北师大版七年级数学下册用关系式表示的变量间关系 (3)

议一议： （1）家居用电的二氧化碳排放量可以用
关系式表示为_____________， 其中的字母表示________________。
议一议：
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1KW·h，二氧
化碳排放量增加___________。 当耗电量从1 KW·h增加到100 KW·h时， 二氧化碳排放量从_______增加到________。
V 4 r2
3 ______________
做一做
如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半径由小 到大变化时，圆锥的体积也随之产生了变化。
（3）当底面半径由1厘米变 化到10厘米时，圆锥的体
积由 4 厘米3
3 变化到 400 厘米3 。
3
议一议：
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活” 是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降 低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式。
做一做
如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半径由小 到大变化时，圆锥的体积也随之产生了变化。
（1）在这个变化过程中， 自变量、因变量各是什么？
圆锥的底面半径的长度 是自变量
圆锥的体积是因变量
做一做
如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半径由小 到大变化时，圆锥的体积也随之产生了变化。
（2）如果圆锥底面半径为 r （厘米），那么圆锥的体积v （厘米3）与r的关系式为
800，1000时，计算相应的T值，
并用表格表示所得结果。
1、到今天为止我们一共学了几种方法来表示 自变量与因变量之间的关系？
列表格与列关系式两种方法
2、列表与列关系式表示变量之间的关系各有 什么特点？
通过列表格，可以较直观地表示因变量随自变量 变化而变化的情况。

第三章 变量之间的关系【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系. 3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4．能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系,并进行简单的预测. 【考点总结】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量.特别说明：一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量. t 是自变量,s 是因变量. 要点二、用表格表示变量间关系借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值,这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平方表等. 要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =）,我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系,但较抽象,不是所有的变量之间都能列出关系式. 要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量,用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势,而且对于一些无法用关系式表达的变量,图象可以充当重要角色. 【例题讲解】类型一、常量、自变量与因变量例1、根据心理学家研究发现,学生对一个新概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （分钟）之间有如表所示的关系：（1）上表中反映的两个变量之间的关系,哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是多少分钟时,学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系,得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．【详解】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量,其中“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是13分钟时,学生的接受能力最强达到59.9；（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系,理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．【训练】某公交车每月的支出费用为4000元,每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数x与每月利润y分别是变量和变量；（2）观察表中数据可知,每月乘客量达到人以上时,该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000人时,每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数,每月利润；（2）2000人；（3）4000元【分析】（1）根据函数的定义即可求解；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,即可求解；（3）有表中的数据推理即可求解．【详解】解：（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数是自变量,每月利润是因变量；故答案为：每月的乘车人数,每月利润；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,故答案为：2000；（3）有表中的数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1000元,当每月的乘车人数为2000人时,利润为0元,故每月乘车人数为4000人时,每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．【点睛】本题考查了根据表格与函数知识,正确读懂表格,理解表格体现变化趋势是解题关键．类型二、用表格表示变量间关系例2、一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用时间t表示时间,v表示速度,那么随着t的变化,v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒,v的变化情况相同吗？在哪个时间段内,v增加的最快？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．【答案】（1）时间与速度；时间；速度；（2）0到3和4到10,v随着t的增大而增大,而3到4,v随着t的增大而减小；（3）不相同；第9秒时；（4）1秒．【分析】（1）根据表中的数据,即可得出两个变量以及自变量、因变量；（2）根据时间与速度之间的关系,即可求出v的变化趋势；（3）根据表中的数据可得出V的变化情况以及在哪1秒钟,V的增加最大；（4）根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,再根据时间与速度的关系式即可得出答案．【详解】解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系,时间是自变量,速度是因变量；（2）如果用t 表示时间,v 表示速度,那么随着t 的变化,v 的变化趋势是0到3和4到10,v 随着t 的增大而增大,而3到4,v 随着t 的增大而减小；（3）当t 每增加1秒,v 的变化情况不相同,在第9秒时,v 的增加最大； （4）由题意得：120千米/小时=12010003600⨯（米/秒）,由33.328.9 4.4-=,且28.924.2 4.7 4.4-=>, 所以估计大约还需1秒．【点睛】本题主要考查函数的表示方法,常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量,然后结合图表得到问题的答案即可．【训练】某路公交车每月有x 人次乘坐,每月的收入为y 元,每人次乘坐的票价相同,下面的表格是y 与x 的部分数据．x /人次500 1000 1500 2000 2500 3000 … y /元1000200040006000…（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）请将表格补充完整．（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元,如果该路公交车每月的利润要达到10000元,则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润=收入-支出费用）【答案】（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量；（2）表格见解析；（3）7000人次． 【分析】（1）根据表格即可得出结论；（2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元,即可得出结论； （3）先求出每增加1人次乘坐,每月的收入就增加2元,然后求出总收入即可求出结论； 解：（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量． （2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元, 表格补充如下：÷=（元）（3）10005002()÷（人次）4000+100002=7000答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次【点睛】此题考查的是变量与常量的应用,掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．类型三、用关系式表示变量间关系例3.按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数,用y来表示可坐人数．①题中有几个变量？②你能写出两个变量之间的关系吗？【答案】①有2个变量；②能,函数关系式可以为y=4x+2．【解析】试题分析：①根据变量和常量的定义可得结果；②由图形可知,第一张餐桌上可以摆放6把椅子,进一步观察发现：多一张餐桌,多放4把椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2．试题解析：①观察图形：x=1时,y=6,x=2时,y=10；x=3时,y=14；…可见每增加一张桌子,便增加4个座位,因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．故可坐人数y=4x+2,故答案为：有2个变量；②能,由①分析可得：函数关系式可以为y=4x+2．【训练】已知,如图,在直角三角形ABC中,∠ABC＝90°,AC＝10,BC＝6,AB＝8．P是线段AC上的一个动点,当点P从点C向点A运动时,运动到点A停止,设PC＝x,△ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．【答案】y＝﹣125x+24．【分析】过点B作BD⊥AC于D,则BD为AC边上的高．根据△ABC的面积不变即可求出BD；根据三角形的面积公式得出S△ABP＝12AP•BD,代入数值,即可求出y与x之间的关系式．【详解】如图,过点B作BD⊥AC于D．∵S△ABC＝12AC•BD＝12AB•BC,∴BD＝8624105 AB BCAC⋅⨯==；∵AC＝10,PC＝x,∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x,∴S△ABP＝12AP•BD＝12×（10﹣x）×245＝﹣125x+24,∴y与x之间的关系式为：y＝﹣125x+24．【点睛】此题考查直角三角形的面积求法,列关系式的方法,能理解图形中三角形的面积求法得到高线BD的值是解题的关键.类型四、用图象表示变量间关系例4、巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体,到达起点后小明做了一会准备活动,朱老师先跑．当小明出发时,朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息,解答下列问题：(1)在上述变化过程中,自变量是______,因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒,小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时,求小明距起点的距离是多少米？【答案】(1)t,s；(2)2,6；(3)小明距起点的距离为300米．【分析】解析(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答【详解】解：(1)在上述变化过程中,自变量是t,因变量是s；(2)朱老师的速度420200110＝2(米/秒),小明的速度为42070＝6(米/秒)；故答案为t,s；2,6；(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t,解得t＝50(s),则50×6＝300(米),所以当小明第一次追上朱老师时,小明距起点的距离为300米．【点睛】此题考查一次函数的应用,解题关键在于看懂图中数据【训练】如图是甲、乙两人同一地点出发后,路程随时间变化的图象．（1）此变化过程中, 是自变量, 是因变量；（2）甲的速度乙的速度（大于、等于、小于）；（3）6时表示；（4）路程为150km,甲行驶了小时,乙行驶了小时；（5）9时甲在乙的（前面、后面、相同位置）；（6）乙比甲先走了3小时,对吗？.【答案】（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 【解析】试题分析：（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量,路程是因变量；（2）甲走6小时行驶100千米,乙走3小时走100千米,则可得到他们的速度的大小；（3）6时两图象相交,说明他们相遇；（4）观察图形得到路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）观察图象得到t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些；（6）观察图象得到甲先出发3小时后,乙才开始出发.试题解析：解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象,则t是自变量,s是因变量；（2）甲的速度是100÷6=503千米/小时,乙的速度是100÷3=1003千米/小时,所以甲的速度小于乙的速度；（3）6时表示他们相遇,即乙追赶上了甲；（4）路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些,所以9时甲在乙的后面；（6）不对,是乙比甲晚走了3小时.故答案为（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 考点：函数的图象.【训练】根据图回答下列问题.(1)图中表示哪两个变量间的关系?(2)A、B两点代表了什么?(3)你能设计一个实际事例与图中表示的情况一致吗?【答案】（1）时间与价钱；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元【解析】试题分析：认真分析表中数据再结合身边的事例即可得到结果.（1）图中表示时间与价钱的关系；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元考点：本题考查的是函数的图象点评：解答本题的关键是读懂图象,得到图象的特征及规律,再根据这个规律解决问题.。

七年级数学下册：第三章变量之间的关系1 用表格表示的变量间关系2 用关系式表示的变量间关系3 用图象表示的变量间关系1、表示变量间的关系的方法（1）表格（2）关系式（3）图象2、变量、自变量、因变量在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

3、自变量与因变量的确定：（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。

（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

（3）常量（不发生变化的量）（4）在一个变化的关系式中只有一个自变量和一个因变量，且因变量需要写在等号左边。

4、图像法。

用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。

5、速度图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。

6、路程图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。

七、三种变量之间关系的表达方法与特点：表达方法特点表格法多个变量可以同时出现在同一张表格中关系式法准确地反映了因变量与自变量的数值关系图象法直观、形象地给出了因变量随自变量的。

2 用关系式表示的变量间关系原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！令公桃李满天下，何用堂前更种花。

出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》教学目标一、基本目标1．能根据具体情境用关系式表示某些变量之间的关系．2．能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系．二、重难点目标【教学重点】找出题中的自变量和因变量．【教学难点】根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P66～P67的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(教材P66引入问题)如图，三角形ABC底边BC上的高是6 cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是底边BC长，因变量是△ABC的面积；(2)如果三角形的底边长为x( cm)，那么三角形的面积y( cm2)可以表示为y ＝3x；(3)当底边长从12 cm变化到3 cm时，三角形的面积从36 cm2变化到9 cm2.2．(教材P67“议一议”)“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．如下表：排碳计算公式家居用电的二氧化碳排放量(kg)＝耗电量(kW·h)×0.785开私家车的二氧化碳排放量(kg)＝耗油量(L)×2.7家用天然气二氧化碳排放量(kg)＝天然气使用量(m3)×0.19家用自来水二氧化碳排放量(kg)＝自来水使用量(t)×0.91(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为y＝0.785x，其中的字母表示y表示家居用电的二氧化碳排放量，x表示耗电量；(2)在上述关系式中，耗电量每增加1 kW·h，二氧化碳排放量增加0.875 kg.当耗电量从1 kW·h增加到100 kW·h时，二氧化碳排放量从0.875 kg增加到87.5 kg；(3)小明家本月用电大约110 kW·h、天然气20 m3、自来水5 t、耗油75 L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．解：110×0.785＋75×2.7＋20×0.19＋5×0.91＝297.2(kg)．即小明家这项的二氧化碳排放量是297.2 kg.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：写出用t表示【互动探索】(引发学生思考)观察表中给出的t与s的对应值→分析数据→归纳得出关系式．【分析】t＝1时，s＝2×12；t＝2时，s＝2×22；t＝3时，s＝2×3；t＝4时，s＝2×42，…所以s与t的关系式为s＝2t2，其中t≥0.【答案】s＝2t2(t≥0)【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)关系式一般是用含有自变量的代数式表示因变量的等式；(2)关系式通常把因变量写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边；(3)利用关系式可以根据任何一个符合条件的自变量的值求出因变量的值，但已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已的是自变量还是因变量，不要代错了．【例2】一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t h)的关系如下表所示：(1)请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6 h后，油箱中的剩余油量；(2)辆车在中途不加油的情下，最多能连续行驶的时间是多少？【互动探索】(引发学生思考)(1)分析表中数据可知，每行驶1 h耗油量为7.5 L，由此可写出油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的关系式；(2)由(1)知，汽车每小时耗油7.5 L，油箱原有汽油54 L，用后者除以前者即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时．【解答】(1)Q＝54－7.5t.把t＝6代入，Q＝54－7.5×6＝9.即这辆汽车在连续行驶6 h后，油箱中剩余油量为9 L.(2)54÷7.5＝7.2(h)．即这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶7.2 h.【互动总结】(学生总结，老师点评)观察表中的数据，发现其中的变化规律，然后根据其增减趋势写出自变量与因变量之间的关系式．活动2 巩固练习(学生独学)1．变量x与y之间的关系式是y＝x2－3，当自变量x＝2时，因变量y的值是( C )A．－2 B．－1C．1 D．22．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的，设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是( B )A．y＝4n－4 B．y＝4nC．y＝4n＋4 D．y＝n23．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为1时，则输出的数值为2.输入x―→×－1―→＋3―→输出4．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的关系式；(2)6小时后池中还有多少水？(3)几小时后，池中还有200立方米的水？解：(1)Q＝800－50t(0≤t≤16)．(2)当t＝6时，Q＝800－50×6＝500.即6小时后池中还剩500立方米水．(3)当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12.即12小时后，池中还有200立方米的水．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)求变量之间关系式的“三途径”：(1)根据表格中所列的数据，归纳、总结两个变量的关系式；(2)利用公式写出两个变量之间的关系式；(3)结合实际问题写出两个变量之间的关系式．练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。