13平面向量数量积最值问题的求解策略教师版

探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。

平面向量的最值问题
平面向量的最值问题指的是求平面向量的最大值和最小值的问题。

在求解平面向量的最值问题时，一般可以通过以下几种常用的方法进行求解：
1. 向量的模的最大值和最小值：对于平面向量a=(x,y)，其模的最大值和最小值分别为：
最大值：|a| = √(x^2 + y^2)
最小值：|a| = 0
2. 向量的投影的最大值和最小值：对于平面向量a=(x,y)，其在某个方向上的投影的最大值和最小值分别为：
最大值：|proj_u a| = |a|·cosθ，其中θ为a与u的夹角
最小值：|proj_u a| = 0
3. 向量的点乘的最大值和最小值：对于平面向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，其点乘的最大值和最小值分别为：
最大值：a·b = |a|·|b|·cosθ，其中θ为a与b的夹角
最小值：a·b = |a|·|b|·cosθmin，其中θmin为a与b的夹角的最小值，即θmin=0时
需要注意的是，以上方法中的最大值和最小值都是相对于给定的条件和向量范围的。

具体在实际问题中求解向量的最值时，需要根据具体的条件和向量的性质进行分析和计算。

平面向量数量积运算的解题方法与策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。

1.利用数量积运算公式求解在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ·b ＋b ２上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ·b ＋b ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ·b ＋b ２＝2２－2×（－3）×５２＝35，∴｜a －b ｜＝35．例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ·b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜·｜b ｜ｃｏｓθ＋｜b ｜２ ∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，∴ｃｏｓθ＝4023，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y )又（xa +yb ）⊥a ⇔(xa +yb )·a ＝０⇔3(3x +4y )+4(4x +3y )=0即25x +24y ＝０ ①又｜xa +yb ｜=1⇔｜xa +yb ｜２＝１⇔（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②由①②有24xy +25y ２＝１ ③将①变形代入③可得：y =±75 再代回①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524753524y x y x 和2. 利用定义直接求解.例4 若向量,a b=2=，,a b 的夹角为45°，则a a a b ⋅+⋅=______.解析：根据数量积的定义得a a a b ⋅+⋅22445cos 22220+=⨯+⨯=，例5 设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解析：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ， 解之217-<<-t ． 另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-=λt ， ∴)21,214()214,7(--⋃--∈t ．例 6 如图, 已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ）（A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅（C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅解析：选项中均有向量12PP ，根据数量积的几何意义，要找121(3,4,5,6)i P P P P i ⋅=的最大值,只需求1(3,4,5,6)i PP i =在12PP 方向上的投影最大即可，画图可知只有13PP 在12PP 方向上的投影最大，故最大选A.3. 利用数量积的定义、性质、运算律求解例7 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜ｃｏｓθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.4. 借助零向量. 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.例8 已知△ABC 中，===,,，若⋅=⋅=⋅，求证：△ABC为正三角形.证明：⋅=⋅ ， ∴0)(=-a b c ， 又∵0=++， )(b a c +-=， 故0))((=-+- ， 知a =b ， 同理可知b=c ， 故a =b=c ， 得证．例9 已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5AB BC CA ===则AB BC BC CA CA AB⋅+⋅+⋅的值等于 。

平面向量数量积运算的解题方法与策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。

1.利用数量积运算公式求解在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ·b ＋b ２上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ·b ＋b ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ·b ＋b ２＝2２－2×（－3）×５２＝35，∴｜a －b ｜＝35．例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ·b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜·｜b ｜ｃｏｓθ＋｜b ｜２ ∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，∴ｃｏｓθ＝4023，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y )又（xa +yb ）⊥a ⇔(xa +yb )·a ＝０⇔3(3x +4y )+4(4x +3y )=0即25x +24y ＝０ ①又｜xa +yb ｜=1⇔｜xa +yb ｜２＝１⇔（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②由①②有24xy +25y ２＝１ ③将①变形代入③可得：y =±75 再代回①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524753524y x y x 和2. 利用定义直接求解.例4 若向量,a b 满足a b =2=，,a b 的夹角为45°，则a a a b ⋅+⋅=______.解析：根据数量积的定义得a a a b ⋅+⋅22445cos 22220+=⨯+⨯=，例5 设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解析：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ，解之217-<<-t ． 另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-=λt ， ∴)21,214()214,7(--⋃--∈t ． 例 6 如图, 已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ）（A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅（C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅解析：选项中均有向量12PP ，根据数量积的几何意义，要找121(3,4,5,6)i PP PP i ⋅=的最大值,只需求1(3,4,5,6)i PP i =在12PP 方向上的投影最大即可，画图可知只有13PP 在12PP 方向上的投影最大，故最大选A.3. 利用数量积的定义、性质、运算律求解例7 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜ｃｏｓθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.4. 借助零向量. 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.例8 已知△ABC 中，c AB b CA a BC ===,,，若a c c b b a ⋅=⋅=⋅，求证：△ABC为正三角形.证明：a c c b ⋅=⋅ ， ∴0)(=-a b c ， 又∵0=++c b a ， )(b a c +-=， 故0))((=-+-a b b a ， 知a =b ， 同理可知b=c ， 故a =b=c ， 得证．例9 已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5AB BC CA ===则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于 。

微专题：平面向量数量积最值问题——2022年高三数学复习微专题微课一、本专题在高考中的地位1.课标对本专题的要求知识内容知识要求了解理解掌握平面向量1.平面向量的实际背景及基本概念（1）向量的实际背景√（2）平面向量的概念和两个向量相等的含义√（3）向量的几何表示√2.向量的线性运算（1）向量加法、减法运算，并理解其几何意义√（2）向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义√（3）向量线性运算的性质及其几何意义√3.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量的基本定理及其意义√（2）平面向量的正交分解及其坐标表示√（3）坐标表示平面向量的加减法与数乘运算√（4）用坐标表示的平面向量共线的条件√4.平面向量数量积（1）平面向量数量积的含义及其物理意义√（2）平面向量的数量积与向量投影的关系√（3）数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算√（4）运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系√5.向量的应用（1）向量法解决某些简单的平面几何问题√（2）向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题√明确《考试大纲》对知识的要求层次。

“理解”“掌握”这两个层次要求的知识点往往是高考命题的首选，尤其是“掌握”，通常高考命题会进行深度挖掘，所以在复习时要重视和强化。

2.近五年全国卷考查情况分析年份题序题型考点明细单独命题综合命题分值难易程度2016年全国卷I(理) 3 选择题向量加法坐标运算与垂直√ 5 易2017年全国卷I(理) 13 填空题 向量的模长和数量积应用√ 5 易 2018年全国卷I(理) 6 选择题 向量线性运算 √ 5 易 2018年全国卷I(理) 8 选择题 抛物线、直线及数量积 √ 5 中 2019年课标全国卷I(理) 7 选择题 向量数量积、夹角 √ 5 中 2020年课标全国卷I(理) 14 填空题 向量的数量积与模 √ 5 易 2020年课标全国卷I （文）14 填空题 向量数量积与向量垂直的充要条件 √ 5 易 2021·新高考Ⅱ卷13填空题向量的数量积与模√5易二、真题回顾1．(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 2．(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a ·b ＝1，则|b |＝________． 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________．4.(2020·课标全国Ⅰ高考)设a ,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .5.(2020·课标全国Ⅱ高考)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka -b 与a 垂直,则k = .三．要点提炼考点 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.四．典型例题：例1．(2021·福建六校联考)已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC →·(PB →＋PD →)的最小值为________． 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，设P (x ，y )，则PC →＝(2－x ，2－y )，PB →＋PD →＝(2－x ，－y )＋(－x ，2－y )＝(2－2x ，2－2y )，∴PC →·(PB →＋PD →)＝(2－x )(2－2x )＋(2－y )(2－2y )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－12＋2⎝⎛⎭⎫y －322－12＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋2⎝⎛⎭⎫y －322－1. ∴当x ＝y ＝32时，PC →·(PB →＋PD →)取得最小值－1.【探究】 数量积的计算主要有基底法和坐标法，另外解方程也行，数量积的最值问题往往要用到函数思想和数形结合思想，结合求值域的方法求解．变式练习：1.已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋2MD →|的最小值为________．例2．(2021·益阳模拟考试)如图所示为边长为2的正△ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在三角形外部作半圆弧BC ︵，点P 在圆弧上运动，则AB →·AP →的取值范围为( )A ．[2，33]B ．[4，33]C ．[2，4]D ．[2，5]答案 D解析 由题可知当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，此时AB →·AP →＝|AB →|·|AC →|·cos π3＝2×2×12＝2，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大，此时AB →·AP →＝2×⎝⎛⎭⎫32＋1＝5，所以AB →·AP →的取值范围为[2，5]．故选D.【探究】 本题利用数量积的定义，结合数量量积的几何意义AP →在AB →上的投影，当当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大。

平面向量数量积问题的解决策略
向量是一个既有大小又有方向的量，这也是向量的核心，既可以定性也可以定量。

从地位上讲，向量是一个重要的代数与几何运算工具，是沟通代数与几何的桥梁。

学会用向量的工具来解决代数或几何问题，显得尤为重要。

向量的数量积，是最经常考察的重难点之一，今天主要讲讲解决向量数量积问题的重要方法，包括基底法，坐标法，几何法，投影法，并渗透向量问题中的几个重要恒等式。

遇到起点不统一的数量积尽量统一顶点。

极化恒等式和向量三角不等式（柯西二维不等式的向量形式）在向量数量积求值和求范围中很重要。

需要提醒的是，向量的一些基本模型，例如三角形，矩形，四边形，圆等，在考试中也经常出现，需要加以熟悉。

在方法的策略选择上，各种方法都有所侧重，基底法本质是向量的代数运算，坐标
法是解析几何的核心，几何法源于向量的几何意义，投影法则是回归数量积的定义上，是处理向量数量积问题的一大利器，灵活加以选择应用。

平面向量数量积的最值
分析：2道题内容很相似，区别在于数量积的最小值取得的位置不一样.
第1题最小值在1/4点处取得，第2题最小值在中点处取得.
从这个角度去考虑问题，我们判断最值与P点在AB上的位置有关，于是我们试图建立二者之间的函数关系.
开始之前，我们先学一个小结论.
运用向量加法的平行四边形法则，不难得到下面的结论.
如果P点为AB的1/3点呢？
下面我们采用三角形法则来研究这个问题.
如果P为AB的1/4点呢？
依然采用老办法来研究这个问题.
大家发现规律了吗？
...
下面把上述结论作一般化推广.
有了这个结论作基础，我们来研究数量积的最值问题.
上式为入的二次函数，开口向上，最小值在对称轴处取得.下面我们计算对称轴的值.
依次解这2道题.
第1题在入=3/4处取得最小值，故对称轴=3/4.
第2题在入=1/2处取得最小值，故对称轴=1/2.。

高中2018年10月平面向量数量积是平面向量的重要知识之一，也是近年高考试卷中常见常新的考点之一，常见的类型是数量积的确定、最值的求解等.解决平面向量数量积的关键在于向实数转化的过程，其转化过程是解决问题的重中之重.本文就平面向量数量积的常见解题策略加以实例剖析，供大家参考.一、定义法根据平面向量数量积的定义，平面向量a 与b 的数量积a ·b =|a ||b |cos θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，θ∈［0，π］.例1（2017·全国Ⅰ理·13）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |=______.分析:结合题目条件，通过关系式|a +2b |的平方展开，结合平面向量的模运算与数量积运算，利用定义法来转化，进而确定对应的关系式的模问题.解:由于|a +2b |2=a 2+4a ·b +4b 2=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，则有|a +2b |=23√.点评:涉及平面向量数量积的问题中已知向量a 与b的模或夹角时,往往采用定义法来转化比较简捷快速.特别需要注意的是寻找两个向量a 与b 的夹角θ时,要使得向量a 与b 的起点相同.二、投影法平面向量数量积a ·b =|a ||b |cos θ的几何意义是其中一个向量的长度乘以另一个向量在其方向上的投影，即a ·b =|a |（|b |cos θ）或a ·b =|b |（|a |cos θ），结合向量的投影找联系来转化.例2如图1，O 为以∠BAC 为钝角的钝角△ABC 的外接圆的圆心，且AB=4，AC=2，M 为BC 边上的中点，则AM ·AO=______.分析:根据三角形外心的特征知，外心O 在AB ，AC 上的投影恰好为相应边的中点E ，F ，而根据投影知，AB ·AO=|AB||AE|，AC ·AO=|AC||AF|结合几何性质来分析与处理即可.解:如图1，分别取AB ，AC 的中点为E ，F ，则外心O 在AB ，AC 上的投影恰好为点E ，F.那么AM ·AO=12（AB+AC ）·AO=12（AB ·AO+AC ·AO ）=12（|AB||AE|+|AC||AF|=12（4×2+2×1）=5.点评:涉及平面向量数量积的问题中已知几何图形中出现与之相关的垂直条件时,尤其是在垂足确定的情况下,如直角三角形,菱形对角线,三角形的外心等,往往采用投影法来转化比较直观可行.三、基底法在解决平面向量数量积时，有时无法寻找到计算对应向量a 与b 的数量积的要素（相应的模、夹角），可以考虑用合适的两个不平行的向量作为基底将a 与b 表示出来，再根据条件加以分析与求解.正确且合适选择平面向量的基底是解决问题的关键.例3（2016·天津文·7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则AF ·BC 的值为（）.A .-58B .18C .14D .118分析:结合图形特征，AB 、AC 作为一组基底，通过向量的线性运算加以转化，再利用数量积公式加以分析与求解.解:由于AF=AD+DF=12AB+32DE=12AB+34AC ，而BC=AC-AB ，那么AF ·BC=12AB+34AC (·（AC-AB ）=-12AB 2+34AC 214AB ·AC=-12×12+34×12-14×1×1×cos60°=18.图1分类例谈平面向量数量积的解题策略◉江苏省启东市第一中学朱海林教学参谋解法探究84高中2018年10月点评:涉及平面向量数量积的问题中无法直接计算对应向量a 与b 的数量积,往往可以通过合适基底的选取,进行合理地转化与应用,使得相关向量的线性转化有目标,为进一步的数量积运算奠定基础.四、坐标法平面向量的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2，其中向量a =（x 1，y 1），b =（x 1，y 1）.通过已知向量的坐标，或通过巧妙构造直角坐标系，利用坐标法来求解相应的平面向量数量积问题，是高考中比较常见的一类技巧策略.例4（2016·山东文·13）已知向量a =（1，-1），b =（6，-4），若a ⊥（t a +b ），则实数t 的值为______.分析:利用平面向量的坐标运算，结合条件a ⊥（t a +b ），通过数量积a ·（t a +b ）=0建立关系式，利用坐标法来求解对应的参数值.解:由于t a +b =t （1，-1）+（6，-4）=（t+6，-t-4），而a ⊥（t a +b ），则有a ·（t a +b ）=（1，-1）·（t+6，-t-4）=t+6-（-t-4）=2t+10=0，解得t=-5.点评:涉及平面向量数量积的问题中已知向量的坐标或是易于建系并写出点的坐标时,可以采用平面向量数量积的坐标法来处理.特别对于一些方便构造直角坐标系的平面向量问题,合理构造直角坐标系,结合条件建立与坐标有关的参数关系式,进而确定向量的坐标,再结合平面向量数量积公式来处理,解答过程流畅,解题方法巧妙.五、极化恒等式法极化恒等式：a ·b =14［（a +b ）2-（a -b ）2］.在a +b 或a -b是不变的向量时可以使用此平面向量的极化恒等式来求解一些相应的数量积问题.例5（2016·江苏·13）如图2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ·CA =4，BF ·CF=-1，则BE ·CE 的值是______.分析:根据AB+AC=2AD AB-AC=CB=2DB 均为不变的向量，通过极化恒等式的转化即可来处理相应的数量积问题.解:根据极化恒等式BA ·CA =AB ·AC=14［（AB+AC ）2-（AB-AC ）2=AD 2-BD 2=4.同理BF ·CF=FB ·FC=FD 2-BD 2=19AD 2-BD 21，解得AD 2458，BD 2138.所以BE ·CE=EB ·EC=ED 2-BD 2=49AD 2-BD 278.点评:涉及平面向量数量积的问题中有关向量加、差的模问题时,可以采用与对相关的极化恒等式来处理,其是针对特殊关系式下相应恒等式成立时的特殊方法.利用极化恒等式来解决数量积问题,可以使得问题的解决简洁、高效,但要注意使用的特殊情况.六、三角形公式法三角形公式：AB 2=CA 2+CB 22CA ·CB ，BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ，AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC.在△ABC 中，任意两边对应的向量的数量积仅与三角形各边长有关.例6已知△ABC 中，|BC|=10，AB ·AC=-16，D 为边BC 的中点，则|AD|=______.分析:根据条件AB ·AC=-16，利用三角形公BC =AB 2+AC 22AB ·AC 加以转化，再结合平面向量的中点公式来转化即可求解相应的向量的模问题解:由题意知，AD=（AB 垣AC ），AB ·AC=-16，根据三角形公式有BC 2=AB 2+AC 22AB ·AC ，即102=AB 2+AC 2+32，则AB 2+AC 268，那|AD|=14（AB 2+AC 22AB ·AC ）=14（68-32）=9，即|AD|=3.点评:涉及平面向量数量积的问题中涉及三角形的三边的长度与相应边的向量的数量积时,可以根据三角形公式法建立相应的平面向量的数量积公式,结合条件来合理转化与应用.利用三角形公式法来处理,思维独特,方法巧妙.研究平面向量数量积问题是实现平面向量的几何问题实数化，根据不同的题目类型，选择行之有效的方法与解题策略来处理对应的平面向量数量积，使得问题的解决合理、有效、可行、正确，达到数与形的紧密结合，知识与能力的有效融合.图2教学参谋解法探究85。

平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的数量积公式、向量的模的公式、数乘运算法则、加减法的几何意义、基本定理、共线定理的应用.解答这类问题常用的途径有利用坐标法、定义法、数形结合法.下面结合实例来进行介绍.一、利用坐标法坐标法是指通过建立平面直角坐标系，将问题转化为坐标运算问题来求解.运用坐标法解答平面向量数量积问题，需根据几何图形的特点，寻找或构造垂直关系，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握并灵活运用向量的坐标运算法，如a ∙b=()x 1,y 1∙()x 2,y 2=x 1x 2+y 1y 2、||a =x 12+y 12、a +b =()x 1+x 2,y 1+y 2、a -b=()x 1-x 2,y 1-y 2.例1.已知P 是半径为1，圆心角为23π的一段圆弧AB 上的一点，若 AC =2 CB ，则 PA ∙PC 的取值范围是_____.解：以O 为原点、OB 为x 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.图1可得O ()0,0，B ()1,0,A æèçø-12，过点C 作CD ⊥OB ，垂足为D ，∵|| OA =||OB =1，∠AOB =2π3，∴|| A B =3,∵ AC =2CB ，∴|| CB =13|| A B =，在Rt△CDB 中，∠CBD =π6,∴|| CD =12|| CB，|| DB =12,∴|| OB =12,∴C æèçø12,设P ()cos θ,sin θ，0≤θ≤2π3，∴ PC ∙ PA=æèçöø÷12-cos θ-sinθ∙æèçöø÷-12-cos θ-sin θ=cos 2θ-14+14-θ+sin 2θ=1-θ，∵0≤θ≤2π3，∴0≤sin θ≤1，∴1≤1θ≤1，∴ PA ∙PC 的取值范围是éëêùûú1-.首先根据圆弧的特点，以O 为原点建立平面直角坐标系；然后设出点P 的坐标，求得其他各点、各个向量的坐标，即可通过向量坐标运算，求得 PA ∙PC 的表达式；再根据三角函数的有界性求得问题的答案.二、采用定义法定义法是指根据平面向量数量积的定义：a ∙b=||a ∙||||b cos a ,b 解题.在解题时，要分别求得所求平面向量的模长、向量之间的夹角或其余弦值，即可根据平面向量数量积的定义求得答案.例2.已知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a -c )·(b -c )=0，求|c |的最大值.解：因为|a |=|b |=1，a ·b =0，则(a -c )·(b -c )=-c ·(a +b )+|c |2=-|c ||a +b |·cos θ＋|c|2=0，其中θ为c 与a +b 的夹角，所以|c |=|a +b |cos θ=2cos θ≤2，47所以|c |的最大值是2.解答本题主要运用了定义法.我们先通过向量的数乘运算、加法运算、减法运算，根据已知关系式，将问题转化为求向量的模的平方以及向量的数量积；然后根据向量的数量积公式将问题转化为求c 与a +b 的夹角的余弦值以及|a +b |的乘积的最值，根据基本不等式求解，即可解题.例3.已知点P 是边长为1的正十二边形A 1A 2⋯A边上任意一点，则 AP ∙A 1A 2的最小值为().A.- B.- C.-3 D.-2解：如图2所示，延长A 10A 11、A 2A 1交于Q ，图2由题意可得A 10A 11⊥A 2A 1，过A 12分别作A 1Q 、A 11Q 的垂线，垂足分别为M 、N ，正十二边形A 1A 2⋯A 12的每个内角()12-2×180°12=150°，在Rt△A 12MA 1中，||A 1A 12，∠MA 1A 12=30°，则||A 1M =||A 1A 12cos 30°，在Rt△A 11NA 12中，||A 11A 12=1，∠NA 11A 12=30°，则||QM =||A 12N =||A 11A 12sin 30°=12，所以||A 1Q =||A 1M +||QM =，而 A 1P ∙ A 1A 2=|| A 1A 2∙|| A 1P cos θ,θ为 A 1P 、 A 1A 2的夹角，所以数量积 A 1P ∙ A 1A 2等于A 1P 在 A 1A 2方向上的投影||A 1P cos θ的乘积，当点P 在线段A 10A 11上时， A 1P ∙A 1A 2取最小值，可得 A 1P ∙ A 1A 2=|| A 1P ∙||A 1A 2cosθ=||A 1A 2()-|| A 1Q=.解答本题，首先要根据正十二边形的特征和向量数量积的几何意义找出 A 1P ∙A 1A 2取得最小值的情形:点P 在线段A 10A 11上；然后根据平面向量数量积的定义，求得向量 A 1P 、A 1A 2的模长及其夹角的大小，即可求得最小值.三、数形结合数形结合法是解答函数问题、向量问题的重要方法.在解题时，需先将向量的模看作线段的长，根据三角形法则、平行四边形法则构造几何图形，添加辅助线；然后将两个向量的夹角看作三角形、平行四边形的内角，利用三角形的性质、平行四边形的性质、圆的性质解题.例4.如图3，AB是圆O 的一条直径，且||AB =4,点C 、D 是圆O 上任意两点，点P 在线段CD 上，则PA ∙PB 的取值范围为______.图3图4解：如图4所示，连接OP ，则 PA ∙ PB =() PO + OA ∙()PO + OB = PO 2+ PO ∙()OA + OB + OA ∙ OB =|| PO 2-4，而P 在线段CD 上，且||CD =2，则圆心到直线CD 的距离d =22-12=3，所以3≤|| PO 2≤4，可得-1≤|| PO 2-4≤0，故 PA ∙PB 的取值范围为[]-1,0.解答本题，要先根据三角形法则和向量运算，将求 PA ∙PB 转化为求|| PO 2的最值；然后根据弦心距、圆的半径、弦之间的关系建立关系式，求得圆心到直线CD 的距离，该值即为|| PO 的最小值，||PO 的最大值为圆的半径，这样便确定了求|| PO 2的最值，从而求得问题的答案.上述三种方法都是解答平面向量数量积问题的重要方法.其中坐标法、定义法较为简单，数形结合法具有较强的灵活性，需根据题意构造出合适的几何图形，并将问题与平面几何、解析几何知识关联起来.（作者单位：云南省会泽县大成高级中学）48。

谈学论教陆海蓉谈学论教若已知两个平面向量a 、b，则其平面向量的数量积为a ∙b.常见的平面向量的数量积问题有：（1）根据两个已知的平面向量求两个向量的向量积或取值范围；（2）由两个向量的数量积求两个向量的夹角；（3）由两个向量的数量积求另两个相关向量的数量积或范围.解答平面向量的数量积问题，需把握平面向量的几何与代数特性，从几何、代数两个角度入手.常用的途径有：利用坐标法、定义法、几何性质法.下面结合实例进行探讨.一、利用坐标法一般地，若a =()x a ,y a ，b =()x b ,y b ，则两个向量的数量积a ∙b=()x a ,y a ∙()x b ,y b =x a x b +y a y b .运用坐标法求解平面向量的数量积问题，往往要先建立合适的平面直角坐标系，用坐标表示出各个向量；然后运用向量的坐标运算法则，如加法、减法、数乘运算法则进行求解.例1.已知正三角形ABC 的边长为12，E 是BC的中点，F 在线段AC 上，且AF =12FC ,若AE 与BF相交于点M ，则 MA ∙MB =_____.解：以BC 所在的直线为x 轴、BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图1所示，则A ()0,63，B ()-6,0，E 与O 重合，可得AF =12FC ,F ()2，43,设M ()0，m ， BM =λBF ，即()6，m =λ()8,43，可得m =33，所以 MA ∙MB =()0,33∙()-6,-33=-27.首先根据等边三角形的对称性，以BC 所在的直线为x 轴、BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系；然后设出M 的坐标，并求得A 、B 、F 、 MA 、 MB的坐标，即可将问题转化为坐标运算问题，通过向量的坐标运算求得问题的答案.一般地，若能根据所给的图形快速找到垂直关系，则可根据其垂直关系建立坐标轴，采用坐标法来解题，这样能使问题简单化，有助于提升解题的效率.图1图2例2.如图2，已知等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，且||AB =1,O 为坐标原点，则 OC ∙OA 的取值范围为_____.解：设∠OAB =α，α∈æèöø0，π2，因为△OAB 为直角三角形，且||AB =1，则A ()cos α,0，B ()0,sin α，因为△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAD =π2-α，|| AB =|| AC ，可得|| AD =sin α，||CD =cos α，得C ()cos α+sin α,cos α，所以 OC ∙OA =cos α()cos α+sin α=12cos 2α+12sin 2α+12æèöø2α+π4+12，而2α+π4∈æèöøπ4，5π4，所以sin æèöø2α+π4∈æèçùûú，则 OC∙ OA ∈æèçû.解答本题，需先设∠OAB =α，用角α表示出A 、B 、C 的坐标，进而求得 OC 、OA 的坐标；然后通过向量的坐标运算求得 OC ∙OA 的表达式，并根据正弦函数的有界性求得 OC ∙OA 的取值范围.运用坐标法解题，能葛梅60。

数理化解题研究2021年第07期总第500期向量数量积最值问题相关解题策略贾磊(山东省新泰市新汶中学271219)摘 要：向量数量积同时具有几何和代数的意义，因此平面向量是高中数学中重要的知识交汇部分，也是高考中较为热门的考点之一.本文以向量数量积求最值问题为例，从分解向量、向量几何化以及向量坐标化三 方面，根据不同的问题情况进行分析，旨在提高学生的解题效率和能力.关键词：向量数量积；解题思路；方法探究中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0024 -02—、向量数量积分解法向量数量积分解法具体是指利用向量的矢量性把单 一的向量拆分为不同向量之和，进而求解得到问题答案 的方法•分解法运用在求数量积最值问题中，可采取把动态变量分解为静态向量的思路，使问题转化为具体的不等向量运算关系式，使学生更快捷地解答有关问题.例1如图1所示,已知圆M : (%-3)2 + (y -3)2 —4,四边形 4B- CD 为圆M 的内接正方形,点E 是边4B 的中点，当正方形在圆内运动时，边长4D 上的一点F 也在运 动，求m E ・0F 的最大值 .思考用数量积分解化求解图.图1该问题,首先要确定ME 和0F 向量分解的基础方向，找到模确定的基础向量0M 和MD ,再对问题所求ME ・乔进行分解，展开得到以而和MD 为基础的解析 式后，找出满足最大值关系的情况即可求得最大值.解析 由题意可得，圆内接正方形边长为22,0M —3 2 ,DM — 2.所以M -・ 0- — M -・(0- + MD + DF ) — ME ・ 0- + M -・ M - + M -・ D -.因为ME ・MD 长度为定值，且D - < —,所以 ME ・ 0- + M -・ DF - 2 W M -・ 0- +M -・ D - -2 — M -・ 0- + 2.因为M -与0-的夹角范围在［0,n ］中,所以ME ・0-+ 2W ME ・0- +2—8.故M -・0-的最大值为8.二、向量数量积几何法向量数量积几何法实际上是运用向量的几何意义进行求解，是把数量积转化为具体几何图形，根据特殊的几何状态求解得到相关最值的方法.向量数量积几何法可 以运用在大多数向量求最值问题上，因此要熟练掌握该 方法的具体运用.例2已知点Q 是圆%2 + y 2 —1上的动点，如图2,点 P 是直线Z ：y 二％ +3厲上的一点，点0为坐标原点，则 PQ ・而的最小值为____.思考由于问题属于双变量 问题,可以考虑在几何图形上求解PQ ・p 0的最值•问题中点Q 、P 均 在运动且独立，首先固定点P 进 行分析，即P -确定，易知PQ ・P0最小值情况属于P 、0、Q 三点共 线,随后移动点P ,可知-最小值位于0P 垂直直线/状态，由此可以得到问题所求最小值.解析 假设点P 为定点，则P 、0、Q 三点共线时使得 PQ ・P -有最小值，即点Q 与点E 重合时，PQ ・P0 W0P ・P - — 0P ・(0- -1).当点P 运动，0P 与 直线/垂直时,0P 绝对值最小，即PQ ・P - W 0- 2 -0P —32 -3 —6.所以p Q ・p 0的最小值为6.三、向量数量积坐标法向量数量积坐标法相较于其他两种方法而言,更加直观简洁•求解平面向量数量积最值问题时,主要通过坐 标系的建立以及坐标的表示和运算对最值问题进行解 答•坐标法因为快捷往往受到学生的“偏爱”,但值得注意的是，坐标系的选取和坐标的表示对解题有着关键作用,应该慎重考虑.例3单位圆上有4、B 两点满足Z 40B — 120°,点C 是 圆上的动点,-—% - + y -,求% -2y 的最大值和最小值收稿日期：2020 -12 -05作者简介：贾磊(1981. 2 -)，男，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.—24—2021年第07期总第500期数理化解题研究思考运用几何或者分解方法求解问题都显得过于繁琐，可以尝试用坐标方法对问题进行简化•首先根据单 位圆和其他各点之间的位置关系,对A 、B 、0三点进行坐 标表示，其次用坐标表示和运算页、丽，由于点C 在单位 圆上，根据单位圆的参'数方程为sin 2 0 + cos 2 0 - 1可得0C 的具体坐标，即把问题转化为有关三角函数 最值的求解问题•解析如图3所示,建立直角坐标系%0y.由题意可得A (1,0)、B [ -),则况-% 01 + yO B -图 3%(1，0)+{-十書卜[-*y +% 厚y)因为点C 是单位圆上一动点，所以点C 用圆的参数 方程可以表示为(cos 0,sin 0),则0C - (cos 0,sin 0).所以(cos 0,sin 0)-1-2 y + %fy [，即 v % - cos 0 + 晋sin 0y - 233 sin 0.-2cos [ 0 + n因为0+:E「n 4n "I所以% -2y e [ -2,2 ],即% -2y 的最大值是2,最小 值是- 2.总之,坐标法、分解法和几何法都是求解向量数量积 最值问题的常见解法，其中每种解法对应的解题思路都各不相同,具有各自的特点和解题时需要注意的地方•针 对这些解题方法的应用,学生应该多思考、多练习、多 总结.参考文献：[1 ]郑文龙.解决平面向量数量积最值问题的三种策 略[J ].高中数学教与学,2017 (24) ：45 -47.[2 ]刘刚.破解圆中数量积最值问题的策略[J ].数理天地,2018(11) ：7 -9.[责任编辑:李璟]求圆锥曲线最值问题的三种思路张彩玲(安徽省砀山中学235300)摘 要：关于圆锥曲线的最值问题，它所涉及的内容十分广泛，结合了三角、几何以及代数等知识，所需要掌握的解题技巧也非常多，在每年的高考中都会有所体现.考查学生对知识的掌握程度以及运用知识的思维能力、分析解决问题的能力.本文利用三角函数的有界性、圆锥曲线的定义和二次函数三种方法对圆锥曲线最 值问题进行分析•关键词：圆锥曲线；最值;有界性；导数法;基本不等式中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0025 -02一、利用三角函数的有界性三角函数的有界性是当% e R ,那么Isin % ^1,1 cos %W1,这就是三角函数的有界性,也是三角函数的重要性质之一，在求解圆锥曲线问题时,利用三角函数的有界性，通常能帮助我们将复杂问题简单化.例1已知圆的方程为%2 + y 2 -4% -10y +25 -0,该 圆与直线I 相切，又与直线% -2,y -5构成面积最小的三角形,求直线I 的方程.分析 将圆的方程转化为标准方程的形式：(%-2)2+ (y -5)2-4,先分别设出%'、y '的直线方程’得到新坐标系下圆的方程，再通过题目已知得到新坐标的原点为(0, 0).将切点设为(2cos 0,2sin 0),这样就可以得到切线方 程，根据题目最小三角形面积得到S -令,最后通过三角函数的有界性可知0 -：时，三角形面积最小,最后就收稿日期：2020 -12 -05作者简介：张彩玲(1979. 1 -)，女，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.—25—。

平面向量最值问题一般与动点、参数有关.这类问题具有较强的综合性，通常会考查平面向量的基本定理、共线定理、运算法则、公式，平面几何图形的性质.本文结合例题探讨一下破解平面向量最值问题的两个妙招.一、建立坐标系当遇到与等腰三角形、平行四边形、矩形、圆等规则平面几何图形有关的问题时，可根据几何图形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求得各个点的坐标，各条线段的方向向量，便可通过向量的坐标运算求得目标式，再利用二次函数的性质、基本不等式等求得目标式的最值，即可解题.例1.在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为边CD 上的动点，则 AE ∙ BE 的最小值为_____.解：以点D 为原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设E ()0,t ，t ∈[]0，3，则A ()1,0，B æèçø32，C ()0,3，因为 AE ∙ BE =()-1×æèöø-32+t æèçøt-=t 2+32=æèçøt 2t +2116，所以当t = AE ∙ BE 取最小值2116.解答该题，需根据已知条件AD ⊥CD ，来建立平面直角坐标系.求得点A 、B 、C 、D 、E 的坐标，并设出点E 的坐标，便可根据向量的数量积公式求得AE ∙BE 的表达式，最后根据二次函数的性质求得最值.二、几何性质法平面向量具有“数”“形”两重身份.因此在解答平面向量问题时，往往可采用几何性质法来求解.可根据向量的三角形法则、平行四边形法则，绘制相应的几何图形，将向量之间的关系转化为几何关系，灵活运用平面几何图形的性质，如圆、矩形、三角形、平行四边形的性质，寻找到使目标式取最值的临界情形，从而求得最值.例2.已知A 、B 是圆C ：()x -12+()y -22=4上的两点，若平面内存在一点Q 使得 QC =λ QA +()1-λQB ，λ∈R ，点P 在直线l ：3x +4y +4=0上，求 PA ∙PB 的最小值.解：∵ QC =λ QA +()1-λQB ，λ∈R ，∴A 、B 、C 共线，即AB 是圆C 的直径，∵ BA = PA -PB ，2 PC = PA + PB ,∴ BA 2= PA 2+ PB 2-2 PA ∙ PB ，①4 PC 2= PA 2+ PB 2+2 PA ∙PB ，②由①②可得 PA ∙ PB = PC 2-14BA 2= PC 2-4，∵点C ()1,2到直线l ：3x +4y +4=0距离为3，∴ PC 2最小值为9，即 PA ∙PB 的最小值为5.解答本题,需先根据平面向量的共线定理证明A 、B 、C 三点共线，根据圆对称性得出结论：AB 是圆C的直径，然后利用向量的模的公式和向量的数量积公式求得 PA ∙ PB 的表达式，将求 PA ∙PB 的最小值转化为求|| PC 的最小值.而C 为顶点，P 点在直线l 上，只需根据点到直线的距离公式即可求得最小值.例3.已知e 为单位向量，非零向量a 与e的夹角为π3，b 2-4e ∙b +3=0，求||||a -b 的最小值.解：设 OA =a ，OB =b， OC =e ，若OC 在x 轴上，且点A 位于第一象限中，∵a 与e 的夹角为π3，∴点A 在斜率为π3的射线上，考点透视马小芹39设点B 为()x ,y ，由b 2-4e ∙b+3=0得()x -22+y 2=1，即点B 在圆()x -22+y 2=1上，∵||||a -b =|| OA - OB =|| BA ，∴||||a -b 的最小值为点B 到射线OA 的最短距离，即圆心()2,0到射线y =3x 的距离减去半径，∴||||a -b min=3-1.首先以单位向量e 作为解题的突破口，假设e 为水平方向的单位向量，然后将问题中的各个条件转换为几何关系，如将“a 与e 的夹角为π3”转化为“点A 在斜率为π3的射线上”；根据()x -22+y 2=1，将点B 看作圆()x -22+y 2=1上的点，将“||||a -b 的最小值”转化为“点B 到射线OA 的最短距离”等，根据圆的性质来求最值.运用几何性质法解答平面向量最值问题，需仔细研究向量的几何意义，联系直线、中点的向量表达形式，把向量以点和图形的形式呈现出来，将向量的最值问题等价转化为平面几何中的距离、角度的最值问题，结合平面几何图形的性质来求解.虽然平面向量最值问题较为复杂，但是我们只要能根据图形的特点建立合适的平面直角坐标系，根据向量的几何意义构造平面几何图形，便能通过向量的坐标运算，利用平面几何图形的性质，求得问题的答案.本文系江苏省陶研会立项课题《高中生小组合作学习下数学错题反思的有效性研究》（课题批准文号：JSTY624）研究成果（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）考点透视特殊与一般思想是重要的数学思想.在解答数学问题时，将特殊问题一般化，有助于了解、掌握问题的本质和通性通法；将一般问题特殊化，有利于快速找到解题的突破口.下面主要谈一谈特殊与一般思想在解答不等式问题中的应用.一、将一般性的问题特殊化将一般性的问题特殊化，需把研究对象或问题从原有的范围缩到较小范围或个别情形进行考查.在一般情况下成立的命题，在一些满足题意的特殊情形下也必然成立.因此，在解答某些含有参数、不确定变量的不等式问题时，可以从题目中的已知条件出发，通过尝试寻找特殊情形，如赋特殊值，考查特殊数，取特殊点、特殊位置，考虑特殊图形等，从中寻得启示.获得结果后，再对其进行验证，便可快速解题.例1.如图，若数轴上A 、B 两点分别表示实数a 、b ，则下列结论正确的是（）.A.a +b >0B.ab >0C.|a |-|b |>0D.a -b >0分析：题目中的A 、B 、a 、b 的大小均不确定，很难直接得到正确的选项，不妨运用特殊与一般思想，将问题特殊化，根据题意给a 、b 赋予特殊值，将其代入四个选择中进行运算，即可得到正确的答案.解：通过观察数轴，可以得出a <-1，0<b <1，令a =-2，b =0.5，则a +b =-1.5<0，ab =-1<0，|a |-|b |=1.5>0，a -b =-2.5<0，故选C.对于选择题，可通过特殊个例来寻求满足一般情况的结论，将其推广到一般性的问题上，从而获得一般性问题的答案.在运用特殊与一般思想解题时，要关注一些特殊情形：如区间的端点、曲线的切点、中点等，从特殊情形入手，以便将一般性的问题特殊化.例2.已知x i ≥0(i =1,2,3,…,n )，且∑i =1nx i =1，求证：1≤∑i =1n x i ≤n .分析：该例题中的未知量较多，不容易入手，根据化多为少的原则应想办法减少未知量的个数，让问题纪婷吴明忠40。

思路探寻平面向量最值问题通常要求根据给出的条件，求向量的模的最小值、数量积的最大值、夹角的最值等.解答此类问题，需要根据已知条件和向量知识，求得目标式，然后把问题转化为函数问题、几何最值问题.与此同时，由于平面向量具有“数”与“形”的双重身份，所以在解题时要灵活运用数形结合思想.那么求解这类问题有哪些途径呢？下面举例说明.一、根据三角函数的有界性对于一些与向量的数量积、夹角、模有关的最值问题，通常可根据向量的数量积公式，通过向量运算求得目标式.此时目标式为关于某个夹角的三角函数式，那么就可以将问题看作三角函数最值问题.通过三角恒等变换化简目标式，便可利用三角函数的有界性求得最值.在利用三角函数的有界性求最值时，要明确夹角的取值范围，熟悉并灵活运用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.例1.如图1，若△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则 OC ∙ AB + CA ∙CB 的最大值为______.解：因为∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则∠AOB =2∠ACB =π2，又因为AB =2，所以OA =OB =2，即外接圆的半径r =2.则 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC ∙() OB - OA +()OA - OC ∙()OB - OC= OC ∙ OB - OC ∙ OA + OA ∙ OB - OA ∙ OC - OC ∙ OB + OC 2= OA ∙ OB + OC 2-2 OA ∙ OC ,因为∠AOB =π2，OA ⊥OB ，即 OA ∙ OB =0.故 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC 2-2 OA ∙ OC =|| OC 2-2|| OA ∙||OC cos ∠AOC =2-4cos ∠AOC ，因为A 与C 不重合，所以 OA 与OC 的夹角的范围为(]0,π，故-1≤cos ∠AOC <1，所以当cos ∠AOC =-1，即当O 为AC 的中点时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值2-4×()-1=6.首先根据三角形和圆的性质、向量的数量积公式求得目标式，将所求目标转化为有关∠AOC 的三角函数式；然后确定∠AOC 的取值范围，即可根据余弦函数的有界性确定目标式的最值.图1图2二、利用平面几何图形的性质对于与图形有关的平面向量问题，通常可先根据向量的几何意义画出几何图形，并确定向量所表示的点的轨迹；然后分析图形中点、线、图形之间的位置关系，利用平面几何图形的性质求最值.例2.在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，2 BE =EC ，P 是平面ABCD 内的动点，且 AP ∙ AB =AP 2.若0<t <1，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 的最小值为______.解：由 AP ∙ AB = AP 2知： AP ∙( AB - AP )= AP ∙ PB =0,即 AP ⊥ PB ，所以P 在以AB 为直径的圆上，F 为圆心，于是以B 为原点，以BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图2所示的平面直角坐标系，所以A (0,2),D (3,2),E (1,0),F (0,1)，若P (x ,y )，则x 2+(y -1)2=1，则 BE =(1,0), DE =(-2,-2),PE =(1-x ,-y )，所以 BE +tDE =(1-2t ,-2t )， PE +(t -1)DE =(3-x -2t ,2-y -2t )，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 可看作点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和，又(3-2t ,2-2t )在直线x -y -1=0上，1<x <3，由图2可知G (2,2)关于DE 对称点为G ′(3,1)，故(|PH |+|GH |)min =|FG ′|-1=2，此时x =2,y =1,t =12.我们先根据矩形的特征建立平面直角坐标系；然后设P 点的坐标，求得各个向量的坐标以及 BE +tDE 、 PE +(t -1)DE 的表达式，即可根据其几何意义，将求||BE +t DE +|| PE +(t -1) DE 的最小值转化为求点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和的最小值；最后根据矩形和圆的对称性，确定H 的位置，即可求得最小值.47思路探寻例3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足||||a -b =2，且(c -a )∙(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈éëùûπ6,π3，则||c 的最大值是______.解：根据题意，作出如图3所示的图形.令a =OA,b = OB,c = OC，可得：||AB=2，且∠ACB=90°，取AB中点为M，则||CM=12||AB=1，则点C在以AB为直径的圆M上运动.由图可知，当O,M,C三点共线时，|| OC取得最大值，即|| OCmax=|| OM+1；不妨设三角形OAB的外接圆圆心为G，则GM⊥AB，在三角形OAB中，由正弦定理可得：2||OG=ABsinθ，即||OG=1sinθ,θ∈éëùûπ6,π3，故当θ=π6时，||OG max=2，||GM max=||OG2max-1=3；当O,M,G三点共线时，|| OM取得最大值，此时|| OMmax=||OG max+||GM max=2+3.故当θ=π6，且O,M,G,C四点共线时,|| OC max=3+3.根据题意和向量的几何意义作出几何图形，便可根据平面向量的基本定理以及正弦定理，确定||c 取得最大值的情形：O,M,G,C四点共线，即可利用数形结合思想求得最值.图3图4三、利用二次函数的性质在求解向量的最值问题时，可根据题意选取合适的基底，将目标式用基底表示出来，建立关于参数的关系式；也可根据题意建立适当的直角坐标系，通过平面向量的坐标运算，求得各点的坐标、向量的坐标以及目标式.最后将问题转化为函数最值问题，利用二次函数的性质来求最值.例4.已知在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°，CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且AM=xAB+12 AD.若点N为线段BD上一个动点，则 AN∙ MN的最小值为______.解：因为CE=2EB，CF=2FD，所以BE=13 BC， DF=13 DC，所以AE=AB+BE=AB+13 AD，AF=AD+DF=13 AB+ AD，因为点M在线段EF上，可设AM=λAE+(1-λ)AF=λ(AB+13 AD)+(1-λ)·(13 AB+ AD)=(13+23λ) AB+(1-23λ) AD，而AM=xAB+12 AD，所以ìíîïïx=13+23λ,1-23λ=12,解得λ=34，x=56，所以 AM=56 AB+12 AD，则|| AM2=æèöø56 AB+12 AD2=2536 AB2+56 AB∙ AD+14 AD2=49，所以|| AM=7，因为点N为线段BD上一个动点，可设AN=μAB+(1-μ)AD，μ∈[]0,1，所以MN=AN-AM=μAB+(1-μ)AD-(56 AB+12 AD)=(μ-56) AB+(12-μ) AD，所以AN∙MN=[μAB+(1-μ)AD]∙[(μ-56) AB+(12-μ)AD]=μ(μ-56) AB2+(-2μ2+73μ-56) AB∙ AD+(1-μ)(12-μ) AD2=36μ2-42μ+3=36æèöøμ-7122-374≥-374，则当μ=712时， AN∙ MN的最小值为-374．由于∠BAD=60∘，AB=6，所以以向量AB,AD为基底，根据平面向量的线性运算法则和数量积公式，求AN∙MN的表达式，最终将问题转化为二次函数的最值问题.通过配方，根据二次函数的单调性即可求得目标式的最值.由此可见，求解平面向量最值问题，关键是运用转化思想和数形结合思想，通过平面直角坐标系、平面向量的坐标运算法则、平面向量基本定理、向量的几何意义，根据目标式的结构特征，将原问题转化为三角函数、平面几何、二次函数最值问题.（作者单位：甘肃省康乐县第一中学）48。

2 ⎣⎦⎣⎦高中数学解题方法系列：平面向量数量积运算的解题策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法 上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数 例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。

一 利用数量积的几何意义求解例 1 如图, 已知正六边形 P 1P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 ，下列向量的数量积中最大的是（ ） （A ） P 1P 2 ⋅ P 1P 3 （C ） P 1P 2 ⋅ P 1P 5（B ） P 1P 2 ⋅ P 1P 4 （D ） P 1P 2 ⋅ P 1P 6解析： 选项中均有向量 P 1P 2 ，根据数量积的几何意义， 要找P 1P 2 ⋅ P 1P i (i = 3, 4,5, 6) 的最大值,只需求 P 1P i (i = 3, 4, 5, 6) 在 P 1 P 2 方向上的投影最大即可，画图可知只有 P 1P 3 在 P 1 P 2 方向上的投影最大，故最大选 A .练习 1：正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 ，正方体所在空间的动点 P 满足PB 1 + PC = 2 ，则 AP ⋅ AD 1 的取值范围是（）A ． [0, 4]B ． [1, 4]C ．⎡0, 2 2 ⎤ D ．⎡1, 2 2 ⎤解析：点 P 的轨迹是球面，球心是正方形 BB 1C 1C 的中心，半径为 1， AP ⋅ AD 1 的几何意义是 乘以动向量 AD 1 在 AP 方向上的投影，故可选 A .练习 2：正四面体 A －BCD 的棱长为 2，空间动点 P 满足| PB + PC | =2，则 AP ⋅ AD 的取值范围是解析：类似练习 1，答案是[0, 4].AP二 借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积.例 2 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 120°，AB = 2，AC = 1 ， D 是边 BC 上一点，DC = 2BD ，则 A D ·B C = .解析：直接利用定义求 AD ·BC 较困难，题目中给出了∠BAC =120°，AB = 2，AC =1，可以利用定义直接求出 A B ·A C ，这样问题就转化为能否将向量 AD ,BC 都用 AB ,AC 形式表示.由 DC = 2BD 得 AC - AD = 2(AD - AB ) 即 AD =1 AC + 2AB ， BC = AC - AB∴ AD BC =12AC1 + AC ⋅ AB -22AB 3 3= - 8.3 33 3练习：2018 年天津市数学（文）高考试卷第 8 题 在如图的平面图形中，已知OM = 1.ON = 2, ∠MON = 120 , BM = 2MA ,CN = 2NA , 则 BC ·OM 的值为（ ）（A ） -15 （C ） -6（B ） -9 （D ）0解析：连结 MN , 则 MN 平行于 BC ,BC • OM = 3MN • OM = 3(ON - OM ) • OM2= 3ON • OM - 3OM = -3 - 3 = -6.故可选（C ） -6 .三 利用极化恒等式求数量积例 3.(2012 年浙江文 15) 在 ∆ABC 中， M 是 BC 的中点， AM = 3, BC = 10 ， 则AB ⋅ A C = .解：因为 M 是 BC 的中点，由极化恒等式得： AB ⋅ AC = AM 2 - 1 BC 2 =9- 1⨯100 =4 4-16练习 1.（2013 浙江理 7）在∆ABC 中, P 是边 AB 上一定点，满足 P B = 1AB ，且对于4边 AB 上任一点 P ，恒有 PB ⋅ PC ≥ P 0 B ⋅ P 0C .则( )A. ∠ABC = 90B.∠BAC = 90PB 0 0 C. AB = ACD. AC = BC解析: D 由题意，设|→A B |=4，则|P →B |=1，过点 C 作 A B 的 垂线，垂足为 H ，在 A B 上任取一点 P ，设 H P 0=a ，则由 数量积的几何意义可得，→P B ∙→P C =|→P H ||→P B |=( |→P B | − AP(a +1))|→P B |，P →B ∙P →C =−|P →H ||P →B |=−a ，于是→P B ∙→P C ≥P →B ∙CP →C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→P B |≥−a 恒成立，整理得|→P B |2−(a +1)|→P B |+a ≥0 恒成 立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0 即可，于是 a =1，因此我们得到 H B =2，即 H 是 A B 的 中点，故△A BC 是等腰三角形，所以 A C =B C练习 2： (8) 如图，在平面四边形A B C D 中，AB ⊥ BC ，AD ⊥ CD ，∠BAD = 120︒ ，AB = AD = 1. 若点 E 为边 C D 上的动点，则 AE ⋅ BE 的最小值为 （）21 (A )16 3 (B)225 (C )16(D ) 3解析：延长CD 和 BA 交于点 F ，取 BA 的中点 H ,过点 H 作 HK 的垂线交CF 于点 K ,则 25AE • BE = EA• EB =212- 1 4 2 AB = EH 2 - 1 ,当 4 EH = 16 时有对应的最小值 16,故可选 A 选项。

ʏ刘 哲平面向量是高中数学知识的一个重要交汇点,以向量为背景的最值问题,综合性较强,涉及的知识点多,解法灵活多样㊂下面就向量有关的最值问题的求解策略举例分析,供同学们学习与提高㊂一㊁利用不等式的性质例1 已知P 是边长为2的正六边形A B C D E F 内的一点,则A P ң㊃A B ң的取值范围是㊂解:如图1,以A 为坐标原点,A B 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系x A y㊂图1易得点A (0,0),B (2,0),C (3,3),F (-1,3)㊂设点P (x ,y ),-1<x <3,则A P ң=(x ,y),A B ң=(2,0)㊂所以A P ң㊃A B ң=(x ,y )㊃(2,0)=2x ɪ(-2,6),即A P ң㊃A B ңɪ(-2,6)㊂评析:在不等式的两边同乘以一个正数,不等式的方向不变㊂二㊁利用x 2ȡ0例2 已知әA B C 是边长为2的等边三角形,P 为平面A B C 内一点,则P A ң㊃(P B ң+P C ң)的最小值是㊂解:如图2,以B C 的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系x O y ㊂图2易得点A (0,3),B (-1,0),C (1,0)㊂设点P (x ,y ),则P A ң=(-x ,3-y ),P B ң=(-1-x ,-y ),P C ң=(1-x ,-y ),所以P A ң㊃(P B ң+P C ң)=2x 2-23y +2y 2=2x 2+y -322-34㊂故所求的最小值为2ˑ-34=-32,此时x =0,y =32㊂评析:完全平方式的和为非负数㊂三㊁利用三角形的三边关系例3 已知|A B ң|=10,|A C ң|=7,则|B C ң|的取值范围是( )㊂A.[3,17] B .(3,17)C .(3,10)D .[3,10]解:依题意得|A B ң|-|A C ң|ɤ|B C ң|ɤ|A C ң|+|A B ң|,故3ɤ|B C ң|ɤ17,即|B C ң|的取值范围是[3,17]㊂应选A ㊂评析:三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边㊂四㊁利用二次函数的性质例4 如图3所示,在四边形A B C D 中,øB =60ʎ,A B =3,B C =6,A D ң=λB C ң,A D ң㊃A B ң=-32,若M ,N 是线段B C 上的动点,且|MN ң|=1,则DM ң㊃D N ң的最小值为㊂图3解:因为A D ң=λB C ң,所以A D ʊB C ,则øB A D =120ʎ,所以A D ң㊃A B ң=|A D ң|㊃|A B ң|㊃c o s 120ʎ=-32,可得|A D ң|=1㊂已知向量A D ң,B C ң同向,且B C =6,在四边形A B C D 中,作A O ʅB C 于点O ,则B O =A B ㊃c o s 60ʎ=32,A O =A B ㊃s i n 60ʎ=332㊂以O 为坐标原点,B C ,A O 所在直线分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系x O y (如图3)㊂51知识结构与拓展高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.设点M (a ,0),不妨设点N 在点M 右侧,则N (a +1,0),易得-32ɤa ɤ72㊂因为点D 1,332 ,所以DM ң=a -1,-332,D N ң=a ,-332,所以DM ң㊃D N ң=a 2-a +274=a -122+132㊂故当a =12时,DM ң㊃D N ң取得最小值132,即DM ң㊃D N ң的最小值为132㊂评析:二次函数y =a x 2+b x +c ,当a >0时,y 有最小值;当a <0时,y 有最大值㊂五㊁利用余弦函数的性质例5 若向量a ,b 满足a =(c o s θ,s i n θ)(θɪR ),|b |=2,则|2a -b |的取值范围为㊂解:设a 与b 的夹角为α,则(2a -b )2=4a 2+b 2-4a ㊃b =8-8c o s α㊂因为αɪ[0,π],-1ɤc o s αɤ1,所以0ɤ8-8c o s αɤ16,所以0ɤ|2a -b |ɤ4,所以|2a -b |的取值范围为[0,4]㊂评析:余弦函数y =c o s x 在[0,π]上单调递减,其值域为[-1,1]㊂六㊁利用正弦函数的性质例6 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量a =(-1,2),点A (8,0),C (k s i n θ,t )0ɤθɤπ2㊂若向量A C ң与向量a 共线,当k >4,且t s i n θ取最大值4时,则O A ң㊃O C ң=㊂解:由题设知A C ң=(k s i n θ-8,t)㊂因为A C ң与a 共线,所以t =-2k s i n θ+16,所以t s i n θ=(-2k s i n θ+16)s i n θ=-2k ㊃s i n θ-4k2+32k ㊂因为k >4,所以0<4k<1,所以当s i n θ=4k 时,t s i n θ取得最大值32k㊂由32k =4,可得k =8,此时θ=π6,t =8,则O C ң=(4,8),所以O A ң㊃O C ң=(8,0)㊃(4,8)=32㊂评析:解题时,不要忽视了4k 的取值范围㊂七㊁利用不等式|a |+|b |ȡ|a +b |ȡ||a |-|b ||例7 已知a ,b 是单位向量,a ㊃b =0㊂若向量c 满足|c -a -b |=1,则|c |的最大值是㊂解:由|a |=|b |=1,a ㊃b =0,可得|a +b |=2㊂由|c -a -b |=|c -(a +b )|ȡ||c |-|a +b ||=||c |-2|,结合已知条件得||c |-2|ɤ1,所以|c |ɤ1+2㊂故|c |m a x =2+1,即|c |的最大值是2+1㊂评析:含有绝对值不等式的性质:||a |-|b ||ɤ|a ʃb |ɤ|a |+|b |,当a ,b 为向量时也适用㊂八㊁利用圆的性质例8 已知点A ,B ,C 均在半径为2的圆上,若|A B |=2,则A C ң㊃B C ң的最大值为( )㊂A.3+22 B .2+22C .4D .2解:如图4,设A ,B ,C 三点所在圆的圆心为O ,取A B 中点D ,则A C ң㊃B C ң=C A ң㊃C B ң=(C D ң+D A ң)㊃(C D ң+D B ң)=(C D ң+D A ң)㊃(C D ң-D A ң)=C D ң2-D A ң2=C D ң2-1=|C D ң|2-1㊂图4由于A ,B ,C 三点在圆O 上,所以C D长度的最大值为r +d ,其中d 为圆心O 到弦A B 的距离,r 为圆O 的半径,故C D 长度的最大值为1+2㊂故|C D ң|2-1的最大值为(1+2)2-1=2+22㊂应选B ㊂评析:本题是利用圆的垂直平分线必过圆心这一性质求解的㊂作者单位:湖北省恩施市第三高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

平面向量数量积最值问题的求解策略近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径.一、利用函数思想方法求解例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.量的函数关系是解决最值分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变问题的常用途径。

解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A，1(,22B -，(cos ,sin )C θθ。

1(cos ,sin )(1,0)(,22x y θθ∴=+-即cos 2sin y x θθ⎧-=⎪⎪=cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3πθ≤≤。

因此，当3πθ=时，x y +取最大值2。

例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ =二、利用向量的数量积n m n m⋅≤⋅求最值例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。

图分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。

解：,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==-当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。