （一）统计图表在描述数据方面的优越性。 1.课件出示统计图，学生独立观察思考：从三幅统计图中可以发现什么？
2.同位之间把自己的发现说一说。 3.班内汇报： 三名学生分别介绍三幅统计图，介绍不完整的其他学生可以补 充。 4.质疑：用统计图描述数据有什么好处？（找学生回答） 总结：图形描述数据更加直观、有效。统计图描述数据更加直观、有效。条 形统计图能清楚看出数量的多少， 扇形统计图能清楚地看出各部分同总数之间的 关系，折线统计图能清楚看出数量增减变化的情况。 【设计意图】 将原始数据和统计图同时呈现， 可以给学生造成视觉上的冲击。 原始数据杂乱无章而统计图简单明了，能够帮助阅读的人有效的提取信息。对于 用图形描述数据的优越性，学生一目了然。 （二）数形结合在其他方面的应用。 师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你 还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？ 1.学生独立思考，思考不出的同学可以翻阅课本相关的内容。 2.学生以小组为单位交流自己的想法，交流过程中，小组长简单记录，并要 提醒学生注意倾听他人的想法。 3.汇报交流，评价质疑。 找不同的学生分别汇报，老师根据学生的汇报或出示课件或画出简易图。 预设：学生可能举出的例子有： （1）画图法理解算理。
使用说明： 1.教学反思：纵观本节课的教学，我感觉亮点之处有： （1）由浅入深引入复习。 我的教学设计首先从一个简单的数形结合例子入手，引导学生回忆、观察、 感受数形结合的作用，然后通过思考、画图、讨论、交流等活动解决问题，以便 进一步理解数形结合的作用， 通过观察、 画图、 思考等形式， 使数学内容活起来， 动起来。设计的练习针对性比较强，自始至终都在渗透数形结合的思想，利于学 生今后的发展。 （2）教师的适当引导与学生的自主学习有机结合。 数形结合思想，提供了解决问题的一种手段。借助于图形，可以使抽象的概 念和复杂的数量关系直观化、形象化、简单化，有利于拓宽解题思路，探求解题 的途径。通过抽象思维和形象思维相结合，可以培养学生思维的灵活性，形象性 和深刻性。其实这一数学思想学生平时经常用到，但还没有上升到理论高度。通 过本节课的学习， 学生对于自己以前的学习有了更深层次的认识， 可以说不但“知 其然”，而且“知其所以然”。进一步体会到数学思想方法应与表层的学习融为一 体 ，只有才能，我们才能逐步掌握有关的深层知识。 （3）练习设计层次性比较清晰。 如果罗列一些练习题，总感觉处理方法大同小异。为此，我在设计练习上 从三个方面入手，一是利用数形结合计算，二是利用数形结合找规律，三是利用 数形结合解决实际问题， 虽然练习题的难度稍微大一些，但借助示意图或线段图 让学生解决，更能让学生体会数形结合解决问题的优越性。 2.使用建议： 本节课的复习回顾与自主探究我都是在课堂上完成的，课堂容量比较大，难 度也有些大。 学生能力有所欠缺的班级可以让学生课前自学或搜集相关知识，并 适当降低练习的难度，学生能力比较高的班级可以尝试使用此教学设计。 备课人：常庄镇西小学校张延臣
教学内容：青岛版小学数学六年级下册 116-117 页的内容。 教学目标： 1.在回顾整理的过程中， 加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受 数形结合在小学数学学习中的应用，体验数形解决解决问题的优越性。 2. 通过具体的观察，发展数形观念，培养数形结合思想。
3.在利用数形结合思想解决问题的过程中增强学生的合作能力， 体会所学知 识与现实生活的紧密联系，体验到学习的愉悦，感受到数学的乐趣与魅力。 教学重难点： 教学重点：通过一些数形结合的实例，感受数形结合的优越性，建立用数形 结合思想解决问题的思路。 教学难点：尝试运用数形结合解决问题。 教具学具准备：课件、多媒体 教学过程： 一、创设情境，提出问题。 1. 激趣导入。 同学们， 我说一个数字， 你能用你喜欢的一种图形的个数表达出来吗？老师 说，你用手比划一下就可以了，好不好？1、2、3、4„„然后老师出示图形的个 数，让学生说出数字。 2.问题回顾。 同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各 样的图形。利用图形来解决问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所 学的知识，你能举出这样的例子吗？（学生思考样通过画示意图，来 解决问题的方法， 在数学上叫做数形结合，数形结合就是指数和形之间一一对应 的关系， 数形结合是一种很重要的数学思想方法，怎样把数与形结合起来解决问 题呢？这节课我们就重点研究。板书课题：数形结合解决问题。 【设计意图】 教师给学生一定的思考时间，可以使学生对所学过的用图形来
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田的长增加 6 米，或者宽增加 4 米，面积都比原来增加 48 平方米。你知道原来 试验田的面积是多少平方米吗？ 学生独立完成后，展示学生的画图，让学生结合图讲解解题思路和方法， 体会数形结合解决问题的直观性和简洁性。 预设：从图（2）中很快就能发现：根据面积增加的 48 平方米和宽增加的 4 米，求出原来长方形的长，再根据面积增加的 48 平方米和长增加的 6 米求出原 来长方形的宽，从而求出原来长方形的面积。 （3）有两根蜡烛，一根长 8 厘米，另一根长 6 厘米。把两根都燃掉同样长 的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的 3/5。每段燃掉多少厘米？ 学生独立借助线段图解答，体会用线段图解决问题的优越性, 集体交流时， 引导学生陈述自己的解题思路。 【设计意图】 用线段图帮助解决问题是学生平时经常用到的方法，只不过学 生没有将这一方法上升到“数形结合思想”的高度。通过这两个练习题，使学生 进一步体会到运用数形结合的方法解决问题，理清解题思路的优越性。 4.课堂总结。 （1）师：这节课我们主要研究了利用数形结合的方法来解决问题，你能谈 谈自己的收获吗？ 学生谈自己收获。 （2）总结：这节课我们通过具体的实例，不仅知道了通过画示意图来解决 问题的方法， 在数学上叫做数形结合， 而且知道了利用数形结合的方法解决问题， 能够帮助我们把复杂的问题简单化，把抽象的问题直观的、形象化。 【设计意图】课堂即将结束，应当给学生提供自己独立回忆、梳理本节课所 学的机会。几分钟的梳理，既可以使学生对本节课的学习有所整理和巩固，也可 以帮助学生养成及时巩固，定时思考的学习习惯。 板书设计： 数形结合解决问题 描述数据 理解算理算法 数形结合 反映正反比例变化情况 确定位置 简单直观形象
1 生可以在认真倾听的同时，提出自己的疑问或困惑。 2 1 4
预设 1：学生可能画出线段图： 也可能画出正方形图。 1 1 1 1 1 15 根据图形得出： + + + =1= 2 4 8 16 16 16 2.利用数形结合找规律。
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一张桌子可以坐 4 人， 两张桌子拼在一起可以坐 6 人，三张桌子拼在一起可 以坐 8 人„„，50 张桌子拼在一起可以坐多少人？ 学生先尝试画出符合条件的示意图，然后根据题意找规律，再根据找出的规 律解决问题。
四、巩固应用，拓展提高。 1.利用数形结合进行计算。 ○ 1 4 ÷2 5
学生独立完成后，让学生结合自己的图讲解自己的解题思路。 预设：先表示出 4 4 2 ，再把 平均分成 2 份，一份就是 。 5 5 5
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学生独立尝试完成后，找学生展示自己的作图，并讲解自己的思路，其余学
（2）图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况。
（3）平面内确定物体的位置。
质疑： 通过刚才的交流， 我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合， 你能谈一谈自己的体会吗?（找学生回答，教师给予适当评价） 【设计意图】学生个人的想法可能是粗浅的、片面的，而通过小组交流，倾 听他人的想法和意见， 可以进一步完善自己的想法。教师在学生交流的基础上运 用多媒体呈现相关的例子， 通过这些数形结合的直观的例子，让学生充分感受数 形结合在数学学习中的应用。 三、抽象概括，总结提升。 同学们， 数形结合是数学解题中常用的思想方法，它是把抽象的数学语言、 数量关系与直观的几何图形、 位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解 形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
预设：图形中蕴含的规律是：2+2n,所以 50 张桌子可以坐 2+50×2=102 张 3.利用数形结合的方法解决实际问题。 （1）育才小学 2000 年有 60 台计算机，2006 年已经达到 150 台。2006 年比 2000 年增加了百分之几？ 学生独立完成后， 同位之间相互检查订正，反馈时对学生的画图进行合理评 价，以规范学生的画图。 一块长方形试验田，如果这块试验
研究问题的有关知识进行初步的梳理，从而为本节课的学习做好铺垫。 二、自主学习，小组探究。 （一）统计图表在描述数据方面的优越性。 1.课件出示统计图，学生独立观察思考：从三幅统计图中可以发现什么？
2.同位之间把自己的发现说一说。 3.班内汇报： 三名学生分别介绍三幅统计图，介绍不完整的其他学生可以补 充。 4.质疑：用统计图描述数据有什么好处？（找学生回答） 总结：图形描述数据更加直观、有效。统计图描述数据更加直观、有效。条 形统计图能清楚看出数量的多少， 扇形统计图能清楚地看出各部分同总数之间的 关系，折线统计图能清楚看出数量增减变化的情况。 【设计意图】 将原始数据和统计图同时呈现， 可以给学生造成视觉上的冲击。 原始数据杂乱无章而统计图简单明了，能够帮助阅读的人有效的提取信息。对于 用图形描述数据的优越性，学生一目了然。 （二）数形结合在其他方面的应用。 师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你 还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？ 1.学生独立思考，思考不出的同学可以翻阅课本相关的内容。 2.学生以小组为单位交流自己的想法，交流过程中，小组长简单记录，并要 提醒学生注意倾听他人的想法。 3.汇报交流，评价质疑。 找不同的学生分别汇报，老师根据学生的汇报或出示课件或画出简易图。 预设：学生可能举出的例子有： （1）画图法理解算理。
使用说明： 1.教学反思：纵观本节课的教学，我感觉亮点之处有： （1）由浅入深引入复习。 我的教学设计首先从一个简单的数形结合例子入手，引导学生回忆、观察、 感受数形结合的作用，然后通过思考、画图、讨论、交流等活动解决问题，以便 进一步理解数形结合的作用， 通过观察、 画图、 思考等形式， 使数学内容活起来， 动起来。设计的练习针对性比较强，自始至终都在渗透数形结合的思想，利于学 生今后的发展。 （2）教师的适当引导与学生的自主学习有机结合。 数形结合思想，提供了解决问题的一种手段。借助于图形，可以使抽象的概 念和复杂的数量关系直观化、形象化、简单化，有利于拓宽解题思路，探求解题 的途径。通过抽象思维和形象思维相结合，可以培养学生思维的灵活性，形象性 和深刻性。其实这一数学思想学生平时经常用到，但还没有上升到理论高度。通 过本节课的学习， 学生对于自己以前的学习有了更深层次的认识， 可以说不但“知 其然”，而且“知其所以然”。进一步体会到数学思想方法应与表层的学习融为一 体 ，只有才能，我们才能逐步掌握有关的深层知识。 （3）练习设计层次性比较清晰。 如果罗列一些练习题，总感觉处理方法大同小异。为此，我在设计练习上 从三个方面入手，一是利用数形结合计算，二是利用数形结合找规律，三是利用 数形结合解决实际问题， 虽然练习题的难度稍微大一些，但借助示意图或线段图 让学生解决，更能让学生体会数形结合解决问题的优越性。 2.使用建议： 本节课的复习回顾与自主探究我都是在课堂上完成的，课堂容量比较大，难 度也有些大。 学生能力有所欠缺的班级可以让学生课前自学或搜集相关知识，并 适当降低练习的难度，学生能力比较高的班级可以尝试使用此教学设计。 备课人：常庄镇西小学校张延臣
