函数的值域与最值
1.函数值是与自变量x 对应的Y 的值。
函数值的集合就是值域。
2.基本初等函数的值域。
3.求值域的方法：
1）直接法：由x 的范围推出y 的范围。
如y=x+1 x ∈[0,1] y ∈[1,2]
2）配方法：适用于二次（或形如二次）函数y=a x 2+bx +c 或 y =a(log 2x )2+blog 2x +c
3）分离常数法(反函数法)：形如y=ax +b
cx +d 分子分母为1次
4）换元法：形如：y =ax +b ± 有代数换元和三角换元。
5）不等式法：均值不等式a +b ≥2 ab 一正二定三相等
6）单调性法：通过确定函数在定义域上的单调性来确定值域。
7）导数法
8）数形结合法：当函数图像易于作图时可考虑。
例题1：用反函数法求值域
求函数y
=1−x 2x +5的值域。
函数值域问题函数是数学中极为重要的概念之一，我们可以用它来描述各种各样的数学问题，从简单的代数方程到复杂的微积分问题。
函数值域问题则是函数中一个关键的问题，它涉及到了函数的输出范围和性质，对于数学研究和应用都有着重要意义。
什么是函数值域？在定义函数时，我们定义了一个输入变量和一个输出变量，并确定了它们之间的关系。
这个关系可以是任何类型的数学运算，例如加、减、乘、除、平方等等。
当我们输入函数的一个特定值时，函数会按照定义的运算关系计算并输出一个值，这个输出值的取值范围就是函数的值域。
值域是关于输出值的一组限定条件，它可以描述函数的性质、范围以及可能的输出变化。
例如，某个函数的定义域可能是所有实数，但它的值域可能只是正数，这意味着函数将所有输入变量转换为正数，而负数或零则不在函数的输出范围内。
函数值域的计算方法计算函数的值域通常需要我们使用一些特定的数学工具和技巧。
下面是一些常用的方法：1. 列举法对于一些简单的函数，可以通过列举法来计算函数的值域。
例如，函数 f(x)=x^2，我们可以通过列举不同的输入值来确定函数的值域。
当 x=0 时，f(x)=0，当 x=1 时，f(x)=1，当 x=-1 时，f(x)=1，当 x=2 时，f(x)=4，当 x=-2 时，f(x)=4 等等。
因此，这个函数的值域是所有非负实数。
2. 求导法对于一些更复杂的函数，我们可以使用求导法来计算函数的值域。
我们可以通过对函数进行求导，然后找到函数的极值点（即导数为零的点），以及函数的拐点（即导数为零的连续性转换点）。
这些极值和拐点将能够帮助我们定位函数的值域的范围。
3. 端点法在一些有限制的区间中，我们可以使用端点法来计算函数的值域。
端点法是指通过比较一个函数在区间端点的取值来确定函数的值域范围。
例如，假设我们要计算函数f(x)=x^2，在区间 [-1,2] 中的值域。
在这个区间中，f(2)=4，f(-1)=1，因此该函数的值域为 [1,4]。
函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）y =或y ax b=+的结构，可用“t =”换元；（2）y ax b =+±（,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用t =”换元；（3）y bx =±型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ad y d cx d c c x c +-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x=+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b +（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+-<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=( y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（＜x≤10/3当y=2时,方程(＊)无解。
