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小学综合算式拓展思维用加减乘除做出最大值和最小值在小学数学学习中，综合算式是一个重要的内容之一。
通过加减乘除等基本运算符号的灵活运用，我们可以拓展思维，解决各种问题，包括求最大值和最小值。
本文将介绍在小学综合算式中如何用加减乘除来做出最大值和最小值。
在解决问题时，我们首先要理解什么是最大值和最小值。
最大值就是一组数中最大的数，而最小值则是一组数中最小的数。
通过和其他数进行比较，我们可以找出最大值和最小值。
在拓展思维时，我们需要注意以下几个要点：1. 了解运算符的作用：加法可以使数的值增大，减法可以使数的值减小，乘法可以使数的值增大或减小，除法可以使数的值增大或减小。
运用这些运算符，我们可以实现数值的变化。
2. 灵活运用进位和借位：在加法和减法中，进位和借位是非常重要的。
对于加法，进位使得数变大；对于减法，借位使得数变小。
利用进位和借位，我们可以适当增加或减少数的值。
3. 注重数的顺序：数的顺序对于最后的结果有很大影响。
如果要找最大值，应该把较大的数放在前面；如果要找最小值，应该把较小的数放在前面。
通过调整数的顺序，我们可以得到不同的结果。
下面我们通过一些例子来具体说明。
例子1：用加法求最大值和最小值问题：小明有10元钱，他要买三个玩具车，每个玩具车的价格分别是5元、3元和2元。
他想知道他还剩下多少钱和他能不能再买一个最贵的玩具车。
解析：首先，我们计算小明买三个玩具车的总价：5 + 3 + 2 = 10。
因此，小明刚好花光了全部的钱购买三个玩具车。
这时，我们可以得到最大值和最小值：最大值是3个玩具车的总价10元，最小值是0元（因为小明已经花光了所有的钱）。
例子2：用减法求最大值和最小值问题：一个数字比27少15，最大值和最小值分别是多少？解析：我们让这个数字为x，可以写出等式 x - 15 = 27。
为了找到最大值和最小值，我们需要确定x的值。
首先，我们可以通过加法将等式转化为：x = 27 + 15，计算结果为42。
数量积的计算方法一、数量积的基本概念。
1.1 啥是数量积呢？简单来说，数量积就是一种向量运算。
就好比两个人合作干活，向量就像是这两个人，数量积就是他们合作产生的一种结果。
它是把两个向量对应分量相乘，然后再把这些乘积加起来得到的一个数。
这就像生活中，我们把不同的东西按照一定的规则组合起来，最后得到一个总的结果。
这可不是什么高深莫测的东西，就像搭积木，一块一块按照规则搭好，最后就有了一个完整的造型。
1.2 从数学的角度看，设向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，那么它们的数量积a·b=x1x2 + y1y2。
这个式子看起来有点像密码，但其实就是按照前面说的规则来的。
这就好比菜谱，按照步骤来，就能做出一道菜。
这里的步骤就是把向量的对应分量相乘再相加。
二、数量积的计算实例。
2.2 再来看个例子，如果向量a=( 1,2)，向量b=(3, 4)。
那a·b就是( 1)×3+2×( 4)。
这就像我们算收支账，有支出有收入，按照规则来计算。
先算( 1)×3 = 3，再算2×( 4)= 8，最后把它们加起来， 3+( 8)= 11。
这个结果就是这两个向量的数量积。
这也没什么难的，不要被那些符号吓倒，就像俗话说的“兵来将挡，水来土掩”，按照规则计算就好。
2.3 有时候向量可能是三维的，比如向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)。
那数量积a·b就是1×4+2×5+3×6。
这就像我们要完成三件事情，分别计算每件事的成果，然后把它们汇总起来。
先算1×4 = 4，2×5 = 10，3×6 = 18，最后把它们加起来，4+10+18 = 32。
三、数量积的意义和用途。
3.1 数量积的意义可不小呢。
它能表示两个向量在方向上的相似程度。
如果数量积为正，就说明两个向量大致方向相同，就像两个志同道合的朋友，朝着一个方向努力。
数量积的最值问题
数量积的最值问题是数学中常见的一类问题，通常涉及到向量的内积运算。
向量的数量积也称为内积或点积，它是向量与向量之间进行的一种运算，其结果是一个实数。
在数量积的最值问题中，我们需要确定一组向量中数量积的最大值或最小值。
在实际应用中，数量积的最值问题常常用于优化问题，如最大化力的方向或最小化工作量等。
例如，在物理学中，力的大小与方向对物体的运动有着重要的影响。
因此，我们可以使用数量积的最值问题优化力的方向，使其最大或最小。
在解决数量积的最值问题时，我们需要使用向量的性质和一些基本的数学知识。
首先，我们需要知道向量的数量积公式：
a·b=|a||b|cosθ，其中a和b分别是两个向量，|a|和|b|分别是它们的模长，θ是它们之间的夹角。
其次，我们需要根据问题的要求，确定向量的方向和模长，然后计算数量积，并找出最大或最小值。
总之，数量积的最值问题是数学中的一个重要问题，涉及到向量的内积运算和优化问题。
通过合理地使用向量的性质和相关的数学知识，我们可以解决这类问题，为实际应用提供重要的帮助。
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应用题中的最值问题在数学中，应用题是帮助我们将数学知识应用于实际问题的重要手段之一。
其中，最值问题是应用题中常见且具有挑战性的一类问题。
本文将探讨应用题中的最值问题，并通过实际例子展示如何解决这些问题。
一、最值问题的定义和解决方法最值问题是指在一定范围内，找出函数的最大值或最小值的问题。
在解决最值问题时，我们需要明确以下几个步骤：1. 确定问题背景和条件：了解题目所给的具体情境和限制条件，确保对问题有全面的理解。
2. 建立数学模型：将问题转化为数学表达式。
根据题目提供的信息，可以通过建立函数或方程来描述问题，以便后续求解。
3. 求导并解方程：对所建立的函数或方程进行求导，并解决相关方程。
根据问题要求，我们可以找到导数为0的临界值，以及一些特殊点。
4. 检验临界值和特殊点：将临界值和特殊点代入函数或方程，进行验证。
通过验证，确认所求的最值是否存在或有效。
5. 给出最终答案：根据问题所求，可以得到最大值或最小值，并做出符合问题背景的解释和结论。
二、实例分析：最值问题的应用为了更好地理解最值问题的应用，我们来看一个具体例子。
假设某电商平台推出了一件商品，初始价格为x元。
经过一段时间的销售，该商品的销量与价格之间存在一定的关系。
现在需要确定一个最佳价格，使得销售利润达到最大值。
解决该问题的关键步骤如下：1. 确定问题背景和条件：假设该商品的每个单位价格对应的销量可以通过函数f(x)表示，其中x为价格，f(x)为销量。
另外，我们还需要考虑商品的成本和利润率等因素。
2. 建立数学模型：根据题目要求，可以建立一个代表销售利润的函数p(x)，其中p(x) = (x - c) * f(x)，其中c表示商品的成本。
这里，我们通过将价格与销量的关系转化为销售利润的函数，建立了一个数学模型。
3. 求导并解方程：对所建立的销售利润函数p(x)进行求导，并解方程p'(x) = 0。
在求解过程中，我们可以找到导数为0时的价格值，即为存在最大利润的价格。
函数最值问题的求解策略在数学的广阔天地中，函数最值问题是一个非常重要的研究领域。
无论是在数学理论的深入探讨，还是在实际生活中的应用，求解函数的最值都具有极其关键的意义。
要理解函数最值问题，首先得明确什么是函数的最值。
简单来说，函数的最大值就是在函数定义域内，函数取得的最大的函数值；而最小值则是在定义域内取得的最小的函数值。
那如何去求解函数的最值呢？这就需要我们掌握一些有效的策略和方法。
第一种常见的方法是利用函数的单调性。
对于给定的函数，如果我们能够判断出它在某个区间上是单调递增或者单调递减的，那么就可以很容易地找到最值。
比如说，一个函数在某个区间上单调递增，那么它在这个区间的左端点处取得最小值，在右端点处取得最大值；反之，如果函数在某个区间上单调递减，那么在左端点处取得最大值，在右端点处取得最小值。
为了判断函数的单调性，我们通常会对函数求导。
导数大于零的区间，函数单调递增；导数小于零的区间，函数单调递减。
以简单的函数 f(x) ＝ x²为例，其导数 f'（x) ＝ 2x。
当 x ＞ 0 时，f'（x) ＞ 0，函数单调递增；当 x ＜ 0 时，f'（x) ＜ 0，函数单调递减。
所以，f(x) 在 x ＝ 0 处取得最小值 0。
第二种方法是利用配方法。
对于二次函数，通过配方可以将其化为形如 f(x) ＝ a(x h)²＋ k 的形式。
当 a ＞ 0 时，函数有最小值 k；当 a＜ 0 时，函数有最大值 k。
比如函数 f(x) ＝ x² 2x ＋ 3，通过配方可得f(x) ＝（x 1)²＋ 2，所以其最小值为 2。
第三种方法是利用均值不等式。
对于两个正实数 a 和 b，有 a ＋b ≥ 2√ab ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
通过巧妙地构造和运用均值不等式，往往能够求出函数的最值。
例如，求函数 f(x) ＝ x ＋ 1/x （x ＞0）的最小值。
几何最值的解题方法1. 引言几何最值问题是数学中常见的一类问题，它涉及到在给定的几何形状或空间中寻找某个特定量的最大值或最小值。
在解决这类问题时，我们需要运用几何知识和数学分析方法，结合具体情境进行推理和计算。
本文将介绍几何最值问题的解题方法，并通过实例进行说明。
2. 几何最值问题的分类几何最值问题可以分为两类：平面几何中的最值问题和立体几何中的最值问题。
2.1 平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常需要求解线段、角度、面积等量的最大值或最小值。
例如，求一个给定周长的矩形的面积最大，或者求一个给定半径的圆形内接三角形的面积最大。
为了解决这类问题，我们可以使用以下方法：2.1.1 导数法当需要求解平面图形上某个量（如面积）取得极大或极小值时，我们可以通过对该量进行微分，并令导数等于零来求得临界点。
通过判断临界点处导数符号变化来确定极大或极小值。
例如，对于矩形的面积最大问题，我们可以设矩形的长为x，宽为y，则矩形的面积为S=xy。
根据周长固定的条件，可以得到2x+2y=常数。
将这个条件代入面积公式S=xy中，可以得到只含有一个变量x的函数表达式S(x)，然后对S(x)求导，并令导数等于零，即可求得临界点。
2.1.2 直观法直观法是一种通过观察和推理来解决几何最值问题的方法。
在解决一些简单的几何最值问题时，我们可以通过直观地找出一些特殊情况或者利用几何图形的性质来确定最值。
例如，在求解一个给定周长的矩形面积最大问题时，我们可以发现正方形是具有相同周长下面积最大的矩形，因而答案是正方形。
2.2 立体几何中的最值问题在立体几何中，我们常常需要求解体积、表面积等量的最大值或最小值。
例如，求一个给定表面积的圆柱体体积最大，或者求一个给定体积的圆柱体表面积最小。
为了解决这类问题，我们可以使用以下方法：2.2.1 导数法与平面几何中的导数法类似，我们可以通过对体积或表面积进行微分，并令导数等于零来求得临界点。
平面向量数量积最值问题的求解策略近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径.一、借助基本的向量运算降低问题难度例1:(05年江苏高考试题)在ABC ∆中,O 为中线AM 上一个动点,若2AM =,则()OA OB OC ⋅+的最小值是__________.分析:(如图)本题的突破口关键在于AM 为ABC ∆的中线,故易知2OB OC OM +=,所以:()(2)2()OA OB OC OA OM OA OM ⋅+=⋅=⋅从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.解:AM 为ABC ∆的中线2OB OC OM ∴+=()(2)2()2||||cos 2||||OA OB OC OA OM OA OM OA OM OA OM π∴⋅+=⋅=⋅=⋅=-⋅ 又22||||||||||()124OA OM AM OA OM ++≤==()2OA OB OC ∴⋅+≥-例2:(04年湖北高考试题)在Rt ABC ∆中,BC a =,若长为2a 的线段PQ以A 点为中点,问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值.分析:本题的突破口关键在于,,P A Q 三点共线,从而联想到把BP 和CQ作如下的分解:12BP BA AP BA PQ =+=-, 12CQ CA AQ CA PQ =+=+分解之后,真可谓是海阔天空.211()24BP CQ BA CA PQ BA CA PQ ⋅=⋅+⋅-- 故:222211||||cos cos 22BP CQ PQ BC a PQ BC a a a θθ⋅=⋅-=-=- 解:11()()()()22BP CQ BA AP CA AQ BA PQ CA PQ ⋅=+⋅+=-⋅+ 221111()||2424BP CQ BA CA PQ BA CA PQ BA CA PQ BC PQ ∴⋅=⋅+⋅--=⋅+⋅- 又,||2,||BA CA PQ a BC a ⊥==222211||||cos cos 22BP CQ PQ BC a PQ BC a a a θθ∴⋅=⋅-=-=- ∴当cos 1θ=,即0θ=(PQ 与BC 同向)时,BP CQ ⋅取到最大值0.二、建立直角坐标系降低问题门槛对于上述两道高考试题,应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或者是易求的数量积问题,从而达到解决问题的目的.但是从纯几何的角度出发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的方法,降低问题的难度.例1:另解:以M 点为圆心,AM 所在直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系. 设(0,2),(,),(0,)A B x y O z ,则(,)C x y --(0,2),(,),(,)OA z OB x y z OC x y z ∴=-=-=---(0,2)OB OC z +=-(02)z ≤≤2()(2)(2)2(1)2OA OB OC z z z ∴⋅+=--=--故()OA OB OC ⋅+的最小值为2-例2:另解:以A 点为原点,AB 边所在直线为x 轴,建立如图所示的直角坐标系. 设CAB α∠=,PQ 与AB 的夹角为β,则(cos ,0),(0,sin )B a C a αα(cos ,sin ),(cos ,sin )P a a Q a a ββββ--(cos cos ,sin ),(cos ,sin sin )BP a a a CQ a a a βαβββα∴=---=-2222222cos cos cos sin sin sin [1cos()]BP CQ a a a a a βαββαβαβ∴⋅=---+=-++∴当cos()1αβ+=-即αβπ+=(PQ 与BC 同向)时,BP CQ ⋅的最大值为0点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习.练习:如图,已知等边ABC ∆的边长为2,又以A 为圆心,半径为1作圆,PQ 是直径,试求BP CQ ⋅的最大值,并指明此时四边形BCQP 的形状.答案:BP CQ ⋅的最大值为3,此时四边形BCQP 为矩形.。
向量的数量积的五种求解策略方法一：定义法利用向量数量积的概念，即：a ·b=∣a ∣·∣b ∣cos θ。
根据向量的数量积的公式可知，在求解两个向量的数量积时，需要先确认两个向量的模以及它们的夹角，在判断向量的夹角时，要特别注意它们是否为“共起点“，如果不是”共起点“的需要先转化为”共起点“的向量再进行求解。
定义法也是求向量数量积的最常见的方法。
例题1：在▲ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上，且满足AP=2PM ，则PA ·(PB+PC)=解：∵ M 是BC 的中点，AM=1，且AP=2PM 可得：PB+PC=2PM 又AP=23∴ PA ·(PB+PC)=PA ·AP=-49例题2：在▲ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足ccosB+bcosC=4acosA ，S ▲ABC =√15，则AB ·AC= 解：由射影定理可得：a=ccosB+bcosC=4acosA ， ∴ cosA=14，可得：sinA=√154PMABC·又 S ▲ABC =12∣AB ∣··∣AC ∣·sinA可得：∣AB ∣··∣AC ∣=8∴ AB ·AC=∣AB ∣··∣AC ∣·cosA=2 方法二：数量积的几何意义a ·b 的几何意义为： a 的模∣a ∣和b 在a 方向上的投影∣b ∣cos θ的乘积。
当两个向量的夹角θ未知时，有时可以根据题目条件，利用其几何意义迅速解决向量的数量积问题。
例题1：如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，AP=3，试求AP ·AC 的数量积。
解： ∵ AC=2AO ∵ AP ⊥BD∴ 可知AO 在AP 方向上的投影为∣AP ∣ ∴ AC 在AP 方向上的投影为2∣AP ∣ ∴ AP ·AC=∣AP ∣·2∣AP ∣=18例题2：点P 是▲ABC 的外心，且∣AC ∣=4，∣AB ∣=2，求AP ·(AC-AB)的数量积。
小学奥数各年级经典题解题技巧大全—最值规律（2）
和最小的规律
几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。
用字母表达，就是如果a1×a2×…×an=c（c为常数），
那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an有最小值。
例如，a1×a2=9，
…………→…………
1×9=9→1+9=10；
3×3=9→3+3=6；
…………→…………
由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时，它们的和为最小。
例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？
解：设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得a×b=16。
要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b要最小。
根据“和最小规律”，取
a=b=4（分米）
时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。
推论：由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。
例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而
的周长小于正方形的周长。
面积变化规律
在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。
为0.433×6=2.598（平方分米）。
方形的面积。
推论：由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：
在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。
例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，
于和它周长相等的正方形面积。
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高中数学函数最值问题的解题思路与举例在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。
解决这类问题需要运用一定的解题思路和技巧。
本文将介绍一些常见的函数最值问题及其解题思路，并通过具体的例子来说明。
一、函数最值问题的基本概念和解题思路函数最值问题是指在一定的条件下，求函数的最大值或最小值。
解决这类问题的基本思路是找到函数的极值点，然后比较这些极值点的函数值，得出最值。
对于一元函数，我们可以通过求导数的方法来求解极值点。
具体步骤如下：1. 求函数的导数；2. 令导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。
对于二元函数，我们可以通过偏导数的方法来求解极值点。
具体步骤如下：1. 求函数的偏导数；2. 令偏导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。
二、函数最值问题的举例及解析1. 求函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值。
解析：首先，我们求函数的导数：y' = 2x。
令导数等于零，得到 x = 0。
将 x = 0 代入函数，得到 y = 0。
所以函数在 x = 0 处取得最小值 0。
然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。
将 x = 0、x = 2 代入函数，得到 y(0) = 0，y(2) = 4。
所以函数在区间 [0, 2] 上的最大值为 4。
综上所述，函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值为 4，最小值为 0。
2. 求函数 y = x^3 - 3x 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值。
解析：首先，我们求函数的导数：y' = 3x^2 - 3。
令导数等于零，解方程得到 x = ±1。
将 x = ±1 代入函数，得到 y(1) = -2，y(-1) = 2。
所以函数在 x = ±1 处取得极值。
然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。
将 x = -2、x = 2 代入函数，得到 y(-2) = -14，y(2) = 10。
高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的 4 种策略基本不等式 a + b ≥ 2（ a > 0, b > 0 当且仅当a = b 时等号成立）是高中必 修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。
从本质上看， 基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。
本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。
一、基本不等式的基础知识[1]基本不等式： 如果a > 0, b > 0 ，则 a + b ≥ 2，当且仅当a = b 时等号成立。
在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正”： a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。
“二定”：当两正数的和a + b 是定值时，积ab 有最大值；当两正数的积ab 是定值时，和a + b 有最小值。
“三相等”： a = b 是a +b = 2的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注 意等号成立的条件是否一致。
二、利用基本不等式求最值的四大策略策略一利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。
题型一 配凑系数例 1 设0 < x < 3 ，求函数 y = 4x (3 - 2x ) 的最大值。
2分析：因为4x + (3 - 2x ) = 3 + 2x 不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式ab ab ab⎪ ⎭求解。
但凑系数将 4 x 拆为2 ⋅ 2x 后可得到和2x + (3 - 2x) = 3 为定值，从而可利用基本不等式求其最大值。
解：因为0 <x <32，所以 3 - 2x > 0⎛2x + 3 - 2x ⎫2 9故y = 4x(3 - 2x) = 2 ⋅ 2x(3 - 2x) ≤ 2⎝ 2 ⎪=2当且仅当2x = 3 - 2x, 即x =3∈⎛0,3 ⎫时等号成立.所以原式的最大值为9.2⎪4 ⎝ 2 ⎭题型二配凑项1 配凑常数项例2 已知x <5，求函数y = 4x - 2 +414x -5的最大值。
好题集锦之平面向量系列题五——与向量数量积有关的最值问题如何解读平面向量的数量积？我觉得应该从四个方面入手：1. 定义，侧重于模长和夹角；2. 几何意义，侧重于从图形入手体现几何意义；3. 坐标，依附于坐标系建立等量关系；4.极化恒等式，通过极化恒等式将数量积等价转化。
方法一 几何处理【例1】（2020新高考Ⅰ卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AB AP ⋅的取值范围是( ) A.(2,6)- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-【答案】A【解析】因为PAB AB AP AB AP ∠=⋅cos ||||其中PAB AP ∠cos ||表示AP 在AP 方向上的投影结合图形可知，当P 与C 重合时投影最大，当P 与F 重合时投影最小. 又有2,8-=⋅=⋅AB AF AB AC ，，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，)6,2(-∈⋅AB AP ，故选A.【题后反思】该题中涉及的图形是正六边形，属于规则图形，可以通过建立直角坐标系求数量积的范围。
方法二 基底处理/坐标处理【例2】如图，在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，90BAD ∠=︒，4AD =，2AB BC E ==，是AD 的中点，AC 与BE 交于点F G ,是DF (包含D F ,两端点)上任意一点，则CG DG ⋅的最小值是( )A.165-B.125-C.85- D.45- 【答案】C【解析】（基底法）以AD AB ,为基底，设)10(≤≤=λλDF DG ，连接CE .因为4AD =，2AB BC E ==，是AD 的中点，//BC AD ，90BAD ∠=︒，所以四边形ABCE 是边长为2的正方形所以12AF AC =. 因为AD AB BC AB AD AF DA DF 4321)(21-=++-=+= 所以AD AB DG 432λλ-=， AD AB AD AB DG DG CD CG )4321()12(21λλ-+-=+-=+= 所以58)52(1016)4321(434)12(212--=⨯--⨯-=⋅λλλλλCG DG 因为01λ≤≤，所以当且仅当25λ=时，CG DG ⋅取得最小值，为85- （坐标法）以A 为坐标原点，AD ，AB 为x ，y 轴建立坐标系则])1,0[)(1,13(),2,2(),0,4(∈+-+λλλG C D 所以]1,0[,212102∈+-=⋅λλλCG DG 当且仅当53=λ时，58)(min -=⋅CG DG 【题后反思】在解题时，坐标系比较容易建立，基底也好选择，但是大家可以尝试利用数量积的几何意义解题，即向量CG 在向量DG 上的投影与DG 的模的乘积来分析最值。
2018年8月解法探究教学参谋多角度巧妙转化，求解数量积最值------道模拟题的多解®江苏省宜兴市第二高级中学孙立美国著名数学家哈尔莫斯曾说过:问题是数学的心 脏.对学生来说，各类考试题无疑是最熟悉的“问题”.如何提升学生的解题能力，是每位老师思考的重要课题. 经过理论和教学实践证明,一题多解是提高解题能力的 有效途径.在呈现不同解法的同时,暴露思维过程，从而 解题能力得以拓展与提升.题目如图1,已知4C=2,B为4C的中点，分别以为直径在A C同侧作半圆,M,iV分别 A B为两半圆上的动点(不含端点4，图13，(：），且5财丄抓，则1^_祝的最大值为______.分析:平面向量的数量积问题一直是高考、各类模 拟题中的常见题型，涉及数量积的求解、最值的确定、参 数的求值等问题，且往往难度较大.从哪些角度切入，如 何正确破解此类问题，是处理此类问题的重点所在.角度1:通过建立平面直角坐标系，设出Z iV S C=a,a E,结合圆的性质确定对应的点i V、M的坐标，结合平面向量的坐标运算来处理转化对应的数 量积，结合涉及cosa的二次函数在限定区间上的取值范 围问题来确定对应的最值即可.这是解决此类问题比较常见的思维方式.解法1:如图2,以点S为坐标原点，线段A C所在的直线为%轴，线段A C的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，可得4(-l，0)，C(l，0)."Sz_M4B=Z_7VBC=a，〇!E(0，~^~j，M![/V(cosa，sina)，Af| --^-+-^-cos2a，了81112〇! j=(-sin2o;，sinacosa )，那么X4•C7^=(1 -sin2a，sinacosa)_(cosa-l，s in a)= (1 -sin2a) (cosa -1) +sin2acosa =cosa -1 +sin2a =-cos2a +(cosa-去)++矣+,当且仅当cosa=+，即a二时等号成立，则的最大值为丄.4角度2:通过建立平面直角坐标系，设出直线B iV的 斜率为fc(A>0),结合相应直线与圆的方程的联立，确定 对应的点7V、M的坐标，结合平面向量的坐标运算来处理转化对应的数量积，结合涉及的二次函数的取V F+T值范围问题来确定对应的最值即可.解法2:如图2,以点B为坐标原点，线段4C所在的直 线为*轴，线段4C的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，可得4(-l，0)，C(l，0),半圆4C的方程为半圆的方程为卜+含)+y^+(y5：〇).设直线BA御斜率为fc a>0)，则直线斜率为-冬，k则直线抓的方程为，直线S M的方程为尸-冬■xk 联立联立解得佳士y=-x+y)+y2=T解得财(-____l那—叫^斋去)仏-1，*)去)++矣+，当且仅当—1=备,B卩A；=V^"时等号成立，v f^t2则l i t.戒的最大值为丄.4角度 3:设出 Z M4B=2lA«C=a,a e (〇，D,结合平 面向量的线性运算以及数量积公式加以转化，全部转高中十-y龙.y61教学参谋1解法贼2018年8月化为涉及i M i的关系式，结合涉及i_i的二次函数在 限定区间上的取值范围问题来确定对应的最值即可.与 平面向量的线性运算结合,直接利用平面向量的数量积 公式来转化与处理，也是解决此类问题的常见方法.解法3:由于B M丄B iV,而则有2设2L M4B=2L7VBC=a，a e (〇,D，而4B=BC=BiV=l,那么 _•祝)=_••記= \M\ • \M\-\A^\ • I S^Ic o s a=IA^I-lZ^I • l I^l c o s a=l I]i l l-_P=-(lI油-y)2+K,当且仅当S油=去，即a=值即可.解法5:如图3,连接47V,由于B M丄B7V,而—3\^AM//BN.2设ZiW/l S=乙A®C=2a,a e(0,!),酿B=BC=ffiV=l,4结合圆的性质可得则有i4M=cos2a,CiV=2sinQ!.由题可得_与_的夹角为那么_•S^=l I7j|||S^c o s d-a j=c〇s2a d s in a•s in a=cos2a•2sin2a=cos2a(1 -cos2a)=-cos22a+cos2a=f时等号成立，-cos2g k---\ 2r十+，当姻―去，即a=f时贝喊•祝的最大值为丄.4角度4:设出乙姐5= Z7VBC=a，a E卜^，结合平面向量的线性运算以及数量积公式加以转化，全部转化 为涉及c〇s a的关系式，结合涉及c〇s a的二次函数在限定 区间上的取值范围问题来确定对应的最值即可.解法4:由于B M丄BW,而乙则有2设2L M4B=2L7VBC=a，a e (〇,矛丨，而4B=BC=B iV=l,那么 _•祝=(瓦淀)=M••記-窗補+S?■.記=0-赫疏Icos(a+|j-I前丨赫.c o s(T T-a)+l&^ ll5?lc o s T T=liJ i)^ls iiia+c o s a-l=s iii2a+cosQ：-等号成立，则l i t■祝的最大值为丄.4角度6:结合条件，以S C为直径在A C的同侧画出对 应的辅助半圆，这样通过1^=55把向量转化为一起，并 设BZ)=t(0<K l)，结合平面向量的数量积的应用转化为 含i的关系式，结合涉及t的二次函数在限定区间上的取 值范围问题来确定对应的最值即可.解法6:由于S M丄S7V,而则有4M//B7V.2如图4，以B C为直径在4 C的同侧画半圆，该半圆与B7V交于点/)，则有麻疏而AB=BC=BN=1，CD1BN.MBD=t(0<t<l),B图4l=-cos2a+coso:=-(cosa-■—| +_^^~r>当且仅当cosa=+,即《=|时等号成立，2 3则益.茂的最大值为丄.4角度5:连接4兄设出^144缶Z A«C=2a,a e(〇,子)，得到Z M47V=乙M C=a,结合圆的性质确定^4M、CiV的长度以及向量I t与祝的夹角，结合平面向量的数量积公式加以转 化，全部转化为涉及c〇S2a的关系式，结合涉及C0S2a的二 次函数在限定区间上的取值范围问题来确定对应的最那么 I l i M l S-_(怒+5^)=1^•(1-d=-卜-备)2+士<孚，当且仅当t=冬时等号成立，则l i t.祝的最大值为丄.4看似简单的一道平面向量问题，其实认真分析，仔 细探究，可以从不同角度展开来解决，也可以通过不同 方式加以拓展深人，真正达到“认真解答一个题，拓广解 决一类题，变式深化一片题，思维能力一起高”的目的.其实，通过“一题多解”可以将这些主干知识进行“串联”,同时“并联”起数学思想方法和核心素养，开拓学生 的解题视野,有效促进学生思维品质的改善和创新发展 能力的提升，使学生体验到数学的乐趣，收获成功的喜 悦，增强学习数学的兴趣和信心.062十7龙*?高中。
《23456最大积最小积解题思路》1. 引言在数学问题中，寻找最大积和最小积往往是一个常见的问题。
而在解决这类问题时，我们通常需要运用一些特定的思维方式和数学技巧。
本文将针对23456最大积最小积问题展开讨论，帮助读者更好地理解解题思路和方法。
2. 最小积的思路让我们来讨论最小积的问题。
在这里，我们可以使用贪心算法来解决。
对于给定的数字序列23456，我们可以将其排序为2、3、4、5、6。
然后我们通过计算相邻数字的乘积来得到最小积。
依次计算2*3、3*4、4*5和5*6，最后将这些乘积相乘即可得到最小积。
3. 最大积的思路接下来，让我们来看看如何寻找最大积。
对于数字序列23456，我们可以采用动态规划的方式来解决这个问题。
我们可以定义一个数组dp，dp[i]表示以第i个数字结尾的最大积。
然后我们可以通过遍历之前的所有数，找到与当前数字相乘得到的最大积。
dp数组中的最大值即为所求的最大积。
4. 总结与回顾通过上面的讨论，我们可以看到在寻找23456最大积最小积的过程中，我们可以运用贪心算法和动态规划的方法。
这些方法不仅可以帮助我们解决具体的问题，更重要的是，它们提供了一种思考数学问题的方式和方法。
5. 个人观点在解决数学问题时，我们不仅需要灵活运用各种算法和技巧，更需要培养扎实的数学基础和良好的逻辑思维能力。
只有不断地学习和思考，我们才能在面对各种数学问题时游刃有余。
6. 结语23456最大积最小积问题虽然看似简单，但是其中蕴含着丰富的数学知识和解题思路。
通过不断地学习和探索，我们可以逐渐提高解决这类问题的能力。
希望通过本文的讨论，读者能对此有所收获并在今后的学习和工作中有所启发。
以上就是我撰写的关于23456最大积最小积解题思路的文章，希望能帮助你更好地理解这个主题。
7. 穷举法除了贪心算法和动态规划，我们还可以采用穷举法来寻找23456最大积最小积。
具体地，我们可以列举出所有可能的乘积，然后找出其中的最大值和最小值。
