2013,11海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科)

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理） 参考答案及评分标准2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin )x x =-+………………2分 2= 12sin x x -+cos2x x =………………4分 π= 2sin(2)6x +………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==7分 9．0 10．14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14．2,(21,2), Z k k k -∈所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω==………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=-………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f =………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分 17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM =5分在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=，所以DM =，所以:3:1BM MD =………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，(4,DB =为平面PAC 的法向量………………10分4)PC =-，(4,0,4)PB =-设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =,yx则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z =则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n =………………12分 设二面角A PC B --的大小为θ， 则7cos 7n DB n DBθ⋅==⋅ 所以二面角A PC B --余弦值为7………………14分 18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x'=++………………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值(1)120f a b '=++=………………3分 当1a =时，3b =-，2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =-………………11分 当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或2a =-. ………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，ABG H因为a =，c a =1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y +=………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+………………6分所以AB ==7分 点M0）到直线l的距离d =则GH =9分显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，所以要使AG BH =，只要AB GH =所以222228(1)24()121k k r k k +=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++………………11分 当0k =时，r =12分当0k ≠时，242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++ 又显然24212(1)2132r k k =+>++,<r ≤<14分20.解：（Ⅰ）因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点0P 的相关点有8个………………2分 又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-=所以这些可能值对应的点在以0P4分 （Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+=即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------两式相加得1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*）因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==， 故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以n 一定为偶数………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =， 依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=， 因为0nii T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且i i x y ∆∆，为非零整数， 所以当2i x ∆=的个数越多，则T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2， 则1012(12100)10201T =++++=.当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++.若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1. 相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2， 则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-=综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.………………13分。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 (理科) 2010.11一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,3,5,7A =，{}1,3,5,6,7B =，则集合()U A B ⋂ð是（ ）A ． {2,4,6}B ． {1,3,5,7}C ． {2,4}D ．{2,5,6} 2. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是A ．12log y x = B ．1y x=C ．3y x =D ．x y tan =3．已知命题:0p x ∃≥，23x =，则A ．:0p x ⌝∀<，23x ≠B ．:0p x ⌝∀≥，23x ≠C ．:0p x ⌝∃≥，23x ≠D ．:0p x ⌝∃<，23x ≠4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为A ．6B ．7C ．8D ． 95. 把函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象1C 向左平移一个单位，再把所得图象上每一个点的纵坐标扩大为原来的2倍，而横坐标不变，得到图象2C ，此时图象1C 恰与2C 重合，则a 为 A ． 4 B ． 2 C ．12D ．146．已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则（ ）A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线7．已知函数1)()14sin() (1)32x f x x x ππ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩，则()f x 的最小值为 A ． -4 B ． 2 C ．D ．48．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题： ① 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有一条；② 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有两条； ③ 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有三条； ④ 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有四条. 其中所有真命题．．．的序号是 A ．①②③ B ．③④ C ．②④ D ．②③④二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．30cos x dx π=⎰_________ ．10．函数()ln 2f x x x =-的极值点为_________． 11．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________ ． 12．在A B C ∆中，90A ∠=，且1AB BC ⋅=-,则边AB 的长为 ．13．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．(1)(2)(3)其中所有说法正确的序号是 ．14．对于数列{}n a ,定义数列}{m b 如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值．（Ⅰ）设{}n a 是单调递增数列,若34a =，则4b =____________ ；（Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为*21,n a n n N =-∈，则数列{}m b 的通项是________． 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共12分）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边的长分别为,,,a b c 已知5b =，sin 4A =，4ABC S ∆=.（I ）求c 的值； （II ）求sin C 的值.16. （本小题共13分）在等比数列}{n a 中，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 满足12log n n n b a a +=+（1,2,3...n =），求数列}{n b 的前n 项和n S .已知函数2()f x ax bx c =++，[0,6]x ∈的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数()f x 的值域为[0,9].过动点(,())P t f t 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接O P . （I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）记OAP ∆的面积为S ，求S 的最大值.18. （本小题共14分）已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=（I ）求123,,a a a 的值；（Ⅱ）求证：数列{1}n a -是等比数列；（Ⅲ）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围.19. （本小题共14分）已知函数2(2)()1x a a xf x x -+=+（0a ≥）.（I ）当1a =时，求()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]上的最小值.已知有穷数列A ：12,,,n a a a ，(2n ≥).若数列A 中各项都是集合{|11}x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列.对于Γ数列A ，定义如下操作过程T ：从A 中任取两项,i j a a ，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除,i j a a ,这样得到一个1n -项的新数列1A (约定:一个数也视作数列). 若1A 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2A ， ,如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A . （Ⅰ）设11:0,,.23A 请写出1A 的所有可能的结果； （Ⅱ）求证：对于一个n 项的Γ数列A 操作T 总可以进行1n -次； （Ⅲ）设5111511111:,.7654623456A ----，，，，，，，，求9A 的可能结果，并说明理由.海淀区高三第一学期期中练习数 学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） (9)2(10)12(答案写成坐标形式,扣3分) (11)4950(12) 1 (13) ② ③(14) 43b =， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=是偶数是奇数m m m m b m,22,21（也可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-==)(2,1)(12,**N k k m k N k k m k b m 或(1)3()24mm m b n Z -+=+∈ ）.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （本小题共12分） 解：（I ）由1sin 24ABC S bc A ∆==…………....……..….…2分可得，6c = ……………....……..….….4分（II ）由锐角△ABC 中sin 4A =3cos 4A =…………………...…….....6分由余弦定理可得：22232cos 253660164a b c bc A =+-⨯=+-⨯=， ……..….….8分有：4a =…….. …………....…….9分由正弦定理：sin sin c a CA=， …….. …………....…….10分即6sin 4sin 48c A C a⨯=== ................................12分16. （本小题共13分）解：（I ）设等比数列}{n a 的公比为q .由134a a =可得224a =， ……………………………………1分因为0n a >，所以22a = ……………………………………2分 依题意有)1(2342+=+a a a ，得3432a a a q == ……………………………………3分 因为30a >，所以，2=q …………………………………………..4分 所以数列}{n a 通项为12-=n n a ………………………………………...6分 （II ）12log 21n n n n b a a n +=+=+- ………………………………………....8分 可得232(12)(1)(222...2)[123...(1)]122nnn n nS n --=+++++++++-=+- ….......12分1(1)222n n n +-=-+…………………………………....13分17. （本小题共13分）解：（I ）由已知可得函数()f x 的对称轴为3=x ，顶点为)9,3(. . ..........2分 方法一：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=944320)0(2a b ac a bf 得0,6,1==-=c b a ...........5分 得2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分方法二：设9)3()(2+-=x a x f ...........4分由0)0(=f ，得1-=a ...........5分2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分（II ）)6,0(),6(2121)(2∈-=⋅=t t t t AP OA t S ...........8分)4(23236)('2t t tt t S -=-= ...........9分列表 ...........11分由上表可得4t =时，三角形面积取得最大值. 即2m ax 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-=. ...........13分18. （本小题共14分） 解：（I ）123137,,248a a a ===…………………………………..3分（II ）由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=- ①123111n n n a a a a a n a +++++++=+- ② ②-①可得121n n a a +-= …………………………..5分 即：111(1)2n n a a +-=-，又1112a -=-…………………………………..7分所以数列{1}n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列…………………..…..8分（Ⅲ）由(2)可得11()2n n a =-， ………………………………………...9分22n nn b -=………………………………………...10分由111112212(2)302222n n n nn n n n n n n b b +++++-------=-==>可得3n <由10n n b b +-<可得3n > ………………………………………....11分 所以 12345n b b b b b b <<=>>>> 故n b 有最大值3418b b ==所以，对任意*n N ∈，有18n b ≤ ………………………………………....12分如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，即214n b t t ≤-成立，则2m ax 1()4n b t t ≤-，故有：21184t t ≤-， ………………………………………....13分解得12t ≥或14t ≤-所以，实数t 的取值范围是11(,][42-∞-+∞ ，）………………………………14分 19. （本小题共14分） 解：（I ） 当1a =时，23()1x x f x x -=+， ………………1分2223()(1)x x f x x +-'=+， 1x ≠- ………………3分所以()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程为3(3)4y x =-，即3490x y --=………………5分（II ） 1x ≠- ………..…………6分2222(2)[(2)]()()(1)(1)x x a a x a x a f x x x +-+++-'==++， ………..…………8分①当0a =时，在(0,2]上导函数222()0(1)x x f x x +'=>+，所以()f x 在[0,2]上递增，可得()f x 的最小值为(0)0f =；………………………………………………………………..…………10分 ②当02a <<时，导函数()f x '的符号如下表所示所以()f x 的最小值为222(2)()1a a a f a a a -+==-+； ………………..………12分③当2a ≥时，在[0,2)上导函数()0f x '<，所以()f x 在[0,2]上递减，所以()f x 的最小值为242(2)244(2)3333a a f a a -+==--+…………………..………14分20. （本小题共14分）解：（Ⅰ）1A 有如下的三种可能结果：11111115:,;:,;:0,32237A A A …………………………3分（Ⅱ）∀,{|11}a b x x ∈-<<，有(1)(1)1011a ba b abab+----=<++且(1)(1)(1)0.11a b a b abab+++--=>++所以1a bab++{|11}x x ∈-<<，即每次操作后新数列仍是Γ数列.又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的Γ数列A 可进行1n -次操作（最后只剩下一项）……………………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知9A 中仅有一项.对于满足,{|11)a b x x ∈-<<的实数,a b 定义运算：1a b a b ab+=+ ，下面证明这种运算满足交换律和结合律。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2012. 11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合2{|1}A x x =≥，则U A =ð A ．(,1)-∞B ．(1,1)C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U2．下列函数中，在定义域内是减函数的是A ．1()f x x=-B ．()f x =C ．1()2x f x =D ．()tan f x x =3．在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，(1B ，则OA AB ⋅uu r uu u r的值为A ．1B 1C D 14．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则3a = A ．1-B ．2-C ．4-D ．8-5．sin15cos15︒+︒的值为A ．12B C D 6．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知函数1,0,()1,0,x f x x -<⎧=⎨≥⎩则不等式(1)1xf x -≤的解集为A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,1]-8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|e 2}xM x y y ==-③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==其中所有“好集合”的序号是 A ．①②④ B ．②③C ．③④D ．①③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．1e d xx =⎰ ．10．设0.5a =π，3log 2b =，cos 2c =，则,,a b c 从大到小．．．．的顺序为 ． 11．函数211()(2)2x f x x x +=≤≤的值域为 ． 12．在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若OP uu u r ∥OM uuu r ，且(0)OP xOA yOB x =+≠u u u r u u r u u u r，则yx= ． 13．已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象 如图所示，则ϕ= ．14．数列{}n a 中，如果存在k a ，使得“1k k a a ->且1k k a a +>”成立（其中2k ≥，k *∈N ），则称ka 为{}n a 的一个峰值．（Ⅰ）若2311n a n n =-+，则{}n a 的峰值为 ；（Ⅱ）若ln n a t n n =-，且{}n a 不存在峰值，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =-，520S =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．16．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos(2)2f x x x π=-+． （Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间．17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，4A π∠=，tan()7A B +=，AC = （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．18．（本小题满分13分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中4AE =米，6CD =米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．（Ⅰ）设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； （Ⅱ）求矩形BNPM 面积的最大值．BMDF CA19．（本小题满分14分）已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值；（Ⅱ）若m ∀∈R ，直线y kx m =+都不是曲线()y f x =的切线，求k 的取值范围； （Ⅲ）若1a >-，求()f x 在区间[0,1]上的最大值．20．（本小题满分14分）已知数集12{,,A a a =…,}n a 12(1a a =<<…,2)n a n <≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，,(1)i j i j n ∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）求证：122n a a a ≤++…1(2)n a n -+≥；（Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2012．11说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．e 1-10．a b c >>11．5[2,]212．113．π314．10；*11{|,2}1ln 2ln()N t t t n n n n≤=∈≥+或且 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 21515,51020a a d S a d =+=-=+=- ………………2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩………………5分所以6(1)17n a n n =-+-⋅=- ………………7分 （II ）因为7n a n =-，所以1(13)22n n a a n n S n +-== ………………9分令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ………………11分 解得1n <或14n > 又*N n ∈，所以14n >所以n 的最小值为15 ………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2cos cos(2)2f x x x =-+22cos sin 2x x =+ ………………2分1cos2sin 2x x =++………………4分π)14x =++ ………………6分所以πππ()sin()11844f =++=+ ………………7分（Ⅱ）因为π())14f x x =++所以2ππ2T == ………………9分 又sin y x =的单调递减区间为π3π2π,2π 22k k ++（），()Z k ∈ ………………10分 所以令ππ3π2π22π242k x k +<+<+ ………………11分解得π5πππ 88k x k +<<+………………12分 所以函数()f x 的单调减区间为π5π(π+,π) 88k k +，()Z k ∈ ………………13分17．（本小题满分13分）解：（I ）在ABC ∆中，因为πA B C ++= ………………1分所以tan tan[π()]tan()C A B A B =-+=-+ ………………3分 因为tan()7A B +=，所以tan 7C =- ………………4分又22sin tan 7cos sin cos 1C C C C C ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩解得|sin |C =………………5分 因为(0,π),C ∈所以sin C =………………6分 （II ）因为π4A =，所以1tan tan()71tan B A B B ++==- 解得3tan 4B =………………8分 因为(0,π),C ∈ 所以3sin 5B =………………9分 由正弦定理sin sin b cB C=，代入得到7c = ………………11分 所以1sin 2ABC S bc A ∆=1π217sin 242=⨯⨯= ………………13分18.（本小题满分13分）解：（I ）作PQ AF ⊥于Q ，所以8,4PQ y EQ x =-=- ………………2分在EDF ∆中，EQ EFPQ FD= 所以4482x y -=- ………………4分 所以1102y x =-+，定义域为|48}{x x ≤≤ ………………6分 (II) 设矩形BNPM 的面积为S ，则21()(10)(10)5022x S x xy x x ==-=--+ ………………9分所以()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =所以当(4,8)x ∈，()S x 单调递增 ………………11分 所以当8x =米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米 ………………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 22()(21)()f x x a x a a '=-+++()[(1)]x a x a =--+………………2分令()0f x '=，得1(1)x a =+，2x a = 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：………………4分 所以1a = ………………5分（II ）因为2211()()24a f x x +'=-- ………………6分因为m ∀∈R ，直线y kx m =+都不是曲线)(x f y =的切线所以2211()()24a f x x k +'=--≠对R x ∈成立 ………………7分 只要()f x '的最小值大于k 所以 14k <- ………………8分(III) 因为1,a >-所以10,a +>当1a ≥时，()0f x '≥对[0,1]x ∈成立所以当1x =时，()f x 取得最大值21(1)6f a =- ………………9分当01a <<时， 在(0,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增在(,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以当x a =时，()f x 取得最大值3211()32f a a a =+ ………………10分当0a =时， 在(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以当0x =时，()f x 取得最大值(0)0f = ………………11分 当10a -<<时，在(0,1)x a ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减 在(1,1)x a ∈+时，()0f x '>，()f x 单调递增又21(0)0,(1)6f f a ==-，当1a -<<()f x 在1x =取得最大值21(1)6f a =-当0a <<时，()f x 在0x =取得最大值(0)0f =当a =时，()f x 在0x =，1x =处都取得最大值0. ………………14分 综上所述，当1a ≥或1a -<<()f x 取得最大值21(1)6f a =-当01a <<时，()f x 取得最大值3211()32f a a a =+当a =时，()f x 在0x =，1x =处都取得最大值0当0a <≤时，()f x 在0x =取得最大值(0)0f =. 20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为 311≠+， 所以{1,3,4} 不具有性质P .因为 2=12, 3=1+2, 6=33⨯+，所以{1,2,3,6}具有性质P ………………4分 (Ⅱ)因为12={,,,}n A a a a ⋅⋅⋅具有性质P ：即对任意的(2),k k n ≤≤ , (1)i j i j n ∃≤≤≤，使得=+k i j a a a 成立， 又因为121<<<, 2n a a a n =⋅⋅⋅≥，所以,i k j k a a a a << 所以11,i k j k a a a a --≤≤，所以1=+2k i j k a a a a -≤即12n n a a -≤，122332212, 2,..., 2, 2n n n n a a a a a a a a ----≤≤≤≤ ………………6分 将上述不等式相加得21121+++2(+++)n n n a a a a a a --⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅所以1212+++n n a a a a -≤⋅⋅⋅………………9分(Ⅲ)最小值为147.首先注意到1=1a ，根据性质P ,得到21=2=2a a 所以易知数集A 的元素都是整数.构造={1,2,3,6,9,18,36,72}A 或者={1,2,4,5,9,18,36,72}A ，这两个集合具有性质P , 此时元素和为147.下面，我们证明147是最小的和假设数集1212={,,,}(<<<,2)n n A a a a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥，满足=1147nii S a=≤∑最小（存在性显然，因为满足=1147nii a≤∑的数集A 只有有限个）.第一步：首先说明集合1212={,,,}(<<<,2)n n A a a a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥中至少有８个元素: 由(Ⅱ)可知21322, 2.......a a a a ≤≤又1=1a ，所以2345672, 4, 8, 16, 32, 6472a a a a a a ≤≤≤≤≤≤<， 所以8n ≥第二步：证明12336,18,9n n n a a a ---===：若36A ∈，设=36t a ，因为723636n a ==+，为了使得=1nii S a=∑最小，在集合A中一定不含有元素k a ，使得36<72k a <，从而136n a -= ；假设36A ∉，根据性质P ，对72n a =，有,i j a a ，使得72n i j a a a ==+ 显然i j a a ≠, 所以144n i j a a a ++=而此时集合A 中至少还有5个不同于,,n i j a a a 的元素， 从而1()5149n i j S a a a a >+++=，矛盾， 所以36A ∈，进而=36t a ，且136n a -=；11同理可证：2318,9n n a a --== （同理可以证明：若18A ∈，则218n a -= 假设18A ∉.因为136,n a -=根据性质P ，有,i j a a ，使得136n i j a a a -==+ 显然i j a a ≠, 所以1144n n i j a a a a -+++=， 而此时集合A 中至少还有４个不同于1,,,n n i j a a a a -的元素 从而114148n n i j S a a a a a ->++++=，矛盾， 所以18A ∈，且218n a -= 同理可以证明：若9A ∈，则39n a -= 假设9A ∉因为218,n a -=根据性质P ，有,i j a a ，使得218n i j a a a -==+ 显然i j a a ≠, 所以12144n n n i j a a a a a --++++= 而此时集合A 中至少还有３个不同于12,,,,n n n i j a a a a a --的元素 从而1213147n n n i j S a a a a a a -->+++++=，矛盾， 所以9A ∈，且39n a -= ） 至此，我们得到了12336,18,9n n n a a a ---===. 根据性质P ，有,i j a a ，使得9i j a a =+ 我们需要考虑如下几种情形：①8,1i j a a ==, 此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到元素8，则148S >；②7,2i j a a ==，此时集合中至少还需要一个大于4的元素k a ，才能得到元素7， 则148S >；③6,3i j a a ==，此时集合={1,2,3,6,9,18,36,72}A 的和最小，为147； ④5,4i j a a ==，此时集合={1,2,4,5,9,18,36,72}A 的和最小，为147. ………14分。

北京市海淀去高三上学期期中数学理科试卷及答案Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数 学理科2011.11选择题共4O 分一、选择题：本大题共8小题;每小题5分;共40分.在每小题列出的四个选项中;选出符合题目要求的一项.1. 设集合{}|(21)(3)0A x x x =--<;{}|14B x x =≤≤;则A B =A. 1; +∞B.0;1(1,)+∞C. (,1)(1,0)-∞-- D. (,0)(0,1)-∞3. 已知等差数列{}n a 中;11a =;33a =-;则12345a a a a a ----= A. 15B. 17C. -15D. 164. 已知非零向量，a b ;那么“⋅>0a b ”是“向量，a b 方向相同”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 函数||()1x f x e =-的图象大致是7. 要得到函数sin cos y x x =-的图象;只需将函数cos sin y x x =-的图象A.3B. 2C.1D. O非选择题共110分二、填空题：本大题共6小题;每小题5分;共30分. 9. 曲线1y x=在x =2处的切线的斜率为__________. 10. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中;若22a =;则132a a +的最小值是_________11.点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点如图所示.若图中阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积;那么边AB 的长等于_________.12. 已知点A1;1;B5;3;向量AB 绕点A 逆时针 旋转32π到AC 的位置;那么点C 的坐标是________ 13. 在△ABC 中;角A;B;C 的对边分别是,,a b c ;a =8; b = 10;ΔABC 的面积为203;则△ABC 中最大角的正切值是_________. 14. 已知数列123:,,,,(3)n A a a a a n ≥;令{|,1}A i j T x x a a i j n ==+≤<≤ ; ()A card T 表示集合AT 中元素的个数.①若A:2;4;8;16;则()A card T =_________；②若1i i a a c +-=c 为常数. 11i n ≤≤-;则()A card T =_________.三、解答题：本大题共6小题;共80分.解答应写出文字说明;演算步骤或证明过程. 15. 本小题共13分已知函数2()sin 2cos 23sin 2f x x x x =-.I 求()f x 的最小正周期； I I 求()f x 在区间[0,]4π上的取值范围.16. 本小题共13分已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列; 23a =;且5a 是4a ; 8a 的等比中项. I 求数列{}n a 的通项公式；I I 设n S 为数列{}n a 的前n 项和;求使n n a S =成立的所有n 的值. 17. 本小题共13分某工厂生产某种产品;每日的成本C 单位：元与日产量x 单位:吨满足函数关系式C=10000+20x ;每日的销售额R 单位:元与日产量x 满足函数关系式 已知每日的利润y = R - C;且当x =30时y =-100. I 求a 的值；II 当日产量为多少吨时;毎日的利润可以达到最大;并求出最大值 18. 本小题共13分已知函数22()ln ()f x x ax a x a R =+-∈. I 若x =1是函数()y f x =的极值点;求a 的值； II 求函数()f x 的单调区间. 19. 本小题共14分设n S 为数列{}n a 的前n 项和;1n n S a λ=-λ为常数;1,2,3,n =.I 若232a a =;求λ的值；I I 是否存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列 若存在;求出λ的值；若不存在.请说明理由 1,2,3,;且1b =前n 项和n T20. 本小题共14分 已知函数2||,()2,x x Pf x x x x M∈⎧=⎨-+∈⎩其中P;M 是非空数集;且P M =∅;设(){|(),}f P y y f x x P ==∈. I 若(,0)P =-∞;[0,4]M =;求 ()()f P f M ；I I 是否存在实数3a >-;使得[3,]PM a =-;且()()[3,23]f P f M a =-- 若存在;请求出满足条件的实数a ;若不存在;请说明理由； I I I 若PM R =;且0M ∈;1P ∈;()f x 是单调递增函数;求集合P;M北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数 学理科2011.11参考答案 一、选择题1、A ；2、D ；3B 、；4、B ；5、D ；6、A ；7、C ；8、B ； 二、填空题9、14-；10、11、2π；12、(3,3)-；13、3或14、106,23,0c n c =⎧⎨-≠⎩，； 三、解答题15、解：1∵2()sin 2cos 22f x x x x =-=11cos 4sin 422xx -……4分=1sin 4cos 4222x x +-=sin(4)32x π+-……6分∴函数()f x 的最小正周期为π……7分2由1知：()f x=1sin(2)232x π+-;因为04x π≤≤;所以44333x πππ≤+≤所以sin(4)123x π-≤+≤……10分所以sin(4)1322x π≤+-≤-所以()f x 在区间[0,]4π上的取值范围是[2-……13分 16、解：1因为5a 是4a ; 8a 的等比中项;所以2548a a a =.……2分 设等差数列{}n a 的公差为d ;则2222(3)(2)(6)a d a d a d +=++;……4分因为23a =;所以220d d +=;因为0d ≠所以2d =-;……6分所以27n a n =-+……7分 2由27n a n =-+可知;15a =;所以1()2n n a a n S +=…9分(572)2n n+-=26n n =-…11分 由n n a S =可得：2276n n n -+=-所以1n =或7n =……13分17、解：1由题意可得：32127010000,0120301040020,120x ax x x y x x ⎧-++-<<⎪=⎨⎪-≥⎩……2分因为x =30时y =-100;所以3211003030270301000030a -=-⨯+⨯+⨯-..……4分 所以3a =……5分 2当0120x <<时;32132701000030y x x x =-++-;……6分21627010y x x '=-++……8分 由216270010y x x '=-++=可得：190x =;230x =-舍……9分 所以当(0,90)x ∈时;原函数是增函数;当(90,120)x ∈时;原函数是减函数;所以当90x =时;y 取得最大值14300. ……11分当120x ≥时;10400208000y x =-≤..……12分所以当日产量为90吨时;每日的利润可以达到最大值14300元..……13分18、解：1函数()f x 的定义域为(0,)+∞……1分 21()2f x a a x x'=+-2221a x ax x -++=因为x =1是函数()y f x =的极值点;所以2(1)120f a a '=+-=……5分所以12a =-或1a =;经检验;12a =-或1a =时;x =1是函数()y f x =的极值点..所以a 的值是12-或1. ……6分2由1知：21()2f x a a x x'=+-2221a x ax x -++=若0a =;1()0f x x'=>.所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞……8分 若0a ≠;令(21)(1)()0ax ax f x x +-+'==解得112x a =-;21x a =……9分 当0a >时;()()f x f x '、的变化情况如下表 + 0极大值∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)a ;单调递减区间是1(,)a +∞；……11分当0a <时;()()f x f x '、的变化情况如下表 + 0极大值∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)2a -;单调递减区间是1(,)2a-+∞；……13分 19、1因为1n n S a λ=-;所以111a a λ=-;1221a a a λ+=-;12331a a a a λ++=-……1分由111a a λ=-可知：1λ≠. 所以111a λ=-;22(1)a λλ=-;233(1)a λλ=-因为232a a =;所以2234(1)(1)λλλλ=--;所以0λ=或2λ=……3分2假设存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列;则2132a a a =+……4分由1可得：22321(1)1(1)λλλλλ=+---.所以2232221(1)(1)λλλλλ-+=--;即10=;矛盾. 所以不存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列. ……6分3当2λ=时;21n n S a =- 所以1121(2)n n S a n --=-≥;且11a =.所以122n n n a a a -=- 即12(2)n n a a n -=≥ 所以;0n a ≠*n N ∈;且12(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以1为首相;以2为公比的等比数列. 所以12n n a -=*n N ∈……8分 因为1n n n b a b +=+1,2,3,n =且1b =11n n n a b --=+ 122n n n a a b ---=++=当1n =时;上式仍然成立. 所以212n n b +=*n N ∈…10分因为(1)nn n na c ab =+所以111122221(21)(21)(21)2n n n n n nn c ----⋅==++++⋅…11分 111211(21)(21)2121n n n n n---=-+⋅+++…12分 所以12n n T c c c =+++=211111112()22121212121n n --+-++-+++++=1121n-+=2121n n -+…14分 20、解：1因为(,0)P =-∞;[0,4]M =;所以()(0,)f P =+∞;()[8,1]f M =- 所以 ()()f P f M =[8,)-+∞…3分2若3M -∈;则(3)15[3,23]f a -=-∉--;不符合题意..所以3P -∈;从而(3)3f -=. 因为(3)3f -=[3,23]a ∈--;所以233a -≥;得3a ≥. 若3a >;则22233(1)12a x x x ->>--+=-+.因为P M =∅;所以23a -的原象0x P ∈且03x a <≤ 所以023x a =-a ≤得3a ≤;矛盾.. 所以3a =. 此时可取[3,1)[0,3]P =--;[1,0)M =-;满足题意. …8分3因为()f x 是单调递增函数;所以对任意0x <;有()(0)0f x f <=;所以x M ∈. 所以(,0)M -∞⊆.同理可证：(1,)+P ∞⊆.若存在001x <<;使得0x M ∈;则200001()2f x x x x >=-+> 于是2000[,2]x x x M -+⊆. 记21002x x x =-+(0,1)∈;22112x x x =-+;… 所以01[,]x x M ⊆. 同理可知12[,]x x M ⊆;… 由212n nn x x x +=-+得221112(1)n n n n x x x x +-=+-=- 所以22221201(1)(1)(1)nn n n x x x x +--=-=-==-对于0[,1)x x ∀∈;取002(1)2(1)[log log (1)1,log log (1)]x x x x -----中的自然数x n ;则1[,]x x n n x x x +∈M ⊆ 所以0[,1)x M ⊆. 综上所述;满足要求的P;M 必有如下表示：(0,)[1,)P t =+∞;(,0][,1)M t =-∞;其中01t <<或者(0,][1,)P t =+∞;(,0](,1)M t =-∞;其中01t <<或者[1,)P =+∞;(,1)M =-∞或者(0,)P =+∞;(,0]M =-∞.…8分 注：若直接写出结论;且正确;给2分..。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.210..211. a b c >> 12..2π3,π613..2λ>14. 4；6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.解：（Ⅰ）由60A =和ABC S ∆=可得133sin6022bc =分 所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即a = ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B=可得------------------------------------11分2sin 60B =，------------------------------------12分所以sin B =.------------------------------------13分16. 解：（I ）π()cos(4)2f x x x -+------------------------------------2分sin 4x x +------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分 （II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分所以πsin(4)13x ≤+≤-----------------------------------12分所以π2sin(4)23x ≤+≤， -----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[. ------------------------------------14分17.解：（I ）由已知11,AH t PH =- -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(111112f t t t =--<<. ---------------------4分（II ）解法1. 1'()(11)2f t t =⨯-= -------------------------------------7分由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：-----------------------------------12分 所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法2.由1()(111112f t t t =--<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表：------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 8=.------------------------------------13分 18.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分 由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+, 所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤, 解得2e 2e 2e 2a -≥-. ---------------------14分 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+； 若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”.因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==, 由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分 （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++.下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足： 3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-， 所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-， 所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列， 所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。

北京市海淀区⾼三年级第⼀学期期中练习数学理科（有答案）北京市海淀区⾼三年级第⼀学期期中练习数学理科 2013.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考⽣务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答⽆效。

考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。

在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项。

1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B = ( A ) A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ?中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC，则实数m 的值为( C ) A. 2-B. 12-C.12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ） A. 充分⽽不必要条件 B. 必要⽽不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最⼩值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ?∈-?=??++∈+∞?若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：①π是()f x 的⼀个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称；③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个⼆、填空题:本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分。

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4B.π,(1,0)4-C.3π,(1,0)4D.3π,(1,0)4-3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1-B.12-C.13- D.14.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. 144 B.120 C. 108 D.728. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.BP11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为则___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =____;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为_.（填上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b =，求角C 的大小. 16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A 型车（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率； （Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.DABC左视图17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点. （I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数e ().1axf x x =- （I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值. 20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.EC 1B 1A 1CBA海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I ）因为21()cos cos 2222x x x f x =+-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+ ………6分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），()Z k ∈ 所以令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ ………………8分 (Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A = ……10分 由正弦定理sin sin B A b a= 把1a b =代入，得到1sin 2B = …………12分 又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C = …………13分16.（本小题满分13分） 解：（I ）这辆汽车是A 型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.63020=+这辆汽车是A 型车的概率为0.6 …………3分 （II ）设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分520102030141001001001001001009125=⋅+⋅+⋅=该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125………………9分（Ⅲ）设设Y 为B 型车出租的天数，则Y 的分布列为()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02=3.62E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.48………………12分 一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于B 型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加合理 . ………………13分17.（本小题满分14分）(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点，又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线， 所以1//EO A B ………………2分又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC…4分（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--，因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ⋅=，解得1m =，所以1AM = ………………8分 （Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==，设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =， 则有100AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-， ………10分因为AC ⊥平面1ABB A 1,取平面1ABB A 1的法向量为 (0,2,0)AC =………11分所以cos ,||||AC n AC n AC n ⋅<>==………………13分平面1AEC 与平面1ABB A 1………………14分 18. （本小题满分13分）解：当1a =时，e ()1axf x x =-，2e (2)'()(1)x xf x x -=- ………………2分 又(0)1f =-，'(0)2f =-，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =-- ………4分（II ）2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=- 当0a =时，21'()0(1)f x x -=<- 又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以 ()f x 的单调递减区间为(,1),(1,)-∞+∞ ………6分 当 0a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+=………………7分 当0a >时，11a x a+=>，所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a +， 单调递增区间为1(,)a a++∞ ……10分 当0a <时，11a x a+=< 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞，单调递减区间为1(,1)a a +，(1,)+∞ ………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =，得1p = 所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(,0)2…3分（Ⅱ）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =-与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240ky y k --=则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+= …6分 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+ …………9分 同理可得：22242N y y y -=+ …10分又 4(2,),(2,)m m OM y ON y -=-=- ，所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++ 44(44)444(44)k k--+=+-++ 0= …13分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2…………14分 法二：设直线l 方程为2x my =+ 与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --= 则由韦达定理得：12124,2y y y y m =-+= ……6分直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+ ………………9分 同理可得：22242N y y y -=+ …10分又 4(2,),(2,)m m OM y ON y -=-=- ，12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++ 4(424)44(424)m m --+=+-++ 0= ……12分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………13分 20. （本小题满分14分）解：（I ）因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω， 即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞是增函数，所以0h ≤ ………………1分而2()()2f x h h x x h x x ==--在(0,)+∞不是增函数，而2'()1hh x x =+ 当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h < 综上，得0h < …4分(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++ 所以()()4=f a f a b c a a b c a b c++<++++， 所以4()a f a d a b c =<++，同理可证4()b f b d a b c =<++，4()cf c t a b c=<++三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d t a b c++++=+<=++ 所以240d t +-< ……6分因为,d d a b <所以()0,b a d ab-<而0a b <<， 所以0d < 所以(24)0d d t +-> ……8分 (Ⅲ) 因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >， 记020()0f x m x => 因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x是增函数. 所以当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx > 所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >> 这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾……11分()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 所以()f x ∀∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解假设存在20x >，使得2()0f x =，则因为()f x 是二阶增函数，即2()f x x 是增函数 一定存在320x x >>，322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾 所以()0f x =在(0,)+∞上无解 综上，我们得到()f x ∀∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立 所以存在常数0M ≥，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x-=在(0,)+∞上是增函数 ，所以()f x ∈ψ，而任取常数0k <，总可以找到一个00x >，使得0x x >时，有()f x k >所以M 的最小值 为0 ……13分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )fx x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin )x x =-+ ………………2分 2= 12sin x x -cos2x x = ………………4分 π= 2sin(2)6x + ………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==………………7分 所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω== ………………9分 9． 0 10． 14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14． 2,(21,2), Z k k k -∈（II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=- ………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f = ………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有10÷=人 ………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= ………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分 （Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 ………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥ ………………1分 又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥ ………………2分 又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM = ………………5分 在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=，所以DM =:3:1BM MD = ………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以(4,0,0),(0,(0,0,4)3B C D P由（Ⅱ）可知，(4,DB =为平面PAC 的法向量 ………………10分4)PC =-，(4,0,4)PB =-设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =,yx则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z =则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n = ………………12分 设二面角A PC B --的大小为θ， 则7cos 7n DB n DBθ⋅==⋅ 所以二面角A PC B --………………14分 18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x'=++ ………………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值(1)120f a b '=++= ………………3分 当1a =时，3b =-，2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- ………………11分 当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾 ………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或 2a =-.ABG H ………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =，c a =1c =， 所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y += ………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k=-+ ………………6分所以AB ==………………7分 点M0）到直线l的距离d =则GH =………………9分显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，所以要使AG BH =，只要AB GH =所以222228(1)24()121k k r k k+=-++ 22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++ ………………11分当0k =时，r =………………12分当0k ≠时，242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++ 又显然24212(1)2132r k k =+>++,<综上，r ≤< ………………14分20. 解：（Ⅰ）因为 x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点0P 的相关点有8个 ………………2分又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-=所以这些可能值对应的点在以0P上 ………………4分（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-1221100()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------ 两式相加得 1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n 一定为偶数………………8分 （Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =， 依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=， 因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分 因为有3i i x y ∆∆=+，且 i i x y ∆∆，为非零整数， 所以当2i x ∆=的个数越多，则 T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆ 这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当 100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2， 则1012(12100)10201T =++++=. 当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++. 若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1.相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令 1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数. ………………13分。

海淀区高三年级第一学期期中练习（答案）数学(理科) 2013.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

ACBC BBDC二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.210.5(1)2n -11. a b c >>12.2π3,π613.2λ>14.14；6(31)n - 说明：第12和14题的两空，第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由60A = 和ABC S ∆=1sin602bc = 分所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B =2sin B =，-----------------12分所以sin B =.------------------------------------13分 16. （本小题满分14分）解：（I ）π()cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分sin 4x x +------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分（II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分所以πsin(4)123x -≤+≤-----------------------------------12分所以π2sin(4)23x +≤， -----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[. ------------------------------------14分 17.（本小题满分13分）解：（I ）由已知11,AH t PH =- -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(111112f t t t =--<<. ---------------------4分（II ）解法1. 1'()(11)2f t t =⨯-= -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况如下：-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法2.由1()(111112f t t t =-=-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况如下：------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 8.------------------------------------13分 18.（本小题满分13分）解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =.-------------------------------4分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------8分 （III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，------------------------------9分 易得数列1{4},{2}n n +分别是公比为4和2的等比数列，由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分（说明：未舍12a =-扣1分，若以下正确，给一半分；三个求和公式各1分，化简结果1分）19.（本小题满分14分）解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分(1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分 (II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>,由'()0f x =得12,1x a x ==, ----------------------------5分 ①当01a <<时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：分②当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞； -----------------------8分 ③当1a >时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：分 (III ）①当01a <≤时，由（II ）可知，()f x 在区间[1,e]上单调递增，所以()f x 最大值是(e)f ，所以满足题意需且仅需(e)0f ≤，解得2e 2e2e 2a -≥-， ----------------------------11分所以2e 2e 12e 2a -≤≤-；②当1a >时，由（II ）可知，()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)f 或(e)f ，所以满足题意需且仅需(e)0f ≤且(1)0f ≤，解得12a ≥-且2e 2e2e 2a -≥-；------13分所以2e 2e2e 2a -≥-；所以，当2e 2e2e 2a -≥-时，满足()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立.--------------------14分20.（本小题满分13分）解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.--------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+；所以3123k k a a +≤+，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=-所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==,由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分（III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21. --------------------------------------9分由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++ . 下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-，所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列，所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分 说明：对于以上解答题的其它解法，可对照答案评分标准相应给分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2013.4一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.集合，则（ ）A. B. C. D. 2.在极坐标系中, 曲线围成的图形面积为（ ） Ａ. B. Ｃ. Ｄ.3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的值为5，则输出的值为Ａ. B. C. D.4.不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则的值为Ａ. B. C. D. 5. 若向量满足，则 的值为 A. B. C. D. 6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种7. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（ ） A.B.D. 8. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①，使得是直角三角形；2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|A B =I {3,4,5}{4,5,6}{|36}x x <≤{|36}x x ≤<4cos ρθ=π44π16x y 2-1-1221,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩k 2-1-01,a b ||||||1==+=a b a b ⋅a b 12-121-124y x =F (,)P x y (1,0)A -||||PF PA 1223123,,l l l i i A l ∃∈(1,2,3)i =123A A A ∆②，使得是等边三角形；③三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是 A. ① B.①② C. ①③ D. ②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上，若复数（）对应的点恰好在实轴上，则=_______. 10.等差数列中,, 则 11.如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点. 若，，则弦的长为_______.12.在中，若，则 13.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.14.已知函数，任取，定义集合： ，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记. 则 （1）函数的最大值是_____；（2）函数的单调递增区间为________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.（13分）已知函数. （Ⅰ）求的值和的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.i i A l ∃∈(1,2,3)i =123A A A ∆(1,2,3,4)i A i =1234A A A A + i a b ,a b ∈R b {}n a 34259,18a a a a +==16_____.a a =AP O e A DB P B O AP C 90ACB ∠=︒3,4BC CP ==DB ABC ∆4,2,a b ==1cos 4A =-_____,sin ____.c C ==22, 0,()3, 0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩a π()sin2f x x =t ∈R {|t A y =()y f x =(,())P t f t (,())Q x fx ||PQ ≤, t t M m t A ()t t h t M m =-()h t ()ht 2()2cos )f x x x =--π()4f ()f x ()f x [,]63ππ-D CBPAO16.（13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.17.（14分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且P ABCD -PA ⊥ABCD ABC ∆AC BD M AC 4PA AB ==120CDA ∠=oN PB PN =（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面; （Ⅲ）求二面角的余弦值．18.（13分）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(I) 当时，求的单调区间； (II) 若在上的最大值为，求的值.19.（14分）已知圆：（）.若椭圆：（）的右顶点为圆. （I ）求椭圆的方程；BD PC ⊥//MN PDC A PC B --2()ln f x x ax bx =++,a b 0a ≠1x =1a =()f x ()f x (]0,e 1a M 222(x y r -+=0r >C 22221x y a b +=0a b >>M C（II ）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围.20.（13分）设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.（Ⅰ）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若与重合，一定为偶数；（Ⅲ）若，且，记，求的最大值.l y kx =l C A B M G H G AB AG BH =M r (,),(,)A A B B A x y B x y ,,,A A B B x y x y ∈Z B A x x x ∆=-B A y y y ∆=-x ∆+=3y ∆||||0x y ∆⋅∆≠B A ()B A τ=0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z {}i P 1()i i P P τ-=i P (,)i i x y 1,2,3,...,i n =0P 0P n P n 0(1,0)P 100n y =0ni i T x ==∑T海淀区高三年级第二学期期中练习 数学 （理）参考答案及评分标准 2013．4一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--9．0 10．14 11.12． 13．14．2453, 16491a <≤2,(21,2), Z k k k -∈…2分……4分……6分所以………7分 所以 的周期为 ………9分 （II ）当时，， 所以当时，函数取得最小值 ……11分 当时，函数取得最大值 ……13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有人 ……1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为……7分（Ⅲ）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 ……8分，， 22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+-2= 12sin 2x x -+cos22x x =+π= 2sin(2)6x +πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==()f x 2π2π= π||2T ω==ππ[,]63x ∈-π2π2[,]33x ∈-ππ5π(2)[,]666x +∈-π6x =-π()16f -=-π6x =π()26f =100.2540÷=40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ξξ2621015(16)45C P C ξ===116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=11222104(19)45C C P C ξ===所以的分布列为………………11分 所以 所以的数学期望为……13分17.证明：(I) 因为是正三角形，是中点， 所以,即………………1分 又因为，平面， …2分又，所以平面………………3分又平面，所以………………4分（Ⅱ）在正三角形中，5分在中，因为为中点，，所以，所以 ………6分 在等腰直角三角形中，，所以，，所以 ……8分又平面，平面，所以平面 ……9分（Ⅲ）因为， 所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以222101(20)45C P C ξ===ξ1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ865ABC ∆M AC BM AC ⊥BD AC ⊥PA ABCD ⊥平面BD ⊂ABCD PA BD ⊥PA AC A =I BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD PC ⊥ABC BM =ACD ∆M AC DM AC ⊥AD CD =120CDA ∠=o 3DM =:3:1BM MD =PAB 4PA AB ==PB =:3:1BN NP =::BN NP BM MD =//MN PD MN ⊄PDC PD ⊂PDC //MN PDC 90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=o AB AD ⊥,AB AD AP , x y z (4,0,0),(0,0,4)B C D P yx由（Ⅱ）可知，为平面的法向量 ……10分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为 ……12分设二面角的大小为， 则 所以二面角余弦值为…14分 18. 解：（I ）因为所以 ……2分 因为函数在处取得极值， ……3分当时，，，随的变化情况如下表：………………5分所以的单调递增区间为,；单调递减区间为 ………6分 (II)因为 令, ……7分 (4,3DB =-u u u r PAC 4)PC =-u u u r (4,0,4)PB =-u u u rPBC (,,)n x y z =r 00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩3,z =PBC n =rA PCB --θcos n DB n DBθ⋅==⋅u u u r r u u u r rA PCB --72()ln ,f x x ax bx =++1()2f x ax b x'=++2()ln f x x ax bx =++1x =(1)120f a b '=++=1a =3b =-2231()x x f x x-+'='(),()f x f x x ()f x 1(0,)21+∞（，）1(,1)2222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==()0f x '=1211,2x x a==因为在 处取得极值，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减 所以在区间上的最大值为，令，解得 ……9分 当， 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以，解得 ………11分 当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得而所以，解得，与矛盾 ………12分 当时，在区间上单调递增，在单调递减， 所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. ………13分 1９.（14分）解：（I ）设椭圆的焦距为，因为，所以， ()f x1x =21112x x a=≠=102a<()f x (0,1)(1,e]()f x (]0,e (1)f (1)1f =2a =-0a >2102x a=>112a <()f x 1(0,)2a 1(,1)2a(1,e)12x a=e x =2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-11e 2a ≤<()f x (0,1)1(1,)2a 1(,e)2a1x =e x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-211e 2x a<=<21e 2x a=≥()f x (0,1)(1,e)1x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<12a e =-2a =-2c a =2c a =1c =A BGH所以.所以椭圆： ……4分 （II ）设（，），(，)由直线与椭圆交于两点，，则 所以 ，则， ……6分 所以……7分 点，0）到直线的距离………9分 显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要 所以 ……11分 当时，……12分 当时， 又显然,14分 20.解：（Ⅰ）因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个 ……2分又因为，即 所以这些可能值对应的点在以为半径的圆上 ……4分1b =C 2212x y +=A 1x 1y B 2x 2y l C A B 22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩22(12)20k x +-=120x x +=122212x x k =-+AB ==M l d =GH =H AB y kx =y AG BH =AB GH =222228(1)24()121k k r k k +=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++0k =r =0k ≠242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++24212(1)2132r k k =+>++<r ≤<x ∆+=3(,y x y ∆∆∆1,2x y ∆=∆=2,1x x ∆=∆=0P 22()()5x y ∆+∆=221010()()5x x y y -+-=0P（Ⅱ）依题意与重合则，即，两式相加得（*） 因为故为奇数，于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以一定为偶数 ……8分（Ⅲ）令，依题意，因为………………10分因为有，且为非零整数，所以当的个数越多，则的值越大，而且在这个序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大 而当取值为1或的次数最多时，取2的次数才能最多，的值才能最大. 当时，令所有的都为1，都取2，则. 当时，若， (,)n n n P x y 000(,)P x y 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+=1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----n n 11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=0n i i T x===∑012n x x x x ++++L 112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆L L 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆L 3i i x y ∆∆=+i i x y ∆∆，2i x ∆=T 123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆2T i y ∆1-i x ∆T 100n =i y ∆i x ∆1012(12100)10201T =++++=L 100n >*2(50,)n k k k =>∈N此时，可取个1，个，此时可都取2，达到最大 此时=.若,令,其余的中有个，个1. 相应的，对于，有,其余的都为2，则当时，令 则相应的取则=+综上， ………13分i y ∆50k +50k -1-i x ∆()S n T 212((1)1)21n n n n n +++-++=++L *21(50,)n k k k =+≥∈N 2n y ∆=i y ∆49k -1-49k +i x ∆1n x ∆=212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+L 50100n ≤<1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤T 1n +2((1)(101))n n n +-+-L ((100)(99)1)n n +-+-+L 2205100982n n +-=22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科） .11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A． B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B 的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为 14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数 学 （理科） .11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

北京市海淀区2011届高三年级第一学期期末练习数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．sin 600︒的值为 （ ）AB．C ．12-D ．122．若0.32121,0.3,log 2,,,2a b c a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为 （ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．24．如图，半径为2的O 中，90AOB ∠=︒， D 为OB 的中点，AD 的延长线交O 于 点E ，则线段DE 的长为 （ ）ABCD5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是（ ）A ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列6．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（ ） A ．72 B ．60 C ．48 D ．127．已知椭圆22:14x y E m +=，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与:1l y kx =+被椭圆E 截得的弦长不可能．．．相等的是（ ）A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=8．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{2}B ．C ．{}2t t ≤≤D ．{|2}t t ≤≤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理科） 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．sin 600的值为A ．23 B ． 23- C ． 21- D ． 212． 若0.32121(),0.3,log 22a b c -===，则,,a b c 大小关系为A ． a b c >>B ． a c b >>C ． c b a >>D ． b a c >>3．一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A ．12 B ．6 C ． 4 D ．24． 如图，半径为2的⊙O 中，90AOB ∠=︒，D 为OB 的中点，AD则线段DE 的长为 ABC D ．5．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，*n N ∈． 下列命题中真命题是A ． 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ． 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列正视图左视图俯视图C ． 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D ． 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列6．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 A ． 72 B ． 60 C ． 48 D ． 127． 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-= 8． 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是 A ． {}2 B ．C ． {|22}t t ≤≤ D ． {2}t t ≤≤第II 卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．把答案填在题中横线上．9．圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标 为 ．10．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆．11． 阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为 ．ABCDE1A 1D 1B 1C12．如图，已知10AB =，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n ，…．利用这两组同心圆可以画出以A 、B 为焦点的双曲线． 若其中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别是,,M N P e e e ．则它们的大小关系是 （用“<”连接）．13． 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈．01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面命题中真命题的序号是 ．①()f x 的最大值为0()f x ② ()f x 的最小值为0()f x ③ ()f x 在0[0,]x 上是减函数 ④ ()f x 在0[,π]x 上是减函数14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 ．三、解答题: 本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程．15．（本小题满分12分） 设函数()cos(2)cos 23f x x x π=--，R x ∈．（Ⅰ）求)(x f 在(0,)2π上的值域；（Ⅱ）记A B C ∆的内角C B A ,,的对边长分别为a b c ，，，若()13f A a ===，，求c 的值． 16．（本小题满分13分）某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910和13（Ⅰ）如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？ （Ⅱ）求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率． 17． （本小题满分14分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2， AC BD O = ，侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角为60°，1AO ⊥平面ABCD ，F 为1DC 的中点． （Ⅰ）证明：BD ⊥1AA ；（Ⅱ）证明：//OF 平面11BCC B ； （Ⅲ）求二面角D -1AA -C 的余弦值．18． （本小题满分13分） 已知函数1()ln(1)1a f x x ax x -=+-++ (12a ≥)． （Ⅰ）当曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线:21l y x =-+平行时，求a 的值；ABC1B 1C 1A DF1D O（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间． 19． （本小题满分14分）已知点(1,)M y 在抛物线2:2C y px =(0)p >上，M 点到抛物线C 的焦点F 的距离为2，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程； （Ⅲ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值． 20．（本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n = *()n N ∈．对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P ．（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由． （Ⅱ）若1000n =时 ①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由； ②若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值．。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理） 参考答案及评分标准2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )fx x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+-………………2分2= 12sin 2x x -+cos22x x =………………4分π= 2sin(2)6x +………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==7分 9．0 10．14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14．2,(21,2), Z k k k -∈所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω==………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=-………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f =………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分 17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM =5分在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=o，所以DM =:3:1BM MD =………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=o ， 所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，(4,DB =u u u r 为平面PAC 的法向量………………10分4)PC =-u u u r ，(4,0,4)PB =-u u u r设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r,yx则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z =则平面PBC的一个法向量为n =r………………12分设二面角A PC B --的大小为θ，则cos n DB n DBθ⋅==⋅u u u r r u u u r r所以二面角A PC B --余弦值为7………………14分 18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x'=++………………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值(1)120f a b '=++=………………3分 当1a =时，3b =-，2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =-………………11分 当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾 综上所述，12a e =-或2a =-. ………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，ABG H因为a =，c a =1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y +=………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k=-+………………6分所以AB ==7分 点M0）到直线l的距离d =则GH =………………9分显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，所以要使AG BH =，只要AB GH =所以222228(1)24()121k k r k k +=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++………………11分 当0k =时，r =12分当0k ≠时，242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++ 又显然24212(1)2132r k k =+>++,<r ≤<14分20.解：（Ⅰ）因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点0P 的相关点有8个………………2分又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-=所以这些可能值对应的点在以0P为半径的圆上………………4分 （Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+=即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------两式相加得1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*）因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==， 故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以n 一定为偶数………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =， 依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=， 因为0nii T x===∑012n x x x x ++++L112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆L L 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆L ………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且i i x y ∆∆，为非零整数， 所以当2i x ∆=的个数越多，则T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2， 则1012(12100)10201T =++++=L . 当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++L .若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1. 相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2， 则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+L当50100n ≤<时，令1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-L ((100)(99)1)n n +-+-+L2205100982n n +-=综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.………………13分。

2011年海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2011．11选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1． 设集合()(){}|2130A x x x =--<，{}|14B x x =≤≤，则A B =∩（ ）A ．[)10，B ．()23，C ．142⎛⎤⎥⎝⎦，D ．(]14，2． 若()()2lg 1f x x =-，则()f x 的定义域是（ ） A ．()1+∞，B ．()()011+∞，∪，C ．()()110-∞--，∪，D ．()()001-∞，∪， 3． 已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-，则12345a a a a a ----=（ ）A ．15B ．17C ．15-D ．164．已知非零向量a，b，那么“0a b ⋅> ”是“向量a，b方向相同”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5． 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，上为减函数的是（ ）A ．sin 2y x =B ．2cos y x =C ．cos 2x y = D ．()tan y x =-6． 函数()1xf x e =-的图象大致是（ ）AB C D7． 要得到函数sin cos y x x =-的图象，只需将函数cos sin y x x =-的图象（ ）A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度 C ．向右平移π个单位长度D ．向左平移3π4个单位长度8． 已知定义域为()0+∞，的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则方程()2f x =+）A ．3B ．2C ．1D ．0非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9． 曲线1y x=在2x =处的切线的斜率为 ．10． 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 ．11． 点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点（如图所示）．若图中阴影部分的面积等于矩形O ABC 的面积，那么边AB 的长等于 ．12． 已知点()11A ，，()53B ，，向量AB 绕点A 逆时针旋转3π2到AC 的位置，那么点C 的坐标是 ．13． 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，8a =，10b =，ABC △的面积为，则ABC △中最大角的正切值是 ． 14． 已知数列()12.3n A a a a n ，≥∶，令{}|1A k k T x x a a i j n ==+<，≤≤，()card A T 表示集合AT 中元素的个数．①若24816A ，，，∶，则()card A T = ；②若1i i a a c +-=（c 为常数，11i n -≤≤），则()card A T = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． （本小题共13分）已知函数()2sin 2cos 22f x x x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16． （本小题共13分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，23a -，且5a 是4a ，5a 的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使n n a S =成立的的有n 的值． 17． （本小题共13分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：C ）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式1000020C x =+，每日的销售额R （单位：元）与日产量x 满足函数关系式52129001203020400120.x ax x x R x ⎧-++<<⎪=⎨⎪⎩，，，≥ 已知每日的利润y R C =-，且当30x =时，100y =-．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润率可达到最大，并求出最大值． 18． （本小题共13分）已知函数()()22ln f x x ax a x a =+-∈R ．（Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间． 19． （本小题共14分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a λ=-（λ为常数，123n = ，，，）． （Ⅰ）若232a a =，求λ的值；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当2λ=时，若数列{}n b 满足()1123n n n b a b n +=+= ，，，，且132b =，令()1nn n na c ab =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 20． （本小题共14分）已知函数()22x x P f x x x x M ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，，，，其中P ，M 是非空数集，且P M =∅∩．设()(){}|f P y y f x x P ==∈，， ()(){}|f M y y f x x M ==∈，． （Ⅰ）若()0P =-∞，，[]04M =，，求()()f P f M ∪；（Ⅱ）是否存在实数3a >-，使得[]3P M a =-∪，，且()()[]323f P f M a =--∪，？若存在，请求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明现由；（Ⅲ）若P M =R ∪，且0M ∈，1P ∈，()f x 是单调递增函数，求集合P ，M参考答案一、选择题对于任意()0,x ∈+∞，()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，意味着()12log f x x +的值不随x 的变化而变化，设其值为m ，则()()12log 3f x x mf m +=⎧⎪⎨⎪=⎩，即12log 3m m -=．方程左边的式子随着m 的增大而增大，且可以观察得知2m =是方程的解，于是2m =是其唯一解．于是方程()2f x =+122log2x -=+2log x =t =，0t >，有22t t =．画函数图象可知，方程22t t =在()0,+∞上有两解．于是选B ．二、填空题9、14-10、 11、2π12、()3,3-13、314、6；1,023,0c n c =⎧⎨-≠⎩三、解答题15． （I ）()11cos 4sin 422xf x x -=-1sin 44222x x=+-πsin 432x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期是2ππ42=．（II ）∵π04x ≤≤，∴ππ4π4333x +≤≤，因此πsin 4123x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤ ∴()12f x -≤，因此()f x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是,12⎡-⎢⎣⎦． 16． （I ）设数列{}n a 的公差为d ，则52333a a d d =+=+，42232a a d d =+=+，82636a a d d=+=+于是2548a a a =⋅即()()()2333236d d d +=++，解得2d =- 因此125a a d =-=，()1172n a a n d n =+-=-．（II ）72n a n =-，∴26n S n n =-+，因此n n a S =，即2672n n n -+=-，解得1n =或7n =．17． （I ）32127010000,0120301040020,120x ax x x y R C x x ⎧-++-<<⎪=-=⎨⎪-⎩≥，当30x =时，3213030270301000010030y a =-⋅+⋅+⋅-=-解得3a =．（II ）主要研究函数()32132701000030f x x x x =-++-，利用导数()21627010f x x x '=-++()()1903010x x =--+根据边界点()0,10000-，()120,8000和极值点()90,14300，画函数草图如下：于是当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大，且此最大值为14300元． 18． （I ）利用数列前n 项和与通项公式的关系：111111111n n n n n n n n n n n n n S a S S a a a a a a a S a λλλλλλλλ------=-⎫⇒-=-⇒=-⇒=⎬=--⎭ 而111S a λ=-，即111a a λ=-，解得111a λ=-于是()221a λλ=-，()2331a λλ=-，代入232a a =，得()()223411λλλλ=--，于是常数2λ=（0λ=舍去）． （II ）由（I ）1λλ-0≠，于是{}n a 是等比数列，若{}n a 同时也为等差数列，则{}n a 为非零常数列． 此时11λλ=-，无解．因此不存在常数λ使得{}n a 是等差数列．（III ）当2λ=时，12n n a -=，而112n n n n b b b -+=-=△，∴11111131221222n n n n n b b ----=+=+-=+∑于是()()()11111221121212121212122n nn n n n nn n c -----⎛⎫===- ⎪++⎛⎫++⎝⎭++ ⎪⎝⎭ 累加，有n T =1122122121n n⎛⎫-=-⎪++⎝⎭．20、（I ）如图：若(),0P =-∞，则()()0,f P =+∞； 若[]0,4M =，则()[]8,1f M =-； 于是()()[)8,f P f M =-+∞ ．（II ）如图，画出直线3y =-，与22y x x =-+交于点()1,3--和()3,3-，于是可知[]1,3M ⊆-；∵[]3,P M a =- ，∴[]3,1--P ⊆，于是[][]1,33,23a ⊆--，因此233a -≥，即3a ≥； 当3a ≥时，∵22x x x >-+，∴函数的最大值为a ，因此23a a =-，解得3a =． 经检验，3a =时，取[][]3,01,3P =- ，()0,1M =即可． 于是满足条件的实数a 的值为3．（III ）如图，()f x 是单调递增函数，于是(],0M -∞⊆，[)1,P +∞⊆ 当()0,1P ⊆时，P =()0,+∞，(],0M =-∞； 当()0,1M ⊆时，[)1,P =+∞，(),1M =-∞．。