哈工大离散数学zzst06

黑龙江省考研数学复习资料离散数学基本概念回顾黑龙江省考研数学复习资料：离散数学基本概念回顾离散数学作为数学的一个重要分支，是计算机科学和信息技术领域所必备的知识之一。

本文将对离散数学的基本概念进行回顾，以供黑龙江省考研数学复习使用。

一、集合论在离散数学中，集合论是最基础的概念之一。

集合是由一些特定对象组成的整体，常用大写字母表示。

集合中的对象称为元素，用小写字母表示。

集合之间的关系包括包含关系、相等关系、交集、并集等。

1. 包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集（A⊆B）；若A是B的子集，并且B中还有不属于A的元素，则称A是B的真子集（A⊂B）。

2. 相等关系：若A是B的子集，并且B是A的子集，则称A和B相等（A=B）。

3. 交集与并集：集合A和集合B的交集（A∩B）是指既属于A又属于B的所有元素所组成的集合；集合A和集合B的并集（A∪B）是指属于A或属于B的所有元素所组成的集合。

二、命题与逻辑运算离散数学中的命题是指可以判断真假的陈述句。

命题可以使用逻辑运算进行组合和推理。

1. 逻辑运算符：包括非（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）等。

2. 预算表：逻辑运算符的真假取值可以通过真值表进行表示，以明确逻辑表达式的真假情况。

三、关系和函数关系和函数是离散数学中的重要概念，它们描述了元素之间的联系和映射关系。

1. 关系：关系是元素之间的对应关系或者说集合之间的子集。

常见的关系有等价关系、偏序关系和全序关系等。

2. 函数：函数是一种特殊的关系，它将集合A中的每个元素映射到集合B中的唯一元素上。

函数可以表示为f：A→B。

其中，A是函数的定义域，B是函数的值域。

四、图论图论是离散数学中的另一个重要分支，主要研究图的性质和图之间的关系。

1. 图：图由节点和边构成，用来描述节点之间的连接关系。

图分为有向图和无向图，其中有向图的边具有方向性。

2. 图的属性：常见的图的属性包括路径、回路、连通性等。

黑龙江省考研数学与应用数学复习资料离散数学重点整理离散数学是数学的一个分支，主要研究离散结构以及离散对象之间的关系。

它在计算机科学、信息技术、电子工程等领域中具有重要的应用价值。

对于准备参加黑龙江省考研数学与应用数学专业的同学来说，熟悉离散数学的重要概念和基本知识点，掌握离散数学的解题方法和应用技巧，对于提高考试成绩将起到重要的作用。

本文将对离散数学的重点内容进行整理和归纳，以供考生复习使用。

一、命题逻辑命题逻辑是离散数学中的重要内容之一。

在命题逻辑中，我们研究命题的逻辑关系，包括命题的否定、合取、析取、条件和双条件等。

此外，我们还需要掌握等价命题、永真和矛盾命题的概念，以及逻辑推理和证明方法。

1.1 命题及其逻辑关系命题是陈述性句子，可以判断其真假。

命题可以进行否定、合取、析取、条件和双条件等逻辑运算。

1.2 等价命题等价命题指的是逻辑上等价的命题，它们具有相同的真值。

1.3 逻辑推理和证明方法逻辑推理是根据已知的命题，通过推理规则得出新的命题。

证明方法是为了证明一个结论的正确性，通过逻辑推理和证明步骤来证明。

二、集合论集合论是离散数学中的另一个重要内容，它研究集合的基本概念、运算和集合之间的关系。

在集合论中，我们需要掌握集合的表示方法、集合间的运算、集合的基数以及集合的代数运算等知识点。

2.1 集合的基本概念集合是由一些确定的对象组成的整体，我们可以用不同的方式来表示一个集合。

2.2 集合的运算集合的运算包括交集、并集、差集和补集等。

2.3 集合的基数集合的基数表示集合中元素的个数，当集合的基数有限时，我们称之为有限集合。

2.4 集合的代数运算集合的代数运算指的是集合的基本运算，如幂运算、笛卡尔积运算等。

三、图论图论是离散数学的重要分支之一，它研究图的性质、图的表示方法以及图的算法和应用。

在图论中，我们需要了解图的基本概念、图的遍历算法、连通性和网络流等内容。

3.1 图的基本概念图由节点和边构成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。

一、解答下列问题，要求只给出答案（总分10 分，每小题1分）1.设},,2,1{n A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。

（ ）2.设{}1,2,,10A = ，试求A 上自反二元关系的个数。

（ ）3．X ＝{1，2，…，n}，X 上有多少个对称的二元关系？ （ ）4.设X 为集合且}5,4,3,2,1{=X ，计算X 上有多少个二元运算。

（ ）5.设A ＝｛1，2，3｝，则A 上有多少个划分？ ( )6.设},,2,1{n V =，计算以V 为顶点集的无向图的个数。

( )7.设},,2,1{n V =，计算以V 为顶点集的有向图的个数。

( )8．二元树T 有0n 个叶子，2n 个出度为2的顶点，则0n 和2n 满足什么样的关系式？（ ）9.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？ （ ） 10.),(P P 连通图中有多少个圈？ （ ）二、以下各题要求只给出答案（总分20 分，每小题2分）1.下列集合表达式哪一个等于A\（B C ）? （ ） (a)（A\B ）∩（A\C ）； (b)（A\B ） （A\C ）；(c)（A B ）\（A C ）； (d) 都不对2.:,f X Y B Y →⊆，则 （ ）(a)1(())f f B B -⊇；(b)1(())f f B B -=；(c)1(())f f B B -⊆；(d)都不对。

3. 画出偏序集),2(}3,2,1{⊇的哈斯图。

4.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的二元关系？若有请举一例，设X={1，2，3，4}。

( )5．X ＝｛1，2，…，n ｝，X 上有多少个反自反且对称的二元关系？ （ ）6.设r ≥2，G 是r-正则图且1)(=G χ，则 （ ）(a)x(G)＝r ；(b)x(G)<r ；(c)x(G)≤〔2r 〕；(d)x(G)＝〔2r 〕。

(a) m<n ； (b) m>n ； (c) m ＝n ； (d) m ＝n 或m ＝n+1。

离散数学基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的数学基础学科，它研究离散对象的性质和关系，主要涉及逻辑、集合论、图论、代数结构等方面的内容。

具备扎实的离散数学基础知识对于计算机科学领域的学习和研究都具有重要的意义。

本文将重点介绍离散数学的一些基础知识。

1. 逻辑逻辑是离散数学的基础，它研究判断和推理的规则。

在计算机科学中，逻辑常常用于描述程序的正确性和推理的过程。

逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑两个分支。

命题逻辑研究命题与命题之间的关系，它使用命题变量和逻辑运算符来构造复合命题。

常见的逻辑运算符有非（¬）、与（∧）、或（∨）、蕴含（→）和等价（↔）等。

通过逻辑运算符的组合，可以构建出复杂的逻辑表达式，并通过真值表来确定表达式的真值。

谓词逻辑是对命题逻辑的扩展，它引入了量词和谓词，用于描述对象之间的关系。

谓词逻辑包括一阶逻辑和二阶逻辑两个分支。

一阶逻辑主要研究命题中包含变量的情况，而二阶逻辑则允许变量代表集合或者谓词。

2. 集合论集合论是离散数学的另一个重要分支，它研究集合及其运算和关系。

在计算机科学中，集合论被广泛应用于描述数据类型、数据结构和算法等方面。

集合是由一些确定的对象组成的整体，可以用罗素概念公理或者包含-属于公理来描述。

常见的集合运算有并（∪）、交（∩）、差（-）和补（\）等。

通过这些运算，可以构建出各种复杂的集合。

集合论中的函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

函数可以用来描述计算机程序中的算法和操作。

常见的函数类型有单射、满射、双射等。

3. 图论图论是离散数学的一个重要分支，它研究图的性质和关系。

在计算机科学中，图论被广泛应用于网络、算法和人工智能等方面。

图是由顶点和边组成的结构，可以用来描述对象之间的关系。

图的类型包括有向图和无向图，以及它们的变种如加权图和带标签的图等。

图的常见概念有度、路径、连通性和环等。

图的表示方法有邻接矩阵和邻接表两种。

邻接矩阵使用二维数组来表示顶点之间的连接关系，邻接表则使用链表来表示边的信息。

一、填空题（每小题3分，共15分）1.设F(x)：x是苹果，H(x，y)：x与y完全相同，L(x，y)：x=y，则命题“没有完全相同的苹果”的符号化（利用全称量词）为∀x∀y(F(x)∧F(y)∧⌝L(x，y)→⌝H(x，y))．2.命题“设L是有补格，在L中求补元运算‘′’是L中的一元运算”的真值是0．3.设G={e，a，b，c}是Klein四元群，H=〈a〉是G的子群，则商群G/H={〈a〉，{b，c}}={{e，a}，{b，c}}．4.设群G=〈P({a，b，c})，⊕〉，其中⊕为集合的对称差运算，则由集合{a，b}生成的子群〈{a，b}〉 ={∅，{a，b}}．5.已知n阶无向简单图G有m条边，则G的补图有n(n-1)/2-m条边．二、选择题（每小题3分，共15分）1.命题“只要别人有困难(p)，小王就会帮助他(q)，除非困难已经解决了(r)”的符号化为【B】A．⌝(p∧r)→q．B．(⌝r∧p)→q．C．⌝r→(p∧q)．D．⌝r→(q→ p)．2.设N为自然数集合，“≤”为通常意义上的小于等于关系，则偏序集〈N，≤〉是【C】A．有界格．B．有补格．C．分配格．D．布尔代数．3.设n (n≥3) 阶无向图G=〈V，E〉是哈密尔顿图，则下列结论中不成立的是【D】A．∀V1⊂V，p(G-V1)≤|V1|．B．|E|≥n．C．无1度顶点．D．δ(G)≥n/2．4.设A={a，b，c}，在A上可以定义个二元运算，其中有个是可交换的，有个是幂等的．【A】A．39，36，36．B．39，36，33．C．36，36，33．D．39，36，39．5.下列图中是欧拉图的有【C】A．K4，3．B．K6．C．K5．D．K3，3．三、计算与简答题（每小题8分，共40分）1.利用等值演算方法求命题公式(p∨q) → (q→p)的主合取范式；利用该主合取范式求公式的主析取范式，并指出该公式的成真赋值和成假赋值．(p∨q) → (q→p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∨⌝q∨p)∧(⌝q∨⌝q∨p)⇔⌝q∨p⇔p∨⌝q⇔M1此为公式的主合取范式．该公式的主析取范式是m0∨m2∨m3．公式的成真赋值为00，10，11．公式的成假赋值为01．哈尔滨工程大学试卷考试科目：离散数学（041121，041131-32）考试时间：14:00-16:3012. 求群〈Z 18，⊕18〉的所有生成元和子群，画出〈Z 18，⊕18〉的子群格，指出该子群格的全下界、全上界和有补元，并求其补元． 与18互质的数有1，5，7，11，13，17，因此，1，5，7，11，13，17是群〈Z 18，⊕18〉的生成元．18的因数有1，2，3，6，9，18，因此，群〈Z 18，⊕18〉的子群有 〈1〉=〈Z 18，⊕18〉，〈2〉=〈{0，2，4，6，8，10，12，14，16}，⊕18〉， 〈3〉=〈{0，3，6，9，12，15}，⊕18〉，〈6〉=〈{0，6，12}，⊕18〉， 〈9〉=〈{0，9}，⊕18〉，〈18〉=〈{0}，⊕18〉． 〈Z 18，⊕18〉的子群格为〈{〈18〉，〈9〉，〈6〉，〈3〉，〈2〉，〈1〉}，⊆〉，其哈斯图为 全下界为〈18〉，全上界为〈1〉， 〈18〉’=〈1〉，〈1〉’=〈18〉，〈2〉’=〈9〉，〈9〉’=〈2〉，〈3〉和〈6〉没有补元． 3. 若R 1，R 2均是非空集合A 上的等价关系，那么R 1，R 2的交R 1∩R 2、并R 1∪R 2和复合R 1○ R 2也是A 上的等价关系吗？若是，证明你的结论．R 1∩R 2是A 上的等价关系．事实上， (1) 因R 1，R 2是A 上的自反关系，有I A ⊆R 1，I A ⊆R 2，因此，I A ⊆R 1∩R 2，即R 1∩R 2是A 上的自反关系．(2) 因R 1，R 2是A 上的对称关系，有R 1＝R 1-1，R 2＝R 2-1，而(R 1∩R 2)-1=R 1-1∩R 2-1=R 1∩R 2，因此，R 1∩R 2是A 上的对称关系．(3) 因R 1，R 2是A 上的传递关系，有R 12⊆R 1，R 22⊆R 2，而(R 1∩R 2)2=(R 1∩R 2)ο(R 1∩R 2)=R 12∩R 22∩R 1οR 2∩R 2οR 1⊆R 12∩R 22⊆R 1∩R 2，因此，R 1∩R 2是A 上的传递关系．4. 设无向连通图G 如下图，求其最小生成树T 及T 的权W (T )，写出G 的对应于T 的基本回路系统和基本割集系统．G 的最小生成树T 如图（以实线表示），权W (T )=11． G 的对应于T 的基本回路系统为{C bd ，C cd ，C de }，其中 C bd =bdab ，C cd =cdabc ， C de =dead ．G 的对应于T 的基本割集系统为{S ab ，S ad ，S ae ，S bc }，其中 S ab ={ab ，bd ，cd }，S ad ={ad ，bd ，cd ，de }， S ae ={ae ，de }，S bc ={bc ，cd }．5. 设〈Ｂ，∧，∨，′，0，1〉是布尔代数，a ，b ，c ∈B ，化简公式 (a ∧b )∨(a ∧(b ∧c )’ )∨c ．(a ∧b )∨(a ∧(b ∧c )’ )∨c =(a ∧b )∨(a ∧(b’∨c’ ))∨c =(a ∧b )∨((a ∧(b’∨c’ ))∨c ) =(a ∧b )∨((a ∨c )∧(b’ ∨c’ ∨c )) =(a ∧b )∨(a ∨c ) =(a ∨(a ∨c ))∧(b ∨a ∨c ) =(a ∨c )∧(a ∨c ∨b ) =a ∨c〈3〉3四、 证明题（共20分）1. 在自然推理系统中，构造推理证明： 前提：∀x (F (x )∨G (x )) 结论：⌝∀xF (x )→ ∃xG (x )证明：(1) ⌝∀xF (x ) 附加前提引入 (2) ∃x ⌝F (x ) (1)置换 (3) ⌝F (c ) (2)EI 规则 (4) ∀x (F (x )∨G (x )) 前提引入 (5) F (c )∨G (c ) (4)UI 规则(6) G (c )) (3)(5)析取三段论 (7) ∃xG (x ) (6)EG 规则2. 设代数系统〈A ，*〉是独异点，e 是其单位元．若∀a ∈A ，有a *a =e ，证明：〈A ，*〉是Abel 群．证明：由于对∀a ∈A ，有a *a =e ，因此，A 中任意元素a 都有逆元，且a=a -1．又〈A ，*〉是有单位元的独异点，从而〈A ，*〉是群． ∀a ，b ∈A ，有a *b ∈A ，且a=a -1，b=b -1，(a *b )-1=a *b ．又(a *b )-1=b -1*a -1=b *a ，因此 a *b =b *a ，即〈A ，*〉是Abel 群．3. 证明：若无向图G 为欧拉图，则G 无桥．证明：（1）假设G 中有桥，不妨设e =(u ，v ) 为其一座桥．这样，从中删去边e =(u ，v )后，所得图G ’一定不连通（G ’至少含有两个连通分支）．由于G 为欧拉图，因此它是连通图，且有经过每条边一次且仅一次的回路，这条回路必经过G 的所有顶点．从而存在顶点v 1，v 2，…，v s ，使得uv 1v 2…v s vu 是G 的一条回路．从G 中删去边e =(u ，v )后，所得图G ’仍有从u 到v 的通路uv 1v 2…v s v ，这样G ’仍是连通图．矛盾．因此，G 中一定无桥．（2）由于G 为欧拉图，其每个顶点的度数均为偶数．假设G 中有桥，不妨设e =(u ，v ) 为其一座桥．这样，从中删去边e =(u ，v )后，所得图G ’至少有两个连通分支．而且，顶点u ，v 的度数都是奇数，这与每个连通分支为图矛盾（与握手定理矛盾），因此，G 中一定无桥．五、 应用题（10分）今有a ，b ，c ，d ，e ，f 和g 七人，已知a 会讲英语；b 会讲英语和汉语；c 会讲英语、意大利语和俄语；d 会讲汉语和日语；e 会讲德语和意大利语；f 会讲法语、日语和俄语；g 会讲法语和德语，试问：如何将这七个人安排围坐在一张圆桌上，使得每个人都可和他身边的人交谈．以a ，b ，c ，d ，e ，f 和g 七人为顶点，如果两人有共同语言，连接这两个顶点，以此为边做一个图，如右图．在图中如果能找到一条哈密尔顿回路，则将这七个人安排围坐在一张圆桌上，每个人都可和他身边的人交谈．该回路为abdfgeca ．。

《集合论与图论》计算机学院03年秋季（本试题满分90分）一、（10分，每小题1分）计算：1．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。

计算从X 到Y 的映射的个数。

（答案： ）2．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。

若m ≤n，计算从X 到Y 的单射的个数。

（答案： ）3.设X 为集合且X n =。

计算X 到X 的双射的个数。

（答案： ）4.设X 为集合且X n =。

计算X 上有多少个不同的自反的二元关系。

（答案： ）5.设X 为集合且X n =。

计算X 上有多少个二元运算。

（答案： ）6.设V＝{}12,p u u u L 。

计算以V 为顶点集无向图的个数。

（答案： ） 7.设V＝{}12,p u u u L 。

计算以V 为顶点集的有向图的个数。

（答案： ）8.设V＝{}12,p u u u L 。

计算以V 为顶点集的比赛图的个数。

（答案： ）9.（P，P）连通图中有多少个圈？（答案： ）10. n 个叶子的正则二元树中有多少条有向弧？（答案： ）二、（10分，每小题1分）以下每小题中给出了四个答案，其中仅有一个是正确的。

请找出正确的答案并将其号码添在括号中。

11. Km,n 是哈密顿图当且仅当。

（ ）（a）m≤n （b）m≥n （c）m＝n（d）（m<n 或m>n） 12. 下面哪个条件是Km,n 有哈密顿路的充要条件？（ ）（a）m<n （b）m>n （c）m＝n（d）m＝n 或m＝n+1 13. 设r≥2，G 是r-正则图且1)(=G χ，则（ ）14. 把平面分为α个区域，使任两个区域相邻，则α的最大值为（ ） （a）x(G)＝r （b）x(G)<r （c）x（G）≤〔2r 〕 （d）x(G)＝〔2r 〕 （a）5 （b）3 （c）2 （d）415. 4个顶点的二元树（顶点无标号）共有（ ）（a）3个 （b）4 （c）7 （d）816. 设f：,X Y A X →⊆，则（ ）（a）1(())f f A A −⊆ （c）-1f A A f ⊇))((（b）1(())f f A A −= （d）（a）或（b）17. :,f X Y B Y →⊆，则（ ）（a）1(())f fB B −⊇ （c）1(())f f B B −⊆ （b）1(())f f B B −= （d）（b）或（c）18.设,R X X X ⊆×为集合。

哈工大计算机本科课程哈尔滨工业大学计算机本科课程哈尔滨工业大学计算机本科课程是指在哈尔滨工业大学计算机科学与技术专业的本科学习过程中所开设的一系列课程。

这些课程旨在培养学生的计算机科学与技术专业知识和技能，使他们具备扎实的理论基础和实践能力，能够在计算机领域中进行研究、开发和应用。

一、专业基础课程哈尔滨工业大学计算机本科课程的专业基础课程包括《计算机导论》、《程序设计基础》、《离散数学》等。

《计算机导论》是计算机科学与技术专业的入门课程，主要介绍计算机科学与技术的基本概念、发展历程和应用领域。

《程序设计基础》是培养学生编程能力的基础课程，学生通过学习编程语言和算法基础，能够进行简单的程序设计和开发。

《离散数学》是计算机科学与技术专业的数学基础课程，主要介绍离散数学的基本概念和方法，为学生后续的算法和数据结构课程打下坚实的数学基础。

二、核心课程核心课程是哈尔滨工业大学计算机本科课程中的重点课程，主要包括《数据结构与算法分析》、《操作系统》、《数据库原理与应用》等。

《数据结构与算法分析》是计算机科学与技术专业的核心课程之一，学生通过学习不同数据结构和算法的分析与应用，能够解决实际问题并提高程序执行效率。

《操作系统》是研究计算机操作系统原理和设计的课程，学生通过学习操作系统的基本原理和实现技术，能够理解和掌握操作系统的工作原理和应用开发。

《数据库原理与应用》是研究数据库基本理论和数据库管理系统的课程，学生通过学习数据库的设计与实现，能够进行数据库的开发和管理。

三、应用拓展课程应用拓展课程是哈尔滨工业大学计算机本科课程中的应用课程，主要包括《计算机网络》、《人工智能导论》、《软件工程导论》等。

《计算机网络》是研究计算机网络基本原理和技术的课程，学生通过学习计算机网络的组成和工作原理，能够进行网络应用的开发和管理。

《人工智能导论》是介绍人工智能基本概念和方法的课程，学生通过学习人工智能的基本原理和应用技术，能够进行人工智能相关的研究和开发。

大一离散数学基本知识点离散数学是指研究离散结构及其相关问题的数学分支学科。

它对于计算机科学、信息科学以及其他相似领域的学科都具有重要的意义。

在大一学习离散数学时，我们需要掌握一些基本的知识点。

本文将介绍大一离散数学的基本知识点，包括集合论、逻辑、关系和函数等内容。

1. 集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。

我们可以将集合看作是由一些对象组成的整体。

在集合论中，常用的运算有交集、并集、补集等。

并且，我们需要了解集合的基本性质，如包含关系、相等关系、空集和全集等。

2. 逻辑逻辑是离散数学中的另一个重要分支。

它通过研究命题、命题的组合以及推理规则等内容来研究思维的规律性。

在逻辑中，我们需要了解命题的真值、逻辑运算符（如与、或、非、蕴含和等价）、真值表和真值函数等。

3. 关系关系是用来描述集合之间元素的连接关系的工具。

在离散数学中，关系可以分为等价关系、偏序关系、全序关系和函数等。

其中，函数是一种特殊的关系，它是指每个输入值都对应唯一的输出值。

我们需要了解关系的性质和运算，以及如何使用矩阵和图来表示关系。

4. 函数函数是离散数学中最重要的概念之一。

它描述了两个集合之间的一种对应关系。

在函数中，我们需要了解定义域、值域、像、单射、满射和双射等概念。

此外，我们还需要学习函数的运算性质，如复合函数、反函数和逆函数等。

5. 计数原理计数原理是离散数学中的一个重要内容，它研究如何进行计数和计算问题的方法。

常用的计数方法包括排列、组合、二项式系数和鸽笼原理等。

掌握计数原理可以帮助我们解决很多实际问题，如概率计算、图的着色和密码学等。

6. 图论图论是离散数学中的一门重要学科，它研究由顶点和边组成的图及其相关的性质和算法。

在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、回路和连通性等。

此外，我们还需要学习最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。

通过学习以上基本知识点，我们可以建立起对离散数学的基本理解。

离散数学不仅在计算机科学领域有着广泛的应用，而且在日常生活中也能体现出其重要性。

离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。

其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。

下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。

一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。

具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。

除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。

2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。

3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。

4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。

群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。

例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。

二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。

一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。

对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。

离散数学大一知识点总结离散数学是计算机科学与信息技术等相关领域的基础课程之一，它涵盖了一系列重要的数学概念和方法。

在大一学习离散数学时，我们需要掌握一些基本的知识点。

本文将对离散数学大一学习的知识点进行总结。

一、命题逻辑与谓词逻辑命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系和运算的分支学科。

在离散数学中，我们学习了命题的定义、命题的逻辑运算（与、或、非、蕴含、等价等）、命题逻辑的公式等概念。

谓词逻辑是研究谓词、量词和变元等概念以及关于它们之间的论证方法和运算规律的学科。

在离散数学中，我们还学习了谓词逻辑的语义、语法以及推理方法。

二、集合与函数集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象组成的整体。

我们学习了集合的定义、集合间的运算（并、交、差、补等）、集合的大小与比较等知识。

函数是一种多对一关系，它在离散数学中有着广泛的应用。

我们学习了函数的定义、函数的性质（单射、满射、双射等）、函数的复合和逆等概念。

三、关系与图论关系是研究元素之间联系的数学概念，它可以用集合对的形式来表示。

我们学习了关系的定义、关系的性质（自反性、对称性、传递性等）、关系的运算（并、交、补等）以及关系的闭包等知识。

图论是离散数学中的一个重要分支，它研究了由点和边组成的图的性质和应用。

我们学习了图的定义、图的类型（有向图、无向图、简单图等）、图的表示方法（邻接矩阵、邻接表等）以及图的遍历和最短路径等算法。

四、数论数论是研究整数性质和整数运算规律的学科。

在离散数学中，我们学习了数论的基本概念（素数、互质等）、整数的除法算法（辗转相除法、模重复法等）、同余关系和同余定理等知识。

五、计数与概率计数是研究离散对象数量的学科，它在离散数学中有着广泛的应用。

我们学习了基本的计数方法（排列、组合、乘法原理、加法原理等）以及应用计数方法解决问题的技巧。

概率是描述随机现象发生可能性的数学工具，它在离散数学中也扮演着重要角色。

我们学习了概率的基本概念、概率的运算规则（加法规则、乘法规则等）、条件概率和贝叶斯定理等知识。

教材习题解答第一章 集合及其运算8P 习题3. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。

解：2210x x ++=的根为1x =-，故所求集合为{1}- 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈；b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆； m)对每个集A ，{}A A =；n){}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈；r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈；t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证： 12n A A A ===证明：由1241n A A A A A ⊆⊆⊆⊆⊆，可得12A A ⊆且21A A ⊆，故12A A =。

同理可得：134n A A A A ====因此123n A A A A ====6.设{,{}}S φφ=，试求2S ？解：2{,{},{{}},{,{}}}S φφφφφ=7.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。

证明：（1）当n ＝0时，0,2{},212S S S φφ====，命题成立。

（2）假设当(0,)n k k k N =≥∈时命题成立，即22S k =（S k =时）。

那么对于1S ∀（11S k =+），12S 中的元素可分为两类，一类为不包含1S 中某一元素x 的集合，另一类为包含x 的集合。

大一离散数学知识点详解离散数学是一门关于离散结构的数学学科，它是计算机科学及其他相关学科的基础。

在大一学习离散数学时，我们需要掌握一些重要的知识点。

本文将详细讲解大一离散数学的几个重要知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这门学科。

一、集合论集合论是离散数学的重要基础，它研究的是元素的集合以及它们之间的关系。

在集合论中，我们需要了解以下几个重要概念：1. 集合的概念：集合是指具有某种特定性质的对象的总体。

我们通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。

2. 集合的运算：包括并集、交集和差集三种运算。

并集表示两个集合中所有元素的总体，交集表示两个集合中共有的元素，差集表示一个集合中除去另一个集合中的元素。

3. 集合的关系：包括相等关系、包含关系和互斥关系。

相等关系表示两个集合完全一样，包含关系表示一个集合的所有元素都在另一个集合中，互斥关系表示两个集合没有共同的元素。

二、命题逻辑命题逻辑是离散数学中研究命题之间的关系的一种工具。

在命题逻辑中，我们需要了解以下几个重要知识点：1. 命题的概念：命题是陈述句，在逻辑上要么为真，要么为假。

命题可以用字母表达，常用p、q、r等字母表示。

2. 逻辑运算：包括非、与、或和异或四种运算。

非运算表示命题的否定，与运算表示命题的合取，或运算表示命题的析取，异或运算表示命题的异或。

3. 真值表：真值表是用来表示命题逻辑中命题与运算之间的关系的表格。

通过真值表，我们可以推导出逻辑运算的性质和规律。

三、数学归纳法数学归纳法是用来证明某些具有递推关系的命题成立的一种证明方法。

在离散数学中，数学归纳法非常重要。

以下是数学归纳法的基本思想：1. 基础步骤：首先证明当n取某个特定值时命题成立，这称为基础步骤。

2. 归纳假设：假设当n取k时命题成立，这称为归纳假设。

3. 归纳步骤：使用归纳假设来证明当n取k+1时命题也成立，这称为归纳步骤。

通过基础步骤、归纳假设和归纳步骤的结合，我们可以得出当n取任意自然数时命题都成立的结论。

工科离散数学第二版牛连强第六章《工科离散数学第二版》是牛连强教授所著的一本离散数学教材，第六章的内容是图论的应用。

首先，让我们简单介绍一下图论的应用这一章的主要内容。

在这一章中，牛连强教授将带领读者深入了解图论在实际问题中的应用，如最短路算法、网络流问题、图的着色理论等。

这些内容不仅可以帮助读者更好地理解图论的基本概念，还能培养读者运用图论解决实际问题的能力。

接下来，让我们分析一下这一章的重点和难点。

图论的应用涉及许多实际问题的解决，如网络优化、交通规划等，这些问题的解决需要深入理解图论的基本概念和算法，同时也需要一定的数学和计算机知识。

因此，本章的重点是掌握图论的基本概念和算法，难点则是如何将图论应用于实际问题，如何设计有效的算法来解决这些问题。

为了帮助读者更好地掌握这一章的内容，我们可以提供一些学习建议和技巧。

首先，建议读者仔细阅读牛连强教授的讲解视频和相关资料，了解图论的基本概念和算法。

其次，可以通过习题练习加深对图论的理解，特别是对于一些实际问题，需要尝试运用图论的方法来解决。

最后，可以通过实际应用案例来加深对图论应用的理解。

针对第六章图论的应用这一章，我们可以给出一些学习建议。

首先，需要掌握图论的基本概念和算法，如节点、边、路径、图、欧拉图等。

其次，需要理解如何运用图论的方法解决实际问题，如最短路算法、网络流问题等。

此外，还需要尝试将所学知识应用于实际问题的解决中，不断探索和总结经验。

总之，《工科离散数学第二版》中的第六章图论的应用是非常重要的一部分内容。

通过认真学习这一章的内容，读者不仅可以加深对图论的理解，还可以培养运用图论解决实际问题的能力。

在学习的过程中，建议读者注重理解基本概念和算法，并通过习题练习和实际应用案例来加深对图论应用的理解。