高中数学函数定义域值域求法总结

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。

③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。

例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。

（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。

定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。

在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。

下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。

一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。

2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。

3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。

4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。

5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。

6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。

7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。

二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。

2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。

例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。

3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。

4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。

5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。

求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。

(形如：2()x f x x=) 2.抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。

总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围；（2）在同一个题中x 不是同一个x ；（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。

（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。

例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。

3.复合函数定义域复合函数形如：(())y f g x =,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。

例2：()(2,3),()(1)(2),f xg x f x f x-=++-若函数的定义域为求g(x)的定义域。

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。

由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。

（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。

二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。

在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。

本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。

一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。

例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。

2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。

一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。

例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。

3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。

例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。

例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。

5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。

因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。

例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。

二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。

例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。

函数定义域值域求法总结精彩GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

常用的求值域的方法：（1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax 第一页∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

2x2x 15例 1 求函数 y的定义域。

| x 3| 8解：要使函数有意义，则必须满足2x 2x 15 0① | x 3 | 8 0②由①解得 x 3或 x 5。

③由②解得x5或 x 11 ④ ③和④求交集得 x 3且 x 11或 x>5。

故所求函数的定义域为 {x | x 3且x 11} {x | x 5} 。

例 2 求函数1ysin x的定义域。

216 x解：要使函数有意义，则必须满足sin x0 ① 216 x② 由①解得 2kx2k ，kZ③ 由②解得 4 x 4 ④由③和④求公共部分，得4 x 或0 x 故函数的定义域为 ( 4， ] (0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知 f (x) 的定义域，求 f[g(x )] 的定义域。

（2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a ，b ］求 f [g(x)] 的定义域是解 a g(x) b ，即为所求的定义域。

2 例3 已知 f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f ( x 1)的定义域。

2 解：令 2 x 1 2 2 ，得 1 x 32，即 0x3，因此 0 | x |3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是 { x | 3 x 3} 。

（2）已知 f [g( x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域。

其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a ， b ］，求 f(x) 定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求 f(x) 的定义域。

例 4 已知 f (2x 1) 的定义域为［1，2］，求 f(x) 的定义域。

函数定义域与值域求法总结一：函数定义域的求法 1.求函数定义域的一般原则是：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③0x y =要求0≠x .（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2.抽象函数的定义域（1）已知)(x f 的定义域为A ，求())(x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围.（2）已知())(x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知())(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的范围，此范围就是)(x f 的定义域.例1.求出下列函数的定义域（1）32+=x y ； （2）21)(+=x x f ； （3）xx f -=21)(；（4）x x y -+-=11； （5）11)(2-+=x x x f ； （6）02)13(13-+-=x xx y .例2.抽象函数求定义域（1）设)(x f y =的定义域是[0,2]，求)3(+x f 的定义域； （2）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)(x f 的定义域； （3）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)2(-x f 的定义域.巩固练习：1.求下列函数的定义域： (1)=)(x f 21+x ； (2)=)(x f 23+x ； (3)=)(x f xx -++311.2.若函数)(x f 的定义域为[]2,1-，则函数)23(x f -的定义域为________．二：函数值域的求法考查角度1 配方法求值域（此种方法适用于求二次函数或可化为二次函数的函数的值域） 【例1】当1≤x ≤2时，求函数y ＝﹣x 2﹣x +1值域．【练1.1】已知二次函数245y x x =-+，分别求下列条件下函数的值域：（1）[1x ∈-，0]；（2）(1,3)x ∈；（3）(4x ∈，5]．【练1.2】已知函数2()41f x x x =-+，求函数[()]y f f x =的值域．【练1.3】求函数222()21f x a x a x =-+在[1-，2]的值域．【考查角度2 分离常数法求值域】【例2】（1）求函数2331x y x -=-+的值域．（2）已知函数1()2x f x x +=+，求()f x 的值域．【练2.1】（1）求下列函数的值域：)1(132≥++=x x x y .（2）求函数321xy x -=-的值域．【练2.2】（1）求下列函数的值域：2132x y x -=+． （2）求函数225941x x y x ++=-的值域．【练2.3】（1）求函数22223x xy x x -=-+的值域．（2）求函数2221()3x f x x -=+的值域．考查角度3 换元法求值域【例3】求2y x =【练3.1】求下列函数的值域．（1）22y x =-（2）5y x =+（3）y x =+．【练3.2】求下列函数的值域．（1）22221(2)x x y x x -+=>（2）2854y x x =-+【练3.3】求函数()f x 的值域．考查角度4 判别式法求值域【例4】利用判别式求函数231xy x x =-+的值域．【练4.1】已知3x >，求函数22173x y x -=-的值域．【练4.2】求函数的值域：22221x x y x x -+=++．考查角度5 列分段函数求值域【例4】求函数的值域：|1||4|y x x =-++．【练5.1】求函数的值域：|1||21|y x x =+--【练5.2】已知函数224,(03)()6,(20)x x x f x x x x ⎧-=⎨+-⎩()()0230<≤-<≤x x ，求()f x 的值域．【练5.3】求函数24||3(33)y x x x =---<<的值域．【趁热打铁】1. 按要求求下列函数的值域：（1）1y =（观察法）； （2）y =（配方法）；（3）2y x =-+； （4）211x y x -+=-（分离常数法）．（5）28(45)y x x =÷-+（判别式法）．2. 求值域：（1）22566x x y x x -+=+-； （2）2224723x x y x x +-=++；（3）()f x x = （4）()f x =3. 求下列函数的值域：（1）2()231f x x x =--； （2）222()x xf x x x+=-；（3）()f x x =+ （4）()2f x x =（5）221()1x f x x -=+； （6）()5f x x =-+．4. 求下列函数的值域：（1）y x =（2）y x =+（3）4241y x x =++ （4）6y =．5. 求下列函数的值域．（1）31y x =+，[1x ∈，2]； （2）245y x x =--，[1x ∈-，1]；（3）11x y x +=-； （4）2211x y x -=+；（5）2y x =+．6. 求函数|3||5|y x x =+--的值域．7.求下列函数值域(1){}3,2,1,12∈+=x x y ； (2)1-=x y ； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2； (5)y ＝x ＋x ； （6）12++=x x y .三：函数解析式的求法1.待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程（组），求出参数，即可确定函数解析式.2.配凑法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，可从))((x g f 的解析式中配凑出)(x g ，即用)(x g 来表示，再将解析式两边的)(x g 用x 代替即可.3.换元法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，也可令t =)(x g ，再求出)(t f 的解析式，然后用x 代替)(t f 解析式中所有的t 即可.4.方程组法：常见的含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 时，将原式中的x 用x -（或x 1）代替，从而得到另一个同时含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 的关系式，将这两个关系式联立，列方程组解出)(x f .例4.(1)已知，求； 3311()f x x x x+=+()f x（2）已知是一次函数，且满足，求；（3）已知满足，求)(x f .巩固练习：1.已知)(x f 是一次函数，且34))((+=x x f f ，求)(x f ．2.已知()x x x f21+=+，求)(x f ．3.设函数f (x )满足f (x )＋2f (x1)＝x (x ≠0)，求f (x ).课后练习1.函数f (x )＝x-21的定义域为M ，g (x )＝2+x 的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．[－2，＋∞) B ．[－2,2) C ．(－2,2)D ．(－∞，2) 2.设f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋)1(xf ＝( ) A ．1－x 1＋x B ．1x C ．1 D ．0()f x 3(1)2(1)217f x f x x +--=+()f x ()f x 12()()3f x f x x +=3.若函数y ＝21-x 的定义域是A ，函数y ＝62+x 的值域是B ，则A ∩B ＝________. 4.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧<≥.,,,b a a b a b 则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 5.求函数的值域（1）113+-=x x y ； （2）112-++=x x y .6.求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－x -1；(2)y ＝35--x x .7.求下列函数的解析式（1）已知二次函数564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f ；（2）若函数)0(1)1(22≠+=-x x x x x f ，求)(x f ；(3)设函数f (x )满足x x f x f 3)(2)(=-+，求)(x f ．8.已知函数f (x )＝2211xx -+， (1)求f (x )的定义域； (2)若f (a )＝2，求a 的值； (3)求证：)1(x f ＝)(x f -．。

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。

由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。

（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。

二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。

③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。

故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。

例 2求函数 y sin x1的定义域。

16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。

（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。

例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。

解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。

（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。

其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。

例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。

即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。

函数定义域值域求法(全十一种)高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。

解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。

解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。

将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。

二、抽象函数型抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。

一般有两种情况：1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。

解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解$a\leq g(x)\leq b$。

例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的定义域。

令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $-|x|\leq x\leq |x|$。

因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。

2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。

解法是：已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为$g(x)$ 的值域。

例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定义域。

因为 $1\leq x\leq 2$，所以 $2\leq 2x\leq 4$，$3\leq2x+1\leq 5$。

高中数学函数入门——函数的三要素及其求法函数的定义：设B A 、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数)(function记作 A x x f y ∈=),(其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域，显然值域是集合B 的子集.一、定义域求法（1）具体函数（函数给定解析式）１、)(x f 是整式：R ；２、)(x f 是分式：使分母不为0的数集；３、)(x f 是二次（偶次）根式：根号内式子≥0；４、幂式0x ：0≠x ；5、对数：真数大于0；6、以上几部分组合：各式都有意义的数集。

【总结反思】求具体函数定义域——看“x ”在哪里【例1】 求下列函数的定义域。

).4(log 123)()3(;23||2)()2(;213)()1(220x x x x f x xx x f x x x f -+-=-+-=+++=).2,21()(,221,04012),4(log 123)()3(]3,()(3,03||02023||2)()2(),2()2,3[)(,23,0203213)()1(2220的定义域为即解得的定义域为，即解得的定义域为即且解得，【解析】x f x x x x x xx f x f x x x x x x x x f x f x x x x x x x f <<⎩⎨⎧>->-∴-+-=--∞-≤⎪⎩⎪⎨⎧≥->-≠∴-+-=+∞-⋃---≠-≥⎩⎨⎧≠+≥+∴+++=（2）抽象函数（没有给定解析式）【例2】 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2020],则函数g(x)=f(x+1)x−1的定义域是()A.[0,1)∪(1,2020]B.[-1,1)∪(1,2020]C.[0,1)∪(1,2019]D.[-1,1)∪(1,2019](2)已知函数f(x+1)的定义域为(-4,-2),则f(2x -1)的定义域为( )A.(-1,0)B.-12,12C.(0,1)D.-12,0【解析】(1)由函数y=f(x)的定义域是[0,2020]可知要使f(x+1)有意义,需满足0≤x+1≤2020,解得-1≤x ≤2019,所以要使g(x)=f(x+1)x−1有意义,需满足{-1≤x ≤2019,x −1≠0,解得-1≤x<1或1<x ≤2019.故选D.(2)∵函数f(x+1)的定义域为(-4,-2),∴-4<x<-2,∴-3<x+1<-1,则f(x)的定义域为(-3,-1),由-3<2x -1<-1,得-1<x<0,∴f(2x -1)的定义域为(-1,0).故选A【总结反思】求抽象函数定义域——抓住定义域的定义：x 的取值范围二、求解析式的方法①换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，注意新元范围.②配凑法：已知f[g(x)]=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，再以x 代替g(x)得到f(x)的解析式.③待定系数法：已知函数类型，如一次函数、二次函数等基本初等函数.④解方程组法：已知f(x)与f(-x)、f(x 1)的等量关系，再以-x 代替x 、x1代替x 构造一个等式.⑤“求谁设谁”（对称法）：已知f(x)的奇偶性及某一区间上解析式，求对称区间上的解析式.【例3】 (1)已知函数f(√x +1)=x-4,则f(x)= .(2)已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)= .(3)已知函数f(x)对一切不为0的实数x 均满足f(x)+2f 2020x =2020x +2,则f(x)= . (4)已知函数f(x)为R 上的奇函数，当x>0,f(x)=-2x 2+3x+1,求f(x)的解析式.【解析】(1)方法一(换元法):令t=√x +1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t 2-2t-3(t ≥1),故f(x)=x 2-2x-3(x ≥1).方法二(配凑法):由题可知√x +1≥1,f(√x +1)=x-4=(√x +1)2-2(√x +1)-3,故f(x)=x 2-2x-3(x ≥1).(2)(待定系数法)∵f(x)为二次函数,∴设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∵f(0)=3,∴c=3.由f(x+2)-f(x)=4x+2,得a(x+2)2+b(x+2)+3-ax 2-bx-3=4x+2,解得a=1,b=-1,∴f(x)=x 2-x+3.(3)(解方程组法)f(x)+2f2020x =2020x +2,① 将①中的x 换成2020x ,得f2020x +2f(x)=x+2, ② 将①②联立并消去f 2020x ,得f(x)=23x-20203x +23(x ≠0).(4) (求谁设谁)设x<0,则-x>0,f(-x)=-2x 2-3x+1,∵f(x)为R 上的奇函数，∴f(x)=-f(-x)=2x 2+3x-1∴x<0时f(x)=2x 2+3x-1，f(0)=0⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=∴0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f三、求值域的方法(1)原则:依据函数的定义域求值域,即先确定定义域再求值域.(2)常用方法.①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;②配方法:此法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法;③分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域;④换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.注意新元的范围.【例4】 求下列函数的值域12)4(3)3(]5,1[,64)2(1)1(2-+=-=∈+-=+=x x y x x y x x x y x y),21[210,00,)1(212121,0,12)4(}1|{1,03333133)3(3)3(]11,2[115,222]5,1[,2)2()2().,1[111,0,0)1(2222+∞∴==≥∴≥+=++=∴+=≥-=≠∴≠∴≠--+=-+-=-=∴====∴=∈+-=+∞+=∴≥+∴≥∴≥函数的值域为处取得最小值即在上单调递增函数在设函数值域为函数值域为取最大值在取最小值在，在给定区间对称轴为配方得的值域为解：x u u u u u u y u x u x u y y y x x x x x x y y x y x x x x y x y x x x 【总结反思】定义域、值域是集合，要用集合或区间表示．。

函数定义域、值域求法总结1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。

2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。

题型(一):已知f(x)的定义域,求f［g(x)］的定义域一般地，若已知f(x)的定义域为［a,b］，求函数f［g(x)］的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。

因此f［g(x)］的定义域即为满足条件a≤g(x)≤b 的x 的取值范围。

(题型二):已知f g(x )的定义域,求f(x)的定义域一般地，若已知f［g(x)］的定义域为［a,b］，求函数f(x) 的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x) 的定义域即为当 a ≤x≤b 时，g(x) 的取值范围。

(题型三):已知f g(x )的定义域,求f h(x)的定义域定义域是X 的取值范围，g(x) 和h(x) 受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。

f g(x )→f(x)→f h(x)练习3:已知f (log3x)的定义域［3,9］,求f (2x-1)的定义域一、定义域是函数y=f（x）中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x≠kπ+π/2；y=cotx 中x≠kπ等等。

( 6 )x0中x0二、值域是函数y=f（x）中y 的取值范围。

常用的求值域的方法：（1）直接法（4）配方法（7）分离常数法（10）不等式法2）图象法（数形结合）5）换元法（包括三角换元）8）判别式法11）平方法等等3）函数单调性法6）反函数法（逆求法）9）复合函数法这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析1、定义域问题例 1 求下列函数的定义域：① f（x）= 1；② f（x）= 3x+2；③ f（x）= x+1+ 1x-2 2- x 解：①∵x-2=0，即x=2 时，分式1无意义，x-2而x 2时，分式1有意义，∴这个函数的定义域是x | x 2.2②∵3x+2<0，即x<- 2时，根式3x + 2 无意义，32而3x+20，即x -2时，根式3x+2才有意义，32∴这个函数的定义域是{ x | x - 2}.③∵当x+10且2-x 0，即x-1且x 2时，根式x+1和分式12 - x∴这个函数的定义域是{ x | x -1且x 2}同时有意义，另解：要使函数有意义，必须：x+10 x -1 2 - x 0 x 2例 2 求下列函数的定义域：① f（x）= 4- x2-1 ② f ( x) x2-3x -4 x+1-2⑤y = x -2 +3+3 3x +7x -3或-3 x -1或x 4∴定义域为：{ x| x -3或-3 x -1或x 4}x 0∴定义域为：x | x-1或-1 x 0即 x<- 7 或 x>- 733∴定义域为：{x | x- 7}ax 2 -ax + 1 的定义域是R ，求实数a 的取值范围王奎新新疆屯敞a解：∵定义域是R,∴ ax 2 -ax +10恒成立，aa 0∴等价于 = a 2 -4a1 00a 2a例4 若函数y = f (x )的定义域为［-1，1］，求函数y = f (x + 1)f (x - 1)的定义域王新奎新屯疆敞③f ( x ) =1+ 11+1+1x④ f ( x )(x +1)0x -x⑤要使函数有意义，必须：x -2+303x + 7 0x R 7 x -3 解：①要使函数有意义，必须：4 - x 2 1即： - 3 x 3∴函数 f (x ) =4 - x 2 -1 的定义域为：[- 3, 3]②要使函数有意义，必须：x 2 -3x - 4 0x +1-2x 4或x -1x -3且x1 + 10 x 1 + 1 01+1+1x∴函数的定义域为：{x | xR 且x 0,-1,-1}③要使函数有意义，必须： ④要使函数有意义，必须：x + 1x - xx 0x - 1 1 x -2 x -1 x 0例3 若函数y =解：要使函数有意义，必须：-1x +11-1x +141-1x - 1 4∴函数y = f (x + 1) f (x -1)的定义域为：x |-3 x 3例5 已知 f(x)的定义域为［－1，1］，求 f(2x －1)的定义域。

函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义， 而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 2 定义域的逆向问题例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-a ax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于练习：322log+-=mx x y 定义域是一切实数，则m 的取值范围；3 复合函数定义域的求法例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。