2025届甘肃省天水市第一中学八年级数学第一学期期末学业水平测试试题 平测试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，AE 垂直于∠ABC 的平分线交于点D ，交BC 于点E ，CE=13BC ，若△ABC 的面积为2，则△CDE 的面积为（ ）A ．13B ．16C ．18D ．1102．五一”期间，某班同学包租一辆面包车前去东方太阳城游览，面包车的租金为300元，出发时，又增加了4名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了20元车费，若设原来参加游览的同学有x 人，为求x ，可列方程为（ ） A ．300300204x x -=- B ．30030020+4x x -= C ．300300204x x -=-D ．30030020+4x x -= 3．若把分式3xyx y-（,x y 均不为0）中的x 和y 都扩大3倍，则原分式的值是（ ）A ．扩大3倍B ．缩小至原来的13C ．不变D ．缩小至原来的164．下列各式中，是分式的是（ ） A ．3x -B ．xπ-C ．25x+ D ．215x y 5．已知关于x 的分式方程211a x -=+的解是负数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜1B ．a ＞1且a ≠2C ．a ＜3D ．a ＜3且a ≠26．一汽艇保持发动机的功率不变，它在相距30千米的两码头之间流动的河水中往返一次（其中汽艇的速度大于河水流动的速度）所用的时间是t 1，它在平静的河水中行驶60千米所用的时间是t 2，则t 1与t 2的关系是（ ） A ．t 1＞t 2B ．t 1 ＜t 2C ．t 1 =t 2D ．以上均有可能7．化简2x xx 11x+--的结果是 A ．x +1B ．x 1-C ．x -D ．x8．如图，ΔABC 中，AB =AC ，BD =CE ，BE =CF ，若∠A =50°，则∠DEF 的度数是（ ）A ．75°B ．70°C ．65°D ．60°9．如图，△ABC ≌△DCB ，点A 和点D 是对应点，若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝7cm ，则DB 的长为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．7cmD ．5cm10．小明同学把自己的一副三角板（两个直角三角形）按如图所示的位置将相等的边叠放在一起，则α的度数（ ）A ．135°B ．120°C ．105°D ．75°11．点P 是直线y ＝﹣x 2上一动点，O 为原点，则OP 的最小值为（ ） A ．2B 2C ．1D ．2212．下列计算中正确的是（ ） A ．235)x x =（ B ．()239239x yx y -=C ．623x x x ÷=D ．23x x x -⋅=-二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的直角顶点C 的坐标为 (1,0)，点A 在x 轴正半轴上，且2AC =．将ABC ∆先绕点C 逆时针旋转90，再向左平移3个单位，则变换后点A 的对应点的坐标为______．14．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN .连接FN ，并求FN 的长__________．15．如图，矩形OABC 在平面直角坐标系内，其中点()2,0A ，点()0,4C ，点D 和点E 分别位于线段AC ，AB 上，将ABC ∆沿DE 对折，恰好能使点A 与点C 重合．若x轴上有一点P ，能使AEP ∆为等腰三角形，则点P 的坐标为___________．16．若（x -1）x +1=1，则x =______．1720n n 的最小值为___18．等腰三角形的一个角是80︒，则它的底角的度数是______． 三、解答题（共78分）19．（8分）已知x ＝13y ＝3，求下列代数式的值： （1）x 1+1xy+y 1； （1）x 1﹣y 1．20．（8分）列方程解应用题：为宣传社会主义核心价值观，某社区居委会计划制作1200个大小相同的宣传栏．现有甲、乙两个广告公司都具备制作能力，居委会派出相关人员分别到这两个广告公司了解情况，获得如下信息：信息一：甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天；信息二：乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的1.2倍． 根据以上信息，求甲、乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？ 21．（8分）计算（1）()()()1213315335355323-⎛⎫⨯+--+- ⎪ ⎪⎝⎭（2）已知：()()111911,191122x y =+=-，求22x xy y ++的值．22．（10分）如图，已知直线1:23l y x =+，直线2:5l y x =-+，直线1l ，2l 分别交x 轴于B ，C 两点，1l ，2l 相交于点A . （1）求A ，B ，C 三点坐标； （2）求ABCS23．（10分）如图，在ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径画弧，交AD 于F ，分别以B 、F 为圆心，大于12BF 的长为半径画弧，交于点G ，作射线AG 交BC 于点E ，若6BF =，5AB =，求AE 的长为．24．（10分）阅读材料：如图1，ABC ∆中，点D ，F 在边AB 上，点E 在BC 上，BD BE =，ADC α∠=，1802BEF α∠=︒-，延长CA ，EF 交于点G ，GA GF =，求证：AD EF =．分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．①小明的想法是：将BE 放到BEF ∆中，沿等腰BDE ∆的对称轴进行翻折，即作BDH BEF ∠=∠交BC 于H (如图2)②小白的想法是：将BD 放到BDC ∆中，沿等腰BDE ∆的对称轴进行翻折，即作BEH BDC ∠=∠交BD 的延长线于H (如图3)经验拓展：等边ABC ∆中，D 是AC 上一点，连接BD ，E 为BD 上一点，AE AD =，过点C 作CF BD ⊥交BD 的延长线于点F ，60ECF ∠=︒，若BE a =，DF b =，求DE 的长(用含a ，b 的式子表示)．25．（12分）解方程组：（1）2931x y y x +=⎧⎨-=⎩（2）41423243x y x y +=⎧⎪-+⎨-=-⎪⎩26．如图，在平面直角坐标系中，()0A a ，，(0)B b ，，且 a ，b 满足2(1)30a b +++=，直线1l 经过点A 和B ．（1）A 点的坐标为（ ， ），B 点的坐标为（ ， ）；（2）如图1，已知直线2l 经过点A 和 y 轴上一点M ，60MAO ∠=︒ ，点 P 在直线AB 上且位于 y 轴右侧图象上一点，连接 M P ，且=BMP S ∆12ABM S ∆． ①求 P 点坐标；②将AOM 沿直线AM 平移得到'''A O M ∆，平移后的点 'A 与点M 重合，N 为''A M 上的一动点，当3'2M N NP +的值最小时，请求出最小值及此时 N 点的坐标；（3）如图2，将点A向左平移2 个单位到点C，直线3l经过点B和C，点D是点C 关于y轴的对称点，直线4l经过点B和点D,动点Q从原点出发沿着x轴正方向运动，连接BQ，过点C作直线BQ的垂线交y轴于点E，在直线BD上是否存在点G，使得EQG是等腰直角三角形？若存在，求出G点坐标．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】先证明△ADB≌△EBD，从而可得到AD=DE，然后先求得△AEC的面积，接下来，可得到△CDE的面积．【详解】解：如图∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD．∵AE⊥BD，∴∠ADB=∠EDB．在△ADB和△EDB中，∠ABD=∠EBD，BD=BD，∠ADB=∠EDB，∴△ADB≌△EBD，∴AD=ED．∵CE=13BC，△ABC的面积为2，∴△AEC的面积为23．又∵AD=ED，∴△CDE 的面积=12△AEC 的面积=13故选A ． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键． 2、D【解析】设实际参加游览的同学共x 人，则原有的几名同学每人分担的车费为：3004x +元，出发时每名同学分担的车费为：300x，根据每个同学比原来少摊了1元钱车费即可得到等量关系．解：设实际参加游览的同学共x 人， 根据题意得：300x -3004x +=1． 故选D ．“点睛”本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数． 3、A【分析】将原式中x 变成3x ，将y 变成3y ，再进行化简，与原式相比较即可.【详解】由题意得3332733333()x y xy xyx y x y x y⋅⋅==⋅---，所以原分式的值扩大了3倍故选择A. 【点睛】此题考察分式的化简，注意结果应化为最简分式后与原分式相比较. 4、C【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】∵3x -没有分母，xπ-、215x y 分母中不含字母，这三个代数式均为整式；25x+分母中含有字母，是分式． ∴选C 故选：C 【点睛】本题考查了分式的定义，属基础题，正确熟练掌握分式定义是解此题的关键．5、D【分析】先求得分式方程的解，然后再解不等式即可，需要注意分式方程的分母不为4．【详解】解：去分母得：a﹣4＝x+4．解得：x＝a﹣3．∵方程的解为负数，且x+4≠4，∴a﹣3＜4且a﹣3+4≠4．∴a＜3且a≠4．∴a的取值范围是a＜3且a≠4．故选：D．【点睛】本题主要考查了分式方程，已知方程解的情况求参数的值，解题过程中易忽略分式有意义的条件是分母不为4，灵活的求含参数的分式方程的解是解题的关键.6、A【分析】设汽艇在静水中的速度为a千米/小时，水速为b千米/小时，根据题意列出算式，然后再比较大小即可．【详解】汽艇在静水中所用时间t160a =．汽艇在河水中所用时间t13030a b a b =++-．∵t1－t1=230306060ba b a b a a b a b a＞（）（）+-=+-+-0，∴303060a b a b a++-＞，∴t1＞t1．故选A．【点睛】本题考查了分式的减法，根据题意列出汽艇在静水中和河水中所用时间的代数式是解题的关键．7、D【解析】试题分析：()22x x1x x x xxx11x x1x1--+===----．故选D．8、C【分析】首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC=∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE+∠FEC的度数，进而得到∠DEB+∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．【详解】解：∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ，在△DBE 和△ECF 中，BD EC B C EB CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DBE ≌△ECF （SAS ）， ∴∠EFC =∠DEB ， ∵∠A =50°，∴∠C =（180°-50°）÷2=65°， ∴∠CFE +∠FEC =180°-65°=115°， ∴∠DEB +∠FEC =115°， ∴∠DEF =180°-115°=65°， 故选：C ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和的定理，解题关键是熟练掌握三角形内角和是180°． 9、C【分析】根据全等三角形的性质即可求出：AC ＝BD ＝7cm. 【详解】解：∵△ABC ≌△DCB ，AC ＝7cm ， ∴AC ＝BD ＝7cm ． 故选：C ． 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键. 10、C【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算，得到答案． 【详解】由题意得，∠A ＝60°，∠ABD ＝90°﹣45°＝45°， ∴α＝45°+60°＝105°， 故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．11、C【分析】首先判定当OP⊥AB的时候，OP最小，然后根据函数解析式求得OA、OB，再根据勾股定理求得AB，进而即可得出OP.【详解】设直线y=﹣x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小，如图所示：当x=0时，y2，∴点A（02），∴OA2；当y=0时，求得x2，∴点B2，0），∴OB2，∴AB22OA OB+=2．∴OP=OAOBAB⋅=2．故选：C.【点睛】此题主要考查一次函数以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.12、D【分析】每一个选项根据对应的运算法则计算即可【详解】A 选项，根据幂的乘方法则得623)x x =（，故A 错误；B 选项，根据积的乘方法则得()236239x y x y -=，故B 错误；C 选项，根据同底数幂的除法法则得624x x x ÷=，故C 错误；D 选项，根据同底数幂的乘法法则得23x x x -⋅=-，故D 正确；故本题答案：D【点睛】本题综合考察幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法的运算法则，熟记对应的法则是解题的关键二、填空题（每题4分，共24分）13、(2,2)-【解析】先求出点A 的坐标，然后根据旋转的性质求出旋转后点A 的对应点的坐标，继而根据平移的性质即可求得答案.【详解】∵点C 的坐标为(1,0)，2AC =，∴点A 的坐标为(3,0)，如图所示，将Rt ABC ∆先绕点C 逆时针旋转90°，则点'A 的坐标为(1,2)，再向左平移3个单位长度，则变换后点'A 的对应点坐标为(2,2)-，故答案为：(2,2)-．【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质以及旋转的性质是解题的关键.1489【分析】设NC x =，则8DN x ，由翻折的性质可知8EN DN x ==-，在Rt △ENC 中，由勾股定理列方程求解即可求出DN ，连接AN ，由翻折的性质可知FN=AN ，然后在Rt △ADN 中由勾股定理求得AN 的长即可．【详解】解：如图所示，连接AN ，设NC x =，则8DN x ，由翻折的性质可知：8EN DN x ==-，在Rt ENC 中，有222EN EC NC =+，()22284x x -=+，解得：3x =，即5DN cm ． 在Rt 三角形ADN 中， 22228589AN AD ND ， 由翻折的性质可知89FNAN ．【点睛】 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，利用勾股定理的到关于x 的方程是解题的关键． 15、1(0)2-，或9(,0)2 【分析】首先根据矩形和对折的性质得出AC 、AB 、BC 、AD ，然后利用△ADE ∽△ABC ，得出AE ，分类讨论即可得出点P 坐标.【详解】∵矩形OABC ，()2,0A ，()0,4C ∴OA=BC=2，OC=AB=4 ∴22222425AC OA OC =++=由对折的性质，得△ADE 是直角三角形，AD=CD=125ADE=∠ABC=90°，∠DAE=∠BAC∴△ADE ∽△ABC∴AD AE AB AC =552=∴52AE = ∵x 轴上有一点P ，使AEP ∆为等腰三角形，当点P 在点A 左侧时，如图所示：52AP AE == ∴51222OP AP OA =-=-=- ∴点P 坐标为1(0)2-，； 当点P 在点A 右侧时，如图所示：52AP AE == ∴59222OP AP OA =+=+= ∴点P 坐标为9(,0)2； 综上，点P 的坐标是1(0)2-，或9(,0)2故答案为：1(0)2-，或9(,0)2. 【点睛】 此题主要考查利用相似三角形、等腰三角形的性质求点坐标，解题关键是求出AE 的长度.16、2或-1【解析】当x+1=0，即x=-1时，原式=（-2） 0 =1；当x-1=1，x=2时，原式=1 3 =1；当x-1=-1时，x=0，（-1） 1 =-1，舍去．故答案为2或-1．17、1，则1n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为1．∴1n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为1．故答案为1．【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．18、50°或80°【分析】分这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可．【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80︒，①当80︒角为底角时，则该等腰三角形的底角的度数是80︒，②当80︒角为顶角时，则该等腰三角形的底角的度数为：18080502︒-︒=︒， 故答案为：50︒或80︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．三、解答题（共78分）19、（1）16；（1）﹣【分析】（1）根据已知条件先计算出x+y ＝4，再利用完全平方公式得到x 1+1xy+y 1＝（x+y ）1，然后利用整体代入的方法计算；（1）根据已知条件先计算出x+y ＝4，x ﹣y ＝﹣x 1﹣y 1＝（x+y ）（x ﹣y ），然后利用整体代入的方法计算．【详解】（1）∵x ＝1y ＝，∴x+y ＝4，∴x 1+1xy+y 1＝（x+y ）1＝41＝16；（1））∵x ＝1﹣3，y ＝1+3，∴x+y ＝4，x ﹣y ＝﹣13，∴x 1﹣y 1＝（x+y ）（x ﹣y ）＝4×（﹣13）＝﹣83．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟记完全平方公式和平方差公式，利用整体思想方法解决问题是解答的关键．20、甲广告公司每天能制作1个宣传栏，乙广告公司每天能制作2个宣传栏．【解析】设甲广告公司每天能制作x 个宣传栏，则乙广告公司每天能制作1.2x 个宣传栏，然后根据“甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天”列出方程求解即可．【详解】解：设甲广告公司每天能制作x 个宣传栏，则乙广告公司每天能制作1.2x 个宣传栏．根据题意得：解得：x=1．经检验：x=1是原方程的解且符合实际问题的意义．∴1.2x=1.2×1=2． 答：甲广告公司每天能制作1个宣传栏，乙广告公司每天能制作2个宣传栏．【点睛】此题考查了分式方程的应用，找出等量关系为两广告公司的工作时间的差为10天是解题的关键．21、（1）28-；（2）1．【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；（2）先求出x y +和xy 的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得． 【详解】（1）原式()((2213231533523⎡⎤=⨯+---⎢⎥⎣⎦ (()1423754532=⨯+--230=-28=-；（2）(1119,22x y ==， 1122x y ∴+=+= ()11119112224xy =⨯=⨯-=， 则()222x xy y x y xy ++=+-， 22=-，192=-，17=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．22、（1）A 213,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ()5,0；（2）16912ABC S =△． 【分析】（1）分别将y=0代入23y x =+和5y x =-+中即可求得B ，C 的坐标，联立两个一次函数形成二元一次方程组，方程组的解对应的x 值和y 值就是A 点的横坐标和纵坐标；（2）以BC 为底，根据A 点坐标求出三角形的高，利用三角形的面积计算公式求解即可． 【详解】（1）由题意得，令直线1l ，直线2l 中的y 为0，得：132x =-，25x =． 由函数图像可知，点B 的坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()5,0． ∵1l 、2l 相较于点A ． ∴解23y x =+及5y x =-+得：23x =，133y =． ∴点A 的坐标为213,33⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）由（1）可知：3135()22BC =--=，又由函数图像可知111313169||||222312ABC A S BC y =⨯⨯=⨯⨯=△． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组．掌握两个一次函数的交点坐标就是联立它们所形成的二元一次方程组的解是解决此题的关键．23、1．【分析】连接FE,由题中的作图方法可知AE 为∠BAF 的角平分线，结合平行四边形的性质可证明四边形ABEF 为菱形，根据菱形对角线互相垂直平分即可求得AE 的长．【详解】解：如下图，AE 与BF 相交于H ，连接EF ，由题中作图方法可知AE 为∠BAD的角平分线，AF=AB,∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD//BC ，∴∠1=∠2，又∵AE 为∠BAD 的角平分线, ∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=BE ，∵AF=AB,∴AF=BE ，∵AD//BC∴四边形ABEF 为平行四边形∴ABEF 为菱形，∴AE ⊥BF ，1163,2,22BH BF AE AH ==⨯== 在Rt △ABH 中，根据勾股定理2222534AH AB BH =-=-=,∴AE=1．【点睛】本题考查平行四边形的性质定理，菱形的性质和判定，角平分线的有关计算，勾股定理．能判定四边形ABEF 为菱形，并通过菱形的对角线互相垂直平分构建直角三角形利用勾股定理求解是解决此题的关键．24、①证明见解析；②证明见解析；[经验拓展]2ED a b =-．【解析】阅读材料：①先根据三角形全等的判定定理得出BEF BDH ∆≅∆，再根据三角形全等的性质可得,BFE BHD EF DH ∠=∠=，又根据角的和差、等腰三角形的性质得出两组相等的角,HDC ADC DAC DHC α∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AD DH =，最后根据等量代换即可得证；②先根据三角形全等的判定定理得出HBE CBD ∆≅∆，再根据三角形全等的性质可得,EH CD CDB HEB =∠=∠，又根据角的和差、等腰三角形的性质得出两组相等的角,FEH ADC DAC EFH ∠=∠∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AD EF =，即得证；经验拓展：先根据等腰三角形的性质、邻补角的定义得出AEB ADH ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质得出13,24,AH AB ∠=∠∠=∠=，设132α∠=∠=，根据等腰三角形的性质、等边三角形的性质分别求出460,90AHC αα∠=︒-∠=︒-，然后根据角的和差可得30EHC ∠=︒，最后根据等腰三角形的判定与性质得出EF FH a b ==-，从而根据线段的和差即可得出答案．【详解】阅读材料：①小明做法：作=BDH BEF ∠∠交BC 于H ，则1802BDH BEF α∠=∠=︒- BD BE =，B B ∠=∠()BEF BDH ASA ∆≅∆∴,BFE BHD EF DH ∠=∠=∴1802ADH BDH α∠=︒-∠=∴ADC α∠=HDC ADC α∠=∠=∴GA GF =GAF GFA BFE BHD ∠=∠=∠=∠∴180180∴︒-∠=︒-∠，即DAC DHC∠=∠GAF BHD=CD CD∴∆≅∆()ADC HDC AAS∴AD DH=∴=；AD EF∠=∠交BD的延长线于H②小白做法：作BEH BDC=∠=∠,BD BE B B∴∆≅∆HBE CBD ASA()∴=∠=∠,EH CD CDB HEB∠=∠=∴︒-∠=︒-∠，即ADC CEHα180180CDB HEBBEFα∠=︒-1802()∴∠=︒-︒--=1801802FEH aαα∴FEH ADC∠=∠=GA GF∴∠=∠GAF GFA∠=∠∴︒-∠=︒-∠，即DAC EFHGAF GFA180180∆≅∆∴ADC FEH AAS()∴=；AD EF经验拓展：延长BF 至点H ，使得DH BE a ==，连接,AH CHAE AD =AED ADE ∴∠=∠AEB ADH ∠=∠∴()AEB ADH SAS ∆≅∆∴13,24,AH AB ∠=∠∠=∠=∴ABC ∆是等边三角形，设132α∠=∠=5602α∠=︒-∴ 1(1802605)AED ADE α∴∠=∠=︒-∠=︒+ 2460260ααα∠=∠=︒+-=︒-∴,AH AB AB AC ==AH AC ∴=1(1803)902ACH AHC α∠=∠=︒-∠=︒-∴ ()4906030EHC AHC αα︒︒∠=∠-∠=---=︒∴,60CF BD ECF ⊥∠=︒9030CEH ECF ∴∠=︒-∠=︒30EHC CEH ∴∠=∠=︒CE CH =∴CEH ∴∆是等腰三角形EF FH DH DF a b ==-=-∴（等腰三角形的三线合一）2DE EF DF a b b a b =-=--=-∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．25、（1）14x y =⎧⎨=⎩；（2）23x y =⎧⎨=⎩ 【分析】（1）利用加减法消元法和代入消元法求解即可；（2）先把②去分母，然后利用加减法消元法和代入消元法求解即可；【详解】（1）2931x y y x +=⎧⎨-=⎩①②， 由②得31y x ③，③代入①得2(31)9x x ++=，解得1x =，把1x =代入③得314y =+=，∴方程组的解是14x y =⎧⎨=⎩； （2）方程组可化为414346x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②， ①+②得48x =，解得2x =，把2x =代入①得2414y +=，解得3y =， ∴原方程组的解是23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组是解题的关键.26、（1）-1，0；0，-3；（2）①点19()22P -，；②点)(122N ，（3）点G 的坐标为33()22G -，或(21)G -，或(12)G -，． 【分析】（1）根据两个非负数和为0的性质即可求得点A 、B 的坐标；（2）①先求得直线AB 的解析式，根据12BMP ABM S S =求得2AB BP =，继而求得点P 的横坐标，从而求得答案；②先求得直线AM 的解析式及点M '的坐标，过点P 过y 轴的平行线交直线AM 与点N ，过点M '作M H '垂直于PN 的延长线于点H ，求得2NH M N ='，即N NP NH NP PH '+=+=为最小值，即点N 为所求，求得点N 的坐标，再求得PH 的长即可；（3）先求得直线BD 的解析式，设点0Q n （，），同理求得直线BQ 的解析式，求出点E的坐标为()0n -，，证得OQ OE n ==，分∠QGE 为直角、∠EQG 为直角、∠QEG 为直角，三种情况分别求解即可．【详解】（1）∵210a +=（），∴10a +=，30b +=，则13a b =-=-，，故点A 、B 的坐标分别为：()()1003--，、，， 故答案为：10-，；03-，；（2）①直线2l 经过点A 和y 轴上一点M ，60MAO ∠=︒，∴30AMO ∠=︒，由(1)得：点A 、B 的坐标分别为：()()1003--，、，，则1OA =，3OB =， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+，∴03k b b -+=⎧⎨=-⎩解得：33k b =-⎧⎨=-⎩∴直线AB 的解析式为：33y x =--， ∵12BMP ABM S S =∴2AB BP =作PL ⊥y 轴于L ，∴12PL BP OA AB ==， ∴1122PL OA ==， ∴点P 的横坐标为12， 又点P 在直线AB 上， ∴193322y =-⨯-=-， ∴点P 的坐标为1922⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ②由(1)得：点A 、B 的坐标分别为：()()1003--，、，，则1OA =，3OB =， ∴22AM OA ==，33OM OA ==∴点M 的坐标为(03， ，设直线AM 的解析式为：y kx b =+， ∴03k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得：33k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线AM 的解析式为：33y x =+， 根据题意，平移后点123M '（，）， 过点P 过y 轴的平行线交直线AM 与点N ，过点M '作M H '垂直于PN 的延长线于点H ，如图1，∴MH '∥AO ，∵60MAO ∠=︒，∴60M HN MAO ∠=∠='︒， 则360NH M Nsin M N ='︒='， 32M N NP NH NP PH '+=+=为最小值，即点N 为所求， 则点N 的横坐标与点P 的横坐标相同都是12， 点N 在直线AM 上， ∴1333322y =+= ∴点N 的坐标为1332⎛ ⎝⎭， ， ∴9439232H P M P PH y y y y '+=+=+==， 3439N NP NH NP PH '++=+==； （3）根据题意得：点B C D 、、的坐标分别为：033030--（，）、（，）、（，）， 设直线BD 的解析式为：y kx b =+，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BD 的解析式为：3y x =-，设点0Q n （，），同理直线BQ 的解析式为：33y x n =-， ∵CE BQ ⊥，∴设直线CE 的解析式为：3n y x b =-+， 当3x =-时，0y =，则b n =-，则直线CE 的解析式为：3n y x n =-- ， 故点E 的坐标为()0n -，， 即OQ OE n ==，①当QGE ∠为直角时，如下图，∵QGE 为等腰直角三角形，∴GE QG OQ n ===，则点G 的坐标为()n n -，， 将点G 的坐标代入直线BD 的解析式3y x =-并解得：32n =， 故点3322G -（，）；②当EQG ∠为直角时，如下图，作EG QR ⊥于R ，∵QGE 为等腰直角三角形，∴QE QG =，45QEG QGE OQE ∠=∠=∠=︒，∴GE ∥x 轴，OEQ 、RQG 和RQE 都是底边相等的等腰直角三角形， ∴OEQ RQG RQE ≅≅，∴RQ RG RE OQ n ====，则点G 的坐标为()2n n -，， 将点G 的坐标代入直线BD 的解析式3y x =-并解得：1n =，故点21G -（，）； ③当QEG ∠为直角时，如下图，同理可得点G 的坐标为()2n n -，， 将点G 的坐标代入直线BD 的解析式3y x =-并解得：1n =，故点12G -（，）； 综上，点G 的坐标为：3322G -（，）或21G -（，）或12G -（，）． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，待定系数法求函数解析式、涉及到线段和的最值、等腰直角三角形的性质等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．。
