高中数学第三章圆锥曲线与方程3双曲线3.1双曲线及其标准方程课时跟踪训练北师大版选修2_1

2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 根据双曲线的定义：乙⇒甲，但甲⇒/乙，只有当2a ＜|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．答案： B2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9解析： 由x 29－y 216＝1得a 2＝9，∴a ＝3， 根据双曲线定义|d －3|＝2a ＝6，∴d ＝9或d ＝－3(舍)．答案： D3．已知椭圆C 1的离心率为35，焦点在x 轴上且长轴长为10，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 24－y 25＝1 B.x 25－y 24＝1 C.x 252－y 242＝1 D.x 242－y 252＝1 解析： 由题意知椭圆C 1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，且2a ＝4.∴a 2＝4，b 2＝5，故选A.答案： A4．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析： 原方程表示双曲线的充要条件是(9－k )(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4，故k ＞9是原方程表示双曲线的充分不必要条件．答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝________.解析： 依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1， 所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1. 答案： －16．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF2的周长是________．解析： 由双曲线的定义|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |＝26.答案： 26三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别求符合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24；(2)求与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，22)的双曲线的方程． 解析： (1)由题意，双曲线的焦点在y 轴上，因此可设其标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1. ∵2a ＝24，∴a ＝12.∵一个焦点坐标为F 1(0，－13)，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的方程为y 2144－x 225＝1. (2)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点为(25，0)，(－25，0)， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 则a 2＋b 2＝20.①又∵过点(32，22)，∴18a 2－8b2＝1.② 由①②，得a 2＝10，b 2＝10∴双曲线方程为x 210－y 210＝1. 8．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．解析： ∵双曲线方程为x 2144－y 225＝1， ∴c ＝144＋25＝13，于是焦点坐标为F 1(－13,0)、F 2(13,0)，设过点F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，∴y 225＝132144－1＝25144， ∴y ＝2512，即|AF 1|＝2512. 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋2512＝31312. 故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为2512和31312. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明它表示什么曲线．解析： 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|CB |2R， sin B ＝|CA |2R ，sin C ＝|AB |2R. ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|CB |＋|AB |＝2|CA |.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |， 由双曲线定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)， 故点C 的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)． 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 根据双曲线的定义：乙⇒甲，但甲⇒/乙，只有当2a ＜|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．答案： B2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9 解析： 由x 29－y 216＝1得a 2＝9，∴a ＝3， 根据双曲线定义|d －3|＝2a ＝6，∴d ＝9或d ＝－3(舍)．答案： D3．已知椭圆C 1的离心率为35，焦点在x 轴上且长轴长为10，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 24－y 25＝1 B.x 25－y 24＝1 C.x 252－y 242＝1 D.x 242－y 252＝1 解析： 由题意知椭圆C 1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，且2a ＝4.∴a 2＝4，b 2＝5，故选A.答案： A4．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 解析： 原方程表示双曲线的充要条件是(9－k )(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4，故k ＞9是原方程表示双曲线的充分不必要条件．答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝________.解析： 依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1， 所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1. 答案： －16．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是________．解析： 由双曲线的定义|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |＝26.答案： 26三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别求符合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24；(2)求与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，22)的双曲线的方程．解析： (1)由题意，双曲线的焦点在y 轴上，因此可设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.∵2a ＝24，∴a ＝12.∵一个焦点坐标为F 1(0，－13)，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的方程为y 2144－x 225＝1. (2)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点为(25，0)，(－25，0)， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＋b 2＝20.①又∵过点(32，22)，∴18a 2－8b 2＝1.②由①②，得a 2＝10，b 2＝10 ∴双曲线方程为x 210－y 210＝1. 8．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．解析： ∵双曲线方程为x 2144－y 225＝1， ∴c ＝144＋25＝13，于是焦点坐标为F 1(－13,0)、F 2(13,0)，设过点F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，∴y 225＝132144－1＝25144， ∴y ＝2512，即|AF 1|＝2512. 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋2512＝31312. 故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为2512和31312. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明它表示什么曲线．解析： 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|CB |2R， sin B ＝|CA |2R ，sin C ＝|AB |2R. ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|CB |＋|AB |＝2|CA |.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |， 由双曲线定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)， 故点C 的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．。

2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.1 拋物线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．对拋物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 解析： 拋物线方程可化为：x 2＝14y ，∴2p ＝14，开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，故选B.答案： B2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8解析： 由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.答案： B3．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析： 设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .故选A.答案： A4．焦点在x 轴上，又在直线3x －4y －12＝0上的拋物线的标准方程是( )A ．y 2＝－16xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝12x解析： 直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点坐标为(4,0)，故拋物线方程为y 2＝16x . 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线y 2＝2px ，过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________．解析： y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52.答案： 526．若拋物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m ＝________.解析： ∵椭圆x 29＋y 25＝1的焦点为(2,0)、(－2,0)，若拋物线与椭圆共焦点(2,0)，则m4＝2，∴m ＝8；若共焦点(－2,0)，则m ＝－8，∴m ＝±8.答案： ±8三、解答题(每小题10分，共20分)7．在平面直角坐标系xOy 中，拋物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求拋物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．解析： (1)由题意，可设拋物线C 的标准方程为y 2＝2px ，因为点A (2,2)在拋物线C 上，所以p ＝1.因此，拋物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.8．某桥的桥洞呈拋物线形，桥下水面宽16 m ，当水面上涨2 m 时，水面宽变为12 m ，求此时桥洞顶部距水面的高度．解析： 建立坐标系如图所示，设拋物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由条件可知点B 的横坐标为8，点E 的横坐标为6.两点的纵坐标分别为y B ＝－32p ，y E ＝－18p，∴y E －y B ＝14p＝2，得p ＝7，∴拋物线方程为：x 2＝－14y ，y E ＝－187，所以此时桥洞顶部距水面的高度为187 m.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知拋物线的顶点为直角坐标系的原点，准线方程为4x ＋1＝0.(1)在拋物线上有一定点P ，到拋物线焦点的距离为|PF |＝52，求点P 的坐标；(2)设拋物线上有一动点Q ，当动点Q 与点A (1,0)的距离|QA |取得最小值时，求Q 点的坐标，及|QA |的最小值．解析： (1)因为准线方程为4x ＋1＝0，即x ＝－14，得p 2＝14，所以p ＝12，由题意，拋物线方程为y 2＝x .设P (x 1，y 1)，因为|PF |等于点P 到准线的距离，所以x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52，得x 1＝94，进而y 1＝±32，即点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－32.(2)设Q (a 2，a )，则|QA |＝a 2－12＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122＋34，当且仅当a 2＝12时，|QA |取得最小值32，此时Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－22.。

§3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线．平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________．平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22 D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝________________________________________________________________________. 8．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞) D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a<|F 1F 2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab<0，所以b a <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线．]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m＋3＋m ＝c 2＝4.∴m＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.] 7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k<1解析 因为方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k<1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC|2R －|AB|2R ＝12·|BC|2R ，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y212＝1 (x>2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P(x ，y)(x≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x≥3)．令g(x)＝43x 2＋2x －1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3.∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y25＝1.。