006三维正交各向异性

006三维正交各向异性1.1三维正交各向异性问题1.1.1求解步骤1.1.1.a选择项目(1)启动SciFEA，选择“项目”—>“新建项目”菜单或选择新建项目按钮弹出如图1所示的对话框。

图1 选择项目类型对话框(2)点击“问题类型”栏中的“三维正交各向异性”选项。

如图1所示。

(3)点击“OK”按钮完成项目类型的选择。

1.1.1.b设置材料参数和边界条件(1)选择“前处理”—>“材料参数”按钮，如图2所示。

或者单击工具条中的按钮弹出如图3所示材料参数数据输入表格。

图2 选择材料参数输入图3 材料参数输入对话框(2)按照问题描述中的参数依次填入材料参数数据表格。

填写完成后如图4所示。

图4 填写完成材料数据输入(2)选择“前处理”—>“边界条件”按钮，填入参数如图5所示，单击“OK”。

图5 填写边界条件1.1.1.c建模、设置材料属性和施加边界条件(1) 启动GID以创建模型。

点击菜单选择“前处理”—>“弹性力学”—>“三维正交各向异性”，如图6所示；或者单击工具条中的按钮弹出前处理初始化窗口。

图6 启动前处理(2) 建模。

a.点击【Geometry】—【Create】—【point】，然后在GID命令栏依次输入点坐标：0,0，按ENTER键；输入0，1,按ENTER；输入1,0，按ENTER键；输入1,1，按ENTER键接着按Esc 键。

点击【Geometry】—【Create】—【staight line】，点击右键contextual-join ctrl-a，依次拾取各点，形成线条，按esa退出。

形成的线条如图7所示。

图7选择【Geometry】—【Create】—【NURBS surface】—【By contour】,拾取线条，形成面，如图8.图8选择【utilities】—【Copy】,弹出如图9所示的对话框，在Entities type 栏中选择surfaces选项，second point中Z坐标填入1，Do extrude中选择volumes,单击select,选择面，点击Finish,形成体如图9.图9b选择问题类型。

正交各向异性介质平面问题的基本解
正交各向异性介质体的平面问题，首先要明确的是其存在的基本物理规律，即紫外线在介质内的传播路线是依照光的折射率在各向异的方向而变化的。

考虑的基本问题就是在介质内可以得到哪些类型的波导解，以及这些解的性质如何。

从经典电磁理论出发，介质上波导解的性质完全由折射率所决定，即折射率（ε）、内在电容(μ)和外空气电容（ε0）。

在正交各向异性介质中，折射率是在横向和纵向上存在不同变体的，因此得到的波导解会存在一定的各向异性。

针对这个问题，可以采用电磁场积分的方法，解得一维正交各向异性介质的基本解，包括TE型和TM型的解。

TE型波导中，场线状态呈圆柱形分布，且其各向异性特性体现在横向和纵向受强度的不同程度。

TM型波导将电场和磁场的分布呈球体的分布状态，并且在横向和纵向上磁畴和电畴都是有差别的。

基于上述推导，我们可以得出结论：一维正交各向异性介质上，存在TE型和TM型的基本波导解，其横向和纵向的磁畴和电畴存在不同程度的强度差别。

而这种差别就是正交各向异性介质的特性。

二维正交各向异性材料及其结构 材料参数识别的算法
如果正交各向异性材料平面结构的材料主轴
能从中切出一个试件，进行参数测定。随着计算机 技术的飞速发展，采用数值—实验反分析方法进行 正交各向异性材料性能参数的识别引起人们的广 泛关注。由于参数识别问题是非线性的，在迭代求 解时，导致计算工作量很大。边界元法有其独到的 长处： (1) 整个问题降维，网格划分仅在边界上。 象孔板这样几何形状发生突变的结构，会出现应力 集中现象，用边界元法计算分析，计算工作量小的 优势比较明显； (2) 精度高； (3) 域内点的位移和应 力可按需计算。因此，对于仅需布置若干个测点和 需要迭代计算的参数识别问题，边界元法是很有利 的。 本文以优化技术和边界元分析为基础，识别正 交各向异性孔板的材料参数。选择孔板结构的位移 为目标变量，以测量位移与边界元计算相应的位移 之 差 的 平 方 和 作 为 目 标 函 数 。 采 用 Levenberg-Marquardt 方法极小化目标函数，迭代计 算得出材料参数。优化计算中，基于离散的边界元 代数矩阵方程对识别的材料参数求导，计算得出灵 敏度。算例表明本文提出的方法是有效的。
∂hij ∂s m = ˆ ∂h = ij kl ∂x m
∗ ∂t kl
b
i, j = 1,2, L , n
(11)
用 Levenberg-Marquardt 方法可以得到一系列 的迭代步。当给定的某种收敛准则满足时，迭代即 终止。第 k 次迭代的材料参数值可以由下列方程计 算 [ J ( s ( k ) ) T J ( s ( k ) ) + µ ( k ) I ]ä ( k ) = − J ( s ( k ) ) T f ( s ( k ) ) (17)

中国科学G辑物理学力学天文学 2005, 35(1): 79~86 79正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理*罗建辉①**龙驭球②刘光栋①(①湖南大学土木工程学院, 长沙 410082; ②清华大学土木系, 北京 100084)摘要利用平面弹性问题与板弯曲问题的相似性理论, 将弹性力学新正交关系中构造对偶向量的思路推广到正交各向异性薄板弹性弯曲问题. 由混合变量求解法直接得到对偶微分方程. 所导出的对偶微分矩阵具有主对角子矩阵为零矩阵的特点. 发现了2个独立的、对称的正交关系. 利用正交各向异性薄板弹性弯曲理论的积分形式证明了这种正交关系. 在恰当选择对偶向量后, 弹性力学的新正交关系可以推广到正交各向异性薄板弹性弯曲理论. 利用积分形式导出了与微分形式对应的变分原理并提出了一个完整的泛函表达式.关键词弹性力学薄板理论对偶向量正交关系正交各向异性变分原理将Hamilton体系导入弹性力学求解, 钟万勰建立了弹性力学求解辛体系并提出了辛正交关系[1,2]. 对于二维弹性力学问题, 罗建辉等将原来的对偶向量[1]进行重新排序后, 提出了一种新的对偶向量和对偶微分矩阵[3]. 对于各向同性材料, 发现辛正交关系可以分解为2个独立的、对称的子正交关系, 新的正交关系包含辛正交关系[3]. 罗建辉等将新正交关系推广到各向同性三维弹性力学[4]和有一个方向材料正交的各向异性三维弹性力学[5]. 在弹性力学的求解体系中, 薄板和厚板弯曲理论的求解体系的研究也一直受到关注. 姚伟岸等研究了Reissner板弯曲的辛求解体系并提出了辛正交关系[6]. 罗建辉等采用与文献[6]排序不同的对偶变量, 导出了厚板弯曲的对偶求解体系[7]. 新正交关系被推广到厚板弯曲理论, 并从厚板势能原理出发, 采用换元乘子法导出了厚板Hamilton变分原理的能量泛2004-07-01收稿, 2004-12-20收修改稿*国家自然科学基金(批准号: 10272063)、教育部高等学校博士点基金(批准号: 20020003044)、清华大学基础研究基金(批准号: JC2002003)、高等学校全国优秀博士论文作者专项基金(批准号: 200242)资助项目** E-mali: luojianhui@80 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷函.按照一般的思路, 厚板理论的子正交关系退化到薄板理论, 可以导出薄板理论的新正交关系. 但经过我们的研究发现, 直接退化的薄板理论正交关系并不成立. 产生这个结论的原因是显而易见的. 因为当厚板理论的对偶向量退化到薄板理论后, 对偶向量中的横向剪力不是独立的变量. 所以有必要对薄板理论对偶向量的选择和正交关系等问题进行研究. 钟万勰等提出了弯矩函数的概念, 建立了平面弹性问题与板弯曲问题的相似性理论, 构造了与传统对偶变量不同的对偶向量, 研究了各向同性薄板弯曲的求解辛体系并提出了辛正交关系[8]. 岑松等采用与文献[8]不同的对偶变量, 避免了相似性原理, 建立了薄板弯曲的对偶微分方程以及相应的变分原理泛函表达式[9]. 姚伟岸等基于相似性原理, 研究了正交各向异性薄板弯曲求解辛体系并提出了辛正交关系[10]. 但文献[10]建立的泛函表达式不完整, 没有包含与边界条件有关的项. 利用平面弹性问题与板弯曲问题的相似性理论, 罗建辉等将弹性力学的新正交关系推广到各向同性薄板弹性弯曲理论[11], 薄板弯曲的辛正交关系[8]分解为2个独立的、对称的子正交关系.本文将文献[3]构造对偶向量的思路应用于正交各向异性薄板弹性弯曲问题, 对文献[8]提出的对偶向量重新排序后, 提出了新的对偶向量, 建立了对应的对偶微分方程. 对偶微分矩阵的主对角子矩阵是零矩阵. 由于对偶微分矩阵的这一特点, 发现了辛正交关系[10]可以分解为2个独立的、对称的子正交关系. 文中从弹性力学求解体系的积分形式[12]出发, 证明了新正交关系的成立. 利用一种建立变分原理的新方法[12], 基于对偶微分方程和边界条件, 推导了对应的变分原理, 提出了一个包含边界条件的完整泛函表达式. 本文的研究表明, 在恰当选择对偶向量后, 弹性力学的新正交关系可以推广到正交各向异性薄板弹性弯曲理论.1 对偶向量和对偶微分方程矩形薄板的坐标如图1所示. 为了便于与文献[10]进行对比, 下文中有关的符号定义见文献[10, 13].曲率——挠度的关系是22222, ,.x y xy w w w x y x y∂∂∂===−∂∂∂∂κκκ (1)平衡微分方程为2222220xy y x M M M q x yxy∂∂∂−++=∂∂∂∂. (2)横向荷载q 的作用可以通过特解得到处理. 所以这里只考虑当q = 0时图1 矩形薄板第1期 罗建辉等: 正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理 81(2)式的齐次方程.正交各向异性板的物理方程为1112122266,,2y y x x y x xy xy M D D M D D M D =+=+=κκκκκ.(3)引用弯矩函数[10] ψx 和ψy , 弯矩与弯矩函数的关系为,,2y yx x y x xy M M M x y y x∂∂∂∂===+∂∂∂∂ψψψψ. (4) 容易看出(2)式的齐次方程已被满足. 若以对偶变量[10]T []x y y xy =νψψκκ (5)为基本变量, 则要由(1)式消去w 得变形协调方程为0,0y xy xy xxyxy∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂κκκκ. (6) 将(4)代入(3)式可得 2121211662222,y y x x y xy D D D D x D y D x y∂∂⎛⎞∂∂=+−+=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠ψψψψκκ, (7)1222221y x y D D y D ∂=−∂ψκκ. (8)按文献[3]选取对偶向量的原则, 令新的对偶向量为 TT T[],b d =ννν (9)T T [],[].b x xy d y y ==ψκκψνν (10)由(6), (7)式得对偶微分方程为,=v Lv (11)式中,x⎡⎤∂==⎢⎥∂⎣⎦0B νL νD 0&, (12)2121211222221266222220,1D D D D D y y D D y D yD y ⎡⎤∂∂⎡⎤−−⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥==⎢⎥∂⎢⎥∂∂−⎢⎥−⎢⎥∂∂⎣⎦∂⎢⎥⎣⎦B D . (13) 其他变量可由(1), (4)和(8)式得到. v b , v b 的分量以混合形式出现. 与文献[10]的H 矩阵比较, 由新对偶向量导出的L 矩阵的特点是其主对角子矩阵为零矩阵. 利用L 矩阵的这一特点, (11)式可以表示为,b d d b ==&&v Bv vDv . (14) 采用分离变量法求解, 设82 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷()exp()y x =λv ψ, (15)式中λ是特征值, ψ是特征函数向量. 对应于新对偶向量, T T T[]b d =ψψψ. 由(14)式得,d b b d ==λλB ψψD ψψ. (16)2 一种新的正交关系定义11001⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦J . (17) 对于任意的对偶变量v 和v *, 可以验证(18)~(21)式为恒等式.T1()*y***x d byxy xy y x x x∂∂∂=+−∂∂∂ψψκκκψv J v &, (18)2T1212111112222221+ 1 (),*y y ***d dy y y y *y y *x y D D D D D D y y D y y y⎛⎞∂∂⎛⎞⎜⎟=−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂−+∂∂∂ψψκκκκψψκψv J Bv(19)T 1()*y ***xb dy xy y x x x x∂∂∂=−−+∂∂∂ψψκκκψv J v &, (20)T166()*****xx b bxyxy xy xy xy x D y y y∂∂∂=+−−∂∂∂ψψκκκκκψv J Dv . (21) 考虑图1所示矩形薄板, 在边界y = 0和y = b 处, 满足下列边界条件0x =κ或0y =ψ, (22)=0xy κ或0x =ψ. (23)由(19)和(21)式得T T 11()()****d d d d x y x y y y ∂∂−=−∂∂κψκψv J Bv v J Bv , (24)T T 11()+()****b b b b xy x xy x y y∂∂−=−∂∂κψκψv J Dv v J Dv . (25) 对(24)和(25)式积分得T T 110()()()bb b****d d d d x y x y dy −=−∫κψκψv J Bv v J Bv , (26)T T 11000()()()bb b****b b b b xy x xy x dy −=−∫κψκψv J Dv v J Dv . (27)第1期 罗建辉等: 正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理 83利用(14)和(22), (23)式, 由(26), (27)式分别得T T 11,,,,**d b d b 〈〉=〈〉v J v v J v &&, (28)T T 11,,,,**b d b d 〈〉=〈〉v J v v J v &&. (29)其中定义了运算110,,d by 〈〉=∫v J u vJ u . (30)由(15)式得,b b d d ==λλ&&vv vv , (31)******,b b d d ==λλ&&v v v v .(32)将(31), (32)式代入(28), (29)式得 T T11, , , , 0***d b d b 〈〉−〈〉=λλv J v v J v , (33)T T 11, , , , 0***d b d b −〈〉+〈〉=λλv J v v J v . (34)对于特征根λ和λ*, 若λ2−λ∗2 ⎯0, 由(33)和(34)式得T T11, , 0,, , 0**d b d b 〈〉=〈〉=v J v v J v . (35)以(15)代入(35)式得()T()T11e , ,0,e , ,0**x*x*d b d b λλλλ++〈〉=〈〉=ψJ ψψJ ψ. (36)由()e 0*x+≠λλ得新的正交关系TT11, ,0,, , 0**d b d b 〈〉=〈〉=ψJ ψψJ ψ. (37)由(37)式可得辛正交关系[10]T T11, , , , **d b d b J J 〈〉=〈〉ψψψψ. (38)对于正交各向异性薄板弯曲问题, 新的正交关系(37)式包含辛正交关系(38)式.3 混合变分原理对于对偶微分方程(14), 建立相应的变分原理是必要的. 下面将从微分形式出发, 利用积分形式[12]导出了与微分形式对应的变分原理.对于一般的曲线边界S , 边界条件为=0, 0s s n n −−=ψψψψ(在边界S ψ上), (39)=0, 0ns ns s s −−=κκκκ(在边界S κ上).(40)设对偶变量v *为任意对偶变量, 若对偶变量v 满足对偶微分方程(14)和边界条件(39), (40), 则()0*F ,=v v , (41)84 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷T T11()[()()]d d [()()]d [()()]d .***d b d b d b A**n n s s s ns S **s ns ns n s s S F ,x y s s =−−−−−+−−−+−∫∫∫∫ψκψψκψψκψκκψκκv v v J v Bv v J v Dv &&(42)将(18)~(21)式代入(42)式得211121122122222()[ 1(+)21 +2**y y *****x xy y xy xy y y y y A***y yy y y y*y yD D F ,x x x x D D D D y y D y y y y ψψψψκκκκκκκκψψψψψψκκ∂∂⎛⎞∂∂=+++−−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎟⎜⎟−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∫∫v v66()2()()]d d [()()]d [()()]d .****x xxy xy xy xy xy xy ****xy y y x x y xy x **n n ss s ns S **s ns ns n s s S D y y x yx y ss ψκψψκκκκκκκψκψκψκψψψκψψκψκκψκκ∂∂−+++∂∂∂∂−+−+∂∂−−+−−−+−∫∫ (43)为简单起见, 限定边界为直线段. 利用Green 公式, 得()+()d d [()()]d()d .****xy y y x x y xy x A ****xy y y x x y xy x S**n s s ns Sx y x y l m ss κψκψκψκψκψκψκψκψψκψκ⎡⎤∂∂++⎢⎥∂∂⎣⎦=+++=+∫∫∫∫(44)利用(44), (43)式化为12222661112112222()[+1(+)()221]2***y y y y ****x x y y xy xy y yA ****y y y y xy xy xy xy ***y y y y *x xxy xy D F ,x x x x D y y D D D D D D y yy y y y ψψψψψψκκκκκκκκκκκκκκψψψψψψκκ⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎟=+++−⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞−−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎟++++⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠∫∫v v d d [()()]d ******n s n s n s s ns s ns s ns S x y s ψψκψκψκψκψκψκ−+−++−∫第1期 罗建辉等: 正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理 85()d .**s ns n s S s κψκψκ−+∫(45) 因为v 也包含在v *之中, 由(41)式得()0.F ,=v v (46)引入变分δ v = v *−v , 由(41)减(46)式得()()0*F ,F ,−=v v v v ,即21112121122226622 1(+)+21 ()22y y x x y y xy xy A y y y y y y y y y y y yxy xy xy xy x x x x D D D D D D y y D D y yy y ψδψψδψδκκδκκψδψδκκκδκδκκδψψψδψδκκκδκ∂∂∂∂⎡+++⎢∂∂∂∂⎣∂∂⎛⎞⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞++−+⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠∫∫d d ()d [()()]d 0.x x xyxys ns n s Sn s n s n s s ns s ns s ns S x y s y y s κψψδψδκκδψκδψκδψκψδκψδκδψκψδκψδκ∂∂⎤++−+⎥∂∂⎦−+−++−=∫∫(47)对(47)式进行变分的逆运算, 得混合变分原理的变分表达式为0,=δΠ (48)22111211222266122222121 d d 22 ()d [()()]d ,y x xy y y Ay y x y xy xy s ns n s s n n ns s s S S D D D D D D x yD y D y y s s κψΠκψκψκψψψκκκψκψκκψψκψψ⎛⎞⎡=+−−⎜⎟⎣⎜⎟⎝⎠∂⎛⎞∂⎤−+−+⎜⎟⎥∂∂∂⎦⎝⎠−+−−+−∫∫∫∫&&(49)式中Π 的表达式包含文献[8, 10]的泛函表达式. 文献[8]对于各向同性薄板提出了一个完整的泛函表达式. 文献[10]的泛函表达式未包含有关边界条件的项. 本文提出了正交各向异性薄板完整的泛函表达式. 本文建立变分原理的方法是一种理性方法. 对(49)式进行变分, 可以推导出对偶微分方程(14)和边界条件(39)，(40).4 结论对于基于新对偶变量的正交各向异性薄板求解体系, 本文得出了3点结果:(ⅰ) 建立了正交各向异性薄板对偶微分方程; (ⅱ) 导出了相应的薄板能量泛函;86 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷(ⅲ) 提出了薄板两个子正交关系, 弹性力学的新正交关系已推广到正交各向异性薄板的弯曲问题.新的正交关系不但包含辛正交关系, 而且比其简洁. 新的正交关系成立的条件是220*−≠λλ. 这个条件的物理意义是对偶微分方程的基本解系关于x 坐标对称性. 对于一般的各向异性材料, 这一对称性将不成立, 所以新正交关系也不成立. 可以推测, 辛正交关系对于最一般的各向异性材料仍成立. 薄板求解体系的研究成果将为研究薄板的解析解和有限元解提供新的有效工具. 希望本文的工作对正交各向异性薄板弯曲问题特征函数展开直接解法的研究有所帮助.参 考 文 献1 钟万勰. 弹性力学求解新体系. 大连: 大连理工大学出版社, 19952 钟万勰. 互等定理与共轭辛正交关系. 力学学报, 1992, 24(4): 432~4373 罗建辉, 刘光栋. 各向同性平面弹性力学求解新体系正交关系的研究. 计算力学学报, 2003, 20(2): 199~2034 罗建辉, 刘光栋, 尚守平. 各向同性弹性力学求解新体系正交关系的研究. 固体力学学报, 2004, 25(1): 98~1005 罗建辉, 刘光栋. 弹性力学的一种正交关系. 力学学报, 2003, 35(4): 489~4936 姚伟岸, 隋永枫. Reissner 板弯曲的辛求解体系. 应用数学和力学, 2004, 25(2): 159~1657 罗建辉, 岑松, 龙志飞, 等. 厚板Hamilton 求解体系及其变分原理与正交关系. 工程力学, 2004, 31(2): 34~398 钟万勰, 姚伟岸. 板弯曲求解新体系及其应用. 力学学报, 1999, 31(2): 173~1849 岑松, 龙志飞, 罗建辉, 等. 薄板Hamilton 求解体系及其变分原理. 工程力学, 2004, 21(3): 1~6 10 姚伟岸, 苏滨, 钟万勰. 基于相似性原理的正交各向异性板弯曲 Hamilton 体系. 中国科学, E 辑, 2001, 31(4): 342~34711 罗建辉, 龙驭球, 刘光栋. 薄板理论的正交关系及其变分原理. 力学学报, 2004, 36(5): 527~532 12 Luo J H, Liu G D, Shang S P. Research on a systematic methodology for theory of elasticity. Applied Mathematics and Mechanics, 2003, 24(7): 853~86213姚伟岸, 钟万勰. 辛弹性力学. 北京: 高等教育出版社, 2002。

则用工程弹性常数表达的正交各向异性材料的应 变-应力关系为：
由刚度系数矩阵与柔度系数矩阵的可逆性，可得：
式中：
➢ 工程弹性常数的互等关系 由于柔度矩阵的对称性，可得工程弹性常数的
互等关系为：
9个工程弹性常数，3个拉压 弹性模量，3个剪切弹性模量， 3个主泊松比
则刚度矩阵和柔度矩阵分别为：
单对称材料的应力
则单对称材料的应力应变关系就可以表示为：
则其应变-应力关系可以表示为：
三：正交各向异性材料的应力-应 变关系
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交 各向异性材料。按单对称材料分析方法可得：
则应力-应变关系为：
应变-应力关系为：
独立弹性常数只有９个， 正交各向异性材料三个 相互垂直的弹性对称面
其应力-应变关系：
应变-应力关系：
只有２个独 立弹性常数
２.２正交各向异性材料的工程弹 性常数
用工程弹性常数（拉压模量、剪切模量、泊松比） 来表示各向异性材料应力-应变关系。
➢ 柔度系数、刚度系数与工程弹性常数关系 由三个单向拉伸和三个纯剪切示意图来推导
沿 １ 轴向单向拉伸时，应力σ ≠ ０ ，其他应 力均为零，可得： 根据胡克定律和泊松效应有：
则柔度系数与工程弹性常数关系为：
同理，沿 ２ 轴向和 ３ 轴向的 单向拉伸，还可得：
对于102面、203面和103面的纯剪切，可得：
式中E1,E2,E3和G12,G23,G13分 别为正交各向异性材料的拉压弹 性模量和剪切弹性模量； V12,V23,V13以及V21,V32,V31分 别为主泊松比和副泊松比
应变与应力的 关系
简化后，工程上常用的胡克定律表达式：
i C ij j
S (i.j=1.2.3.4.5.6)

正交各向异性材料弹性本构关系分析一1997拒航空发动机第1期正交各向异性材料弹性本构关系分析张晓霞(沈阳建西孬,11OO15)32}3周柏卓(沈阳航空发罚罚面,110015)要:首先给出了正穸各向异性对科在材科主轱坐标最中弹性萃构关系.并由此导出了材科不同方向的弹性毫教之间的关系关键词0匪銮鱼里星嗡讨料三堕笪黾材料单晶材料..查塑苎量壁堡曼泊橙比剪切模量II1引言符号表正应力分量剪应力分量正应变分量剪应变分量方向弹性模量坐标轴问的剪切模量i:Y向作用拉(压)应力引起j方向缩(伸)的泊松比对于各向同性材料,正应力只产生正应变:剪应力分量只产生相应的剪应变分量.与各向同性材料不同,各向异性材料的正应力不仅产生正应变,而且也产生剪应变;同样,剪应力除了产生剪应变外,还要产生正应变;剪应力分量除了产生与之对应的剪应变分量外,还要产生其它的剪应变分量.这种耦合效应是由各向异性材料的物理特性所决定的. 完全各向异性材料的物理特性需要由21个独立的弹性常数来描述.在航空发动机上,用于制造涡轮叶片等高温构件的定向结品材料和单晶材料是正交各向异性的.正交各向异性材料是指通过这种材料的任意一点都存在三个相互垂直的对称面,垂直_丁对称面的方向称为弹性主方向. 在弹性主方向上,材料的弹性特性是相同的. 平行于弹性主方向的坐标轴为弹性主轴或材料主轴,用l_2和3表示这三个材料主轴.2弹性本构方程在正交各向异性材料的材料主轴坐标系中表示应力分量和应变分量或它们的增量. 应力分量与应变分量是不耦合的,其弹性应力应变关系由广义虎克定律确定".=【Cl{…………………?(1))=【c1扣}=【D】{￡) (2)其中:㈦【"￡,,;}=【l_O-"r"f2r"r;lDL=lc_L..;收稿日期:1996—06—27一/,n,=三EG1997征航空发动机第1期一(3)其中由于弹性矩阵的对称性有:￡.u】I=u¨.E2n:￡】",ElI,=￡",因此,(3)式12个常数中只有9个是独立的求(3)式的逆矩阵.即可得到(2)式中的弹性系数与工程常数之间的关系为=:等鳇鲁每=G,d,^=G11d=G.……(4)其中:逝嚣3应力和应变坐标变换由弹性力学可知,一点的应力状态可由该点的三个相互垂直方向的3个正应力分量和6个剪应力分量表示.由剪应力互等定理可知,这6个剪应力分量中只有3个是独立的这9-t"应力分量组成一个二阶对称的应力张量: 同理,一点的9个应变分量组成一个二阶对称的应变张量,用矩阵分别记为fO-fr][]=l,flrJ通常.总体坐标系与材辩坐标系并不重合在总体坐标系中,正应力分量和剪应力分量之问,剪应力分量和剪应力分量之阅相互耦台.其应力应变关系可通过材料坐标系下应力应变关系的旋转变换得到设[fm,n,].[Zmn]和[Z:mss]分别为总体坐标轴x.Y和Z在材料坐标系中的方向余弦.则坐标变换矩阵H]为『,,用]【'mlL,3m】",J若材料坐标系中的应力张量和应变张量分别记为[]和[￡].则应力张量和应变张量的转轴公式分别为【]=】[L【】 (5)]=【【州【棚 (6)[0]:】L】………………………?-(7)【.】=【[】【】…….展开(5)式,并写成矩阵的形式变换矩阵.则{}=【丁1,{}……………….同理展开(6).(7)和(8)式,得:{}=[{}……………{0}:[{…………………{0}:[,{…………………一其中变换矩阵………(8)令[列为….(9)…(IO)…fl1)…(12)2I22■,222'2'2rain,2^^'+'mn''+'+ram2^+''州+(J,It1nJ,+n,/. …………………………(131211,●●●●●●●●●j ,,Z,l一"r●_11l00000上o000上0..0.一0.E一E上B...一.一一...上'一一.00,...—.........—.........—,................,. .一晶～""f+●l～1997年航空发动机第1期I2lf,2¨2222n,n~22_'+''+''',l|^+,l|'''+月'c+rd.分别将(1)式和(10)式代人(11)式,(2)式和(12)式代人(9)式得总体坐标系下正交各向异性材料的应力应变关系矩阵为:【c1=【【c]【…………………-(15)【D]=[.【D】_[ (16)4定向结晶材料弹性常数定向结晶材料具有横观各向同性性质即如果取结晶轴为材料坐标轴3,则在与3轴垂直的平面内材料性能相同.这种材料的独立的弹性系数降为5个.若用工程常数表示. 井考虑到弹性模量E=E..泊松比==s,=a,,剪切模量G=G,则应应变关系矩阵(3)式变为:一000一—,all000占0000}00【J_200一0【J"000士"(3a)=.=:=i1d=Gld=d=G..J在(3a)式中,剪切模量G是不独立的,可用1—2平面内的弹性模量E和泊松比.表示.通过绕结晶轴旋转变换得:G.:!"2(1)剪切摸量G.的直接测量较困难,通常测量与结晶轴成45.夹角方向的拉伸弹性模量E 并由此导出剪切摸量G使总体坐标轴x与材料坐标轴1重合,z轴与3轴成45.夹角,则z轴方向的弹性模量即为E将其方向余弦代人总体坐标系的应力应变关系(15)式中得:1G=毒E一击E一亡E+E……J】"J^J6单晶材料弹性常数在单晶材料的三个材料主轴方向上.材料的弹性特性分别相等,令三个方向的弹性模量E=E=E.=E泊松比.===2=u==.剪切摸量,G=G=G=G,则在材料主轴坐标系中,单晶材料的应力应变关系矩阵(3)式变为:一穹耋堂爹晶材料的弹性系数与[Cl:工程常数之间的关系为: ..=:=ii:;;.(1一.)E.E,d'—(I-,u,~)E—,-2,un2E.锋(4a)一坐一一u000￡￡￡一兰一一u000￡￡￡一一一1000.EEE,1000_l_00l.....l.o.o.石1(3b)由(4)式可得单晶树科的弹性系数为^吼f,●ir●●l一.一E一'0o.一一上一一￡.....一一r●●●●●●●●Jr.●●●11997拒航空发动机第1期.==:1=:=G(45)在总体坐标系中,单晶材料的弹性常数是总体坐标系方向的函数,用表示坐标轴3与轴z的夹角;表示轴1与轴x,z平面的夹角.则坐标变换矩阵[]为:lCOStZCOcosasinfl—sinal【—s|nCO0f (I9)IsiNa~osinasinflc0I将(19)式代人总体坐标系下的应力应变关系矩阵(15)式可得到总体坐标系下的弹性系数:Ez,.G盯,Grz和Gzx.:一f三一(COS~a+SEE\EGJ. ……………………………….……………"(20)u一(2+2一￡G)sinco(1一sinos所i面…………………………………………………? (2I)u一(2+2一E/G)s~nasia肛os卢.一I-(2+2,u-E'G)sin=a(cos~a+sin=asin:flcos2f1) ….…………….-….…..….…一…………? (22,:¨l_+4f一n,pco~p…(23)GG.EG,一_L:+4f等一1sin2asc…(24)G,G￡G…+4f一1.n~acoc0).G—G\￡G,'单晶材料有三个独立的弹性常数.这三个常数可由材料主轴方向的弹性模量E.泊松比"和剪切模量G组成.对单品材料,通常给出在[100],[110]和[111]方向的弹性模量E, E.和E,而不直接测量剪切模量G.将=45.,=O代人(20)式得剪切模量与[110]方向的弹性模量之间的关系为:j42—2一GElj,,一—i (26)将=54.7356..F=45.代人(2O)式得剪切模量与[111]方向的弹性模量之闸妁关系为l31—2"一Gi一彳 (27)由(26)种(27)式可得单品材料[100].[110]和[111]方向的弹性模量之间的关系为:141.一3E一………'(.)用(28)式预测了俄罗斯某单晶材料和美国单晶材料PW A1480[110]方向的弹性模量.其结果见表1和表2由表1可见.俄罗斯的这种单晶材料对f28)式符合得很好,其最大误差只有一2.07%;而单晶材料PW A1480对(28)式符合得较差,当温度较低时.误差是负的.当温度较高时.误差是正的.其虽大误差达到19.6.袁1某单晶材料弹性横■E(GPa)温度I:℃)实测值硬测值误差()20226.2225.1—0.48800184.2182.7—086900174.5174.3—0.1210001653161.9—2.07图1表示单晶材料PW A1480在=90..54.7356.和45.时.弹性模量E随转角的变化规律当=45.时,E达到最大值.图2表示在=54.7356.时.弹性模量E.E和E随转角的变化规律.图3表示单品材料PW A1480在一90.,54.7356.和45.时,泊松比随转角的变化规律.当fl=45.时,达到最小值图4表示在一90.时,泊松比和随1997伍航空发动机第l期最2单晶材料PW A]480弹性模量(GPa) 温度(_f)宴制填预测值误差() 42722131876—1524760174.416O.9—77587l149615644.58 9821331147310701093917109.7l960-.ff一,～,卜』./I\L:}_015如456D75舶'^咄.fReqd~,c')图1弹性横量EJ--a=90'一口=54.7'\l—a=45.O如朽种7j^'kRoI-师')转角的变化规律.当:45.时,zx选到晶大值,达到最小值从罔4可以看出.泊松比柏最小值小于零.这表示在z方向单向拉伸时,在Y方向不是收缩,而是膨胀;此时zx达到最大值,值达到0.8左右.+表示横截面积的收缩情况.图5表示单品材料PW A1480在一90.,54.7356.和45.时,剪切模量G随转角口的变化规律当一45.时,G达到最小值网6表示在a=54.7356.时,剪切模量GG和G随转角的变化规律._I/\},,/i\—.,/,7.,r,}一/1]a=54l:备广O巧舯.j鲫^ⅡgkRotlfl~川'】图2弹性模量E,EriEz}}}一.._一Lvj,【lL———J0I530印75钟AagtcorR~Jiaa'I图3泊松=r?国4泊松比村和20}一言0^昌na鲁.,廿0_,∞;一暑u呈∞言t¨¨0o名2善吣¨00目H.q口01997拄航空发动机第1期小结号:宅=i三^ⅡeRJttati~.图5剪切模置G1)E,和G是单晶材料最基本的3个独立的弹性常数,如果用(26)式和(27)式决定G,可能得到不同的结果.2)单品材料只有两个方向的弹性模量是独立的,任何第三个方向的弹性模量都可由这两个方向的弹性模量表示.[100]方向的弹性模量和泊松比以及与这个轴不平行也不垂直方向的弹性模量构成单品材料三个独立的弹性常数.3)单品材料PwA148O对(28)式符合得较In7.1'j,.-l/～-i!--GxY/GI一0l5舯'5∞90^n山.fRoI-衄'J母6剪切模置GG和GⅡ差.最大误差达到19.6%.4)单品材料的剪切模量对方向很敏感如果方向偏差10.,剪切模量的偏差可达20%.参考文献1张允真一曹富新弹性力学及其有限元法中国铁道山版社,19832GA.Swanson.I.LiaskD.M.NissleyLife PredictionandConstitutiveModelsF0tEngine HotSectionAnisortoplcMaterialsPrpgram,NASA——CR——1749521{'.虏暑_。

三维地形均匀各向异性岩石点电源电场的边界
单元解法
三维地形均匀各向异性岩石点电源电场的边界单元解法是目前用于计算陆地物理学中的三维电源电场方法。

在地形边界上，由于介电性质差异，这种方法可以精确计算近场及远场间的电源分布和电场局势。

边界单元解法即对地形边界来从复杂的反正切数值场型中提取有效元素，然后按照大模块分割，来实现解方程求解。

首先，需要构建网格结构，以将地形分割成体素面单元和面积单元，并将电源点网格划分到每一个单元中。

然后，根据介质在每个单元的介电性质，将每个单元的介电常量设定好，计算出相应的解方程。

接下来，根据以往研究经验，使用境界元解法来解决这个解方程。

在使用此方法时，首先使用Hankel单弦功率进行初始计算，然后使用Monte Carlo方法进行后续计算，最终得出电场的边界条件。

最后，把地形的物理信息和电源点的计算结果结合起来，把计算结果在三维坐标中进行显示，这样便可以得出电源分布的分布情况和深层的构造局势。

由此可见，三维地形均匀各向异性岩石点电源电场的边界单元解法是一种可以精确计算近场及远场间电源分布和电场局势的有效方法。

通过对每个单元的介电性质进行设定，配合Hankel单弦功率和Monte Carlo方法的计算，能够准确地计算出电场的边界
条件和深层的构造局势，这样便可以更清晰地理解地形中电源分布和电场局势。

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岩石中激发极化的各向异性小于电阻率的各向异性。在片理状岩石中，平行于片理的真电阻率小于垂直于片 理的真电阻率。
利用
硅钢的 方向，磁感应强度 深冲压钢的（111）面，深冲压性能 超导镍带的（100）面，超导薄膜的外延生长 电容器铝箔的（100）面，比电容水平 铁电薄膜的（001）面，高自发极化和热释电系数 AIN压电效薄膜的方向，高超声波传播速度 InSb磁阻材料的（111）面，灵敏的物理磁阻效应
各向异性
物理学名词
01 特殊
03 导电胶 05 地球介质
目录
02 晶体 04 多晶陶瓷 06 利用
各向异性是指物质的全部或部分化学、物理等性质随着方向的改变而有所变化，在不同的方向上呈现出差异 的性质。各向异性是材料和介质中常见的性质，在尺度上有很大差异，从晶体到日常生活中各种材料，再到地球 介质，都具有各向异性。值得注意的是，各向异性与非均匀性是从两个不同的角度对物质进行的描述，不可等同。
晶体内部由原子组成的晶面是不能直接观测到的，因此需要借助于其他光学手段。检测晶体内部结构常用的 方法为衍射技术，分为X射线衍射技术和电子衍射技术，常用的仪器为扫描电镜。
导电胶
各向异性导电胶（ACA，Anisotropic Conductive Adhesive）是一种只在一个方向导电，而在其他方向电 阻很大或几乎不导电的特殊导电胶。主要用于电子零件制造和装配过程，已逐渐成为绿色环保电子封装材料的主 流。Leabharlann 地球介质弹性电
在地震学研究中，地震各向异性指的是在地震波场的尺度上任何包含内部结构（旋回性薄互层或定向排列的 裂隙）的均匀性材料，其弹性特征随方向发生变化。 通常是指平行于地层面的速度与垂直于地层面的速度之间 的差别。

正交各向异性板壳理论中的schrǒdinger方程
Schrödinger方程是物理学中解决量子力学问题的基本方法,它是一个描述微观物质的物理过程的微积分方程. 它的基本形式是：
-ħ²/2m ∂^2ψ/∂x^2 + V(x)ψ = Eψ
其中，ħ是普朗克常数,m是物质的质量,V(x)是作用力的位置依赖性,E是能量,ψ是粒子在空间中的波函数. 该方程可以用于描述正交各向异性板壳理论中的粒子系统.
正交各向异性板壳理论(ortho异性板壳theory)是用来解释室温下超导特性和磁性等有吸引力的物理学课题的理论. 在这个理论下，电子是固定在介质中隔层结构中的，这样的隔层是由于共价键和范德华力作用形成的. 例如，有一个电子围绕在核系统中，上面盖着一层结构体，结构体由非金属原子构成，电子在结构体中的移动被诸如金属原子的力的作用而限制.
根据Schrödinger方程，在正交各向异性板壳理论中，存在一种名为超导电子位能的波函数ψ(E)，它用于描述粒子在各种结构中运动的情况. 可以说，超导电子位能波函数是介质隔层结构电子运动的物理量度. 这个波函数是由Schrödinger方程解出来的：
其中，V(x,U)是关于x和U的位置可变势，其中U是固定的电子位能和核系统的作用而获得的.。

的法线方向 称为该材料的主方向。
四：横向各向同性材料的应力-应 变关系
三个相互垂直的弹性对称面中有一个是各向同 性的，如单向纤维增强复合材料。
其应力-应变关系为：
独立弹性常数只有５ 个
五：各向同性材料的应力-应变关 系
具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材 料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面 的弹性性能完全相同。刚度系数满足：
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复合材料力学与结构
第二章各向异性材料的应力应变关系
２.１三维各向异性材料的应力-应 变关系
一：广义胡克定律
在弹性变形范围内，应力与应变成正比例关系，
其比例系数称为弹性量。（拉压模量、剪切模
量等）
ij C ijkl kl
应力与应变的 关系
S ij
ijkl (ki.lj.k.l=1.2.3)
则柔度系数与工程弹性常数关系为：
同理，沿 ２ 轴向和 ３ 轴向的 单向拉伸，还可得：
对于102面、203面和103面的纯剪切，可得：
式中E1,E2,E3和G12,G23,G13分 别为正交各向异性材料的拉压弹 性模量和剪切弹性模量； V12,V23,V13以及V21,V32,V31分 别为主泊松比和副泊松比
单对称材料的应力
则单对称材料的应力应变关系就可以表示为：
则其应变-应力关系可以表示为：
三：正交各向异性材料的应力-应 变关系
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交 各向异性材料。按单对称材料分析方法可得：
则应力-应变关系为：
应变-应力关系为：
独立弹性常数只有９个， 正交各向异性材料三个 相互垂直的弹性对称面

在变程长的方向上，样品品位 的相关性比变程短的方向上强， 或者说变程长的方向上的品位 更为稳定（变化更小）。
与平面上矿体产状是什么对应关系？
各向异性椭圆的长轴方向与矿 体走向对应
F 2.2 地质统计学估值方法
在现实的3D空间，存在各向异性时，需要计算多少个方向的γ (h)呢？
各 向 异 性
一般地，只计算3个主方向上的γ (h)。
主方向2
z
y x
倾 主主方方向向1 向 走1
向
图 2.21倾向面上的各向异性椭圆
应用中，任意方向上的半变异函数的值用这3个主方向上的γ (h)进行插 值求得。
F
2.2.5 各向异性
2.2.5 各向异性
2.2 地质统计学估值方法
当区域化变量在不同方向呈现不同特征时，半变异函数
在不同方向也具有不同的特性。这种现象称为各向异性
各
(Anisotropy)。
向 异
q
(h) 2
a2
p
性
a1
p a1a2 q源自.2 地质统计学估值方法表明什么样的品位变化特征？
各 向 异 性
品位在矿床平面上的各向异性椭圆

解析几何中的各向异性和等值线几何学作为数学的一个分支，广泛运用于自然科学、工程技术和社会经济发展等领域。

其中，解析几何是几何学的一个重要分支，主要研究二维和三维空间中的图形和运动方程。

在解析几何中，有两个概念十分重要，那就是各向异性和等值线。

一、各向异性各向异性是指空间中某一物理量在不同方向有不同程度的变化。

比如，在地球上，重力加速度的大小不仅与距离地心的高度有关，还与纬度有关。

当我们处于赤道上时，重力加速度最大；而在南北极附近，重力加速度最小。

正是因为各向异性的存在，地球上才会出现地球形状、地球引力、洋流分布等的复杂形态。

在解析几何中，各向异性的概念也同样重要。

一个物理量若在不同方向上有不同的变化率，那么我们就可以称之为各向异性。

比如，二次方程的系数矩阵就具有各向异性的特性。

矩阵的特征值和特征向量能够非常有效地描述二次方程的解析形式、方程的几何变化等信息。

其中特征值衡量的就是二次方程在不同方向上的变化率。

而特征向量则指示了这个方向，也就是说，特征向量是这个方向上的解向量。

在常见的图形处理中，各向异性也扮演了重要的角色。

比如说，计算机中的图像在变换前后往往会出现旋转、拉伸等形变。

这些形变在像素点之间会造成各向异性的差异，从而影响最终的图像质量和视觉效果。

所以，在处理图像时，我们需要先确定图像的各向异性状况，然后采用相应的处理手段来缩小差异，使图像达到最佳的观感效果。

二、等值线等值线是指在平面或空间中，某一物理量取定值时，对应的曲线或曲面。

可以说，等值线是一种描述物理量空间分布的方式。

比如，我们经常看到的气压图就是由等值线来描述的。

在气压图中，地面上不同地区的气压可以用等压线来表示。

等压线就是指在某个固定的气压下，大气压强度相同的点所构成的线条。

等值线作为一种描述物理量的手段，具有很多优点。

首先，等值线相对于数字标量描述更为直观，很容易展示物理量在空间上的变化。

其次，等值线内部的物理量单位相等，所以在等值线上平移、旋转等不影响物理量的分布，能够反映出物理量的分布规律特征。

正交各向异性（Orthotropic）
正交各向异性（Orthotropic）
如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。

（弹性对称面是指弹性模量的对称面，比如各向同性，弹性模量在一点沿各个方向相等，横观各向同性，弹性模量在一点绕着轴旋转任意角度，保持不变。

既然各向同性和位置无关，那么对称也和位置无关）
垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。

若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。

正交各向异性材料是指通过这种材料的任意一点都存在三个相互垂直的对称面
Wood is an example of an orthotropic material. Material properties in three perpendicular directions (axial, radial, and circumferential) are different.
对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减少为13个。

对于具有二个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由13个将减少为9个。

假如弹性体有3个弹性对称面，本构方程不会出现有新的变化。

因此，如果相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，则第三个必为弹性对称面。

二个弹性对称面的弹性体本构方程表明：如果坐标轴与弹性主方向一致时，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。

这种弹性体称为正交各向异性弹性体，其独立的弹性常数为9个。

优化算法选择
选择适合解决多目标优化问题的算法，如遗传算法、 粒子群优化算法等。
优化结果评估
对优化结果进行评估，分析优化后的正交各向异性圆 柱壳的性能是否满足要求。
数值模拟及结果分析
数值模拟方法
采用适合分析正交各向异性圆柱壳静动态特 性的数值模拟方法，如有限元法、有限差分 法等。
模拟结果分析
对模拟结果进行分析，比较不同正交各向异 性圆柱壳的静动态特性，以及优化后的结构 性能是否满足要求。
06 结论与展望
主要研究结论和创新点
01
静动态特性分析
02
材料非线性
通过理论推导和数值模拟，研究了正 交各向异性圆柱壳在静动态载荷作用 下的响应特性，揭示了其复杂的力学 行为。
考虑了材料的非线性特性，包括应变 硬化和应变率效应，更准确地描述了 材料的真实行为。
03
创新点
首次提出了正交各向异性圆柱壳的概 念，并对其进行了系统的静动态特性 分析和比较，揭示了其独特的力学性 能和潜在应用价值。
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特殊边界条件下的解法
01
边界条件
针对不同的边界条件，如固定边 界、自由边界、弹性支撑等，采 用不同的方法进行求解。
特殊解法
02
03
解法的比较
采用特殊解法，如振型叠加法、 传递矩阵法等，对正交各向异性 圆柱壳进行求解。
比较不同边界条件下的解法，分 析其对正交各向异性圆柱壳动态 特性的影响。
数值模拟及结果分析
03
列出正交各向异性材料的弹性常数，并解释其物理意义。
正交各向异性圆柱壳的构造及力学特性
正交各向异性圆柱壳的结构
描述正交各向异性圆柱壳的结构和构造方法。
静力特性

正交各向异性材料
正交各向异性材料是一种具有特殊物理性质的材料，它在不同方向上具有不同的物理特性。

这种材料在工程领域中具有广泛的应用，能够满足一些特殊需求，比如在光学、声学、电磁学和力学等领域中都有重要的应用价值。

首先，正交各向异性材料在光学领域中有着重要的应用。

由于其在不同方向上具有不同的折射率和透射率，因此可以用来制造偏振镜、光栅、光纤等光学元件。

这些元件在激光技术、光通信、光学仪器等领域中有着重要的作用，正交各向异性材料的应用为光学技术的发展提供了重要的支持。

其次，正交各向异性材料在声学领域中也有着重要的应用。

由于其在不同方向上具有不同的声速和声衰减系数，因此可以用来制造声学滤波器、声波隔离材料等声学元件。

这些元件在无损检测、声学信号处理、声学隔音等领域中有着重要的作用，正交各向异性材料的应用为声学技术的发展提供了重要的支持。

正交各向异性材料在电磁学和力学领域中同样有着重要的应用。

在电磁学领域中，正交各向异性材料可以用来制造天线、电磁波隔离材料等电磁元件；在力学领域中，正交各向异性材料可以用来制造复合材料、增强材料等结构材料。

这些应用为电磁学和力学技术的发展提供了重要的支持。

总的来说，正交各向异性材料在工程领域中具有广泛的应用前景，其特殊的物理性质为光学、声学、电磁学和力学等领域的发展提供了重要的支持。

随着科学技术的不断进步，正交各向异性材料的研究和应用将会得到进一步的拓展，为人类社会的发展和进步做出更大的贡献。

一种三维正交方位各向异性介质岩石物理建模及弹性波正演模拟方法李雨生;吴国忱【摘要】In this paper,by rock physical equivalent theory and linear slip theo-ry,two sets of orthorhombic fractures are equivalent to a new three-dimensional azimuthally anisotropic medium of orthorhombic symmetry for rock physical modeling.And then elastic wave equations are solved to simulate the propaga-tion process in this medium by high-order staggered-grid finite-difference method.During the process of modeling,with the variation of physical parame-ters,we analyze CSP (common shot points)sets and the wave field characteris-tics on the conditions of different fracture densities,as well as azimuthal charac-teristics of orthorhombic anisotropy.The research results show that the aniso-tropic strengths enhance with fracture density increasing,which is reflected in the CSP sets and forwarding wavefield.%通过线性滑动理论和岩石物理等效理论，将两组正交直立裂隙介质等效为一种正交方位各向异性介质进行三维岩石物理建模，通过高阶交错网格有限差分求解弹性波动方程模拟地震波在该种介质中的传播过程。