第十六章分式

第十六章分式知识点和典型例习题第一讲 分式的运算【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac ∙=,b c b d bda d a c ac ÷=∙= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x（3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 1-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+. 【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）112---a a a（4）mn mn m n m n n m ---+-+22；（5） 2121111x x x ++++- （6）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。

分式1. 分式的概念（1）如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式。

（2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。

例：()7m n p +为整式，m n c为分式。

2. 分式有意义 分式的分母不能为0，即A B中，0B ≠时，分式有意义。

（因为分母表示除数，除数不能为0）3. 分式的值为0的条件分子为0，且分母不为0，对于A B，即00A B =≠⎫⎬⎭时，0AB=. 4. 分式（数）的基本性质分式（数）的分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式（数），分式（数）的值不变。

,A A M A A M B B MB B M⋅÷==⋅÷（M 为≠0的整式）5. 分式通分应注意（1）通分的依据是分式的基本性质。

（2）通分后的各分式的分母相同。

（3）通分后的各分式分别与原来的分式相等。

（4）通分的关键是确定最简公分母。

（5）分式的通分与分数的通分类似。

6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母①取各分母系数的最小公倍数。

②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。

③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。

（2）将各分式化成相同分母的分式。

7. 分式的约分（1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。

（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。

8. 分子的变号规则 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。

用式子表示为：9. 分式的乘除法则乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

10. 分式的乘方分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即nnna ab b =⎛⎫ ⎪⎝⎭11. 分式的加减（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

16、 1、2分式的基本性质（1）学习目标：1、能类比分数的基本性质，推出分式的基本性质。

2、 理解并掌握分式的基本性质，能进行分式的等值变形。

3、 通过类比分数的基本性质，推出分式的基本性质，在学生已有数学经验 的基础上，提高学生学数学的乐趣。

重点：分式的基本性质及其应用。

难点：利用分式的基本性质，判断分式是否有意义。

一、 预习新知：1、 小学里学过的分数的基本性质的内容是什么？2 22、 分解因式（1）x -2x（ 2）3x +3xy 23、 计算：（1） b （a+b ） （2）（ 3x +3xy ）- 3x4、 你能通过小学里学过的分数的基本性质猜想分式的基本性质吗？试一试。

5、 自主探究：P 5的“思考”。

归纳：分式的基本性质： _____________________________________________________________ 用式子表示为 __________________________________________________________ 。

二、 课堂展示：1、例1、p 5的“例2”2、例2、下列分式的变形是否正确？为什么?3、例3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号:2a-©b匸 的分子与分母各项的系数化为整数。

(1) a -2b (2) -2x 3y (3)钊 -4n (4)— -4m 5n (1)xy 2 a —b ⑵THb (a-b)2 a 2 -b 24、例4、不改变分式的值，使分式三、随堂练习: 1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号: -3x / c 、 2x(1) 、( 2) 、(3)— -3b 2y -2a6x(y z)2 —3( y z) y z 四、课堂检测:1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号/八-2m a (1) = 、(2) 2 - 。

n -b 23、若把分式一丄 中的x 、y 都扩大3倍，那么分式的值是 ______________________x —y4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数。

华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

第十六章 分式16．1．1 从分数到分式知识领航：1．一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式． 2．对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零． 3．由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零．例题解析：【例】当x 取什么值时，下列分式有意义．（1）54+x x ， （2）422+x x.双基淘宝 1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1-πx 中，是分式的有（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④2．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．3．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时． 4. 若分式1-x x无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 5．当x ＜0时，xx ||的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定6.如果分式x 211-的值为负数,则的x 取值范围是( ) A.21≤x B.21<x C.21≥x D.21>x7.当_____时,分式4312-+x x 无意义；当______时,分式68-x x有意义. 8.当_______时,分式534-+x x 的值为1；当______时,分式51+-x 的值为正；当______时分式142+-x 的值为负. 9．分式yx，当字母x 、y 满足______时，值为1；当字母x ，y 满足______时值为－1． 10．若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ）A ．3a ≠2bB ．b a 51=/C ．a b 32-=/ D ．b a 32-=/.综合运用 11.要使分式221yx x -+的值为零，x 和y 的取值范围是什么？12．x 取什么值时，分式)3)(2(5+--x x x （1）无意义？（2）值为零？ （3）值为1？13．学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，那么这笔钱全部用来买钢笔可以买多少支？14．已知分式,by ay +-当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0，求当y ＝－7时分式的值．．拓广创新15．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用x （1≥x ）单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为x+11．现有a （2≥a ）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．16．1．2分式基本性质知识领航：1．分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是：C B C A B A ⋅⋅=CB CA B A ÷÷= （0≠C ） 2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分．约分的依据是分式的基本性质． 3．通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式叫通分。

全章总结一、知识结构图二、专题总结 （一）知识技能专题 ◆专题1：分式运算的常用技巧专题概说：分式的知识通过类比会发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知.由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类比引入学习分式的相关知识.从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧，无一不体现类比思想的重要性，同时运算也是中考的重要内容例1：化简 34241211111x x x x x x +++++-+解：原式=2234241211111x x x x x x x x ++++-++--=2342412121x x x x x x ++++- =2243441)1)412(12(1x x x x x x x x +--+++- =33444141x x x x -++ =344388(1)(1)4141x x x x x x +---+ =7881x x - 点拨：有些异分母分式相加，最简公分母很复杂，如果采用一般方法先通分再加减会很繁琐，甚至无法求出结果，本题先把前面两个分式相加减，再把所得结果与第三个分式相加减，顺次运算下去，即顺次相加法，就容易解决例2：计算：1111+(1)(1)(2)(2)(3)(2009)(2010)a a a a a a a a ++++++++++…解：原式=1111----12320101111+122009a a a a a a a a ++++++++++（））））（（…（ =1111----12320101111+122009a a a a a a a a ++++++++++… =120101a a +—=2010(2010)a a +=220102010a a+ 点拨：对于分子相同，分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，这样的分式无法进行通分，因此，可以用公式：111(1)1n n n n =-++，这样可以抵消一些项，即巧用裂项法；要注意裂项法计算时可能会出现公式：1111(()n n k k n n k=-++）●专题1的即时练习1．计算：2411241-111x x x x ++++++ 2．计算：1271651231222++++++++x x x x x x◆专题2：与增根有关的问题专题概说：分式方程我们通常转化为已经学习过的整式方程来解决．在去分母时，方程两边同时乘以所有分母的最简公分母．这种转化可能是等价转化，也就是说转化前的分式方程的解与转化后的整式方程的解完全一致；也可能是非等价转化，即在将分式方程转化为整式方程的过程中，x 的的取值范围发生了变化，这时整式方程的解不一定是原分式方程的解，这种解题过程中增加的根称为分式方程的增根． 例3：a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？ 解： 在方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x ax x ++=-整理，得(1)10a x -=- 如果方程有增根，则x=2或-2当x=2时，(1)210a -⨯=-，解得4a =- 当x=-2时，(1)(2)10a -⨯-=-，解得6a = 所以，当46a =-或时，原方程会产生增根点拨：分式方程的增根是使最简公分母为零的根，但增根一定是由分式方程得到的整式方程的根。

第十六章分式第一部分：知识点及重难点一、学习目标1、切实掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分。

2、能准确、顺畅地进行分式的乘除、加减以及混合运算。

3、会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算。

4、明确分式方程的步骤，并能列出可化为一元一次方程的分式方程解简单的应用题。

二知识结构网络三重点难点1、分式重点：（1）正确理解分式的概念，分式的值为零和分式有无意义的条件：分式是两整式相除的商式，分数线有除号和括号的作用，比如表示；分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区分一个代数式是整式还是分式的依据，分式的分母不能为0，如分式中是该分式的一个隐含条件当时分式无意义。

（2）准确理解分式的基本性质：要特别注意分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，其值不变。

例如由分式一定可以变形为但由分式就不一定变形为，这是因为分式的分母，一定有而a是分子，有可能等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

如果一个分式的分子或分母没有公因式，则该分式叫做最简分式。

（4）分式的通分：把几个异分母的分式化为与原来相等的同分母的分式的过程称为分式的通分。

分式通分的关键是确定几个分式的最简公分母，找最简公分母要注意以下几点：①各分母所有因式的最高次幂指凡出现的字母或含字母的式子为底数的幂的因式选取指数最大②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。

难点：正确理解分式的概念，在分式的分子与分母同时乘以或除以整式A时，应首先判断A是否为0，分子、分母中的系数都是分数（或小数）时，要把分式化简，都是分数时，应把分子、分母都乘以分子、分母中各系数分母的最小公倍数如，分子、分母中的系数都是小数时，应把分子、分母都乘以可使系数互质的整数。

如2、分式的乘除法重点：分式的乘除运算，其中约分是关键。

分式的知识点解析与培优一、分式的定义：假如A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母,那么式子叫做分式。

BA二、判断分式的依据: 例：下列式子中，、８a 2b 、-、y x +15239ay x b a --25、、2－、、 、、、4322b a -a 2m165xy x 121212+x 、、中分式的个数为( )πxy3yx +3ma 1+A 、 ２ B 、　３ C 、 ４ D 、 5练习题:(1)下列式子中，是分式的有 .（1）275x x -+;　⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -;⑹. (7)78x π+（8)3y y （９)234x +二、分式故意义的条件是分母不为零;【B ≠0】分式没故意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

【B ≠0且Ａ=0 即子零母不零】例２．注意：（≠０）12+x 例1:当x 时，分式故意义； 51-x 例2：分式中，当初，分式没故意义xx -+212____=x 例3：当x 时，分式故意义。

112-x 例４：当x 时,分式故意义12+x x例5:,满足关系 时，分式无意x y x yx y-+义；例6：无论ｘ取什么数时，总是故意义的分式是（ )Ａ. B. C. Ｄ．122+x x 12+x x 133+x x 25x x -例7：使分式2+x x故意义的ｘ的取值范围为（ ）A ．2≠x B.2-≠x C ．2->x D ．2<x 例８：分式无意义，则x 的值为)3)(1(2-+-x x x ( ）A. 2　Ｂ.-１或－3 Ｃ.　-1 D.3三、分式的值为零：使分式值为零：令分子＝0且分母≠0，注意:当分子等于0时，看看是否使分母=0了,假如使分母＝0了,那么要舍去。

例1：当ｘ 时，分式的值为0. 121+-a a例２：当ｘ 时，分式的值为0.112+-x x 例３：假如分式的值为零,则a 的值为（ )　22+-a a A. Ｂ.2 C ．-２ Ｄ..以上全不对2±222xy x y +例4：能使分式的值为零的所有的值是　( )122--x xx x A ． ｘ=0 B.ｘ－１ C ．ｘ＝0 或x=1 Ｄ．或0=x 1±=x 例5：要使分式的值为０，则x 的值为65922+--x x x （ )A.3或-3 Ｂ.3 Ｃ.-3 D 2例6:若，则ａ是（ )01=+aaA.正数B.负数Ｃ．零 Ｄ.任意有理数例9：当X= 时，分式的值为零。