2014届高考数学一轮复习 第67讲《互斥事件、独立事件与条件概率》热点针对训练 理

《互斥事件和独立事件》讲义在概率统计的领域中，互斥事件和独立事件是两个非常重要的概念。

理解它们对于解决各种概率问题以及深入理解随机现象的本质具有关键意义。

一、互斥事件互斥事件，又称为互不相容事件，指的是两个事件不能同时发生。

比如说，掷一枚骰子，“出现点数为1”和“出现点数为2”就是互斥事件，因为骰子不可能在一次投掷中既出现 1 点又出现 2 点。

用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A ∩ B ＝∅。

互斥事件的概率计算相对较为简单。

如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 或事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。

举个例子，一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机取出一个球，“取出红球”和“取出蓝球”就是互斥事件。

如果我们想知道取出红球或者蓝球的概率，那就是 5 ／ 8 ＋ 3 ／ 8 ＝ 1 。

需要注意的是，多个事件之间也可能存在互斥关系。

例如，掷一枚骰子，“出现点数为1”“出现点数为2”“出现点数为3”这三个事件就是两两互斥的。

二、独立事件独立事件则是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。

比如说，今天下雨和明天是否下雪，通常可以认为是两个独立事件，今天下雨与否不会影响明天下雪的概率。

用数学语言来表达，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件A 和事件 B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 发生的概率，即P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B) 。

例如，抛一枚均匀的硬币两次，第一次抛硬币出现正面和第二次抛硬币出现正面就是两个独立事件。

第一次抛硬币出现正面的概率是 1 ／ 2 ，第二次抛硬币出现正面的概率也是 1 ／ 2 ，那么两次都出现正面的概率就是 1 ／ 2 × 1 ／ 2 ＝ 1 ／ 4 。

随机事件的独立性与互斥性知识点随机事件是指在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件。

在概率论中，研究随机事件之间的关系非常重要，其中独立性与互斥性是两个基本概念。

本文将介绍随机事件的独立性与互斥性的定义、性质以及在实际问题中的应用。

一、独立事件的定义与性质独立事件是指两个或多个事件发生的结果不会相互影响的事件。

具体来说，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 的发生与否不会对事件 B 的发生产生影响，反之亦然。

独立事件的性质如下：1. 乘法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们同时发生的概率等于它们分别发生的概率之积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。

2. 加法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

独立事件的性质保证了事件之间的独立性，使得我们可以通过简单的计算得到复杂事件的概率。

二、互斥事件的定义与性质互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。

具体来说，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 的发生就排除了事件 B 的发生，反之亦然。

互斥事件的性质如下：1. 加法公式：对于两个互斥事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和，即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。

互斥事件的性质使得我们可以通过计算事件的发生概率，确定事件之间的关系，从而进行合理的判断和决策。

三、独立事件与互斥事件的区别与联系独立事件和互斥事件都是描述随机事件之间关系的概念，但它们的定义和性质有所不同。

1. 独立事件是指两个或多个事件的发生结果不会相互影响，而互斥事件是指两个事件不可能同时发生。

2. 独立事件的加法公式和乘法公式可以用于计算独立事件的概率，而互斥事件只需要使用加法公式就可以计算。

独立事件和互斥事件在实际问题中有着广泛的应用。

根据高中数学概率论定理总结：事件的互斥与独立性高中数学概率论涉及到事件的互斥与独立性，这两个概念在概率计算中非常重要。

本文将总结和解释这些概念的相关理论。

1. 事件的互斥性互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生的情况。

在数学中，两个事件A和B互斥意味着它们没有公共的结果。

假设事件A是投掷一个骰子得到结果为1，事件B是投掷一个骰子得到结果为6。

由于骰子的结果只能是一个数字，事件A和事件B是互斥的，因为它们不能同时发生。

事件的互斥性可以用以下公式表示：P(A ∩ B) = 02. 事件的独立性独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响。

在数学中，两个事件A和B独立意味着事件A的发生不会对事件B的发生产生影响，反之亦然。

假设事件A是抽取一张红色扑克牌，事件B是抽取一张黑色扑克牌。

如果每次抽牌后都将抽出的牌放回牌组中，那么事件A和事件B是独立的，因为每次抽牌的结果都不会对下次抽牌的结果产生影响。

事件的独立性可以用以下公式表示：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)3. 性质- 互斥事件一定是不独立的，因为它们的发生是互相排斥的。

- 独立事件不一定是互斥的，因为它们的发生可以同时存在。

4. 应用互斥性和独立性概念在实际生活中有广泛的应用。

例如，在进行赌博游戏时，不同的赌注之间往往是互斥的，因为只能选择其中一项进行下注。

另一个应用是在进行统计和概率计算时，需要判断事件之间的互斥性和独立性。

这有助于准确预测事件的发生概率和计算复杂事件的联合概率。

总结根据高中数学概率论定理，我们可以了解事件的互斥与独立性的概念。

互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生，而独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响。

这些概念在概率计算和实际生活中都有重要的应用。

概率论中的事件独立与互斥在概率论这一充满神秘与逻辑的领域中，事件的独立与互斥是两个极为重要的概念。

理解它们，不仅有助于我们更深入地探索概率世界的奥秘，还能在实际生活中的诸多情境中，帮助我们做出更准确的判断和决策。

首先，让我们来谈谈事件的互斥。

互斥事件，简单来说，就是指两个事件不能同时发生。

比如说，掷一枚骰子，“出现点数为1”和“出现点数为2”这两个事件就是互斥的，因为骰子在一次投掷中不可能既出现 1 点又出现 2 点。

再比如，从一副扑克牌中抽一张牌，“抽到红桃”和“抽到黑桃”也是互斥事件。

互斥事件有一个非常重要的特点，那就是如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的概率之和等于它们的并集的概率。

用数学公式来表示就是：P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)。

例如，掷骰子出现奇数点（1、3、5）的概率是 1/2，出现偶数点（2、4、6）的概率也是 1/2，因为这两个事件互斥，所以出现奇数点或者偶数点的概率就是 1/2 ＋ 1/2 ＝ 1，这是完全符合我们的常识的。

接下来，我们再看事件的独立。

独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。

比如，今天下雨和明天是否考试，这两件事通常就是相互独立的。

再比如，你第一次抛硬币得到正面，这并不影响你第二次抛硬币得到正面的概率，所以这两次抛硬币就是独立事件。

对于独立事件，它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积。

用公式表示就是：P(A 且 B) ＝ P(A) × P(B)。

例如，抛一枚均匀的硬币，第一次抛得到正面的概率是 1/2，第二次抛得到正面的概率也是 1/2，那么连续两次抛硬币都得到正面的概率就是 1/2 × 1/2 ＝ 1/4。

那么，互斥事件和独立事件之间有什么关系呢？实际上，互斥事件和独立事件是两个不同的概念，它们之间没有必然的联系。

有些时候，互斥事件不是独立事件。

比如，在一个袋子里有 3 个红球和 3 个蓝球，不放回地抽取两次，第一次抽到红球和第二次抽到红球这两个事件是互斥的，因为第一次抽到红球后，袋子里红球的数量减少了，第二次抽到红球的概率就发生了变化，所以它们不是独立事件。

高三数学第一轮复习讲义高三数学第一轮复习讲义相互独立事件的概率一．复习目标：1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率； 2．会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率．二．知识要点：1．相互独立事件的概念：．2．是相互独立事件，则次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是．三．课前预习：1．下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”，（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”，（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”，（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有（1），（3）．相互独立事件的有（2）．2．某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第次击中目标的概率是；②他恰好击中目标次的概率是；③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③ ． 3．件产品中有件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是．4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是（）5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是（）甲多乙多一样多不确定四．例题分析：例1．某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响．（1）求个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．解：设个工厂均选择星期日停电的事件为．则．（2）设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为．则，至少有两个工厂选择同一天停电的事件为．小结：个工厂均选择星期日停电可看作个相互独立事件．例2．某厂生产的产品按每盒件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒件产品中任抽件进行检验，若次品数不超过件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒产品中有件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．解: (1)从该盒件产品中任抽件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过件有种，被检验认为是合格的概率为．(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为．答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．例3．假定在张票中有张奖票（个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，（1）分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，（2）求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率．解：记事件：第一个抽票者抽到奖票，记事件：第一个抽票者抽到奖票，则（1）小结：因为，故A与B是不独立的．例4．将一枚骰子任意的抛掷次，问点出现（即点的面向上）多少次的概率最大？解：设为次抛掷中点出现次的概率，则，∵由，得，即当时，单调递增，当时，单调递减，从而最大．五．课后作业：班级学号姓名1．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具）先后抛掷次，至少出现一次点向上的概率是 ( )2．已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的概率为：（）3．一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是；4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。

概率论中的事件独立与互斥在概率论这个充满奥秘和规律的领域中，事件的独立与互斥是两个极其重要的概念。

它们看似相似，实则有着本质的区别，理解它们对于我们解决各种概率问题、预测随机现象以及做出合理的决策都具有至关重要的意义。

首先，让我们来弄清楚什么是事件的互斥。

简单来说，互斥事件指的是两个事件不能同时发生。

比如说，抛一枚硬币，出现正面和出现反面就是互斥事件，因为在一次抛硬币的过程中，不可能既出现正面又出现反面。

再比如，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃也是互斥事件。

互斥事件的特点非常鲜明。

如果事件 A 和事件 B 是互斥的，那么A 发生的概率加上 B 发生的概率就等于 A 或者 B 发生的概率，用数学式子表示就是 P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)。

这是因为它们不会有重叠的部分，所以概率可以直接相加。

举个具体的例子，假设一个袋子里有 3 个红球和 2 个蓝球，从中随机取出一个球，取出红球和取出蓝球就是互斥事件。

取出红球的概率是 3/5，取出蓝球的概率是 2/5，那么取出红球或者取出蓝球的概率就是 3/5 ＋ 2/5 ＝ 1。

接下来，我们再看看事件的独立。

独立事件是指一个事件的发生与否不会影响另一个事件发生的概率。

比如说，今天下雨和明天股票上涨就是两个独立事件，今天是否下雨对明天股票的走势没有直接的影响。

再比如，你第一次抛硬币得到正面，这并不影响你第二次抛硬币得到正面或者反面的概率。

独立事件的概率计算有其特定的规则。

如果事件 A 和事件 B 是独立的，那么 A 和 B 同时发生的概率等于 A 发生的概率乘以 B 发生的概率，用数学式子表示就是 P(A 且 B) ＝ P(A) × P(B)。

比如说，有两个独立的事件，事件 A 发生的概率是 06，事件 B 发生的概率是 04，那么 A 和 B 同时发生的概率就是 06 × 04 ＝ 024。

为了更清楚地理解独立事件和互斥事件的区别，我们来看一个例子。

1.(2012·广东省执信中学上期期末)某商场在春节举行抽奖促销活动，规则是：从装有编为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率是( B ) A. B. C. D. 解析：中一等奖的概率是＝，中二等奖的概率是＝，中三等奖的概率是＝，所以中奖的概率为＋＋＝，故选B. 2.(2013·太原市第一次模拟)甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( D ) A. B. C. D. 解析：设甲加工为一等品，乙加工为非一等品的事件为A，乙加工为一等品，甲加工为非一等品的事件为B，则两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)＋P(B)＝×＋×＝，故选D. 3.(2012·安徽省“江南十校”3月联考)现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( B ) A. B. C. D. 解析：甲、乙两人被分到同一社区的概率为＝，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为1－＝，故选B. 4.(2012·浙江省重点中学协作体4月联考)在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( C ) A. B. C. D. 解析：设事件A发生的概率为P，事件A不发生的概率为P′，则有：1－(P′)3＝P′＝，故P＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××()2＝，故选C. 5.在一段时间内，甲去某地的概率为，乙去此地的概率为，假定两人的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是 . 解析：至少有1人去此地包含有3个互斥事件，(1)甲去乙未去，(2)甲未去乙去，(3)甲、乙都去． 所以至少有1人去此地的概率为×(1－)＋×(1－)＋×＝. 6.(2012·安徽省马鞍山市4月第二次质量检测)甲乙两人向目标各射击一次(甲、乙相互没有影响)．甲的命中率为，乙的命中率为.已知目标被击中，则目标被甲击中的概率为 . 解析：设“甲命中”为事件A，“乙命中”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P(A)＝，P(C)＝1－P()P()＝1－(1－)(1－)＝，则P(A|C)＝＝＝. 7.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则： (1)P(A)＝ ； (2)P(B|A)＝ . 解析：(1)S圆＝π，S正方形＝()2＝2， 根据几何概型的求法有：P(A)＝＝； (2)由∠EOH＝90°，SEOH＝S正方形＝， 故P(B|A)＝＝＝. 8.一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求： (1)第1次抽到红球的概率； (2)第1次和第2次都抽到红球的概率； (3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率； (4)抽到颜色相同的球的概率． 解析：设A＝{第1次抽到红球}，B＝{第2次抽到红球}， 则第1次和第2次都抽到红球为事件AB. 从第5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n(Ω)＝A＝20， (1)由分步计数原理，n(A)＝A·A＝12， 于是P(A)＝＝＝. (2)P(AB)＝＝＝. (3)(方法一)在第1次抽到红球的条件下，当第2次抽到红球的概率为 P(B|A)＝＝＝， (方法二)P(B|A)＝＝＝. (4)抽到颜色相同球的概率为 P＝P(两次均为红球)＋P(两次均为白球) ＝＋＝. 9.(2012·北京市西城区一模改编)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同． (1)求甲以4比1获胜的概率； (2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率． 解析：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是，记“甲以4比1获胜”为事件A， 则P(A)＝C()3()4－3＝. (2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B， 因为，乙以4比2获胜的概率为 P1＝C()3()5－3＝， 乙以4比3获胜的概率为 P2＝C()3()6－3＝， 所以P(B)＝P1＋P2＝.。

随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性和互斥性是两个非常重要的概念。

理解这两个概念对于解决各种概率问题至关重要。

首先，我们来谈谈互斥性。

互斥事件，简单来说，就是指两个事件不能同时发生。

比如说，掷一枚骰子，出现点数为 1 和出现点数为 6这两个事件就是互斥的，因为在一次投掷中，骰子不可能既显示 1 又显示 6 。

用数学语言来表述，如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的交集为空集，即P(A ∩ B) ＝ 0 。

这意味着事件 A 和事件 B 同时发生的概率为 0 。

举个实际的例子，假设从一副扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件。

因为一张牌不可能既是红桃又是黑桃。

互斥事件的概率计算相对简单。

如果事件 A 和事件 B 互斥，那么事件 A 或者事件 B 发生的概率，也就是 A 和 B 的并集的概率，等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。

例如，在一个盒子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机取出一个球，取出红球和取出蓝球就是互斥事件。

取出红球的概率是 5 ／ 8 ，取出蓝球的概率是 3 ／ 8 ，那么取出红球或者蓝球的概率就是 5 ／ 8 ＋ 3／ 8 ＝ 1 。

接下来，我们说一说独立性。

独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。

比如说，今天下雨和明天考试考得好这两个事件通常就是独立的，今天下雨与否不会影响明天考试的成绩。

用数学公式来表示，如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B) 。

举个例子，有两个抽奖箱，抽奖箱 1 中有 3 个红球和 2 个白球，抽奖箱 2 中有 4 个红球和 1 个白球。

从抽奖箱 1 中抽到红球和从抽奖箱 2 中抽到红球这两个事件就是相互独立的。

在计算独立事件的概率时，我们可以直接运用上述公式。

比如，抽奖箱 1 中抽到红球的概率是 3 ／ 5 ，抽奖箱 2 中抽到红球的概率是 4／ 5 ，那么从抽奖箱 1 中抽到红球并且从抽奖箱 2 中也抽到红球的概率就是 3 ／ 5 × 4 ／ 5 ＝ 12 ／ 25 。

互斥事件和独立事件的概率及条件概率【知识要点】1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=条件概率具有以下性质：(1) ；(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．【基础检测】1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.3753．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为13，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.典例分析：例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率；(3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲队总分不低于2分的概率；(2)用A 表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．离散型随机变量的分布列、期望与方差【知识要点】1．离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，X取每一个值x i(i＝1,2，…)的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的①；②；(3)两点分布：(4)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：(5)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．3．离散型随机变量的期望与方差则称Eξ＝为随机变量型随机变量取值的．把Dξ=叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．4．基本性质若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．【基础检测】1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( )A．25个B．10个C．7个D．6个2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck＋1，k＝0,1,2,3，则c＝.3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为45，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为颗，方差为.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝5．随机变量ξ的分布列为则Eξ＝，＝，＝.6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．综合练习卷1.在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )A ．60分B ．70分C ．80分D ．90分4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率为 ；(2)3个矩形颜色都不同的概率为 .6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．8.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。

条件概率及互相独立事件-高考数学知识点条件概率及互相独立事件一、条件概率
条件概率是一种带有附加条件的概率。

是指若事件A与事件B是相依事件，即事件A的概率随事件B是否发生而变化，同样，事件B的概率与随事件A是否发生而变化，则在事件A已发生的条件下，事件B出现的概率称为事件B的条件概率。

条件概率就是事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率。

条件概率表示为P(A|B)，读作“在 B 条件下 A 的概率”。

P(A|B)=P(AB)/P(B),P(B|A)=P(AB)/P(A)
二、独立事件
相互独立事件: 事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

三、热定预测
预测高考可能会对独立事件的概率、n次独立事件的概率、n次独立重复试验的概率、二项分布重点考察。

解答题仍会保持中等难度，分值约为10分。

条件概率与互相独立事件在高二的课程中就已经还是涉及。

相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ,那么在n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生k 次的概率为P n k =C k n p k 1－pn －k. 3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一,相互独立也是研究两个事件的关系；第二,所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三,两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生,两事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生.5.事件A 与B 的积记作A ·B ,A ·B 表示这样一个事件,即A 与B 同时发生.当A 和B 是相互独立事件时,事件A ·B 满足乘法公式P A ·B =P A ·PB ,还要弄清A ·B ,B A ⋅的区别. A ·B 表示事件A 与B 同时发生,因此它们的对立事件A 与B 同时不发生,也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +,因此有A ·B ≠B A ⋅,但A ·B =B A +. ●点击双基1.2004年辽宁,5甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p 1,乙解决这个问题的概率是p 2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是1－p 2+p 21－p 1 －p 1p 2－1－p 11－p 2 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决,故所求概率是p 11－p 2+p 21－p 1.答案：B2.将一枚硬币连掷5次,如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率,那么k 的值为解析：由C k 521k 215－k =C 15+k 21k +1·215－k －1,即C k 5=C 15+k ,k +k +1=5,k =2.答案：C3.从应届高中生中选出飞行员,已知这批学生体型合格的概率为31,视力合格的概率为61,其他几项标准合格的概率为51,从中任选一学生,则该生三项均合格的概率为假设三项标准互不影响A.94 B.901 C.54 D.95 解析：P =31×61×451=901.答案：C4.一道数学竞赛试题,甲生解出它的概率为21,乙生解出它的概率为31,丙生解出它的概率为41,由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 解析：P =21×32×43+ 21×31×43+ 21×32×41=2411. 答案：2411 5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是31.那么这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率是________.解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,所以P =1－311－31×31=274. 答案：274●典例剖析例1 2004年广州模拟题某班有两个课外活动小组,其中第一小组有足球票6张,排球票4张；第二小组有足球票4张,排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张,乙从第二小组的10张票中任抽1张.1两人都抽到足球票的概率是多少2两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件B ,于是P A =106= 53,P A =52； PB =104= 52,P B =53. 由于甲或乙是否抽到足球票,对乙或甲是否抽到足球票没有影响,因此A 与B 是相互独立事件.1甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生,根据相互独立事件的概率乘法公式,得到P A ·B =P A ·PB =53·52=256.答：两人都抽到足球票的概率是256. 2甲、乙两人均未抽到足球票事件A ·B 发生的概率为P A ·B =P A ·P B =52·53=256. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为 P =1－P A ·B =1－256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519. 例2 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中,每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A 的球,则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球,则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球,则称试验成功,求试验成功的概率.解：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球,则A 、B 互斥,且P A =107,PB =103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球,事件D ：从第三号盒子中取一个红球,则C 、D 互斥,且PC =21,PD =108=54. 显然,事件A ·C 与事件B ·D 互斥,且事件A 与C 是相互独立的,B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P =P A ·C +B ·D =P A ·C +PB ·D =P A ·PC +PB ·PD =10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 例3 2004年福州模拟题冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶,每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料,取用甲种或乙种饮料的概率相等.1求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；2求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率. 解：1由题意知,甲种已饮用5瓶,乙种已饮用2瓶. 记“饮用一次,饮用的是甲种饮料”为事件A ,则p =P A =21. 题1即求7次独立重复试验中事件A 发生5次的概率为P 75=C 57p 51－p 2=C 27217=12821. 2有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶,乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶,乙没有被饮用；甲被饮用4瓶,乙没有被饮用.所求概率为P 65+P 55+P 44=C 65p 51－p +C 55p 5+C 44p 4=163. 答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821,甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163. ●闯关训练 夯实基础1.若A 与B 相互独立,则下面不相互独立事件有 与A与BC. A 与BD. A 与B解析：由定义知,易选A. 答案：A2.在某段时间内,甲地不下雨的概率为,乙地不下雨的概率为,假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响,则这段时间内两地都下雨的概率是解析：P =1－1－=. 答案：D3.某学生参加一次选拔考试,有5道题,每题10分.已知他解题的正确率为53,若40分为最低分数线,则该生被选中的概率是________.解析：该生被选中,他解对5题或4题.∴P =535+C 45×534×1－53=31251053. 答案：312510534.某单位订阅大众日报的概率为,订阅齐鲁晚报的概率为,则至少订阅其中一种报纸的概率为________.解析：P =1－1－1－=. 答案： 培养能力5.在未来3天中,某气象台预报每天天气的准确率为,则在未来3天中, 1至少有2天预报准确的概率是多少2至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少解：1至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率,即C 23··+C 33·=.∴至少有2天预报准确的概率为.2至少有一个连续2天预报准确,即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2··+=.∴至少有一个连续2天预报准确的概率为.6.2004年南京模拟题一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由3个部件组成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p ,计算在这一时间段内,1恰有一套设备能正常工作的概率； 2能进行通讯的概率.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ,“第二套通讯设备能正常工作”为事件B .由题意知P A =p 3,PB =p 3, P A =1－p 3,P B =1－p 3.1恰有一套设备能正常工作的概率为P A ·B + A ·B =P A ·B +P A ·B =p 31－p 3+1－p 3p 3=2p 3－2p 6.2方法一：两套设备都能正常工作的概率为 P A ·B =P A ·PB =p 6.至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为 P A ·B + A ·B +P A ·B =2p 3－2p 6+p 6=2p 3－p 6. 方法二：两套设备都不能正常工作的概率为 P A ·B =P A ·P B =1－p 32. 至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为1－P A ·B =1－P A ·P B =1－1－p 32=2p 3－p 6.答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3－2p 6,能进行通讯的概率为2p 3－p 6.7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球,乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球,试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.解：从甲袋中取2个白球,从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为2723C C ×291415C C C =635； 从甲袋中取1个黑球和1个白球,从乙袋中取2个白球的概率为271413C C C ×2925C C =6310. 所以,取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为635+6310=6315=215. 探究创新8.2004年湖南甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. 1分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；2从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.解：1设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件,由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P由①③得PB =1－89PC , 代入②得27PC 2－51PC +22=0. 解得PC =32或911舍去. 将PC =32分别代入③②可得P A =31,PB =41, 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31,41,32.2记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件,则 PD =1－P D =1－1－P A 1－PB 1－PC =1－32·43·31=65. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为65. ●思悟小结1.应用公式时,要注意前提条件,只有对于相互独立事件A 与B 来说,才能运用公式P A ·B =P A ·PB .2.在学习过程中,要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积,或其对立事件.3.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率. ●教师下载中心 教学点睛1.首先要搞清事件间的关系是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立,当且仅当事件A 和事件B 互相独立时,才有P A ·B =P A ·PB .、B 中至少有一个发生：A +B .1若A 、B 互斥：P A +B =P A +PB ,否则不成立. 2若A 、B 相互独立不互斥.法一：P A +B =P A ·B +P A ·B +P A ·B ； 法二：P A +B =1－P A ·B ； 法三：P A +B =P A +PB －P AB .① ② ③3.某些事件若含有较多的互斥事件,可考虑其对立事件的概率,这样可减少运算量,提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化,如例1.次独立重复试验中某事件发生k 次的概率P n k =C k n p k 1－pn －k正好是二项式1－p +p n 的展开式的第k +1项. 拓展题例例1 把n 个不同的球随机地放入编号为1,2,…,m 的m 个盒子内,求1号盒恰有r 个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m 个不同的盒子内看成一次独立试验,其中放入1号盒的概率为P =m1.这样n 个球放入m 个不同的盒子内相当于做n 次独立重复试验.由独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式知,1号盒恰有r 个球的概率 P n r =C r np r1－pn －r=C r n·m 1r ·1－m1n －r=nrn r n m m --⋅)1(C .解法二：用古典概型.把n 个不同的球任意放入m 个不同的盒子内共有m n 个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为C r nm －1n －r,故所求概率P A =nrn r n mm --)1(C .答：1号盒恰有r 个球的概率为nrn r n m m --)1(C .例2 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ,且各引擎是否故障是独立的,如果至少50%的引擎能正常运行,飞机就可以成功地飞行,问对于多大的P 而言,4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验,要能正常运行,即求发生k 次k ≥2的概率.同理,2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k 次k ≥1的概率,由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为C 24P 21－P 2+C 34P 31－P +C 44P 4=6P 21－P 2+4P 31－P +P 4. 2引擎飞机成功飞行的概率为C 12P 1－P +C 22P 2=2P 1－P +P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全,只要6P 21－P 2+4P 31－P +P 4≥2P 1－P +P 2. 化简,分解因式得P －123P －2≥0. 所以3P －2≥0, 即得P ≥32. 答：当引擎不出故障的概率不小于32时,4引擎飞机比2引擎飞机安全.。