高考数学一轮复习 第二章 函数2.8函数的图象及其变换教学案 理 新人教A版
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2.8函数与方程必备知识预案自诊知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
(2)与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与有交点⇔函数y=f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)2。
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系图象3.二分法函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,且,通过不断地把它的零点所在区间,使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断,且有f(a)f (b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.2。
f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,则f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点。
考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√",错误的画“×”。
(1)函数f(x)=x2—1的零点是(—1,0)和(1,0).()(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2—4ac〈0时没有零点。
() (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值。
()(4)已知函数f(x)在(a,b)内图象连续且单调,若f(a)f(b)〈0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.()(5)函数y=2sin x—1的零点有无数多个.() 2。
(2020云南玉溪一中二模)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()A。
(—2,—1)B.(—1,0)C。
(0,1)D。
(1,2)3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x—4的零点所在的区间为()A.(—1,0)B.(0,1)C。
第二章 函数 2.1 函数及其表示考纲要求1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.(1)函数的定义域、值域.在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,__________叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,__________叫做函数的值域,显然,值域是集合B 的子集.(2)函数的三要素:__________、__________和__________. 3.函数的表示方法表示函数的常用方法有__________、__________和__________. 4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因__________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________,其值域等于各段函数的值域的__________,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.1.设f ,g 都是从A 到A则f (g (3))等于( ). A .1 B .2C .3D .不存在2.集合A ={x |0≤x ≤4},B ={y |0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( ).A .f :x →y =12xB .f :x →y =13xC .f :x →y =23xD .f :x →y =x3.下列各函数中,表示同一个函数的是( ).A .f (x )=lg x 2,g (x )=2lg xB .f (x )=lg x +1x -1,g (x )=lg(x +1)-lg(x -1)C .f (u )=1+u1-u,g (v )=1+v1-vD .f (x )=x ,g (x )=x 24.(2012山东高考)函数f (x )=1x ++4-x 2的定义域为( ).A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2]5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x,x ≤1,-x ,x >1,若f (x )=2,则x 等于( ).A .log 32B .-2C .log 32或-2D .2一、求简单函数的定义域、值域【例1-1】(2012江苏高考)函数f (x )=1-2log 6x 的定义域为__________. 【例1-2】已知函数f (3-2x )的定义域为[-1,2],求f (x )的定义域. 【例1-3】求下列函数的值域:(1)y =x 2+2x ,x ∈[0,3];(2)y =212x -;(3)y =log 3x +log x 3-1. 方法提炼1.求函数定义域的方法(1)出的方式(2)①若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出.②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.提醒:定义域必须写成集合或区间的形式. 2.求值域的方法常见的求值域的方法有:①配方法;②换元法;③基本不等式法;④利用函数的单调性;⑤分离常数法;⑥数形结合法;⑦导数法等.3.若两个函数的定义域与值域相同,它们不一定是同一函数,如函数y =x 与y =x +1,其定义域与值域完全相同,但不是同一个函数;再如y =sin x 与y =cos x ,其定义域都为R ,值域都为[-1,1],显然不是同一个函数.定义域和解析式相同的两个函数是同一个函数.4.分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集;最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的;图象则是由各段上的图象合成的.请做演练巩固提升1,4二、求函数的解析式【例2-1】若函数f (x )=xax +b(a ≠0),f (2)=1,又方程f (x )=x 有唯一解,则f (x )=__________.【例2-2】若2f (x )-f (-x )=x +1,求f (x ).【例2-3】已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f (x )=2x +x 2. (1)求x >0时,f (x )的解析式;(2)若关于x 的方程f (x )=2a 2+a 有三个不同的解,求a 的取值范围. 方法提炼函数解析式的求法:1.凑配法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式;2.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; 3.换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;4.方程思想:已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).提醒:因为函数的解析式相同、定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域,否则会导致错误.请做演练巩固提升2忽略分段函数中自变量的取值范围而致误【典例】设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,若f (-2)=f (0),f (-1)=-3,求关于x 的方程f (x )=x 的解.错解:当x ≤0时,f (x )=x 2+bx +c . 因为f (-2)=f (0),f (-1)=-3,所以⎩⎪⎨⎪⎧-2-2b +c =c ,-2-b +c =-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2,c =-2.所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -2,x ≤0,2,x >0.当x ≤0时,由f (x )=x 得x 2+2x -2=x 得x =-2或x =1.当x >0时,由f (x )=x 得x =2. 所以方程f (x )=x 的解为:-2,1,2.分析:(1)条件中f (-2),f (0),f (-1)所适合的解析式是f (x )=x 2+bx +c ,所以可构建方程组求出b ,c 的值.(2)在方程f (x )=x 中,f (x )用哪个解析式,要进行分类讨论.正解:当x ≤0时,f (x )=x 2+bx +c , 因为f (-2)=f (0),f (-1)=-3,∴⎩⎪⎨⎪⎧-2-2b +c =c ,-2-b +c =-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2,c =-2. ∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -2,x ≤0,2,x >0.当x ≤0时,由f (x )=x 得,x 2+2x -2=x ,得x =-2或x =1.由于x =1>0,所以舍去. 当x >0时,由f (x )=x 得x =2, 所以方程f (x )=x 的解为-2,2. 答题指导:1.对于分段函数问题,是高考的热点.在解决分段函数问题时,要注意自变量的限制条件.2.就本题而言,当x ≤0时,由f (x )=x 得出两个x 值,但其中的x =1不符合要求,错解中没有舍去此值,因而导致了增解.分段函数问题分段求解,但一定注意各段的限制条件.1.已知函数f (x )=12+x+(x -1)0的定义域为M ,g (x )=ln(2-x )的值域为N ,则M ∩N=( ).A .{x |x >-2}B .{x |x <2}C .{x |-2<x <2}D .{x |x >-2,且x ≠1}2.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +1=lg x ,则f (x )=( ).A .lg 1xB .lg 1x -1C .lg 2x -1D .lg 1x -23.(2012陕西高考)设函数f (x )=⎩⎨⎧x ,x ≥0,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,x <0,则f (f (-4))=______.4.设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数.若函数f (x )=x +g (x )在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________.5.对a ,b ∈R ,记min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a <b ,b ,a ≥b ,函数f (x )=min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ,-|x -1|+2(x ∈R )的最大值为________.参考答案基础梳理自测 知识梳理1.数集 集合 任意 数x 都有唯一确定 数f (x ) 任意 元素x 都有唯一确定 元素y f :A →B f :A →B2.(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系 3.解析法 列表法 图象法 4.对应法则 并集 并集 基础自测1.C 解析:由题中表格可知g (3)=1, ∴f (g (3))=f (1)=3.故选C.2.C 解析:依据函数的概念,集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应,选项C 不符合.3.C 解析:选项A 和B 定义域不同,选项D 对应法则不同.4.B 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ln(x +1)≠0,x +1>0,4-x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0,x >-1,-2≤x ≤2,所以定义域为(-1,0)∪(0,2].5.A 解析:当x ≤1时,3x=2, ∴x =log 32;当x >1时,-x =2,∴x =-2(舍去). ∴x =log 32. 考点探究突破【例1-1】(0,6] 解析:要使函数f (x )=1-2log 6x 有意义,则需⎩⎪⎨⎪⎧1-2log 6x ≥0,x >0,解得0<x ≤6,故f (x )的定义域为(0,6]. 【例1-2】解:用换元思想,令3-2x =t ,f (t )的定义域即为f (x )的定义域, ∴t =3-2x (x ∈[-1,2]).∴-1≤t ≤5. 故f (x )的定义域为[-1,5].【例1-3】解:(1)y =x 2+2x =(x +1)2-1,x ∈[0,3],结合二次函数的图象,可知y =x 2+2x 在区间[0,3]上是增函数,故当x =3时,y max =15; 当x =0时,y min =0.故函数的值域为[0,15].(2)令x 2-1=t ,则t ≥-1,原函数化为y =2t,t ∈[-1,+∞).结合y =2t 的单调性得y =2t,t ∈[-1,+∞)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞.(3)原函数即为y =log 3x +1log 3x-1.当x >1时,log 3x >0,因此利用基本不等式得y ≥2-1=1,当log 3x =1log 3x,即x =3时取“=”;当0<x <1时,log 3x <0, 因此log 3x +log x 3=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(-log 3x )+⎝ ⎛⎭⎪⎫-1log 3x ≤-2,∴log 3x +1log 3x-1≤-3,当且仅当log 3x =1log 3x,即x =13时取“=”.综上可知,y =log 3x +log x 3-1的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).【例2-1】2x x +2 解析:由f (2)=1得22a +b =1,即2a +b =2;由f (x )=x 得xax +b=x , 变形得x ⎝⎛⎭⎪⎫1ax +b -1=0,解此方程得x =0或x =1-ba, 又∵方程有唯一解, ∴1-b a=0,解得b =1,代入2a +b =2得a =12,∴f (x )=2xx +2.【例2-2】解:∵2f (x )-f (-x )=x +1,用-x 去替换式子中的x , 得2f (-x )-f (x )=-x +1.即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )-f (-x )=x +1,2f (-x )-f (x )=-x +1.解方程组消去f (-x ),得f (x )=x3+1.【例2-3】解:(1)任取x >0,则-x <0,∴f (-x )=-2x +(-x )2=x 2-2x . ∵f (x )是奇函数,∴f (x )=-f (-x )=2x -x 2.故x >0时,f (x )=2x -x 2.(2)∵方程f (x )=2a 2+a 有三个不同的解,∴-1<2a 2+a <1.∴-1<a <12.演练巩固提升1.D 解析:∵M ={x |x >-2,且x ≠1},N =R , ∴M ∩N =M ={x |x >-2,且x ≠1}.2.C 解析:令t =2x +1,则x =2t -1,∴f (t )=lg 2t -1,即f (x )=lg 2x -1,故选C.3.4 解析:∵f (-4)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-4=16,∴f(f(-4))=f(16)=16=4.4.[-2,7] 解析:设x1∈[0,1],f(x1)=x1+g(x1)∈[-2,5].∵函数g(x)是以1为周期的函数,∴当x2∈[1,2]时,f(x2)=f(x1+1)=x1+1+g(x1)∈[-1,6].当x3∈[2,3]时,f(x3)=f(x1+2)=x1+2+g(x1)∈[0,7].综上可知,当x∈[0,3]时,f(x)∈[-2,7].5.1 解析:y=f(x)是y=12x与y=-|x-1|+2两者中的较小者,数形结合可知,函数的最大值为1.。
一、知识梳理1.函数的零点函数零点的概念对于函数y =f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y =f(x)(x∈D)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点函数零点的存在性定理函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,若f(a)·f (b)<0,则y=f(x)在(a,b)内存在零点2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.二、习题改编1.(必修1P92A组T5改编)函数f(x)=ln x—错误!的零点所在的大致范围是()A.(1,2)B.(2,3)C.错误!和(3,4)D.(4,+∞)答案:B2.(必修1P88例1改编)f(x)=e x+3x的零点个数是()A.0 B.1C.2D.3答案:B3.(必修1P92A组T4改编)函数f(x)=x错误!—错误!错误!的零点个数为.答案:1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2—4ac<0时没有零点.()(4)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)√二、易错纠偏错误!(1)忽略限制条件致误;(2)错用零点存在性定理致误.1.函数f(x)=(x—1)ln(x—2)的零点个数为()A.0 B.1C.2D.3解析:选B.由x—2>0,得x>2,所以函数f(x)的定义域为(2,+∞),所以当f(x)=0,即(x—1)ln(x—2)=0时,解得x=1(舍去)或x=3.2.已知函数f(x)=2ax—a+3,若∃x0∈(—1,1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是.解析:依题意可得f(—1)·f(1)<0,即(—2a—a+3)(2a—a+3)<0,解得a<—3或a>1.答案:(—∞,—3)∪(1,+∞)函数零点所在区间的判断(师生共研)(一题多解)函数f(x)=log3x+x—2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】法一(定理法):函数f(x)=log3x+x—2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上单调递增,图象是一条连续曲线.由题意知f(1)=—1<0,f(2)=log32>0,f(3)=2>0,根据零点存在性定理可知,函数f(x)=log3x+x—2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内.法二(图象法):函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=log3x,h(x)=—x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两个函数的图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f(x)=3x—x2,则在下列区间中,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1] B.[1,2]C.[—2,—1] D.[—1,0]解析:选D.因为f(x)=3x—x2,所以f(—1)=3—1—1=—错误!<0,f(0)=30—0=1>0,所以f(—1)·f(0)<0.函数零点个数的判断(师生共研)(一题多解)函数f(x)=错误!的零点个数为()A.3B.2C.1D.0【解析】法一(方程法):由f(x)=0,得错误!或错误!解得x=—2或x=e.因此函数f(x)共有2个零点.法二(图形法):函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.【答案】B错误!判断函数零点个数的3种方法(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)图形法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.已知函数f(x)=错误!则f(x)的零点个数为()A.0 B.1C.2D.3解析:选C.当x>1时,令f(x)=ln(x—1)=0,得x=2;当x≤1时,令f(x)=2x—1—1=0,得x=1.故选C.函数零点的应用(师生共研)设函数f(x)=错误!(1)若a=1,则f(x)的最小值为;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.【解析】(1)若a=1,则f(x)=错误!作出函数f(x)的图象如图所示.由图可得f(x)的最小值为—1.(2)当a≥1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足21—a≤0,即a≥2,所以a≥2;当a<1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足错误!解得错误!≤a<1.综上,实数a的取值范围为错误!∪[2,+∞).【答案】(1)—1(2)错误!∪[2,+∞)错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤(1)常用方法(2)一般步骤1.函数f(x)=2x—错误!—a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)解析:选C.由题意,知函数f(x)在(1,2)上单调递增,又函数一个零点在区间(1,2)内,所以错误!即错误!解得0<a<3,故选C.2.已知函数f(x)=错误!若函数g(x)=f(x)—m有3个零点,则实数m的取值范围是.解析:画出函数f(x)=错误!的图象,如图所示.由于函数g(x)=f(x)—m有3个零点,结合图象得0<m<1,即m∈(0,1).答案:(0,1)3.若函数f(x)=4x—2x—a,x∈[—1,1]有零点,则实数a的取值范围是.解析:因为函数f(x)=4x—2x—a,x∈[—1,1]有零点,所以方程4x—2x—a=0在[—1,1]上有解,即方程a=4x—2x在[—1,1]上有解.方程a=4x—2x可变形为a=错误!错误!—错误!,因为x∈[—1,1],所以2x∈错误!,所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案:错误!核心素养系列5直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述分析数学问题,建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,1正确;当—1≤x≤0时,0≤—x≤1,f(x)=f(—x)=错误!错误!,函数y=f(x)的部分图象如图所示:由图象知2正确,3不正确;当3<x<4时,—1<x—4<0,f(x)=f(x—4)=错误!错误!,因此4正确,故正确命题的序号为124.【答案】124错误!作出函数图象,由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质,并将这些性质用于转出条件求得结论.二、利用图形解不等式使log2(—x)<x+1成立的x的取值范围是.【解析】在同一直角坐标系内作出y=log2(—x),y=x+1的图象,知满足条件的x∈(—1,0).【答案】(—1,0)错误!f(x),g(x)之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系,画出两个函数的图象,根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集.三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—2a|≥错误!x+a—1对x∈R恒成立,则a的取值范围是.【解析】作出y=|x—2a|和y=错误!x+a—1的简图,依题意知应有2a≤2—2a,故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题,一般将不等式化简,整理、重组、构造两个函数,一个含有参数,一个不含参数,研究两个函数的性质,画出两个函数的图象,观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化,根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式,解不等式得出参数a的取值范围.四、利用图形研究零点问题已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x—错误!的零点依次为a,b,c,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y=2x,y=log3x,y=—错误!的图象,如图,观察它们与y=—x的交点可知a<b<c,故选A.【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数,零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小,参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解.1.函数f(x)=|x—2|—ln x在定义域内的零点的个数为()A.0 B.1C.2D.3解析:选C.由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y1=|x—2|(x>0),y2=ln x(x>0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2.已知函数f(x)=错误!若f(a2)<f(2—a),则实数a的取值范围是.解析:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)在(—∞,+∞)上单调递增,所以a2<2—a,解得—2<a<1,故实数a的取值范围是(—2,1).答案:(—2,1)[基础题组练]1.(2020·福州期末)已知函数f(x)=错误!则函数y=f(x)+3x的零点个数是()A.0 B.1C.2D.3解析:选C.令f(x)+3x=0,则错误!或错误!解得x=0或x=—1,所以函数y=f(x)+3x 的零点个数是2.故选C.2.下列函数中,在(—1,1)内有零点且单调递增的是()A.y=log错误!xB.y=2x—1C.y=x2—错误!D.y=—x3解析:选B.函数y=log错误!x在定义域上单调递减,y=x2—错误!在(—1,1)上不是单调函数,y=—x3在定义域上单调递减,均不符合要求.对于y=2x—1,当x=0∈(—1,1)时,y=0且y=2x—1在R上单调递增.故选B.3.(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)方程log4x+x=7的解所在区间是()A.(1,2)B.(3,4)C.(5,6)D.(6,7)解析:选C.令函数f(x)=log4x+x—7,则函数f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数,且是连续函数.因为f(5)<0,f(6)>0,所以f(5)·f(6)<0,所以函数f(x)=log4x+x—7的零点所在区间为(5,6),所以方程log4x+x=7的解所在区间是(5,6).故选C.4.(2020·内蒙古月考)已知函数f(x)=x2—2|x|—m的零点有两个,则实数m的取值范围为()A.(—1,0)B.{—1}∪(0,+∞)C.[—1,0)∪(0,+∞)D.(0,1)解析:选B.在同一直角坐标系内作出函数y=x2—2|x|的图象和直线y=m,可知当m>0或m=—1时,直线y=m与函数y=x2—2|x|的图象有两个交点,即函数f(x)=x2—2|x|—m有两个零点.故选B.5.已知函数f(x)=x e x—ax—1,则关于f(x)的零点叙述正确的是()A.当a=0时,函数f(x)有两个零点B.函数f(x)必有一个零点是正数C.当a<0时,函数f(x)有两个零点D.当a>0时,函数f(x)只有一个零点解析:选B.f(x)=0⇔e x=a+错误!(x≠0),在同一直角坐标系中作出y=e x与y=错误!的图象,观察可知A,C,D选项错误,选项B正确.6.已知函数f(x)=错误!+a的零点为1,则实数a的值为.解析:由已知得f(1)=0,即错误!+a=0,解得a=—错误!.答案:—错误!7.(2020·新疆第一次适应性检测)设a∈Z,函数f(x)=e x+x—a,若x∈(—1,1)时,函数有零点,则a的取值个数为.解析:根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的.由零点存在性定理知若x∈(—1,1)时,函数有零点,需要满足错误!⇒错误!—1<a<e+1,因为a是整数,故可得到a的可能取值为0,1,2,3.答案:48.已知f(x)=x2+(a2—1)x+(a—2)的一个零点比1大,一个零点比1小,则实数a的取值范围是.解析:法一:设方程x2+(a2—1)x+(a—2)=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),则(x1—1)(x2—1)<0,所以x1x2—(x1+x2)+1<0,由根与系数的关系,得(a—2)+(a2—1)+1<0,即a2+a—2<0,所以—2<a<1.故实数a的取值范围为(—2,1).法二:函数f(x)的图象大致如图,则有f(1)<0,即1+(a2—1)+a—2<0,得a2+a—2<0,所以—2<a<1.故实数a的取值范围是(—2,1).答案:(—2,1)9.设函数f(x)=ax2+bx+b—1(a≠0).(1)当a=1,b=—2时,求函数f(x)的零点;(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同的零点,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1,b=—2时,f(x)=x2—2x—3,令f(x)=0,得x=3或x=—1.所以函数f(x)的零点为3或—1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b—1=0有两个不同的实根,所以b2—4a(b—1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2—4ab+4a>0恒成立,所以有(—4a)2—4×(4a)<0⇒a2—a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).10.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2,f(x+1)—f(x)=2x—1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)—mx的两个零点分别在区间(—1,2)和(2,4)内,求m的取值范围.解:(1)由f(0)=2得c=2,又f(x+1)—f(x)=2x—1,得2ax+a+b=2x—1,故错误!解得a=1,b=—2,所以f(x)=x2—2x+2.(2)g(x)=x2—(2+m)x+2,若g(x)的两个零点分别在区间(—1,2)和(2,4)内,则满足错误!⇒错误!解得1<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]1.(一题多解)函数f(x)=2x—错误!零点的个数为()A.0 B.1C.2D.3解析:选B.法一:当x<0时,f(x)=2x—错误!>0恒成立,无零点;又易知f(x)=2x—错误!在(0,+∞)上单调递增,最多有一个零点.又f错误!=错误!—2<0,f(1)=2—1>0,所以有一个零点.故选B.法二:在同一平面直角坐标系中,作出函数y=2x和y=错误!的图象,如图所示.函数f(x)=2x—错误!的零点等价于2x=错误!的根等价于函数y=2x和y=错误!的交点.由图可知,有一个交点,所以有一个零点.故选B.2.已知命题p:“m=2”是“幂函数f(x)=(m2—m—1)x m在区间(0,+∞)上为增函数”的充要条件;命题q:已知函数f(x)=ln x+3x—8的零点x0∈[a,b],且b—a=1(a,b∈N*),则a+b=5.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(﹁p)∧qC.﹁qD.p∧(﹁q)解析:选A.对于命题p,若幂函数f(x)=(m2—m—1)x m在区间(0,+∞)上为增函数,则错误!解得m=2,所以命题p是真命题,﹁p是假命题.对于命题q,函数f(x)=ln x+3x—8在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=ln 2—2<0,f(3)=ln 3+1>0,所以零点x0∈[a,b],且b—a=1(a,b∈N*),则a=2,b=3,a+b=5,所以命题q为真命题,﹁q为假命题.所以p∧q 是真命题,(﹁p)∧q,﹁q,p∧(﹁q)都是假命题.故选A.3.设函数f(x)=错误!(x>0).(1)作出函数f(x)的图象;(2)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求错误!+错误!的值;(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.解:(1)如图所示.(2)因为f(x)=错误!=错误!故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数,由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b,且错误!—1=1—错误!,所以错误!+错误!=2.(3)由(1)中函数f(x)的图象可知,当0<m<1时,方程f(x)=m有两个不相等的正根.所以m的取值范围是(0,1).4.(创新型)已知函数f(x)=—x2—2x,g(x)=错误!(1)求g(f(1))的值;(2)若方程g(f(x))—a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解:(1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(—3)=—3+1=—2.(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(—∞,1)上有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g (t)(t<1)的图象,如图,由图象可知,当1≤a<错误!时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是错误!.。
一、知识梳理1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先:1确定函数的定义域;2化简函数解析式;3讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换[注意] (1)对于左(右)平移变换,可熟记为:左加右减,但要注意加(减)指的是自变量.(2)对于上(下)平移变换,可熟记为:上加下减,但要注意加(减)指的是函数值.(2)对称变换1y=f(x)错误!y=—f(x);2y=f(x)错误!y=f(—x);3y=f(x)错误!y=—f(—x);4y=a x(a>0且a≠1)错误!y=log a x(x>0).(3)翻折变换1y=f(x)错误!y=|f(x)|;2y=f(x)错误!y=f(|x|).(4)伸缩变换1y=f(x)错误!→y=f(ax).2y=f(x)错误!→y=af(x).常用结论1.函数图象自身的轴对称(1)f(—x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称.(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a—x)⇔f(x)=f(2a—x)⇔f(—x)=f(2a+x).(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b—x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=错误!对称.2.函数图象自身的中心对称(1)f(—x)=—f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称.(2)函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a+x)=—f(a—x)⇔f(x)=—f(2a—x)⇔f(—x)=—f(2a+x).二、习题改编1.(必修1P24A组T7改编)下列图象是函数y=错误!的图象的是()答案:C2.(必修1P35例5(3)改编)函数f(x)=x+错误!的图象关于()A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.直线y=x对称答案:C一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)将函数y=f(x)的图象先向左平移1个单位,再向下平移1个单位得到函数y=f(x+1)+1的图象.()(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.()(3)函数y=f(x)与y=—f(—x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1—x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)√二、易错纠偏错误!(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错;(2)不注意函数的定义域出错.1.将函数y=f(—x)的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象.解析:y=f(—x)的图象向右平移1个单位长度,是将f(—x)中的x变成x—1.答案:y=f(—x+1)2.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=log错误!f(x)的定义域是.解析:当f(x)>0时,函数g(x)=log错误!f(x)有意义,由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时,x∈(2,8].答案:(2,8]作函数的图象(师生共研)分别作出下列函数的图象.(1)y=|lg x|;(2)y=2x+2;(3)y=x2—2|x|—1.【解】(1)y=错误!图象如图1所示.(2)将y=2x的图象向左平移2个单位,图象如图2所示.(3)y=错误!图象如图3所示.错误!函数图象的画法[提醒] (1)画函数的图象一定要注意定义域.(2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.分别作出下列函数的图象.(1)y=|x—2|(x+1);(2)y=错误!错误!.解:(1)当x≥2,即x—2≥0时,y=(x—2)(x+1)=x2—x—2=错误!错误!—错误!;当x<2,即x—2<0时,y=—(x—2)(x+1)=—x2+x+2=—错误!错误!+错误!.所以y=错误!这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).(2)作出y=错误!错误!的图象,保留y=错误!错误!图象中x≥0的部分,加上y=错误!错误!的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=错误!错误!的图象,如图中实线部分.函数图象的辨识(师生共研)(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)=错误!在[—π,π]的图象大致为()(2)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()A.f(x)=错误!B.f(x)=错误!C.f(x)=错误!—1D.f(x)=x—错误!【解析】(1)法一:显然f(x)=—f(—x),所以f(x)为奇函数,排除A;f错误!=错误!=错误!>1,观察题图可知D正确.故选D.法二:显然f(x)=—f(—x),所以f(x)为奇函数,排除A;易知当x→0+时,f(x)>0,排除C;f(π)=错误!>0,排除B,故选D.(2)由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x—错误!,则x→+∞时,f(x)→+∞,排除D,故选A.【答案】(1)D (2)A错误!(1)抓住函数的性质,定性分析:1从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象上下位置;2从函数的单调性,判断图象的变化趋势;3从周期性,判断图象的循环往复;4从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征,定量计算:利用函数的特征点、特殊值的计算,分析解决问题.1.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示,则下列给出的四个函数图象中,甲、乙的图象应该是()A.甲是图1,乙是图2B.甲是图1,乙是图4C.甲是图3,乙是图2D.甲是图3,乙是图4解析:选B.由题知速度v=错误!反映在图象上为某段图象所在直线的斜率.由题知甲骑自行车速度最大,跑步速度最小,甲与图1符合,乙与图4符合.2.(2020·湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f(x)=错误!,g(x)=—f(—x),则函数g(x)的图象大致是()解析:选D.先画出函数f(x)=错误!的图象,如图(1)所示,再根据函数f(x)与—f(—x)的图象关于坐标原点对称,即可画出函数—f(—x)的图象,即g(x)的图象,如图(2)所示.故选D.3.(2020·济南市学习质量评估)函数y=错误!—ln|x|的图象大致为()解析:选D.令f(x)=y=错误!—ln|x|,则f(—x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,排除选项B;当x>0且x→0时,y→+∞,排除选项A;当x=2错误!时,y=1—ln 2错误!<1—ln e=0,排除选项C.故选D.函数图象的应用(多维探究)角度一研究函数的性质1f(x)是偶函数;2f(x)在区间(—∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上是增函数;3f (x)没有最小值.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.0【解析】作出f(x)的图象,可知f(x)在(—∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数;由图象可知函数存在最小值0.所以12正确.【答案】B错误!对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:1从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;2从图象的对称性,分析函数的奇偶性;3从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.角度二解不等式函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x—1,则不等式xf(x)>0在(—1,3)上的解集为()A.(1,3)B.(—1,1)C.(—1,0)∪(1,3)D.(—1,0)∪(0,1)【解析】作出函数f(x)的图象如图所示.当x∈(—1,0)时,由xf(x)>0得x∈(—1,0);当x∈(0,1)时,由xf(x)>0得x∈∅;当x∈(1,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3).所以x∈(—1,0)∪(1,3).【答案】C错误!利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题,从而利用数形结合法求解.角度三求参数的取值范围已知函数f(x)=错误!若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是.【解析】画出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示.由图可知,当0<k<1时,y=k和y=f(x)的图象有3个交点,即方程f(x)=k有三个不同的实根.【答案】(0,1)错误!求解函数图象的应用问题,其实质是利用数形结合思想解题,其思维流程一般是:1.已知函数f(x)=x|x|—2x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间是(—∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(—1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间是(—∞,0)解析:选C.将函数f(x)=x|x|—2x去掉绝对值得f(x)=错误!画出函数f(x)的大致图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(—1,1)上单调递减.2.已知函数f(x)=|x—2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A.错误!B.错误!C.(1,2)D.(2,+∞)解析:选B.先作出函数f(x)=|x—2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为错误!,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k 的范围为错误!.3.函数f(x)是定义域为(—∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,在(0,+∞)上单调递增,f(3)=0,若x·[f(x)—f(—x)]<0,则x的取值范围为.解析:函数f(x)的图象大致如图所示.因为f(x)为奇函数,且x·[f(x)—f(—x)]<0,所以2xf(x)<0.由图可知,不等式的解集为(—3,0)∪(0,3).答案:(—3,0)∪(0,3)[基础题组练]1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是()解析:选C.小明匀速行驶时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.2.(2020·河北衡水中学第二次调研)函数y=(2x—1)e x的图象大致是()解析:选A.因为x趋向于—∞时,y=(2x—1)e x<0,所以C,D错误;因为y′=(2x+1)e x,所以当x<—错误!时,y′<0,y=(2x—1)e x在(—∞,—错误!)上单调递减,所以A正确,B 错误,故选A.3.(2020·江西七校第一次联考)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间(—2,1]上的图象,则f(2018)+f(2019)=()A.2B.1C.—1D.0解析:选C.因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,所以f(2018)=f(2018—673×3)=f(—1),f(2019)=f(2019—673×3)=f(0),由题图知f(—1)=—1,f(0)=0,所以f(2018)+f(2019)=f(—1)+f(0)=—1.4.(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集为()A.(1,2)B.(—2,—1)C.(—2,—1)∪(1,2)D.(—1,1)解析:选C.因为函数f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,补全当x<0时的函数图象,如图.对于不等式xf(x)<0,当x>0时,f(x)<0,所以1<x<2;当x<0时,f(x)>0,所以—2<x<—1,所以不等式xf(x)<0的解集为(—2,—1)∪(1,2),故选C.5.已知函数y=f(—|x|)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象不可能是()解析:选C.函数y=f(—|x|)=错误!当x<0时,y=f(—|x|)=f(x),所以函数y=f(—|x|)的图象在y轴左边的部分,就是函数y=f(x)的图象,故可得函数y=f(x)的图象不可能是C.6.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f错误!的值等于.解析:由图象知f(3)=1,所以错误!=1.所以f错误!=f(1)=2.答案:27.若函数f(x)=错误!的图象如图所示,则f(—3)=.解析:由题图可得a(—1)+b=3,ln(—1+a)=0,得a=2,b=5,所以f(x)=错误!故f(—3)=2×(—3)+5=—1.答案:—18.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x—1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是.解析:如图,作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x—1的图象,观察图象可知:当且仅当—a≤1,即a≥—1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,所以a的取值范围是[—1,+∞).答案:[—1,+∞)9.作出下列函数的图象.(1)y=错误!;(2)y=|log2(x+1)|.解:(1)因为y=错误!=1+错误!,先作出y=错误!的图象,将其图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即得y=错误!的图象,如图所示.(2)利用函数y=log2x的图象进行平移和翻折变换,图象如图实线所示.10.已知函数f(x)=x|m—x|(x∈R),且f(4)=0.(1)求实数m的值;(2)作出函数f(x)的图象;(3)若方程f(x)=a只有一个实数根,求a的取值范围.解:(1)因为f(4)=0,所以4|m—4|=0,即m=4.(2)f(x)=x|x—4|=错误!f(x)的图象如图所示.(3)从f(x)的图象可知,当a>4或a<0时,f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,即方程f (x)=a只有一个实数根,即a的取值范围是(—∞,0)∪(4,+∞).[综合题组练]1.已知函数f(x)=错误!则对任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是()A.f(x1)+f(x2)<0 B.f(x1)+f(x2)>0C.f(x1)—f(x2)>0 D.f(x1)—f(x2)<0解析:选D.函数f(x)的图象如图所示,且f(—x)=f(x),从而函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数.又0<|x1|<|x2|,所以f(x2)>f(x1),即f(x1)—f(x2)<0.2.已知函数f(x)=错误!,x∈R,则不等式f(x2—2x)<f(3x—4)的解集是.解析:由已知得,f(x)=错误!其图象如图所示:由图可知,不等式f(x2—2x)<f(3x—4)等价于错误!或错误!解得错误!≤x<2或1<x<错误!,所以所求的解集为(1,2).答案:(1,2)3.已知函数f(x)=|x|(x—a),a>0,(1)作出函数f(x)的图象;(2)写出函数f(x)的单调区间;(3)当x∈[0,1]时,由图象写出f(x)的最小值.解:(1)f(x)=错误!其图象如图所示.(2)由图知,f(x)的单调递增区间是(—∞,0),错误!;单调递减区间是错误!.(3)由图象知,当错误!>1,即a>2时,所求最小值f(x)min=f(1)=1—a;当0<错误!≤1,即0<a≤2时,所求最小值f(x)min=f错误!=—错误!.综上,f(x)min=错误!4.已知函数f(x)=2x,x∈R.(1)当m取何值时,方程|f(x)—2|=m有一个解?两个解?(2)若不等式[f(x)]2+f(x)—m>0在R上恒成立,求m的取值范围.解:(1)令F(x)=|f(x)—2|=|2x—2|,G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示,由图象看出,当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,即原方程有一个解;当0<m<2时,函数F(x)与G(x)的图象有两个交点,即原方程有两个解.(2)令f(x)=t(t>0),H(t)=t2+t,因为H(t)=错误!错误!—错误!在区间(0,+∞)上是增函数,所以H(t)>H(0)=0.因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立,应有m≤0,即所求m的取值范围为(—∞,0].。
第八节函数与方程2019考纲考题考情1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
2.二分法对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系1.若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数,则f (x )至多有一个零点。
函数的零点不是一个“点”,而是方程f (x )=0的实根。
2.函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件。
3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点。
一、走进教材1.(必修1P 92A 组T 2改编)已知函数f (x )的图象是连续不断的,且有如下对应值表:A .(1,2)B .(2,3)C .(3,4)D .(4,5)解析 由所给的函数值的表格可以看出,x =2与x =3这两个数字对应的函数值的符号不同,即f (2)·f (3)<0,所以函数在(2,3)内有零点。
故选B 。
答案 B2.(必修1P 88例1改编)函数f (x )=e x+3x 的零点个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3解析 由f ′(x )=e x+3>0,所以f (x )在R 上单调递增,又f (-1)=1e -3<0,f (0)=1>0,因此函数f (x )有且只有一个零点。
【考纲解读】1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数与方程是历年来高考重点内容之一,选择题、填空题与解答题都有可能出现,还常与二次函数等知识相联系,以考查函数与方程知识的同时,又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数与方程,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.函数的零点:f a ,则a叫做这个函数的零点.(1)一般地,如果函数y=f(x)在实数a处的值等于0,即()0(2)对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,其函数的零点具有下列性质:当它通过零点(不是偶次零点)时函数值变号;相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.复第二、三、四步.【例题精析】考点求函数的零点例. (2012年高考北京卷文科5)函数xx x f )21()(21-=的零点个数为( ) (A )0 (B )1(C )2 (D )3 【变式训练】(2012年高考湖北卷文科3) 函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A 2 B 3 C 4 D 5 【易错专区】问题:函数的零点定义及定理理解不透例. 函数3()233f x x x =+-的零点所在的区间为( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【课时作业】1. (2010年高考天津卷文科4)函数f (x )=2xe x +-的零点所在的一个区间是 ( ) (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2)2.(2010年高考福建卷文科7)函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩(的零点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.03.(2010年高考上海卷文科17)若0x 是方程式 lg 2x x +=的解,则0x 属于区间 ( ) (A )(0,1). (B )(1,1.25). (C )(1.25,1.75) (D )(1.75,2)4. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟) 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是__ ___.5. (2009年高考山东卷理科第14题)若函数f(x)=xa x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点,则实数a 的取值范围是 .6.(山东省济南市2012年2月高三定时练习)函数x x x f lg cos )(-=零点的个数为 .【考题回放】1.(2011年高考海南卷文科10)在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A.1(,0)4- B.1(0,)4 C. 11(,)42 D.13(,)242. (2010年高考浙江卷文科9)已知x 是函数f(x)=2x+11x-的一个零点.若1x ∈(1,0x ), 2x ∈(0x ,+∞),则( )(A )f(1x )<0,f(2x )<0 (B )f(1x )<0,f(2x )>0 (C )f(1x )>0,f(2x )<0 (D )f(1x )>0,f(2x )>03. (2012年高考湖南卷文科9)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是f(x)的导函数,当[]0,x π∈时,0<f(x)<1;当x ∈(0,π) 且x ≠2π时 ,()()02x f x π'->,则函数y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为( )A .2B .4 C.5 D. 84. (2011年高考山东卷文科16)已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a<3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .5.(2011年高考辽宁卷文科16)已知函数f (x )=e x-2x+a 有零点,则a 的取值范围是___________。
2.7函数的图象必备知识预案自诊知识梳理1.利用描点法作函数图象的流程2.函数图象间的变换(1)平移变换对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上加下减.(2)对称变换(3)伸缩变换y=f(x)y=f(ax),y=f(x)y=Af(x).1.函数图象自身的轴对称(1)f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x);(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线对称.x=a+b22.函数图象自身的中心对称(1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;(2)函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x);(4)若函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2,c2)对称.3.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称;(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称;(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)将函数y=f(x)的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1的图象.()(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.()(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()(5)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()2.(2020山东师大附中月考)函数y=log2|x|的图象大致是()3.(2020天津,3)函数y=4xx2+1的图象大致为()4.(2020浙江,4)函数y=x cos x+sin x在区间〖-π,π〗上的图象可能是()5.已知函数f (x )=2x -x-1,则不等式f (x )>0的解集是( ) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)关键能力学案突破考点作函数的图象〖例1〗作出下列函数的图象: (1)y=|lg x|;(2)y=2x+2; (3)y=x 2-2|x|-1;(4)y=x+2x -1.解题心得作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.(2)图象变换法.变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.(3)描点法.当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出.对点训练1作出下列函数的图象: (1)y=10|lg x|; (2)y=|x-2|·(x+1);(3)y=x+2x+3.考点函数图象的识辨(多考向探究)考向1知式判图〖例2〗(2020山东潍坊一模,5)函数f(x)=x-sinxe x+e-x在〖-π,π〗上的图象大致为() 考向2知图判式〖例3〗(2020河北沧州一模,理5)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)可以为()A.f(x)=x3−3xB.f(x)=e x-e-xxC.f(x)=2x-xD.f(x)=e|x|x考向3知图判图〖例4〗已知定义在区间〖0,2〗上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为()解题心得函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域判断图象“左右”的位置;从函数的值域判断图象的“上下”位置. (2)从函数的单调性判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性判断图象的对称性. (4)从函数的周期性判断图象的循环往复.(5)必要时可求导研究函数性质,从函数的特征点,排除不合要求的图象. 利用上述方法,可排除、筛选错误与正确的选项.对点训练2(1)(2019全国1,理5)函数f (x )=sinx+xcosx+x 2在〖-π,π〗的图象大致为( )(2)(2020山东青岛5月模拟,4)下列函数的解析式(其中e =2.718 28…为自然对数的底数)与所给图象最符合的是( )A.y=sin(e x +e -x )B.y=sin(e x -e -x )C.y=tan(e x -e -x )D.y=cos(e x +e -x )(3)已知函数y=f (x )和函数y=g (x )的图象,则函数y=f (x )·g (x )的部分图象可能是( )考点函数图象的应用(多考向探究)考向1 与函数零点有关的参数范围〖例5〗(2018全国1,理9)已知函数f (x )={e x ,x ≤0,lnx ,x >0,g (x )=f (x )+x+a ,若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是( )A .〖-1,0)B .〖0,+∞)C .〖-1,+∞)D .〖1,+∞)解题心得将函数的零点转化为方程的根,构造方程两边的函数,通过函数图象的交点个数满足已知函数零点个数,求出参数的取值范围.对点训练3已知f (x )={(12)|x |,x ≤1,-x 2+4x -2,x >1,若关于x 的方程a=f (x )恰有两个不同实数根,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,12)∪〖1,2)B .(0,12)∪〖1,2)C .(1,2)D .〖1,2)考向2 已知函数不等式求参数的范围〖例6〗(2020湖南永州二模,理9)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x<0时,f (x )=2-|x+2|.若对任意的x ∈〖-1,2〗,f (x+a )>f (x )成立,则实数a 的取值范围是( )A.(0,2)B.(0,2)∪(-∞,-6)C.(-2,0)D.(-2,0)∪(6,+∞)解题心得有关函数不等式的问题,常常转化为两函数图象的上、下关系来解.对点训练4(2019全国2,理12)设函数f (x )的定义域为R ,满足f (x+1)=2f (x ),且当x ∈(0,1〗时,f (x )=x (x-1).若对任意x ∈(-∞,m 〗,都有f (x )≥-89,则m 的取值范围是( )A.-∞,94B.-∞,73C.-∞,52D.-∞,83考点函数图象对称性的应用〖例7〗已知定义域在R 上的函数f (x )满足f (x+1)+f (1-x )=2.当x>1时,f (x )=1x -1.则关于x 的方程f (x )+2a=0没有负实数根时,实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-1〗∪-12,+∞B.(0,1)C.-1,-12∪-12,+∞D.-2,-12∪-12,0解题心得由f(-x)=-f(x)⇔y=f(x)的图象关于原点对称,f(-x)=-f(x)⇔f(0-x)=-f(0+x),当把0换成a时,则有f(a-x)=-f(a+x)⇔函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称,推广可得f(a+x)=2b-f(a-x)⇔函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.对点训练5(2020北京海淀一模,7)已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1,2)内单调递减,则m的取值范围为()A.〖-1,+∞)B.(-∞,-1〗C.〖-2,+∞)D.(-∞,-2〗1.作图的方法有:(1)直接法,利用基本初等函数作图;(2)图象变换法,如平移变换、对称变换、伸缩变换等;(3)描点法,为使图象准确,可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等了解图象的大体形状.2.识图题与用图题的解决方法:(1)识图:对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.(2)用图:要用函数的思想指导解题,即方程、不等式的问题用函数图象来解.1.确定函数的图象,一定要从函数的定义域及性质出发.2.识图问题常常结合函数的某一性质或特殊点进行排除.3.要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别.2.7函数的图象必备知识·预案自诊知识梳理2.(1)y=f(x)-k(2)函数y=-f(-x)的图象考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2.C 函数y=log 2|x|为偶函数,作出x>0时y=log 2x 的图象,图象关于y 轴对称,故选C .3.A ∵函数y=4x x 2+1为奇函数,∴排除选项C,D .再把x=1代入得y=42=2>0,排除选项B .故选A .4.A 因为f (-x )=(-x )cos(-x )+sin(-x )=-(x cos x+sin x )=-f (x ),x ∈〖-π,π〗,所以函数f (x )是奇函数,故排除C,D,当x ∈(0,π2)时,x cos x+sin x>0,所以排除B .故选A . 5.D 因为f (x )=2x -x-1,所以f (x )>0等价于2x >x+1,在同一直角坐标系中作出y=2x 和y=x+1的图象.如图,两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2x >x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f (x )>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D .关键能力·学案突破 例1解(1)y={lgx ,x ≥1,-lgx ,0<x <1的图象如图1.(2)y=2x+2的图象是将y=2x 的图象向左平移2个单位长度.其图象如图2.(3)y={x 2-2x -1,x ≥0,x 2+2x -1,x <0的图象如图3.(4)因为y=1+3x -1,先作出y=3x的图象,将其图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即得y=x+2x -1的图象,如图4.对点训练1解(1)当x ≥1时,lg x ≥0,y=10|lg x|=10lg x =x ;当0<x<1时,lg x<0,y=10|lg x|=10-lg x =10lg 1x=1x.故y={x ,x ≥1,1x,0<x <1.图1这是分段函数,每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出,如图1. (2)当x ≥2,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x 2-x-2=(x -12)2−94; 当x<2,即x-2<0时,y=-(x-2)·(x+1)=-x 2+x+2=-(x -12)2+94. 所以y={(x -12)2-94,x ≥2,-(x -12)2+94,x <2.图2这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数的图象作出,如图2. (3)y=x+2x+3=1-1x+3,该函数图象可由函数y=-1x的图象向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,如图3所示.图3例2A 当x ∈(0,π)时,x>sin x ,此时f (x )=x -sinxe x +e -x >0,只有选项A 符合题意,故选A . 例3A 首先对4个选项进行奇偶性判断,可知f (x )=e x -e -x x为偶函数,不符合题意,排除选项B;其次对其在(0,+∞)上的零点个数进行判断,f (x )=e |x |x 在(0,+∞)上无零点,不符合题意,排除选项D;然后进行单调性判断,f (x )=2x -x 在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,排除选项C .故选A .例4B y=f (x )y=f (-x )y=f (2-x )y=-f (2-x ).故选B .对点训练2(1)D (2)D (3)A (1)由f (-x )=-f (x )及区间〖-π,π〗关于原点对称,得f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,排除选项A .又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f (π)=π-1+π2>0,排除选项B,C .故选D .(2)当x=0时,y=sin(e 0+e 0)=sin2>0,故排除选项A;y=sin(e 0-e 0)=0,故排除选项B;y=tan(e 0-e 0)=0,故排除选项C;y=cos(e 0+e 0)=cos2<0,符合题意.故选D .(3)由已知图象可知,函数f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以函数y=f (x )·g (x )是奇函数,故排除选项B;当x ∈-π,-π2时,f (x )·g (x )<0,当x ∈-π2,0时,f (x )·g (x )>0,同时y=f (x )·g (x )在x=0处无定义,故选A .例5C 要使得方程g (x )=f (x )+x+a 有两个零点,等价于方程f (x )=-x-a 有两个不同的实根,即函数y=f (x )的图象与直线y=-x-a 的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a 位于直线y=-x+1的下方,所以-a ≤1,即a ≥-1.故选C .对点训练3B 关于x 的方程a=f (x )恰有两个不同的实根,等价于y=a ,y=f (x )的图象有两个不同的交点,画出y=a ,y=f (x )的图象,如图,由图可知,当a ∈(0,12)∪〖1,2)时,y=a ,y=f (x )的图象有两个不同的交点,此时,关于x 的方程a=f (x )恰有两个不同的实根,所以实数a 的取值范围是(0,12)∪〖1,2),故选B .例6D 因为x<0时,f (x )=2-|x+2|,又因为f (x )是R 上的奇函数,作出函数f (x )的图象如下图,y=f (x+a )的图象可以看成是y=f (x )的图象向左(a>0时)或向右(a<0时)平移|a|个单位长度而得.当a>0时,y=f (x )的图象至少向左平移6个单位长度(不含6个单位长度)才能满足f (x+a )>f (x )成立,当a<0时,y=f (x )的图象向右平移至多2个单位长度(不含2个单位长度)才能满足f (x+a )>f (x )成立(对任意的x ∈〖-1,2〗),故a ∈(-2,0)∪(6,+∞).故选D . 对点训练4B ∵f (x+1)=2f (x ),∴f (x )=2f (x-1).∵当x ∈(0,1〗时,f (x )=x (x-1), ∴f (x )的图象如图所示.∵当2<x ≤3时,f (x )=4f (x-2)=4(x-2)(x-3),∴令4(x-2)(x-3)=-89,整理得9x 2-45x+56=0, 即(3x-7)(3x-8)=0, 解得x 1=73,x 2=83.高中数学教学、学习精品资料11 ∵当x ∈(-∞,m 〗时,f (x )≥-89恒成立,即m ≤73,故m ∈-∞,73.例7A ∵f (x )满足f (x+1)+f (1-x )=2,∴f (x )的图象关于点(1,1)中心对称,作出其大致图象,如图所示,∵f (x )+2a=0没有负实数根,即f (x )=-2a 没有负零点,y=f (x )的图象与y=-2a 图象在(-∞,0)无交点,∴-2a ≤1或-2a ≥2,解得a ≥-12或a ≤-1.故选A .对点训练5D 因为f (x )=|x-m|与函数g (x )的图象关于y 轴对称,又g (x )在区间(1,2)内单调递减,则f (x )在区间(-2,-1)内单调递增,而f (x )=|x-m|={x -m ,x ≥m ,-x +m ,x <m在区间(m ,+∞)上单调递增,则有m ≤-2,即m 的取值范围为(-∞,-2〗,故选D .。
2.8 函数的图象及其变换考纲要求1.掌握基本初等函数的图象的特征,能熟练运用基本初等函数的图象解决问题.2.掌握图象的作法:描点法和图象变换法.3.会运用函数图象理解和研究函数性质.1.作图:作函数图象有两种基本方法(1)描点法其基本步骤是列表、描点、连线.首先:①确定函数的______;②化简函数______;③讨论函数的性质(_____、_____、_____、_____等);其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点);再次:描点;最后:连线.(2)图象变换法①平移变换左右平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向____(+)或向____(-)平移____个单位而得到.上下平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向____(+)或向____(-)平移____个单位而得到.②对称变换y=f(-x)与y=f(x)的图象关于____对称.y=-f(x)与y=f(x)的图象关于____对称.y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于____对称.要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变而得到.要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关于____的对称性,作出x<0的图象而得到.③伸缩变换y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的____倍,横坐标不变而得到.y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为________,纵坐标不变而得到.2.有关函数图象的几个结论(1)若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于______成轴对称图形;(2)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线______对称.(3)若定义在R上的函数f(x)关于直线x=a与x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数,______是它的一个周期(未必是最小正周期,下同).(4)若定义在R上的函数关于点(a,c)和(b,c)(b>a)都成中心对称,则f(x)为周期函数,______是它的一个周期.(5)若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,c)成中心对称,又关于直线x=b(b>a)成轴对称,则f(x)是周期函数,______是它的一个周期.1.函数y=lg |x-1|的图象大致为( ).2.当0<a <1时,在同一坐标系中,函数y =a -x与y =log a x 的图象是( ).3.定义运算a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b ,则函数f (x )=1⊕2x的图象大致为( ).4.为了得到函数y =3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象,可以把函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向__________平移__________个单位长度.5.若函数y =f (x )的图象过点(1,1),则函数f (4-x )的图象一定经过点__________.一、作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象.(1)y =2x +2;(2)y =x +2x -1;(3)y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |;(4)y =|log 2x -1|. 方法提炼画函数图象的一般方法有:(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.提醒:对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减;但要注意加、减指的是在自变量上,否则不成立.请做演练巩固提升1二、函数图象与解析式的对应关系【例2-1】 (2012山东高考)函数y =cos 6x2x -2-x 的图象大致为( ).【例2-2】 f (x )是定义在区间[-c ,c ](c >2)上的奇函数,其图象如图所示.令g (x )=af (x )+b ,则下列关于函数g (x )的叙述正确的是( ).A .若a <0,则函数g (x )的图象关于原点对称B .若a =1,0<b <2,则方程g (x )=0有大于2的实根C .若a =-2,b =0,则函数g (x )的图象关于y 轴对称D .若a ≠0,b =2,则方程g (x )=0有三个实根 方法提炼寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法: 1.知图选式:(1)从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域; (2)从图象的变化趋势,观察函数的单调性; (3)从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性; (4)从图象的循环往复,观察函数的周期性. 利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项. 2.知式选图:(1)从函数的定义域,判断图象左右的位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. 利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.提醒:注意联系基本函数图象的模型,当选项无法排除时,代特殊值,或从某些量上也能寻找突破口.请做演练巩固提升3 三、函数图象的应用 【例3-1】 已知函数f (x )=2x-a2x .将y =f (x )的图象向右平移两个单位,得到y =g (x )的图象.(1)求函数y =g (x )的解析式;(2)若函数y =h (x )与函数y =g (x )的图象关于直线y =1对称,求函数y =h (x )的解析式.【例3-2】 若关于x 的方程|x 2-4x +3|-a =x 至少有三个不相等的实数根,试求实数a 的取值范围.方法提炼1.利用函数的图象研究函数的性质,一定要注意其对应关系,如:图象的左右范围对应定义域,上下范围对应值域;上升、下降趋势对应单调性、对称性对应奇偶性;2.有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数;利用此法也可由解的个数求参数值;3.有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解. 请做演练巩固提升2对端点(关键点)处理不当易致误【典例】 (2012课标全国高考)当0<x ≤12时,4x<log a x ,则a 的取值范围是( ).A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1 C .(1,2)D .(2,2)解析:由0<x ≤12,且log a x >4x>0,可得0<a <1,由124=log a 12可得a =22.令f (x )=4x ,g (x )=log a x ,若4x<log a x ,则说明当0<x ≤12时,f (x )的图象恒在g (x )图象的下方(如下图所示),此时需a >22.综上可得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22,1. 答案:B答题指导:1.本题易出现选D 现象,也就是对关键点处理不当而造成的,还有可能因不熟悉对数函数的图象规律而误选A.2.(1)平时涉及函数图象的问题时,要规范准确地画出图象,切忌不用尺规草草完成. (2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力.(3)训练由图分析其函数性质的解题技巧,特别要养成验证关键点的习惯.1.(2012四川高考)函数y =a x-a (a >0,且a ≠1)的图象可能是( ).2.函数y =11-x的图象与函数y =2sin πx (-2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ).A .2B .4C .6D .83.已知f (x )是R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x+1,则函数y =f (-x )的图象大致是( ).4.函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是( ).5.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为______.参考答案基础梳理自测知识梳理1.(1)①定义域 ②解析式 ③奇偶性单调性 周期性 对称性 (2)①左 右 a 上 下 b ②y 轴 x 轴 原点 y 轴③A 原来的1a2.(1)x =a +b2 (2)x =12(b -a ) (3)2b -2a (4)2b -2a (5)4b -4a 基础自测1.B 解析:y =lg |x -1|关于直线x =1对称,排除A ,D ;因函数值可以为负值,故选B.2.C 解析:当0<a <1时,y =a -x为增函数且过点(0,1),y =log a x 为减函数且过点(1,0),故应选C.3.A 解析:由a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧ a ,a ≤b ,b ,a >b 得f (x )=1⊕2x=⎩⎪⎨⎪⎧2x,x ≤0,1,x >0,图象为选项A.4.右 1 解析:y =3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -1,则只需把y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度.5.(3,1) 解析:因为y =f (x )的图象过点(1,1),所以f (1)=1. 所以f (4-3)=1.故函数f (4-x )的图象一定经过点(3,1). 考点探究突破【例1】解:(1)将y =2x的图象向左平移2个单位.图象如图.(2)因y =1+3x -1,先作出y =3x 的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y =x +2x -1的图象,如图.(3)作出y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象,保留y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分,加上y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分,即得y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象,如图实线部分.(4)先作出y =log 2x 的图象,再将其图象向下平移1个单位,保留x 轴上方的部分,将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即得y =|log 2x -1|的图象,如图.【例2-1】 D 解析:令f (x )=cos 6x2x -2-x ,则f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而f (-x )=cos(-6x )2-x -2x =-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,16时,cos 6x >0,2x -2-x>0,即f (x )>0,而f (x )=0有无数个根,所以D 正确.【例2-2】 B 解析:方法一:排除法,当a <0,b ≠0时,g (x )=af (x )+b 是非奇非偶函数,不关于原点对称,排除A ;当a =-2,b =0时,g (x )=-2f (x )是奇函数,不关于y 轴对称,排除C ;当a ≠0,b =2时,∵g (x )=af (x )+b =af (x )+2,当g (x )=0时,有af (x )+2=0,∴f (x )=-2a ,从图中可以看到,当-2<-2a <2时,f (x )=-2a才有三个实根,∴g (x )=0也不一定有三个实根,排除D ; 方法二:当a =1,0<b <2时, g (x )=f (x )+b ,由图可知,g (2)=f (2)+b =0+b >0,g (c )=f (c )+b <-2+b <0, ∴当x ∈(2,c ),必有g (x )=0,故B 正确. 【例3-1】 解:(1)由题设,g (x )=f (x -2)=2x -2-a2. (2)设(x ,y )在y =h (x )的图象上,(x 1,y 1)在y =g (x )的图象上,则⎩⎪⎨⎪⎧x 1=x ,y 1=2-y ,∴2-y =g (x ),y =2-g (x ), 即h (x )=2-2x -2+a2x -2.【例3-2】 解:原方程变形为 |x 2-4x +3|=x +a ,于是,设y =|x 2-4x +3|,y =x +a ,在同一坐标系下分别作出它们的图象. 如图,则当直线y =x +a 过点(1,0)时,a =-1;当直线y =x +a 与抛物线y =-x 2+4x -3相切时, 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +a ,y =-x 2+4x -3 ⇒x 2-3x +a +3=0,由Δ=9-4(3+a )=0,得a =-34.由图象知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-34时方程至少有三个不相等的实数根. 演练巩固提升1.C 解析:当a >1时,y =a x 是增函数,-a <-1,则函数y =a x-a 的图象与y 轴的交点在x 轴下方,故选项A 不正确;y =a x-a 的图象与x 轴的交点是(1,0),故选项B 不正确;当0<a <1时,y =a x 是减函数,y =a x-a 的图象与x 轴的交点是(1,0),故选项C 正确;若0<a <1,则-1<-a <0,y =a x-a 的图象与y 轴的交点在x 轴上方,故选项D 不正确.2.D 解析:由题意知y =11-x =-1x -1的图象是双曲线,且关于点(1,0)成中心对称.又y =2sin πx 的周期为T =2ππ=2,也关于点(1,0)成中心对称,因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称,如图所示,可知两个图象在[-2,4]上有8个交点,因此8个交点的横坐标和x 1+x 2+…+x 8=4×2=8. 3.C 解析:易知,f (x )的图象为:由y =f (-x )的图象与y =f (x )的图象关于y 轴对称,可知选C.4.A 解析:从f (x ),g (x )的图象可知它们分别为偶函数、奇函数,故f (x )g (x )是奇函数,排除B.又x <0时,g (x )为增函数且为正值,f (x )也是增函数,故f (x )g (x )为增函数,且正负取决于f (x )的正负,排除C ,D.5.f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x ≤0,14(x -2)2-1,x >0解析:当-1≤x ≤0时,设解析式为y =kx +b , 由图象有⎩⎪⎨⎪⎧ -k +b =0,b =1,得⎩⎪⎨⎪⎧k =1,b =1. ∴y =x +1.当x >0时,设解析式为y =a (x -2)2-1,∵图象过点(4,0),∴0=a (4-2)2-1,得a =14.综上,函数f (x )在[-1,+∞)上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x ≤0,14(x -2)2-1,x >0.。