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实数的运算与性质在数学中，实数是指包括有理数和无理数的数集。
它们可以进行各种运算，并且具有特定的性质。
本文将详细介绍实数的运算法则以及相关性质。
一、实数的四则运算实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面以具体的运算示例来说明这四种运算法则。
1. 加法：实数加法的法则是：对于任意的实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)，即加法具有结合律。
例如，对于a=2，b=3和c=4，我们有(2+3)+4=9，而2+(3+4)=9，所以加法满足结合律。
2. 减法：实数减法是加法的逆运算。
设a、b和c是任意实数，那么a-(b+c)=a-b-c，即减法也具有结合律。
举个例子，对于a=5，b=3和c=1，我们有5-(3+1)=1，而5-3-1=1，因此减法也满足结合律。
3. 乘法：实数乘法的法则是：对于任意的实数a、b和c，有(ab)c=a(bc)，即乘法也具有结合律。
例如，对于a=2，b=3和c=4，我们有(2*3)*4=24，而2*(3*4)=24，所以乘法满足结合律。
4. 除法：实数除法是乘法的逆运算。
对于任意非零实数a、b和c，有a/(bc)=(a/b)/c，即除法也具有结合律。
举个例子，对于a=10，b=2和c=5，我们有10/(2*5)=1，而(10/2)/5=1，所以除法也满足结合律。
二、实数的性质实数具有许多重要的性质，下面介绍几个常见的性质。
1. 封闭性：实数的加法和乘法都具有封闭性，即任意两个实数的和或积仍为实数。
例如，对于任意实数a和b，a+b和ab也都是实数。
2. 结合律：前文已经介绍了加法和乘法的结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(ab)c=a(bc)。
这个性质允许我们对实数进行连续的运算，无需考虑运算的顺序。
3. 交换律：实数的加法和乘法都具有交换律，即a+b=b+a和ab=ba。
举个例子，对于任意实数a和b，a+b和ab都满足这一性质。
4. 零元素和单位元素：加法中的零元素是0，即对于任意实数a，a+0=a。
实数复习目标：1.明确实数的有关概念：有理数、无理数、数轴、互为相反数、倒数、绝对值、平方根、立方根2.能够正确理解实数的分类，并进行实数的大小比较3.会运用运算规律，按照规定的运算法则进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方混合运算4.了解近似数和有效数字概念，会用科学计数法表示较大或较小的数教学重难点：重点：1.明确有理数、无理数、数轴、互为相反数、倒数、绝对值、平方根、立方根等与实数相关的概念与意义2.理解近似数和有效数字的意义，会用科学计数法表示较大或较小的数难点：1. 会运用运算规律，按照规定的运算法则进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方混合运算教学过程：知识点一：实数的分类1.按定义分：实数分为：有理数和无理数2.按正负分类：实数分为：正实数、0、负实数知识点二：实数的有关概念：1.数轴的概念。
明确实数与数轴上的点一一对应（数形结合）．2.相反数的概念。
当a与b互为相反数时有a+b=0．3.绝对值的概念：一个数在数轴上对应的点离原点的距离。
4.倒数：当a与b互为倒数时有ab=1．知识点三：实数的大小比较常用方法：数轴比较法和作差比较法知识点四：科学记数法、近似数科学记数法：若N是大于10的整数，记成N=a ，其中1≤a<10，n=整数位数－1；若0<N<1，记成N= a ，其中1≤a<10，n为一个负整数（有效数字前0的个数的相反数）．近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，从左边第一位非零数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字．知识点五、实数的运算①运算法则．②运算定律：交换律、结合律、分配律．③运算顺序：先乘方、开方，然后乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的．【典例详解】考点一：实数的分类（以填空为主）例1、将下列各数填入相应的集合内，并用“<”号将下列各数连接起来．2、8-、3π、︒30sin 、4- 、21-- 有理数集合： 无理数集合：【解】 有理数集合无理数集合 8- ，3π…8-<4-<21--<︒30sin <3π<2.【说明】①实数的分类和大小比较要看它化简的结果，但结果应保留原有形式；②实数的大小比较还可借助于数轴直观地进行比较.考点二：有理数的相关概念(以选择,解答题为主)例2.⑴2--的倒数是（ ）A ．2 B. C. D.－2⑵某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ）A. 31B. 33C. 35D. 37【分析】⑴本题主要考查的是绝对值的概念，负数的绝对值是它的相反数，求一个数的相反数时，直接在这个数的前面添加“-”号。
初中数学有理数和实数有什么区别有理数和实数是数学中两个重要的数集，它们之间有着明确的区别。
下面我将详细介绍有理数和实数的定义、性质和区别。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。
有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。
例如，1、2/3、-5、0.25和3.1416（无限循环小数）都是有理数。
性质：-有理数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即两个有理数之间进行运算仍然得到一个有理数。
-有理数可以用分数形式表示，且可以化简为最简分数。
-有理数可以进行精确计算，因为有理数的小数表示形式要么是有限的，要么是循环的。
2. 实数：实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
实数包括有理数和无理数，可以表示为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数。
实数是数学中最常用的数集，包括所有的测量结果和数学运算的结果。
性质：-实数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即两个实数之间进行运算仍然得到一个实数。
-实数可以用小数形式表示，可以是有限的、循环的或无限不循环的。
-实数具有完备性，即实数集中的任何一个非空子集都有上确界和下确界。
区别：-有理数是可以表示为两个整数的比的数，而实数包括有理数和无理数。
-有理数的小数表示要么是有限的，要么是循环的，而实数的小数表示可以是有限的、循环的或无限不循环的。
-有理数的运算是精确的，而实数的运算可以进行精确计算或近似计算。
在数学中，实数是最基本的数集，它们广泛应用于各个领域，包括计算、几何、物理、工程等。
希望以上内容能够帮助你深入理解有理数和实数的定义、性质和区别。
实数的性质与运算实数是数学中的一种基本数集，包括有理数和无理数。
实数具有多种性质和运算规则，这些性质和运算规则为数学领域中的各种问题提供了解决方法和基础。
一、实数的性质1. 实数的有序性：任意两个实数可以进行大小比较，即实数集合是一个有序集合。
对于任意实数a和b，其中a<b，a>b，a=b三种情况之一成立。
2. 实数的稠密性：在实数直线上，两个实数之间总是存在其他实数。
无论多么接近的两个实数，总有其他实数位于它们之间。
3. 实数的无限性：实数集合是无限的。
在实数集合中，不存在最大值和最小值。
4. 实数的稳定性：实数集合对加法和乘法运算封闭，即两个实数的和或积仍然是实数。
例如，实数a和b相加的结果a+b和相乘的结果a*b仍然是实数。
5. 实数的截断性：对于实数集合中的任意非空子集，存在一个有上界或下界的实数。
这个性质被称为实数的截断性。
二、实数的运算1. 实数的加法：对于任意实数a、b和c，加法满足交换律、结合律和存在零元素的性质。
即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，存在0使得a+0=a。
2. 实数的减法：实数的减法可以转化为加法运算。
对于任意实数a和b，a-b=a+(-b)。
其中，-b表示b的相反数。
3. 实数的乘法：对于任意实数a、b和c，乘法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。
即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)，存在1使得a*1=a。
4. 实数的除法：实数的除法可以转化为乘法运算。
对于任意实数a和b，a/b=a*(1/b)。
其中，1/b表示b的倒数。
5. 实数的幂运算：实数的幂运算满足乘方的基本性质。
对于任意实数a、b和c，满足a^b*c=a^(b+c)和(a^b)^c=a^(b*c)。
6. 实数的开方运算：实数的开方运算满足一些基本规则和性质。
例如，对于非负实数a和b，满足(b^2=a)或(sqrt(a))^2=a。
三、实数的运算法则1. 实数的加法法则：实数的加法满足对称性、传递性和存在唯一性。
九年级数学上册（人教版）教案第一章：实数1.1 有理数教学目标：理解有理数的定义及其分类。
掌握有理数的运算方法，包括加法、减法、乘法和除法。
教学内容：有理数的定义及分类。
有理数的运算方法及运算律。
教学步骤：1. 引入有理数的概念，解释有理数的定义。
2. 讲解有理数的分类，包括整数、分数和零。
3. 演示有理数的加法、减法、乘法和除法运算。
4. 引导学生进行练习，巩固运算方法。
1.2 实数教学目标：理解实数的定义及其与有理数的关系。
掌握实数的运算方法，包括加法、减法、乘法和除法。
教学内容：实数的定义及与有理数的关系。
实数的运算方法及运算律。
教学步骤：1. 引入实数的概念，解释实数的定义。
2. 讲解实数与有理数的关系，包括实数是将有理数扩展到全体实数。
3. 演示实数的加法、减法、乘法和除法运算。
4. 引导学生进行练习，巩固运算方法。
第二章：方程2.1 线性方程教学目标：理解线性方程的定义及其解的意义。
掌握解一元一次方程的方法。
教学内容：线性方程的定义及解的意义。
一元一次方程的解法。
教学步骤：1. 引入线性方程的概念，解释线性方程的定义。
2. 讲解线性方程的解的意义，即满足方程的值。
3. 演示解一元一次方程的方法，包括代入法和消元法。
4. 引导学生进行练习，巩固解方程的方法。
2.2 不等式教学目标：理解不等式的定义及其解集的意义。
掌握解一元一次不等式的方法。
教学内容：不等式的定义及解集的意义。
一元一次不等式的解法。
教学步骤：1. 引入不等式的概念，解释不等式的定义。
2. 讲解不等式的解集的意义，即满足不等式的值的集合。
3. 演示解一元一次不等式的方法，包括代入法和消元法。
4. 引导学生进行练习，巩固解不等式的方法。
第三章：函数3.1 一次函数教学目标：理解一次函数的定义及其图像的特点。
掌握一次函数的解析式及图像的绘制方法。
教学内容：一次函数的定义及图像的特点。
一次函数的解析式及图像的绘制方法。
教学步骤：1. 引入一次函数的概念，解释一次函数的定义。
中考必考实数知识点总结一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
有理数是指可以用分数表示的数，而无理数则是指不能用分数表示的数。
这两种数的集合统称为实数集。
在实数集中，有理数和无理数的性质有所不同。
有理数具有如下性质：有理数的加法、减法、乘法、除法运算封闭；有理数的加法和乘法满足交换律、结合律、分配律；有理数有加法和乘法单位元；有理数的加法有逆元。
而无理数则没有这些性质，它们通常以无限循环小数或者无限不循环小数的形式表示，例如π、√2等。
实数集是一个非常大的集合，其中包含了所有的数，因此实数的概念是数学中的一个基本概念。
二、实数的性质1. 实数的大小比较实数有着天然的大小比较关系，可以通过大小比较运算符来进行比较。
实数的大小比较主要是通过大小关系符号（大于、小于、大于等于、小于等于）来进行。
对于任意的实数a和b，有以下性质：（1）反身性：a ≥ a，a ≤ a（2）反对称性：如果a ≤ b且b ≤ a，则a = b（3）传递性：如果a ≤ b且b ≤ c，则a ≤ c这些性质在实数的大小比较中起着重要的作用，为我们提供了判断实数大小关系的依据。
2. 实数的运算性质实数的运算性质主要包括加法、减法、乘法、除法的性质。
实数的加法和乘法满足交换律、结合律、分配律，实数的除法有着特殊的性质。
（1）加法交换律：对于任意的实数a和b，有a + b = b + a（2）加法结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)（3）乘法交换律：对于任意的实数a和b，有a * b = b * a（4）乘法结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)（5）分配律：对于任意的实数a、b和c，有a*(b+c) = a*b + a*c（6）实数的除法：对于任意的实数a和b，如果b≠0，则存在唯一的实数c，使得a = b * c实数的运算性质是我们进行实数运算的基础，了解这些性质有利于我们掌握实数的运算规则，从而正确进行实数的运算。
初三数学第一轮总复习第一讲实数的概念及实数的运算（一）：【知识梳理】 1。
实数的有关概念（1)有理数: 和 统称为有理数. (2）无理数： 小数叫做无理数。
（3)实数： 和 统称为实数。
（4）实数和 的点一一对应。
（5） 实数的分类①按定义分: ②按符号分：实数()()0()()()()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩； 实数()()()0()()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩（6）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数,则 。
（7）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。
（8）倒数：乘积 的两个数互为倒数.若a(a≠0）的倒数为1a. .(9）绝对值:=a2。
科学记数法、近似数和有效数字（1)科学记数法：把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a〈10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值.取近似数的原则是“四舍五入”.（3)有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
3.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号 时,先算 里面，再算括号外。
同级运算从左到右,按顺序进行. 4。
实数的大小比较5.零指数幂和负指数幂:当a ≠0时a 0=____;当a ≠0时且n 为整数时，a —n=（a1)n6.三个重要的非负数: 二:【经典考题剖析】 例1 ①a 的相反数是—15,则a 是_______.(3－2）的倒数是_______,相反数是______． ②．数a,b 在数轴上的位置如图所示: 化简2()()||a ab a b a b -+--。
a b③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________．例2 下列实数227、sin60°、3π、(）0、3.14159、 —、）-2（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例3 计算：（1）(3-1）0+113-⎛⎫ ⎪⎝⎭-0.1259×89-)5(-2； (2） （1) 30cos )31(31-+--（304sin 45(3)4︒+-π+- (4)120114520104-⎛⎫-++︒+ ⎪⎝⎭三：【课后训练】1、一个数的倒数的相反数是1错误!,则这个数是（） A ．65 B ．错误! C ．—错误! D ．－错误!2、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A ．非负数 B ．非正数 C ．负数 D ．正数3. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为( ） A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人4。
2017届中考数学第一单元数与式第1讲实数知识梳理（冀教版）第一部分教材知识梳理系统复习第一单元数与式第1讲实数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例 1.实数（1）按定义分（2）按正、负性分正有理数有理数 0 有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数 0实数正无理数负实数无理数无限不循环小数负无理数（1）0既不属于正数，也不属于负数.（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°.（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数 a+b=0 （3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.例：3的相反数是-3，-1的相反数是绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b) -a(a＜0). b-a(a＜b)（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-倒数（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a 的倒数为1/ a(a≠0)（2）代数意义：ab=1a,b互为倒数例：-2的倒数是-1/2 ；倒数等于它本身的数有±1.知识点三：科学记数法、近似数6.科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）例：21000用科学记数法表示为 2. 1×104；19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示为7×10-近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例：精确到百分位是3. 14；精确到0.001是3.142.知识点四：实数的大小比较实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.例：把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.知识点五：实数的运算常见运算乘方几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）例：（ 1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;3-1=_1/3_;π0=__1__;(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.[失分点警示：类似“的算术平方根”计算错误 . 例：相互对比填一填：16的算术平方根是 4___,的算术平方根是___2__.零次幂a0=_1_(a≠0)负指数幂 a-p=1/ap（a≠0，p为整数）平方根、算术平方根若x2=a（a≥0）,则x= .其中是算术平方根.立方根若x3=a,则x= .10.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化。
第六周 无理数与实数，二次根式的意义及乘除计算本节目标：1、 明确二次根式具有双非负性。
2、 会逆用公式(•、a)2= a (a _ 0)将多项式在实数范围内进行因式分解。
—2.. i a (a _0)3、 弄懂二次根式的性质： .a = a =(av0)4、 能熟练进行二次根式乘除法、加减法计算。
5、 会进行代入求值的计算。
6、 二次根式的概念及性质 实数部分知识点：1、 实数和数轴上的点是 对应的，数轴上每一个点都表示唯 个实数。
2、 实数集的分类还可以这样分:正分数 i 负分数3、比较有理数的大小(1 )利用数轴，右边 > 左边(2) 正实数 >负实数，两个负数比较，绝对值大的反而小。
(3) 两个无理数比较大小，通常先求出近似值，再比较大小。
(4) 其他常用方法：作差法、作商法、平方法板块一：无理数与实数【例1】-,0,0.5,―工，—2 ,，6,0.1010010001……，-，这些数中，有理数有 ______________________3 7____________________ ，无理数有 _______________________________________________ 。
【例2】求下列各式中的x(1) x =j 2 (2)X —1=2 (3) 2x+5=7【例4】求满足下列等式的字母的取值范围有理数 实数*无理数正有理数*0 负有理数 正无理数 负无理数，有限小数或无限循环小》无限不循环小数有理数、负整数 无理数」'正无理数负无理数(1) x =x(2) x = —x (3) 2a —73=石―2a【例5】比较大小(1) 3-3与.、2 ( 2) 一-10 与一二(3) 2.3 与3...2 (4) ..、6 •2与..3 • ... 5 (平方法)(5) ..2-a与32a-5 (正负法) (6) 2^- 7与、一7 -3 (作差法)(7) 3 3与•、2 (根指数统一)【例6】,5的整数部分是 ________ ，小数部分是___________ 。
初三数学第一轮总复习第一讲实数的概念及实数的运算（一）：【知识梳理】 1. 实数的有关概念(1) 有理数 : （ 2）无理数：（ 3）实数：（ 4）实数和和 统称为有理数。
小数叫做无理数。
和 统称为实数。
的点一一对应。
（ 5） 实数的分类①按定义分:②按符号分 :( )(( )))实数 () 0；实数(( ) 0(() (( )))))((（ 6）相反数：只有不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数，则 。
（ 7）数轴：规定了 、 和的直线叫做数轴。
（ 8）倒数：乘积的两个数互为倒数。
若 a （a ≠0）的倒数为 1.。
a（ 9）绝对值：a2. 科学记数法、近似数和有效数字（ 1）科学记数法：把一个数记成± a ×10 n 的形式（其中 1≤a<10， n 是整数） （ 2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是“四舍五入”。
（ 3）有效数字：从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
3. 实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、，然后，最后．有括号先算里面，再算括号外。
同级运算从左到右，按顺序进行。
时，4. 实数的大小比较5. 零指数幂和负指数幂 : 当 a ≠0 时 a 0=____; 当 a ≠ 0 时且 n 为整数时 ,a -n= ( 1)na6. 三个重要的非负数： 二：【经典考题剖析】例 1 1 , 则 a 是 _______。
(3 － 2) 的倒数是 _______ ，相反数是 ______．① a 的相反数是 -5(a b)2a(ab)a0b②．数 a ， b 在数轴上的位置如图所示 : 化简.| a b |例 2 下列 数227、sin60 °、 、（2 ）0、3.14159 、 - 39、（-7 ）-2、8 中无理数有 （）3个 A ．1 B ． 2 C ． 3D ．41 11例 3 算： (1)(3 -1)-0.125 99( 5)2（ 1）1+3 ×8 -; (2)3 ( )cos3031 1（ 3） 8 4sin 45(3 )04（ 4） 122 sin 45 201004三：【 后 】11、一个数的倒数的相反数是15 , 个数是（）65 65A ．5B ． 6C ．- 5D ．－ 62、一个数的 等于 个数的相反数， 的数是（）A ．非 数B ．非正数C ． 数D ．正数3. 有一人患了流感， 两 染后共有100 人患了流感，那么每 染中，平均一个人 染的人数（ ）A ． 8 人B ． 9 人C ． 10 人D ． 11 人4. 若 a 的相反数是最大的 整数，b 是 最小的数，a ＋ b=___________．5. 已知x yy x ，x34, y 3 ，x y6. 光年是天文学中的距离 位， 1 光年大 是 9500000000000km ，用科学 数法表示(保留三个有效数字 )7. .已知 (x-2) 2+|y-4|+z 6 =0，求 xyz 的8. 回答下列 ：①数 上表示 2 和 5的两点之 的距离是 _____，数 上表示－ 2 和－ 5 的两点之 的距离是 ____，数上表示 1 和－3 的两点之 的距离是 ______.②数 上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之 的距离是 ________，若 |AB|=2 ，那么 x=_________ ． ③当代数式 |x+1|+|x－2| 取最小 ，相 的x 的取 范 是 _________.9．已知： 2+ 2=22× 2 ， 3+ 3=32× 3 ，4+4424 ,3 3 88151555 525 ，⋯，若10+ b=102× b符合前面式子的 律，a+b=________．2424aa10．近似数 0.030 万精确到 位，有 个有效数字，用科学 数法表示万11. 下列 法中，正确的是（）A ． |m| 与— m 互 相反数 B． 2 1与 2 1互 倒数C ． 1998．8 用科学 数法表示1． 9988×102D ． 0．4949 用四舍五入法保留两个有效数字的近似0． 502212．在2 、sin 45、0、 9、0.2020020002）、 、 七个数中，无理数有（273A ．1 个；B ． 2 个；C ． 3 个；D ．4 个13 下列命 中正确的是（）A ．有理数是有限小数B ．数 上的点与有理数一一C ．无限小数是无理数D ．数 上的点与 数一一13 当 0 ＜ x ＜ 1 ， x2, x,1的大小 序是（）xA ． 1＜ x ＜ x2 ； B ． 1＜ x 2 ＜ x ； C ． x 2 ＜ x＜ 1；D ． x ＜ x2＜1xxxx14. 定一种新的运算“※” ： a ※ b=a b ，如 3※2=32 =9，1※ 3 （）2A ． 1；B ． 8；C ． 1 ； D ．386215. 算(1) -32÷( －3) 2 +| －1| ×( － 6)+49 , （ 2) 3(2- 3 )× 38 -(- 2 ) 0+tan60 0- │ 3 -2 │6 272 10 01)2 2111 2 1 5（ 3）2（ 4）│ -12 │÷（ -+ --）( )(sin 45-3tan30(2001tan 30 )(2)16 2 12 34 6316.已知 x 、y是 数，3x 4 y 2 6y 9 0, 若 axy 3xy, 求实数 a 的值 .17. 已知 a 与 b 互 相反数， c 、d 互 倒数， x 的 是 2 的相反数的 倒数， y 不能作除数，求2(a b)20022(cd)20011y 2000 的 ．x18. 察下列等式： 9-1=8 ，16-4=12 ，25-9=16 ，36-16=20 ，⋯⋯ 些等式反映出自然数 的某种 律， n 表示自然数，用关于 n 的等式表示出来19*.已知非负数 a ，b ，c 满足条件 a ＋ b ＝7，c － a ＝5，设 S ＝a ＋ b ＋ c 的最大值为 m ，最小值为 n ，则 m －n ＝.20. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a ＞b ，化简 a a b b aab1+111 ggg 1n 表示） ,21 在数学活动中，小明为了求2 2 2 34n的值（结果用 22 2设计如图（ 1）所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求 1+1 11122 232 4ggg n 的值为 _______ ．2 222. 如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上，点 A 、C 的坐标分别为（ 0，1）、（ 2，4）．点 P 从点 A 出发，沿 A →B → C 以每秒 1 个单位的速度运动，到点 C 停止；点 Q 在 x 轴上，横坐标为点 P 的横、纵坐标之和． 抛物线 y1 x 2bx c 经过 A 、C 两点．过点 P 作 x 轴的垂线， 垂足为 M ，交抛物线于点 R ．设点 P 的运动时间为 4t （秒），△ PQR 的面积为 S （平方单位） ．（ 1）求抛物线对应的函数关系式． （ 2 分）（ 2）分别求 t= 1 和 t= 4 时，点 Q 的坐标．（ 3 分）（3）当 0＜ t ≤5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5 分）。
九年级数学上册全册教案第一章：实数1.1 有理数教学目标：理解有理数的定义及其分类。
掌握有理数的加、减、乘、除运算规则。
教学内容：有理数的定义及分类。
有理数的加法、减法、乘法、除法运算规则。
教学步骤：1. 引入有理数的概念，解释有理数的定义及其分类。
2. 通过示例演示有理数的加法、减法、乘法、除法运算规则。
3. 练习题目，巩固所学内容。
教学评估：通过课堂练习题目，检查学生对有理数的理解和运算规则的掌握程度。
1.2 实数教学目标：理解实数的定义及其与有理数的关系。
掌握实数的加、减、乘、除运算规则。
教学内容：实数的定义及其与有理数的关系。
实数的加法、减法、乘法、除法运算规则。
教学步骤：1. 引入实数的概念，解释实数的定义及其与有理数的关系。
2. 通过示例演示实数的加法、减法、乘法、除法运算规则。
3. 练习题目，巩固所学内容。
教学评估：通过课堂练习题目，检查学生对实数的理解和运算规则的掌握程度。
第二章：代数式2.1 代数式的概念教学目标：理解代数式的定义及其表示方法。
掌握代数式的运算规则。
教学内容：代数式的定义及其表示方法。
代数式的加法、减法、乘法、除法运算规则。
教学步骤：1. 引入代数式的概念，解释代数式的定义及其表示方法。
2. 通过示例演示代数式的加法、减法、乘法、除法运算规则。
3. 练习题目，巩固所学内容。
教学评估：通过课堂练习题目，检查学生对代数式的理解和运算规则的掌握程度。
2.2 代数式的化简与求值教学目标：掌握代数式的化简方法。
能够求解代数式的值。
教学内容：代数式的化简方法。
代数式的求值方法。
教学步骤：1. 引入代数式的化简与求值的概念，解释化简与求值的方法。
2. 通过示例演示代数式的化简与求值的方法。
3. 练习题目，巩固所学内容。
教学评估：通过课堂练习题目，检查学生对代数式的化简与求值的掌握程度。
第三章：方程3.1 方程的概念教学目标：理解方程的定义及其表示方法。
掌握方程的解法。
教学内容：方程的定义及其表示方法。
1.有理数的分类①'正整数 整数零负整数分数正分数负分数正有理数正整数正分数②有理数零负有理数负整数负分数l 数轴y2.数轴y＜相反数数轴的画法数轴上的点与有理数的关系l 绝对值得几何意义3.绝对值Y J 绝对值的代数意义一个数与它的绝对值互化［同号两数相加有理数加法法则4.有理数的加法异号两数相加 一个数同零相加有理数加法运算律交换律结合律 第二讲、数与运算之实数有理数—、同步知识梳理知识点1:有理数:5.有理数的减法：a — b = a + (—b)'有理数乘法法则6.有理数的乘法多个有理数相乘 有理数乘法运算律7. 有理数的除法倒数的概念 有理数的除法法则 有理数的除法运算8.有理数的乘方乘方的概念中 幕的符号法则J概念9.有理数的混合运算顺序技巧与应注意的问题'利用科学计数法表示数据10.科学计数法利用科学计数法求原数用科学计数法表示实际应用问题知识点2:实数的知识结构图二、同步题型分析题型1：有理数的分类例1：把下列各数填在相应的集合内：+25，—13, 0.14, 0 t —，—1.6 »—.26(1)负分数集合：{ …};(2)整数集合：{ …};(3)非负数集合：{ …};(4)非正整数集合：{ …};(5)有理数集合：{ …}.【分析】把具有某种性质的数放在一起组成一个数集，根据有理数的分类把数填进去即可.【解析J (1)负分数集合-1.6.…};2(2)整数集合：{+25, -13, 0,…);⑶非负数集合：{+25, 0.14, 0, 2,…};6(4)非正整数集合：{一13, 0.14, 0，一?，-16, |,…};(5)有理数集合：｛+25, —13, 0.14 , 0 , —， —1.6,—，…).2 6题型2：数轴与相反数例1：在数轴上，己知点A 表示的数为-2,点B 也是数轴上的点，且AB 的长是5个单位长度，则 点B 表示的数是多少？【分析】点A 左右两侧各存在一点(B” B2).使得到A 的距离为5个单位长度，根据它们到原点距离, 便可得到B 在两种情况下代表的数值，如图-10 -8 一6 —4 -2 02 4【解析】如图，使AB 的长是5个单位长度的点有两个，分别为和B2,且知OBi 和OB?的R 度分 别是7个单位长度和3个单位长度，因此点B 表示的数是-7或3 . 例2：已知3尤-1与-5互为相反数，求尤的值.【解析】因为—5的相反数是5,又一5与3x —1互为相反数，所以3工一1 =5.解得工=2.题型3：绝对值例1:若。
湖北省黄冈地区中考数学专题辅导1 有理数与实数【课标要求】1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。
2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。
3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。
4、理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
5、能运用有理数的运算解决简单的问题。
6、能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。
7、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
8、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
9、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
10、能用有理数估计一个无理数的大致范围。
11、了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。
12、了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)。
【知识梳理】1、整体感知（有理数、无理数、实数之间的关系）2、数轴的三要素原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，数轴上的点与实数是一一对应的，数轴是数形结合的体现，是中学数学中数与形的第一次碰撞，数轴在解题中的用途很广，尤其是利用数轴上的点比较实数的大小，在数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
3、相反数、绝对值、倒数的概念的区别a的相反数是-ａ，这里ａ表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0；0的相反数是它本身。
如果a、b互为相反数，则a+b=0，反之也成立。
a （a ≠0）的倒数是a1，0没有倒数，倒数等于本身的数是1和-１。
如果a 、b 互为倒数，则ab=1，反之也成立。
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离，记作|a|，当a ≥0时,|a|=a,当a ＜0时,|a|=-a.4、实数的运算法则及运算率在实数范围内可以进行加、减、乘、除、乘方和开方的运算，其中零不能做除数，负数不能开方。
有理数的运算律和一切运算性质一样在实数运算中同样适用。
特别地，a 0=1（a ≠0），a -1=a1（a ≠0，且n 是正整数）。
5、平方根、算术平方根和立方根 正数a 的平方根有两个。
即±a ，它们互为相反数。
0的平方根是0；负数没有平方根。
算术平方根是指一个数正的平方根，0的算术平方根是它的本身。
立方根：一个正数只有一个正的立方根，而负数有一个负的立方根，立方根等于自身的数是0和±1。
6、二次根式及运算形如a ≥0（a ≥0）的式子称为二次根式，其加减法与多项式的加减法类似，其乘法运算有以下公式：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0），b a ba （a ≥0，b ＞0）。
三类形式的非负数：即a ≥0，|a|≥0，a ≥0（a ≥0）。
非负数有如下的性质：若干个非负数的和仍是非负数；非负数有最小值0；若干个非负数的和为0 ，则每个非负数均为0。
7、近似数、有效数字和科学记数法一般的，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
一个近似数，从左边第一个非零数字起，直到精确到的数字止，所有数字都叫做这个近似数的有效数字。
把一个数写成a ×10 n 的形式（其中1≤a ＜10，n 是整数），这种记数方法叫做科学记数法。
【热点解析】实数是初中数学的基础知识，也是其他学科的重要工具。
因此在近年来各地的中考试题中一直占有重要的地位。
这部分试题大多数十分重视基础知识的考察，试题的呈现形式多以贴近生活实际的形式，试题的难度不大。
多数来源于教材的习题或稍加变通。
题型主要是填空题、选择题也有计算题，但是，计算题的难度不大，没有繁杂的计算。
近几年来，部分地区还设计了开放性探索题。
这部分的试题量一般占试题总量的2%~6%，分值占总分的3%~5%。
例1：（2005年吉林省）某食品包装袋上标有“净含量385克±5克”，这包食品的合格净含量范围是 380 克~390克。
分析：能否正确解答此题，关键是对“净含量”的含义的理解。
简解：这包食品的合格净含量范围是380 克~390克。
点评：本题以现实生活中学生非常熟悉的事实题材，不但考察学生对正数、负数以及对具有相反意义的量的理解和掌握，而且考察学生对负数的产生、发展与应用的认识与理解。
例2：（2005年江西省）如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合。
这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。
（1）圆周上数字a 与数轴上的数5对应，则a ＝_________；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_________（用含n 的代数式表示）。
分析：本题主要考察阅读理解和规律探索以及归纳概括的能力。
简解：（1）圆周上数字a 与数轴上的数5对应，则a ＝2；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是3n+1。
点评：本题灵活巧妙的将有理数与数轴的一一对应关系自然贴切与数字的规律探索问题有机的结合在一起。
充分的体现了数形结合的思想。
本题的命题方式新颖、独特，富有创新性和探索性。
例3：（2004年海口）在下面等式的□内填数，○内填运算符号，使等号成立（两个算式中的运算符号不能相同）。
□ ○ □=-6； □ ○ □=-6。
分析：由于题中条件是开放的，可以先在一个□内任填一个数，在再○内任填一个运算符号，另一个□内的数就可以求出了。
简解：6等。
点评：本题灵活考查实数的运算知识，这种开放性题型已成为形课标下中考命题的一种时尚。
例4：已知a ＞0，且a 2=68，你估计a 的值在整数 和 之间。
分析：因为a 2=68，且a ＞0，所以a=68，而64＜68＜81，所以8＜68＜9。
简解：8与9。
点评：本题考查了用有理数估计无理数大小的知识，估算是新课标要求学生必须具备的一种能力。
【实战演练】1、（2005年盐成市）—3的绝对值是( )A ．3B ．3C ．1/3D ．—1/32、（2005年日照市）2m 、m 、1—m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么m 的取值范围是 （ ）A ．m ＞0B ．m ＞21C ．m ＜0D ．0＜m ＜21 3、（2005年南京市）9 的算术平方根是（ ）A ．—3B ．3C ．±3D ．814、（2005年日照市）一粒废旧纽扣电池可以使600吨水受到污染.某校团委四年来共回收废旧纽扣电池3500粒.若这3500粒废旧纽扣电池可以使m 吨水受到污染,用科学记数法表示m 为 （ ）A 、2.1×105B 、2.1×10-5mC 、2.1×106mD 、2.1×10-6m5、（2005年南京市）√10在两个连续整数a 和b 之间，a ＜√10＜b ，那么a ，b 的值分别是 。
6、（2005年日照市）．已知下列等式：① 13＝12；② 13＋23＝32；③ 13＋23＋33＝62；④ 13＋23＋33＋43＝102 ； …… ……由此规律知，第⑤个等式是 ．7、（2005年兰州省）观察下列等式（等式中的“！”是一种数学运算符号），１！＝１，２！＝２×１，３！＝３×２×１，４！＝４×３×２×１，…计算：＝＿＿＿＿＿8、（2005年济宁）一个班共有44人，全部报名参加了学校组织的兴趣活动小组，参加数学兴趣活动小组的有38人，参加物理兴趣活动小组的有35人，则既参加数学兴趣活动小组又参加物理 活动兴趣小组的有 人.9、(2005年深圳省）在实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-b|-2a 的结果是A 、2a-bB 、bC 、-bD 、-2a+b10、（2005年浙江）据了解，火车票价按“总里程数实际乘车里程数全程参考价⨯”的方法来确定．已知A 站至H 站总里程数为1 500千米，全程参考价为180元．下表是沿途各站至H 站的里例如，要确定从B 站至E 站火车票价，其票价为()8736.8715004021130180≈=-⨯(元)． (1) 求A 站至F 站的火车票价(结果精确到1元)；(2) 旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价是66元，马上说下一站就到了．请问王大妈是在哪一站下车的？（要求写出解答过程）．【方法导引】b O a中考首先考察基础知识和基本技能。
因此，在复习时一定要从基础知识入手，理清知识网络，不要某些复习资料中的难题、偏题和怪题。
要以教材中的习题、练习题为素材和源本结合现实生活进行适当的变形和延伸，从而融会贯通地掌握基础知识。
实数部分的概念比较多,易混易错，在复习时注意掌握和理解概念的性质；实数的计算是最基本的，也是最容易被忽视的问题,在复习时要特别注意计算的正确性，尤其是零指数幂、负整数指数幂的运算；注意对较大的数和较小的数取近似值，以及用科学技术法表示的理解和运用；加强对绝对值、非负数等题型的强化训练；二次根式的运算要注意法则和公式成立的条件，常与有理数的运算、三角函数知识综合在一起以计算题形式在中考中出现。
新课标下的中考题材特别关注生产、生活，从而常会先给出一定的情景，要求考生从实际问题中抽象出关于有理数运算问题，考察学生综合运用数学知识的能力。
