高二年级数学选修课精英班讲义---圆锥曲线

高二年级数学选修课精英班讲义（圆锥曲线）
一、选择题
1．A(x 1, y 1), B(23
5,
2), C(x 2, y 2)为椭圆
125
9
2
2
=+
y
x
上三点，若F(0, 4)与三点A 、B 、C 的距离
为等差数列，是y 1+y 2的值为
A ．
3
4 B ．3
10 C ．
3
16 D ．
3
22
2．已知F 1、F 2是双曲线
14
2
2
=-y
x
的两个焦点，
点P 在双曲线上，若△F 1PF 2的面积是1，则21PF PF ⋅的值为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．
2
1
3．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x+2y-12=0的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值是
A ．5
B ．4
C ．
55
11
D ．
5
11
4．直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点(-2, 0)和AB 的中点，则直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围是
A ．b>2或b<-2-2
B ． b<-2+2
C ．b<2
D ．b>-2-2
二、填空题
5．AB 是抛物线y 2=2px 的焦点弦，且|AB|=m ，O 是抛物线的顶点，则△AOB 的面积是______________. 6．过点M(-2, 0)作直线l 交双曲线x 2-y 2=1于A 、B 两点，O 是原点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，则P 点的轨迹方程是_________________.
7．已知双曲线
1b
y a
x 2
22
2=-
(a>0,
b>0)的两个焦点分别为F 1、F 2，若它的左支上存在一点P ，使|PF 1|为d （点P 到左准线的距离）和|PF 2|的等比中项，则离心率e 的取值范围是_______________.
8．已知A 、B 、C 是椭圆m ：
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC 过椭
圆m 的中心，且0,||2||A C B C B C A C ⋅==
.则椭圆m 的方程为_______________；又过点M （0，t ）的
直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DQ DP =.则实数t 的取值范围为________________.
三、解答题
9．设A ，B 分别是直线x y 5
52=
和x y 5
52-
=上的两个动点，并且20||=
AB ，动点P 满足
.OB OA OP +=记动点P 的轨迹为C.
（1）求轨迹C 的方程；
（2）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且)1(≠=λλDN DM ，求实数λ的取值范围.
10． 已知椭圆C ：
2
2a
x ＋
2
2b
y ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点分为F 1F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝ex ＋a
与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点， 设AM ＝λAB .
（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2
；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△21F PF 是等腰三角形.
11．已知两定点A （1，0），B （0，－2），O 为坐标系原点，动点C 满足,OB OA a OC β+=其中∈βα,R ，且12=-βα.
（I ）求动点C 的轨迹方程； （II ）若点C 的轨迹与双曲线
)0,0(12
22
2>>=-
b a b
y a
x 相交于M 、N 两点，且以线段MN 为直径的圆经
过原点O ，试推断2
2
11b
a
-
是否为定值；
（III ）在（II ）的条件下，若双曲线的离心率不大于3，求a 的取值范围.
12．抛物线方程为y 2=p （x +1）（p ＞0），直线x +y =m 与x 轴的交点在抛物线的准线的右边. （1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q 、R ，OQ ⊥OR ，求p 关于m 的函数f （m ）的表达式； （3）在（2）的条件下，若m 变化，使得原点O 到直线QR 的距离不大于
2
2，求p 的值的范围.
练习题
一、选择题
1．过双曲线2x 2-y 2=4的右焦点F ，作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=42，则这样直线存在 A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
2．设A （x 1,y 1），B (x 2,y 2)，D (x 3,y 3)是曲线)0(42>=∴x x y 上三点，且|||,||,|DF BF AF 成等差 数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于E (3,0)时，点B 的坐标为 A ．（1，1） 或（1，－2） B ．（-1，1）或（-1，－2）
C ．（1，-1）或（1， 2）
D ．（-1，1）或（1，－2）
3．曲线2x 2-y 2
+6=0上的一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到较远的准线的距离是 A ．
43
64+
B ．
3
64或
43
64+
C ．62
D ．62或462+
4．已知双曲线12
22
2=-b
y a
x ,3
32)0,0(=>>e b a 的离心率过点A （0，－b ）和B （a ，0）的直线与
原点的距离为
)0,0(,2
3≠≠+=m k m kx y 直线与此双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、
D 都在以A 为圆心的同一圆上，则m 的取值范围为
A ．1044
m m -<<>或
B ．1154m m -
<<>或
C ．
144m << D ．1374
m m -
<<>或
二、填空题
5．已知抛物线y=x 2上三点A 、B 、C ，且A(-1, 1)，AB ⊥BC ，当点B 移动时，点C 的横坐标的取值范围是_____________________.
6．设抛物线过定点A （0，2），且以x 轴为准线，则抛物线顶点M 的轨迹C 的方程为________________.
7．已知椭圆18
9
:
2
2
=+
y
x
C 的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，过F 1作一直线交椭圆C 于A 、B 两点.
则△ABF 2面积的最大值为____________;当△ABF 2面积取得最大值时21tan AF F ∠的值为_____________.
8．若双曲线C 的渐近线方程为x ±2y =0，点A （5，0）到双曲线C 上动点P 的距离的最小值为6. 则求双曲线方程为___________________;又若过B （1，0）点的直线l 交双曲线C 上支一点M ，下支一点N ，且4BN
MB
5=，则直线l 的方程为_____________________.
三、解答题
9．设椭圆方程)0(1a
2
22
2>>=+
b a b
y x ，PQ 是过椭圆左焦点F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 中点M 到左准
线l 的距离为d . （1）证明：d
PQ ||为定值；
（2）若1,3==
b a ，在l 上求点R ，使△PQR 为等边三角形.
10．设F 是抛物线C ：x y 42=的焦点，过点A （－1，0）斜率为k 的直线与抛物线C 相交于M 、N 两点.
（1）设FN FM 与的夹角为120°，求k 的值；
（2）设λλ求],3
6,2
2[
,∈=k AN AM 的取值范围.
11．已知椭圆13
4
:
2
2
=+
y
x
C ，F 1为其左焦点，A 为右顶点，l 为左准线，过F 1的直线l '与椭圆交于
异于A 的P 、Q 两点.
（1）求AQ AP ⋅的取值范围；
（2）若AP ∩l =M ，AQ ∩l =N ，求证：M ， N 两点的纵坐标之积为定值.
12．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；
（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FQ FM λ-=。