【四清导航】2016七年级数学下册 第6章 实数 6.2 实数

第六章实数一、课标导航二、核心纲要1.算术平方根(1)定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.(2)表示：a的算术平方根用符号表示为 ,读作“根号a”, a 叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0.注：算术平方根具有双重非负性，即≥0,a≥0.2.平方根(1)定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根，也就是说，若 ,则x叫做a的平方根.(2)表示：一个非负数a的平方根用符号表示为“”.(3)性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.3.开平方是指求一个非负数的平方根的运算注：开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根，4.平方根的相关结论(1)当被开方数扩大(或缩小) 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小) n 倍( n≥0 ).(2)平方根和算术平方根与被开方数之问的关系：①；②(3)若一个非负数a介于另外两个非负数、之间，它的算术平方根介于、之间,即当时，则利用这个结论我们可以估算一个非负数的算术平方根的大致范围.5.立方根(1)定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根，也就是说，若则x叫做a的立方根.(2)表示：一个数a的立方根用符号表示为“”,其中“3”叫做根指数，不能省略.读作“三次根号a”.(3)性质：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；0的立方根为0.6.开立方是指求一个数的立方根的运算注：开立方与立方是互逆运算,可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根.7.立方根的相关结论(1)当被开方数扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小) .(2)(3)若一个数a介于另外两个数、之间，它的立方根介于和之间，即当时，则,利用这个结论我们可以估算一个数的立方根的大致范围.8.实数(1)无理数：无限不循环小数叫做无理数.(2)有理数和无理数统称为实数.(3)实数的分类实数实数(4)实数与数轴上的点是一一对应的.本节重点讲解：一个对应(实数与数轴上的点一一对应), 两种表示，两个运算，四个概念(平方根、算术平方根、立方根和实数).三、全能突破基础演练1. 下列说法正确的是（）A.2是的算术平方根B.若有平方根，则a一定是负数C.的算术平方根是aD.16的平方根是2. 下列各式中，正确的是（）B.A.＝4C. D.3.若一个正数的算术平方根是A，则比这个数大3的算术平方根是（）A. B.C. D.4. 有下列说法：(1)无理数是开方开不尽的数；(2)无理数是无限不循环小数；(3)带根号的数是无理数；(4)实数包括正实数和负实数；(5)实数和数轴上的点是一一对应的.其中说法正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.(1)0的算术平方根是________，- 是________的一个平方根，的平方根是________。

一、选择题1．若227(7)0x y z -+++-=，则x y z -+的平方根为（ ）A ．±2B ．4C ．2D ．±4 2．如图，在数轴上表示1,3的对应点分别为A B 、，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数为（ ）A ．31-B ．13-C ．23-D ．32-3．已知n 是正整数，并且n -1＜326+＜n ，则n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 4．在下列各数中是无理数的有（ ）0.111-，4，5，3π，3.1415926，2.010101（相邻两个0之间有1个1），76.01020304050607，32．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5．和数轴上的点一一对应的数是（ ）A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数6．我们定义新运算如下：当m n ≥时，m 22n m n =-；当m n <时，m 3n m n =-．若5x =，则(3-)(6x -)x 的值为（ ）A ．-27B ．-47C ．-58D ．-687．已知无理数m 55π-的整数部分相同，则m 为（ ）A 5B 10C 51D ．5π-8．30.31，3π，27-912-38 1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．下列各数中是无理数的是（ ）A ．227B ．1.2012001C ．2πD 10．下列计算正确的是（ ）A ．21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()239-=C 2=±D ．()515-=- 11．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2π不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个二、填空题12．已知31a +的算数平方根是4，421c b +-的立方根是3，c 22a b c +-的平方根．13．已知2x +1的算术平方根是0=4，z 是﹣27的立方根，求2x +y +z 的平方根．14．解方程：（1）2810x -=；（2）38(1)27x +=． 15．计算题．（1）12(7)6(22)-+----（2）2122⨯（33(2)(4)-⨯-（4）13248243⎛⎫-⨯-+-⎪⎝⎭ 16．计算：（1）2019(1)|2|-（2）[（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）（x +2y ）﹣2x （2x ﹣y ）]÷2x17．若2x =，29y =，且0xy <，则x y -等于______．18．计算：2(3)216--⨯．19．求下列各式中的x ：（1）2940x -=；（2）3(1)8x -=20．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ． （1）求11m m ++-的值；（2）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有2c d +4d +求23c d -的平方根．21．比较大小：312___________12 三、解答题22．计算下列各题（1）38-163﹣2；（2）35﹣0.04（结果保留2位有效数字）． 23．对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”． （1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（2332x -35x +12x -的值．24．计算：（1）(23)(41)----；（2）1111115()13()3()555-⨯-+⨯--⨯-； （3）23(2)|21|27-+； （4）311()()(2)424-⨯-÷-．25．“*”是规定的一种运算法则：a*b=a2－3b．（1）求2*5的值为；（2）若（-3）*x=6，求x的值；一、选择题1．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有2,3这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②2．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简33a b a b ++-+的结果为（ ）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b3．下列命题中，①81的平方根是9；②16的平方根是±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4；⑤5，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列各数中比3-小的数是( )A ．2-B ．1-C ．12-D ．05．如图，数轴上表示实数5的点可能是（ ）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点S6．关于x 的多项式32711159x mx x --+与多项式22257x nx --相加后不含x 的二次和一次项，则()mn n -+平方根为（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．3±7．30.31，3π，27-912-38 1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 8．在3223.14,0.4,0.001,23,, 5.12112111227π-+--……中，无理数的个数为 （ ）A ．5B ．2C ．3D ．49．下列有关叙述错误的是（ ）A ．2是正数B ．2是2的平方根C ．122<<D ．22是分数 10．估计30的值在哪两个整数之间（ ）A ．5和6B ．6和7C ．7和8D ．8和911．若将2-，7，11分别表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）A ．2-B ．7C ．11D ．无法确定二、填空题12．计算：（1）32125(2)(10)4----⨯- （2）2325(24)27-⨯--÷13．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A 表示的数为________； （2）迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 35-的点，并比较它们的大小．14．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324）（1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．15．若一个正数的平方根是3m +和215m -，n 的立方根是2-，则2n m -+的算术平方根是______．16．计算：（1）﹣12327-﹣（﹣2）9（2331）＋32|17．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[385-)= 8-；②[x ) –x 有最大值是0；③[x )–x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )<x ，其中正确的是__________ （填编号）．1825______；34_____，1-12π的绝对值是 __． 19．一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+，则这个正数是______．20．设a ，b 是两个连续的整数，8若8a b <<，是，则a b ＝____． 21．“⊗”定义新运算：对于任意的有理数a 和b ，都有21a b b ⊗=+．例如：2955126⊗=+=．当m 为有理数时，则(3)m m ⊗⊗等于________．三、解答题22．已知(253|530x y -++-=．（1）求x ，y 的值；（2）求xy 的算术平方根．23．求下列各式中的x ：（1）29(1)25x -=（2）3548x += 24．先化简，再求值：()222233a ab a ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，其中|2|a +25．（1）解方程组；25342x y x y -=⎧⎨+=⎩（2）解不等式组：352(2)22x x x x -≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩①②，并写出它的所有整数解． （3）解方程：2(x 2)100-=（4）计算：20172(1)|7|(----一、选择题1．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1；③任何实数都有立方根；④16的平方根是4±，其中正确的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．下列各数中比3-小的数是( )A ．2-B ．1-C ．12-D ．03．若23a =-，2b =--，()332c =--，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>4．在0.010010001，3.14，π，10，1.51，27中无理数的个数是（ ）． A ．5个 B ．4个 C ．3 D ．2个5．下列说法正确的是（ ）A ．2的平方根是2B ．（﹣4）2的算术平方根是4C ．近似数35万精确到个位D ．无理数21的整数部分是56．下列各式中,正确的是( )A ．16=±4B ．±16=4C ．3273-=-D ．2(4)4-=- 7．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3B 7C 11D 138．下列实数31,7π-，3.1438,27,0.2-，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个9．64的平方根为（ ） A ．8 B ．8- C ．22 D ．22± 10．下列各数中是无理数的是（ ）A ．227B ．1.2012001C ．2πD ．8111．估计511-的值在（ ）A ．5~6之间B ．6~7之间C ．7~8之间D ．8~9之间二、填空题12．求出x 的值：()23227x +=13．初一年级某同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：21a b a ab ⊕=--．求()23-⊕的值． 14．计算：（1）238127(5)÷---；（2）03(0)8|32|π--+-（3）解方程：4x 2﹣9＝0．15．若一个正数的平方根是3m +和215m -，n 的立方根是2-，则2n m -+的算术平方根是______．16．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A 点，则A 点表示的数是_____．若点B 表示 3.14-，则点B 在点A 的______边（填“左”或“右”）．17．已知a 、b 2|3|0a b -++=，则（a +b ）2021的值为________．18．观察下列二次根式的规律求值：12211112S =++2S =3S =… 则20202020S =_______． 19．已知1×1=1；11×11=121；111×111=12321；1111×1111=1234321，则111111×111111=_____． 20．已知1a -的平方根是2±，则a 的值为_______．21的平方根是 _______ ；38a 的立方根是 __________．三、解答题22．进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333= ，（746)= ．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．23．求下列各式中的x 的值（1）21(1)82x +=；（2）3(21)270x -+= 24．计算 （1）22234x +=；（2）38130125x +=（3）2|12|(2)---； （4）（x ＋2）2＝25．25．把下列各数的序号填入相应的括号内①-3，②π，，④-3.14，，⑥0，⑦227，⑧-1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）．整数集合{ …}，负分数集合{ …}，正有理数集合{ …}，无理数集合{ …}．。

七年级下册数学知识点归纳：第六章实数人教版七年级下册数学知识点归纳第六章实数6.1 平方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0）a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。