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【思路点拨】过点O作OE⊥AB于E,根据垂径定理得CE,DE的 关系,再根据等腰三角形的“三线合一”性质得AE,BE的关系, 进而得结论. 【自主解答】过点O作OE⊥AB于E, 由垂径定理得CE=DE, 又∵OA=OB,∴AE=BE, ∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD.
【想一想】 垂径定理中的“垂径”一定是直径吗? 提示:不一定,可以是半径或过圆心的直线
知识点一 圆的定义及其应用 【示范题1】如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且 CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
【思路点拨】作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形 全等,最后根据全等的性质得出结论. 【自主解答】连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D, 又∵CE=DF.∴△OCE≌△ODF,∴OE=OF,∴△OEF是等腰三角形.
知识点二 圆的有关概念辨析
【示范题2】在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直径;
③如图所围成的图形是半圆.其中正确的命题有
.
【教你解题】
【想一想】 长度相等的两条弧是等弧吗? 提示:在同圆或等圆中能够重合的弧是等弧,长度相等的两条弧 不一定能够重合.
【备选例题】
过圆上一点可以作圆的最长弦有( )
【想一想】 圆是一条曲线,还是一个曲面? 提示:圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点 组成的曲线,而不是曲面.
【微点拨】 利用同一个圆的半径相等,可以为三角形全等提供相等的边,
由等边对等角,也可以为三角形全等提供相等的角.
【方法一点通】 确定圆的“两个要求” 1.圆心:确定圆的位置. 2.半径:确定圆的大小.
【微点拨】 1.证明圆中与弦有关的线段相等时,常借助垂径定理,利用其平 分弦的性质来解决问题. 2.常综合运用垂径定理和等腰三角形的性质,证明圆中与弦有关 的线段相等.
【方法一点通】 根据垂径定理与推论“知二推三”
对于一个圆和一条直线,若具备: (1)过圆心; (2)垂直于弦; (3)平分弦; (4)平分弦所对的优弧; (5)平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.直径是圆的对称轴.( × ) 2.圆有无数条对称轴.( √ ) 3.平分弦的直径垂直于弦.( × ) 4.弦的垂直平分线必过圆心.( √ )
知识点一 垂径定理及其推论 【示范题1】如图所示,等腰△AOB中OA=OB,☉O与边AB交于C,D 两点,求证:AC=BD(不用全等证明).
【自主解答】由题意知OA=OE=r,∵EF=1m,
又OE⊥AB,∴AF=1 AB=1 ×3=3 (m).
22
2
在Rt△OAF中,OF2+AF2=OA2,
即(r-1)2+ ( 3)=2 r2,
Байду номын сангаас
2
解得r= 13m.即圆O的半径为13m.
8
8
【想一想】 过一条弦的中点和这条弦所对弧的中点的直线必过圆心吗? 提示:必过圆心.
A.1条
B.2条
C.3条
D.无
【解析】选A.直径是圆中最长的弦,过圆上一点只能作一条直径.
【方法一点通】 圆中容易混淆的“两组基本概念”
1.弦与直径. (1)直径是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径. (2)弦是连接圆上任意两点的线段,但直径是经过圆心的弦. 2.弧与半圆. (1)半圆是弧,但弧不一定是半圆. (2)圆上任意两点分圆成两段弧.圆上任意一条直径的两个端点 把圆分成两条弧,每一条弧叫做半圆.
2.圆的相关概念
圆心
两点
AB
重合
线段 互相重合
优弧 直径
劣弧
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.圆是一个平面.( × ) 2.以1cm为半径只能画几个圆.( × ) 3.直径不是弦.( × ) 4.弧分为优弧和劣弧.( × ) 5.两段圆弧,较长的是优弧,较短的是劣弧.( × ) 6.在同圆或等圆中能够重合的弧是等弧.( √ ) 7.圆心相同的圆是等圆.( × )
知识点二 垂径定理及其推论的应用 【示范题2】(2013·邵阳中考)如图所示,某窗户是由矩形和弓 形组成,已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻 璃,请帮工程师求出 AB所在圆O的半径r.
【思路点拨】由垂径定理可得,AF=BF=3 m,OF可表示为r-EF,
2
由勾股定理可求出圆的半径.
24.1.2 垂直于弦的直径
1.圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条_过__圆__心__的直线都是它的对称轴. 2.垂径定理 (1)内容:垂直于弦的直径_平__分__弦,并且_平__分__弦所对的两条弧. (2)推论:平分弦(不是_直__径__)的直径_垂__直__于__弦__,并且_平__分__弦所 对的两条弧.
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第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
1.圆的定义 (1)描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固 定的一个端点O_旋__转__一__周__,另一个端点A所形成 的图形叫做圆. ①固定的端点O叫做_圆__心__,线段OA叫做_半__径__. ②圆的记法和读法:以点O为圆心的圆记作“☉__O_”,读作“_圆__O”. (2)集合定义:圆可以看成是到_定__点__的距离等于_定__长__的点的集合.
1.四变量:如图,弦长a,圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点到弦 的距离(弓形高)h,这四个变量知任意两个可求其他两个.
2.两关系:① (a+)2d2=r2;②h+d=r.
2
24.1.3 弧、弦、圆心角
1.圆的旋转不变性 圆是_中__心__对__称__图形,而且圆绕圆心旋转任意一个角度都能与 原图形_重__合__. 2.圆心角 _顶__点__在__圆__心__的角叫做圆心角.
【微点拨】 1.解决有关弓形的题目,要根据题意画出几何图形,过圆心作弦 的垂线,能得到弦的中点和弧的中点,这两个中点的连线为弓高, 然后利用勾股定理列方程求解. 2.应用垂径定理计算的关键是寻找弦的一半、半径和圆心到弦 的垂线段为边的直角三角形,利用勾股定理列方程求解.
【方法一点通】 垂径定理基本图形的四变量、两关系
