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（一）、最值与值域的高考地位传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与值域的求解通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数学思想解题的能力。
（二）、最值与值域的关系1、有的函数知道值域就可以求最值如：函数2x y =的值域是{}0|≥y y ，可知0min =y2、有的函数知道最值就可以求值域3、有的函数有值域但无最值 如：函数xy 1=的值域是{}0|≠y y ，但无=min y ,无=max y 4、有的函数有最大值但无最小值如：函数2x y -=，0max =y ，但无=min y 5、有的函数有最小值但无最大值 如：函数212xy +-=，2min -=y ，但无=max y 6、值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是一个不等式构成的集合 如：常数函数2)(=x f 的值域是{}27、求最值与值域的方法大同小异8、在由值域确定函数的最值时，需注意等号成立的条件下才能取到。
如：已知值域{}13|<≤-y y ，只有3min -=y ，而无=max y 9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值 （三）、基本初等函数的定义域与值域即是求函数值的集合或是找到的y 的不等式出来（以后者为重） 如：已知函数12)(-=x x f ，{}5,3,2,1,0∈x 则此函数的值域是（ ） A 、{}5,3,2,1,9；B 、{}3,1,1-；C 、{}5,3,1,1,9-；D 、{}91|≤≤-x x 法（一）：观察法 【及时反馈】1、函数12)(-=xx f 的值域是（ ） A 、)1,(--∞；B 、),1[+∞；C 、R ；D 、),1(+∞-法（二）：反函数法ⅰ、理论依据：巧妙根据原函数与它的反函数的定义域、值域的互调性，如下表所示： 由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）①求)(y x Φ=；②x 、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域 【及时反馈】（1）、求函数142)(-+=x x x f 的值域 （2）、求函数453)(-=x xx f 的值域法（三）：分离变量法 常用于求形如)0()(≠++=ac dcx bax x f 的函数的值域求解技巧：“分子对分母说，我要变成你”，即把)(x f 化成“常量+dcx +常量”的形式来。
高考数学冲刺策略函数的值域与最值求解高考数学冲刺策略：函数的值域与最值求解高考数学中，函数的值域与最值问题一直是重点和难点。
在冲刺阶段，掌握有效的求解策略对于提高成绩至关重要。
本文将为同学们详细介绍函数值域与最值的求解方法，并通过实例帮助大家加深理解。
一、函数值域与最值的基本概念首先，我们来明确一下函数值域和最值的定义。
函数的值域是指函数在其定义域内所有可能的输出值的集合。
简单来说，就是当自变量在定义域内取遍所有可能的值时，函数所对应的函数值的范围。
而函数的最值则分为最大值和最小值。
最大值是函数在定义域内所能取得的最大函数值，最小值则是所能取得的最小函数值。
二、常见函数的值域与最值1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）的函数为一次函数。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增，值域为 R；当 k ＜ 0 时，函数单调递减，值域也为 R。
2、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。
其图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
对于形如 y ＝ a(x h)²＋ k 的顶点式，顶点坐标为（h, k)，当 a ＞ 0 时，函数的最小值为 k；当 a ＜ 0 时，函数的最大值为 k。
3、反比例函数反比例函数 y ＝ k/x（k ≠ 0），其定义域为x ≠ 0。
当 k ＞ 0 时，函数在区间（∞， 0) 和（0, ＋∞）上分别单调递减；当 k ＜ 0 时，函数在区间（∞， 0) 和（0, ＋∞）上分别单调递增。
值域为（∞， 0) ∪（0, ＋∞）。
4、指数函数指数函数 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数在 R 上单调递增，值域为（0, ＋∞）；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数在 R 上单调递减，值域同样为（0, ＋∞）。
5、对数函数对数函数 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1），其定义域为（0, ＋∞）。
高考数学技巧解决复杂的函数极值和最值问题函数极值和最值问题在高考数学中占有重要地位，涉及到函数的最大值、最小值以及极大值、极小值等概念。
这些问题需要我们灵活运用数学知识和技巧来解决。
在本文中，我将介绍一些高考数学技巧，帮助大家解决复杂的函数极值和最值问题。
一、化简与转换在解决函数极值和最值问题时，我们常常会碰到复杂的函数表达式。
这时，我们可以通过化简与转换来简化问题。
具体方法如下：1. 代数化简：利用代数运算的性质，将函数表达式进行化简。
常见的代数化简技巧有因式分解、配方法、合并同类项等。
通过化简，我们可以得到更简洁的函数表达式，便于后续的处理。
2. 函数性质转化：对于一些特殊类型的函数，我们可以利用其性质进行转化。
比如，对于幂函数，可以利用对数函数的性质进行转化；对于三角函数，可以利用三角函数的周期性进行转化。
通过函数性质的转化，我们可以将原问题转化为更简单的形式，进而解决问题。
二、求导与判定求导是解决函数极值和最值问题的常用技巧。
通过求导，我们可以确定函数的增减性和极值点。
具体方法如下：1. 求导：首先，我们需要求出函数的导数。
对于一元函数，我们可以直接对函数进行求导；对于多元函数，我们需要利用偏导数的概念进行求导。
求导的结果是一个新的函数，表示了原函数的变化率。
2. 极值判定：通过求导，我们可以判定函数的增减性和极值点。
当导数为0或不存在时，表明函数可能存在极值点。
通过对导数符号的分析，我们可以确定极值点的位置和类型。
例如，导数从正变负时，函数可能存在极大值点；导数从负变正时，函数可能存在极小值点。
三、辅助图像与辅助直线辅助图像和辅助直线是解决函数极值和最值问题的有效工具。
通过绘制图像和直线，我们可以直观地理解问题，确定问题的范围和性质。
具体方法如下：1. 绘制函数图像：通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的变化趋势和特点。
特别是对于一些特殊的函数，如三角函数、指数函数等，其图像可以揭示函数的周期性、单调性等性质。
专题02 常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.方法一 观察法例1函数[]23,4,5y x x-=+∈的值域_____________． 【答案】513,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由2()f x x =-在(0,)+∞上单调递增，∴23y x =-+在[]4,5x ∈上单调递增，而当4x =时，52y =；当5x =时，135y =. ∴函数值域为513,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式演练1】求函数x x f 28)(-=的值域. 【解析】∵2x ＞0，∵0≤8﹣2x ＜8．∵0≤x28-＜2．故函数x x f 28)(-=的值域是)22,0[.方法二分离常数法例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域.【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形： 函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域： 根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y . 【变式演练2】【北京大学附属中学2021届高三5月阶段性检测】若函数()11x f x x -=+的定义域是[)0,+∞，则()f x 的值域是___________. 【答案】[)1,1- 【解析】由()11221111x x f x x x x -+-===-+++ 当0x ≥时，11x +≥，所以1011x <≤+，则2201x -≤-<+ 所以21111x -≤-<+，即()()101x f x x x -=≥+的值域为[)1,1-故答案为：[)1,1-方法三 配方法 第一步 将二次函数配方成；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成：由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++()()225456x x x x =++++()f x ()ax b f x cx d +=+ey cx d=+()f x 2()y a x b c =-+2()y a x b c =-+()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 【变式演练3】已知函数432--=x x y 的定义域是],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ） A ．]4,0( B ．]4,23[ C ．]3,23[ D ．),23[+∞【答案】C 【解析】试题分析：因二次函数432--=x x y 的对称轴为23=x ,且0=x 时,函数值4-=y ,当23=x 时,425-=y ,因此当3=x 时, 4-=y .故当323≤≤m ,故应选C. 考点：二次函数的图象和性质.方法四 反函数法例4 设为，的反函数，则的最大值为． 【答案】【解析】第一步，先判定函数()222xx f x +=-在区间[]20，上是单调递增的；第二步，求出函数()222x x f x +=-的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，； 第三步，根据反函数的性质得出反函数()x fy 1-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； ()1fx -()222x f x -=+[]0,2x ∈()()1y f x f x -=+4所以在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以的最大值为()()221-+f f 4=【变式演练4】求函数的值域.方法五 换元法例5 求函数()1423xx f x +=--， []1,1x ∈-的值域..【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：()1423x x f x +=-- ∴()()32222-•-=xxx f ，设2x t =，∴()()222314f t t t t =--=--第二步，求出换元后函数的定义域： ∵[]1,1x ∈-，∵[]0,2t ∈，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[]4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]4,3--.【变式演练5】【2021新高考高考最后一卷数学第二模拟】函数22sin sin 21sin x xy x+=+的值域为______.【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题可得，22222sin 2sin cos tan 2tan cos 2sin 12tan x x x xx y x x x ++==++，令tan x t =，则22221t ty t +=+，()()1y f x f x -=+()()1y f x fx -=+34()56x f x x +=+即()21y -220t t y -+=，当210y -=，即12y =时，14t =； 当210y -≠，即12y ≠时，要使方程有解，则需()44210y y ∆=--≥，得111,,1222y ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 综上，1,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦例6求函数y x =+.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令210,2t t x -==，所以原函数可化为()211022y t t t =-++≥ 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.【变式演练6】 求函数，的值域.方法六 判别式法)1x )(cos 1x (sin y ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数；第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例7 求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为所以()()0732222=++-+-y x y x y第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆，=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈⇒2,29y 【变式演练7】求函数12+=x xy 的值域. 【解析】2201xy yx x y x =∴-+=+，当0y =时方程有解，当0y ≠时由0∆≥可得2140y -≥1122y ∴-≤≤，综上可知值域为]21,21[-.方法七 基本不等式法22dx ex fy ax bx c++=++x y 3274222++-+=x x x x y x 3274222++-+=x x x x y例8 已知，求函数 的最小值.【解析】第一步，将函数解析式化成()xax x f +=的形式： 因为25≥x ，所以02>-x ； 所以()()()()()221222212425422-+-=-+-=-+-=x x x x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：()()()()()122122222122=-⨯-≥-+-=x x x x x f ，当且仅当()()22122-=-x x ，即3=x 时等号成立。
高考数学最值问题及解题思路分享在高考数学中，最值问题是一道经典的题型，出现频率较高。
关于最值问题，我们可以从以下三个方面来进行探讨：最大值、最小值和最优解。
接下来，我们将从这三个方面入手，来一起学习解题思路。
一、最大值最大值问题通常可以通过以下步骤来解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最大值点。
2. 计算：将最大值点代入原函数，可得函数的最大值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求其在区间$[-2,2]$上的最大值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3x^2-3$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\pm1$。
由此得出，当$x=\pm1$时，函数$f(x)$取得最大值。
将$x=\pm1$代入原函数，可得最大值为$f(1)=f(-1)=3$。
二、最小值与最大值问题类似，最小值问题也可以通过以下步骤解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最小值点。
2. 计算：将最小值点代入原函数，可得函数的最小值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=(x-1)^3-x^2$，求其在区间$[0,2]$上的最小值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3(x-1)^2-2x$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\frac{3}{4}$和$x=2$。
由此得出，当$x=\frac{3}{4}$和$x=2$时，函数$f(x)$取得最小值。
将$x=\frac{3}{4}$和$x=2$代入原函数，可得最小值为$f(\frac{3}{4})=\frac{-49}{64}$和$f(2)=-4$。
三、最优解在实际问题中，我们通常要找到一个最优解，这个解可能既不是最大值也不是最小值，而是在某种条件下最合适的解。
函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。
在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。
本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。
一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。
确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。
2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。
3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。
例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。
二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。
确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。
需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。
2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。
首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。
3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。
综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。
确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。
高中数学求最值的方法
高中数学求最值的方法有多种，以下是其中一种常用的方法：
1. 探索区间：首先确定要求最值的函数的定义域和范围。
一般来说，可以通过观察函数的图像或者对函数进行分析来确定函数的定义域和范围。
2. 寻找极值点：使用求导的方法，找到函数的导数为零或不存在的点。
这些点称为函数的驻点。
然后对这些点进行求值，得到函数在这些点的函数值。
3. 确定边界值：将函数的边界值（例如定义域的开区间端点或者范围的端点）代入函数中求值，得到函数在边界值处的函数值。
4. 比较函数值：将所得到的函数值进行比较，找出其中最大值或最小值。
需要注意的是，在这个过程中，可能会遇到以下情况：
- 函数导数不存在的点可能是函数的极值点，需要进一步进行分析。
- 函数的定义域和范围可能存在开区间端点或无穷的情况，需要单独考虑。
- 如果函数在某些点的函数值相等，则这些点都可能成为函数的最值点，需要进行进一步的比较。
在完成这个过程之后，就可以找到函数的最大值或最小值了。
常见函数值域或最值的经典求法【考点综述】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：直接法使用情景：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值. 解题模板：第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 例1 求函数2()131xf x =++的值域. 【答案】(1，3) 【解析】 解题模板选择：本题中分式的分母部分是一个指数型函数的形式，属于特殊函数，且函数的解析式整体比较简单，故选取解题方法模板一直接法进行解答. 解题模板应用：第一步 观察函数中的特殊函数； 函数31x y=+为指数型函数，易得31(1,)x +∈+∞，第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 由31(1,)x+∈+∞，得2()1(1,3)31x f x =+∈+，故函数2()131x f x =++的值域为(1，3). 【典型例题】1．函数y = A ．[0,)+∞ B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C 【解析】函数y =(]20,16,x∈所以[)1620,16x-∈.有[)0,4y =. 故选C.2．函数211y x =+的值域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(0,1]C ．(,1]-∞D ．(0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数性质求值域. 【详解】因为211x +≥，所以21011x <≤+,选B. 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．函数21()12f x x =+的值域为（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．[]0,1D ．(]0,1【答案】D 【解析】 【分析】根据20x ≥，求得()f x 的值域. 【详解】由于20x ≥.所以220x ≥，2121x +≥，210112x<≤+，故()f x 的值域为(]0,1. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题.4．函数y A ．[–1，+∞） B ．[0，+∞）C ．（–∞，0]D ．（–∞，–1]【答案】B 【解析】 【分析】由x +1≥0，得x ≥–1，在[–1，+∞）上函数y 0，进而得到结果. 【详解】由x +1≥0，得x ≥–1，在[–1，+∞）上函数y 0，∴函数y [0，+∞）． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了函数的值域的求法，关于函数的值域需要注意的有：首先函数值域不能为空集，其次是指的函数值的集合.求函数的值域的问题，最终结果要写成集合或者区间的形式. 5．已知函数()212f x x =+，则f （x ）的值域是 A ．1{|}2y y ≤ B ．1{|}2y y ≥ C ．1{|0}2y y <≤D ．{|0}y y >【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，求得函数的值域. 【详解】由于220,22x x ≥+≥，故211022x <≤+，故函数的值域为1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，故选C. 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题. 6．设函数()()121xf x x R =∈+,则它的值域为( ) A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(1,+∞)D ．(2,+∞)【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解. 【详解】由题：x ∈R ，()20,x∈+∞，()211,x+∈+∞，所以()10,121x ∈+()()121xf x x R =∈+的值域为0,1. 故选：A 【点睛】此题考查求函数值域，涉及指数函数值域，反比例型函数值域. 解题方法模板二：配方法使用情景：函数表达式为二次函数或者换元之后为二次函数的类型，即可使用配方法求函数的值域或最值. 解题模板：第一步 将二次函数配方成2()y a x b c =-+；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 例2 已知函数2()41,[2,5]f x x x x =-+∈-，求函数y =f (x )的值域.【答案】[－3，13] 【解析】 解题模板选择：本题中所给的函数解析式为二次函数的形式，是一个二次函数在给定区间求值域的问题，故选取解题方法模板二配方法进行解答. 解题模板应用：第一步 将二次函数配方成2()y a x b c =-+； 函数的解析式22()41(2)3f x x x x =-+=--.第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 由二次函数的性质可知： 当x =2时，min 3y =-；当x =－2时，max 13y =.因此函数2()41,[2,5]f x x x x =-+∈-的值域为[－3，13].【典型例题】1．函数y =的值域为（ ） A ．RB ．[0,)+∞C ．3(,]2-∞D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得y =21924x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的取值范围结合幂函数的单调性即可得解. 【详解】函数y ==，21990,244x ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数y =的值域为⎡⎢⎣即30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D. 【点睛】本题考查了复合函数值域的求解，考查了二次函数与幂函数性质的应用，属于基础题. 2．函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）A ．[]0,3B ．[]1,3C ．[]1,0-D ．[]1,3-【答案】D 【解析】分析：利用二次函数的性质即可得出答案. 解析：()22211y x x x =-=--，∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，03x ≤≤，∴当1x =时，min 1y =-，1-距离对称轴远，∴当3x =时，max 3y =， ∴13y -≤≤.故选：D.点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 3．函数24y x x =-，([0,4])x ∈的值域是( ) A ．[3,0]- B ．[4,0]- C ．[0,3] D ．[4,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先将函数配方224(2)4y x x x =-=--，再利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】224(2)4y x x x =-=--又因为[0,4]x ∈ 所以[4,0]y ∈- 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数求值域，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．函数[]()2220,3y x x x =-+∈的值域是（ ）A ．[]1,5B ．[]1,2C ．[]2,5D ．[)1,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最值，进而得到值域． 【详解】解：函数()2222(1)1y f x x x x ==-+=-+，对称轴为[]10,3x =∈，()f x ∴在[]0,1上单调递减，在[]1,3上单调递增，()11f =，()02f =，()2332325f =-⨯+=()[]1,5f x ∴∈即函数的值域为[]1,5． 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的值域，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题． 5．函数23622y x x =-+-的值域为（ ） A ．[4,)+∞ B ．(,4]-∞C ．(,10]-∞-D ．[10,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数配成顶点式，即可得解. 【详解】 解：()2233622422y x x x =-+-=--+，(],4y ∴∈-∞.故选：B . 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题. 解题方法模板三：判别式法使用情景：函数表达式形如22dx ex fy ax bx c++=++类型 解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数； 第二步 将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域.例3 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 解题模板选择：本题中所给函数的解析式符合利用判别式法求值域的形式，故选取解题方法模板三判别式法进行解答.解题模板应用：第一步，将函数式化成关于x 的方程的形式：因为3274222++-+=x x x x y ，所以()()0732222=++-+-y x y x y ，第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆：=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以9,22y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭解题方法模板四：分离常数法 使用情景：函数表达式形如()ax bf x cx d+=+类型解题模板：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d+=+；第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式； 第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域. 例4 求函数1(1)1x y x x +=≠-的值域 【答案】{y |y ≠1} 【解析】 解题模板选择：本题中函数的解析式是一个分时形式()ax bf x cx d+=+，故选取解题方法模板四分离常数法进行解答.解题模板应用：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d+=+：1(1)1x y x x +=≠-，其中1,1a b c d ====-； 第二步 对函数()f x 变形成()a e f x c cx d=++形式； 11221111x x y x x x +-+===+---， 第三步 求出函数e y cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域. 函数的定义域为{}|1x x ≠-，则201x ≠-，故2111y x =+≠-， 因此原函数的值域为{y |y ≠1}.【名师点睛】此类型的函数，分子、分母都含有自变量，而通过分离常数法，可以将此类函数的变量只含到分母上，分子化为常数，使函数值y 的范围变化容易确定，从而较为简单地求出函数的值域.【典型例题】1．函数()3452x f x x -+=-的值域是（ ） A ．B ．C ．D ．R【答案】B【解析】试题分析：()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞考点：函数值域2．函数()3452x f x x -+=-的值域是（ ） A ．()(),22,-∞+∞ B ．()(),22,-∞--+∞C ．55,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．R 【答案】B【解析】【分析】先分离常数，再根据反比例函数单调性求值域.【详解】()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----，()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞． 【点睛】本题考查分式函数单调性以及值域，考查基本求解能力.3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其命名的“高斯函数”为：设用[]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数，则函数的值域为（ ） A ．{0,1}B ．{0}C ．{-1,0}D ．{-1,0,1}【答案】C【解析】【分析】由题意首先确定函数的值域，然后求解函数的值域即可. 【详解】函数的解析式，由于，故，结合函数的定义可得函数的值域为{-1,0}.本题选择C 选项.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 4．设函数f (x )＝－，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－2,0}【答案】B【解析】【分析】【详解】 依题意()211111122212x x x f x +-=-=-++，由于10121x <<+，所以()11,22f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1f x ⎡⎤=-⎣⎦，当()10,2f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x ⎡⎤=⎣⎦，故()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}0,1.故选B.【点睛】本小题主要考查指数函数的值域，考查新定义函数的意义，考查了分类讨论的数学思想方法.属于中档题. 5．函数()1212xxf x -=+的值域为（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,1【答案】A【解析】【分析】用分离常数法，并结合指数函数性质求解．【详解】 ()1212xx f x -=+2112x =-++， 因为20x >，所以121x +>，20212x <<+，211112x -<-+<+． ∴()f x 的值域是(1,1)-．故选：A.【点睛】本题考查求函数的值域，方法是分离常数法．对一次分式型函数可以采用分离常数法求函数值域．本题还考查了指数函数的性质．。
函数的值域与最值（一）、最值与值域的高考地位传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与值域的求解通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数学思想解题的能力。
（二）、最值与值域的关系 1、有的函数知道值域就可以求最值如：函数2x y =的值域是{}0|≥y y ，可知0min =y2、有的函数知道最值就可以求值域3、有的函数有值域但无最值 如：函数xy 1=的值域是{}0|≠y y ，但无=min y ,无=max y 4、有的函数有最大值但无最小值如：函数2x y -=，0max =y ，但无=min y 5、有的函数有最小值但无最大值 如：函数212xy +-=，2min -=y ，但无=max y 6、值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是一个不等式构成的集合 如：常数函数2)(=x f 的值域是{}27、求最值与值域的方法大同小异8、在由值域确定函数的最值时，需注意等号成立的条件下才能取到。
如：已知值域{}13|<≤-y y ，只有3min -=y ，而无=max y 9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值（四）、函数的最值与值域的求解技巧即是求函数值的集合或是找到的y 的不等式出来（以后者为重） 如：已知函数12)(-=x x f ，{}5,3,2,1,0∈x 则此函数的值域是（ ） A 、{}5,3,2,1,9；B 、{}3,1,1-；C 、{}5,3,1,1,9-；D 、{}91|≤≤-x x 法（一）：观察法 【及时反馈】1、函数12)(-=xx f 的值域是（ ） A 、)1,(--∞；B 、),1[+∞；C 、R ；D 、),1(+∞-法（二）：反函数法ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）①求)(y x Φ=；②x 、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域 【及时反馈】 （1）、求函数142)(-+=x x x f 的值域（2）、求函数453)(-=x xx f 的值域法（三）：分离变量法 常用于求形如)0()(≠++=ac dcx bax x f 的函数的值域求解技巧：“分子对分母说，我要变成你”，即把)(x f 化成“常量+dcx +常量”的形式来。
【及时反馈】（1）、求函数142)(-+=x x x f 的值域 （2）、求函数453)(-=x xx f 的值域通过以上两题的值域的求解，你发现了什么？（3）、已知函数123)(2+-=x x a x f 的值域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠21|y y ，则a 的值是法（四）：基本不等式法若a>0,b>0，则ab b a 2≥+ , 2)2(b a ab +≤ 【及时反馈】(1)、若a 、b 是正数且ab b a =++3，则ab 、a+b 的取值范围分别是（2）、已知实数m 、n 满足mn>0,则mnn m 22+的值（ ）A 、有最小值但没有最大值；B 、有最大值但没有最小值；C 、既有最大值也有最大值；D 、没有最大值也没有最小值； ①2by k x=+型，可直接用不等式性质， 【及时反馈】求232y x =+的值域（答：3(0,]2） ②2bxy x mx n=++型，先化简，再用均值不等式，【及时反馈】（2）求函数y =1[0,]2）③2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，【及时反馈】求211x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞）在使用均值不等式求函数的最值与值域时注意：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针 法（五）：配方法常用于二次型函数)0()()(2≠++=a c x bf x af y 的最值与值域的求解。
配方步骤：1、把二次项系数化为1；2、在一次项之后加上又同时减去一次项的一半的平方；3、把前三项凑成完全平方式。
（一）、不带限制条件的二次型函数的最值与值域的求解技巧1：通过配方后得到ab ac a b x a y 44)2(22-++= 当0>a 时，a b ac y 442min-=；值域是⎪⎪⎭⎢⎣⎡+∞-,442a b ac 当0<a 时，a b ac y 442max-=；值域是⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b ac 44,2 技巧2：求出对称轴，然后把对称轴带入原函数即得【及时反馈】（1）、求函数12++=x x y 的最值与值域。
（2）、求函数12312-+-=x x y 的最值与值域（要求配方后作出函数的图像）。
（3）、求函数822+--=x x y 的最值与值域。
（4）、求函数122+--=x x xx y 的最值与值域。
（提示：分离变量后用配方法，当然还可以用判别式法处理本题。
答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31）（二）、带有限制条件的二次型函数的最值与值域的求解有两类：1、是求具体函数（即不含字母参数的）在闭区间[,]m n 上的最值与值域；技巧1：通过配方后画出图形，由数形结合即可求解带有限制条件的二次函数图像的画法须注意以下几点： ①对称轴；②开口；③顶点；④与坐标轴的交点 注意：先画全图，后根据定义域加以取舍。
技巧2：可不画图求出对称轴，然后看对称轴与区间的位置关系若对称轴包含在区间内，则把端点及对称轴处的函数值全求出来加以比较，最大者为最大值，最小者为最小值。
若对称轴在区间外，则只需把端点处的函数值求出来即可最大者为最大值，最小者为最小值。
【及时反馈】（1）、求函数)0(12>++=x x x y 的最值与值域。
（2）、求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）； （3）、求函数322--=x x y 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、]2,4(--；ⅱ、]2,1(-；ⅲ、)5,3(；ⅳ、),(+∞-∞（4）、求函数x x y 2cos sin +=的最值与值域。
（提示：先转化为带有限制条件的二次型函数的最值与值域的求解） （5）、若9271≤≤x ，则函数)3(log 27log )(33x xx f •=（ ） A 、有最小值932-，最大值-3；B 、有最小值4-，最大值12；C 、有最小值932-，无最大值；D 、无最小值，有最大值12；2、是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题（即含字母参数的）。
此时要分“轴在区间左；轴在区间右；轴在区间内”三种情况加以讨论 【及时反馈】（1）、当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：21-≥a ）； （2）、分别根据下列条件，求实数a 的值：ⅰ、函数a ax x x f -++-=12)(2在区间[]1,0上有最大值2；（答案：a=-1或2）ⅱ、函数12)(2++=ax ax x f 在区间[]2,3-上有最大值4ⅲ、函数1)12()(2+-+=x a ax x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上有最大值3（3）、求函数a ax x x f -++-=12)(2在区间[]1,0上的最大值。
小结：求二次函数的最值与值域问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。
法（六）：换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征一般是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 代数换元法【及时反馈】 1、（1）、求函数1-+=x x y 的最值与值域。
所以21t x =-，所以)0(12≥++=t t t y ，欲求原函数的值域，只需求)0(12≥++=t t t y 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。
（2）、求函数x x y 21--=2、22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8-）；3、21y x =++的值域为_____（答：(3,)+∞）t =，0t ≥。
运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；4、ααααcos sin cos sin ++=y 的值域为____（答：1[1,2-）； 5、求函数1424222+-++-=x x x x y 的最值与值域。
三角换元法【及时反馈】（1）、求函数21x x y -+=的最值与值域。
思考：此题同上面的【及时反馈5】）有何区别与联系？ 解：定义域优先考虑：由012≥-x 得11≤≤-x 联想到 三角函数中的θθcos ,sin 的范围不就也是1cos ,sin 1≤≤-θθ吗？所以令x =θcos ，其中[]?)(,0why x π∈，则[]πθθθ,0,cos sin ∈+=y 最值与值域。
（下略） （2）、已知变量y x ,满足122=+y x，求y x 43+的最值。
（3）、已知变量y x ,满足400251622=+y x ，求y x 43+的最值。
（4）、已知0),1,0(<∈ab x ，则xb x a x f -+=1)(22的最小值为( ) A 、2)(b a + B 、2)(b a - C 、22b a + D 、2（22b a +）（5）4y x =+的值域为____（答：4]）； 法（七）：单调性法若函数)(x f 在区间[]b a ,内单调递增，则)(min a f y =，)(max b f y =； 若函数)(x f 在区间[]b a ,内单调递减，则)(min b f y =，)(max a f y =； 【及时反馈】 1、求函数1-+=x x y 的最值与值域。
易知此函数的定义域为[)+∞,1，而在此区间内函数递增，故当1min =x 时，1)1(min ==f y 。
2、求函数x x y 21--=3、求函数1(19)y x x x=-<<的最值与值域。
法（八）：判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式。
如22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法 【及时反馈】 （1）求21xy x =+的值域。
（2）、求函数12222+++-=x x x x y 的最值与值域。
解：易知定义域为R ，由12222+++-=x x x x y 变形得0)2()1()2(2=-+++-y x y x y(当二次项系数为字母参数时注意对其分等于0和不等于0两情形加以讨论)当02=-y 时，即y=2，方程变为003=+x ，此时R x ∈=0当02≠-y 时，即2≠y ，因为R x ∈ 方程0)2()1()2(2=-+++-y x y x y 恒有实根0)2(4)1(22≥--+=∆y y51≤≤y又{}51|2≤≤∈y y 1222+++-=x x x x y 值域为{}51|≤≤y y（2）、若函数12++=x bax y 的值域是]4,1[-，则a,b 的值为 （答：a=±4,b=3,详解参见《名师一号》P51—12题）（3）、已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值（答：5m n ==详解见《2010优化方案》P29）判别式法的思想意义：“判别式法”这种思想方法巧妙的把函数、不等式、方程有机的勾结起来，使得函数、不等式、方程三者互相转化的思想体现得淋漓尽致。
