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MATLAB软件及高斯勒让德求积公式

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数值分析课程实验报告
2012—2013学年度第二学期
系别：数学与计算机科学学院
实验课程
数值分析
班级
10级数学与应用数学2班
学号
05
姓名
杜宁峰
指导教师
陈耀庚
实验题目
学习编写高斯-勒让德计算程序
日期
2013年3月27日
实验原理
MATLAB软件及高斯勒让德求积公式
实验内容及具体步骤：
一、试验环境
计算机MATLAB软件
二、实验目的
1利用MATLAB软件编写高斯-勒让德求积公式程序.
三、实验内容
1.建立function函数，在学习了高斯勒让德求积公式的基础上，结合MATLAB
软件编写程序。
2.结合课本122页表4-7检验程序。
四、试验步骤
1程序（1）
functiong= GuassLegendre (a,b,n,m)
ห้องสมุดไป่ตู้A =
0.5689 0.2369 0.4786 0.2369 0.4786
x =
0 0.9062 0.5385 -0.9062 -0.5385
>> [A,x]=Guass1(5)
% a,b·Ö±ðÊÇ»ý·ÖµÄÉÏÏÂÏÞ£»
% n+1Ϊ½Úµã¸öÊý£»
% mÊǵ÷ÓÃf1.mÖеڼ¸¸ö±»»ýº¯Êý£»
[A,x]=Guass1(n)
g=0;
fori=1:n+1
y(i)=(b-a)/2*x(i)+(a+b)/2;
f(i)=f1(m,y(i));
g=g+(b-a)/2*f(i)*A(i);
x(j)=x(j)+t(j);
end
x(j)=x(j)/k;
end
五、运行结果
[A,x]=Guass1(2)
A =
0.8889 0.5556 0.5556
x =
0 0.7746 -0.7746
>>
>> [A,x]=Guass1(1)
A =
1 1
x =
0.5774 -0.5774
>> [A,x]=Guass1(4)
f=diff(f,i);
t=solve(f);
forj=1:i
fork=1:i
X(j,k)=t(k)^(j-1);
end
ifmod(j,2)==0
B(j)=0;
else
B(j)=2/j;
end
end
X=inv(X);
forj=1:i
A(j)=0;
x(j)=0;
fork=1:i
A(j)=A(j)+X(j,k)*B(k);
end
2程序（2）
functionf=f1(i,x)
g(1)=sqrt(x);
ifx==0
g(2)=1;
else
g(2)=sin(x)/x;
end
g(3)=4/(1+x^2);
f=g(i);
程序（3）
function[A,x]=Guass1(N)
i=N+1;
f=((sym('t'))^2-1)^i;

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gauss-legendre求积公式

gauss-legendre求积公式

gauss-legendre求积公式Gauss-Legendre求积公式是数值积分中一种高精度的求积方法，由德国数学家高斯和法国数学家勒让德独立提出，并且是迄今为止被广泛使用的一种求积公式。

它的优点在于其高精度和易于实施。

求积问题是数值计算领域中的重要问题之一，因为很多实际问题都可以化为求定积分的问题。

定积分在数学和物理等领域具有非常重要的意义，但是对于很多函数，特别是无法用解析式表示的函数，求积公式是一种有效的数值计算方法。

Gauss-Legendre求积公式的基本思想是通过构造插值多项式来逼近被积函数，从而近似计算积分的值。

具体来说，该公式将被积函数变换为[-1,1]上的函数，并使用Legendre多项式进行插值。

Legendre多项式是与Legendre方程相关联的正交多项式，通过求解Legendre方程的特征函数得到。

这些多项式具有很多良好的性质，例如正交性和递归性，这使得它们在求积公式中非常有用。

Gauss-Legendre求积公式的一般形式可以表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b-a)/2 ∑[i=1,n] wi f(xi)其中，wi是权重，xi是Legendre多项式的根，n是根的数量。

这个公式的精度取决于根和权重的选择，即选择合适的xi和wi可以使得求积公式的精度更高。

根的选择是一个关键问题。

通过观察可以发现，Legendre多项式的根是对称分布的，具有以下特点：xi与-xi关于原点对称，并且都落在[-1,1]的范围内。

由于多项式根的选择取决于问题的范围，因此根的计算需要使用数值方法，例如使用牛顿法或二分法。

权重的计算也是一个重要的问题。

根的选择确定后，通过求解Legendre多项式的系数，即可得到相应的权重。

一种常用的计算权重的方法是使用正交性质，即利用Legendre多项式的正交性将积分转化为求和。

这种方法可以计算出精确的权重。

需要注意的是，Gauss-Legendre求积公式需要选择合适的根和权重，以达到较高的精度。

MATLAB软件及高斯勒让德求积公式

MATLAB软件及高斯勒让德求积公式

A =
0.5689 0.2369 0.4786 0.2369 0.4786
x =
0 0.9062 0.5385 -0.9062 -0.5385
>> [A,x]=Guass1(5)
% a,b·Ö±ðÊÇ»ý·ÖµÄÉÏÏÂÏÞ£»
% n+1Ϊ½Úµã¸öÊý£»
% mÊǵ÷ÓÃf1.mÖеڼ¸¸ö±»»ýº¯Êý£»
[A,x]=Guass1(n)
g=0;
fori=1:n+1
y(i)=(b-a)/2*x(i)+(a+b)/2;
f(i)=f1(m,y(i));
g=g+(b-a)/2*f(i)*A(i);
f=diff(f,i);
t=solve(f);
forj=1:i
fork=1:i
X(j,k)=t(k)^(j-1);
end
ifmod(j,2)==0
B(j)=0;
else
B(j)=2/j;
end
end
X=inv(X);
forj=1:i
A(j)=0;
x(j)=0;
fork=1:i
A(j)=A(j)+X(j,k)*B(k);
x(j)=x(j)+t(j);
end
x(j)=x(j)/k;
end
五、运行结果
[A,x]=Guass1(2)
A =
0.8889 0.5556 0.5556
x =
0 0.7746 -0.7746
>>
>> [A,x]=Guass1(1)
A =
1 1
xHale Waihona Puke =0.5774 -0.5774
利用两点gauss-legendre求积公式

利用两点gauss-legendre求积公式

利用两点Gauss-Legendre求积公式一、概述在数值分析中，求积公式是一种用数值方法来计算定积分的技术。

Gauss-Legendre求积公式是一种求积公式，它利用节点和权重的组合来逼近定积分的计算值。

而两点Gauss-Legendre求积公式则是其中一种特定的求积公式，它利用两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。

二、求积公式的基本原理Gauss-Legendre求积公式的基本原理是通过在特定的节点上取得函数值，并将这些值进行线性组合，来逼近定积分的计算值。

对于一个给定的定积分\[I = \int_{-1}^{1} f(x) dx\]Gauss-Legendre求积公式的一般形式可以表示为\[Q_n(f) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\]其中，\(w_i\)为权重，\(x_i\)为节点，\(n\)为节点数。

通过选择合适的节点和权重，可以使得对于特定的\(n\)，求积公式的计算值与实际定积分值非常接近。

三、两点Gauss-Legendre求积公式两点Gauss-Legendre求积公式是通过选择两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。

通常情况下，两点Gauss-Legendre求积公式的节点和权重可以通过一些特定的计算公式来得到，具体如下：1. 节点和权重的获取我们需要根据Gauss-Legendre求积公式的规则来选取节点和权重。

对于两点求积公式来说，节点和权重的获取可以通过以下方式进行：节点的获取：通过解Legendre多项式的根来得到节点的值。

在两点Gauss-Legendre求积公式中，节点的值通常为\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)和\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。

权重的获取：通过Legendre多项式的导数来得到权重的值。

在两点Gauss-Legendre求积公式中，权重的值通常为1。

2. 求积公式的应用得到节点和权重之后，就可以利用两点Gauss-Legendre求积公式来进行定积分的逼近计算了。

matlab高斯数值积分

matlab高斯数值积分

matlab高斯数值积分
在MATLAB 中，可以使用内置函数 integral 来进行高斯数值积分（Gaussian numerical integration）。

integral 函数使用自适应的高斯-库恩法（Gaussian-Kronrod method）来进行数值积分，可以处理一般的积分问题。

下面是 integral 函数的基本语法：
I = integral(fun, a, b)
其中：
•fun 是一个函数句柄，表示要进行积分的函数。

可以是已有的内置函数、自定义函数，或者用匿名函数表示。

• a 和 b 是积分的上下限。

以下是一个简单的示例，演示如何使用 integral 函数进行高斯数值积分：
在上述示例中，我们定义了一个函数 f，并将其作为参数传递给 integral 函数，然后指定积分的上下限。

最后，通过调用 integral 函数进行数值积分，并将结果存储在变量 I 中。

最后便可打印输出 I 显示积分结果。

请注意，integral 函数提供了更多的选项来调整数值积分的
精度和计算参数，如 'AbsTol'、'RelTol'、'MaxIntervalCount' 等。

可以根据具体的需求进行设置。

使用 integral 函数可以方便地进行高斯数值积分，但在处理特定问题时还需注意数值积分的误差控制和积分函数的光滑性，以确保得到精确的结果。