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2019-2020年高三物理一轮复习 第八章 第2讲 磁场对运动电荷的作用1洛伦兹力的方向和大小1.洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力． 2．洛伦兹力的方向 (1)判断方法：左手定则⎩⎪⎨⎪⎧磁感线垂直穿过掌心四指指向正电荷运动的方向拇指指向正电荷所受洛伦兹力的方向(2)方向特点：f ⊥B ，f ⊥v .即f 垂直于B 和v 决定的平面．(注意：B 和v 不一定垂直)． 3．洛伦兹力的大小f ＝qvB sin_θ，θ为v 与B 的夹角，如图8－2－1所示．图8－2－1(1)v ∥B 时，θ＝0°或180°，洛伦兹力f ＝0. (2)v ⊥B 时，θ＝90°，洛伦兹力f ＝qvB . (3)v ＝0时，洛伦兹力f ＝0.1判断洛伦兹力的方向一定要分清电荷的正、负.2应用公式f ＝qvB 计算洛伦兹力，一定要注意公式的条件.【针对训练】1．带电荷量为＋q 的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是( ) A ．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同B ．如果把＋q 改为－q ，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变C ．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直D ．粒子在只受到洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变【解析】 因为洛伦兹力的大小不但与粒子速度大小有关，而且与粒子速度的方向有关，如当粒子速度与磁场垂直时F ＝qvB ，当粒子速度与磁场平行时F ＝0.又由于洛伦兹力的方向永远与粒子的速度方向垂直，因而速度方向不同时，洛伦兹力的方向也不同，所以A 选项错．因为＋q 改为－q 且速度反向，由左手定则可知洛伦兹力方向不变，再由F ＝qvB 知大小不变，所以B 项正确．因为电荷进入磁场时的速度方向可以与磁场方向成任意夹角，所以C 选项错．因为洛伦兹力总与速度方向垂直，因此洛伦兹力不做功，粒子动能不变，但洛伦兹力可改变粒子的运动方向，使粒子速度的方向不断改变，所以D 项错．【答案】 B带电粒子在匀强磁场中的运动1.洛伦兹力的特点洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功． 2．粒子的运动性质(1)若v 0∥B ，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动． (2)若v 0⊥B ，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动． 3．半径和周期公式(1)洛伦兹力方向总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用．根据牛顿第二定律，其表达式为qvB ＝m v 2r.(2)半径公式r ＝mv qB，周期公式T ＝2πmqB.错误!【针对训练】2．(xx·大纲全国高考)质量分别为m 1和m 2、电荷量分别为q 1和q 2的两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动．已知两粒子的动量大小相等．下列说法正确的是( )A ．若q 1＝q 2，则它们做圆周运动的半径一定相等B ．若m 1＝m 2，则它们做圆周运动的半径一定相等C ．若q 1≠q 2，则它们做圆周运动的周期一定不相等D ．若m 1≠m 2，则它们做圆周运动的周期一定不相等【解析】 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由qvB ＝m v 2r 得r ＝mvqB，同一匀强磁场，即B 相等，又因为两粒子的动量大小相等，所以有r ∝1q，若q 1＝q 2，则r 1＝r 2，故A 选项正确，B 选项错误；由周期公式T ＝2πm qB ，由于B 相等，2π为常数，所以T ∝mq，故C 、D 选项错误．【答案】 A(对应学生用书第142页)对洛伦兹力的进一步理解1.洛伦兹力和安培力的关系洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现．2．洛伦兹力方向的特点(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面．(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向．对应力内容比较项目洛伦兹力f 电场力F性质磁场对在其中运动电荷的作用力电场对放入其中电荷的作用力产生条件v≠0且v与B不平行电场中的电荷一定受到电场力作用大小f＝qvB(v⊥B)F＝qE 力方向与场方向的关系一定是f⊥B，f⊥v 正电荷所受电场力方向与电场方向相同，负电荷所受电场力方向与电场方向相反做功情况任何情况下都不做功可能做正功、负功，也可能不做功力为零时场的情况f为零，B不一定为零F为零，E一定为零作用效果只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向(1)洛伦兹力方向与速度方向一定垂直，而电场力的方向与速度方向无必然XXX．电场力的方向总是沿电场线的切线方向．(2)安培力是洛伦兹力的宏观表现，但各自的表现形式不同，洛伦兹力对运动电荷永远不做功，而安培力对通电导线可以做正功，可以做负功，也可以不做功．(xx·广东高考)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图8－2－2中虚线所示．下列表述正确的是( )图8－2－2A．M带负电，N带正电B．M的速率小于N的速率C．洛伦兹力对M、N做正功D．M的运行时间大于N的运行时间【审题视点】(1)两粒子在磁场中偏转方向相反，带电性质一定不同．(2)两粒子在磁场中运动半径不同，半径越大，速度越大．(3)洛伦兹力不做功，粒子的周期和粒子运动的半径、速度无关．【解析】由左手定则知M带负电，N带正电，选项A正确；带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且向心力F 向＝F 洛，即mv 2r ＝qvB 得r ＝mvqB，因为M 、N 的质量、电荷量都相等，且r M ＞r N ，所以v M＞v N ，选项B 错误；M 、N 运动过程中，F 洛始终与v 垂直，F 洛不做功，选项C 错误；由T ＝2πmqB知M 、N 两粒子做匀速圆周运动的周期相等且在磁场中的运动时间均为T2，选项D 错误．【答案】 A 【即学即用】1．(xx·深圳调研)如图8－2－3所示，电子枪射出的电子束进入示波管，在示波管正下方有竖直放置的通电环形导线，则示波管中的电子束将( )图8－2－3A ．向上偏转B ．向下偏转C ．向纸外偏转D ．向纸里偏转【解析】 环形导线在示波管处产生的磁场方向垂直于纸面向外，由左手定则可判断，电子受到的洛伦兹力向上，故A 正确．【答案】 A带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动分析 1．运动特点带电粒子以垂直于磁场方向进入磁场，其轨迹是一段圆弧． 2．圆心的确定(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心． (2)常用的两种方法①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－4所示，图中P 为入射点，M 为出射点)．图8－2－4 图8－2－5②已知入射点、入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－5所示，P 为入射点，M 为出射点)．(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动①直线边界(进出磁场具有对称性，如图8－2－6)图8－2－6②平行边界(存在临界条件，如图8－2－7)图8－2－7③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图8－2－8)图8－2－83．半径的确定(1)做出带电粒子在磁场中运动的几何关系图．(2)运用几何知识(勾股定理、正余弦定理、三角函数)通过数学方法求出半径的大小． 4．运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：t ＝α360°T (或t ＝α2πT )．(xx·安徽高考)如图8－2－9所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角．现将带电粒子的速度变为v3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )图8－2－9A.12Δt B ．2Δt C.13Δt D ．3Δt 【审题视点】 (1)带电粒子在圆形边界的匀强磁场中运动，沿半径方向进入磁场． (2)确定了圆心角，就能确定粒子在磁场中的运动时间．【解析】 设带电粒子以速度v 进入磁场做圆周运动，圆心为O 1，半径为r 1，则根据qvB ＝mv 2r，得r 1＝mv qB ，根据几何关系得R r 1＝tan φ12，且φ1＝60°.当带电粒子以13v 的速度进入时，轨道半径r 2＝m ·13vqB ＝mv 3qB ＝13r 1，圆心在O 2，则R r 2＝tan φ22.即tan φ22＝R r 2＝3R r 1＝3tan φ12＝ 3.故φ22＝60°，φ2＝120°；带电粒子在磁场中运动的时间t ＝φ360°T ，所以Δt 2Δt 1＝φ2φ1＝21，即Δt 2＝2Δt 1＝2Δt ，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．【答案】 B带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题程序——三步法 (1)画轨迹：即确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹．(2)找XXX ：轨道半径与磁感应强度、运动速度相XXX ，偏转角度与圆心角、运动时间相XXX ，在磁场中运动的时间与周期相XXX ．(3)用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式． 【即学即用】2．如图8－2－10所示，匀强磁场的边界为平行四边形ABDC ，其中AC 边与对角线BC 垂直，一束电子以大小不同的速度沿BC 从B 点射入磁场，不计电子的重力和电子之间的相互作用，关于电子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是( )图8－2－10A ．入射速度越大的电子，其运动时间越长B ．入射速度越大的电子，其运动轨迹越长C ．从AB 边出射的电子的运动时间都相等D ．从AC 边出射的电子的运动时间都相等【解析】 电子以不同的速度沿BC 从B 点射入磁场，若电子从AB 边射出，画出其运动轨迹由几何关系可知在AB 边射出的粒子轨迹所对的圆心角相等，在磁场中的运动时间相等，与速度无关，C 对，A 错；从AC 边射出的电子轨迹所对圆心角不相等，且入射速度越大，其运动轨迹越短，故在磁场中的运动时间不相等，B 、D 错．【答案】 C(对应学生用书第144页)“圆形”有界磁场中的临界问题图8－2－11核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内，通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)．如图8－2－11所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内，设环状磁场的内半径为R 1＝0.5 m ，外半径R 2＝1.0 m ，磁感应强度B ＝1.0 T ，若被束缚带电粒子的比荷为q m＝4.0×107C/m ，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，试求：(1)若粒子沿环状的半径方向射入磁场，则不能穿越磁场的最大速度为多大？ (2)若粒子速度方向不受限制，则粒子不能穿越磁场的最大速度为多大？【潜点探究】 (1)若粒子沿环状的半径方向射入磁场，刚好不穿出磁场，则粒子的轨迹必须要与外圆相切．(2)当粒子的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，是所有粒子沿各个方向都不能穿越磁场的最大速度．(3)画出粒子运动轨迹，利用几何关系找出粒子在磁场中运动的半径是解题的关键． 【规范解答】甲(1)轨迹如图甲所示．设粒子的轨道半径为r 1.由几何知识得r 21＋R 21＝(R 2－r 1)2，得r 1＝0.375 m由牛顿第二定律qBv 1＝m v 21r 1得v 1＝1.5×107m/s所求粒子不能穿越磁场的最大速度为v 1＝1.5×107m/s.乙(2)设粒子的轨道半径为r 2，如图乙所示．由几何知识得r 2＝R 2－R 12＝0.25 m由qBv 2＝m v 22r 2得v 2＝1.0×107m/s即所有粒子不能穿越磁场的最大速度为1.0×107m/s.【答案】 (1)1.5×107 m/s (2)1.0×107m/s带电粒子在匀强磁场中运动问题的规范求解(1)一般解题步骤①分析磁场的边界条件，结合粒子进出磁场的条件画出带电粒子运动轨迹，确定圆心．根据几何关系求解半径、圆心角等．②根据洛伦兹力提供向心力建立动力学方程，分析已知量和未知量的关系． ③求解未知量，并进行必要的分析验证． (2)应注意的问题①不同边界条件，粒子运动临界条件不同，应画图加以说明． ②所用几何关系不需要进行证明． 【即学即用】3．(xx 届黄冈中学质检)带电粒子的质量m ＝1.7×10－27 kg ，电荷量q ＝1.6×10－19C ，以速度v ＝3.2×106 m/s 沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B ＝0.17 T ，磁场的宽度l ＝10 cm ，如图8－2－12所示．图8－2－12(1)求带电粒子离开磁场时的速度和偏转角；(2)求带电粒子在磁场中运动的时间以及出磁场时偏离入射方向的距离．【解析】 粒子所受的洛伦兹力F ＝qvB ＝8.7×10－14 N ，远大于粒子所受的重力G ＝1.7×10－26N ，因此重力可忽略不计．(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度仍为3.2×106m/s由qvB ＝m v 2r得轨道半径r ＝mv qB ＝1.7×10－27×3.2×1061.6×10－19×0.17 m ＝0.2 m 由图可知偏转角θ满足sin θ＝l r ＝0.10.2＝0.5，故θ＝30°.(2)带电粒子在磁场中运动的周期T ＝2πmqB可见带电粒子在磁场中运动的时间t ＝(30°360°)T ＝112Tt ＝πm 6qB ＝ 3.14×1.7×10－276×1.6×10－19×0.17 s ＝3.3×10－8 s 离开磁场时偏离入射方向的距离d ＝r (1－cos θ)＝0.2×(1－32) m ＝2.7×10－2 m.【答案】 (1)3.2×106 m/s 30° (2)3.3×10－8 s 2.7×10－2m(对应学生用书第145页)●洛伦兹力方向的判断1．如图8－2－13所示，对应的四种情况中，对各粒子所受洛伦兹力的方向的描述，其中正确的是( )图8－2－13A ．垂直于v 向右下方B ．垂直于纸面向里C ．垂直于纸面向外D ．垂直于纸面向里【解析】 由左手定则可判断A 图中洛伦兹力方向垂直于v 向左上方，B 图中洛伦兹力垂直于纸面向里，C 图中垂直于纸面向里，D 图中垂直于纸面向里，故B 、D 正确，A 、C 错误．【答案】 BD●洛伦兹力的特点及效果2．带电粒子垂直匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用．下列表述正确的是( ) A ．洛伦兹力对带电粒子做功B ．洛伦兹力不改变带电粒子的动能C ．洛伦兹力的大小与速度无关D ．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向【解析】 根据洛伦兹力的特点，洛伦兹力对带电粒子不做功，A 错，B 对．根据F ＝qvB ，可知洛伦兹力的大小与速度有关，C 错．洛伦兹力的效果就是改变物体的运动方向，不改变速度的大小，D 错．【答案】 B●带电粒子在匀强磁场中的运动3．(xx·北京高考)处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动．将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值( )A ．与粒子电荷量成正比B ．与粒子速率成正比C ．与粒子质量成正比D ．与磁感应强度成正比【解析】 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝2πmqB，该粒子运动等效的环形电流I ＝q T ＝q 2B 2πm ，由此可知，I ∝q 2，故选项A 错误；I 与速率无关，选项B 错误；I ∝1m，即I 与m 成反比，故选项C 错误；I ∝B ，选项D 正确．【答案】 D●带电粒子在直线单边界磁场的运动4．(xx·咸阳检测)两个带电粒子以同一速度、同一位置进入匀强磁场，在磁场中它们的运动轨迹如图8－2－14所示．粒子a 的运动轨迹半径为r 1，粒子b 的运动轨迹半径为r 2，且r 2＝2r 1，q 1、q 2分别是粒子a 、b 所带的电荷量，则( )图8－2－14A ．a 带负电、b 带正电，比荷之比为q 1m 1∶q 2m 2＝2∶1B ．a 带负电、b 带正电，比荷之比为q 1m 1∶q 2m 2＝1∶2C ．a 带正电、b 带负电，比荷之比为q 1m 1∶q 2m 2＝2∶1D ．a 带正电、b 带负电，比荷之比为q 1m 1∶q 2m 2＝1∶1【解析】 根据磁场方向及两粒子在磁场中的偏转方向可判断出a 、b 分别带正、负电，根据半径之比可计算出比荷之比为2∶1.【答案】 C●带电粒子在磁场中运动的临界问题5．(xx 届珠海一中检测)如图8－2－15所示，直角三角形OAC (α＝30°)区域内有B ＝0.5 T 的匀强磁场，方向如图所示．两平行极板M 、N 接在电压为U 的直流电源上，左板为高电势．一带正电的粒子从靠近M 板由静止开始加速，从N 板的小孔射出电场后，垂直OA 的方向从P 点进入磁场中．带电粒子的比荷为q m＝105C/kg ，OP 间距离为L ＝0.3 m ．全过程不计粒子所受的重力，则：图8－2－15(1)若加速电压U ＝120 V ，通过计算说明粒子从三角形OAC 的哪一边离开磁场？ (2)求粒子分别从OA 、OC 边离开磁场时粒子在磁场中运动的时间． 【解析】(1)如图所示，当带电粒子的轨迹与OC 边相切时为临界状态，设临界半径为R ，加速电压U 0，则有：R ＋Rsin α＝L ，解得R ＝0.1 m ，真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。
第28讲磁场对运动电荷的作用【考点整合】一、洛仑兹力的大小和方向1、洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。
2、洛仑兹力的大小。
（1）洛仑兹力计算式为F＝qvBsinθ，其中θ为v与B之间的夹角；（2）当θ＝0°时，v∥B，F＝0；当θ＝90°时，v⊥B，F最大，最大值F max＝qvB。
3、洛仑兹力的方向。
（1）左手定则：伸开左手，使大拇指和其余四指垂直，并且都跟手掌在同一平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入掌心，四指指向正电荷的运动方向，那么，大拇指所指的方向就是正电荷所受洛仑兹力的方向；如果运动电荷为负电荷，则四指指向负电荷运动的反方向。
（2）F、v、B三者方向间的关系。
已知v、B的方向，可以由左手定则确定F的唯一方向：F⊥v、F⊥B、则F垂直于v和B所构成的平面（如图所示）；但已知F和B的方向，不能唯一确定v的方向，由于v可以在v和B所确定的平面内与B成不为零的任意夹角，同理已知F和v的方向，也不能唯一确定B的方向。
二、洛仑兹力的特性1、无论电荷的速度方向与磁场方向间的关系如何，洛仑兹力的方向永远与电荷的速度方向垂直，因此洛仑兹力只改变运动电荷的速度方向，不对运动电荷作功，也不改变运动电荷的速率和动能。
所以运动电荷垂直磁感线进入匀强磁场仅受洛仑磁力作用时，一定作匀速圆周运动。
2、洛仑兹力是一个与运动状态有关的力，这与重力、电场力有较大的区别，在匀强电场中，电荷所受的电场力是一个恒力，但在匀强磁场中，若运动电荷的速度大小或方向发生改变，洛仑兹力是一个变力。
3、洛伦兹力与安培力之间的关系：洛伦兹力是安培力的微观解释，安培力是洛伦兹力的宏观表现。
利用电流的微观表达式，安培力的公式和洛伦兹力的公式可以相互推导。
三、带电粒子在匀强磁场中的运动1、在不计带电粒子（如电子、质子、α粒子等基本粒子）的重力的条件下，带电粒子在匀强磁场有三种典型的运动，它们决定于粒子的速度（v）方向与磁场的磁感应强度（B）方向的夹角（θ）。
第2课时 磁场对运动电荷的作用[知 识 梳 理]知识点一、洛伦兹力、洛伦兹力的方向和洛伦兹力的公式 1．洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
2．洛伦兹力的方向 (1)判定方法：左手定则： 掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 拇指——指向洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F ⊥B ，F ⊥v ，即F 垂直于B 和v 决定的平面。
3．洛伦兹力的大小(1)v ∥B 时，洛伦兹力F ＝0。
(θ＝0°或180°) (2)v ⊥B 时，洛伦兹力F ＝qvB 。
(θ＝90°) (3)v ＝0时，洛伦兹力F ＝0。
知识点二、带电粒子在匀强磁场中的运动1．若v ∥B ，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。
2．若v ⊥B ，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v 做匀速圆周运动。
3．半径和周期公式：(v ⊥B )知识点三、质谱仪和回旋加速器 1．质谱仪图1(1)构造：如图1所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。
(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式qU ＝12mv 2。
粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB ＝mv 2r。
由两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷。
r ＝1B2mUq ，m ＝qr 2B 22U ，q m ＝2U B 2r2。
2．回旋加速器(1)构造：如图2所示，D 1、D 2是半圆金属盒，D 形盒的缝隙处接交流电源。
D 形盒处于匀强磁场中。
图2(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动的过程中一次一次地经过D 形盒缝隙，两盒间的电势一次一次地反向，粒子就会被一次一次地加速。
由qvB ＝mv 2R ，得E km ＝q 2B 2R 22m，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度和D 形盒半径决定，与加速电压无关。
第2讲 磁场对运动电荷的作用板块一 主干梳理·夯实基础【知识点1】 洛伦兹力、洛伦兹力的方向 Ⅰ洛伦兹力公式 Ⅱ1.定义：运动电荷在磁场中所受的力.2.方向(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向.(2)方向特点：F ⊥B ，F ⊥v .即F 垂直于B 和v 所决定的平面.(注意B 和v 可以有任意夹角). 由于F 始终垂直于v 的方向，故洛伦兹力永不做功.3.洛伦兹力的大小：F ＝q v B sin θ其中θ为电荷运动方向与磁场方向之间的夹角.(1)当电荷运动方向与磁场方向垂直时，F ＝q v B .(2)当电荷运动方向与磁场方向平行时，F ＝0.(3)当电荷在磁场中静止时，F ＝0.【知识点2】 带电粒子在匀强磁场中的运动 Ⅱ1.若v ∥B ，带电粒子以入射速度v 做匀速直线运动.2.若v ⊥B ，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v 做匀速圆周运动.3.基本公式(1)向心力公式：q v B ＝m v 2r .(2)轨道半径公式：r ＝m v Bq. (3)周期公式：T ＝2πr ＝2πm qB ；f ＝1T ＝qB 2πm；ω＝2πT ＝2πf ＝qB m . (4)T 、f 和ω的特点：T 、f 和ω的大小与轨道半径r 和运行速率v 无关，只与磁场的磁感应强度B 和粒子的比荷q m 有关.比荷q m相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中T 、f 、ω相同. 板块二 考点细研·悟法培优考点1洛伦兹力的特点及应用[对比分析]1.洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面.(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化.(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用.(4)用左手定则判断洛伦兹力方向，注意四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向.(5)洛伦兹力一定不做功.2.洛伦兹力与电场力的比较例1(多选)一个带正电的小球沿光滑绝缘的桌面向右运动，速度方向垂直于一个水平向里的匀强磁场，如图所示，小球飞离桌面后落到地板上，设飞行时间为t1，水平射程为x1，着地速度为v1.撤去磁场，其余的条件不变，小球飞行时间为t2，水平射程为x2，着地速度为v2，则下列说法正确的是()A.x1>x2B．t1>t2C.v1和v2大小相等D．v1和v2方向相同(1)洛伦兹力对带电小球做功吗？提示：不做功.(2)洛伦兹力的方向与速度方向有何关系？提示：垂直.尝试解答选ABC.当桌面右边存在磁场时，由左手定则可知，带正电的小球在飞行过程中受到斜向右上方的洛伦兹力作用，此力在水平方向上的分量向右，竖直分量向上，因此小球水平方向上存在加速度，竖直方向上的加速度a′<g，由h＝12a′t2知t1>t2；由x1＝v0t1＋12at21，x2＝v0t2知x1>x2，A、B正确；又因为洛伦兹力不做功，故C正确；两次小球着地时速度方向不同，D错误.总结升华洛伦兹力与安培力的联系及区别(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力.(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功.[跟踪训练](多选)如图所示，两个倾角分别为30°和60°的光滑绝缘斜面固定于水平地面上，并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，两个质量为m、带电荷量为＋q的小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放，运动一段时间后，两小滑块都将飞离斜面，在此过程中()A．甲滑块飞离斜面瞬间的速度比乙滑块飞离斜面瞬间的速度大B.甲滑块在斜面上运动的时间比乙滑块在斜面上运动的时间短C.两滑块在斜面上运动的位移大小相同D.两滑块在斜面上运动的过程中，重力的平均功率相等答案 AD解析 小滑块飞离斜面时，洛伦兹力与重力垂直斜面的分力平衡，故：mg cos θ＝q v m B ，解得v m ＝mg cos θqB ，所以斜面倾角越小，飞离斜面瞬间的速度越大，故甲滑块飞离时速度较大，故A 正确；滑块在斜面上运动的加速度恒定不变，由受力分析和牛顿第二定律可得加速度a ＝g sin θ，所以甲的加速度小于乙的加速度，因为甲飞离的最大速度大于乙的最大速度，由v m ＝at 得，甲在斜面上运动的时间大于乙在斜面上运动的时间，故B 错误；由以上分析和x ＝v 2m 2a，甲在斜面上的位移大于乙在斜面上的位移，故C 错误；由平均功率的公式P ＝F v ＝mg ·v m 2sin θ＝m 2g 2sin θ·cos θ2qB，因sin30°＝cos60°，sin60°＝cos30°，故重力的平均功率一定相等，故D 正确.考点2带电粒子在匀强磁场中的运动问题[解题技巧]1.圆心的确定(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和轨迹圆中弦的中垂线一定过圆心.(2)两种常见情形①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图a 所示，图中P 为入射点，M 为出射点).②已知入射点和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图b 所示，图中P 为入射点，M 为出射点).2.半径的确定和计算利用几何知识求出该圆的可能半径(或圆心角)，并注意以下两个重要的几何特点：(1)粒子速度的偏向角φ等于圆心角α，并等于AB 弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt .(2)相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝180°.3.运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧轨迹所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：t ＝α360°T (或t ＝α2πT ). 4.带电粒子在不同边界磁场中的运动(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示).(2)平行边界(存在临界条件，如图所示).(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示).例2 如图所示，在边长为L 的正方形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，有一带正电的电荷，从D 点以v 0的速度沿DB 方向射入磁场，恰好从A 点射出，已知电荷的质量为m ，带电量为q ，不计电荷的重力，则下列说法正确的是( )A.匀强磁场的磁感应强度为m v 0qLB.电荷在磁场中运动的时间为πL v 0C.若减小电荷的入射速度，使电荷从CD 边界射出，电荷在磁场中运动的时间会减小D.若电荷的入射速度变为2v 0，则粒子会从AB 边的中点射出(1)粒子从D 点沿DB 方向射入磁场，恰好从A 点射出，粒子的轨道半径为多少？提示：R ＝L .(2)带电粒子在磁场中运动的时间如何确定？提示：t ＝θ2πT ，其中θ为轨迹所对圆心角. 尝试解答 选A.带正电的电荷从D 点射入，恰好从A 点射出，在磁场中的轨迹半径R ＝L ，由牛顿第二定律Bq v 0＝m v 20R 得B ＝m v 0qL ，A 选项正确.电荷在磁场中运动的时间为t ＝14T ＝14×2πR v 0＝πL 2v 0，B 选项错误.若减小电荷的入射速度，使电荷从CD 边界射出，轨迹所对的圆心角将变大，在磁场中运动的时间会变长，C 选项错误.若v ＝2v 0，则由Bq v ＝m v 2r 得r ＝2L ，如图从F 点射出，设BF ＝x ，由几何关系知r 2＝(r －x )2＋L 2，则x ＝(2－3)L ，D 选项错误.总结升华1.带电粒子在磁场中的匀速圆周运动的分析方法2.作带电粒子运动轨迹时需注意的问题(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点.(2)六条线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线.前面四条边构成一个四边形，后面两条为对角线.(3)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍.[跟踪训练] 如图，半径为R 的圆是圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向外，一电荷量为q (q >0)、质量为m 的粒子沿平行于直径ab 的方向射入磁场区域，射入点与ab 的距离为R 2.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为90°，则粒子的速率为(不计重力)( )A.qBR 2mB.(3－1)qBR 2mC.qBR mD.(3＋1)qBR 2m答案 B解析 如图，设粒子射入点为P ，射出点为Q ，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为90°，则∠QPO ′＝∠PQO ′＝45°，PQ 为公共弦长，连接OO ′，则OO ′⊥PQ ，则∠OO ′P＝45°，延长O ′P 交ab 于M ，连接OP ，OP ＝R ，MP ＝R 2，则OM ＝32R ，MO ′＝OM ＝32R ，由几何关系得32R ＝R 2＋r ，那么r ＝3－12R ，由Bq v ＝m v 2r 得v ＝(3－1)BqR 2m ，故B 选项正确.考点3带电粒子在磁场中运动的多解问题[解题技巧]1.带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解.如图甲，带电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a ，如带负电，其轨迹为b.2．磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时由于磁感应强度方向不确定形成多解.如图乙，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b.3.临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成了多解，如图丙所示.4.运动的周期性形成多解带电粒子在电场和磁场的组合场空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解.如图丁所示. 例3[2017·哈三中模拟]如图所示，边界PQ以上和MN以下空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度均为4B，PQ、MN间距离为23d，绝缘板EF、GH厚度不计，间距为d，板长略小于PQ、MN间距离，EF、GH之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.有一个质量为m的带正电的粒子，电量为q，从EF的中点S射出，速度与水平方向成30°角，直接到达PQ 边界并垂直于边界射入上部场区，轨迹如图所示，以后的运动过程中与绝缘板相碰时无能量损失且遵循反射定律，经过一段时间后该粒子能再回到S点.(粒子重力不计)求：(1)粒子从S 点出发的初速度v ；(2)粒子从S 点出发第一次再回到S 点的时间；(3)若其他条件均不变，EF 板不动，将GH 板从原位置起向右平移，且保证EFGH 区域内始终存在垂直纸面向里的匀强磁场B ，若仍需让粒子回到S 点(回到S 点的运动过程中与板只碰撞一次)，则GH 到EF 的垂直距离x 应满足什么关系？(用d 来表示x )(1)粒子垂直边界PQ 从G 点进入上部场区，在上部场区完成部分圆周运动后如何重新回到EF 、GH 之间的磁场区域？提示：从E 点垂直边界PQ 回到EF 、GH 之间的磁场区域.(2)如果EF 不动，GH 右移，只与板碰一次回到S ，造成多解的情况有哪些？提示：与板碰时的速度情形还有周期性带来的多解.尝试解答 (1)2Bqd m (2)11πm 6Bq(3)x ＝(3n ＋1)d (n ＝0,1,2…)或x ＝3nd (n ＝0,1,2…). (1)L ＝23d ，且S 为中点，设带电粒子在EF 、GH 之间的磁场中运动时轨迹半径为R 1.由图知：R 1sin60°＝3d ，R 1＝2d 洛伦兹力提供向心力： q v B ＝m v 2R 1，R 1＝m vqB ，得：v ＝qBR 1m ＝2qBdm .(2)如图，粒子应从G 点进入PQ 以上的磁场，设带电粒子在4B 场区轨迹半径为R 2. 在4B 场内，q 4B v ＝m v 2R 2，R 2＝m v q 4B ＝R 14＝d2做半圆，并垂直PQ 再由E 点回到B 场区由对称性，粒子将打到GH 中点并反弹，再次回到S 点的轨迹如图. 粒子在B 场中时间t 1＝4×16T 1＝23T 1＝23×2πm qB ＝4πm3qB粒子在4B 场中时间 t 2＝2×12T 2＝T 2＝2πm q 4B ＝πm 2qBt 总＝t 1＋t 2＝11πm6qB. (3)如图所示，由粒子运行的周期性以及与板碰撞遵循反射定律，有如下结果：x ＝(3n ＋1)d ，(n ＝0,1,2…)或x ＝3nd ，(n ＝0,1,2…). 总结升华求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解性形成原因. (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性).(3)若为周期性的多解问题，寻找通项式，若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件.[跟踪训练] 如图甲所示，M 、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d ，两板中央各有一个小孔O 、O ′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示(垂直于纸面向里的磁场方向为正方向).有一群正离子在t ＝0时垂直于M 板从小孔O 射入磁场，已知正离子质量为m ，带电荷量为q ，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力.求：(1)磁感应强度B 0的大小；(2)若正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场所用的时间最短，请画出其运动轨迹并求出该最短时间；(3)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v 0的可能值. 答案 (1)B 0＝2πm qT 0 (2)T 0 (3)v 0＝πd2nT 0(n ＝1,2,3…) 解析 (1)设离子轨道半径为R ，洛伦兹力提供向心力：B 0q v 0＝m v 20R做匀速圆周运动的周期T 0＝2πRv 0由以上两式得：B 0＝2πmqT 0. (2)轨迹如下图，最短时间t min ＝T 0.(3)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，两板之间正离子只运动一个周期即T 0时，R ＝d4.当两板之间正离子运动n 个周期，即nT 0时， R ＝d4n(n ＝1,2,3…) B 0q v 0＝m v 20R联立得正离子的速度的可能值为v 0＝B 0qR m ＝πd2nT 0(n ＝1,2,3…). 考点4带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题[解题技巧]1.以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹、定好圆心，建立几何关系.2.寻找临界点常用的结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. (3)当速度v 变化时，圆心角越大的，运动时间越长.例4 (多选)如图所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S .某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间后有大量粒子从边界OC 射出磁场.已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间可能为( )A.T 3B.T 4C.T 6D.T 8(1)所有粒子的射出速度大小相同，所以弧长越长时间越长，沿哪一方向射出的时间最长？提示：沿SA 方向.(2)弧长最短的时间最短，如何确定最短弧长？提示：v 大小一定，则半径r 一定，那么弦长最短时弧长最短.尝试解答 选ABC.粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，由于所有粒子的速度大小相同，故弧长越小，粒子在磁场中运动的时间就越短，由于粒子在磁场中运动的最长时间为T2，沿SA 方向射出的粒子在磁场中运动时间最长.如图所示，作出粒子运动轨迹图，由几何关系可知当粒子在磁场中做圆周运动绕过的弧所对应的弦垂直边界OC 时，粒子在磁场中运动时间最短，由于SD ⊥OC ，则SD ＝12ES ，即弦长SD 等于半径O ′D 、O ′S ，相应∠DO ′S ＝60°，即最短时间为t ＝60°360°T ＝T6，粒子在磁场中运动的时间范围T 6≤t ≤T 2，A 、B 、C 正确.总结升华1.分析临界问题要注意(1)从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律.(2)数学方法和物理方法的结合.如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值. 2.画图及求解半径的两点技巧(1)利用好直线边界的对称性：从一直线边界射入匀强磁场中的粒子，从同一直线边界射出时，速度与直线边界的夹角相等，即射入和射出具有对称性，单直线边界磁场满足这一特点；双直线边界磁场和三角形、矩形边界磁场中，粒子从一个边界进入，若仍然从这条直线边界返回，则满足初末速度与直线边界的夹角相等，若不从原边界射出，则会从其他边界射出磁场.(2)充分利用切点：切点处速度方向和向心力的方向是明确的，带电粒子在有界磁场中的运动通常出现的情况是恰好与某边界相切，此时做出运动轨迹，利用几何关系可以确定半径，之后根据r ＝m vqB 可以确定速度或磁感应强度，此时利用的一般是包含半径和已知某几何尺寸的直角三角形. [跟踪训练] [2017·南昌模拟]如图所示，在x >0，y >0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B .现有一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，从x 轴上的某点P 沿着与x 轴正方向成30°角的方向射入磁场.不计重力的影响，则下列有关说法中正确的是( )A.只要粒子的速率合适，粒子就可能通过坐标原点B.粒子在磁场中运动所经历的时间一定为5πm3qBC.粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πmqB D.粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πm6qB答案 C解析 带正电的粒子从P 点沿与x 轴正方向成30°角的方向射入磁场中，则圆心在过P 点与速度方向垂直的直线上，如图所示，粒子在磁场中要想到达O 点，转过的圆心角肯定大于180°，因磁场有边界，故粒子不可能通过坐标原点，故A 错误；由于P 点的位置不确定，所以粒子在磁场中运动的圆弧对应的圆心角也不同，最大的圆心角是圆弧与y 轴相切时即300°，运动时间为56T ，而最小的圆心角为P 点在坐标原点即120°，运动时间为13T ，而T ＝2πm qB ，故粒子在磁场中运动所经历的时间最长为5πm 3qB ，最短为2πm3qB，C 正确，B 、D 错误.1.模型构建带电粒子在有界磁场中的偏转.此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等.因为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积，最长、最短时间等问题. 2.模型条件(1)在匀强磁场中做匀速圆周运动. (2)磁场有一定范围.(3) 粒子速度大小不变，方向改变，则r ＝m vqB大小不变，但轨迹的圆心位置变化，相当于圆心在绕着入射点滚动.(如图所示)3.模型分类(1)单直线边界型：当粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时以图甲中带负电粒子的运动为例. 规律要点：①最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周且与边界相切时(如图甲中a 点)，切点为带电粒子不能射出磁场的最近点(或恰能射出磁场的临界点).②最值相交：当带电粒子的运动轨迹等于12圆周时，直径与边界相交的点(如图甲中的b 点)为带电粒子射出边界的最远点(距O 最远).(2)双直线边界型：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，以图乙中带负电粒子的运动为例. 规律要点：①最值相切：粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切，如图乙所示. ②对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线.在图乙中，a 、b 之间有带电粒子射出，可求得ab＝22dr －d 2，最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.[2018·贵阳监测]如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点.大量质量为m 、电荷量为＋q 的粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率v 从P 点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于PMQ 圆弧上，PMQ 圆弧长等于磁场边界周长的13.不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为 ( )A.3m v 2qR B.m v qR C.3m v qR D.23m v3qR[答案] D[解析] 这些粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得q v B ＝m v 2r ；从Q 点离开磁场的粒子是这些粒子中离P 点最远的粒子，如图所示，由图中几何关系可知，该粒子的轨迹圆的圆心O ′、磁场圆的圆心O 和点P 构成一个直角三角形，得r ＝R cos30°＝32R ，联立可得B ＝23m v3qR，选项D 正确，选项A 、B 、C 错误.[2017·温州测试]如图所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外.许多质量为m、电荷量为＋q的粒子以相同的速率v沿纸面内由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域.不计重力及粒子间的相互作用.下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝m vqB，正确的图是()答案 D解析如图，从O点水平向左沿x轴负方向射出的粒子，轨迹为圆，和x轴相切于O点，在x 轴上方，半径为R；沿y轴正方向射出的粒子轨迹为半圆，在y轴右侧，和x轴交点距O点为2R，其余方向射入的带电粒子，轨迹圆旋转，最远点在以O为圆心半径为2R的圆周上，故D 正确.。
