2019-2020学年北京师大附中高一下学期期末数学试卷 (解析版)

首都师大附中2019-2020学年第一期期末考试一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.设R θ∈，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用正弦函数的图象性质分析.【详解】当6πθ=,可以得到1sin 2θ=,反过来若1sin 2θ=，有26k πθπ=+或526k ππ+，k Z ∈.所以6πθ=为充分不必要条件，故选：A .【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断问题，属于简单题.2.已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b的夹角为（）A.45°B.60°C.90°D.135°【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b = ，设向量a ，b的夹角为θ，则cos 2a b a bθ⋅==⋅ ，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒．故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（）A.725-B.725C.2425-D.2425【答案】D 【解析】【分析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值．【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴4cos 5θ==-，∴3424sin 22sin cos 2()(5525θθθ==⨯-⨯-=．故选：D．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4.下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A.||2x y =B.23y x -= C.1y x x=- D.()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，对于函数()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x --===，该函数为偶函数，当(),0x ∈-∞时，()122xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，则函数2xy =在区间(),0-∞上为减函数，合乎题意；对于B 选项，函数()23g x x -==的定义域为{}0x x ≠，()()g x g x -===，该函数为偶函数，由于该函数在区间()0,∞+上单调递减，则该函数在区间(),0-∞上为增函数，不合乎题意；对于C 选项，函数()1h x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，不合乎题意；对于D 选项，()()2ln 1x x ϕ=+的定义域为R ，()()()()22ln 1ln 1x x x x ϕϕ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，该函数为偶函数，由于函数()()2ln 1x x ϕ=+在区间()0,∞+上为增函数，在该函数在区间(),0-∞上为减函数，合乎题意.故选：AD.【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题.5.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是()A.c a b <<B.c b a<< C.b c a<< D.a b c<<【答案】B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B.6.函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，3sin ,022cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+,则λμ-的值为()A.3B.2C.1D.3-【答案】D 【解析】【分析】【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD =+，∴2AD AC AE =-+，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-．考点：平面向量的几何运算8.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（）A.有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B.有一条对称轴6x π=C.在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D.在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B 【解析】由题()()2sin 2f x x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B .点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.9.对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（）A.①②③B.②③C.③④D.①④【答案】A 【解析】【分析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案.【详解】①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos 2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足；④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足；故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.10.延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE，下列判断正确的是（）A.满足2λμ+=的点P 必为C B 的中点B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个C.λμ+的最小值不存在D.λμ+的最大值为3【答案】D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==- 设(,)AP a b = ，由λμAP =AB +AE得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．二、填空题共6小题每小题5分共30分11.函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为()()3,44,⋃+∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.12.在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____.【答案】0【解析】【分析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案.【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13.已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】【分析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2.【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14.若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.【答案】(]1,2【解析】【分析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案.【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤.故答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大.【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t =≤++＝5当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用16.已知函数π()sin2f x x =，任取t R ∈，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-.则关于函数()h t 有如下结论：①函数()h t 为偶函数；②函数()h t的值域为[1,1]2-；③函数()h t 的周期为2；④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）【答案】③④.【解析】【分析】【详解】因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin 2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可.根据π()sin2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin 12h t t π=+当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()1cos 2h t t π=+；当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()ππππsin cos 22224h t t t ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭；当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin 2h t t π=-；当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos 2h t t π=-；当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin2f t t π=，()ππππsin cos 22224h t t t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为221,122⎡-+⎢⎣⎦，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为此时13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有③④正确.考点：1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.三、解答题共4小题共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17.已知不共线向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2- a 3b ）•（2a b + ）＝20.（1）求a •b ；（2）是否存在实数λ，使λa b + 与- a 2b 共线？（3）若（k a + 2b ）⊥（- a kb ），求实数k 的值.【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k =【解析】【分析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λa b + 与- a 2b 共线，则()2a b m a b λ+=- ，计算得到答案.（3）计算（k a + 2b ）•（- a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2- a 3b ）•（2a b + ）＝20，所以42- a 4a •b - 32= b 4×9﹣4a •b - 3×4＝20，解得a •b =1；（2）假设存在实数λ，使λa b + 与- a 2b 共线，则()2a b m a b λ+=- ，故,12m m λ==-，12λ=-.即存在λ12=-，使得λa b + 与- a 2b 共线；（3）若（k a + 2b ）⊥（- a kb ），则（k a + 2b ）•（- a kb ）＝0，即k 2+ a （2﹣k 2）a •b - 2k 2= b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18.已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）（a ∈R ），且f （3π）=（1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间；（3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值312--【解析】【分析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.（3）计算2x 6π+∈[6π，76π]，再计算最值得到答案.【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）（a ∈R ），且f （3π）=.∴f （3π）12=（122a -）=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosx cosx ﹣sinx ）=2x ﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+），令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∈Z ，可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∈Z ，（3）∵x ∈[0，2π]，可得：2x 6π+∈[6π，76π]，∴当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）2-取得最小值为﹣12.【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19.如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（Ⅰ）37；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A .【解析】【分析】(Ⅰ)在BDC 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=，BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴43sin 7BDC ∠=．(Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴43113536072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=⨯--⨯ ⎪⎝⎭．ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABD AD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠，∴156022.540t =⨯=分钟．即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20.f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数.（1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x =<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案.（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明.【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0，即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2），∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数，说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=，则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0，即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2），∴()()210f x x x=＜不是C 函数；（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）.（i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n m T--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2，那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ），这与f （m ）＜f （n ）矛盾；（ii ）若f （m ）＞f （n ），记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n m T--，同理也可得到矛盾；∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数，又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.所以f（x）不是R上的C函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。

首都师大附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．24254．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ．B ．C ．D ．6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ∈f （x ）221x x =+，∈f （x ）＝x 3，∈f （x ）＝cos 2πx ，∈f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．∈∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ）A ．2xy = B ．23y x-= C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.12．在∈ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：∈函数()h t 为偶函数； ∈函数()h t的值域为[12-；∈函数()h t 的周期为2； ∈函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 四、解答题17．已知不共线向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20. （1）求a r •b r；（2）是否存在实数λ，使λa b +rr与-ra 2b r共线？（3）若（k a +r 2b r ）∈（-r r a kb ），求实数k 的值.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(∈)求sin BDC ∠的值；(∈)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.解析首都师大附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则cos 2a b a bθ⋅===⋅r r r r ，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒．故选：A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∵4cos 5θ===-， ∵3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=．故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫=⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>， 所以c b a <<，选B. 5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C.故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D 【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD u u u r u u u r u u u r =+，∵2AD AC AE =-+u u u r u u u r u u u r，∵1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算 7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】由题()()2sin 2fx x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：∈f （x ）221x x =+，∈f （x ）＝x 3，∈f （x ）＝cos 2πx ，∈f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．∈∈∈ B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈【答案】A【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. ∵f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足； ∵f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；∵f （x ）＝cos2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ∵f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-u u u r u u u r 设(,)AP a b =u u u r ，由λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用． 二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ）A ．2xy = B ．23y x-= C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xxy -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x-=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln1y x=+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意.故选：AD. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题. 12．在∈ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0【解析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]1,2【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5当且仅当4t t =且t ＞0，即t ＝2时取等号【考点】基本不等式，实际应用16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：∈函数()h t 为偶函数； ∈函数()h t的值域为[1-；∈函数()h t 的周期为2； ∈函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】∵∵.【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可. 根据π()sin2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin12h t t π=+当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos12h t t π=+；当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cossin22h t t t ππ=-；当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin 2h t t π=-； 当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos2h t t π=-；当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin 2f t t π=，此时()sincos22h t t t ππ=-作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为[122-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有∵∵正确. 【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数. 四、解答题17．已知不共线向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20. （1）求a r •b r；（2）是否存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线？（3）若（k a +r2b r）∈（-rra kb ），求实数k 的值. 【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，计算得到答案.（3）计算（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20， 所以42-ra 4a r •b -r32=rb 4×9﹣4a r •b -r 3×4＝20，解得a r •b=r1；（2）假设存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，故,12m m λ==-，12λ=-.即存在λ12=-，使得λa b +r r 与-r a 2b r 共线；（3）若（k a +r 2b r ）∵（-r r a kb ），则（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，即k 2+r a （2﹣k 2）a r •b -r 2k 2=r b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1- 【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 26f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案. （3）计算2x 6π+∵[6π，76π]，再计算最值得到答案. 【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∵R ），且f （3π）=∵f （3π）12=（12a -=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosx ﹣sinx ）=2x ﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+）， 令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∵Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∵Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∵Z ， （3）∵x ∵[0，2π]，可得：2x 6π+∵[6π，76π]，∵当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣1. 【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(∈)求sin BDC ∠的值；(∈)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（∵）7； （∵）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(∵) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(∵)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间. 【详解】(∵)由已知可得140202CD =⨯=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∵sin 7BDC ∠=． (∵)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∵116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯=⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD⨯∠⨯∠===∠∠，∵156022.540t=⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数. 【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案.（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∵[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明. 【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∵（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0， 即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∵f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0，即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2）， ∵()()210f x x x=＜不是C 函数； （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∵[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ）， 记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n mT--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ）， 这与f （m ）＜f （n ）矛盾； （ii ）若f （m ）＞f （n ），记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1n mT--，同理也可得到矛盾；∵f（x）在[0，T）上是常数函数，又因为f（x）是周期为T的函数，所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.所以f（x）不是R上的C函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。

首都师大附中2019—2020学年第二学期期末考试高二数学考试说明：1.本考试共三大题，18小题，满分120分，考试时间为2020年7月1日14：00-15：30，共90分钟；2.请考生打印试卷，并在规定答题区域内作答：填空题在题末方框内横线处作答，解答题在题末每题对应的方框内作答.若不便打印，请准备空白A 4纸3张，标明题号后作答：将填空题作答在一面，4道解答题各一面，其中立体几何解答题请自行画图；3.考试结束后，考生立即停止作答，之后考生有30分钟的时间将★★★答案★★★拍照上传至慕课平台，上传规则如下：选择题和填空题在“期末考试高二数学选择填空”域内作答，选择题请根据题号和题目勾选选项，填空题请将答题区拍照上传；解答题请将答题区拍照，并上传至对应题目的区域.请务必保证图片清晰没有重影，位置放正，不合要求的图片对应的题目得分一律记零分.第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 已知集合{}2|20P x x x =-≥ ，{}|12Q x x =<≤ ，则()RP Q 等于（ ）A. [)0,1B. (]0,2C. ()1,2D. []1,2【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】先解不等式，化简集合P ，求出RP ，再和Q 求交集，即可得出结果.【详解】由220x x -≥得2x ≥或0x ≤，则{2P x x =≥或}0x ≤，因此{}02RP x x =<<；又{}|12Q x x =<≤，则(){}12RP Q x x ⋂=<<.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2. 设命题2:0,10p x x x ∀>++>，则p ⌝为（ ） A. 2:0,10p x x x ⌝∃>++≤ B. 2:0,10p x x x ⌝∃≤++≤ C. 2:0,10p x x x ⌝∀>++≤ D. 2:0,10p x x x ⌝∀≤++≤【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定规则即可得解.【详解】因为命题2:0,10p x x x ∀>++>为全称命题， 所以p ⌝为20,10x x x ∃>++≤.故选：A.【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 3. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A. 21y x =-+B. 11xy x-=+ C. 1y x=-D.y x x =【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，函数21y x =-+为偶函数，故A 错误； 对于B ，函数11xy x-=+的定义域为{}1x x ≠-，所以该函数为非奇非偶函数，故B 错误； 对于C ，函数1y x=-在整个定义域内不单调，故C 错误； 对于D ，函数22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，所以该函数为奇函数且单调递增，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，考查了运算求解能力，属于基础题. 4. “2a >”是“函数()2f x ax =+在区间[]1,2-上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及函数零点的存在性定理求解即可. 【详解】当2a >时，函数()2f x ax =+在[]1,2-上递增，则()()()()122220f f a a -=-++<，所以函数()f x 在[]1,2-有零点.反之，当()2f x ax =+在[]1,2-上有零点时，则只需满足()()()()122220f f a a -=-++≤，解得1a ≤-或2a ≥.故2a >”是“函数()2f x ax =+在区间[]1,2-上有零点”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查函数零点的存在性定理的运用，较简单.5. 已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ） x2-0 4 ()f x11-1A. 33,22⎛⎫-⎪⎝⎭B. 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭C. 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<， 可得：3322a -<<， 故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.6. 已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()2f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. []1,0-【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】由题意作出()y f x =与2y ax =的图象，由图分析，当0x <时，()()()2222g x f x x x x x ==--+=-，()()00|22|2x x g x x =='=-=-，当10a -≤≤时，()2f x ax ≥.【详解】因为22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，所以()y f x =与2y ax=图象如下：由图可知：当0x <时，()()()2222g x f x x x x x ==--+=-，()()00|22|2x x g x x =='=-=-，当220a -≤≤时，也即10a -≤≤时，()2f x ax ≥.故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，考查分段函数的作图，以及函数恒成立问题，考查导数的几何意义，属于难题.7. 当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【★★★答案★★★】B 【解析】由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()22,'1x x f x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()2'10x f x x x e =+->，解得x >或x <由()()2'10xf x x e =-<，解得：x <<，即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.8. 已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉， 故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉， 故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =；③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ， 故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉， 故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种． 所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B.【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.函数()f x ______． 【★★★答案★★★】(0,2] 【解析】 【分析】根据定义域的求法：()())0f x g x =≥（n 为偶数）、()()()()log 0a f x g x g x =>．【详解】由题意得200021log 002x x x x x >>⎧⎧⇒⇒<≤⎨⎨-≥<≤⎩⎩【点睛】常见函数定义域的求法：()())0f x g x =≥（n 为偶数）()()()()log 0a f x g x g x =>()()()()0g x f x f x ≠10. 函数()f x x =的值域是__________.【★★★答案★★★】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意令0t t =≥，进而可得21()(1),02f t t t =+≥，由二次函数的性质即可得解.【详解】函数()f x x =，令0t t =≥，则21122x t =+， 则22111()(1),0222f t t t t t =++=+≥， 所以1t =-是抛物线的对称轴，且开口向上，所以在1t ≥-时函数单调递增，最小值在0t =处取得，为11022+=， 因而()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故★★★答案★★★为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了函数值域的求解，考查了换元法的应用及运算求解能力，属于基础题. 11. 已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 1x <<时，()2f x x=，则5(0)2f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭__________. 【★★★答案★★★】4- 【解析】 【分析】由函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，可得(0)0f =，551122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再结已知函数关系可得★★★答案★★★ 【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以(0)0f =，551122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为当0 1x <<时，()2f x x=， 所以124122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以542f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以5(0)4042f f ⎛⎫-+=-+=- ⎪⎝⎭， 故★★★答案★★★为：4-【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性的应用，属于基础题12. 函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()3f a f ≤，则实数a 的取值范围是__________.【★★★答案★★★】(,3][3,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得()y f x =在[0,)+∞上递减，由()()3f a f ≤可得()()3f a f ≤，从而可得3a ≥，进而可求出a 的取值范围【详解】解：因为函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数， 所以()f x 在[0,)+∞上递减，因为函数()y f x =是R 上的偶函数，()()3f a f ≤， 所以()()3fa f ≤，所以3a ≥解得3a ≤-或3a ≥所以a 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞【点睛】此题考查偶函数的性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题13. 函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==∣，()(){}0B xg f x ==，则AB 中有__________个元素.【★★★答案★★★】4 【解析】 【分析】由函数的图象转化条件得{}1,0,1,2A =-，{}1,0,1B =-，再由并集的定义即可得解. 【详解】由图象可得，若()()0f g x =，则()1g x =-或()0g x =或()1g x =， 所以1x =-或0x =或1x =或2x =，所以()(){}{}01,0,1,2A xf g x ===-∣； 若()()0g f x =，则()0f x =或()2f x =， 所以1x =-或0x =或1x =，所以()(){}{}01,0,1B x g f x ===-； 所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，共4个元素. 故★★★答案★★★为：4.【点睛】本题考查了函数的表示及集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 已知函数()f x 的定义域为R .若存在常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P .给定下列三个函数：①()cos f x x =；②()x f x e =；③3()f x x x =-.其中，具有性质P 的函数的序号是__________. 【★★★答案★★★】②③【解析】 【分析】由新定义，结合三角恒等变换、指数函数的单调性及一元二次不等式的知识，代入计算即可得解.【详解】对于①，若()()f x c f x c +>-，则()()cos cos x c x c +>-， 所以cos cos sin sin cos cos sin sin x c x c x c x c ->+，即sin sin 0x c <，因为sin c 为常数，所以sin sin 0x c <不恒成立，所以()()f x c f x c +>-不恒成立， 故①错误；对于②，因为0c >，函数()xf x e =单调递增，所以x c x c +>-，所以()()f x c f x c +>-恒成立，故②正确；对于③，若()()f x c f x c +>-，则33()()()()x c x c x c x c +-+>---，化简可得2330cx c c +->，当30c c ->即1c >时，2330cx c c +->恒成立，即()()f x c f x c +>-恒成立， 故③正确.故★★★答案★★★为：②③.【点睛】本题以全称命题为依托，综合考查了三角恒等变换、指数函数的单调性及一元二次不等式的知识，属于中档题.三、解答题（本大题共4小题，共50分）15. 已知a ∈R ，函数()2()()xf x x ax e x =+∈R . （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()1,1-上单调递减，求a 的取值范围.【★★★答案★★★】（1）()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上递增，在(2,0)-上递减；（2）3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可【详解】解：（1）当0a =时，2()x f x x e =，则'()(2)xf x xe x =+，令'()0f x >，得0x >或2x <-，令'()0f x <，得20x -<<， 所以()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上递增，在(2,0)-上递减；（2）'2()[(2)]x f x x a x a e =+++，令2()(2)g x x a x a =+++，若函数()f x 在()1,1-上单调递减，则()0g x ≤在()1,1-上恒成立，则(1)1(2)0(1)1(2)0g a a g a a -=-++≤⎧⎨=+++≤⎩，解得32a ≤-，所以a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，考查二次函数的性质，属于基础题16. 在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，//BC AD ，CD AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，且222PO AD BC CD ====．（1）求证：//AB 平面POC ； （2）求二面角O PC B--余弦值．【★★★答案★★★】（1）证明见解析；（210【解析】 【分析】（1）连接OC ，证明//AB OC 即得证；（2）以O 为原点，OB 、OD 和OP 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角O PC B --的余弦值． 【详解】1（）证明：连接OC ，O 是AD 的中点，12AO AD BC ∴==， 又//BC AD ，∴四边形ABCO 为平行四边形，//AB OC ∴，AB ⊄面POC ，OC ⊂面POC ，//AB ∴面POC ．2（）解：O 是AD 的中点，12BO AD BC ∴==， 又//BC AD ，∴四边形OBCD 为平行四边形，CD AD ⊥，∴平行四边形OBCD 为矩形，OB OD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，OB 、OD ⊂面ABCD ，PO OB ∴⊥，PO OD ⊥．以O 为原点，OB 、OD 和OP 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0O ，0，0)，(0P ，0，2)，(0B ，1，0)，(1C ，1，0)， (0OP ∴=，0，2)，(1OC =，1，0)，()012BP =-，，，(1BC =，0，0)， 设平面OPC 的法向量为(m x =，y ，)z ，则00m OP m OC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200z x y =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，0z =，()110m ∴=-，，， 同理可得，平面BPC 法向量(0n =，2，1)，cos m ∴<，52m n n m n ⋅>===-⋅⨯，由题可知，二面角O PC B --的平面角为锐角，故二面角O PC B --的余弦值为5． 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.17. 已知函数32()3(,)f x ax bx x a b =+-∈R ，在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若对于区间[]3,3-上任意两个自变量的值1x ，2x ，有()()12f x f x c -≤，求实数c 最小值；（3）过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，求实数m 的取值范围. 【★★★答案★★★】（1）()33f x x x =-；（2）36；（3）6m <-或2m >【解析】 【分析】（1）由题意利用导数的几何意义即切点坐标列方程，即可求解；（2）由题意，对于定义域内任意两个自变量有()()12f x f x c -≤，可转化为求函数在定义域内的最值即可求解；（3）由题意，过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，等价于函数在切点处的导函数值等于切线的斜率这一方程由1解.【详解】（1）2()323(,)f x ax bx a b '=+-∈R ，由题意得：()()1010f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即323230a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩， 解得：10a b =⎧⎨=⎩， 所以()33f x x x =-.（2）令2()330f x x '=-=，得1x =±，所以()f x 在(),1-∞-和()1,+∞单调递增，在()1,1-单调递减， 所以()f x 在()3,1--单调递增，在()1,1-单调递减，()1,3单调递增，()327918f -=-+=-，()1132f =-=-，()1132f -=-+=，()327918f =-=所以()()max 327918f f x ==-=，()()min 327918f f x =-=-+=-， 对于区间[]3,3-上任意两个自变量的值1x ，2x ，有()()()()12max min 36f x f x f x f x -≤-=，所以36c ≥，c 最小值为36.（3）因为点()(2,)2M m m ≠不在曲线()y f x =上，所以可以设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，因为020()33f x x '=-，所以切线的斜率为0233x -，则0003203332x x m x x ---=-，即20036062x x m ++=-，因为过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，所以方程20036062x x m ++=-有1个实数解，所以()32266g x x x m =-++有1个零点，则()2612g x x x '=-，由()21260g x x x -'=>，得2x >或0x <，由()21260g x x x -'=<，得02x <<，所以()32266g x x x m =-++在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值，若()32266g x x x m =-++有1个零点，则()060g m =+<或()2162460g m =-++>，解得：6m <-或2m >【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求单调区间、极值和最值，考查了等价转化的思想，考查了函数与方程的相关知识，属于中档题,18. 已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意()f x M ∈，①方程()0f x x -=有实数根；②函数()f x 的导数()f x '满足()0 1f x '<<. （1）判断函数cos ()24x x f x =-是集合M 中的元素，并说明理由； （2）集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：若()f x 的定义域为D ，则对于任意[],m n D ⊆，都存在0(,)x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立.试用这一性质证明：方程()0f x x -=有且只有一个实数根；（3）对任意()f x M ∈，且(,)x a b ∈，求证：对于()f x 定义域中任意的1x ，2x ，3x ，当211x x -<，且311x x -<时，()()322f x f x -<.【★★★答案★★★】（1）是，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）判断函数cos ()24x x f x =-是否满足条件①②； （2）利用反证法进行证明，假设方程()0f x x -=有存在两个实数根，然后寻找矛盾，从而肯定结论；（3）构造()f x x -函数，研究函数()f x x -的单调性，从而得到()()3232||f x f x x x -<-，再利用绝对值不等式即可得证.【详解】（1）函数cos ()24x xf x =-是集合M 中的元素，理由如下， ①，cos cos ()2424x x x xf x x x -=--=--， 令1()2x f x =-，2cos ()4x f x =，图象如图，1()2x f x =-与2cos ()4x f x =的图象在,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有一个交点，所以方程()0f x x -=有实数根； ②，1sin ()24xf x '=+，所以1sin 13(),2444x f x ⎡⎤'=+∈⎢⎥⎣⎦，满足条件()01f x '<<， 所以函数cos ()24x xf x =-是集合M 中的元素. （2）假设方程()0f x x -=存在两个实数根,αβ，且αβ≠， 则()0fαα-=，()0f ββ-=，不妨设αβ<，根据题意存在(,)c αβ∈， 满足()()()()ff f c βαβα'-=-，因为()f αα=，()f ββ=，αβ≠，所以()1f c '=，与已知()01f x '<<矛盾，又方程()0f x x -=有实数根， 所以方程()0f x x -=有且只有一个实数根. （3）当23x x =时，结论显然成立；当23x x ≠时，不妨设32b a x x <<<，因为(),x a b ∈，且()0f x '>，所以()f x 是增函数，那么32(())f f x x <，又因为()10f x '-<，所以()f x x -为减函数，所以2233(())f f x x x x ->-，所以32320(())x f x x x f -<-<，即2332())|||(|x f x x x f -<-，因为211x x -<，所以1211x x -<-<①，又因为311x x -<，所以3111x x -<-<②， ①+②得，3222x x -<-<，即32||2x x -<，所以()()2233||2f x f x x x -<-<， 综上所述，对于任意符合条件的1x ，2x ，3x ，总有()()322f x f x -<成立.【点睛】本题考查了导数的运算，反证法，以及不等式的证明，函数的性质和不等式的证明是本题的主要考查点，考查学生的理解能力和分析能力，读懂题意是解本题的前提.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2019-2020学年北京师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y 轴的非负半轴， ∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限， ∴角α的终边位于第二象限． 故选择B ．2．函数sin 4y x =，x ∈R 的最小正周期为（ ） A ．2π B ．πC ．2π D ．4π 【答案】C【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】解：函数sin 4y x =，x ∈R 的最小正周期为：242ππ=. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 3．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】C【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，可得结论. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，可得sin 26y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数图象变换，属于基础题. 4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 【答案】D【分析】通过线面平行的性质，线面垂直的性质，平行公理可以对四个命题进行判断，最后选出正确的答案.【详解】命题①: 平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，显然命题①是假命题；命题②：垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以垂直，显然命题②是假命题； 命题③：这是平行公理显然命题③是真命题；命题④：根据平行线的性质和线面垂直的性质，可以知道这个真命题，故本题选D. 【点睛】本题考查了平行线的性质、线面垂直的性质、面面垂直的性质，考查了空间想象能力和对有关定理的理解.5．已知向量,a b 满足2=a ，1=b ，2a b ⋅=，则向量,a b 的夹角为（ ） A ．34π B ．23π C ．4πD ．4π-【答案】C【分析】根据平面向量的夹角公式计算即可得到结果. 【详解】设向量,a b 的夹角为θ，则[]0,θπ∈，由2=a ，1=b ，2a b ⋅=得：2cos 212a b a b θ⋅===⨯⨯，∴向量,a b 的夹角为4πθ=.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量数量积和模长求解向量夹角的问题，属于基础题.6．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知30B =︒，15c =，53b =，那么这个三角形是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理求出sin C 的值，可得60C =︒或120︒，再根据三角形的内角和公式求出A 的值，由此即可判断三角形的形状.【详解】∵ABC 中，已知30B =︒，15c =，53b =，由正弦定理sin sin b c B C=，可得：53151sin 2C =， 解得：3sin 2C =，可得：60C =︒或120︒. 当60C =︒时，∵30B =︒， ∴90A =︒，ABC 是直角三角形. 当120C =︒时，∵30B =︒， ∴30A =︒，ABC 是等腰三角形. 故ABC 是直角三角形或等腰三角形， 故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（ ）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCD D ．平面//EFGH 平面11A BCD 【答案】D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ， 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的； 选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的； 选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ， 而直线1A B 与平面ABCD 相交， 故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的； 选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ， 而EFEH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题. 8． 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P ，Q 分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则A=( )A ．3B ．32πC ．33π D ．1【答案】B【解析】由题意函数0f x Asinx A =（）（＞），周期2T π=，由图像可知322P A Q A ππ-（，），（，）． 连接PQ ， 过P Q ，作x 轴的垂线，可得：22222222234[()]()()222QP A OP A OQ A πππ=+=+=+，，，由题意，OPQ △ 是直角三角形，222222522QP OP OQ A ππ∴=++=，即， 解得：3A π= . 故选B二、填空题9．若角α的终边过点()1,2P ，则sin α=______.【分析】根据三角函数的定义可求出sin α的值.【详解】由三角函数的定义得sin α==.. 【点睛】本题考查利用三角函数的定义求正弦值，考查计算能力，属于基础题. 10．设向量a ､b 的长度分别为4和3，夹角为60︒，则a b +=______.【分析】对要求的向量的模平方，得到2222a b a a b b +=+⋅+，然后再对求得的结果开方.【详解】∵a ､b 的长度分别为4和3，夹角为60︒， ∴222216243cos 60937+=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=a b a a b b ∵()222237+=+=+⋅+=a b a ba ab b ，【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11．函数()3sin f x x =的最大值为______. 【答案】3【分析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果. 【详解】解：当22x k ππ=+(k ∈Z )时，函数的最大值为3.故答案为：3【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，难度较易.形如()sin f x A x =的函数，max ,min A A ==-.12．在ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若2a =，3b =，4c =，则cos A =______.【答案】78【分析】由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案.【详解】在ABC 中，22291647223c 48os b c a bc A +-+-===⨯⨯，故答案为：78. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.13．已知函数()2cos cos f x x x x =在区间[]0,m 上单调递增，则实数m 的最大值是______. 【答案】6π 【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可.【详解】解：()1cos 21sin 2sin 22262x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 当0x m ≤≤时，266x m ππ≤≤+，∵()f x 在区间[]0,m 上单调递增， ∴262m ππ+≤，得6m π≤，即m 的最大值为6π. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的单调性，属于基础题. 14．已知a ，b 是异面直线.给出下列结论：①一定存在平面α，使直线b ⊥平面α，直线//a 平面α； ②一定存在平面α，使直线//b 平面α，直线//a 平面α；③一定存在无数个平面α，使直线b 与平面α交于一个定点，且直线//a 平面α； ④一定存在平面α，使直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α. 则所有正确结论的序号为______. 【答案】②③【分析】①④用反证法判断，②③.利用线面位置的性质关系判断. 【详解】假设①正确，则存在直线a '⊂平面α，使得a a '，又b α⊥，故b a '⊥， ∴b a ⊥，显然当异面直线a ，b 不垂直时，结论错误，故①错误；设异面直线a ，b 的公垂线为m ，平面m α⊥，且a ，b 均不在α内， 则a ，b 均与平面α平行，故②正确；在直线b 上取点A ，显然过点A 有无数个平面均与直线a 平行，故③正确； 假设④正确，则由a α⊥，b α⊥可得a b ∥，显然这与a ，b 是异面直线矛盾，故④错误.故答案为：②③.【点睛】本题主要考查与异面直线的有关的线面关系问题，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.三、双空题15．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 【答案】34725【分析】由α是第一象限角，3sin 5α=，利用平方关系求得cos α，进而可求tan α，根据二倍角的余弦函数公式即可求得cos2α的值. 【详解】∵α是第一象限角，3sin 5α=，∴4cos 5α==，∴sin 35tan cos 4534ααα===. ∴2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：34，725. 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 16．设向量0,2a ，3,1b，则a b ⋅=______；向量a ，b 的夹角等于______.【答案】23π【分析】直接根据数量积的定义以及夹角的计算公式即可求解结论. 【详解】解：因为向量0,2a ，3,1b，故2a =，()32b ==，故03212a b ⋅=⨯⨯=， 向量a ，b 的夹角θ满足21cos 222a b a bθ⋅===⨯⋅； 因为[]0,3πθπθ∈⇒=，故向量a ，b 的夹角等于3π. 故答案为：2，3π. 【点睛】本题考查数量积的计算和夹角的计算公式，属于基础题.17．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2a =，60B =︒，45A =︒，则b =______，ABC 的面积是______.32+ 【分析】由已知利用正弦定理可求b 的值，根据三角形内角和定理可求C 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】因为2a =，60B =︒，45A =︒， 由正弦定理sin sin ab A B=，得：2sin sin a Bb A⨯⋅===， 又18075CA B =︒--=︒， 所以ABC 的面积11sin 2sin7522△==⨯︒ABC S ab C ，()4530=︒+︒12⎫==⎪⎪⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理和三角形面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18． 已知点A(0，4)，B(2，0)，如果2A B B C =，那么点C 的坐标为_____________；设点P(3，t)，且∠APB 是钝角，则t 的取值范围是___________________． 【答案】(3,-2) (1,3)【解析】根据题意，设C 的坐标为x y （，）， 又由点0420A B （，），（，）， 则 242AB BC x y =-=-（，），（，）， 若2AB BC =，则有2422x y -=-（，）（，）， 则有22242x y =--=（），，解可得32x y ==-，，则C 的坐标为32-（，），又由3P t （，），则 341PA t PB t （，），（，），=--=-- 若APB ∠是钝角，则 3140PA PB t t ⋅=-⨯-+-⨯-（）（）（）（）＜， 且314t t -⨯-≠-⨯-（）（）（）（）， 解可得13t ＜＜，即t 的取值范围为13（，）；即答案为(1). (3,-2) (2). (1,3)【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量平行的坐标表示方法，其中解题的关键是掌握向量坐标计算的公式．四、解答题19．已知函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期； （3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1（2）最小正周期π；（3）单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【分析】（1）由已知可求sin 332f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭（2）利用正弦函数的周期公式即可求解； （3）利用正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：（1）由于函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sin 2sin 3333f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()f x 的最小正周期22T ππ==； （3）令222232k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得1212k x k π5ππ-≤≤π+，k ∈Z ，可得函数()f x 的单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【点睛】本题考查了正弦定理的周期性与单调性，属于基础题.20．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的对称中心的坐标；（3）求函数()f x 在的区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期π；（2）对称中心的坐标为1,0212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ；（3）最大值为2，最小值为1-.【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可 （2）根据三角函数的对称性进行求解（3）求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可.【详解】解：（1）()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 则()f x 的最小正周期22T ππ==， （2）由26x k ππ+=，k ∈Z ，得1212ππ=-x k ，k ∈Z ， 即()f x 的对称中心的坐标为1,0212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z . （3）当64x ππ-≤≤时，22663x πππ-≤+≤， 则当262x ππ+=时，函数取得最大值，最大值为2sin22π=，当ππ266x时，函数取得最小值，最小值为12sin 2162π⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合运用，其中涉及辅助角公式、周期、三角函数对称中心，主要考查学生的化简计算能力，难度一般. 21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，1cos 4C =-. （1）求sin C 的值； （2）如果3b =，求c 的值；（3）如果c =sin B 的值.【答案】（1；（2）4；（3【分析】（1）由同角三角函数公式以及C 为三角形的内角，可得出sin C 的值； （2）由余弦定理可得c ；（3）由正弦定理求出sin A ，进而求出cos A ，根据大边对大角确定cos A 的符号，再根据三角形内角和为π，以及两角和与差的正弦公式得出答案. 【详解】解：（1）在ABC 中，1cos 4C =-，且22sin cos 1C C +=，则sin 4C =±，又sin 0C >，故sin C =（2）2a =，3b =，1cos 4C =-，22212cos 49223164c a b ab C ⎛⎫∴=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭故4c =. （3）sin sin a cA C=，∴2sin 4A =，解得sin A =，又c a >，则cos A =，()1sin sin sin cos sin cos 4B A C A C C A ⎛⎫=+=+=-=⎪⎝⎭【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理的应用，属于基础题.22．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点.（1）求证：//CD 平面PAB ； （2）求证：//PC 平面BDE ； （3）证明：BD CE ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据底面是正方形，得到CDAB ，再利用线面平行判定定理证明.（2）连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，由中位线定理得到OE PC ∥，再利用线面平行判定定理证明.（3）根据底面是正方形，得到BD AC ⊥，由侧棱PA ⊥底面ABCD ，得到BD PA ⊥，从而BD ⊥平面ACE ，由此能证明BD CE ⊥. 【详解】（1）∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形， ∴CDAB ，∵CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，∴CD ∥平面PAB . （2）如图所示：连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ， ∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形， ∴O 是AC 中点，∵E 是PA 的中点.∴OE PC ∥，∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PC平面BDE .（3）∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ， ∴BD AC ⊥，BD PA ⊥， ∵AC PA A ⋂=， ∴BD ⊥平面ACE ， ∵CE ⊂平面ACE ， ∴BD CE ⊥.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.23．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥，DC DE =.（Ⅰ）求证：AD CE ⊥； （Ⅱ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面ADQ ⊥平面BCE ？并说明理由． 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析【分析】（I ）由AD⊥DE，AD⊥CD 可得AD⊥平面CDE ，故而AD⊥CE； （II ）证明平面ABF∥平面CDE ，故而BF∥平面CDE ；（III ）取CE 的中点P ，BE 的中点Q ，证明CE⊥平面ADPQ 即可得出平面ADQ⊥平面BCE ． 【详解】（Ⅰ）由底面ABCD 为矩形，知AD CD ⊥. 又因为DE AD ⊥，DE CD D ⋂=， 所以AD ⊥平面CDE . 又因为CE ⊂平面CDE ， 所以AD CE ⊥.（Ⅱ）由底面ABCD 为矩形，知//AB CD ， 又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE . 同理//AF 平面CDE ， 又因为AB AF A ⋂=， 所以平面//ABF 平面CDE . 又因为BF ⊂平面ABF ， 所以//BF 平面CDE .（Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q （即BE 的中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE . 证明如下：取CE 的中点P ，BE 的中点Q ，连接,,AQ DP PQ ，则//PQ BC . 由//AD BC ，得//PQ AD . 所以,,,A D P Q 四点共面. 由（Ⅰ），知AD ⊥平面CDE ， 所以AD DP ⊥，故BC DP ⊥.在△CDE 中，由DC DE =，可得DP CE ⊥. 又因为BC CE C ⋂=， 所以DP ⊥平面BCE . 又因为DP ⊂平面ADPQ所以平面ADPQ ⊥平面BCE （即平面ADQ ⊥平面BCE ）. 即线段BE 上存在点Q （即BE 中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质定理的应用，线面平行的判定，熟练运用定理是解题的关键，属于中档题．24．已知向量()sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =-，设函数()()f x a a b =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调增区间； （3）若函数()()g x f x k =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中k ∈R ，试讨论函数()g x 的零点个数.【答案】（1）最小正周期为π；（2）函数的单调增区间为：3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )；（3）答案见解析.【分析】（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数的最小正周期. （2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可. （3）求出函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数.【详解】（1）函数()()()()sin ,cos sin cos ,0f x a a b x x x x =⋅+=⋅+， 2sin sin cos x x x =+.，1cos 21sin 222x x -=+，1242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 所以函数的最小正周期为：π.（2）因为函数12242y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由222242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ， 解得388k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 所以函数的单调增区间为：3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).（3）21sin 2242y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 2121sin 20,2422y x π⎡⎤+⎛⎫=-+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，令()()21sin 20242g x f x k x k π⎛⎫=-=-+-= ⎪⎝⎭， 得21sin 2242k x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 则函数()g x 的零点个数等价于y k =与()21sin 2242f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的交点个数， 在同一坐标系中，作出两函数的图象，如图所示：由图象可知： 当k 0<或212k >时，零点为0个； 当211,2k ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时函数有两个零点，当12k =01k ≤<时，函数有一个零点； 【点睛】本题主要考查三角函数与平面向量以及三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.。

2019-2020学年北京市首都师大附中高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2|20P x x x =-≥ ，{}|12Q x x =<≤ ，则()RP Q 等于（ ）A ．[)0,1B ．(]0,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】C【分析】先解不等式，化简集合P ，求出RP ，再和Q 求交集，即可得出结果.【详解】由220x x -≥得2x ≥或0x ≤，则{2P x x =≥或}0x ≤，因此{}02RP x x =<<；又{}|12Q x x =<≤，则(){}12RP Q x x ⋂=<<.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．设命题2:0,10p x x x ∀>++>，则p ⌝为（ ） A ．2:0,10p x x x ⌝∃>++≤ B ．2:0,10p x x x ⌝∃≤++≤ C ．2:0,10p x x x ⌝∀>++≤ D ．2:0,10p x x x ⌝∀≤++≤【答案】A【分析】由全称命题的否定规则即可得解.【详解】因为命题2:0,10p x x x ∀>++>为全称命题， 所以p ⌝为20,10x x x ∃>++≤.故选：A.【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 3．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．21y x =-+ B ．11xy x-=+ C ．1y x=-D ．y x x =【答案】D【分析】由函数的单调性和奇偶性，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，函数21y x =-+为偶函数，故A 错误； 对于B ，函数11xy x-=+的定义域为{}1x x ≠-，所以该函数为非奇非偶函数，故B 错误；对于C ，函数1y x=-在整个定义域内不单调，故C 错误； 对于D ，函数22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，所以该函数为奇函数且单调递增，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，考查了运算求解能力，属于基础题. 4．“2a >”是“函数()2f x ax =+在区间[]1,2-上有零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的概念及函数零点的存在性定理求解即可. 【详解】当2a >时，函数()2f x ax =+在[]1,2-上递增，则()()()()122220f f a a -=-++<，所以函数()f x 在[]1,2-有零点.反之，当()2f x ax =+在[]1,2-上有零点时，则只需满足()()()()122220f f a a -=-++≤，解得1a ≤-或2a ≥.故2a >”是“函数()2f x ax =+在区间[]1,2-上有零点”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查函数零点的存在性定理的运用，较简单.5．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<， 可得：3322a -<<， 故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.6．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()2f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,0-【答案】D【分析】由题意作出()y f x =与2y ax =的图象，由图分析，当0x <时，()()()2222g x f x x x x x ==--+=-，()()00|22|2x x g x x =='=-=-，当10a -≤≤时，()2f x ax ≥.【详解】因为22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，所以()y f x =与2y ax =的图象如下：由图可知：当0x <时，()()()2222g x f x x x x x ==--+=-，()()00|22|2x x g x x =='=-=-，当220a -≤≤时，也即10a -≤≤时，()2f x ax ≥.故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，考查分段函数的作图，以及函数恒成立问题，考查导数的几何意义，属于难题.7．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()22,'1xxf x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()2'10xf x x x e =+->，解得x >x <()()2'10x f x x e =-<，解得：x <<1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.8．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉， 故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉， 故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =； ③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ， 故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉， 故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种．所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B.【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.二、填空题9．函数()f x ______． 【答案】(0,2]【分析】根据定义域的求法：()())0f x g x =≥（n 为偶数）、()()()()log 0a f x g x g x =>．【详解】由题意得200021log 002x x x x x >>⎧⎧⇒⇒<≤⎨⎨-≥<≤⎩⎩【点睛】常见函数定义域的求法：()())0f x g x =≥（n 为偶数）()()()()log 0a f x g x g x =>()()()()0g x f x f x ≠10．函数()f x x =的值域是__________.【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意令0t t =≥，进而可得21()(1),02f t t t =+≥，由二次函数的性质即可得解. 【详解】函数()f x x =，令0t t =≥，则21122x t =+， 则22111()(1),0222f t t t t t =++=+≥， 所以1t =-是抛物线的对称轴，且开口向上，所以在1t ≥-时函数单调递增，最小值在0t =处取得，为11022+=， 因而()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了函数值域的求解，考查了换元法的应用及运算求解能力，属于基础题.11．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 1x <<时，()2f x x=，则5(0)2f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭__________. 【答案】4-【分析】由函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，可得(0)0f =，551122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再结已知函数关系可得答案 【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数， 所以(0)0f =，551122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为当0 1x <<时，()2f x x=， 所以124122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以542f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以5(0)4042f f ⎛⎫-+=-+=- ⎪⎝⎭， 故答案为：4-【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性的应用，属于基础题12．函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()3f a f ≤，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(,3][3,)-∞-+∞【分析】由偶函数的性质可得()y f x =在[0,)+∞上递减，由()()3f a f ≤可得()()3f a f ≤，从而可得3a ≥，进而可求出a 的取值范围【详解】解：因为函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数， 所以()f x 在[0,)+∞上递减，因为函数()y f x =是R 上的偶函数，()()3f a f ≤， 所以()()3fa f ≤，所以3a ≥解得3a ≤-或3a ≥所以a 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞【点睛】此题考查偶函数的性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题13．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==∣，()(){}0B x g f x ==，则AB 中有__________个元素.【答案】4【分析】由函数的图象转化条件得{}1,0,1,2A =-，{}1,0,1B =-，再由并集的定义即可得解.【详解】由图象可得，若()()0f g x =，则()1g x =-或()0g x =或()1g x =， 所以1x =-或0x =或1x =或2x =，所以()(){}{}01,0,1,2A xf g x ===-∣； 若()()0g f x =，则()0f x =或()2f x =， 所以1x =-或0x =或1x =，所以()(){}{}01,0,1B x g f x ===-；所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，共4个元素. 故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的表示及集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 14．已知函数()f x 的定义域为R .若存在常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P .给定下列三个函数：①()cos f x x =；②()x f x e =；③3()f x x x =-.其中，具有性质P 的函数的序号是__________. 【答案】②③【分析】由新定义，结合三角恒等变换、指数函数的单调性及一元二次不等式的知识，代入计算即可得解.【详解】对于①，若()()f x c f x c +>-，则()()cos cos x c x c +>-， 所以cos cos sin sin cos cos sin sin x c x c x c x c ->+，即sin sin 0x c <，因为sin c 为常数，所以sin sin 0x c <不恒成立，所以()()f x c f x c +>-不恒成立， 故①错误；对于②，因为0c >，函数()xf x e =单调递增，所以x c x c +>-，所以()()f x c f x c +>-恒成立，故②正确；对于③，若()()f x c f x c +>-，则33()()()()x c x c x c x c +-+>---，化简可得2330cx c c +->，当30c c ->即1c >时，2330cx c c +->恒成立，即()()f x c f x c +>-恒成立， 故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题以全称命题为依托，综合考查了三角恒等变换、指数函数的单调性及一元二次不等式的知识，属于中档题.三、解答题15．已知a ∈R ，函数()2()()xf x x ax e x =+∈R . （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()1,1-上单调递减，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上递增，在(2,0)-上递减；（2）3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可【详解】解：（1）当0a =时，2()x f x x e =，则'()(2)x f x xe x =+，令'()0f x >，得0x >或2x <-，令'()0f x <，得20x -<<， 所以()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上递增，在(2,0)-上递减；（2）'2()[(2)]x f x x a x a e =+++，令2()(2)g x x a x a =+++，若函数()f x 在()1,1-上单调递减，则()0g x ≤在()1,1-上恒成立，则(1)1(2)0(1)1(2)0g a a g a a -=-++≤⎧⎨=+++≤⎩，解得32a ≤-，所以a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，考查二次函数的性质，属于基础题16．在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，//BC AD ，CD AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，且222PO AD BC CD ====．（1）求证：//AB 平面POC ； （2）求二面角O PC B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）105． 【分析】（1）连接OC ，证明//AB OC 即得证；（2）以O 为原点，OB 、OD 和OP 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角O PC B --的余弦值． 【详解】1（）证明：连接OC ，O 是AD 的中点，12AO AD BC ∴==， 又//BC AD ，∴四边形ABCO 为平行四边形，//AB OC ∴，AB ⊄面POC ，OC ⊂面POC ，//AB ∴面POC ．2（）解：O 是AD 的中点，12BO AD BC ∴==， 又//BC AD ，∴四边形OBCD 为平行四边形，CD AD ⊥，∴平行四边形OBCD 为矩形，OB OD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，OB 、OD ⊂面ABCD ，PO OB ∴⊥，PO OD ⊥．以O 为原点，OB 、OD 和OP 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0O ，0，0)，(0P ，0，2)，(0B ，1，0)，(1C ，1，0)， (0OP ∴=，0，2)，(1OC =，1，0)，()012BP =-，，，(1BC =，0，0)， 设平面OPC 的法向量为(m x =，y ，)z ，则00m OP m OC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200z x y =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，0z =，()110m ∴=-，，， 同理可得，平面BPC 的法向量(0n =，2，1)， cos m ∴<，10525m n n m n ⋅>===-⋅⨯，由题可知，二面角O PC B --的平面角为锐角，故二面角O PC B --的余弦值为5． 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.17．已知函数32()3(,)f x ax bx x a b =+-∈R ，在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对于区间[]3,3-上任意两个自变量的值1x ，2x ，有()()12f x f x c -≤，求实数c 最小值；（3）过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()33f x x x =-；（2）36；（3）6m <-或2m >【分析】（1）由题意利用导数的几何意义即切点坐标列方程，即可求解；（2）由题意，对于定义域内任意两个自变量有()()12f x f x c -≤，可转化为求函数在定义域内的最值即可求解；（3）由题意，过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，等价于函数在切点处的导函数值等于切线的斜率这一方程由1解.【详解】（1）2()323(,)f x ax bx a b '=+-∈R ，由题意得：()()1010f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即323230a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩， 解得：1a b =⎧⎨=⎩，所以()33f x x x =-.（2）令2()330f x x '=-=，得1x =±，所以()f x 在(),1-∞-和()1,+∞单调递增，在()1,1-单调递减， 所以()f x 在()3,1--单调递增，在()1,1-单调递减，()1,3单调递增，()327918f -=-+=-，()1132f =-=-，()1132f -=-+=，()327918f =-=所以()()max 327918f f x ==-=，()()min 327918f f x =-=-+=-， 对于区间[]3,3-上任意两个自变量的值1x ，2x ，有()()()()12max min 36f x f x f x f x -≤-=，所以36c ≥，c 最小值为36.（3）因为点()(2,)2M m m ≠不在曲线()y f x =上，所以可以设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，因为020()33f x x '=-，所以切线的斜率为0233x -，则0003203332x x m x x ---=-，即20036062x x m ++=-，因为过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，所以方程20036062x x m ++=-有1个实数解，所以()32266g x x x m =-++有1个零点，则()2612g x x x '=-，由()21260g x x x -'=>，得2x >或0x <，由()21260g x x x -'=<，得02x <<，所以()32266g x x x m =-++在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值，若()32266g x x x m =-++有1个零点，则()060g m =+<或()2162460g m =-++>，解得：6m <-或2m >【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求单调区间、极值和最值，考查了等价转化的思想，考查了函数与方程的相关知识，属于中档题,18．已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意()f x M ∈，①方程()0f x x -=有实数根；②函数()f x 的导数()f x '满足()0 1f x '<<.（1）判断函数cos ()24x x f x =-是集合M 中的元素，并说明理由； （2）集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：若()f x 的定义域为D ，则对于任意[],m n D ⊆，都存在0(,)x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立.试用这一性质证明：方程()0f x x -=有且只有一个实数根；（3）对任意()f x M ∈，且(,)x a b ∈，求证：对于()f x 定义域中任意的1x ，2x ，3x ，当211x x -<，且311x x -<时，()()322f x f x -<.【答案】（1）是，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）判断函数cos ()24x xf x =-是否满足条件①②； （2）利用反证法进行证明，假设方程()0f x x -=有存在两个实数根，然后寻找矛盾，从而肯定结论；（3）构造()f x x -函数，研究函数()f x x -的单调性，从而得到()()3232||f x f x x x -<-，再利用绝对值不等式即可得证.【详解】（1）函数cos ()24x x f x =-是集合M 中的元素，理由如下， ①，cos cos ()2424x x x xf x x x -=--=--， 令1()2x f x =-，2cos ()4x f x =，图象如图，1()2x f x =-与2cos ()4x f x =的图象在,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有一个交点，所以方程()0f x x -=有实数根；②，1sin ()24xf x '=+，所以1sin 13(),2444x f x ⎡⎤'=+∈⎢⎥⎣⎦，满足条件()01f x '<<， 所以函数cos ()24x xf x =-是集合M 中的元素. （2）假设方程()0f x x -=存在两个实数根,αβ，且αβ≠， 则()0fαα-=，()0f ββ-=，不妨设αβ<，根据题意存在(,)c αβ∈，满足()()()()ff f c βαβα'-=-，因为()f αα=，()f ββ=，αβ≠，所以()1f c '=，与已知()01f x '<<矛盾，又方程()0f x x -=有实数根， 所以方程()0f x x -=有且只有一个实数根. （3）当23x x =时，结论显然成立；当23x x ≠时，不妨设32b a x x <<<，因为(),x a b ∈，且()0f x '>，所以()f x 是增函数，那么32(())f f x x <，又因为()10f x '-<，所以()f x x -为减函数，所以2233(())f f x x x x ->-，所以32320(())x f x x x f -<-<，即2332())|||(|x f x x x f -<-，因为211x x -<，所以1211x x -<-<①，又因为311x x -<，所以3111x x -<-<②，①+②得，3222x x -<-<，即32||2x x -<，所以()()2233||2f x f x x x -<-<， 综上所述，对于任意符合条件的1x ，2x ，3x ，总有()()322f x f x -<成立. 【点睛】本题考查了导数的运算，反证法，以及不等式的证明，函数的性质和不等式的证明是本题的主要考查点，考查学生的理解能力和分析能力，读懂题意是解本题的前提.。

2绝密★启用前2019-2020 学年北京市首都师范大学附属中学高一下学期期中考试数学（ A ）试题两角差的正切公式求解．点评： 解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换，得到 考查变换能力和运算能力，属于基础题．2．已知 x 0,y 0,2x y 2, 则 xy 的最大值为（）答案： A条件中的式子两边平方，得224sin 4sin cos cos 即 3sin 24sin cos32，所以 3sin 24sin cos3 2 2sin cos2，即 3tan 28tan 3 0，解得 tan3 或 tan1，32tan3，所以tan221 tan 24tan21故 tan 27．4 1 tan2解：5 2故选 B ． 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2 、请将答案正确填写在1．已知R, 2sincos 10 ，则 tan(224 43A ．B ． 7C ．34答案： B1D ．723tan 28tan3 0 ，解得 tan 后再根据tan 后再根据公式求解，A ．B ．1C ．D ．14注意事项： 答题卡上 、单选将条件中所给的式子的两边平方后化简1 0B．4化简 xy = （ 2x ?y ），再利用基本不等式求最大值得解2解：解：∵ x>0， y>0，且 2x +y =2， 1 2x y 1 112（ 2x2 y）2=21，当且仅当 x =12，y =1 时取等号，故选： A 点评：本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平A 2,5 ，B 2,3,4 ，则 A e U B (答案： C故选 C ． 点评：本题考查补集与并集的混合运算， 求解时根据集合运算的定义进行求解即可， 属于基础题． 4． 已知函数f (x)log 2 x,x 3x,x，则 f[ f的值是（ ）A ．C ．．3∴ xy = 1( 2x ?y)≤2故则 xy 的最大值为1，23．设 U 1,2,3,4,5 ， A ． 5B ．1,2,3,4,5 C ． 1,2,5D ．先求出 e U B ，再求出 A e U B 即可．解： ∵U 1,2,3,4,5 ,B 2,3,4 ，∴ e U B 1,5 ，∴Ae U B1,2,5 ．答案： C1 12 1 试题分析：根据分段函数解析式可知 f( ) log 22， f 2 3 2 ，所以f[ f(14)] 19，故选 C.【考点】分段函数 .5．已知 a 、b 为实数，则 2a2b 是 log 2 a log 2 b 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案： B分别解出 2a 2b， log 2 a log 2 b 中a ， b 的关系，然后根据 a ，b 的范围，确定充 分条件，还是必要条件． 解： 解：Q2a 2b， ab当 a 0或 b 0时，不能得到 log 2a log 2 b ， 反之由 log 2a log 2 b 即： a b 0可得 2a2b成立． 故 2a2b是log 2a log 2 b 的必要不充分条件 故选： B ． 点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础 题．答案： D解：6．已知集合 x|x 2x 12 0 ,N x| 4 x 5 ，则 M I N ( )A ． RB ． 3,4)C ． (4,5)D ．4, 3) (4,5)解一元二次不等式求得集合，由此求得2由 x 2x 12 x 4 x 30，解得 x 3或 x 4，即M所以M N ( 4, 3) (4,5) .故选：D.点评：本小题主要考查交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 7．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明” ，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量(单位：人次/ 天) 分别为x1，x2 ，⋯，x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A．x1，x2 ，⋯，x n的标准差B．x1，x2，⋯，x n的平均数C．x1，x2 ，⋯，x n的最大值D．x1，x2，⋯，x n的中位数答案：A 利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项. 解：表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定故选：A点评：本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.8．集合 A={ x| x2 2x 3 0}，B={ x| x2 4 0}，则AI (e R B) = ( )A．[-2,-1] B．[-1,2 ) C．[-1,1] D．[1,2 )答案：AA {x|x 1或x 3}，B {x|x 2或x 2}，e R B {x| 2 x 2},∴ A e R B =[-2,-1].9．某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60o，小高层底部的俯角为45o，那么这栋小高层的高度为( )C．10 2 6 mA．20 B．20 1 3 mD．20 2 6 m答案：B3根据题意作出简图，根据已知条件和三角形的边角关系解三角形解：依题意作图所示：AB 20m，仰角DAE 60o，俯角EAC 45o，在等腰直角VACE 中，AE EC 20m ，在直角VDAE 中，DAE 60o，DE AEtan60 o 20 3m，小高层的高度为CD 20 20 3 20 1 3 m ．故选B．点评：解决解三角形实际应用问题注意事项：1.首先明确方向角或方位角的含义；2.分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图；3.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题10．关于函数f x x sin x ，下列说法错误的是（）C．f x 有零点D．f x 在0, 上单调递增2答案：B根据奇偶性定义可判断选项A正确；依据周期性定义，选项B错误；f 0 0，选项C 正确；求f x ，判断选项D 正确.解：x sinx f x则f x 为奇函数，故A正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，故B 错误；A．f x 是奇函数B．f x 是周期函数因为f 0 0 sin0 0 ，f x 在,22上有零点，故C正确；由于f ' x 1 cosx 0 ，故f x 在, 上单调递增，故D正确.故选B.点评：本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.二、填空题11．设函数f ( x)是定义在R上的偶函数，记g(x) f (x) x2，且函数g x 在区间2[0, )上是增函数，则不等式f (x 2) f (2) x2 4 x的解集为 _____________________答案：, 4 U 0,根据题意，分析可得g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为g x 2 g 2 ，结合函数的奇偶性与单调性分析可得x 2 2，解可得x 的取值范围．解：2根据题意g x f x x2，且f (x)是定义在R上的偶函数，则g x f x x f x x2 g x ，则函数g x 为偶函数，22f x 2 f 2 x2 4x f x 2 x 2 f 2 4g x 2 g 2 ，又由g x 为增函数且在区间[0, ) 上是增函数，则x 2 2，解可得：x 4或x 0，即x 的取值范围为, 4 U 0, ，故答案为, 4 U 0, ；点评：55中档题．则实数 m 的最小值为4 答案： 43解：故答案为： 点评： 本题主要考查二次函数的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于中档题13．在平面直角坐标系 xOy 中，a 在x 轴、y 轴正方向上的投影分别是– 3、4，则与 a 平行的单位向量是34 答案：±3，4本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g x 的奇偶性与单调性，属于12 ．设 sinsin1，不等式 sin cos 230 对满足条件的恒成立，将不等式sin 2cos m 0 对满足条件的恒成立，利用 sinsin1，3转化为不等式sin2cos 2m 0 对满足条件的恒成立，即不等式sin2sin2m 对满足条件的 恒成立，然后用二次函数的性质求 3f( ) sin 2sin2的最大值即可。

2019-2020学年北京市一零一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．设向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒，则2a b +=（ ）A ．B ．CD ．12【答案】B【解析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可. 【详解】解：向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒， 则222124444214122a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=， 则223a b +=. 故选：B . 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2．下列函数中，周期为1的奇函数是 ( ) A ．y=1-2sin 2πxB ．y=sin π2πx 3⎛⎫+⎪⎝⎭C ．y=tanπ2x D ．y=sinπxcosπx【答案】D【解析】对A ，利用二倍角的余弦公式化简后判断；对B 直接判断奇偶性即可；对C ，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对D ，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可. 【详解】化简函数表达式y=1-2sin 2πx=cos ()2πx 是偶函数，周期为1，不合题意；y=sin π2πx 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意；y=tan π2x 是奇函数，周期为2，不合题意； y=sinπxcosπx=12sin2πx 是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数()cos y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()sin y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()tan y A x ωϕ=+可求得函数的周期为πω. 3．要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A ．先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B ．先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D ．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度【答案】C【解析】函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到sin2x y =，再向右平移π6个单位长度πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选C4．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A.5．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行 D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C【解析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断． 【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点 分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ， 1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ， 1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确． 对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ， 1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题6．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin α=______. 【答案】45【解析】由三角函数的定义可直接求得sin α. 【详解】解：∵角α的终边经过点()3,4P -， ∴4sin 5α==.故答案为：45. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 7．函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期为 ． 【答案】π【解析】试题分析： 因为()cos 2f x x =，所以函数f(x)＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为2.2T ππ== 【考点】三角函数的周期8．已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则AB AC ⋅=______. 【答案】0【解析】首先求出AB ､AC 的坐标，而后可求0AB AC ⋅=. 【详解】解：()1,1AB =，()3,3AC =-，()13130AB AC ⋅=⨯-+⨯=.故答案为：0. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.9．在△ABC 中,若2,30,a b A ===︒则角B 等于______ . 【答案】060或0120【解析】∵2,30a b A ===︒∴由正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 22b A B a === ∵b a >∴60B =︒或120︒ 故答案为060或012010．设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要). 【答案】充分不必要【解析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得l βαβ⊥⇒⊥.若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内.由αβ⊥，直线l α⊂得不到l β⊥，故可得出结论..【详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 因为直线l α⊂且l β⊥ 所以由判断定理得αβ⊥.所以直线l α⊂，且l βαβ⊥⇒⊥若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内.所以“l β⊥”是“αβ⊥”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要. 【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题. 11．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是60，E 为1CC 的中点，则三棱锥C EBD -的体积是________.【答案】5【解析】由长方体1111ABCD A B C D -的体积为60,即160V BC DC CC =⋅⋅=,而三棱锥C EBD -的体积为1111322C EBD V BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯ ⎪⎝⎭,代入求解即可【详解】由题,长方体1111ABCD A B C D -的体积为160V BC DC CC =⋅⋅=, 所以11111116053221212C EBD V BC DC CC BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭, 故答案为：5 【点睛】本题考查三棱锥的体积,属于基础题12．在ABC 中，60A =︒，1b =3，则sin sin sin a b cA B C________．239【解析】由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】60A =︒，1b =31133sin 1222bc A c ==⨯⨯⨯,解得4c=，由余弦定理可得：2212cos116214132a b c bc A=+-=+-⨯⨯⨯=，所以13239sin sin sin sin332a b c aA B C A,故答案为：2393【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.13．已知三棱柱111ABC A B C-的6个顶点都在球O的球面上，若3cmAB=，4cmAC=，AB AC⊥，112cmAA=，则球O的表面积为______2cm.【答案】169π【解析】由于直三棱柱111ABC A B C-的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C-补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】由题意，三棱柱111ABC A B C-为直三棱柱111ABC A B C-，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C-补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为222113341222++=， 则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积是22134169cm 2ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：169π. 【点睛】本题考查几何体的外接球问题，属于基础题. 14．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若2AB AF ⋅=，则AF BF ⋅的值是______.2【解析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果. 【详解】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅)221122222=-+⨯=-=2. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题.15．如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】222+【解析】设等腰三角形底角为θ，阴影面积为2sin2θ2cos2θ2++，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】设等腰三角形底角为θ，则等腰三角形底边长为2cos θ，高为sin θ， 阴影面积为：()21422cos θ2sin2θ2cos2θ22cos sin θθ⨯⨯⨯+=++ 22224sin πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当8πθ=时，阴影面积的最大值为222+故答案为222+ 【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为θ表示等腰三角形的底边与高.三、解答题16．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的对称轴； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值. 【答案】（1）对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈)；（2）最大值为2，最小值为1-. 【解析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值. 【详解】（1）函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令262x k πππ-=+(k Z ∈)，解得23k x ππ=+(k Z ∈)，所以函数()f x 的对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈). （2）由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则：()12f x -≤≤故当0x =时，函数的最小值为1-. 当3x π=时，函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且c =105A =︒，30C =︒（1）求b 的值 （2）ABC 的面积. 【答案】（1）2；（2. 【解析】（1）由A 与C 度数求出B 的度数，再由c 及C 的度数，利用正弦定理求出b 的值即可；（2）由b ，c 及sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】（1）∵105A =︒，30C =︒，∴45B =︒，又c =1sin 2C =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =得：sin 221sin 2c Bb C===；（2）∵2b =，c =()61sin sin105sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 454A +=︒=︒+︒=︒︒+︒︒=， ∴116113sin 2222ABC S bc A ++==⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于基础题.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11C B 中点.（1）求证：//AC 平面1B DE ；（2）求证：//AF 平面1B DE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证//DE AC ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//AC 平面1B DE .（2）由已知可证1B ECF 是平行四边形，进而证明1//FC B E ，利用线面平行的判定证明//FC 平面1B DE ，根据面面平行的判定证明平面//ACF 平面1B DE ，根据面面平行的性质即可可证//AF 平面1B DE .【详解】（1）在ABC 中，D ，E 分别为棱AB ，BC 中点.所以//DE AC ，因为DE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ，所以//AC 平面1B DE .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，11BC BC ∥， 因为E ，F 分别为BC ，11C B 中点，所以1CE B F ∥，所以1B ECF 是平行四边形，所以1//FC B E ，因为⊄FC 平面1B ED ，1B E ⊂平面1B ED ，所以//FC 平面1B DE ，又因为//AC 平面1B DE ，AC CF C ⋂=，所以平面//ACF 平面1B DE ，所以//AF 平面1B DE .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题.19．已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长l 的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）3.【解析】（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cos A 的值，可得A 的值.（2）利用正弦定理求得b ､c 的解析式，可得周长l 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得ABC 的周长l 的最大值.【详解】解：（1）ABC 中，∵cos 12a c C b b+=， ∴由正弦定理可得()1sin cos sin sin sin sin cos cos sin 2A C CB AC A C A C +==+=+， ∴1sin cos sin 2C A C =，∴1cos 2A =. 结合()0,A π∈，可得3A π=. （2）由正弦定理得sinsin B a B A b ==，c C =， ∴周长)()11sin sin 1sin sina b c B C B A B =++=+=++⎡⎤⎣⎦3112sin cos 12sin 26B B B π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵3A π=，∴20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故ABC 的周长l 的最大值为3. 【点睛】 本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题. 20．如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，25AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1A OC ； （3）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，所以由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾.试题解析：解：（1）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 //EF HD ． 因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ．（2）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =． 所以11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥．因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，所以 1CO A O ⊥．在△OBC 中，4BC =，易知 22OB OC ==所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ，所以 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点． 在△EOC 中，因为OC GE ⊥，所以EO EC =，这显然与1EO =，5EC =所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．。

2019北京师大附中高一（下）期中数学一、本大题共10小题，共40分．1．（4分）若△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，b＝3，c＝4，则cos C＝（ ）A．B．C．D．2．（4分）已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab＝c2，则C＝（ ）A．B．C．D．3．（4分）在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是（ ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4．（4分）已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（ ）A．（3，5）B．（）C．（）D．（）5．（4分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，96．（4分）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，67．（4分）若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是（ ）A．4S B．4πS C．πS D．2πS8．（4分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（ ）A．B．C．D．9．（4分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A．B．C．D．10．（4分）现有A1，A2，…，A5这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为：A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝2，，则a＝ ．12．（5分）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为 ．13．（5分）如图，△A'O'B'为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且O'A'＝2，O'B'＝3，则△AOB的周长为 ．14．（5分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M﹣ABCD的体积小于的概率为 ．15．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为 ．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝4，，且C为锐角，则△ABC面积的最大值为 ．三、解答题：共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．在△ABC中，已知A＝，BC＝13．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求BC边上的中线AD的长．18．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为为且b＝，求a+c的值．19．某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%＝230人，回答问题统计结果如图表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组[15，25） 5 0.5第2组[25，35）a0.9第3组[35，45）27 x第4组[45，55）b0.36第5组[55，65） 3 y（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．20．某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数 3 4 5 6 7车辆数 3 30 5 7 5B型车出租天数 3 4 5 6 7车辆数10 10 15 10 5（I）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．21．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f（x）时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤75恒成立；（3）恒成立．）（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．22．将1至n2这n2个自然数随机填入n×n方格的n2个方格中，每个方格恰填一个数（n≥2，n∈N*）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这n2（n﹣1）个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若n＝2，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当n＝3时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．2019北京师大附中高一（下）期中数学参考答案一、本大题共10小题，共40分．1．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：cos C＝＝﹣．故选：A．【点评】本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．【分析】把已知条件移项变形得到a2+b2﹣c2＝ab，然后利用余弦定理表示出cos C的式子，把变形得到的式子代入即可求出cos C的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由a2+b2﹣ab＝c2，可得：a2+b2﹣c2＝ab，根据余弦定理得：cos C＝＝＝，又C∈（0，π），所以C＝．故选：B．【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，考查了整体代换的数学思想，属于基础题．3．【分析】由余弦定理且B＝60°得b2＝a2+c2﹣ac，再由b2＝ac，得a2+c2﹣ac＝ac，得a＝c，得A＝B＝C＝60°，得△ABC的形状是等边三角形【解答】解：由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，又b2＝ac，∴a2+c2﹣ac＝ac，∴（a﹣c）2＝0，∴a＝c，∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查三角形的形状判断，用到余弦定理，在一个式子里面未知量越少越好．是基础题．4．【分析】由△ABC的三边长，根据余弦定理的推论得到△ABC为锐角三角形时余弦值大于0，列出不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵△ABC三边长分别为1、2、a，且△ABC为锐角三角形，当2为最大边时2≥a，设2所对的角为α，根据余弦定理得：cosα＝＞0，∵a＞0，∴a2﹣3＞0，解得2≥a＞；当a为最大边时a＞2，设a所对的角为β，根据余弦定理得：cosβ＝＞0，∴5﹣a2＞0，解得：2＜a＜，综上，实数a的取值范围为（，）．故选：B．【点评】本题考查了三角形的形状判断以及余弦定理的应用问题，利用了分类讨论的思想，解题关键是利用余弦定理推论得出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2求出第三边a的取值范围．5．【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样方法．6．【分析】先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．【解答】解：因为＝，故各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，＝10，＝6，故选：D．【点评】本题主要考查分层抽样方法．7．【分析】根据圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是4S，出圆柱底面圆的直径，代入面积公式计算．【解答】解：∵圆柱的轴截面是一个正方形，且此正方形的面积为4S，故此正方形的边长为2，故此圆柱的底面直径为 2，故此圆柱的底面半径为，故圆柱的底面面积为：πS，故选：C．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中熟练掌握圆柱的几何特征是解答的关键．8．【分析】根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）、P（B），进而可得P（），由对立事件的概率计算，可得答案．【解答】解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）＝，P（B）＝，则P（）＝（1﹣）（1﹣）＝，则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为1﹣＝；故选：C．【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）．9．【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩＝＝90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩＝＝88.4+当X＝8或9时，≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为＝则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P＝1﹣＝故选：C．【点评】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，其中根据已知茎叶图求出数据的平均数是解答本题的关键．10．【分析】根据题意，分析可得A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，进而可得A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又由A4队只赛过一场，分析可得A2队必须和A3、A5各赛1场，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，A1，A2，A3，A4，A5五支球队进行单循环比赛，已知A1队赛过4场，所以A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，已知A2队赛过3场，A2队已和A1队赛过1场，那么A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又知A4队只赛过一场（也就是和A1队赛过的一场），所以A2队必须和A3、A5各赛1场，这样满足A3队赛过2场，从而推断A5队赛过2场．故选：B．【点评】此题主要考合情推理的应用，利用A1队比赛场数得出A2队、A4队比赛过的对应球队是解题关键．二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．【分析】直接利用已知和正弦定理即可求解．【解答】解：因为b＝2，，由正弦定理＝＝，则有a＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查三角形的正弦定理，考查运算能力，属于基础题．12．【分析】根据平均数公式先求出a，再求出方差，开方得出标准差．【解答】解：由已知a，0，1，2，3，的平均数是1，即有（a+0+1+2+3）÷5＝1，易得a＝﹣1，根据方差计算公式得s2＝[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]＝×10＝2故答案为：2【点评】本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．13．【分析】根据斜二侧画法得到三角形OAB为指教三角形，且其底面边长0B＝3，高OA＝2O'A'＝4，AB＝5，然后求三角形的周长即可．【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B＝3，高OA＝2O'A'＝4，∴AB＝＝5，∴直角三角形OAB的周长为3+4+5＝12．故答案为：12．．【点评】本题主要考查平面图形的直观图的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础．14．【分析】求出当四棱锥M﹣ABCD的体积等于时，点M到平面ABCD的距离等于，可得当M到平面ABCD的距离小于时，四棱锥M﹣ABCD的体积小于．利用长方体、正方体的体积公式和几何概型公式加以计算，可得所求概率【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴正方体的体积V＝1×1×1＝1．当四棱锥M﹣ABCD的体积小于时，设它的高为h，则×12h＜，解之得h＜则点M在到平面ABCD的距离等于的截面以下时，四棱锥M﹣ABCD的体积小于，求得使得四棱锥M﹣ABCD的体积小于的长方体的体积V'＝1×1×＝∴四棱锥M﹣ABCD的体积小于的概率P＝＝．故答案为：．【点评】本题考查几何概型，概率的求法，给出正方体的棱长，求四棱锥的体积小于的概率．着重考查了空间几何体的体积计算和几何概型计算公式等知识，属于中档题．15．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形，边长为．然后由三角形面积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形，边长为．则该三棱锥的表面积为S＝2×＝．故答案为：．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16．【分析】由已知利用正弦定理可求，结合C为锐角，可求，利用余弦定理，基本不等式可求ab的最大值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为c＝4，又，所以，又C为锐角，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，即，即当时，△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题：共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．【分析】（Ⅰ）由同角公式和正弦定理，解方程可得AB；（Ⅱ）在△ABD中，运用两角和的余弦公式和余弦定理，计算可得所求值．【解答】解：（Ⅰ）由，，所以，由正弦定理得，，即；（Ⅱ）在△ABD中，，由余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cos B，所以AD2＝，所以．【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．【分析】（1）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin（C+B）＝sin A，再对已知（2a﹣c）cos B＝b cos C，利用正弦定理化简可求B（2）结合三角形的面积公式S＝ac sin B，可求ac，由已知b，B，再利用余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B可求a+c【解答】解：（1）又A+B+C＝π，即C+B＝π﹣A，∴sin（C+B）＝sin（π﹣A）＝sin A，将（2a﹣c）cos B＝b cos C，利用正弦定理化简得：（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（C+B）＝sin A，在△ABC中，0＜A＜π，sin A＞0，∴cos B＝，又0＜B＜π，则B＝（2）∵△ABC的面积为，sin B＝sin＝，∴S＝ac sin B＝ac＝，∴ac＝3，又b＝，cos B＝cos＝，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B得：a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣9＝3，∴（a+c）2＝12，则a+c＝2【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，解决此类问题的关键是要是考生具备综合应用公式的能力19．【分析】（Ⅰ）由回答对的人数：每组的人数＝回答正确的概率，分别可求得要求的值；（Ⅱ）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．【解答】解：（Ⅰ）第1组人数5÷0.5＝10，所以n＝10÷0.1＝100，…（1分）第2组人数100×0.2＝20，所以a＝20×0.9＝18，…（2分）第3组人数100×0.3＝30，所以x＝27÷30＝0.9，…（3分）第4组人数100×0.25＝25，所以b＝25×0.36＝9…（4分）第5组人数100×0.15＝15，所以y＝3÷15＝0.2．…（5分）（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9＝2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（8分）（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…（10分）其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．…（12分）故所求概率为．…（13分）【点评】本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属基础题．20．【分析】（Ⅰ）由数据的离散程度可以看出哪个方差较大；（Ⅱ）利用古典概型的概率计算公式即可得出；（Ⅲ）可有从出租的天数的平均数或出租天数的方差大小去考虑．【解答】解：（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．（Ⅱ）∵出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有＝13中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有＝3中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率P＝；（Ⅲ）50辆A类型车出租的天数的平均数＝＝4.62；50辆B类型车出租的天数的平均数＝＝4.8．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以应购买A型车．【点评】熟练掌握古典概型的概率计算公式、平均数和方差的计算公式及其意义是解题的关键．21．【分析】（1）研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合的基本要求；（2）先求出g（x）max＝a﹣5≤75，此时a的范围，再求出满足恒成立a的范围，即可求出【解答】解：（1）对于函数模型f（x）＝+10，当x∈[25，1600]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≤f（1600）＝+10≤75，显然恒成立，若函数f（x）＝+10﹣≤0恒成立，即x≥60∴f（x）＝+10不恒成立，综上所述，函数模型f（x）＝+10，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f（x）＝+10，不符合公司要求；（2）x∈[25，1600]时，g（x）＝a﹣5有意义，∴g（x）max＝a﹣5≤75，∴a≤2，设a﹣5≤恒成立，∴ax≤（5+）2恒成立，即a≤+2+，∵+≥2＝2，当且仅当x＝25时取等号，∴a≤2∵a≥1，∴1≤a≤2，故a的取值范围为[1，2]【点评】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言﹣﹣数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．22．【分析】（Ⅰ）当n＝2时，任意填一种，计算可得所求值；（Ⅱ）当n＝3时，考虑最中间填1，调整边上的两数，使得此填数法的“特征值”为（Ⅲ）不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为C（A），考虑含n+1个元素的集合B＝{n2，n2﹣1，n2﹣2，…，n2﹣n}，讨论其中的两数，考虑两种情况，由不等式的性质即可得证．【解答】解：（Ⅰ）当n＝2时，如下表填数：同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为2，，3，2，可得此填数法的“特征值”为；（Ⅱ）当n＝3时，如下表填数：同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为4，3，，5，9，，，，，，，，8，3，，，，，可得此填数法的“特征值”为；（Ⅲ）不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为C（A），考虑含n+1个元素的集合B＝{n2，n2﹣1，n2﹣2，…，n2﹣n}，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为也必有至少两个数处于同一列，设为．①若则有（因为n3+1＞n3）．②若，即，则x2≠y2，．所以．即不论何种情况，总有．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查运算能力和推理能力，属于难题．word下载。