4_高分辨电子显微学

G(u) = FT[g(x)] H (u) = FT[h(x)]
FT[g(x) ⊗ h(x)] = G(u)H (u)
二个函数的卷积的傅氏变换等于它们各自傅氏变换的乘积
Fourier Transform of δ(t)
∞
∫ δ (t) exp(−iωt) dt = exp(−iω[0]) =1
−∞δ (t) FFourier Transform and Structure Analysis
In structure analysis a crystal can be seen as a kind of wave of matter, which is a sum of sine waves with different spatial frequencies.
惠更斯－费涅耳原理
Huygens‐Fresnel Principal
(Christian Huygens 1629-1695)
/history/person/psn048.html
• 1690年，惠更斯提出惠更斯原理，认为波前上的每一点都可以 看作是发出球面子波的新的波源，这些子波的包络面就是下一时 刻的波前。
• 1971，S.Iijima(ASU),Ti2Nb10O29 1977年美国晶体学会奖
• 70年代，Hashimoto, Crewe
观察单个原子、原子跳动
• 80年代末，实验观察和模拟基本成熟普及
• 90年代: QHREM 提高分辨率 @ 降低Cs
球差校正器
图像处理
氯化铜－酞花青燃料分子中原子像
δ函数
电子波的传播
Kirchhoff 衍射：波的球面波传播 — Fresnel 衍射：光源和观察点距障碍物有限远的衍射
近场传播 q(x,y) ⊗ p(x,y) Fresnel 传播因子：p(x,y)=exp{-ik(x+y)/2R}
(二次曲面代替球面）
— Fraunhofer衍射：光源和观察点距障碍物无限远
3、微分
FT
[
d
ng(x) dxn
]
=
(iu)n
FT
[
g
(
x)]
Fourier transform and convolution
• Fourier Transform 傅立叶变换 • Convolution 卷积
δ function
J.W. Goodman, “Introduction to Fourier Optics”, 2nd Ed. 1996.
振幅项 相位项
衬度传递函数
物镜衬度传递函数
Propagation of the scattered electron wave
I(r)= 1- 2σϕ (x,y) ∗F (Sin χ(u,v))
d,(nm) 1
1.000
0.500
0.33 3
0.2 50
0.200
0.167
0 .143 0.125
Es
The reverse FT of G(u) is defined as:
∫ FT−1(G(u)) = ∞ G(u)exp(2πiux)du = g(x) −∞
Operation Law
1、Linear
FT [c1g1 + c2 g2 ] = c1FT [g1] + c2 FT[g2 ]
2、相移
FT [g(x − x0)] = exp{−iux0}FT [g( x)]
高分辨电子显微学
1、理论 2、应用 3、模拟 4、实验
Fourier Transform
The FT of g(x) is defined as:
plane wave 平面波
∫ FT (g(x)) = ∞ g( x) exp( −2πiux )dx = G(u) −∞
g(x): complex function, x: independent variable G(u): complex function, u: independent variable x: spatial coordinates, u: spatial frequency
• 定义：
•
δ( x
−
x0
)
=
⎧∞
⎨ ⎩
0
x = x0 x ≠ x0
∞
∫ δ ( x − x0)dx = 1
−∞
Convolution and δ function
The identity operation is the convolution with the Dirac delta function:
1. g(x) = f(x) ⊗ δ(x) = f(x)
f(x) convolutes with δ(x), remains the same.
2. g(x) = f(x) ⊗ δ (x-a) = f(x-a)
f(x) convolutes with δ(x-a), then the independent variable x in f(x) shifts a.
• 1818年，费涅耳以波的干涉的思想，赋予了惠更斯原理中各元 波包络面以物理意义，即各元波的相互干涉，在包络面上合成波 具有显著的强度。他认为从同一波面上各点发出的子波，在传播 到空间某一点时，各个子波之间也可以相互叠加而产生干涉现象。 这就是惠更斯－菲涅耳原理。
Augustin-Jean Fresnel, 1788-1827
Crystal sample
Diffraction pattern
卷积 Convolution
∞
g(x) = ∫ f (t)ϕ(x − t)dt = f (x) ⊗ϕ(x) −∞
Image
Object Point spread function
f(x)
g(x)
⊗
Blurring
Convolution theorem 卷积定理
电子波函数
电子波函数
Ψ(r) = A(r)e−iϕ (r)
平面波 球面波
Ψ(r) = e−ik⋅r Ψ(r) = e−ik⋅r
r
电子运动规律具有波动性
• 电子波是一种几率波（德布罗意波） 电子波波长：
λ=
h
2meeV
(1
+
eV mec
2
)
电子波的物理光学
• 惠更斯-费涅尔(Huygens-Fresnel)原理 • 远场衍射（Fraunhofer Diffraction） • 近场衍射（Fresnel Diffraction） • 电子显微镜中的远场和近场衍射 • Abbe成像原理
Parallel Beam and image plane is at a distance, R, much larger compared to the size of the diffracting object (X,Y).
R >>（X2+Y2)max/λ， the observed wave is Fraunhofer Diffraction
0.111
0.10 0
0.0 91
0.083
0.077
0 .071
0.0 67 1
( ) ∫∫ ( ) Qexit k
= 1 eik⋅r u,v r
qexit x, y
eiϕ (x, y)dxdy
∞
∫ Convolution g (x) = f (t )ϕ(x − t)dt = f (x) ⊗ϕ (x) −∞
Abbe theory of image formation
• Abbe 成像原理
1
t And the Fourier Transform of 1 is：
1
F
w
∞
∫ 1 exp(−iωt) dt = 2π δ (ω)
−∞
2π δ (ω)
t
w
高分辨电子显微学发展历史
实验高分辨电子显微学
• 1956，Menter，1.2nm酞箐铜和钛菁铂的条纹像
• 1957，Menter，0.69nm的条纹像(MoO3)
• 样品出射波:
qexit (x, y)
• 第一次傅里叶变化（样品出射波远场衍射, 物镜会聚衍射在后
焦面）
( ) Q(u, v) =
∫∫ 1
2π
qSexit( x, y)(eφxpk−x2,πkiy( xu + yv))dxdy
• 第二次傅里叶变化（后焦面波的远场衍射）
qimage (x',
y')
=
0.0 83 0.077 0.071
0.0 67 1
Es
Et
dInfo
0
0
sin χ (r)
dSch
-1
k,(nm-1)
1
2
3
4
5
-1
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Contrast Transfer Function (CTF)
V = 300 kV CS = 0.002 mm CC = 1.5 mm ΔE = 0.8 eV HT Ripple = 0.25 ppm OL Instability = 0.5 ppm Δ = 2.14 nm α = 0.1 mrad
In electron microscope the sample transforms to diffraction by objective lens, namely, the wave of matter is transformed to spatial frequency spectrum at back focal plane of objective lens.