高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第1课时)预习导航新人教A选修1-2创新

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第1课时综合法A级基础巩固一、选择题1．若“a，b，c是不全相等的正数",给出下列判断：①(a－b)2＋（b－c)2＋(c－a）2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中,至少有一个成立；③a≠c,b≠c，a≠b不能同时成立．其中正确判断的个数为（)A．0 B．1C．2 D．3解析：因“a,b，c是不全相等的正数”，则“a≠c，b≠c, a≠b”可能同时成立．所以③不正确，①，②正确．答案：C2．设0＜x＜1，则a＝错误!x，b＝1＋x,c＝错误!中最大的一个是( )A．a B．bC．c D．不能确定解析：因为b－c＝（1＋x)－错误!＝错误!＝错误!＜0，所以b＜c.又因为b＝1＋x＞错误!x＝a，所以a＜b＜c。

答案：C3．命题“如果数列｛a n｝的前n项和S n＝2n2－3n，那么数列｛a n｝一定是等差数列"是否成立（）A．不成立B．成立C．不能断定D．与n取值有关解析：当n≥2时,a n＝S n－S n－1＝4n－5又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n＝4n－5(n∈N*），则a n－a n－1＝4（常数）故数列{a n}是等差数列．答案：B4．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( ）A．lg（1＋a2）>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab〉2b2 D.错误!<错误!解析：在B中，因为a2＋b2－2（a－b－1）＝（a2－2a＋1)＋（b2＋2b＋1）＝(a－1)2＋(b ＋1)2≥0,所以a2＋b2≥2（a－b－1)恒成立．答案:B5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若b cos C＋c cos B＝a sin A,则△ABC 的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：由于b cos C＋c cos B＝a sin A，所以a sin A＝a，从而sin A＝1.由A∈(0，π)，得A＝错误!，所以△ABC为直角三角形．答案：B二、填空题6．命题“函数f（x)＝x－x ln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x）＝x－x ln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′（x）＝－ln x>0,故函数f（x)在区间（0，1)上是增函数"，应用了________的证明方法．解析:本命题的证明,利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A,B为△ABC内角,A>B是sin A〉sin B的________条件（填“充分”“必要”“充要"或“即不充分又不必要”)．解析:在△ABC中，A>B⇔a>b由正弦定理asin A＝错误!，从而sin A>sin B。

2.2.2 反证法1．反证法是□01间接证明的一种基本方法．假设原命题□02不成立，经过正确的推理，最后得出□03矛盾，因此说明假设□04错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为：(1)反设：假设命题的结论□05不成立，即假设结论的反面成立； (2)归谬：从□06假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与□07已知条件矛盾，或与□08假设矛盾，或与□09定义、定理、公理、事实矛盾等．反证法中的“反设”和“归谬”(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知a ≠0，证明关于x 的方程ax ＝b 有且只有一解，适宜用________证明． (2)用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有一个能被5整除”，则假设的内容是________．(3)用反证法证明命题“如果a >b ，则3a >3b ”时，假设的内容是________． 答案 (1)反证法 (2)a ，b 都不能被5整除 (3)3a ≤3b探究1 用反证法证明否定性命题 例1 已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． [证明] 假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0，x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0<ax 0<1可知0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2， 这与x 0<0矛盾，故假设不成立． 即方程f (x )＝0没有负数根． 拓展提升反证法属于逻辑方法范畴，它的本质体现在“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．【跟踪训练1】 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ad －bc ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1. 证明 假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1. 因为ad －bc ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝ad －bc . 所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0. 所以2a 2＋2b 2＋2c 2＋2d 2＋2ab ＋2cd ＋2bc －2ad ＝0. 所以(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＝0. 所以a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0， 所以a ＝b ＝c ＝d ＝0，所以ad －bc ＝0，这与ab －bc ＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立， 即a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.探究2 用反证法证明“至多”“至少”型命题例2 已知a ，b ，c 是互不相等且均不为0的实数，求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．[证明] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点． 由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.同向不等式求和得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0， ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0， ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，∴a ＝b ＝c . 这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证． 拓展提升常见结论词与反设词列表如下：【跟踪训练2】 求证下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax－2a ＝0至少有一个方程有实根时实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32. 证明 若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－－4a ，a －2－4a 2<0，4a 2＋8a <0.解得－32<a <－1.所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32.探究3 用反证法证明唯一性命题例3 用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行． [证明] 由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b ，这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立．拓展提升证明“唯一性”命题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．【跟踪训练3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a，b，m有且只有一个平面．证明∵如图，a∥b，∴过a，b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a，b，m有一个平面α.假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．1.“否定结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．否定结论的步骤是：弄清结论本身的情况；找出结论的全部相反情况；正确否定上述结论.2.反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.3.在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的.1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三个内角都不大于60°B ．假设三个内角都大于60°C ．假设三个内角至多有一个大于60°D ．假设三个内角至多有两个大于60° 答案 B解析 “至少有一个不大于”的否定为“都大于”，所以选B. 2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数答案 C解析 假设两个数都不是正数，则其和必为负数或零．所以选C.3．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________． 答案 无解或至少两解解析 方程解的情况有：①无解；②唯一解；③两个或两个以上的解．4．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 {a |a ≤－2或a ≥－1}解析 假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a －2－4a 2<0，Δ2＝a2－－2a，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得a 的取值集合为：{a |－2<a <－1}，所以其补集为{a |a ≤－2或a ≥－1}，即为所求的a 的取值范围．5．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，求证：2b ＝1a ＋1c不成立．证明 假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2bac.故b 2＝ac . 又b ＝a ＋c2，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，所以a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，因此2b ＝1a ＋1c不成立．。

第1综合法和分析法[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 36～P 41的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P 36“已知a ，b >0，求证a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc ”的证明过程，思考下列问题：①该题的条件和结论各是什么？提示：条件：a ，b >0；结论：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .②本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？提示：本题是从已知条件a ，b >0出发，借助基本不等式证明待证结论的． (2)阅读教材中证明基本不等式“a ＋b2≥ab (a >0，b >0)”的过程，回答下列问题：①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？ 提示：从结论开始证明的． ②该证明过程是综合法吗？ 提示：不是．③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？ 提示：充分条件． 2．归纳总结，核心必记 (1)综合法 ①综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②综合法的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论) (2)分析法 ①分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法．②分析法的框图表示Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件[问题思考](1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．(2)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．(3)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋bc＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝b ＋c a·a ＋c b·a ＋b c≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴不等式成立．这种证明方法是综合法还是分析法？ 提示：综合法．[课前反思](1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？ ；(2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？ .讲一讲1．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[尝试解答](1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．练一练1．已知x ＋y ＋z ＝m .求证：x 2＋y 2＋z 2≥m 23.证明：∵x ＋y ＋z ＝m ，∴(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )＝m 2. 又∵x 2＋y 2≥2xy ，y 2＋z 2≥2yz ，z 2＋x 2≥2xz ， ∴2(x 2＋y 2＋z 2)≥2(xy ＋yz ＋zx )， 即x 2＋y 2＋z 2≥xy ＋yz ＋zx ，∴m 2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )≤3(x 2＋y 2＋z 2)． ∴x 2＋y 2＋z 2≥m 23.[思考1]分析法的证明过程是什么？名师指津：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件．[思考2]分析法的书写格式是什么？ 名师指津：分析法的书写格式是： “要证……， 只需证……， 只需证……， …由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略． 讲一讲2．已知a ＞0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.[尝试解答]要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a ＞0，故只需证⎝⎛⎭⎪⎫ a 2＋1a2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立．(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．(3)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．练一练2．当a ≥2时，求证：a ＋1－a <a －1－a －2. 证明：要证a ＋1－a <a －1－a －2， 只需证a ＋1＋a －2<a ＋a －1， 只需证(a ＋1＋a －2)2<(a ＋a －1)2， 只需证a ＋1＋a －2＋2a ＋1a －2<a ＋a －1＋2a a －1，只需证a ＋1a －2<a a －1，只需证(a ＋1)(a －2)<a (a －1)， 即证－2<0，而－2<0显然成立， 所以a ＋1－a <a －1－a －2成立．讲一讲3．已知a ，b ，c 表示△ABC 的三边长，m ＞0，求证：aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.先用分析法将要证明的不等式进行转化，然后利用综合法证明．[尝试解答]要证明aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m＞0即可．而aa ＋m ＋bb ＋m －cc ＋m＝a b ＋mc ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋mb ＋ma ＋mb ＋mc ＋m.因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0， 所以(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0.因为a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2.因为△ABC 中任意两边之和大于第三边， 所以a ＋b －c ＞0， 所以(a ＋b －c )m 2＞0，所以2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0， 所以aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．练一练3．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明：要证log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，由0<x <1知，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由基本不等式得a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．[课堂归纳感悟提升]—1．本节课的重点是综合法和分析法的应用，难点是分析综合法的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用综合法解决问题，见讲1； (2)利用分析法解决问题，见讲2； (3)利用分析综合法解决问题，见讲3.3．在利用分析法证明问题时，一定要恰当使用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语，这也是本节课的易错点．课下能力提升(五) [学业水平达标练]题组1综合法的应用1．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是()A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选C 由sin A sin B ＜cos A cos B 得cos A cos B －sin A sin B ＞0，即cos(A ＋B )＞0，－cos C ＞0，cos C ＜0，从而角C 必为钝角，△ABC 一定为钝角三角形．2．使不等式3＋8＞1＋a 成立的正整数a 的最大值是() A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B 由a ＜3＋8－1得a ＜(3＋8－1)2.而(3＋8－1)2＝3＋8＋1＋224－23－28＝12＋46－23－42≈12.68. 因此使不等式成立的正整数a 的最大值为12.3．在锐角△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵△ABC 为锐角三角形，∴A ，B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由正弦定理及条件，可得3sin B ＝23sin A sin B .∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin B ≠0.∴3＝23sin A ．∴sin A ＝32. ∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3. 又cos B ＝cos C ，且B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.∴B ＝C .又B ＋C ＝2π3，∴A ＝B ＝C ＝π3.从而△ABC 是等边三角形． 题组2分析法的应用4. 3a －3b <3a －b 成立的充要条件是() A ．ab (b －a )>0 B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <b D ．ab (b －a )<0解析：选D 3a －3b <3a －b ， ⇔(3a －3b )3<(3a －b )3， ⇔a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ， ⇔ 3ab 2< 3a 2b ， ⇔ab 2<a 2b ，⇔ab (b －a )<0. 5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．解析：用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． 答案：a 2＋b 2－2ab ≥0(a －b )2≥0(a －b )2≥06．已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8. 因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2. 因为a ≥－12，b ≥－12，所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0， 所以2a ＋1·2b ＋1≤2a ＋1＋2b ＋12＝2a ＋b ＋12＝2.即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立． 题组3综合法与分析法的综合应用7．设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2. 证明：法一：要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立， 只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立． 又因为a ＋b ＞0，所以只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立． 即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立， 即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立． 由此命题得证．法二：a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab . 因为a ＞0，b ＞0， 所以a ＋b ＞0，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )． 所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[能力提升综合练]1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是()A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＜0，∴f (x )＝1x在(0，＋∞)上为减函数．2．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m 与n 的大小关系为()A ．m ＞nB ．m ＝nC ．m ＜nD ．不能确定解析：选A 由a ＞0，b ＞0，得ab ＞0， 所以a ＋b ＋2ab ＞a ＋b ， 所以(a ＋b )2＞(a ＋b )2， 所以a ＋b2＞a ＋b2，所以lga ＋b 2＞lga ＋b2，即m ＞n ，故选A.3．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝3a －4a ＋1，则a 的取值范围是()A ．a ＜34B ．a ＜34，且a ≠－1C ．a ＞34或a ＜－1D ．－1＜a ＜34解析：选D ∵f (x )以3为周期， ∴f (2)＝f (－1)． 又f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)， 则f (2)＝f (－1)＝－f (1)． 再由f (1)＞1，可得f (2)＜－1， 即3a －4a ＋1＜－1，解得－1＜a ＜34. 4．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b ＜cd，则() A.a b ＜a ＋cb ＋d ＜cd B.a ＋c b ＋d ＜a b ＜cdC.a b ＜c d ＜a ＋cb ＋dD ．以上均可能解析：选A 先取特殊值检验，∵a b ＜c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b ＜a ＋c b ＋d ＜cd . 要证a b ＜a ＋cb ＋d，∵a ，b ，c ，d 为正实数，∴只需证a (b ＋d )＜b (a ＋c )，即证ad ＜bc . 只需证a b ＜c d .而a b ＜c d成立， ∴a b ＜a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d ＜cd.故A 正确．5．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log 2xy＝________. 解析：由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2， 所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋4＝0，所以x y ＝4或x y＝1. 又x ＞2y ，故x y ＝4，所以log 2x y＝log 24＝4.答案：46．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝________.解析：因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425.因为π2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2.所以cos 2θ＝－1－sin θ＝－725.答案：－7257．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(3)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和，求证：T n ＜74.解：(1)当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)证明：2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n .①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)．②①－②，得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n . 整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．(3)由(2)可知a n n＝n ，即a n ＝n 2. ∵1a n ＝1n 2＜1nn －1＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋1＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74. 8．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．证明：要证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0，即只需证－b 2a －12＝0，只需证a ＝－b (中间结果)，由已知，抛物线f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与抛物线f (x )的对称轴x ＝－b2a 关于y轴对称．所以－b2a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a .于是得a ＝－b (中间结果)．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．第2反证法[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 42～P 43的内容，回答下列问题．著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？ 提示：反证法思想． 2．归纳总结，核心必记 (1)反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[问题思考](1)反证法解题的实质是什么？提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确． (2)用反证法证明命题时，“a 、b 、c 都是偶数”的否定是什么？ 提示：a 、b 、c 不都是偶数．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)反证法的定义是什么？ ；(2)反证法常见的矛盾类型有哪些？ .讲一讲1．已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负实根． [尝试解答]假设方程f (x )＝0有负实根x 0， 则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负实根．(1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤练一练1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ， 则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )， 而f (0)，f (1)均为奇数， 即c 为奇数，a ＋b 为偶数， 则an 2＋bn ＝－c 为奇数， 即n (an ＋b )为奇数． ∴n ，an ＋b 均为奇数， 又∵a ＋b 为偶数， ∴an －a 为奇数， 即a (n －1)为奇数，∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾． ∴f (x )＝0无整数根．讲一讲2．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.[尝试解答]假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为a ，b ，c ∈(0,1)， 所以1－a ＞0,1－b ＞0,1－c ＞0. 所以1－a ＋b2＞1－a b ＞14＝12.同理1－b ＋c 2＞12，1－c ＋a 2＞12. 三式相加得 1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明时常见的“结论词”与“反设词”练一练2．已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数．求证：函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至多有一个零点．证明：假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有两个零点，设x 1，x 2(x 1≠x 2)为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的两个零点，且x 1＜x 2，则f (x 1)＝f (x 2)＝0.因为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上为增函数，x 1，x 2∈(a ，b )且x 1＜x 2，∴f (x 1)＜f (x 2)，与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确.讲一讲3．已知：一点A 和平面α.求证：经过点A 只能有一条直线和平面α垂直． [尝试解答]根据点A 和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图，点A 在平面α内，假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB ，AC ，那么AB ，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A 的一条直线a .因为AB ⊥平面α，AC ⊥平面α，a ⊂α，所以AB ⊥a ，AC ⊥a ，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．练一练3．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．—[课堂归纳感悟提升]—1．本节课的重点是反证法及其应用，难点是用反证法证明相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)用反证法证明“否定性”命题，见讲1；(2)用反证法证明“至多”、“至少”型命题，见讲2；(3)用反证法证明“唯一性”命题，见讲3.3．要正确掌握常见“结论词”的“反设词”，这是本节课的易错点．课下能力提升(六) [学业水平达标练]题组1用反证法证明“否定性”命题1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是() ①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④解析：选C 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________． 答案：③①②3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. 又p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr .(p －r )2＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 题组2用反证法证明“至多”、“至少”型命题4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B“至少有一个”即“全部中最少有一个”．5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________． 解析：假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾． 故a 、b 、c 中至少有一个不小于13.答案：136．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋x y 与1＋yx中至少有一个小于2.解：假设1＋x y 与1＋y x都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋yx≥2.又∵x >0，y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾．所以假设不成立，所以1＋x y 与1＋y x中至少有一个小于2. 题组3用反证法证明“唯一性”命题7．用反证法证明命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)()A ．无解B ．有两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解解析：选D“唯一”的否定上“至少两解或无解”．8．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为()A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[能力提升综合练]1．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．2．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是()A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确解析：选D 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q >2. 故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a() A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：选D 因为a 、b 、c 都是正数，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6.故三个数中至少有一个不小于2. 4．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a ＞b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a ＞b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，∴不存在n 使得a n ＝b n .5．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交6．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②＝________③＝0.这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．解析：证明过程应为：假设p 为奇数，则有a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0.这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)7．设a ，b 是异面直线，在a 上任取两点A 1，A 2，在b 上任取两点B 1，B 2，试证：A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．证明：假设A 1B 1与A 2B 2不是异面直线，则A 1B 1与A 2B 2可以确定一个平面α，点A 1，A 2，B 1，B 2都在平面α内，于是A 1A 2⊂α，B 1B 2⊂α，即a ⊂α，b ⊂α，这与已知a ，b 是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．8．用反证法证明：对于直线l ：y ＝x ＋k ，不存在这样的非零实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝－x 对称．证明：假设存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝－x 上， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋k ，y 2＝3x 2－1得2x 2－2kx －1－k 2＝0.∴x 1＋x 2＝k ，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，3k 2. 这与M 在直线y ＝－x 上矛盾．所以假设不成立，故不存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称．。

221 直接证明知识梳理1. 直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明称为________________________ (direct proof).2. 从已知条件出发，以已知的 ____________________________________ 为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为综合法3. 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件吻合为止.这种证明方法称为_______________________ .知识导学综合法的基本思路是“由因导果”即从已知看可知，再逐步推向未知的方法.若用P表示已知条件，已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：分析法的基本思路是：从未知看需知，再逐步靠近已知，若用P表示已知条件，Q表示所要证明的结论，则分析法的框图可以表示为疑难突破1. 综合法与分析法的异同点：综合法与分析法是两种不同的证明方法，但它们都是直接证法，都属于演绎推理，几何学中的定理和数学问题中的证明，大部分都采用综合法和分析法综合法与分析法的不同之处是：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”. 分析法便于我们去找思路，而综合法便于过程的叙述2. 证明与推理之间的联系和区别.(1 )联系：证明过程其实就是推理的过程.就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程.一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只是用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理(2)区别：(i)从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论，是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的.论题相当于推理的结论，是已知的，论据相当于推论的前提.(ii)从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是管不了的.而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的典题精讲【例1] 已知a、b、c€ R+,且a+b+c=1,1 1 1求证：(一-1)( -1)( -1) > 8.a b c思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和条件a+b+c=1的合理应用.可用综合法和分析法两种方法证明.证明：(方法1综合法)1 1 1-1) ( -1) ( -1)a b c=(a b c-1) (a b c-1) (a b c-1) abcb c a c a b_ (b c)(a - c)(a - b) 2 be • 2 ac * 2 一 ab _o = =8abc 【变式训练】 已知 a 、b 、c € R +,求证：(ab+a+b+1)x (ab+bc+bc+c 2) > 16abc.证明：综合法：方法 1 v ab+a+b+1=(a+1)(b+1). ab+ac+bc+c =(a+c)(b+c) 又 v a > 0,b > 0,c > 0,二 a+1> 2 a > 0,b+1 > 2 b > 0, a+c > 2 ac > 0,b+c > 2, bc . ••• (a+c)(b+c) > 4 . abc 2 = 4c. ab , (a+1)(b+1) > 4 ab > 0. 因此当a,b,c €戌时，有(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c 2) > 16abc,结论得证 方法2分析法：2要证(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c ) > 16abc 成立， 只需证：(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) > 16ab 成立.由于 a > 0,b > 0,c >0.abc当且仅当a=b=c 时取等号，所以不等式成立 (方法 要证( 只需证 2分析法)： --1) a1 -a(〔-1)b1 -bh --------------------------- Ib1-1) >8成立c-——c >8 成立 ca因为 a+b+c=1,(a b c) -a (a b c) -b (a b c) _c所以只需证 a a c a b >8c只需证—a^bc t 2 ac t 2 ab>8 成立a而^bc 2 ac 2 aba>8显然成立.v1-1) c1-1)( b绿色通道：综合法是从已知条件出发，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件， 了的事实•黑色陷阱：在证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式的性质，的条件及等号成立的条件•>8经过逐步推理，最后达到特征的结论； 而在分析法中,最后一步归结到已被证明 要注意基本不等式应用>8成立••• a+1> 2 a ,b+1 > 2b.a+c> 2 ac b+c> 2 bc• (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) > 2 a • 2 b • 2. ac • 2 . bc =l6abc.即：(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c ) > 16abc 成立.【例2】在厶ABC中，三个内角A B C对应的边分别为a、b、c,且A、B C成等差数列，a、b、c 成等比数列，求证：△ ABC为等边三角形.思路分析：将A、B、C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C a、b、c成等比数列，转化为符号语言就是b2=ac.A、B、C ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=t ,此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状.余弦定理正好满足要求，于是可以用余弦定理为工具进行证明证明：由A、B C成等差数列，所以有2B=A+C 因为A、B CABC的内角，所以A+B+C n ,所以B=—.3由a、b、c成等比数列，有b2=ac.由余弦定理及b2=ac,可得：b2=a2+c2-2accosB=a 2+c2-ac.•a 2+c2-ac=ac 即(a-c) 2=0,因此a=c,从而有A=C.A=B=C=—,所以△ ABC为正三角形.3【变式训练】如图2-2-1所示，设在四面体P-ABC中，/ ABC=90 ,PA=PB=PC,D是AC的中占八、、：求证：PD垂直于△ ABC所在的平面.证明：因为BD是Rt△ ABC斜边上的中线，所以DA=DC=DBK因为PA=PB=PC而卩。

高中数学 第二章 推理与证明 直接证明与间接证明（第1课时）课堂探究 新人教A 版选修2-2探究一 综合法的应用综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．【典型例题1】已知a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 思路分析：利用“1”的代换进行转化，利用基本不等式证明．证明：∵a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a＞0， 1b－1＝1－b b＝a ＋c b ≥2ac b ＞0， 1c －1＝1－c c ＝a ＋b c ≥2ab c ＞0，以上三式对应相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8×bc a ×ac b ×ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴原不等式成立．反思 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a 2≥0(a ∈R )． ②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22. ③若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别是b a ＋ab≥2. 【典型例题2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理，再用定理进行证明．证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．又AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.探究二分析法的应用分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的证明方法，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的判断，而当这个判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提条件)．因此，分析法是一种执果索因的证明方法，也是数学证明常用的手段．【典型例题3】已知a＞6，求证：a－3－a－4＜a－5－a－6.思路分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件．证明：要证a－3－a－4＜a－5－a－6，只需证a －3＋a －6＜a －5＋a －4⇐(a －3＋a －6)2＜(a －5＋a －4)2⇐2a －9＋2(a －3)(a －6)＜2a －9＋2(a －5)(a －4) ⇐(a －3)(a －6)＜(a －5)(a －4)⇐(a －3)(a －6)＜(a －5)(a －4)⇐18＜20，因为18＜20显然成立，所以原不等式a －3－a －4＜a －5－a －6成立．探究三 综合法和分析法的综合应用分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：→→…→←…←←其中P 表示已知条件、定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论．【典型例题4】若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .思路分析：本题先利用分析法将对数不等式转化为一般不等式，再用综合法证明不等式成立，两种方法同时使用，可使问题迅速解决．证明：要证lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c ， 只需证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(a ·b ·c )， 即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc . 因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，c ＋a2≥ac ＞0，且上述三式中等号不能同时成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立， 所以lg a ＋b2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c 成立．反思 对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．探究四易错辨析易错点：分析法与综合法相混淆而导致出错【典型例题5】求证：2＋10＜2 6.错解：2＋10＜26，并且2＋10和26都是正数，所以(2＋10)2＜(26)2，即12＋45＜24，5＜3，所以5＜9.因为5＜9成立，所以不等式2＋10＜26成立．错因分析：本题步骤出现错误，把2＋10＜26看成了条件去推，不符合分析法的步骤．正解：因为2＋10和26都是正数，所以要证2＋10＜26，只需证明(2＋10)2＜(26)2，展开得12＋45＜24，即5＜3，故只需证5＜9.因为5＜9显然成立，所以不等式2＋10＜26成立．。

2.2 直接证明与间接证明§2.2.1 直接证明与间接证明（一）一．教学目标1．知识与技能掌握用综合法证明问题的格式步骤，能用综合法证明一些简单的数学命题.2．过程与方法 通过课本上的实例，分析综合法的特点，学会用综合法证明问题的格式步骤。

3．情感、态度、价值观用综合法证明问题的格式步骤是数学中重要的证明方法之一,要学生养成严谨证明的习惯.二．预习任务阅读课本85-86页，完成下列任务1.理解综合法证明问题的特点注意：综合法又叫顺推证法或由因导果法，也即“由条件到结论”。

特点：2．在分析课本例1的推理过程中，要注意条件的转换。

如角A 、B 、C 成等差数列，其实也即为说明∠B ＝60°.请独立写出例1的解题过程三．自主检测1．在锐角三角形中，求证：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC2．已知1-tan α2+tan α=1，求证：3sin2α=-4cos2α四．【组内互检】综合法证明问题的特点§2.2.2 直接证明与间接证明（二）一．教学目标1．知识与技能掌握用分析法证明问题的格式步骤，能用分析法证明一些简单的数学命题.2．过程与方法通过课本上的实例，分析分析法证明问题的特点，学会分析法证明问题的格式步骤。

3．情感、态度、价值观分析法是数学中重要的证明方法之一,也是数学思维方法。

要学生养成严谨证明的习惯.二．预习任务阅读课本86—89页，完成下列任务1.写出分析法证明命题的格式步骤：2．用分析法证明：6+7>22+53．写出课本例3的证明过程注意：在实际问题的证明中可结合两种方法同时使用。

注意：综合法和分析法都是直接证明的方法，综合法即由因导果，从已知看可知，逐步推出未知，步步推出的是已知条件成立的必要条件；分析法即执果索因，从未知看需知，逐步上溯到已知，步步寻求结论成立的充分条件三．自主检测1．用分析法证明：已知a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13．四．【组内互检】分析法证明命题的格式步骤§2.2.2 直接证明与间接证明（三）（总第26课时）一．教学目标1．知识与技能掌握用反证法证明问题的格式步骤；能用反证法证明一些简单的数学命题.2．过程与方法通过实例分析反证法证明问题的特点，体会反证法证明问题的格式步骤。

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习导航新人教A版选修2-2课程目标学习脉络1．了解直接证明的两种基本方法—-综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题.综合法和分析法综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法推理过程P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→错误!(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法提示：综合法是从已知条件出发逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．思考2综合法和分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法和分析法的推理过程属于演绎推理，这是因为，在综合法和分析法的推理过程中,每一步推理都是严密的逻辑推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．思考3综合法和分析法的共同点是什么？我们平时在解题中探究思路时一般用什么方法？提示:共同点都是将条件和结论通过推理联系起来解题，即将条件和结论有机结合起来,我们经常这样分析问题：由条件想到什么？要得到这样的结论需要什么条件?也就是条件、结论两头凑，这就是“分析—综合法"．。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

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2。

2.1 综合法和分析法学习目标:1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．（重点、易混点)2.会用综合法、分析法解决问题．（重点、难点）［自主预习·探新知]1．综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法错误!→错误!→错误!→…→错误!（P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2定义框图表示特点一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法思考1［提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想”．思考2：综合法与分析法有什么区别？[提示］综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件,即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．[基础自测］1．思考辨析(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )（2)分析法就是从结论推向已知．( )（3)所有证明的题目均可使用分析法证明．（）[答案]（1)×(2）×（3）×2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2 θ"的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)（cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2 θ”，其过程应用了( ）A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法B［从证明过程来看,是从已知条件入手，经过推导得出结论,符合综合法的证明思路．］3．要证明A＞B,若用作差比较法，只要证明________．［解析]要证A＞B,只要证A－B＞0.［答案]A－B＞04．将下面用分析法证明错误!≥ab的步骤补充完整:要证错误!≥ab,只需证a2＋b2≥2ab,也就是证________,即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立。