章末复习学习目标 1.梳理本章知识,构建知识网络.2.掌握命题的等价性与充要条件的判定及其有关的应用.3.会解决有一些逻辑联结词与量词的简单的综合性问题．1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p,则q逆命题若q,则p否命题若綈p,则綈q逆否命题若綈q,则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件．(2)分类：①充要条件：p⇒q且q⇒p,记作p⇔q;②充分不必要条件：p⇒q且q⇏p.③必要不充分条件：p⇏q且q⇒p.④既不充分又不必要条件：p⇏q且q⇏p.3．全称命题与特称命题(1)全称命题与特称命题真假的判断方法①判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出一个反例．②判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题时,要有严格的逻辑证明．(2)含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词,又要否定结论．4．简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假,“p或q”一真即真,“p且q”一假就假.p q 綈p p或q p且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假1．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．( √)2．命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致．( ×)3．已知命题p：存在x∈R,x－2＞0,命题q：对于任意x∈R,x2＞x,则命题p或(綈q)是假命题．( ×)题型一命题及其关系例1 (1)有下列命题：①“若x＋y>0,则x>0且y>0”的否命题;②“矩形的对角线相等”的否命题;③“若q≤1,则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题;④不等边三角形的三个内角相等．其中是真命题的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①③考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 D(2)设a,b,c是非零向量,已知命题p：若a·b＝0,b·c＝0,则a·c＝0;命题q：若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p或q B．p且qC．(綈p)且(綈q) D．p或(綈q)考点“p或q”形式的命题题点判断“p或q”形式命题的真假答案 A解析由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题．故p或q为真命题．反思感悟 1.互为逆否命题的两命题真假性相同．2．“p与綈p”一真一假,“p或q”一真即真,“p且q”一假就假．跟踪训练1 命题“若x2>1,则x<－1或x>1”的逆否命题是( )A．若x2>1,则－1≤x≤1B．若－1≤x≤1,则x2≤1C．若－1<x<1,则x2>1D．若x<－1或x>1,则x2>1考点四种命题题点四种命题概念的理解答案 B解析条件与结论交换位置,并且分别否定．题型二充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例2 (1)设x∈R,则“x2－3x>0”是“x>4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点四种条件题点识别四种条件答案(1)B (2)C解析(1)∵x2－3x>0⇏x>4,x>4⇒x2－3x>0,故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．(2)∵a>0且b>0⇔a＋b>0且ab>0,∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．反思感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q,若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A,B ⇒A 与綈A ⇒綈B,A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A ＝B,则A 是B 的充要条件．跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a>ln b>0D ．x a>x b且x>0.5考点 四种条件 题点 识别四种条件 答案 C解析 设条件p 符合条件,则p 是a>b>0的充分条件,但不是a>b>0的必然结果,即有“p ⇒a>b>0,a>b>0⇏p ”． A 选项中,a 2>b 2>0⇏a>b>0,有可能是a<b<0,故A 不符合条件; B 选项中,12log a >12log b >0⇔0<a<b<1⇏a>b>0,故B 不符合条件;C 选项中,ln a>ln b>0⇔a>b>1⇒a>b>0,而a>b>0⇏a>b>1,符合条件;D 选项中,x a>x b且0<x<1时a<b;x>1时a>b,无法得到a,b 与0的大小关系,故D 不符合条件． 命题角度2 充分条件与必要条件的应用例3 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0,其中a>0,命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1,且p 且q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围． 考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 由四种条件求参数的范围解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a)(x －a)<0. 又a>0,所以a<x<3a,当a ＝1时,1<x<3, 即p 为真命题时,实数x 的取值范围是1<x<3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x<－4或x>2.即2<x ≤3.所以q 为真时,实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p 且q 为真,则⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，2<x ≤3⇔2<x<3,所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)方法一 綈p 是綈q 的充分不必要条件, 即綈p ⇒綈q 且綈q ⇏綈p.设綈p ：A ＝{x|x ≤a 或x ≥3a},綈q ：B ＝{x|x ≤2或x>3}, 则A ?B.所以0<a ≤2且3a>3,即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．方法二 因为綈p 是綈q 的充分不必要条件, 所以q 是p 的充分不必要条件, 则{x|2<x ≤3}?{x|a<x<3a},所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a>3，解得1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．反思感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练3 已知命题：p ：2x 2－9x ＋a<0,q ：2<x<3且綈q 是綈p 的必要条件,求实数a 的取值范围． 考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 由四种条件求参数的范围 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件, ∴q 是p 的充分条件, 令f(x)＝2x 2－9x ＋a,则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9,∴实数a 的取值范围是(－∞,9]． 题型三 逻辑联结词与量词的综合应用例4 已知p ：任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12,2x<m(x 2＋1),q ：函数f(x)＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点,若“p 且q ”为真命题,则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1 解析 由2x<m(x 2＋1),可得m>2x x 2＋1,又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时,⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45, 故当p 为真时,m>45;函数f(x)＝4x＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2,令f(x)＝0,得2x ＝2－m －1, 若f(x)存在零点, 则2－m －1>0,解得m<1, 故当q 为真时,m<1.若“p 且q ”为真命题,则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1. 反思感悟 解决逻辑联结词与量词的综合应用问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系,如：p 真与綈p 假等价,p 假与綈p 真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径．跟踪训练4 已知命题p ：“任意x ∈[0,1],a ≥e x”,命题q ：“存在x ∈R,x 2＋4x ＋a ＝0”,若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围是________． 考点 逻辑联结词与量词的综合应用 题点 由复合命题的真假求参数范围 答案 [e,4]解析 p ：a ≥e,q ：a ≤4,∵p 且q 为真命题,∴p 与q 均为真, 则e ≤a ≤4.转化与化归思想的应用典例 已知函数f(x)＝x 2,g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m.(1)若对任意x 1∈[－1,3],x 2∈[0,2],使得f(x 1)≥g(x 2)成立,求实数m 的取值范围; (2)若对任意x 2∈[0,2],存在x 1∈[－1,3],使得f(x 1)≥g(x 2)成立,求实数m 的取值范围． 解 (1)由题设知,f(x 1)min ≥g(x 2)max ,∵f(x)在[－1,0]上是减少的,在(0,3]上是增加的, ∴f(x 1)min ＝f(0)＝0, 又∵g(x)在[0,2]上是减少的, ∴g(x 2)max ＝g(0)＝1－m, ∴有0≥1－m,得m ≥1, ∴m 的取值范围为[1,＋∞)．(2)由题设知,f(x 1)max ≥g(x 2)max , ∴有f(3)≥g(0),即9≥1－m, ∴m 的取值范围是[－8,＋∞)．[素养评析] 从中我们可以看到面对形同质不同的问题,要善于从已有的问题或概念本身出发去加以辨析和研究,将抽象的问题具体化,如此才能更为准确地把握问题的内涵.1．若p 是真命题,q 是假命题,则( ) A ．p 且q 是真命题 B ．p 或q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题答案 D解析 根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D 正确．2．已知命题p ：0<a<4,q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正,则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 识别四种条件 答案 A解析 ∵函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正, ∴①当a ＝0时y ＝1恒成立,②⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a 2－4a<0，∴0<a<4,综上可得q ：0≤a<4, 故{a|0<a<4}?{a|0≤a<4}．3．已知命题p ：对任意x ∈R,总有2x＞0;q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p)且(綈q) C ．(綈p)且q D ．p 且(綈q)考点 “p 且q ”形式的命题 题点 判断“p 且q ”形式命题的真假答案 D解析 根据指数函数的性质可知,对任意x ∈R,总有2x＞0成立,即p 为真命题,“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件,即q 为假命题,则p 且(綈q)为真命题．4．对任意x ∈[－1,2],x 2－a ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________． 考点 全称命题题点 由全称命题的真假求参数的范围 答案 (－∞,0]解析 由x 2－a ≥0,得a ≤x 2,故a ≤(x 2)min ,得a ≤0. 5．已知p ：x 2＋2x －3>0;q ：13－x>1.若“(綈q)且p ”为真命题,求x 的取值范围． 考点 “p 且q ”形式的命题题点 已知p 且q 命题的真假求参数范围 解 因为“(綈q)且p ”为真,所以q 假p 真． 而当q 为真命题时,有x －2x －3<0,即2<x<3,所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2; 当p 为真命题时,由x 2＋2x －3>0, 解得x>1或x<－3,由⎩⎪⎨⎪⎧x>1或x<－3，x ≥3或x ≤2，解得x<－3或1<x ≤2或x ≥3.所以x 的取值范围为(－∞,－3)∪(1,2]∪[3,＋∞)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法．若命题为“若p,则q ”,则该命题的否命题是“若綈p,则綈q ”;命题的否定为“若p,则綈q ”．2．四种命题的三种关系,互否关系,互逆关系,互为逆否关系,只有互为逆否关系的命题是等价命题． 3．判断p 与q 之间的关系时,要注意p 与q 之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住,如：“都是”的否定“不都是”,“全是”的否定“不全是”,“至少有一个”的否定“一个也没有”,“至多有一个”的否定“至少有两个”．。
