八年级矩形精选复习题

浙教版八年级下册数学矩形练习一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A．对角线相等B．对角相等C．对边相等D．对角线互相平分2．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）A．矩形的对角线相等B．矩形的四个角是直角C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形3．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为（ ）A．5B．6C．7D．84．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：2，且DE=23，则AC的长度是（ ）A．25B．2C．8D．5335．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，B的对应点为E，AE与CD相交于点F.若∠FCE=40°，则∠CAB的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．40°6．如图，在▱ ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= 1AC.④∠1=∠2.其中能判定2▱ ABCD是矩形的有（ ）A．①B．①②③C．②③④D．①②③④7．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=6，点P为平面内一点，且BP=2，点Q为CD上一个动点，则AQ+PQ的最小值为（ ）A．11B．52−2C．103−2D．138．已知，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是线段AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，过F作FG⊥CD于点G，连接EF，取EF的中点H，连接DH，AH．点E在运动过程中，下列结论：①△ADE≌△GDF；②当点H和点G互相重合时，AE=6；③∠GFH=∠ADE；④32≤AH≤72．正确的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题9．如图，已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个矩形．你添加的条件是__．10．已知矩形的面积是43，其中一边长为6，则对角线长为 ．11．如图．将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8．则BF的长是 ．12．如图，已知矩形ABCD，AB=9，AD=4，E为CD边上一点，CE=6，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．三、解答题13．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，点F在边AD上，BE=DF，求证：四边形AECF是矩形.14．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证∶AO=CO（2）若∠OCD=30∘，AB=3，求△AOC的面积．15．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H.（1）求证：四边形AGPH 是矩形.（2）在点P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值? 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】A【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！数学人教版8年级下册期末复习真题汇编卷矩形一、单选题1．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边作菱形AEFC ，则FAB Ð=（）A ．20°B ．30°C ．50°D ．22.5°2．（2023春·江苏·八年级期末）小明同学为班级设计如图所示的班徽，O 为正方形ABCD 的中心，四块全等的阴影图形均为菱形．若A ，E ，F 三点共线，则图中阴影面积与空白面积之比为（）A ．B ．2:3C ．D ．1:23．（2023春·浙江·八年级期末）如图，直线l 交正方形ABCD 的对边AD 、BC 于点P 、Q ，正方形ABCD 和正方形EFGH 关于直线l 成轴对称，点H 在CD 边上，点A 在边FE 上，BC 、.HG 交于点M ，AB 、FG 交于点N ．以下结论错误的是（）A ．EA NG AN+=B ．GQM 的周长等于线段CH 的长C ．BQN △的周长等于线段CM 的长D ．FNA 的周长等于22DH HC+4．（2021春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F ，G 分别是边AB BC AD ，，上的动点，且=AE BF ，将BEF △沿EF 向内翻折至B EF ¢，连结BB B G GC ¢¢，，，则当BB ¢最大时，B G GC ¢+的最小值为（）A2B ．5.6C ．D ．5．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，P 为线段AB 上任意一点，分别以AP 、PB 为边在AB 同侧作正方形APCD 、PBEF ，若28CBE Ð=°，则AFP Ð的度数为（）A ．56°B ．62°C ．73°D ．76°6．（2023秋·广东·八年级校联考期末）如图，在边长为5的正方形ABCD 内作45EAF а＝，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ．若2DF =，则BE 的长为（）A ．157B ．43C ．34D ．27．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，E 是边AD 的中点，P 为对角线BD 上一动点，连接PA 、PE ，当点P 移动到使BPA DPE Ð=Ð时，AP PE +的值为（）AB C ．D ．8．（2022秋·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点E ，F 分别在边BC 和CD 上，AE AF =，60EAF Ð=°，则CF 的长是（）A ．2B 1C ．14D 9．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，点P 在边AB 上，AE DP ^于点E ，CF DP ^于点F ，若4AE =，7CF =，则EF =（）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）在边长为8的正方形ABCD 底座中，放置两张大小相同的正方形纸板，边EF 在AB 上，点K ，I 分别在，BC CD 上，若区域I 的周长比区域II 与区域III 的周长之和还大4，则正方形纸板的边长为（）A ．4B ．143C ．5D ．16311．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）在正方形ABCD 中，点M N ，将对角线BD 三等分，且6BD =，点E 是正方形边上的一点，对于满足ME NE a +=的点E的个数n 进行探究，结论如下．结论1：若4a =，则4n =；结论2：若a =，则4n =．下列判断正确的是（）A ．只有结论1正确B ．只有结论2正确C ．两个结论都正确D ．两个结论都不正确12．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图，直线L 上有三个正方形a ，b ，c ，若正方形a 的边长为1，正方形c 的边长为3，则正方形b 的面积为（）A ．4B ．9C ．10D ．1113．（2022春·河北保定·八年级校考期末）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，13BC CE ==，，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）A ．2.5BCD ．214．（2022秋·河南郑州·九年级校联考期末）如图，正方形ABCD 中，12AB =，点E ，F 分别为,AD BC 上一点，且7AE BF ==，连接EF 交对角线BD 于点G ，点P ，Q 分别为,CE BG 的中点，则PQ 的长为（）A ．6B ．CD ．13215．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，Rt EOF △（两直角边长均大于AB 的长度）绕点O 旋转的过程中，与正方形重叠部分的面积（）A．由小变大B．由大变小C．始终不变D．先由大变小，然后又由小变大二、填空题16．（2023秋·山西太原·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，6AB=，点E，F分别在边,AB BC上，2==，点M在对角线AC上运动，连接EM和MF，AE BF则EM MF+的最小值等于__________．17．（2022秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，2AB=，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别为边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BE CF=，连接OE、OF、EF，则线段EF的最小值为________．18．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD 相交于点^于点F，若AC= O，点P是BC上任意一点，PE BD^于点E，PF AC则EF的长的最小值为_________．19．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，已知：正方形ABCD的顶点A 在矩形DEFG的边EF上，矩形DEFG的顶点G在正方形ABCD的边BC上，正方形的边长为4，DG的长为5，则DE的长为_______．20．（2022秋·河北保定·七年级校考期末）如图，在正方形ABCD 外作等边ADE ，则BED Ð=___________°．21．（2023秋·四川雅安·九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD连接AC ，BD ，CE 平分ACD Ð交BD 于点E ，则BE =_______．22．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，P ，Q 分别为,BC CD 的中点，若40PAQ Ð=°，则APQ Ð大小为___________．23．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，点E 是边长为8的正方形ABCD 的对角线BD 上的一个动点（不与点B ，D 重合），连接AE ，以AE 为边向左侧作正方形AEFG ，点P 为AD 的中点，连接PG ，DG ，DG 与BA 的延长线交于点H ，在点E 运动过程中，线段PG 的最小值为______．24．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）若点E 是BC 的中点，4CD =，将正方形ABCD 沿FH 折叠，使点D 恰好落在BC 边的中点E 处，点A 的对应点为点P ，则折痕HF 的长为________．25．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图是“赵爽弦图”，ABH 、BCG 、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果10AB =，6AH =，则GE =___________；此时ABCDEFGH S S 正方形正方形的值是___________．26．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点1A 、2A 、…、n A 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为________（用n 的代数式表示）27．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法一小片段，同学们，让我们一起来走进欧几里得的数学王国吧！如图，分别以Rt ABC △的三边为边长，向外作正方形ABDE 、BCFG 、ACHI ．（1）连接BI 、CE ，则BI 、CE 的关系是______；（2）过点B 作AC 的垂线，交AC 于点M ，交HI 于点N ，若4MN =，1NI =，则正方形BCFG 的边长是______．28．（2023秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期末）如图，已知45MON Ð=°，在MON Ð内部作以点O 为位似中心的正方形1112A B C A ，正方形2223A B C A ，正方形3334A B C A ，…，正方形1n n n n A B C A +，其对应顶点1A ，2A ，3A ，4A …n A 都在射线ON 上，对应顶点1B ，2B ，3B ，4B …n B 都在射线OM 上，将正方形1112A B C A 的面积记作1S ；正方形2223A B C A 的面积记作2S ；正方形3334A B C A 的面积记作3S ；…，依此类推，正方形1n n n n A B C A +的面积记作n S ，若111A B =，则第n 个正方形的面积n S =______．29．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，在正方形ABCD 中，点M ，N 为CD ，BC 上的点，且DM CN =，AM 与DN 交于点P ，连接AN ，点Q 为AN 中点，连接PQ ，若10AB =，4DM =，则PQ 的长为________．30．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在DC ，BC 上，4BF CE ==，连接AE 、DF ，AE 与DF 相交于点G ，连接AF ，取AF 的中点H ，连接HG ，则HG 的长为________．三、解答题31．（2023秋·山西太原·九年级期末）如图，在ABC 中，点M 和N 分别在边AB 和AC 上，MB NC =，连接,,MN BN CM ，点D ，E ，F ，G 分别是,,,MN BN BC CM 的中点．求证：四边形DEFG 是菱形．32．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB CD DA、、上，2AH=．(1)如图1，当2DG=时，求证：菱形EFGH是正方形．(2)如图2，连接CF，当△FCG的面积等于1时，求线段DG的长度．33．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA PE=，PE交CD于F．(1)证明：PC PE=；(2)求CPE∠的度数；34．（2021春·广东广州·八年级校考期末）在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF AE^于F．交AD于H．≌；⊥于G，求证：AFB DGA(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH FE+；(3)如图3，1AB=，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．35．（2023春·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）在正方形ABCD中，边长为2．点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，o90Ð=，其中EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF．AEFBE=时，求线段CF的长：2Ð=Ð．②当点E在线段BC上运动时，求证：QEF FEC(2)如图2，过点B作BG AE^交EQ于点G，过点D作DH CF^所在的直线于点H，求HG的最小值．36．（2021春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，点G是正方形ABCD对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．≌△△；(2)若AB=3AG=37．（2023秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点．将ADEV沿AE对折至AFE△，延长EF交BC于点G，连接AG，AG平分BAFÐ．≌△△(2)求BG的长．38．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点E是BC 的中点，连接DE，过点A作AG ED^交DE于点F，交CD于点G．≌；(2)连接BF，求证：AB FB=．39．（2022秋·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，6AB=，M 是对角线BD 上的一个动点102DM BD æö<<ç÷èø．连接AM ，过点M 作MN AM ^交BC 于点N ．(1)如图1，求证：MA MN =；(2)如图2，过点N 作NH BD ^于H ，AM =，求MH ．40．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，延长BC 至点G ，使得BE CG =，过点G 作FG BC ^，连接AE 、EF ，且AE EF =，求证：ABE EGF ≌．41．（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，将正方形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转45°得到正方形A B C D ¢¢¢¢，BC 与C D ¢¢相交于点E ，连接BD ，B D ¢¢相交于点F ．(1)填空：D EC ¢Ð=______度；(2)求证：四边形BED F ¢是菱形．参考答案1．D2．A3．C4．C5．B6．A7．B8．A9．C10．B11．B12．C13．B14．D15．C16．61718．119．16520．452122．70°/70度23．24．25．25n-26．1427．BI EC=28．222n -293031．证明：∵点D ，E 分别是MN ，BN 的中点，∴DE 是NMB △的中位线，∴DE MB ∥，12DE MB =，同理可得：GF MB ∥，12GF MB =，12DG NC =，∴DE GF ，DE GF =，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵MB NC =，∴DE DG =，∴平行四边形DEFG 为菱形．32．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90D A Ð=Ð=°，∵四边形EFGH 是菱形，∴HG HE =，在Rt HDG △和Rt EAH △中，HG EH DG AH =ìí=î，∴()Rt Rt HL HDG EAH ≌，∴DHG AEH Ð=Ð，∵90AEH AHE Ð+Ð=°∴90DHG AHE Ð+Ð=°，∴90GHE Ð=°，∴菱形EFGH 为正方形；（2）解：过F 作FM CD ^，交DC 的延长线于点M ，连接GE ，∵在正方形ABCD 中，CD AB ∥，∴AEG MGE Ð=Ð，∵在菱形EFGH 中，GF HE ∥，HE FG =，∴HEG FGE Ð=Ð，∴AEH FGM Ð=Ð；在EHA 和GFM △中，90A M AEH MGF HE FG Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS EHA GFM ≌，∴2MF AH ==，设DG x =，则6CG x =-，∴1612FCG S CG FM x =×=-=，∴5x =，即5DG =．33．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴45AB BC ABP CBP =Ð=Ð=°，，又∵BP BP =，∴()SAS ABP CBP ≌，∴PA PC =，∵PA PE =，∴PC PE =；（2）解：由（1）知，ABP CBP △≌△，∴BAP BCP Ð=Ð，∵在正方形ABCD 中，90BAD BCD ADC CDE ===°=∠∠∠∠，∴BAD BAP BCD BCP Ð-Ð=Ð-Ð，即DAP DCP Ð=Ð，∵PA PE =，∴DAP E Ð=Ð，∴DCP E Ð=Ð，∵CFP EFD Ð=Ð（对顶角相等），∴180180PFC PCF DFE E °-Ð-Ð=°-Ð-Ð，即90CPF EDF Ð=Ð=°．34．（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，AB AD \=，90BAD Ð=°，DG AE ^ ，BF AE ^，90AFB DGA \Ð=Ð=°，90FAB DAG \Ð+Ð=°，90DAG ADG Ð+Ð=°，BAF ADG \Ð=Ð，在AFB △和DGA △中，AFB DGA BAF ADG AB AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(AAS)AFB DGA \≌；（2）证明：过点D 作DK AE ^于K ，DJ BF ^交BF 的延长线于J ，如图2所示： 四边形ABCD 是正方形，90BAH ADE \Ð=Ð=°，AB AD CD ==，BF AE ^ ，90AFB \Ð=°，90DAE EAB Ð+Ð=° ，90EAB ABH Ð+Ð=°，DAE ABH \Ð=Ð，在ABH 和DAE 中，BAH ADE AB DA ABH DAE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴(ASA)ABH DAE ≌，AH DE \=，点E 为CD 的中点，12DE EC CD \==，AH DH \=，DE DH \=，DJ BJ ^ ，DK AE ^，90J DKE KFJ \Ð=Ð=Ð=°，\四边形DKFJ 是矩形，90JDK ADC \Ð=Ð=°，JDH KDE \Ð=Ð，在DJH 和DKE △中，J DKE JDH KDE DH DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴(AAS)DJH DKE ≌，DJ DK \=，JH EK =，\四边形DKFJ 是正方形，FK FJ DK DJ\===，DF \，2FH FE FJ HJ FK KE FJ \+=-++=；（3）解：如图3，取AD 的中点Q ，连接PQ ，延长QP 交CD 于R ，过点P 作PT CD^于T ，PK AD ^于K ，设PT b =，由（2）得：(ASA)ABH DAE ≌，AH DE \=，90EDH Ð=° ，点P 为EH 的中点，12PD EH PH PE \===，PK DH ^ ，PT DE ^，90PKD KDT PTD \Ð=Ð=Ð=°，\四边形PTDK 是矩形，PT DK b \==，PK DT =，PH PD PE == ，PK DH ^，PT DE ^，22DH DK b \==，2DE DT=，12AH DE b\==-，1122PK DE b \==-，12QK DQ DK b =-=-，PK QK \=，90PKQ Ð=° ，PKQ \是等腰直角三角形，45KQP \Ð=°，\点P 在线段QR 上运动，DQR 是等腰直角三角形，QR \==\点P 的运动的路径长为2．35．（1）解：如图，过点F 作FN BC ^于点N ，AEF 是等腰直角三角形，AE EF \=，45EAF Ð=°，90AEF ABE FNE Ð=Ð=Ð=°，90AEB BAE AEB FEN \Ð+Ð=°=Ð+Ð，=BAE FEN \ÐÐ，ABE ENF \@△△（AAS ），12BE FN \==，AB EN =，BC EN AB \==，12CN BE \==，又90N Ð=° ，CFN \△是等腰直角三角形，CF \==故答案是：2CF =；证明：如图，延长CB 至K ，使BK DQ =，连接AK ，BK DQ = ，90ABK D Ð=Ð=°，AB AD =，()SAS ABK ADQ \@，BAK DAQ Ð=Ð，AK AQ =，45EAF Ð=° ，45\Ð+Ð=°，BAE DAQ\Ð+Ð=°=Ð=Ð，45BAE BAK EAK EAD又AE AE，=()AEK AEQ\@，SAS\Ð=Ð，AEK AEQÐ=°，90AEF\Ð=Ð；FEQ FEC（2）解：如图，连接AG、GH、AH、AC，由（1）得90Ð=°，AEB AEGÐ=Ð，DCH四边形ABCD是正方形，\===，AC==，452AB AD CDÐ=°ACD，\Ð=°，90ACH，45^DH CHÐ=°，DCH\△是等腰直角三角形，DCH\=，2DC\=，CH\==AH，AEB AEGBG AE^Ð=Ð，\Ð=Ð，EBG EGB\=，BE EG又AE AE，=()\@，SASABE AGE\点G 在以点A 为圆心，AB 长为半径的圆上，当点G 在线段AH 上时，GH 有最小值，GH \2，2-．36．（1）解：∵四边形EFGA 和四边形ABCD 是正方形，∴AG AE =，AB AD =，90EAG BAD Ð=Ð=°，在GAD 和EAB 中，90GAD EAD Ð=°+Ð，90EAB EAD Ð=°+Ð，∴GAD EAB Ð=Ð，在GAD 和EAB 中，AG AE GAD EAB AD AB =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS EAB GAD ≌△△；（2）解：如图，连接BD ，BD 与AC 交于点O，由（1）得：EAB GAD≌△△∴EB GD =，∵四边形ABCD是正方形，AB =∴,6BD AC AC BD ^===，∴190,32DOG OA OD BD Ð=°===，∴6OG OA AG =+=，∴EB GD ===37．（1）在正方形ABCD 中，,90AD AB BC CD D B BCD °===Ð=Ð=Ð=，∵将ADE V 沿AE 对折至AFE △，∴,,90AD AF DE EF D AFE ==Ð=Ð=°，∴,90AB AF B AFG =Ð=Ð=°，又∵AG AG =，在Rt ABG △和Rt AFG △中，AG AG AB AF=ìí=î，∴Rt Rt △≌△ABG AFG （HL ）．（2）∵ABG AFG △≌△，∴BG FG =，设BG FG x ==，则6GC x =-，∵E 为CD 的中点，∴3CE EF DE ===，∴3EG x =+，∴在Rt CEG △中，2223(6)(3)x x +-=+，解得2x =，∴2BG =．38．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ADG C Ð=Ð=°，AD DC =，又∵AG ED ^，∴90DAG ADF CDE ADF Ð+Ð=°=Ð+Ð，∴DAG CDE Ð=Ð，∴()ASA ADG DCE ≌△△；（2）证明：如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H ，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，又∵90C HBE Ð=Ð=°，DEC HEB Ð=Ð，∴()ASA DCE HBE ≌△△，∴BH DC AB ==，即B 是AH 的中点，又∵90AFH Ð=°，∴Rt AFH △中，12BF AH AB ==．39．（1）证明：过点M 作MF AB ^于F ，作MG BC ^于G ，如图1所示：∴90AFM MFB BGM NGM Ð=Ð=Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC DAB Ð=Ð=°，AD AB =，45ABD DBC Ð=Ð=°，∵MF AB ^，MG BC ^，∴MF MG =，∵90ABC Ð=°，∴四边形FBGM 是正方形，∴90FMG Ð=°，∴90FMN NMG Ð+Ð=°，∵MN AM ^，∴90AMF FMN Ð+Ð=°，∴AMF NMG Ð=Ð，在AMF 和NMG 中，AFM NGM MF MG AMF NMG Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA AMF NMG ≌，∴MA MN =；（2）解：过点A 作AF BD ^于F ，如图2所示：∴90AFM Ð=°，∴90FAM AMF Ð+Ð=°，∵MN AM ^，∴90AM N Ð=°，∴90AMF HMN Ð+Ð=°，∴FAM HMN Ð=Ð，∵NH BD ^，∴90AFM MHN Ð=Ð=°，在AFM △和MHN 中，FAM HMN AFM MHN AM MN Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AAS AFM MHN ≌△△，∴AF MH =，在等腰直角ABD △中∵AF BD ^，∴1122AF BD ==´=∴MH =．40．证明：∵四边形ABCD 正方形，∴AB BC =，90B Ð=°，∵BE CG =，∴BC EG =，∴AB EG =，∵FG BC ^，∴90EGF Ð=°，在Rt ABE △和Rt EGF 中，AB EG =，AE EF =，∴()Rt Rt HL ABE EGF ≌，即ABE EGF ≌．41．（1）解：∵四边形ABCD 和四边形A B C D ¢¢¢¢是正方形∴90AD C ABC Ð=Ð=¢¢°∵45D AB ¢Ð=°∴18045135BED ¢°Ð=-°=°∴45D EC Ð=¢°（2）解：连接AE ．∵四边形ABCD 和四边形A B C D ¢¢¢¢是正方形∴90AD C ABC Ð=Ð=¢¢°∵45D AB ¢Ð=°∴18045135BED ¢°Ð=-°=°∴45D EC Ð=¢°（方法不唯一，直接写由（1）得也可以）在正方形A B C D ¢¢¢¢中，45B D C ¢¢¢Ð=°∴D EC B D C Ð=Т¢¢¢∴D F BC ¢∥，即D F BE ¢∥．同理45DBC D EC ¢Ð=Ð=°，∴D E BF ¢∥．∴四边形BED F ¢是平行四边形在Rt AD E ¢△和Rt ABE △中AD ABAE AE=¢ìí=î∴Rt Rt AD E ABE¢△≌△∴D E BE¢=∴平行四边形BED F ¢是菱形.。

人教版初二数学8年级下册 第18章（平行四边形）微专题3 矩形的综合训练1.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 对应点E ，BE 交AD 于F.（1）判断△BDF 的形状并证明；（2）若AB=3，BC=4，求S △BDF2.如图，矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，点G 是EF 的中点。

（1）求∠BDG 的度数；（2）写出AB 、AG 、AD 之间的数量关系并证明F EDCB A A B DCE FG G F EC D B A3.如图，矩形ABCD 中，E 在BC 上，CG ⊥BD 于G ，交AE 的延长线于F ，CF=BD ，求∠BAF 。

4.如图，矩形ABCD 中，E 为BC 中点，M 为DA 延长线上一点，MB 、DE 的延长线交于N ，且∠MNC=90°。

（1）求证：AD=2NE ；（2）求证：DM=DN.F GF E D C B ANMED CBA5.如图，点E 是□ABCD 中边BC 的中点，连接AE 并延长,交DC 的延长线于点F .(1) 求证:△ABE ≌△FCE(2)连接AC 、BF ，若∠AEC =2∠ABC ，求证:四边形ABFC 为矩形.6.如图，在 ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，点M,N 分别是BC ，DE 的中点(1) 求证：MN ⊥DE(2)连接ME,MD ,若∠A =60°，求MN DE解的值. A DC B F EE DC B AN M7.如图，矩形ABCD 中，E 为CD 中点，BF 平分∠ABC ，BE ⊥EF(1) ∠AED 的度数（2）求证：GF =2DF .8.（1）如图,在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部，小明将G 延长交DC 于点F ，认为GF=DF ，你同意吗？请说明理由.(2)保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求AD AB的值；(3)保持（1）中的条件不变，若DC =nDF ，直接写出AD AB 的值为 .F ED C BA G G ED C BA F微专题3 矩形的综合训练1.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 对应点E ，BE 交AD 于F.（1）判断△BDF 的形状并证明；（2）若AB=3，BC=4，求S △BDF（1）证明：∵ AD ∥BC ∴ ∠DBC=∠ADB又 ∵ ∠DBC=∠EBD ∴ ∠EBD=∠ADB∴ △BDF 为等腰三角形（2）解：由（1）知BF=FD ，设AF=x ∴FD=BF=4－x∴ 9＋x 2=（4-x ）2 ∴ x=78 ∴ DF=258∴ S △ADF =12DF·AB=12×258×3=75162.如图，矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，点G 是EF 的中点。

矩形练习一、选择题1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC.∠AOB=45°D.∠ABC=90°2. (辽宁东北育才中学月考)如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠A0B 的大小为（）.A.30°B.60°C.90°D.120°3．下列命题中不正确的是( )．A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半B.矩形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直D.矩形是轴对称图形4．矩形邻边之比3∶4,对角线长为10cm,则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm5.(易错题)如图所示,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在MN上,且不与M,N重合,当P点在MN上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则AB的长度（）A.变大B.变小C.不变D.不能确定二、填空题6．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形,它除了具有四边形和平行四边形所有的性质,还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形,它的对称轴是____________．(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．7．在△ABC中,∠C＝90°,AC＝5,BC＝3,则AB边上的中线CD＝______．8．如图,矩形ABCD中,A B＝2,BC＝3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E、F,连结CE,则CE的长______．9. (西安铁一中月考)如图,已知 MN//PQ,EF与MN,PQ分别交于A、C两点,过A、C两点作两组内错角的平分线,分别交于点B、D,则四边形ABCD是 .10.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E,F分别是AO, AD的中点,若AB= 6 cm,BC=8 cm,则△AEF 的周长= cm.11.如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB 的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED = 2∠CED,点G是DF的中点,若BE=1,AG=4,则 AB的长为 .三、解答题12．已知：如图,□ABCD中,AC与BD交于O点,∠OAB＝∠OBA．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)作BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,求证：BE＝CF．13．已知：如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF＝ED,EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．14.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点 O,AE 平分∠BAD 交 BC 于点E.若∠CAE= 15°,求∠BOE的度数.15. (重庆八中质量检测·)如图所示,AB丄AC于点A,BD丄CD于点D,O是BC的中点,若BC=6 cm,∠AOD=60°,求 AD 的长.16.如图,在ABCD中,E、F分别是AB、DC 边上的点,且AE=CF.(1)求证:△ADE≌△CBF.(2)若∠DEB=90°,求证:四边形DEBF是矩形.17.如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是CD的中点,过点C作CF//AB交AE的延长线于点F,连接BF.(1)求证:DB=CF;(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.参考答案1.D 解析 因为四边形ABCD 的对角线互相平分,所以四边形ABCD 为平行四边形,A,B 两进项为平行四形身具有的性质,C 选项添加后不能使平行四边形ABCD 变为矩形,根据矩形的定义知D 正确.2.B 解析 在矩形ABCD 中,OB=AO=CO,由∠ACB=30︒,得∠ACB=DBC=30︒ ∠AOB=∠OCB+∠OBC=60︒,故选B.3．C ． 4．B ．5. C 解析 连接OP,因为四边形PAOB 是矩形,所以OP=AB,OP 为扁形的半径,为定值,所以AB 的长度不变.故选C.6．(1)有一个角是直角；(2)都是直角,相等,经过对边中点的直线； (3)平行四边形；对角线相等；三个角．7．⋅234 8．⋅6139.矩形 解析首先推出∠BAC=∠DCA,继而推出AB ∥CD ；推出∠BCA=∠DAC,进而推出AD ∥BC,因此四边形ABCD 是平行四边形,易证明∠ABC=90︒,可得平行四边形ABCD 是矩形。

八年级数学矩形基础练习题1．矩形具备而平行四边形不拥有的性质是（）A ．对角线互相均分B ．邻角互补C．对角相等 D ．对角线相等2．在以以下列图形性质中，矩形不用然拥有的是（）A ．对角线互相均分且相等B ．四个角相等C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D ．对角线互相垂直均分3．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线订交所成的锐角是（）A ． 20°B． 40°C． 80°D． 100°4．直角三角形中，两条直角边边长分别为12 和 5，则斜边中线的长是（）A．26B．13C．30D．6．55．以下鉴识图形不正确的选项是（）A ．有一个角是直角的平行四边形是矩形;B ．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相均分且相等的四边形是矩形6．四边形 ABCD 的对角线订交于点O，以下条件不能够判断它是矩形的是（）A ． AB=CD ，AB ∥ CD ，∠ BAD=90 °B． AO=CO ，BO=DO ，AC=BDC．∠ BAD= ∠ABC=90 °，∠ BCD+ ∠ ADC=180 °D．∠ BAD= ∠ BCD ，∠ ABC= ∠ADC=90 °7．如图1，矩形ABCD中， AB=8 ， BC=6 ，E、 F 是AC上的三均分点，则S△BEF为（）A ． 8B． 12C． 16D． 24（1）8．（ 2006·成都）把一张长方形的纸片按如图（2）2 所示的方式折叠，EM 、FM（ 3）为折痕，折叠后的 C 点落在B′ M或B′ M的延长线上，那么∠EMF的读度为（）A．85°B． 90°C． 95° D ．100°9．（ 2006·黑龙江）如图3，在矩形ABCD中， EF∥ AB ， GH ∥ BC ，EF、 GH的交点P 在BD上，图中面积相等的四边形有（）A．3 对B．4 对C．5 对D．6 对10．如图4，矩形ABCD的周长为68，它被分红7 个全等的矩形，则矩形ABCD?的面积为（）A．98 B ．196C． 280D．284二、填空题11．矩形 ABCD 中，对角线AC=10cm ，AB ： BC=3 ： 4，则它的周长是_______．12．矩形ABCD的两条对角线订交于点O ，若是矩形的周长是34cm ，又△ AOB? 的周长比△ABC的周长少7cm ，则AB=________cm ， BC=________cm ．13．在矩形ABCD 中，对角线AC 、 BD 订交于点O，若∠ AOB=110 °，则∠ OAB=______ ．14．如图 5 所示，把两个大小圆满同样的矩形拼成“L? ”形图案， ?则∠ FAC=_______ ，∠ FCA=________ ．（4）（5）（6）15．如图 6，在四边形ABCD 中， E、F、G、H 分别是 AB 、BC、 CD、DA 的中点， ?增加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，增加的条件是：____________ ．三、解答题16．已知：如图，在矩形ABCD 中， AE ⊥ BD 于 E，对角线 AC 、BD 订交于点O，?且 BE：ED=1 ：3，AB=6cm ，求 AC 的长．17．已知：如图，M 为Y ABCD 的 AD 边上的中点，且MB=MC ，求证： Y ABCD是矩形．18．（ 2006·泸州）如图，在矩形ABCD 中，点 E 是 BC 上一点， AE=AD ， DF⊥ AE ，垂足为 F，线段 DF 与图中的哪一条线段相等？先将猜想出的结论填写在下面的横线上，今后再加以证明．即 DF=________ ．（写出一条线段即可）19．如图，四边形ABCD 中，∠ ABC= ∠ ADC=90 °， M 、N 分别是 AC 、BD? 的中点，那么MN ⊥ BD 建立吗？试说明原因．20．（ 2006·江苏淮安）如图，AB=CD=ED ， AD=EB ， BE ⊥ DE，垂足为E．（1）求证：△ ABD ≌△ EDB;（ 2）只要增加一个条件，即_________，可使四边形ABCD 为矩形，加以证明．21．如图，在Y ABCD 的纸片中， AC ⊥AB ， AC 与 BD 订交于点O，将△ ABC 沿对角线AC 翻转 180°，获取△ AB ′ C．（ 1）求证：以 A ，C， D， B′为极点的四边形是矩形．（ 2）若四边形ABCD 的面积 S=12cm 2，求翻转后纸片重叠部分的面积，即S△ACE．22．（ 2006·南宁）如图 a 中的矩形ABCD ，沿对角线AC 剪开，再把△ ABC? 沿着 AD 方向平行搬动，获取图b．在图 b 中，△ADC ≌△ C′ BA ，AC ∥ A ′C′， A ′ B?∥ DC ．?除△ DAC 与△ C′ BA ′外，指出有哪几对全等的三角形（不能够增加协助线和字母）？选择其中一对加以证明．（ a）(b)23．以以以下列图，以△ABC 的三边在BC 的同侧分别作三个等边三角形，即：△ABD ，△ BCE，△ ACF ，回答以下问题：（1）四边形ADEF 是什么四边形？（2）当△ ABC 知足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？（3）当△ ABC 知足什么条件时，以A， D， E， F 为极点的四边形不存在？参照答案1．D 2．D 3．C 4．D 5．C 6．C7． A 点拨： S△ABC =1×8×6=24 ，又 E、 F 是 AC 上的三均分点，21∴S△BEF =S△ABC =8 ．38． B点拨：折叠中存在图形的对称形， B ′ M 与 C′ M 在同素来线上，∠EMB ′= 1∠ BMB ′，∠ FMB ′ =1∠ CMC ′，∠ EMF= ∠ EMB ′+∠ FMB ′22=1（∠ BMB ′ +∠ CMC ′） =90 °．29． C点拨： BD为对角线，P 为对角线上的点，则由题意获取面积相等的三角形：S△EPD=S△HPD，S△GBP =S△FPB．面积相等的矩形：S 矩形AGPE =S 矩形CHPF，由上述结论进行组合又获取两对面积相等的矩形和两对面积相等的直角梯形，共 5 对．10． C点拨：设小矩形宽为x，长为y．则大矩形长为5x 或2y，宽为x+y ，依题意有x+y+5x=68=34， 5x=2y ，解得x=4 ， y=10 ，则大矩形长为20，宽为14，2所以大矩形面积为280．11． 28cm 12．10 7 13． 35°14． 90°45°15． AC ⊥BD答案不唯一．16． AC=12cm17．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AB=CD ．∵AM=DM ， MB=MC ，∴△ ABM ≌△ DCM ，∴∠ A=∠D．∵AB ∥CD，∴∠ A+ ∠ D=180 °．∴∠ A=90 °．∴Y ABCD是矩形．18． AB （或 CD ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90 °，又 DF⊥ AE ，∴∠ AFD=?90 °，∴∠ B=∠ AFD ． AD ∥ BC ，∴∠ AEB= ∠DAF ．∵AE=AD ，∴△ ABE ≌△ DFA ．∴ AB=DF ．19．点拨：连结BM 、 DM ，则 BM=DM ，又因为BN=ND ，所以 MN ⊥ BD ．20．解：（ 1）由“ SSS”可推出：△ ABD ≌△ EDB（2）增加 AB ∥CD 或 AD=BC 或 BE=EC 或∠ A= ∠ADC 或∠ ADC=90 °或∠ A= ∠ C 或∠ C=90°或∠ ABD= ∠ BDC 或∠ A= ∠ ABC 或∠ ADB= ∠ DBC或∠ ABC=90 °等．证明：∵ AB ∥ CD，又 AB=CD ，∴四边形 ABCD 为平行四边形，又△ABD ≌△ EDB ，∴∠ A= ∠ E=90°，∴四边形 ABCD 为矩形．21．（ 1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AB // CD ．∵△ AB ′ C 是由△ ABC 翻折获取的， AB ⊥ AC ，∴A B=AB ′，点 A 、B 、 B′在同一条直线上．∴A B ′ CD，∴四边形 ACDB ′是平行四边形．∵B ′ C=BC=AD ．∴四边形 ACDB ′是矩形（2）解：由四边形 ACDB ′是矩形，得 AE=DE ．∵S Y ABCD =12cm 2，∴S△ACD =6cm 2，∵△ AEC 和△ EDC 能够看作是等底等高的三角形．1∴S△AEC =S△ACD =3cm 2．222．有两对全等三角形，分别为：△AA ′ E≌△ C′ CF 和△ EBC ≌△ FDA ′，证明略．23．解：（ 1）四边形ADEF 是平行四边形，△ABD 、△ BCE、△ ACF 都是等边三角形，故易证：△ DBE ≌△ ABC ≌△ FEC，可推出DE=FA ， DA=FE ，∴四边形ADEF 为平行四边形（2）若四边形 ADEF 为矩形，∠ ADE=90 °，∴∠ BDE=90 ° +60 °=150°，由△ BDE ≌△ BAC ，得∠ BAC= ∠ BDE=150 °，∴当△ ABC 知足∠ BAC=150 °时，四边形 ADEF 是矩形（3）由△ BDE ≌△ BAC 得∠ BDE= ∠ BAC ，∴∠ BAC= ∠ BDE=60 ° +∠ ADE ，∴当∠ ADE=?0 °时，以 A ， D， E，F 为极点的四边形不存在，此时∠BAC=60 °。

初二矩形性质及判定练习题
1. 矩形的定义
矩形是一个拥有四个直角的四边形。

它的特点是相邻的边相互垂直，所有的内角都是直角。

2. 矩形的性质
- 对角线相等：矩形的两条对角线相等，即AC = BD。

- 边相等：矩形的相对边相等，即AB = CD，BC = AD。

- 对角线互相平分：矩形的两条对角线都是互相平分对方的。

换句话说，AC平分BD，BD平分AC。

- 对角线垂直：矩形的两条对角线互相垂直，即∠ACD =
∠BAC = 90°，∠BCD = ∠ABD = 90°。

3. 判定矩形的条件
要判定一个四边形是否是矩形，需要满足以下条件之一：
- 四个内角都是直角。

- 对角线相等且互相平分对方。

- 两对相对边相等且平行。

4. 练题
1. 判断下列四边形是否是矩形：
- 一个有两对相对边分别相等且平行的四边形。

对角线不相等。

- 一个拥有四个直角的四边形。

对角线相等。

- 一个有两个内角不是直角的四边形。

对角线垂直且互相平分。

答案：
- 不是矩形。

- 是矩形。

- 不是矩形。

2. 画出一个矩形，标出其对角线和内角。

答案：
请自行练画图，标出对角线（AC和BD）和内角（如∠BAC
和∠BCD等）。

5. 总结
矩形是一个拥有四个直角的四边形，具有对角线相等且互相平
分对方、边相等和对角线垂直等性质。

要判定一个四边形是否是矩
形，可以根据四个内角是否都是直角、对角线的情况以及边的情况进行判断。

矩形习题精选1. 如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，OF ⊥BC ，CE ⊥BD ，OE ：BE=1：3，OF=4，求∠ADB的度数和BD 的长。

2. 如图所示，矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若矩形的周长为36cm ，求此矩形的面积。

3. 折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，如图，若AB=2，BC=1，求AG 。

4. 已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。

5. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长．OFEDCBAGEDCBA6.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．7.已知：如图所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB、BC的垂线，与AB、BC，CD，DA分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形。

参考答案1.30°，162.723.（5^1/2—1）/24.因为BG. CG AE DE 分别为四个角的角平分线，所以∠GBC+∠GCB=90°所以∠G=90°同理，可证得∠E ∠GFE ∠GHE 都为90°所以四边形FGHE为矩形5.3 √266.提示：证明△FBE和△ECD全等（ASA）于是BE=CD=BA7.△ABO △ADO △BCO △DCO 都为等全等的三角形，易证得OE=OH=OF=OD所以，∴四边形EFGH为平行四边形EG=HF故EFGH为矩形。

平行四边形矩形练习卷一、选择题:1.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．对角线互相平分 C．一组对边相等 D．对角线互相垂直2.下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分3.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66° B．104° C．114° D．124°4.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．125.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,若BF=12,AB=10,则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．166.如图,平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若□ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，则□ABCD的面积等于( )A．87.5 B．80 C．75 D．72.57.下列命题中，假命题是（）A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形8.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为（）A．14 B．16 C．17 D．189.如图,在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=ADC．AB=AFD．BE=AD﹣DF10.如图，在矩形ABCD中，AB=8.将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上的B´点处，若AB/=4，则折痕EF 的长度为（）A．8 B．C．D．1011.如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转300，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A．155°B．170°C．105°D．145°12.如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此矩形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2二、填空题：13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若DF⊥AC,∠ADF:∠FDC=3:2，则∠BDF= ．14.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为．15.如图，▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为．16.矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为．17.如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为．18.如图，△ABC中，AB=12，AC=8，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．三、解答题：19.如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF．20.如图,已知把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,若∠1=60°，AE=2．（1）求∠2，∠3的度数．（2）求长方形ABCD的纸片的面积S．21.如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．22.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1.B2.B.3.C4.B5.D6.B7.C．8.D9.B10.C11.A12.A13.答案为：18°14.答案为：3．15.解：分两种情况：（1）①当∠BPC=90°时，作AM⊥BC于M，如图1所示，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∴BM=AB=1，∴AM=BM=，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，∴AC==2，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，∴BP=BA=2；②当∠BPC=90°，点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，BP===2；（2）当∠BCP=90°时，如图3所示：则CP=AM=，∴BP==；综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为 2或2或．16.答案为：2.5．17.答案为：（0，）．18.答案为：2；19.证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE∵▱ABCD∴OA=OC，OB=OD ∵OF=BF﹣OB，OE=DE﹣OD,BF=DE∴OE=OF ∵OA=OC，OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形∴AE=CF20.21.证明：（1）∵△ABC和△BEF都是等边三角形，∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠EAD=60°，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠CAD，在△ABE和△ACD中，∠EBA=∠ACB,AB=AC,∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD．（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴BE=CD，∵△BEF、△ABC是等边三角形，∴BE=EF，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥CD，∴BE=EF=CD，∴EF=CD，且EF∥CD，∴四边形EFCD是平行四边形．22.（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=0.5EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．。

A D CB F E · 1.如图矩形ABCD 中,AB=2AD,E 是CD 上一点,AE=AB,则∠CBE 等于( )A.30°B.22.5°C.15°D.以上答案都不对2.如图2，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若矩形ABCD 和矩形AEFC的面积分别是S 1、S 2的大小关系是（ ）A ． S 1＞S 2B ． S 1=S 2C ． S 1＜S 2D ． 3S 1=2S 23.如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B ′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是 （ ）A.12 B. 24 C. 123 D. 1634.如图4，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB =2∠BOC ， 若对角线 AC =6cm ，则周长= ，面积= 。

图4 图5 图65. 已知：如图5，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，∠AEO= ．6. 如图6，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB ＝6，BC ＝4，则AE ︰EF ︰FB 为（ ）A ．1︰2︰3B ． 2︰1︰3C ． 3︰2︰1D ． 3︰1︰27.要从一张长40cm ，宽20cm 的矩形纸片中剪出长为18cm ，宽为12cm 的矩形纸片则最多能剪出（ ）A ．1张 B ．2张 C ．3张 D ．4张8.平行四边形ABCD 中， AB=6cm ，AC+BD=14cm ，则△DOC 的周长为_______．9.已知：矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，E 为垂足，∠BCE ︰∠ECD=3︰1，那么∠ACE=____度.10.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，在CD 边上找一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，若点D 恰好落在BC 边上一点F 处，且△ABF 的面积是30㎝2，求DE 的长B A DC O 1题图11.如图，矩形 OABC 的顶点0、B 的坐标分别是O(0,0）、B(8,4) ，顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，把△OCB 沿OB 翻折，使点C 落在点D 的位置，OA 与BD 交于E.①求证：OE ＝EB;② 求OE 、DE 的长度；③求直线BD 的解析式。

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列图形中，不是矩形的是（）A. 长方形B. 平行四边形C. 正方形D. 等腰梯形2. 矩形的对角线相等且互相平分，下列说法正确的是（）A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 以上都是3. 如果一个四边形的对边分别平行且相等，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形4. 矩形的面积公式是（）A. S = a × bB. S = a × hC. S = b × hD. S = a + b5. 一个矩形的长是12cm，宽是5cm，它的周长是（）A. 30cmB. 40cmC. 50cmD. 60cm二、填空题（每题5分，共25分）6. 矩形的对角线互相平分，平分的比是______。

7. 矩形的面积是60cm²，如果它的长是10cm，那么它的宽是______cm。

8. 一个矩形的长和宽分别是8cm和6cm，它的周长是______cm。

9. 一个矩形的面积是72cm²，如果它的长是12cm，那么它的宽是______cm。

10. 矩形的对角线长度分别是10cm和6cm，那么它的面积是______cm²。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知矩形ABCD，其中AB=8cm，BC=6cm，求矩形的对角线AC的长度。

12. （10分）一个矩形的长是x厘米，宽是x-2厘米，它的面积是18平方厘米，求这个矩形的长和宽。

13. （10分）已知一个矩形的周长是24厘米，如果它的长是6厘米，求它的宽。

答案一、选择题1. D2. D3. B4. A5. B二、填空题6. 27. 68. 289. 610. 30三、解答题11. 解：由勾股定理得，AC² = AB² + BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100，所以AC = √100 = 10cm。

矩形1．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为( )A．16 B．12 C．24 D．202．如图，矩形ABCD中，AB<BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )A．2个B．4个C．6个D．8个3．(2013．扬州)矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为_______．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC 于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是_______．5．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且AE平分∠BAO．求∠AOB的度数．6．某市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形，若测得∠FAG ＝100°，则∠FBD等于( )A．35° B．40° C．50°D．70°7．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B 落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )A．3 B．4 C．5 D．68．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．125B．65C．245D．不确定9．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2 cm，点E在BC上，且AE＝E C．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B'重合，则AC＝_______cm．10．已知长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______．11．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF ＝EC，DE=4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．12．如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点c落在AB边上的点F处，若AD ＝8，且△AFD的面积为60．求：(1)边AB的长；(2)△DEC的面积．13．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．(1)若∠ECF＝30°，CF＝8，求CE的长；(2)求证：△ABF≌△DEC；(3)求证：四边形BCEF是矩形．矩形判定1．下列说法中，正确的是( )A．有1个角是直角的四边形是矩形 B．2条对角线相等的四边形是矩形．C．2条对角线互相垂直的四边形是矩形D．有3个角是直角的四边形是矩形2．下列关于矩形的说法中正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分3．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了．(1)当AC_______（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求；(2)这种做法的根据是___________________________________．4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝D C．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是_______（填上你认为正确的一个答案即可）．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，则四边形ADCE的形状是_______．6．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．(1)四边形EFGH是矩形吗？请证明你的结论；(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2 cm，求矩形ABCD的面积．7．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是( )A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD8．下列说法正确的是( )A．两个角为直角的四边形是矩形B．有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形C．一组对边平行，一个角是直角的四边形是矩形D．两条对角线垂直且相等的四边形是矩形9．□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC10．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC＝BD．②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB ⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有_______（填写序号）．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为_______度时，四边形ABFE为矩形．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E．求证：四边形ADCE为矩形．13．如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．(1)求证：△ABF≌△ECF．(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．参考答案1．B 2．B 3．6 4．12 5．60°6．C 7．D8．A 9．4 10．78cm11．6(cm) 12．(1) 17 (2)289813．3(2)略(3)略参考答案1．D 2．D3．(1)等于(2)对角线相等的平行四边形是矩形4．∠A＝90°5．矩形6．(1)四边形EFGH是矩形．(2)16(cm2)7．B 8．B9．A10．①④11．6012．略13．略。

八年级数学（下）《矩形》测试题（含答案）一、选择题(每小题4分,共12分)1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上,一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案,其中正确的是( )A.测量对角线是否相等B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三个角是否都为直角2.▱ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC3.如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )A.2B.C.4D.3二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE,BF.当∠ACB为度时,四边形ABFE为矩形.5.(2013·呼和浩特中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为.6.如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,则边AD的长是cm.三、解答题(共26分)7.(8分)已知:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,点O既是AC的中点,又是EF的中点.(1)求证:△BOE≌△DOF.(2)若OA=BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形?说明理由.8.(8分)(2013·新疆中考)如图,▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA,DC的延长线分别交于点E,F.(1)求证:△AOE≌△COF.(2)请连接EC,AF,则EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是矩形,并说明理由.【拓展延伸】9.(10分)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的邻补角的平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论.答案解析1.【解析】选D.根据矩形的判定,三个角都为直角的四边形是矩形.故选D.2.【解析】选A.根据矩形的判定定理(有一个角是直角的平行四边形是矩形)可得:DC⊥BC可证四边形ABCD是矩形.故D选项能判定四边形ABCD为矩形;矩形的对角线相等且相互平分,OA=OB,AC=BD 可证四边形ABCD为矩形,故B,C选项能判定四边形ABCD为矩形;AB=AD时,可证四边形ABCD的四条边都相等,不能证四边形ABCD为矩形.3.【解析】选A.∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点,∴DF∥BC,∴∠C=90°,又易知∠CDE=∠BED=90°,∴四边形BCDE是矩形.∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4,∴AC==2.∴DC=.∴四边形BCDE的面积为2×=2.4.【解析】如果四边形ABFE为矩形,根据矩形的性质,那么AF=BE,AC=BC,又因为AC=AB,那么三角形ABC是等边三角形,所以∠ACB=60°.答案:605.【解析】∵点E,F分别为四边形ABCD的边AD,AB的中点,∴EF∥BD,且EF=BD=3.同理求得GH∥BD,且GH=BD=3,EH∥AC∥GF,且EH=GF=AC=4, ∴四边形EFGH为平行四边形.又∵AC⊥BD,∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形.∴四边形EFGH的面积=EF·EH=3×4=12,即四边形EFGH的面积是12.答案:126.【解析】∵∠HEM=∠AEH,∠BEF=∠FEM,∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°,同理可得:∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,∴四边形EFGH为矩形.∴EH=FG,HG=EF,∠EHA=∠GFC,又∠A=∠C=90°,∴△AEH≌△CGF,∴AH=CF,∴BF=HD.∵AD=AH+HD=HM+MF=HF,HF===5,∴AD=5cm.答案:57.【解析】(1)∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEO=∠DFO=90°.又∵∠EOB=∠FOD,OE=OF,∴△BOE≌△DOF(ASA).(2)四边形ABCD是矩形.∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD.又∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵OA=BD,OA=AC,∴BD=AC,∴▱ABCD是矩形.8.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,AB∥CD.∴∠E=∠F.又∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.(2)连接EC,AF,则EF与AC满足EF=AC时,四边形AECF是矩形. 理由如下:由(1)可知△AOE≌△COF,∴OE=OF,∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形,∵EF=AC,∴四边形AECF是矩形.9.【解析】当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2.又∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠3=∠2,∴EO=CO.同理,FO=CO.∴EO=FO.又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.方法一:又∵∠1=∠2,∠4=∠5,∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°.∴平行四边形AECF是矩形.方法二:∵EO=CO,FO=CO,OA=CO,∴EO=CO=FO=OA,即AC=EF.∴平行四边形AECF是矩形.。

专题06 矩形（一题三变）【思维导图】◎考点题型1：矩形性质的理解例．（重庆一中九年级期中）下列命题是真命题的是（）n n≥边形的外角和为360︒A．三角形的外角大于它的任何一个内角B．()3C．矩形的对角线互相垂直且平分D．三角形的内心到三角形三个项点的距离相等【答案】B【解析】【分析】根据三角形的性质、多边形外角的性质,以及矩形的性质,对选项逐个判断即可．【详解】解：A、三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角,则选项错误,不符合题意；n n≥边形的外角和为360︒,则选项正确,符合题意；B、()3C、矩形的对角线互相平分,但不一定垂直,则选项错误,不符合题意；D、三角形的内心到三角形三个边的距离相等,则选项错误,不符合题意；【点睛】本题考查的是真假命题的判断,同时考查三角形的外角的性质,多边形的外角和定理,矩形的性质,三角形内心的性质,掌握以上知识是解题的关键．变式1．（广东·深圳中学九年级期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行且相等B．邻角互补C．对角线相等D．对角线互相垂直【答案】C【解析】【分析】根据矩形和菱形的性质逐个判断即可．【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等,②矩形的四个角都是直角,③矩形的对角线互相平分且相等,菱形的性质有：①菱形的对边平行,菱形的四条边都相等,②菱形的对角相等,③菱形的对角线互相平分且垂直,并且每一条对角线平分一组对角,所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等,故选：C．【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质,能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．变式2．（重庆市巴川中学校八年级期末）下列说法错误的是（）A．平行四边形对边平行且相等B．菱形的对角线平分一组对角C．矩形的对角线互相垂直D．正方形有四条对称轴【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．【详解】解：A、平行四边形对边平行且相等,正确,不符合题意；B、菱形的对角线平分一组对角,正确,不符合题意；C、矩形的对角线相等,不正确,符合题意；D、正方形有四条对称轴,正确,不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质,掌握以上性质定理是解题的关键．变式3．（2022·全国·八年级）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质即可判断；【详解】解：A、矩形、平行四边形的对边都是平行相等的,故本选项不符合题意；B、矩形的对角线相等,平行四边形的对角线不一定相等,故本选项符合；C. 矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．,故本选项不符合；D、矩形、平行四边形的对角线对角线不一定互相垂直．,故本选项不符合；故选：B【点睛】本题考查矩形的性质,矩形具有平行四边形的性质,又具有自己的特性,要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如,矩形的对角线相等．◎考点题型2：利用性质求角度例．（河南·登封市嵩阳中学九年级阶段练习）如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE的度数为()A．20°B．22.5°C．27.5°D．30°【答案】B【分析】根据矩形的性质可证明CAD BDA ∠=∠,再由三角形外角性质可证明出2AOE CAD ∠=∠,即得出AOE EAC ∠=∠,根据题意即可知AEO △是等腰直角三角形,得出45AOE EAC ∠=∠=︒,从而求出22.5CAD ∠=︒,最后即可求出BAE ∠的大小．【详解】∵四边形ABCD 是矩形, ∴CAD BDA ∠=∠．∵AOE ADO DAO ∠=∠+∠,即AOE CAD BDA ∠=∠+∠, ∴2AOE CAD ∠=∠, ∴AOE EAC ∠=∠． ∵90AEO ∠=︒,∴AEO △是等腰直角三角形, ∴45AOE EAC ∠=∠=︒,∴114522.522CAD EAC ∠=∠=⨯︒=︒,∴904522.522.5BAE BAD EAC CAD ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒． 故选：B ． 【点睛】本题考查矩形的性质,三角形外角性质,等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．变式1．（广东南海·九年级阶段练习）如图,矩形ABCD 中,连接AC ,延长BC 至点E ,使BE ＝AC ,连接DE ．若∠E ＝70°,则∠BAC 的度数是（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【解析】 【分析】连接BD ,交AC 于O ,由矩形的性质得∠ABC ＝90°,OA ＝OC ＝1AC ,OB ＝OD ＝1BD ,AC ＝DB ,则OA ＝OB ,得∠BAC ＝∠OBA ,再证BE ＝BD ,由等腰三角形的性质得∠BDE ＝∠E ＝70°,则∠DBE ＝50°,即可求解． 【详解】解：连接BD ,交AC 于O ,如图：∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC ＝90°,OA ＝OC ＝12AC ,OB ＝OD ＝12BD ,AC ＝DB , ∴OA ＝OB , ∴∠BAC ＝∠OBA , ∵BE ＝AC , ∴BE ＝BD ,∴∠BDE ＝∠E ＝70°,∴∠DBE ＝180°−70°−70°＝40°, ∴∠BAC ＝∠OBA ＝90°−40°＝50°, 故选：C ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质,求出∠DBE 的度数是解题的关键．变式2．（浙江苍南·八年级期末）如图,矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,AE BD ⊥于点E ,若2BAE OAE ∠=∠,则AOB ∠的度数为（ ）A ．18︒B ．54︒C ．70︒D ．72︒【答案】D【分析】根据矩形的性质得到∠OAB=∠OBA,再根据∠BAE=2∠OAE,结合垂线的定义得到2∠OAE+3∠OAE=90°,解之可得∠OAE,从而求出∠AO B．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∵∠BAE=2∠OAE,∴∠OBA=∠OAB=3∠OAE,∵AE⊥OB,∴∠BAE+∠OBA=90°,∴2∠OAE+3∠OAE=90°,解得：∠OAE=18°,∴∠AOB=90°-18°=72°,故选D．【点睛】本题考查了矩形的性质,三角形内角和,等边对等角等知识,利用矩形的性质得到∠OBA=∠OAB是解题的关键．变式3．（山东沂南·八年级期末）如图,矩形ABCD中,连接AC,延长BC至点E,使BE＝AC,连接DE．若∠E＝65°,则∠BAC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．65°【答案】A【解析】【分析】连接BD,交AC于O,由矩形的性质得∠ABC＝90°,OA＝OC＝12AC,OB＝OD＝12BD,AC＝DB,则OA＝OB,得∠BAC＝∠OBA,再证BE＝BD,由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝65°,则∠DBE＝50°,即可求解．解：连接BD,交AC于O,如图：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC＝90°,OA＝OC＝12AC,OB＝OD＝12BD,AC＝DB,∴OA＝OB,∴∠BAC＝∠OBA,∵BE＝AC,∴BE＝BD,∴∠BDE＝∠E＝65°,∴∠DBE＝180°−65°−65°＝50°,∴∠BAC＝∠OBA＝90°−50°＝40°,故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质,求出∠DBE＝50°是解题的关键．◎考点题型3：利用性质求线段长例．（全国·八年级期中）矩形ABCD的对角线交于点O,∠AOD=120°,AO=3,则BC的长度是（）A．3B．C．D．6【答案】C【解析】【分析】画出图形,由条件可求得△AOB为等边三角形,则可求得AC的长,在Rt△ABC中,由勾股定理可求得BC 的长．【详解】解：如下图所示：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,OA=12AC,OB=12BD,AC=BD,∴OA=OB,∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=2,∴AC=2OA=4,∴BC2=AC2-AB2=36-9=27,∴BC=故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．变式1．（2022·全国·八年级）如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,若∠AOD＝120°,AC ＝16,则AB的长为（）A．16B．12C．8D．4【答案】C【解析】【分析】由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝8,可证△ABO是等边三角形,可得AB＝8．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,∴AC＝2AO＝2CO,BD＝2BO＝2DO,AC＝BD＝16,∵∠AOD＝120°,∴∠AOB＝60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB＝AO＝BO＝8,故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质,等边三角形的性质和判定,熟练掌握矩形的性质是本题的关键．变式2．（广东清新·九年级期中）如图所示,在矩形ABCD中,已知AE⊥BD于E,∠DBC＝30°,BE=1cm,则AE的长为（）A．3cm B．2cm C．D【答案】D【解析】【分析】根据矩形和直角三角形的性质求出∠BAE=30°,再根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,∠BDA=∠DBC=30°,∵AE⊥BD,∴∠DAE=60°,∴∠BAE=30°,在Rt△ABE中,∠BAE=30°,BE=1cm,∴AB=2cm,∴AE=cm),故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质,含30度角的直角三角形的性质,熟记各图形的性质并准确识图是解题的关变式3．（福建将乐·九年级期中）如图,矩形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=3,则OC等于（）A．3B．3.5C．4D．5【答案】A【解析】【分析】由矩形的性质得出OA=OB,由已知条件证出△AOB是等边三角形,得出OA=AB=3,得出OA=OC=3即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,∴OA=12AC,OB=12BD,AC=BD,∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=3,∴OA=OC=3；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质,并能进行推理论证是解题的关键．◎考点题型4：利用性质求面积例．（2022·重庆南岸·九年级期末）如图,矩形ABCD中,两条对角线AC与BD相交于点O,AB＝6,OA ＝4．则这个矩形的面积为（）A ．24B ．48C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质,对角线相等且互相平分,可得28AC OA ==,进而勾股定理求得BC ,再根据AB BC ⨯即可求得矩形的面积． 【详解】解：四边形ABCD 是矩形, 12OA AC ∴=,90ABC ∠=︒ AB ＝6,OA ＝4BC ∴∴矩形ABCD 的面积为：6AB BC ⨯=⨯=故选C 【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,掌握矩形的性质是解题的关键．变式1．（陕西长安·九年级期中）如图,点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点,过点P 作EF BC ∥,GH AB ∥,分别交AB 、CD 、AD 、BC 于E 、F 、G 、H ,连接PB ．若3AE =,8PF =．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】 【分析】连接PD ,根据EF BC ∥,GH AB ∥,推出四边形AEPG 、四边形BEPH 、四边形PFCH 、四边形DFPG 都是矩形,得到BEPH DFPG S S =矩形矩形,由矩形的性质1=2PBEBEPHS S 矩形求出答案． 【详解】 解：连接PD ,∵四边形ABCD 是矩形,∴,90AD BC AB CD ABC ∠=︒∥∥，,ABC ADC S S =△△ , ∵EF BC ∥,GH AB ∥,∴四边形AEPG 、四边形BEPH 、四边形PFCH 、四边形DFPG 都是矩形, ∴,AEPAGPPCHPCFSSSS==,GP =3AE =,∴BEPH DFPG S S =矩形矩形, ∴111=8312222PBEBEPH DFPG SS S ==⨯⨯=矩形矩形, 故选：C ．【点睛】此题考查矩形的判定及性质,熟记矩形的判定定理并熟练应用是解题的关键．变式2．（2022·全国·八年级）如图,点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点,过点P 作EF ∥BC ,分别交AB ,CD 于E 、F ,连接PB 、PD ．若AE =2,PF =6,则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．18【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可证明PEB PFD S S ∆∆=,即可求解． 【详解】解：作PM AD ⊥于M ,交BC 于N ．则有四边形AEPM ,四边形DFPM ,四边形CFPN ,四边形BEPN 都是矩形,ADC ABC S S ∆∆∴=,AMP AEP S S ∆∆=,PBE PBN S S ∆∆=,PFD PDM S S ∆∆=,PFC PCN S S ∆∆=,2MP AE ==12662DFP PBE S S ∆∆∴==⨯⨯=,6612S ∴=+=阴,故选：B ． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是证明PEB PFD S S ∆∆=．变式3．（重庆市江津第二中学校八年级阶段练习）在矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,∠AOD =60°,OB =2cm,那么矩形ABCD 的面积为（ ）A B ． C ． D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质求出OA =OD ,根据得出∠AOD =60°等边三角形AOD ,求出AD 、BD ,再根据勾股定理求出AB ,最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形, ∴BD ＝2 BO=4,OA = OD , ∵∠AOD =60°,∴△AOD 是等边三角形,∴AD=OD=OA=OB=2,在Rt△ABD中,AB=∴S矩形=故选D.【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定,解决本题的关键是要熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定,勾股定理.◎考点题型5：利用矩形性质证明例．（河北唐县·八年级期末）如图,四边形ABCD是矩形,连接AC．根据尺规作图痕迹,判断直线MN 与CB的位置关系（）A．相交,夹角30°B．平行C．相交,夹角60°D．垂直【答案】A【解析】【分析】∠的平分线,再根据矩形的性质即可得到根据尺规作图的痕迹,MN是AC的垂直平分线、AM是DAC结论．【详解】∠的平分线,且交点M在CD上,解：根据尺规作图的痕迹,得：MN是AC的垂直平分线、AM是DAC∴AM=MC,∠MCA=∠MAC=∠DAM．∵AB//CD,∴∠MCA=∠CAB．∵四边形ABCD是矩形,∴∠MCA=30°,∠CMN=60°．∴直线MN与CB相交,且夹角为30°．故选：A ． 【点睛】本题考查了矩形的性质,线段垂直平分线的性质,角平分线的定义,熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．变式1．（2020·河北·石家庄市第二十八中学二模）如图,证明矩形的对角线相等． 已知：四边形ABCD 是矩形．求证：AC BD =．以下是排乱的证明过程： ①AB CD ∴=,ABC DCB ∠=∠, ②四边形ABCD 是矩形, ③BC CB =, ④AC BD ∴=, ⑤ABC DCB ∴∆≅∆证明步骤正确的顺序是（ ）A ．③①②⑤④B ．②①③⑤④C ．②⑤③①④D ．③⑤②①④【答案】B 【解析】 【分析】根据SAS 定理证明三角形全等,进而得出对应边相等. 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AB=CD 、∠ABC=∠DCB ∵BC=CB ∴ΔABC ≌ΔDCB ∴AC=DB所以正确顺序为②①③⑤④． 故选：B ． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明,矩形的性质．理清证明过程是排序的关键．变式2．（2020·天津·九年级学业考试）如图,在矩形ABCD 中,连接AC ,延长BC 至点E ,使BE AC =连接DE ．若40BAC ︒∠=,则E ∠的大小是（ ）A ．65︒B ．60︒C ．55︒D ．50︒【答案】A 【解析】 【分析】连接BD,根据矩形的性质及BE AC =易证BED ∆为等腰三角形,得到∠E=∠BDE,关键求出∠DBE,利用三角形的内角和定理即可得到∠E. 【详解】解：连接BD,交AC 于点O,∵四边形ABCD 是矩形, ∴OA=OB=OC =OD,AC=BD 又∵BE AC =, ∴BD=BE, ∴∠E=∠BDE,∵∠ABC=90°,∠BAC=40°, ∴∠ACB=50°, 又∵OB=OC,∴∠DBE=∠ACB=50°, ∵∠E+∠BDE+∠DBE=180°, ∴2∠E=180°-∠DBE=180°-50°, ∴∠E=65︒. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质,等腰三角形的性质及三角形的内角和.熟练掌握有关几何图形的性质并灵活运用是解题的关键.◎考点题型6：求矩形在平面直角坐标系中的坐标例．（全国·八年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,点O 是坐标原点,点A 、C 的坐标分别是()6,0,()0,3,点B 在第一象限,则点B 的坐标是（ ）A ．()3,6B ．()6,3C ．()6,6D ．()3,3【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出点B 的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC 是矩形, ∴OC=AB,CB=OA,∵点A,C 的坐标分别是（6,0）,（0,3）, ∴AB=3,OA=6, ∴点B 坐标为（6,3）, 故选：B ． 【点睛】此题考查矩形的性质,关键是根据矩形的性质得出点B 的坐标．变式1．（全国·七年级课时练习）一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为(1,1)--,(1,2)-,(3,1)-,那么第四个顶点的坐标为（ ）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(3,3)D ．(2,2)【答案】A 【解析】 【分析】根据长方形对边平行且相等,利用横坐标与纵坐标和已知点的横坐标或纵坐标相同即可求出第四点坐标． 【详解】在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1,-1）,（-1,2）,两点的横坐标相同,这两点连线平行y 轴,第四点与（3,-1）连线也平行y 轴,则第四点的横坐标为3,由于在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1,-1）,（3,-1）纵坐标相同,此两点连线平行x 轴,为此（-1,2）,与第四点两线平行x 轴,则第四点的纵坐标为2,所以第四点的坐标为（3,2）, 故选择：A ． 【点睛】本题考查长方形的第四点坐标问题,掌握长方形的性质,会利用平行x 轴或y 轴,两点的横坐标或纵坐标相等来解决问题是关键．变式2．（2020·天津和平·三模）在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的位置如图所示,其中(1,1)B --,点A 在第二象限,//AB y 轴,3,4AB BC ==,则顶点D 的坐标为( )A ．(3,2)B ．(2,2)C ．(3,3)D ．(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质可得3AB CD ==,4CB AD ==,////AD BC x 轴,////AB CD y 轴,则可求点D 坐标． 【详解】解：四边形ABCD 是矩形3AB CD ∴==,4CB AD ==,//AD BC ,//AB CD ,且//AB y 轴,AB CD y轴,////∴轴,////AD BC xBC=,B--,3(1,1)AB=,4∴点C横坐标为3,点A纵坐标为2,∴点D坐标为(3,2),故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质,坐标与图形性质,熟练运用矩形的性质是本题的关键．变式3．（2020·福建·三明市梅列区教育局九年级期中）如图,在一次函数y＝－x＋6的图象上取一点P,作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,且矩形PBOA的面积为5,则在x轴上方满足上述条件的点P 是（）A．(1,5)、（5,1）B．(1,5)、(5,1)、(3、(3C．(1,5)、(5,1)、(3D．(1,5)、(2、(2【答案】C【解析】【分析】设点P的坐标为（m,-m+10）,根据矩形的面积为9可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程,解方程即可得出m值,将其代入点P坐标中即可得出结论．【详解】解：设点P的坐标为（m,-m+6）,由已知得：|m|•|-m+6|=5,即m2-6m+5=0或m2-6m-5=0,=1,m2=5,m3=34=3解得：m∴点P的坐标为：（1,5）、（5,1）、（33+.故选C.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的面积,解题的关键是根据矩形的面积得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据矩形的面积得出方程是关键．◎考点题型7：矩形与折叠问题例．（北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）已知,如图长方形ABCD中,AB＝3,AD＝9,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则BEF的面积为（）A．6B．7.5C．12D．15【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得,BE＝DE,设AE＝x,则ED＝BE＝9−x,在直角△ABE中,根据勾股定理可得32＋x2＝（9−x）2,即可得到BE的长度,由翻折性质可得,∠BEF＝∠FED,由矩形的性质可得∠FED＝∠BFE,即可得出△BEF是等腰三角形,BE＝BF,即可得出答案．【详解】解：设AE＝x,则ED＝BE＝9−x,根据勾股定理可得,32＋x2＝（9−x）2,解得：x＝4,由翻折性质可得,∠BEF＝∠FED,∵AD∥BC,∴∠FED＝∠BFE,∴∠BEF＝∠BFE,∴BE＝BF＝5,×5×3＝7.5．∴S△BFE＝12故选：B．【点睛】本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质,熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．AB=,如果将该矩形沿对角线BD 变式1．（江苏·星海实验中学八年级期中）如图,矩形ABCD中,6折叠,那么图中阴影部分BED的面积是22.5,则BC=（）A．8B．10C．12D．14【答案】C【解析】【分析】根据折叠和矩形的性质,可得∠DBE =∠CBD,AD∥BC,AD=BC,AB⊥AD,从而得到∠BDE=∠DBE,进而得到BE=DE,再由BED的面积是22.5,可得152BE=,然后根据勾股定理,即可求解．【详解】解：根据题意得：∠DBE =∠CBD,AD∥BC,AD=BC,AB⊥AD,∴∠BDE=∠CBD,∴∠BDE=∠DBE,∴BE=DE,∵BED的面积是22.5,6AB=,∴122.52AB DE⨯=,解得：152DE=,∴152 BE=,在Rt ABE△中,由勾股定理得：92AE===,∴9151222BC AD AE BE==+=+=．故选：C【点睛】本题主要考查了折叠和矩形的性质,勾股定理,熟练掌握折叠和矩形的性质,勾股定理是解题的关键．变式2．（湖北·云梦县实验外国语学校八年级期末）将一长方形纸条按如图所示折叠,255∠=︒,则1∠=（）A ．55°B ．70°C ．110°D ．60°【答案】B【解析】【分析】 从折叠图形的性质入手,结合平行线的性质求解．【详解】解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知,221180∠+∠=︒,255∠=︒,170∴∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查折叠的性质及平行线的性质,解题的关键是结合图形灵活解决问题．变式3．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图,长方形OABC 中,点A 在y 轴上,点C 在x 轴上．4OA BC ==,8AB OC ==．点D 在边AB 上,点E 在边OC 上,将长方形沿直线DE 折叠,使点B 与点O 重合．则点D 的坐标为（ ）A ．()4,4B ．()5,4C ．()3,4D ．()6,4【答案】C【解析】【分析】 设AD =x ,在Rt △OAD 中,据勾股定理列方程求出x ,即可求出点D 的坐标．【详解】解：设AD =x ,由折叠的性质可知,OD =BD =8-x ,在Rt △OAD 中,∵OA 2+AD 2=OD 2,∴42+x 2=(8-x )2,∴x =3,∴D ()3,4,故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,以及折叠的性质,熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．◎考点题型8：直角三角形斜边上的中线问题例．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图,在Rt ABC 中,ACB ∠是直角,点D 是AB 边上的中点,下列成立的有（ ）①90A B ∠+∠=︒ ②222AC BC AB += ③2CD AB = ④30B ∠=︒ A ．①②④B ．①③C ．②④D ．①②③【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形的性质直接进行判断即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中,∠ACB 是直角,∴∠A +∠B =90°,①正确；根据勾股定理得AC 2+BC 2=AB 2②正确；∵点D 是AB 边上的中点,∴2CD =AB ,故③正确；不能得到∠B =30°,④错误,故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质及勾股定理的知识,解题的关键是了解直角三角形的两瑞角互余、斜边上的中线等于斜边的一半等性质,难度不大．变式1．（2022·江苏梁溪·八年级期末）如图,在△ABC中,AB＝AC,BD＝CD,点E为AC的中点,连接DE,若△ABC的周长为20cm,则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16 cm【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出DE,根据三角形的周长公式计算,得到答案．【详解】解：∵点E为AC的中点,∴AE=CE,∵BD＝CD,AB,∴DE=12∵△ABC的周长为20,即AB+BC+AC=20cm,（AB+BC+AC）=10cm,∴△CDE的周长＝DE＋CD＋CE＝12故选：A．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键．变式2．（上海普陀·八年级期末）如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,如果D为边AB上的中点,那么下面结论错误的是（）A ．12CD AB = B ．12CB AB = C ．∠A ＝∠ACD D ．∠ADC ＝2∠B【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含30 角的直角三角形的性质,三角形外角的性质判定即可求解．【详解】解：在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,D 为边AB 上的中点,12AD BD CD AB ∴===,故A 选项正确,不符合题意； A ACD ∴∠=∠,故C 选项正确,不符合题意；DCB B ∠=∠,2ADC DCB B B ∴∠=∠+∠=∠,故D 选项正确,不符合题意；只有当30A ∠=︒时,12CB AB =,故B 选项错误,符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线,解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．变式3．（2022·北京海淀·九年级期末）如图,A ,B ,C 是某社区的三栋楼,若在AC 中点D 处建一个5G 基站,其覆盖半径为300 m,则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是（ ）A ．A ,B ,C 都不在B ．只有BC ．只有A ,CD ．A ,B ,C【答案】D【解析】【分析】 根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得ABC ∆为直角三角形,由直角三角形斜边上的中线性质即可得．【详解】解：如图所示：连接BD ,∵300AB =,400BC =,500AC =,∴222AC AB BC =+,∴ABC ∆为直角三角形,∵D 为AC 中点,∴250AD CD BD ===,∵覆盖半径为300 ,∴A 、B 、C 三个点都被覆盖,故选：D ．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理,直角三角形斜边中线的性质等,理解题意,综合运用两个定理是解题关键．◎考点题型9：判定定理的理解例．（上海·八年级期末）下列四个命题中,真命题是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形D ．对角线相等的四边形是矩形【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,故原命题是真命题；B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形,故原命题是假命题；C、以两条对角线为对称轴的四边形是菱形,以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形,故原命题是假命题；D、对角线相等的平行四边形才是矩形,故原命题是假命题；故选：A．【点睛】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定,掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．变式1．（河北·石家庄二十三中八年级期末）下列命题是真命题的是（）A．有一个角为直角的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形D．有一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定,结合选项进行判断即可．【详解】A.有三个角是直角的四边形是矩形,故本选项为假命题；B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故本选项为假命题；C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故本选项为假命题；D.有一组邻边相等的矩形是正方形,故本选项为真命题．故选：D．【点睛】考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定,熟练掌握它们的判定方法是解题的关键．变式2．（四川·成都新津为明学校九年级期中）下列测量方案中,能确定四边形门框为矩形的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形,∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形,∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形,∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形,∴对角线相等的四边形不是矩形,∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等,∴对角线互相平分且相等,∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形,∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．变式3．（广东佛山·九年级期中）下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形【答案】A【解析】【分析】根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理逐项判断,即可求解．【详解】解：A 、对角线互相平分的四边形是平行四边形,而对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故本选项正确,符合题意；B 、对角线相等的平行四边形是矩形,故本选项错误,不符合题意；C 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故本选项错误,不符合题意；D 、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形,故本选项错误,不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定,熟练掌握菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理是解题的关键◎考点题型10：添加条件成为矩形例．（北京·八年级期中）下列关于ABCD 的叙述,正确的是（ ）A ．若AC BD =,则ABCD 是矩形B ．若AB AD =,则ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥,则ABCD 是菱形D ．若AC BD ⊥,则ABCD 是正方形【答案】A【解析】【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A 、B 、D 错误,C 正确；即可得出结论．【详解】解：ABCD 中,AC BD =, ∴四边形ABCD 是矩形,选项A 符合题意； ABCD 中,AB AD =,∴四边形ABCD 是菱形,不一定是正方形,选项B 不符合题意； ABCD 中,AB BC ⊥,∴四边形ABCD 是矩形,不一定是菱形,选项C 不符合题意； ABCD 中,AC BD ⊥,∴四边形ABCD 是菱形,选项D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握。

矩形经典习题1．矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，则AC=_____．矩形的面积为______．2．已知一矩形长6cm ，宽2cm ，则它的对角线长______cm ．3．矩形两对角线夹角为120°，矩形宽为2，则矩形面积为_____．4．如图所示，把两个大小完全相同的矩形拼成“L •”型图案，则∠FAC=_____，∠FCA=_____．5．在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若∠AOB=100°，则∠OAD=_____．6．矩形的面积是12cm 2，一边与一条对角线的比为3：5，则矩形的对角线长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．12cm7．下列说法不能判定四边形是矩形的是（ ）A ．有一个角为90°的平行四边形B ．四个角都相等的四边形C ．对角线相等的平行四边形D ．对角线互相平分的四边形8．在□ABCD 中增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是（ ）A ．对角线互相平分B ．AB=BC C ．∠A+∠C=180°D ．AB=12AC 9．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（ ）A ．AO=CO ，BO=DOB ．AO=BO=CO=DOC ．AB=BC ，AO=COD ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD10．下列说法正确的是（ ）A ．两组对角分别相等的四边形是矩形B ．有两个角是直角的四边形是矩形C ．有一个角是直角的平行四边形是矩形D ．有一个角是直角，且一组对边相等的四边形是矩形11.矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，AB=5,12,cm BC cm =则△ABO 的周长为等于.12. 如图所示，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠， 使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （）A.34B.33C.24D.８13. 如图所示，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 ．A B C D E F14.已知矩形的周长为40cm ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差为8cm ，则较大的边长为 .15矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB =2∠BOC ， 若对角线 AC =6cm ，则周长= ，面积= 。

初二数学菱形、矩形复习题矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：判定：1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为____________2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于________3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是_______________4．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为________________5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为_________________7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有________________8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是．9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD 边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为．11．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为．14．如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值为．15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= ．16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足（关系）时，四边形EFGH为矩形．18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于．20．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q 从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= 时，四边形APQD也为矩形．21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE 分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形CDGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．22．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．24．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE 的延长线交于点F，连接DF．（1）求证：AF=DC；（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．26．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．27．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，求证：FH+FG=AD．28．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．29．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？30．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，连接EF．（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．31．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？32．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．34．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．35．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．36．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．37．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．参考答案矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为__________【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，BC=AD，OA=OC=OB=OD，AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO，．∵矩形ABCD的周长为20cm，∴BC+DC=10cm，∵EF⊥AC，∴CE=CF，在△ODE和△OBF中，，∴△ODE≌△OBF（ASA），∴DE=BF，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm．2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于______【解答】解：方法一：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；∴△AEP∽△ABC，故=①；同理可得△BFP∽△DAB，故=②．①+②得=，∴PE+PF=．方法二：（面积法）如图，作BM⊥AC于M，则BM==，∵S△AOB=S△AOP+S△POB，∴•AO•BM=•AO•PE+•OB•PF，∵OA=OB，∴PE+PF=BM=．3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是______________【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=8，OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=4，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠EDC=67.5°，∴∠ODC=∠OCD=67.5°，∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，∴∠COD=45°，∴OE=DE，∵OE2+DE2=OD2，∴2DE2=OD2=16，∴DE=2．4．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为_____________【解答】解：连接EF，∵S△ABF=S△EBF∴S△EFG=S△ABG=15；同理：S△EFH=S△DCH=20∴S阴影=S△EFG+S△DCH=15+20=35．5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________【解答】解：菱形的面积为：×6×8=24．6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为___________【解答】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC=60°，∠BAD=120°，∵周长为16，∴边长AB=4，∴菱形的对角线AC=4，BD=2×4sin60°=4，∴面积=AC•BD=×4×4=8．7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有___________【解答】解：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE=OE．∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE=OF．∵OD=OD．∴DE=DF．同理：BE=BF∴四边形BFDE是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积=AC×BD．∵E、F分别是OA、OC的中点．∴EF=AC．∴菱形ABCD的面积=EF×BD．④不正确由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是10 ．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AO=BO，∵AC、BD的夹角是60°，∴△ABO是等边三角形，∴AO=AB=5，∴对角线AC=2AO=2×5=10．故答案为：10．9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM=AP，由勾股定理知BC==5，∵S△ABC=AB•AC=BC•AP，∴AP==，∴AM=AP=．10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD 边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为1：1 ．【解答】解：连接HF，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠D=90°∵H、F分别为AD、BC边的中点，∴DH=CF，DH∥CF，∵∠D=90°，∴四边形HFCD是矩形，∴△HFG的面积是CD×DH=S矩形HFCD，即S△HFG=S△DHG+S△CFG，同理S△HEF=S△BEF+S△AEH，∴图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比是1：1，故答案为：1：1．11．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．【解答】解：连接FH、EG；∵AF=CG=2，AE=CH=4﹣1=3，∠A=∠C=90°，∴△AEF≌△CHG，S△AEF=S△CHG=3；同理可证：△FHD≌△GEB，S△FHD=S△GEB=1.5；∴FH=EG，EF=GH，即四边形EFHG是平行四边形；且S平行四边形=S矩形﹣2S△AEF﹣2S△FHD=11；过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；则S△EFP+S△GHP=EF（PM+PN）=EF•MN=S▱EFHG=．故答案为：．12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，∴AG=DG，∴∠ADG=∠DAG，∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，∵∠AED=2∠CED，∴∠AED=∠AGE，∴AE=AG=4，在Rt△ABE中，AB===．故答案为：．13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是1+；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为1+．【解答】解：取AB的中点M，连OM，PM，在Rt△ABO中，OM==1，在等边三角形ABP中，PM=，无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，∵O到AB的最大值是AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理得：PM==，∴OP=1+，将△AOP的PA边长改为，另两边长度不变，∵22+22=，∴∠PBA=90°，由勾股定理得：PM==，∴此时OP=OM+PM=1+．故答案为：1+，1+．14．如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值为4．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是菱形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵ABC=120°，∴∠BCD=60°，∴△BCD是等边三角形，∵E是BC的中点，∴DE⊥BC，CE=BC=×8=4，∴DE===4．故答案为：4．15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= 5 ．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，即BG=5．故答案是：5．16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为①③④（注：把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．故答案为：①③④．17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足AB=AD （关系）时，四边形EFGH为矩形．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF=45°．又∵EH⊥EF，FG⊥EF∴∠GFB=∠HED=45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH=FG，∴ED=FB又∵AE=AF，∴AD=AB．故答案是：AD=AB．18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是18．【解答】解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC，DF=BC，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC=6，∴DF=BC=3，在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=3，∴tan30°=，即AD=3，∴CD=AD=3，则矩形BCDE的面积S=CD•BC=18．故答案为：18．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于 2.4 ．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，连接CD，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形EDFC是矩形，∴EF=CD，∠EDF=90°，∵点Q是EF的中点，∴DQ=EF=CD，当CD最小时，则DQ最小，根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小，∴DQ=EF=CD=×=2.4，。

初二数学矩形试题1.若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（）A．8cm2B．4cm2C．2cm2D．8cm2【答案】B【解析】先根据矩形的性质及勾股定理求出另一条边长，再根据矩形的面积公式即可求得结果. 由题意得，另一条边长，‘则此矩形的面积为，故选B.【考点】本题主要考查矩形的性质，矩形的面积公式，勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等.2.如图所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（）A．29°B．32°C．22°D．61°【答案】B【解析】根据折叠的性质可得∠EBD=∠DBC=29°，再根据矩形的性质即可求得结果.由题意得∠EBD=∠DBC=29°，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBD-∠DBC=32°，故选B.【考点】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握矩形的四个角都是直角，折叠前后的图形全等.3.矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，则AB 的长是（）A．12B．22C．16D．26【答案】C【解析】根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD，AB=CD，AD=BC，再结合矩形ABCD的周长为56，△ABO与△BCO的周长差为4，即可求得结果.∵矩形ABCD，∴OA=OB=OC=OD，AB=CD，AD=BC，∵矩形ABCD的周长为56，∴AB+BC=28，∵△ABO与△BCO的周长差为4，∴（AB+BO+AO）-（BC+BO+CO）=4，即AB-BC=4，∴AB=16，故选C.【考点】本题考查的是矩形的性质点评：解答本题的关键是熟记矩形的对边相等，对角线互相平分且相等.4.我们把__________叫做矩形．【答案】有一个角是直角的平行四边形【解析】直接根据矩形的定义填空即可.我们把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．【考点】本题考查的是矩形的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．5.矩形是特殊的____________，所以它不但具有一般________的性质，而且还具有特殊的性质：（1）_________；（2）___________．【答案】平行四边形，平行四边形，（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等【解析】直接根据矩形的性质填空即可.矩形是特殊的平行四边形，所以它不但具有一般平行四边形的性质，而且还具有特殊的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等.【考点】本题考查的是矩形的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等.6.矩形既是______图形，又是________图形，它有_______条对称轴．【答案】中心对称，轴对称，2【解析】直接根据矩形的性质填空即可.矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有2条对称轴．【考点】本题考查的是矩形的对称性点评：解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．7.矩形的两条邻边分别是、2，则它的一条对角线的长是______．【答案】3【解析】根据矩形的性质即可得到结果.由题意得，它的一条对角线的长是【考点】本题考查的是矩形的性质点评：解答本题的关键是熟记矩形的四个角均是直角.8.如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=4，•则DC=________．【答案】4【解析】先根据矩形的性质结合∠AOD=60°，可得△OBC为等边三角形，即可求得BC的长，再根据勾股定理即可求得结果.∵矩形ABCD，∴OA=OB=OC=OD=8，∠BCD=90°，∴BD=8，∵∠AOD=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BC=BO=4，【考点】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理点评：解答本题的关键是熟记矩形的四个角均是直角，对角线互相平分且相等.9.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A•孤延长线于点E，求证：AC=CE．【答案】见解析【解析】由矩形的性质，可得AC=BD，欲求AC=CE，证BD=CE即可．可通过证四边形BDEC 是平行四边形，从而得出BD=CE的结论．在矩形ABCD中，AC=BD， AD∥BC，又∵CE∥DB，∴四边形BDEC是平行四边形．∴BD=EC．∴AC=CE．【考点】此题主要考查了矩形的性质及平行四边形的判定和性质点评：解答本题的关键是熟练掌握矩形的两组对边分别平行，矩形的对角线相等.10.如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，动点P以1cm/s的速度从A点出发，•经点D，C到点B，设△ABP的面积为s（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）求当点P在线段AD上时，s与t之间的函数关系式；（2）求当点P在线段BC上时，s与t之间的函数关系式；【答案】（1）s=t （2）s=-t+35【解析】根据直角三角形的面积公式即可得到结果.（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，BC=4cm，∴；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD=∴【考点】本题主要考查矩形的性质，三角形的面积公式点评：解答本题的关键是熟练掌握矩形的对边相等，四个角都是90°．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 矩形的长为6cm，宽为4cm，则矩形的面积为（）A. 24cm²B. 12cm²C. 36cm²D. 48cm²2. 矩形的对角线互相垂直，那么这个矩形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3. 矩形的长为8cm，宽为5cm，那么这个矩形的周长为（）A. 26cmB. 30cmC. 32cmD. 34cm4. 一个矩形的长为x，宽为y，则这个矩形的面积为（）A. xyB. x+yC. x-yD. x²+y²5. 矩形的对角线相等，那么这个矩形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形6. 一个矩形的长为5cm，宽为3cm，那么这个矩形的对角线长度为（）A. 8cmB. 9cmC. 10cmD. 12cm7. 矩形的对角线互相平分，那么这个矩形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形8. 一个矩形的长为6cm，宽为4cm，那么这个矩形的对角线长度为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm9. 矩形的面积是长和宽的乘积，那么矩形的周长是长和宽的和的（）A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍10. 一个矩形的长为7cm，宽为3cm，那么这个矩形的对角线长度为（）A. 10cmB. 11cmC. 12cmD. 13cm二、填空题（每题5分，共50分）1. 矩形的对角线互相垂直，那么这个矩形是________。

2. 矩形的对角线互相平分，那么这个矩形是________。

3. 矩形的面积是________的乘积。

4. 矩形的周长是________的和的2倍。

5. 一个矩形的长为5cm，宽为3cm，那么这个矩形的面积为________cm²。

6. 一个矩形的长为6cm，宽为4cm，那么这个矩形的周长为________cm。

7. 一个矩形的长为7cm，宽为3cm，那么这个矩形的对角线长度为________cm。

专题10 矩形的判定题型全覆盖（25题）【思维导图】【考查题型】考查题型一添加一个条件使四边形是矩形1．（2020·江阴市八年级期中）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【答案】B【提示】由矩形的判定方法即可得出答案．【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，故选B．【名师点拨】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键.2．（2020·辽宁营口市·八年级期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AC=BDC．AB=BC D．AD=BC【答案】B【提示】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理可得，只需添加条件是对角线相等．【详解】可添加AC=BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形．故选B．【名师点拨】考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．3．（2020·辽宁沈阳市·九年级期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AB=BC C．AC⊥BD D．AC=BD【答案】D【提示】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．【详解】添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．【名师点拨】考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．4．（2020·郑州市八年级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点的四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=CD【答案】C【提示】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH 为矩形，需要∠EFG＝90度．由此推出AC⊥BD．【详解】依题意得：四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形），当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度，四边形EFGH为矩形．故选C．【名师点拨】本题考查了矩形的判定定理，难度一般．矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．5．（2020·自贡市八年级期中）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2【答案】C【提示】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．【详解】A、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选：C．【名师点拨】本题考查矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法.考查题型二证明四边形是矩形6．（2020·东莞市九年级期中）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.【提示】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．【名师点拨】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.7．（2020·石家庄市八年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【提示】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：12AC•BD=12×4×2=4，故答案为4．【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.8．（2020·株洲市八年级期中）在□ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题提示：（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．试题提示：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【名师点拨】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．9．（2020·扬州市八年级期末）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F,（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【答案】解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，4=∠6．∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴EO=CO ，FO=CO ．∴OE=OF ．（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．∵CE=12，CF=5，∴EF 13．∴OC=12EF=6.5． （3）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当O 为AC 的中点时，AO=CO ，∵EO=FO ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF 是矩形．【详解】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF 的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO 的长．（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．10．（2020·湖北咸宁市·八年级期末）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ，F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．（1）求证： △ABE ≌△CDF ；（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）2AC AB =时,四边形EGCF 是矩形，理由见解析.【提示】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG ⊥OB ，∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，得出EG ∥CF ，由三角形中位线定理得出OE ∥CG ，EF ∥CG ，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，∴∠ABE=∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE=12OB ，DF=12OD ， ∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴≅（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：∵AC=2OA ，AC=2AB ，∴AB=OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，∴AG ∥CF ，∴EG ∥CF ，∵EG=AE ，OA=OC ，∴OE 是△ACG 的中位线，∴OE ∥CG ，∴EF ∥CG ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF 是矩形．【名师点拨】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.考查题型三 根据矩形的性质与判定求角度11．（2020·江西八年级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)∠ADO==36°.【提示】(1)先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可；(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠OCD=∠ODC=3x.，在△ODC中，利用三角形内角和定理求出x的值，继而求得∠ODC 的度数，由此即可求得答案.【详解】(1)∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.∴∠OAD＝∠ADO.∴AO＝OD.又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形.(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，∴∠ODC=3×18°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 12．（2020·南阳市八年级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BDF＝18°．【提示】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数.【详解】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．【名师点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.13．（2020·云南迪庆藏族自治州·八年级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD，且OA=OD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）DF⊥AC于点F，若∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF的度数是多少？【答案】（1）详见解析；（2）18°【提示】（1）利用对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线相等的平行四边形是矩形，即可证明四边形ABCD是矩形；（2）先求出∠FDC=36°，再求出∠OCD =∠ODC=54°，即可求出∠BDF．【详解】（1）∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ADF:∠FDC=3:2，∴∠ADF=54°，∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠OCD=∠ODC=90°－∠FDC=54°，∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=54°－36°=18°．【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．14．（2020·渠县九年级期末）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA=OB ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【提示】（1）由▱ABCD 得到OA=OC ，OB=OD ，由OA=OB ，得到；OA=OB=OC=OD ，对角线平分且相等的四边形是矩形，即可推出结论；（2）根据矩形的性质借用勾股定理即可求得AB 的长度．【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD 中， OA=OC=12AC ，OB=OD=12BD ， 又∵OA=OB ，∴AC=BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形．（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OD ．又∵∠AOD=60°， ∴AOD 是等边三角形，∴OD=AD=4，∴BD=2OD=8，在Rt ABD 中，==15．（2020·江苏无锡市·八年级期末）如图，已知OAB ∆中，OA OB =，分别延长AO 、BO 到点C 、D ，使得OC AO =，OD BO =，连接AD 、DC 、CB ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）以OA 、OB 为一组邻边作AOBE ，连接CE ，若CE BD ⊥，求AOB ∠的度数．【答案】（1）证明过程见解析；（2）120AOB ∠=︒【提示】（1）根据已知条件推出四边形ABCD 是平行四边形，求得AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，等量代换得到AC ＝BD ，于是得到四边形ABCD 是矩形；（2）连接OE ，设EC 与BD 交于F ，根据垂直的定义得到∠CFD ＝90°，根据平行四边形的性质得到AE ∥BO ，根据直角三角形的性质得到EO ＝AO ，推出△AEO 是等边三角形，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵OC ＝AO ，OD ＝BO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝12AC ，BO ＝12BD ， ∵AO ＝BO ，∴AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：连接OE ，设EC 与BD 交于F ，∵EC ⊥BD ，∴∠CFD ＝90°，∵四边形AEBO 是平行四边形，∴AE ∥BO ，∴∠AEC ＝∠CFD ＝90°，即△AEC 是直角三角形，∵EO 是Rt △AEC 中AC 边上的中线，∴EO ＝AO ，∵四边形AEBO 是平行四边形，∴OB ＝AE ，∵OA ＝OB ，∴AE ＝OA ＝OE ，∴△AEO 是等边三角形，∴∠OAE ＝60°，∵∠OAE ＋∠AOB ＝180°，∴∠AOB ＝120°．【名师点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．考查题型四 根据矩形的性质与判定求线段长16．（2020·辽宁阜新市·九年级期中）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E 点，延长BC 至F 点使=CF BE ，连接AF ，DE ，DF .（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若6AB =，8DE =，10BF =，求AE 的长.【答案】（1）见解析；（2）245【解析】试题提示：（1）先证明四边形AEFD 是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF 是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE 的长．试题解析：（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=12AB•AF=12BF•AE．∴AE=•6824105 AB AFBF⨯==．17．（2020·辽宁鞍山市·八年级期中）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.(1)求证:四边形ABEF是矩形；(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.【答案】(1)见解析；.【提示】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=12AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD.∵DF=CE，∴DF+DE=CE+ED，即:FE=CD.∵点F、E在直线CD上∴AB=FE，AB∥FE.∴四边形ABEF是平行四边形又∵BE⊥CD，垂足是E，∴∠BEF=90°.∴四边形ABEF是矩形.(2)解:∵四边形ABEF是矩形O，∴∠AFC=90°，AB=FE.∵AB=6，DE=2，∴FD=4.∵FD=CE，∴CE=4.∴FC=10.在Rt△AFD中，∠AFD=90°.∵∠ADF=45°，∴AF=FD=4.在Rt△AFC中，∠AFC=90°.∴AC==∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，∴O为AC中点在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点. ∴OF=12.【名师点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．18．（2020·江西吉安市·九年级期中）如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．(1)求证：四边形AGPH是矩形；(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)见解析.【提示】（1）根据“矩形的定义”证明结论；（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．【详解】（1）证明∵AC=9 AB=12 BC=15，∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，∴AC2+AB2=BC2，∴∠A=90°．∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP=∠AHP=90°，∴四边形AGPH是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．∵四边形AGPH是矩形，∴GH=AP．∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12=15•AP．∴AP=365．【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．19．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．【答案】（1）见解析；（2）CF＝5cm．【提示】（1）要求证BF＝BC只要证明∠CFB＝∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE＝∠BDC就可以；（2）已知AB＝4cm，AD＝3cm，就是已知BC＝BF＝3cm，CD＝4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于12 BD•CE＝12BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF＝BF﹣BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝90°．∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．∴∠ECB＝∠CDB．∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，∴∠CFB＝∠BCF∴BF＝BC（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．在Rt △BCD 中，由勾股定理得BD =5． 又∵BD•CE ＝BC•DC ，∴CE ＝125BC DC BD ⋅=．∴BE 95=． ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3﹣9655=．∴CF ==cm ． 【名师点拨】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理，三角形面积计算公式的运用，灵活运用已知，理清思路，解决问题．20．（2020·江苏连云港市·八年级期末）已知BC ＝5，AB ＝1，AB ⊥BC ，射线CM ⊥BC ，动点P 在线段BC 上（不与点B ，C 重合），过点P 作DP ⊥AP 交射线CM 于点D ，连接AD ．（1）如图1，若BP ＝4，判断△ADP 的形状，并加以证明．（2）如图2，若BP ＝1，作点C 关于直线DP 的对称点C ′，连接AC ′．①依题意补全图2；②请直接写出线段AC ′的长度．【答案】（1）△ADP 是等腰直角三角形．证明见解析；（2）①补图见解析；【提示】（1）先判断出PC =AB ，再用同角的余角相等判断出∠APB =∠PDC ，得出△ABP ≌△PCD （AAS ），即可得出结论； （2）①利用对称的性质画出图形；②过点C '作C 'Q ⊥BA 交BA 的延长线于Q ，先求出CP =4，AB =AP ，∠CPD =45°，进而得出C 'P =CP =4，∠C 'PD =∠CPD =45°，再判断出四边形BQC 'P 是矩形，进而求出AQ =BQ ﹣AB =3，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】（1）△ADP是等腰直角三角形．证明如下：∵BC=5，BP=4，∴PC=1．∵AB=1，∴PC=AB．∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，∴∠B=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°，∠PDC+∠DPC=90°，∴∠APB=∠PDC．在△ABP和△PCD中，∵B CAPB PDCAB PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP=PD．∵∠APD=90°，∴△ADP是等腰直角三角形．（2）①依题意补全图2；②过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q．∵BP=1，AB=1，BC=5，∴CP=4，AB=AP．∵∠ABP=90°，∴∠APB=45°．∵∠APD=90°，∴∠CPD=45°，连接C'P．∵点C与C'关于DP对称，∴C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，∴∠CPC'=90°，∴∠BPC'=90°，∴∠Q=∠ABP=∠BPC'=90°，∴四边形BQC'P是矩形，∴C'Q=BP=1，BQ=C'P=4，∴AQ=BQ﹣AB=3．在Rt△AC'Q中，AC′【名师点拨】本题考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解答本题的关键．考查题型五根据矩形的性质与判定求面积21．（2020·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）见解析；（2）【提示】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AO＝1AC＝5，AB＝10，BO＝2∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝12故答案为：【名师点拨】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．22．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F（1）求证：△BOF≌△DOE；（2）若AB＝4cm，AD＝5cm，当EF⊥BD时，求四边形ABFE的面积．【答案】（1）见解析；（2）10cm2【提示】（1）利用矩形的性质可得：AD∥BC，进而可证全等；（2）利用全等的性质可得：ED＝FB．AE＝CF，可得四边形ABFE的面积是矩形面积的一半．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，又∵O是BD中点，∴OB＝OD，∴△BOF≌△DOE（AAS）．（2）由（1）可得ED＝FB．∴AE＝CF，∴S四边形ABFE＝S四边形CDEF．又∵AB＝4cm，AD＝5cm∴S矩形ABCD＝20cm2，∴S四边形ABFE＝10cm2．故答案为（1）见解析；（2）10cm2．【名师点拨】本题考查矩形的性质，全等的性质和判定，关键是找好对应关系．23．（2020·江西南昌市·八年级期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）详见解析；（2）【提示】（1）因为∠1=∠2，所以BO=CO，2BO=2CO，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO，BO=OD，则可证AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；（2）在△BOC中，∠BOC=120°，则∠1=∠2=30°，AC=2AB，根据勾股定理可求得BC的值，则四边形ABCD的面积可求．【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∴BO=CO，即2BO=2CO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=OD，∴AC=2CO，BD=2BO，∴AC=BD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；（2）在△BOC中，∵∠BOC=120°，∴∠1=∠2=（180°-120°）÷2=30°，∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2×4=8（cm），∴．∴四边形ABCD的面积=4⨯2)【名师点拨】此题把矩形的判定、勾股定理和平行四边形的性质结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．解决本题的关键是读懂题意，得到相应的四边形的各边之间的关系．24．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CM∥OD，过点D作DE⊥CM，E为垂足．（1）求证：四边形OCED是矩形．（2）若AB ＝17，BD ＝30，则四边形ADEC 的面积为 平方单位．【答案】（1）证明见解析；（2）180【提示】（1）本题根据平行的性质以及菱形对角线互相垂直即可直接求证．（2）本题利用菱形性质以及勾股定理求解OA 、OC 、OD ，继而利用割补法求解四边形面积．【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠COD ＝90°，∵CE ∥OD ，∴∠OCE=∠COD=90°，∵DE ⊥CM ，∴∠DEC=∠OCE=∠COD=90°，∴四边形OCED 是矩形；（2）∵在菱形ABCD 中，AB ＝17，∴AB ＝BC ＝CD ＝17，OA=OC ，∵BD ＝30，∴OD ＝12BD ＝15，∴8OA OC ===， ∴11=81581518022AOD OCED ADEC S S S OA OD OC OD =+•+•=⨯⨯+⨯=矩四边形， 故四边形ADEC 的面积为180平方单位．【名师点拨】本题考查四边形的综合，解题关键在于对菱形、矩形对应概念的理解，各判定定理要熟记于心，菱形对角线互相垂直常作为勾股定理应用的前提．25．（2020·山东枣庄市·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，延长BM 至点E ，使EM BM =，连接DE ．（1）求证：AMB CND △≌△；（2）若2BD AB =，且5AB =，4DN =，求四边形DEMN 的面积．【答案】(1)见解析；(2)24【提示】(1)由四边形ABCD 是平行四边形得出AB=CD ，AB //CD ，进而得到∠BAC=∠DCA ，再结合AO=CO ，M,N 分别是OA 和OC 中点即可求解；(2)证明△ABO 是等腰三角形，结合M 是AO 的中点，得到∠BMO=∠EMO=90°，同时△DOC 也是等腰三角形，N 是OC 中点，得到∠DNO=90°，得到EM //DN ，再由(1)得到EM=DN ，得出四边形EMND 为矩形，进而求出面积．【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB //CD ，OA=OC ，∴∠BAC=∠DCA ，又点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，∴1122===AM AO CO CN ， 在AMB ∆和CND ∆中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD BAC DCA AM CN ，∴()△≌△AMB CND SAS ．(2)BD=2BO ，又已知BD=2AB ，∴BO=AB ，∴△ABO 为等腰三角形；又M 为AO 的中点，∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM ⊥AO ，∴∠BMO=∠EMO=90°，同理可证△DOC 也为等腰三角形，又N 是OC 的中点，∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DN ⊥CO ，∠DNO=90°，∵∠EMO+∠DNO=90°+90°=180°，∴EM //DN ，又已知EM=BM ，由(1)中知BM=DN ，∴EM=DN ，∴四边形EMND 为平行四边形，又∠EMO=90°，∴四边形EMND 为矩形，在Rt △ABM 中，由勾股定理有：3AM ==，∴AM=CN=3，∴MN=MO+ON=AM+CN=3+3=6，∴6424EMND S MN ME =⋅=⨯=矩形．故答案为：24．【名师点拨】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩形的面积公式等，熟练掌握其性质和判定方法是解决此类题的关键．。

八年级数学矩形专题训练卷（附答案）一、单选题1.如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处.若，则等于（）.A. B. C. D.2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB 的中点，则∠B的度数是（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 75°3.下列命题正确的是（）A. 矩形的对角线互相垂直B. 两边和一角对应相等的两个三角形全等C. 分式方程+1=可化为一元一次方程x﹣2+（2x﹣1）=﹣1.5D. 多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A. AD=BDB. BD=CDC. ∠A=∠BEDD. ∠ECD=∠EDC6.过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为（）A. 2B. 3C.D.7.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C 两点间的距离为（）A. 0.5kmB. 0.6kmC. 0.9kmD. 1.2km8.如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为（）A. 14B. 16C. 17D. 189.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=，CP=，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A. B. C. D.二、填空11.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为________ cm．12.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为________ ．13.如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 ________.14.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为________ .15.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于 ________．16.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是________ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．17.如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则x2+（y﹣4）2的值为________ .18.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为________.三、解答题19.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．四、综合题20.如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．21.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC;（2）已知DC=，求BE的长．22.如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．答案一、单选题1. C2. C3. C4. D5. D6. A7. D8. D9. B 10. C二、填空题11. 12. （2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）13. 8或或14. 20 15. 8 16. ①②③ 17. 16 18. 14三、解答题19. 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF=BE，又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF．四、综合题20. （1）证明：∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）.（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．21. （1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=DC；（2）解：由（1）得AE=DC，∴AE=DC=，在矩形ABCD中，AB=CD=，在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，∴BE=2．22. （1）证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC．∴在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）解：由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．。

矩形测试题1、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D处，则重叠部分△AFC的面积为_________．2、矩形的两条对角线的夹角为60°，•一条对角线与短边的和为15，•对角线长是________，两边长分别等于3、矩形周长为36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是______．4、已知矩形ABCD中，O是AC、BD的交点，OC=BC，则∠CAB=_______．5、如图，矩形ABCD中，E是BC中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．6、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取上一点M，使AM=AB，则∠MBC=_______．7、如果矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，且∠BOC=120°，AB=3cm，•那么矩形ABCD的面积为________．8、矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（）．A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分9、如果E是矩形ABCD中AB的中点，那么△AED的面积：矩形ABCD的面积值为（）．A． B． C． D．10、下面命题正确的个数是（）．（1）矩形是轴对称图形（2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段（3）两条对角线相等的四边形是矩形（4）有两个角相等的平行四边形是矩形（5）有两条对角线相等且互相平行的四边形是矩形A．5个 B．4个 C．3个 D．2个11、已知：如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．12、如图，矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF=15°，求∠DOC、•∠COF的度数．13、如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，BF∥DE，若BBDD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5：2，求阴影部分EBFD的面积．14、小明爸爸的风筝厂准备购进甲、•乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD•各边的中点，其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料，（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹呢？15、已知：如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E．求证：AC=CE．16、如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=AC．17、如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF＝BD，连结AF，求∠BAF的大小．18、如图，矩形ABCD中，AF=CE，求证：AECF是平行四边形．． 19、如图，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E、D、F，•求证：PE-PF=CD．20、已知：如图，矩形ABCD中，AE=DE，BE•的延长线与CD的延长线相交于点F，求证：S矩形ABCD=S△BCF．21、•若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，请你求出这个平行四边形的一个最小内角的值等于多少？22、如图，已知在四边形ABCD中，AC⊥DB，交于O、E、F、G、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH是矩形．23、矩形一条长边的中点与其对边的两端点的连线互相垂直，•已知矩形的周长为24cm，则矩形的面积是24、矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）．A．57.5° B．32.5°C．57.5°、33.5° D．57.5°、32.5°25、如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，求证：四边形BCED是矩形．（用两种证法）参考答案1、7.52、 10，5，53、6cm，12cm，6cm，12cm4、30°5、 26、157、9cm28、 B9、C 10、 D11、解∵EF⊥CE∴∠FEC＝90°∴∠AEF＝∠DCE, ∵EF=CE ∠A＝∠D∴△AEF≌△CDE∴AE＝CD∴AD＝AE＋DE＝CD＋2∴4CD＋4＝16∴CD＝3∴AE＝312、提示：∠ODC=∠ODE+∠EDC=15•°+45°=60°，∴△ODC是等边三角形，∴∠DOC=60°，∵OC=CD，CD=CF，∴OC=CF，又∵∠OCF=90°-60°=30°，∴∠COF==75°．13、∵AE：EB=5：2,AB=7cm , ∴BE＝2∵BF∥DE BE∥CF, ∴四边形EBFD是平行四边形∴EBFD的面积＝BE·BD＝24cm2 14、3015、过A作AF⊥BD于F，则AF∥CE，∴∠E•＝∠FAE∴∠E=∠BAE-∠BAF∵∠DAC=∠DBC, ∠DBC=∠BAF∴∠BAF=∠DAC∵∠BAE•＝∠DAE,∠CAE=∠DAE-∠DAC∴∠E=∠CAE∴AC=CE16、证法一：取BC的中点F，连结EF、DF，如图（1）∵E为AB中点，∴EF AC，∴∠FEB=∠A，∵∠A=2∠B，∴∠FEB=2∠B．DF=BC=BF，∴∠1=∠B，∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2，∴∠1=∠2，∴DE=EF=AC．证法二：取AC的中点G，连结DG、EG，∵CD是△ABC的高，∴在Rt△ADC中，DG=AC=AG，∵E是AB的中点，∴GE∥BC，∴∠1=∠B．∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1，又∠GDA=∠1+∠2，•∴∠1+∠2=2∠1，∴∠2=∠1，∴DE=DG=AC．17、连接AC，∵CF＝BD，AC=DB∴AC＝CF∴∠F＝∠CAF,∵∠DBC＝∠ACB＝∠DAC,∠ACE＝2∠F,∠BEF＝90°∴2∠CAF＋2∠ACB＝90°∴∠CAF＋∠ACB＝45°∴∠CAF＋∠DAC＝45°∴∠BAF＝45°18、∵AF=CE,AD=CB∴Rt△ADF•≌Rt△CEB∴DF=BE∵AB=CD∴FC=AE，∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形19、过C作CM⊥EP，则四边形CMED是矩形CMED，∴ME=CD，∵PC=PC∴Rt△CMP≌Rt△CFP，∴PM=PF∵EM=PE-PM,ME=CD∴PE-PF=CD20、证法一：在Rt△BAE和Rt△FDE中，•∵∠BAE=∠FDE=90°，AE=DE，∠AEB=∠DEF，∴△BAE•≌△FDE，•∴AB=•DF，•∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∴FC=2AB．∴S=×BC×FC=BC·AB．。