浙教版七年级下数学辅导一 平行线一章培优

4321CDBA第1讲 平行线性质和判定模块一 平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行．这就需要更简单易行的判定方法来判定两条直线平行． 判定方法1： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行．如上图：若已知∠1＝∠2，则AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1＝∠3，则AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1＋∠4＝180°，则AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）．例题1、（1）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）．A ．两直线平行，同位角相等；B ．内错角相等，两直线平行；4321ABC D EF HGNMC ．同旁内角互补，两直线平行；D ．同位角相等，两直线平行．答案：B（2）如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A ＝∠DCE ；④∠D ＝∠DCE ；⑤∠A ＋∠ABD ＝180°；⑥∠A ＋∠ACD ＝180°⑦AB ＝CD ．能说明AC ∥BD 的条件有__________________．答案：②④⑤例题2、如图，已知∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，说明：AB ∥EF ．解：∵∠1＝∠2，（ ）∴AB ∥______．（_______________，__________________） ∵∠3＋∠4＝180°，（）∴CD ∥_______，（_______________，__________________） ∵AB ∥_______，CD ∥_______，（）∴AB ______EF ．（_______________ __________________）答案：已知，CD ，内错角相等，两直线平行。

2021年浙教版七年级下册第1章《平行线》培优训练卷一、选择题1．下列所示的四个图形中，1∠和2∠不是同位角的是（ ）A ．①B ．①C ．①D ．① 2．如图，下列条件：①15∠=∠；①26∠=∠；① 37∠=∠；①48∠=∠，其中能判定//AB CD 的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①① 3．如图，ABC 沿射线BC 方向平移到DEF （点E 在线段BC 上），如果8cm BC =，5cm EC =，那么平移距离为（ ）A ．3cmB ．5cmC ．8cmD ．13cm 4．如图，已知直线//a b ，145∠=︒，265∠=︒，则3∠等于（ ）A ．110°B ．100°C ．130°D ．120°5．如图，//AB CD ，直线MN 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分AEF ∠，EG FG ⊥于点G ，若55BEM ︒∠=，则CFG ∠的度数为（ ）A ．27.5︒B ．65︒C ．62.5︒D ．112.5︒ 6．如图，将ABC 沿AC 方向平移1cm 得到DEF ，若ABC 的周长为10cm ，则四边形ABEF 的周长为（ ）A ．14cmB ．13cmC ．12cmD ．10cm7．如图，AB ①CD ，AC ①BC ，CE ①AB 于点E ．则图中与①1互余的角的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．68．如图，直线//a b ，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，156∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．124︒B ．34︒C ．56︒D ．44︒9．如图，直线AB ①CD ，AE ①CE ，①1＝125°，则①C 等于（ ）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°10．如图，直线a //直线b ，等边三角形ABC 的顶点B 在直线b 上．若①1=20°，则①2的度数为（ ）A ．60°B ．45°C ．40°D ．30°二、填空题 11．如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果①1＝55°，那么①2＝_____°．12．如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，150︒∠=，则2∠=_____．13．一副三角板按如图所示放置，AB①DC ，则①CAE 的度数为_____．14．如图，////AB CD EF ，若32ABE ∠=︒，160ECD ∠=︒，则BEC ∠=______．15．如图，//,,3527'EE MN CA CB EAC ⊥∠=︒，则MBC ∠=____________________．16．如图，直线//a b ，直线c 与直线a 、b 相交．已知1112∠=︒，234∠=︒，则3∠=________度．17．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B 到C 的方向平移到①DEF 的位置，AB ＝10，DO ＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为__18．如图，l 1①l 2，AB ①l 1，垂足为O ，BC 交l 2于点E ，若①ABC ＝125°，则①1＝_____°．三、解答题19．如图，已知直线//AB CD ，E 在线段AD 上，点P 在射线DC 上，且F AEF ∠=∠．求证：BAD CPF ∠=∠．20．阅读并完成下列证明：如图，AB①CD ，①B ＝55°，①D ＝125°，求证：BC①DE ． 证明：AB①CD （ ），①①C ＝①B （ ），又①①B ＝55°（ ），①①C ＝ °（ ），①①D ＝125°（ ），① ，①BC①DE （ ）．21．如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为2米时耕地面积为多少平方米？22．已知：如图，//AB CD ，BD 平分ABC ∠，CE 平分DCF ∠，90ACE ︒∠=．（1）请问BD 和CE 是否平行？请你说明理由；（2）AC 和BD 的位置关系怎样？请说明判断的理由．23．如图1，已知//AB CD ，点E 和点H 分别在直线AB 和CD 上，点F 在直线AB 和CD 之间，连接EF 和HF ．（1）求AEF CHF EFH ∠+∠+∠的度数；（2）如图2，若2AEF CHF EFH ∠+∠=∠，HM 平分CHF ∠交FE 的延长线于点M ，80DHF ∠=︒，求FMH ∠的度数．24．已知，//AB CD ，点M 在AB 上，点N 在CD 上．（1）如图1中，BME E END ∠∠∠、、的数量关系为：________；（不需要证明） 如图2中，BMF F FND ∠∠∠、、的数量关系为：__________；（不需要证明）（2）如图3中，NE 平分FND ∠，MB 平分FME ∠，且2180E F ∠+∠=︒，求FME ∠的度数；（3）如图4中，60BME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分END ∠，且//EQ NP ，则FEQ ∠的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出FEQ ∠的度数．参考答案一、选择题1．C解：选项A 、B 、D 中，①1与①2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 选项C 中，①1与①2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．2．C解：①①15∠=∠，①AB//CD ，故符合题意；①①26∠=∠，①AD//BC ，故不符合题意；∠=∠，①AD//BC，故不符合题意；①① 37∠=∠，①AB//CD，故符合题意；①①483．A解：根据平移的性质，易得平移的距离=BE=8-5=3cm4．A如图，作直线c//a，∠∠∠3=4+5a b，直线c//a，直线//∴//b cc//a，∠∠（两直线平行，内错角相等）1=4b c//∠∠（两直线平行，内错角相等）2=53=4+5=1+2∴∠∠∠∠∠（等量代换）∴∠︒︒︒3=45+65=1105．C解：①AB①CD，①①AEF+①CFE=180°，①①AEF=①BEM=55°，①①CFE=125°，①EG平分①AEF，①①GEF=12①AEF=27.5°，①EG①FG，①①EGF=90°，①①GFE=90°-①GEF=62.5°，①①CFG=①CFE-①GFE=62.5°．6．C解：根据题意，将周长为10cm的①ABC沿AC向右平移1cm得到①DEF，①BE=1cm，AF=AC+CF=AC+1cm，EF=BC；又①AB+AC+BC=10cm，①四边形ABEF的周长=BE+AB+AF+EF=1+AB+AC+1+BC=12cm．7．B解：如图所示：①AB①CD，①①1＝①2，又①EC①AB，①①2+①ACE＝90°，①①1+①ACE＝90°，①①1与①ACE互余；又①AC①BC，①①ACB＝90°，①①CAB+①B＝90°，又①①1＝①CAB，①①1+①B＝90°，①①1与①B互余；又①AB①CD，①①B＝①3，①①1+①3＝90°，①①1与①3互余，综合所述，图中与①1互余的角的个数为3，8．B①a①b，①①1＝①3．①①ABC＝90°，①①2＋①3＝90°，①①2＝90°−①3＝90°−56°＝34°，9．A解：过点E作EF①AB，则EF①CD，如图所示．①EF①AB，①①BAE＝①AEF．①EF①CD，①①C＝①CEF．①AE①CE，①①AEC＝90°，即①AEF+①CEF＝90°，①①BAE+①C＝90°．①①1＝125°，①1+①BAE＝180°，①①BAE＝180°﹣125°＝55°，①①C＝90°﹣55°＝35°．10．C解：如图，过点C作直线c平行于直线a，交AB于点D，①////a b c ，①1BCD ∠=∠，2ACD ∠=∠，①ABC 是等边三角形，①60ACD BCD ∠+∠=︒，①1260∠+∠=︒，①2602040∠=︒-︒=︒．二、填空题11．110如图：由折叠的性质可得，①1＝①3，①①1＝55°，①①1＝①3＝55°，①长方形纸片的两条长边平行，①①2＝①1+①3，①①2＝110°，12．40°解：如图，①三角板的直角顶点放在直尺的一边上，①1=50°，①①3=90°-50°=40°，又①AB①CD，①①2=①3=40°，13．15°解：由图可得①1＝45°，①2＝30°，①AB//DC，①①BAE＝①1＝45°，①①CAE＝①BAE﹣①2＝45°﹣30°＝15°．14．12°解：①AB①EF，①ABE=32°，①①BEF=①ABE=32°；又①CD①EF，①DCE=160°，①①DCE+①CEF=180°，①①CEF=20°；①①BEC=①BEF-①CEF=32°-20°=12°．15．5433'过C 点做EF 的平行线,GH//,EF MN////,EF GH MN ∴3527'EAC ACH ∴∠=∠=，又,CA CB ⊥90,ACB ∴∠=︒5433',HCB ACB ACH ∴∠=∠-∠=︒又//,GH MN 5433'HCB CBM ∴∠=∠=.16．34如图，11//1,2a b ∠=︒，11412∴∠=∠=︒，234∠=︒，3180218011234344∴∠=︒-∠=︒-︒-︒=∠-︒，故答案为：34．17．48.解:由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，①OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，①S四边形ODFC＝S梯形ABEO12=（AB+OE）•BE12=×（10+6）×6＝48．18．35．过B作BF①l2，①l1①l2，①BF①l1①l2，①①ABF=①2，①1=①FBC，①AB①l1，①①2=90°，①①ABF=90°，①①ABC=125°，①①FBC=35°，①①1=35°，三、解答题19．AB CD，证明：①//∠=∠．①BAD ADC①F AEF∠=∠，AD PF，①//∠=∠，①ADC CPF∠=∠．①BAD CPF20．证明：①AB①CD（已知），①①C＝①B（两直线平行，内错角相等），又①①B＝55°（已知），①①C＝55°（等量代换），①①D＝125°（已知），①①C+①D＝180°，①BC①DE （同旁内角互补，两直线平行）． 21．解：平移后得耕地长为()202-米，宽为()322-米， 面积为()()2023221830540-⨯-=⨯=（平方米）． 22．解：（1）//BD CE ．理由：//AB CD ，ABC DCF ∴∠=∠，BD ∴平分ABC ∠，CE 平分DCF ∠，122ABC ∴∠=∠，142DCF ∠=∠， 24∴∠=∠，//BD CE ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）AC BD ⊥，理由：//BD CE ，180DGC ACE ∴∠+∠=︒，90ACE ∠=︒，1809090DGC ∴∠=︒-︒=︒，即AC BD ⊥．23．解：（1）过点F 作FT AB ∥，如图1所示．∴∠+∠=︒．（两直线平行，同旁内角互补）AEF EFT180∥，AB CD∴∥，（平行于同一直线的两条直线互相平行）FT CDTFH CHF∴∠+∠=︒．（两直线平行，同旁内角互补）180又，∠+∠=∠EFT TFH EFH∴∠+∠+∠=︒.AEF CHF EFH360（2）过点M作MN AB，如图2所示．∥，AB CDMN CD∴∥，（平行于同一直线的两条直线互相平行）∴∠=∠，CHM HMNAEM EMN∴∠=∠，（两直线平行，内错角相等）∴∠=∠-∠，FMH HMN EMN∴∠=∠-∠．（等量代换）FMH CHM AEM由题知80DHF ∠=︒，100CHF ∴∠=︒.①HM 平分CHF ∠，50CHM ∴∠=︒.由（1）知360AEF CHF EFH ∠+∠+∠=︒， 2AEF CHF EFH ∠+∠=∠又，100CHF ∠=︒， 140AEF ∴∠=︒.180********AEM AEF ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 504010FMH ∴∠=︒-︒=︒．24．解：（1）过E 作//EH AB ，如图1，BME MEH ∴∠=∠，//AB CD ，//HE CD ∴，END HEN ∴∠=∠，MEN MEH HEN BME END ∴∠=∠+∠=∠+∠， 即BME MEN END ∠=∠-∠．如图2，过F 作//FH AB ，BMF MFK ∴∠=∠，//AB CD ，//FH CD ∴，FND KFN ∴∠=∠，MFN MFK KFN BMF FND ∴∠=∠-∠=∠-∠，即：BMF MFN FND ∠=∠+∠．故答案为BME MEN END ∠=∠-∠；BMF MFN FND ∠=∠+∠．（2）由（1）得BME MEN END ∠=∠-∠；BMF MFN FND ∠=∠+∠． NE 平分FND ∠，MB 平分FME ∠，FME BME BMF ∴∠=∠+∠，FND FNE END ∠=∠+∠，2180MEN MFN ∠+∠=︒，2()180BME END BMF FND ∴∠+∠+∠-∠=︒，22180BME END BMF FND ∴∠+∠+∠-∠=︒，即2180BMF FND BMF FND ∠+∠+∠-∠=︒，解得60BMF ∠=︒，2120FME BMF ∴∠=∠=︒；（3）FEQ ∠的大小没发生变化，30FEQ ∠=︒．由（1）知：MEN BME END ∠=∠+∠， EF 平分MEN ∠，NP 平分END ∠，11()22FEN MEN BME END ∴∠=∠=∠+∠，12ENP END ∠=∠， //EQ NP ，NEQ ENP ∴∠=∠，111()222FEQ FEN NEQ BME END END BME ∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠， 60BME ∠=︒，160302FEQ ∴∠=⨯︒=︒．。

平行线中的四大基本模型重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优）【题型目录】题型一平行线基本模型之M模型题型二平行线四大模型之铅笔模型题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型题型四平行线四大模型之“骨折”模型【经典例题一平行基本模型之M模型】【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左边的角的和=朝向右边的角的和结论3的模型也称为锯齿模型；锯齿模型的变换解题思路拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型【例1】（2023春·山东济宁·七年级统考阶段练习）如图所示，如果AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（）A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．【详解】解：过点E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练】 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线AB 与直线CD 内部有一个点P ，连接BP ．(1)如图1，当点E 在直线CD 上，连接PE ，若B PEC P ∠+∠=∠，求证：AB CD ；(2)如图2，当点E 在直线AB 与直线CD 的内部，点H 在直线CD 上，连接EH ，若ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠，求证：AB CD ；(3)如图3，在（2）的条件下，BG 、EF 分别是ABP ∠、PEH ∠的角平分线，BG 和EF 相交于点G ，EF 和直线AB 相交于点F ，当BP PE ⊥时，若10BFG EHD ∠=∠+︒，36BGE ∠=︒，求EHD ∠的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)18︒.【分析】（1）过点P 作PF AB ∥，推出PEC EPF ∠=∠，进而得PF CD ∥，根据平行公理的推论即可得证； （2）分别过点P 和点E 作PF AB ∥，EM CD ，推出PEM FPE ∠=∠，进而得PF EM ∥，根据平行公理的推论即可得证；（3）过点E 作EN AB ∥，同（1）（2）理证明FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，设EHD α∠=，PBG β∠=，PEG γ∠=，则10BFG α∠=+︒，结合角平分线得2290βγα+=︒+，用含α的式子代替β，γ，代入2290βγα+=︒+即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点P 作PF AB ∥，∴B BPF Ð=Ð，∵B PEC BPE BPF EPF ∠+∠=∠=∠+∠，∴PEC EPF ∠=∠，∴PF CD ∥，∴AB CD ∥；（2）证明：如图，分别过点P 和点E 作PF AB ∥，EM CD ，∴ABP BPF ∠=∠，MEH EHD ∠=∠，∵ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠， 即ABP PEM MEH BPF FPE EHD ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴PEM FPE ∠=∠，∴PF EM ∥，∴EM AB ∥，∴AB CD ∥；（3）如图，过点E 作EN AB ∥，由 (2) 得AB CD ∥，∴EN CD ∥，BFE FEN ∠=∠，NEH EHD ∠=∠，∴FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，设EHD α∠=，PBG β∠=，PEG γ∠=，则10BFG α∠=+︒，∵ BG 、EF 分别是ABP ∠、PEH ∠的角平分线，∴2ABP β∠=，2PEH γ∠=∵BP PE ⊥，∴90P ∠=︒，由 (2) 得ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠，∴2290βγα+=︒+，∵FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，∴10210γααα=+︒+=+︒，∵36BGE ∠=︒，()180FGB BFG FBG ∠=︒−∠+∠，180FGB BGE ∠=︒−∠，∴36BFG FBG BGE ∠+∠=∠=︒，∴1036αβ+︒+=︒，∴26βα=︒−∴()()226221090ααα︒−++︒=︒+，∴18α=︒，即EHD ∠的度数为18︒.【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和，平角定义等知识，添加辅助线，灵活运用平行公理的推论是解题的关键． 2．（2021下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线12l l ∥， A 是l1上的一点，B 是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C 和D ，直线CD 上有一点P ．(1)如果P 点在C ，D 之间运动时，问PAC ∠，APB ∠，PBD ∠有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P 在C ，D 两点的外侧运动时（P 点与C ，D 不重合），试探索PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】(1)PAC PBD APB ∠+∠=∠(2)当点P 在直线1l 上方时，∠−∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠−∠=∠PAC PBD APB ．【分析】（1）过点P 作1PE l ∥，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出12PE l l ∥∥，再由“两直线平行，内错角相等”得出PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P 的两种情况分类讨论：①当点P 在直线1l 上方时；②当点P 在直线2l 下方时，同理（1）可得PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解】（1）解：PAC PBD APB ∠+∠=∠．过点P 作1PE l ∥，如图1所示．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠+∠，PAC PBD APB ∴∠+∠=∠．（2）解：结论：当点P 在直线1l 上方时，∠−∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠−∠=∠PAC PBD APB ．①当点P 在直线1l 上方时，如图2所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB BPE APE ∠=∠−∠，PBD PAC APB ∴∠−∠=∠．②当点P 在直线2l 下方时，如图3所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠−∠，PAC PBD APB ∴∠−∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．3．（2022下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1， AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．(1)求证：EG FG ⊥；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．①在图1的基础上，分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M ，得到图2，则EMF ∠的度数为 ． ②如图3，AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ，则EOF ∠与EPF ∠满足的数量关系为 ．【答案】(1)见解析(2)①45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论EMF BEM MFD ∠=∠+∠求解即可；②利用基本结论EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠，求解即可．【详解】（1）证明：如图，过G 作GH AB ∥，∥AB CD ，AB GH CD ∴∥∥，BEG EGH DFG FGH ∠∠∠∠∴==，，//AB CD ,180BEF DFE ∴∠+∠=︒， EG 平分BEF ∠，FG 平分DFE ∠，12GEB BEF ∴∠=∠，12GFD DFE ∠=∠，111()90222GEB GFD BEF DFE BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， 90EGF GEB GFD ∴∠=∠+∠=︒，EG FG ∴⊥；（2）解：①如图2中，由题意，90BEG DFG ∠+∠=︒， EM 平分BEG ∠，MF 平分DFG ∠，1()452BEM MFD BEG DFG ∴∠+∠=∠+∠=︒，45EMF BEM MFD ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠．理由：如图3中，由题意，EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠， PE 平分BEO ∠，PF 平分DFO ∠，2BEO BEP ∴∠=∠，2DFO DFP ∠=∠，2EOF EPF ∴∠=∠，故答案为：2EOF EPF ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 4．（2020下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB CD ∥，E 为AB 、CD 之间一点，连接AE ，CE 得到AEC ∠．求证：AEC A C ∠=∠+∠小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E 作EF AB ∥∵1A ∠=∠∵AB CD ∥，EF AB ∥∴EF CD ∥∴2C ∠=∠∴12AEC ∠=∠+∠∴AEC A C ∠=∠+∠请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若AB CD ∥，60E ∠=o ，求B C F ∠+∠+∠；(2)如图，AB CD ∥， BE 平分ABG ∠， CF 平分DCG ∠，27G H ∠=∠+，求H ∠．【答案】(1)240(2)51【分析】（1）作EM AB ∥，FN CD ∥，如图，根据平行线的性质得EM AB FN CD ∥∥∥，所以1B ∠=∠，23∠∠=，4180C ∠+∠=，然后利用等量代换计算240B F C ∠+∠+∠=；（2）分别过G 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，根据平行线的性质和角平分线的性质可用ABG ∠和DCG ∠分别表示出H ∠和G ∠，从而可找到H ∠和G ∠的关系，结合条件可求得51H ∠=．【详解】（1）作EM AB ∥，FN CD ∥，如图，且AB CD ∥∴EM AB FN CD ∥∥∥∴1B ∠=∠，23∠∠=，4180C ∠+∠=∴1344180B CFE C C BEF C BEF ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+，∵60BEF ∠=，∴60180240B CFE C ∠+∠+∠=+=；（2）如图，分别过G 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，∵BE 平分ABG ∠，CF 平分DCG ∠，∴12ABE ABG ∠=∠，12SHC DCF DCG ∠=∠=∠，∵AB CD ∥∴AB CD RS MN ∥∥∥ ∴12RHB ABE ABG ∠=∠=∠，12SHC DCF DCG ∠=∠=∠，∴180NGB ABG MGC DCG ∠+∠=∠+∠=， ∴()11801802BHC RHB SHC ABG DCG ∠=−∠−∠=−∠+∠， ()()180180180180180BGC NGB MGC ABG DCG ABG DCG ∠=−∠−∠=−−∠−−∠=∠+∠−∴36021801802BGC BHC BHC ∠=−∠−=−∠，∵27BGC BHC ∠=∠+，∴180227BHC BHC −∠=∠+，∴51BHC ∠=．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】【结论1】如图所示，AB ∥CD ，则∠B+∠BOC+∠C=360°【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB ∥CD.变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】（2023下·山东德州·七年级统考期中）如图，AB DE ∥，则下列说法中一定正确的是( )A ．123∠=∠+∠B ．123180∠+∠−∠=︒C ．123270∠+∠+∠=︒D ．12390∠−∠+∠=︒【答案】B 【分析】此题要作辅助线，过点C 作CM AB ∥，则根据平行线的传递性，得CM DE ∥．先利用AB CM ∥，可得1180BCM ∠+∠=︒，即1801BCM ∠=︒−∠，再利用CM DE ∥，可得3DCM ∠=∠，而23BCM ∠−∠=∠，整理可得：123180∠+∠−∠=︒．【详解】解：过点C 作CM AB ∥，AB DE ，CM DE ∴∥，1180BCM ∴∠+∠=︒，3MCD ∠=∠，又BCM BCD MCD ∠=∠−∠，180123∴︒−∠=∠−∠，123180∴∠+∠−∠=︒．故选：B ．【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系．【变式训练】 【变式1】（2023下·甘肃白银·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB CD ，∥CG EF ，150BAG ∠=︒，80AGC ∠=︒，则DEF ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】C 【分析】过点F 作FM CD ∥，则AB CD FM ∥∥，再根据平行线的性质可以求出MFA ∠、EFA Ð，进而可求出EFM ∠，再根据平行线的性质即可求得DEF ∠．【详解】解：如图，过点F 作FM CD ∥，∥AB CD ，AB CD FM ∴∥∥，180DEF EFM ∴∠+∠=︒，180MFA BAG ∠+∠=︒，180********MFA BAG ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．CG EF ∥，80EFA AGC ∴∠=∠=︒．803050EFM EFA MFA ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒．180********DEF EFM ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键． 【变式2】（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，射线FE ，FG 分别与AB ，CD 交于点M ，N ，若3F FND EMB ∠=∠=∠，则F ∠的度数是 ．【答案】108︒/108度【分析】过点F 作FH AB ∥，可得AB FH CD ∥∥，根据平行线的性质结合已知求出23HFN EFN ∠=∠，可得21803EFN EFN ∠+∠=︒，即可求出EFN ∠的度数．【详解】解：如图，过点F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB FH CD ∥∥，∴EMB EFH ∠=∠，180HFN FND ∠+∠=︒，∵3EFN FND EMB ∠=∠=∠，∴13EFH EFN ∠=∠，∴23HFN EFN ∠=∠， ∴21803EFN EFN ∠+∠=︒，∴108EFN ∠=︒，故答案为：108︒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【变式3】（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）探究题 (1)如下图，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．求APC ∠度数；(2)如下图，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．①当点P 在A ，B 两点之间运动时，CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系为__________②当点P 在A ，B 两点外侧运动时(点P 与点A ，B ，O 三点不重合)，请写出CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)110APC ∠=︒；(2)①CPD αβ∠=∠+∠；②CPD βα∠=∠−∠或CPD αβ∠=∠−∠．【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．（1）过P 作PE AB ∥，构造同旁内角，利用平行线性质，可得110APC ∠=︒；（2）①过P 作PE AD ∥交CD 于E ，推出AD PE BC ∥∥，根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案；②画出图形（分两种情况：点P 在BA 的延长线上，点P 在AB 的延长线上），根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案．【详解】（1）解：过P 作PE AB ∥，∵AB CD ∥，∴PE AB CD ∥∥，∵130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．∴18050APE PAB ∠=︒−∠=︒，18060CPE PCD ∠=︒−∠=︒，∴5060110APC ∠=︒+︒=︒；（2）解：①CPD αβ∠=∠+∠：如图3，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠；故答案为：CPD αβ∠=∠+∠；②当P 在AB 延长线时，CPD βα∠=∠−∠；理由：如图4，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD CPE DPE βα∠=∠−∠=∠−∠；当P 在BO 之间时，CPD αβ∠=∠−∠．理由：如图5，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠−∠=∠−∠．CPD αβ∴∠=∠−∠综上所述，CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系为CPD βα∠=∠−∠或CPD αβ∠=∠−∠．【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）①如图1，AB ∥CD ，则360A E C ∠+∠+∠=︒；②如图2，AB ∥CD ，则P A C ∠=∠−∠；③如图3，AB ∥CD ，则1E A ∠=∠+∠；④如图4，直线AB ∥CD ∥ EF ，点O 在直线EF 上，则180αβγ∠−∠+∠=︒．以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P ，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC ﹣∠1＝180°，即得∠AEC ＝180°+∠1﹣∠A ； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF ，∠γ+∠COF ＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E 作直线EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①错误；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练】 1、（2021下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）ABCD ，猜想BPD ∠与B D ∠∠、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知ABCD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，不需要说明理由．【答案】（1）360B BPD D ∠+∠+∠=︒，理由见解析；（2）BPD B D ∠=∠+∠，理由见解析；（3）图（3）BPD D B ∠=∠−∠，图（4）BPD B D ∠=∠−∠【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，得到180B BPE ∠+∠=︒，由ABCD ，EF AB ∥，得到EF CD ，得到180EPD D ∠+∠=︒，由此得到360B BPD D ∠+∠+∠=︒； （2）过点P 作PE AB ，由PE AB CD ∥∥，得到12B D ∠=∠∠=∠，，从而得到结论12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）由ABCD ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得BPD ∠与B D ∠∠、的关系． 【详解】（1）解：猜想360B BPD D ∠+∠+∠=︒．理由：过点P 作EF AB ∥，∴180B BPE ∠+∠=︒，∵AB CD ，EF AB ∥，∴EF CD ，∴180EPD D ∠+∠=︒，∴360B BPE EPD D ∠+∠+∠+∠=︒，∴360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）BPD B D ∠=∠+∠．理由：如图，过点P 作PEAB ，∵AB CD ，∴PE AB CD ∥∥，∴12B D ∠=∠∠=∠，，∴12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）如图（3）：BPD D B ∠=∠−∠．理由：∵AB CD ，∴1D ∠=∠，∵1B P ∠=∠+∠，∴D B P ∠=∠+∠，即BPD D B ∠=∠−∠；如图（4）：BPD B D ∠=∠−∠．理由：∵AB CD ，∴1B ∠=∠，∵1D P ∠=∠+∠，∴B D P ∠=∠+∠，即BPD B D ∠=∠−∠．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 2．（2020下·湖北武汉·七年级校考期中）如图，已知：点A 、C 、B 不在同一条直线，AD BE ∥(1)求证：180B C A ∠+∠−∠=︒：(2)如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线，试探究C ∠与AQB ∠的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC QB ∥，直线AQ BC 、交于点P ，QP PB ⊥，直接写出=DAC ACB CBE ∠∠∠：： ．【答案】(1)见解析(2)2=180AQB C ∠+∠︒，理由见解析(3)122：：【分析】（1）过点C 作CF AD ∥，则CF BE ∥，根据平行线的性质可得出ACF A ∠=∠、180BCF B ∠=︒−∠，据此可得；（2）过点Q 作QM AD ∥，则QM BE ∥，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出1()2AQB CBE CAD ∠=∠−∠，结合（1）的结论可得出2180AQB C ∠+∠=︒；（3）由（2）的结论可得出12CAD CBE ∠=∠①，由QP PB ⊥可得出180CAD CBE ∠+∠=︒②，联立①②可求出CAD CBE ∠∠、的度数，再结合（ 1）的结论可得出ACB ∠的度数，将其代入DAC ACB CBE ∠∠∠：：中可求出结论．【详解】（1）在图①中，过点C 作CF AD ∥，则CF BE ∥．∵CF AD BE ∥∥，∴180ACF A BCF B ∠=∠∠+∠=︒，，∴180180ACB B A ACF BCF B A A A ∠+∠−∠=∠+∠+∠−∠=∠+︒−∠=︒．（2）在图2中，过点Q 作QM AD ∥，则QM BE ∥．∵QM AD QM BE ∥，∥，∴AQM NAD BQM EBQ ∠=∠∠=∠，．∵AQ 平分CAD ∠，BQ 平分CBE ∠， ∴11,22NAD CAD EBQ CBE ∠=∠∠=∠， ∴1()2AQB BQM AQM CBE CAD ∠=∠−∠=∠−∠． ∵180()1802C CBE CAD AQB ︒︒∠=−∠−∠=−∠，∴2180AQB C ∠+∠=︒．（3）∵AC QB ∥， ∴11,22AQB CAP CAD ACP PBQ CBE ∠=∠=∠∠=∠=∠， ∴11801802ACB ACP CBE ∠=︒−∠=︒−∠．∵2180AQB ACB ∠+∠=︒， ∴1.2CAD CBE ∠=∠．又∵QP PB ⊥，∴90CAP ACP ∠+∠=︒，即180CAD CBE ∠+∠=︒，∴60120CAD CBE ∠=︒∠=︒，，∴180120()ACB CBE CAD ∠=︒−∠−∠=︒，∴60120120122DAC ACB CBE ∠∠∠=︒︒︒=：：：：：：， 故答案为：122：：． 【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 3．（2021上·八年级课时练习）（1）已知：如图（a ），直线DE AB ∥．求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠； （2）如图（b ），如果点C 在AB 与ED 之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C 在AB 与ED 之外时，ABC CDE BCD ∠−∠=∠，见解析【分析】（1）由题意首先过点C 作CF ∥AB ，由直线AB ∥ED ，可得AB ∥CF ∥DE ，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD ；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD ，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC -∠CDE=∠BCD ．【详解】解：（1）证明：过点C 作CF ∥AB ，∵AB ∥ED ，∴AB ∥ED ∥CF ，∴∠BCF=∠ABC ，∠DCF=∠EDC ，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD ；（2）结论：∠ABC -∠CDE=∠BCD ，证明：如图：∵AB ∥ED ，∴∠ABC=∠BFD ，在△DFC 中，∠BFD=∠BCD+∠CDE ，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE ，∴∠ABC -∠CDE=∠BCD ．若点C 在直线AB 与DE 之间，猜想360ABC BCD CDE ︒∠+∠+∠=,∵AB ∥ED ∥CF ，∴180,180,ABC BCF CDE DCF ︒︒∠+∠=∠+∠=∴360ABC BCD CDE ABC BCF DCF CDE ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=.【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．4．（2021下·浙江·七年级期末）已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A ∠与C ∠之间的数量关系为______；（2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ⊥于点D ．①如图2，说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3，BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒=，求EBC ∠的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B 作BG ∥DM ，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B 作BG ∥DM ，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF ，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB ⊥BC ，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM 与BC 的交点记作点O ，∵AM ∥CN ，∴∠C=∠AOB ，∵AB ⊥BC ，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，//,BG CN∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．【答案】57°【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．【详解】解：设AE、CD交于点F，∵∠E ＝37°，∠C ＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB ∥CD ，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．【变式训练】【变式1】（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知//AB DE ，∠ABC =80°，∠CDE =140°，则∠BCD =_____．【答案】40︒【分析】延长ED 交BC 于M ，根据两直线平行，内错角相等证明∠BMD=∠ABC ，再求解CMD ∠，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：延长ED 交BC 于M ，∵//AB DE ，∴∠BMD=∠ABC=80°，∴180100CMD BMD ∠=︒−∠=︒；又∵∠CDE=∠CMD+∠C ，∴14010040BCD CDE CMD ∠=∠−∠=︒−︒=︒．故答案是：40°【点睛】本题考查了平行线的性质．三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）如图，若//AB CD ，则∠1+∠3-∠2的度数为______【答案】180°【分析】延长EA 交CD 于点F ，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据//AB CD 可得∠1=∠EFD ，最后根据领补角及等量代换可求解．【详解】解：延长EA 交CD 于点F ，如图所示：//AB CD ，∴∠1=∠EFD ，∠2+∠EFC=∠3，∴32EFC ∠=∠−∠，+180EFC EFD ∠∠=︒，∴132180∠+∠−∠=︒；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB //CD ，CF 平分∠DCE ，若∠DCF =30°，∠E =20°，求∠ABE 的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）过E作EM∥AB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PL∥AB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【详解】解：（1）过E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）过P作PL∥AB，∵GM平分∠DGP，∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，∵PQ∥GN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵AB∥CD，∴PL∥AB∥CD，∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．【拓展培优】1．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：AB EF∥．在证明该结论∥，B E∠=∠，求证：BC DE时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）A ．延长BC 交FE 的延长线于点GB ．连接BEC ．分别作BCD ∠，CDE ∠的平分线CG ，DHD ．过点C 作CG AB ∥（点G 在点C 左侧），过点D 作DH EF ∥（点H 在点D 左侧）【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．【详解】解：A 、如图，∵AB EF ∥，∴B G ∠=∠，∵B DEF ∠=∠，∴G DEF =∠∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；B 、如图，∵AB EF ∥，∴ABE FEB ∠=∠，∵ABC FED ∠=∠，∴CBE DEB ∠=∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；C 、如图，由CG 平分BCD ∠，DH 平分CDE ∠，没有条件说明BCD ∠与CDE ∠相等，也没有条件说明CG 与DH 平行，∴此辅助线的作法不能说明BC 与DE 平行，故此选项符合题意；D 、如图，延长BC 交DH 于点M ，∵AB EF ∥，CG AB ∥，DH EF ∥，∴AB CG DH EF ∥∥∥，∴B BMD ∠=∠，MDE E ∠=∠，∵B E ∠=∠，∴BMD MDE ∠=∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 2．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知a b ∥，若AB 与BC 的夹角为100︒，150∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．100︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒【答案】D 【分析】过点B 作BD a ∥，则BD b ∥，利用平行线的性质，进行求解即可．【详解】解：如图，过点B 作BD a ∥，∵a b ，∴BD b ∥，∴150ABD ∠=∠=︒，2180CBD ∠+∠=︒，∵100ABC ∠=︒，∴1005050CBD ∠=︒−︒=︒，∴218050130︒︒=∠=−︒．故选：D ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是构造平行线．3．（2021下·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图，直线AB CD EF ∥∥，且40B ∠=︒，125C ∠=︒，则(CGB ∠= )A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒【答案】B【分析】根据平行线的性质得出40BGF B ∠=∠=︒，180C CGF ∠+∠=︒，求出55CGF ∠=︒，即可得出答案．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，40B ∠=︒，125C ∠=︒，40BGF B ∴∠=∠=︒，18055CGF C ∠=︒−∠=︒，15CGB CGF BGF ∴∠=∠−∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力． 4．（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图，ABC 为等边三角形，AP CQ ∥．若20BAP ∠=︒，则1∠=（）A ．80︒B ．40︒C ．60︒D ．70︒【答案】B【分析】过点B 作BE CQ ，可得AP CQ BE ，用平行线性质求解即可．【详解】解：过点B 作BE CQ ，如图，∵AP CQ ∥，∴AP CQ BE ，∴20BAP ABE ∠=∠=︒，∵ABC 为等边三角形，∴60ABC ∠=︒，∴40CBE ABC ABE ∠∠=−∠=︒，∵BE CQ ，∴140CBE ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 5．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，AE 平分BAN ∠，AE 的反向延长线交CDN ∠的平分线于点M ，则M ∠与N ∠的数量关系是（ ）A ．2M N ∠=∠B ．3M N ∠=∠C ．180M N ∠+∠=︒D ．2180M N ∠+∠=︒【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到12BAE BAN ∠=∠，12CDM CDN ∠=∠，过M 作MF AB ∥，过N 作NH AB ∥，再利用平行线的判定与性质得到12FME BAE BAN ∠=∠=∠，BAN ANH ∠=∠，12FMD CDM CDN ∠=∠=∠，180CDN HND ∠+∠=︒，经过角度之间的运算得到180CDN BAN AND ∠−∠=︒−∠，()11802DMA AND ∠=︒−∠，即2180DMA AND ∠+∠=︒可求解．【详解】解：∵AE 平分BAN ∠，DM 平分CDN ∠，∴12BAE BAN ∠=∠，12CDM CDN ∠=∠，过M 作MF AB ∥，过N 作NH AB ∥，则12FME BAE BAN ∠=∠=∠，BAN ANH ∠=∠，∵AB CD ∥，∴MF CD ∥，NH CD ∥，∴12FMD CDM CDN ∠=∠=∠，180CDN HND ∠+∠=︒， ∴180AND ANH HND BAN CDN ∠=∠+∠=∠+︒−∠，即180CDN BAN AND ∠−∠=︒−∠，又∵DMA FMD FME ∠=∠−∠()12CDN BAN =∠−∠()11802AND =︒−∠，∴2180DMA AND ∠+∠=︒，即2180M N ∠+∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 6．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，AD BC ∥，CAD ∠和CBD ∠的平分线相交于点P ．请写出C ∠、D ∠、P ∠的数量关系 ．【答案】2P C D ∠=∠+∠【分析】作PG AD ∥，则PG AD BC ∥∥，根据平行线的性质可得APB DAP CBP ∠=∠+∠，结合角平分线定义可得1122APB DAC CBD ∠=∠+，再根据AD BC ∥推出DAC C ∠=∠，D CBD ∠=∠，即可得出2P C D ∠=∠+∠．【详解】解：如图，作PG AD ∥，AD BC ∥，∴PG AD BC ∥∥，PG AD ∥，∴DAP APG ∠=∠，PG BC ∥，∴CBP BPG ∠=∠，∴APB APG BPG DAP CBP ∠=∠+∠=∠+∠，CAD ∠和CBD ∠的平分线相交于点P ．∴12DAP DAC ∠=∠，12CBP CBD ∠=∠， ∴1122APB DAC CBD ∠=∠+，∴2APB DAC CBD ∠=∠+∠，AD BC ∥，∴DAC C ∠=∠，D CBD ∠=∠，∴2APB C D ∠=∠+∠，即2P C D ∠=∠+∠．故答案为：2P C D ∠=∠+∠．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 7．（2023下·浙江·七年级校联考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座AO OE ⊥点O ，支架AB ，BC 为固定支撑杆，BAO ∠是CBA ∠的两倍，灯体CD 可绕点C 旋转调节，现把灯体CD 从水平位置旋转到CD '位置（如图 2中虚线所示），此时，灯体CD '所在的直线恰好垂直支架AB ，且120BCD DCD '∠−∠=︒，则DCD '∠= ．【答案】40︒/40度【分析】延长OA 交CD 于点F ，延长D C '交AB 于G ，可得90AGC AFC ∠=∠=︒，可得DCD GAF '∠=∠，在四边形ABCF 中，利用四边形内角和为360︒列出等式计算即可．【详解】解：延长OA 交CD 于点F ，延长D C '交AB 于G ，如图．CD OE ∥，AO OE ⊥，OA CD ∴⊥，AO OE ⊥Q ，D C AB '⊥，90AGC AFC ∴∠=∠=︒，180GCF GAF ∴∠+∠=︒，180DCD GCF '∠+∠=︒Q ，DCD GAF '∴∠=∠，180180BAO GAF DCD '∴∠=︒−∠=︒−∠，∵BAO ∠是CBA ∠的两倍，()11802CBA DCD '∴∠=︒−∠∵120BCD DCD '∠−∠=︒，120BCD DCD '∴∠=∠+︒，在四边形ABCF 中，360GAF CBA BCD AFC ∠+∠+∠+∠=︒，()1180120903602DCD DCD DCD '∴∠'+︒−∠+∠'+︒+︒=︒，解得40DCD '∠=︒．故答案为：40︒．【点睛】此题考查平行线的性质，四边形的内角和定理，一元一次方程的应用，利用图形性质建立方程求解是解题关键．8．（2023下·湖北·七年级黄石市有色中学校联考期末）如图，直线AB CD ∥，直线EF 与AB ，CD 分别交于点E ，F ，AEF ∠与CFE ∠的角平分线交于点P ，延长FP 交AB 于点G ，过点G 作GQ FG ⊥交直线EF 于点Q ，连接PQ ，点M 是QG 延长线上的一点，且PQM QPM ∠=∠，若PN 平分FPM ∠交CD 于点N ，则NPQ ∠的度数为 ．【答案】135︒/135度【分析】根据平行线的性质求出180AEF CFE ∠+∠=︒，根据角平分线定义求出90PEF PFE ∠+∠=︒，求出90EPF ∠=︒，求出GQ EP ∥，根据平行线的性质求出PQM QPE ∠=∠，再求出答案即可．【详解】设PQM QPM x ∠=∠=︒，∵PN 平分MPF ∠，∴MPN FPN ∠=∠，设MPN FPN y ∠=∠=︒，∵AEF ∠与CFE ∠的角平分线交于点P ，∴12PEF AEF ∠=∠，12EFP CFE ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180AEF CFE ∠+∠=︒，∴1180902PEF PFE ∠+∠=⨯︒=︒，∴()1801809090EPF PEF PFE ∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒，∵GQ PF ⊥，∴90QGP =︒∠，∴QGP EPF ∠=∠，∴GQ EP ∥，∴PQM QPE x ∠=∠=︒，∵360QPE QPM FPN NPM EPF ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴90360x x y y ++++=，∴135x y +=，即135QPM NPM ∠+∠=︒，∴135NPQ QPM NPM ∠=∠+∠=︒．故答案为：135︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 9．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，直线AE CF ，ABC ∠ 的平分线BD 交直线CF 于点D ，若2260A BCF ∠=︒∠=︒，，则D ∠的度数为 ． 【答案】19︒/19度【分析】过点B 作B G C F ∥，利用平行线的性质求得22,60ABG CBG ∠=︒∠=︒，从而得到82ABC ∠=︒，再运用角平分线的性质得到1412CBD ABC ∠=∠=︒，继而求出19DBG ∠=︒，最后利用平行线的性质得到19D DBG ∠=∠=︒．【详解】过点B 作B G C F ∥，∵B G C F ∥，AE CF ，∴BG CF AE ∥∥∴,A ABG CBG BCF ∠=∠∠=∠，又∵2260A BCF ∠=︒∠=︒，，∴22,60A ABG CBG BCF ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴82ABC ABG CBG ∠=∠+∠=︒，又∵BD 是ABC ∠ 的平分线， ∴1412CBD ABC ∠=∠=︒， ∴19DBG CBG CBD ∠=∠−∠=︒，又∵B G C F ∥，∴19D DBG ∠=∠=︒．【点睛】本题考查角平分线的定义，平分线的性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． 10．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，80AEC ∠=︒，在AEC ∠的两边上分别过点A 和点C 向同方向作射线AB 和CD ，且ABCD ，若EAB ∠和ECD ∠的角平分线所在的直线交于点P （P 与C 不重合），则APC ∠的大小为 ． 【答案】40︒【分析】根据题意作图，过点E 作EF AB ∥，过点P 作PQ AB ∥，利用平行线的性质可得80ECD EAB AEC ∠−∠=∠=︒，PCD PAB APC ∠−∠=∠，再结合角平分线即可求得答案．【详解】解：根据题意作图，过点E 作EF AB ∥，过点P 作PQ AB ∥，∵AB CD ，∴AB CD EF PQ ∥∥∥，∵EF AB ∥，EF CD ，∴180EAB AEC CEF ∠+∠+∠=︒，180CEF ECD ∠+∠=︒，∴EAB AEC ECD ∠+∠=∠，即80ECD EAB AEC ∠−∠=∠=︒，∵PQ AB ∥，PQ CD ∥，∴180PAB APC CPQ ∠+∠+∠=︒，180CPQ PCD ∠+∠=︒，∴PAB APC PCD ∠+∠=∠，即PCD PAB APC ∠−∠=∠，又∵点P 为EAB ∠和ECD ∠的角平分线所在的直线的交点， ∴12PAB EAB ∠=∠，12PCD ECD ∠=∠， ∴11140222APC PCD PAB ECD EAB AEC ∠=∠−∠=∠−∠=∠=︒，故答案案为：40︒．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 11．（2023下·七年级课时练习）如图，AB ∥CD ，ME 平分∠AMF ，NF 平分∠CNE ，EN ，MF 交于点O ． (1)若∠AMF ＝50°，∠CNE ＝40°，分别求∠MEN ，∠MFN 的度数；(2)若图中∠MEN ＋60°＝2∠MFN ，求∠AMF 的度数；(3)探究∠MEN ，∠MFN 与∠MON 之间的数量关系．【答案】(1)∠MEN ＝65°，∠MFN ＝70°(2)∠AMF ＝40°(3)32MEN MFN MON ∠+∠=∠，理由见解析【详解】（1）分别过点E ，F 作AB 的平行线，则它们同时也与CD 平行，则有∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ．由∠AMF ＝50°，∠CNE ＝40°，ME 平分∠AMF ，NF 平分∠CNE ，得∠AME ＝25°，∠CNF ＝20°，∴∠MEN ＝65°，∠MFN ＝70°．（2）由（1）可知，∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ，则有∠AME ＋∠CNE ＋60°＝2∠AMF ＋2∠CNF ．又2∠CNF ＝∠CNE ，2∠AME ＝∠AMF ． ∴3602AMF ∠=︒，故∠AMF ＝40°．（3）过点O 作AB 的平行线，则它同时也与CD 平行，易证∠MON ＝∠AMF ＋∠CNE ．∵∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ， ∴32MEN MFN ∠+∠=（∠AMF ＋∠CNE ）． ∴32MEN MFN MON ∠+∠=∠． 12．（2023上·浙江·八年级专题练习）已知，如图，AB 与CD 交于点O (1)如图1，若A B ∠∠＝，求证：A C B D ∠+∠∠+∠＝(2)如图2，若A B ∠≠∠，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论（注：不能用三角形内角和定理）(3)如图3，若65B ∠︒＝，25C ∠︒＝，AP 平分BAC ∠，DP 平分BDC ∠，请你（2）中结论求出P ∠的度数，请直接写出结果P ∠= ．【答案】(1)见解析(2)仍然成立，证明见解析(3)45︒【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理的综合运用，掌握三角形内角和180︒是解题的关键．（1）依据平行线的性质，即可得到C D ∠∠＝，依据等式基本性质得到A C B D ∠+∠∠+∠＝；。

2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习（学生版）一、知识梳理知识点1：平行线的定义1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a ∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．知识点2：同位角、内错角和同旁内角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。

（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。

图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。

（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线l的两旁，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是内错角。

图中的内错角还有∠4与∠6。

（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。

图中的同旁内角还有∠3与∠6。

知识点3：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点4：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。

几何语言：∵∠1＝∠2∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。

浙教版2022-2023学年七下数学第一章平行线培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．如图，在长为xm，宽为ym的长方形草地ABCD中有两条小路l1和l2、l1为W状，l2为平行四边形状，每祭小路的右边线都是由小路左边线右移1m得到的两条小路l1、l2的占地面积的情况是（）A．l1占地面积大B．l2占地面积大C．l2和l1占地面积一样大D．无法确定【答案】C【解析】小路l2可看作高为y，底为2的平行四边形，由平行四边形面积公式S=ah，则面积为：S2=2y；小路l1可看作四个小的平行四边形组成，小平行四边形的底可看作2，所有小平行四边形的高之和为y，由平行四边形面积公式S=ah，则面积为：S1=2y；则S1=S2，故答案为：C.2．下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③相等的角是对顶角；④等角的补角相等，不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行，判断错误；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等，判断错误；③相等的角是对顶角，判断错误；④等角的补角相等，判断正确.故答案为：C.3．如图，直线a，b被直线c所截，下列说法不正确的是（）A．∠1与∠2是内错角B．∠3与∠4是同旁内角C．∠2与∠5是同位角D．∠2与∠4是内错角【答案】A【解析】∵∠1和∠2是对顶角，不是内错角，∴A选项不正确，符合题意.故答案为：A.4．图，点A，B，E共线，下列条件中不能判断AD∥BC的是（）A．∠1=∠2B．∠A=∠5C．∠3=∠4D．∠A+∠ABC=180°【解析】A 、∠1＝∠2可利用内错角相等，两直线平行判定AD∠BC ，故此选项不符合题意； B 、∠A ＝∠5可利用同位角相等，两直线平行判定AD∠BC ，故此选项不符合题意； C 、∠3＝∠4，可根据内错角相等，两直线平行判定CD∠BA ，不能判定AD∠BC ，故此选项符合题意； D 、∠A ＋∠ABC ＝180°可利用同旁内角互补，两直线平行判定AD∠BC ，故此选项不符合题意； 故答案为：C ．5．如图.已知AB//CD .直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分∠BEF .若∠1=50°.则∠2的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．60°D ．70° 【答案】B【解析】∵AB∠CD ，∴∠1+∠BEF=180°，∠2=∠BEG ， ∴∠BEF=180°-50°=130°， 又∵EG 平分∠BEF ， ∴∠BEG=12∠BEF=65°，∴∠2=65°. 故答案为：B.6．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）A ．52°B ．38°C ．42°D ．60°【答案】A 【解析】【解答】如图：∠3=∠2=38°（两直线平行同位角相等）， ∴∠1=90°﹣∠3=52°， 故选A ．7．如图，直线c 与直线a 相交于点A ，与直线b 相交于点B ， ∠1=130∘ ， ∠2=60∘ ，若要使直线 a ∥b ，则将直线a 绕点A 按如图所示的方向至少旋转（ ）A ．10∘B ．20∘C ．60∘D ．130∘【答案】A【解析】∵∠2＝60°，∴若要使直线a∠b ，则∠3应该为60°， 又∵∠1＝130°，∴直线a绕点A按顺时针方向至少旋转：60°−50°＝10°，故答案为：A.8．如图，直线AB//CD，将含有45°角的三角板EFP的直角顶点F放在直线CD上.顶点E放在直线AB上，若∠1=28°，则∠2的度数为（）A．45°B．17°C．25°D．30°【答案】B【解析】过点P作PM∠AB，∵AB∠CD，∴AB∠PM∠CD，∴∠3=∠1=28∘,∵∠EPF=45∘,∴∠2=∠4=∠EPF−∠3=45∘−28∘=17∘.故答案为：B.9．如图，ΔABC是直角三角形，它的直角边AB=6，BC=8，将ΔABC沿边BC的方向平移到ΔDEF的位置，DE交AC于点G，BE=2，ΔCEG的面积为13.5，下列结论：①ΔABC平移的距离是4：②DG=1.5；③AD∥CF；④四边形ADFC的面积为6．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④【答案】B【解析】∵直角三角形ABC的直角边AB＝6，BC＝8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，①∵BE=2，∴三角形ABC平移的距离是2，故①不符合题意，②∵ΔABC沿边BC的方向平移到ΔDEF的位置，BC=8，BE=2，∴BE=BC−BE=6，DE=AB=6，∵ΔCEG的面积为13.5，且ΔCEG是直角三角形，∴GE=4.5，∴DG=DE−GE=1.5，故②符合题意，③∵ΔABC沿边BC的方向平移到ΔDEF的位置，ΔABC是直角三角形，∴∠ B=∠ DEC=90°， ∴AD∠CF ， 故③符合题意，④四边形ADFC 的面积＝2×6＝12． 故④不符合题意， 故答案为：B ．10．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∠2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）A ．23 （α＋β）＝γB ．23 （α＋β）＝120°－γC ．α＋β＝γD ．α＋β＋γ＝180° 【答案】B【解析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∴γ=∠1+∠2①，又∵入射角与折射角的度数比为3：2， ∴∠1=23（90°-α），∠2=23（90°-β），∴γ=23（90°-α）+23（90°-β）=23（180°-α-β），∴γ=120°-23（α+β），即23（α+β）=120°-γ.故答案为：B.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．在同一平面内，三条互不重合的直线 a 、 b 、 c ，若 a ∠ b ， a ∠ c ，则 . 【答案】b ∠ c【解析】∵a∠b ，a∠c ∴b∠c12．如图所示，能与∠1构成同位角的角有 个．【答案】3【解析】由同位角的定义知，能与∠1构成同位角的角有∠2、∠3、∠4，共3个．13．如图，在直线AB外取一点C，经过点C作AB的平行线，这种画法的依据是．【答案】同位角相等，两直线平行【解析】如图，由图形痕迹可得∠BDE=∠CEF，则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与AB平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．14．如图，在三角形ABC中，AB=2BC=4cm．把三角形ABC沿AB方向平移1cm，得到三角形A1B1C1，连接CC1，则四边形BB1C1C的周长为cm．【答案】6【解析】根据平移的性质可：BC=B′C′，CC′=BB′，∵平移的距离为1cm，∴CC′=BB′=1cm，∵2BC=4cm，∴BC=2cm，∴BC=B′C′=2cm，∴四边形BB′C′C的周长为：BC+B′C′+CC′+BB′=2+2+1+1=6cm，故答案为：6．15．如图，已知直线a∥b，c∥d，若∠1、∠2是图中的两个角，且这两个角的两边分别平行，∠1=（2x−3）°，∠2=（3x−17）°，则x值为．【答案】14或40【解析】如图，∵c ∥d ，∴∠1+∠2=180°，∴（2x -3）°+（3x -17）°=180°， 解得：x =40， 如图，∵a ∥b ，c ∥d ，∴∠2+∠3=180°，∠1+∠3=180°， ∴∠1=∠2，∴（2x -3）°=（3x -17）° 解得：x=14综上：x 的值为：14或40 故答案为：14或40 16．如图，AD //BC ，点P 是射线BC 上一动点，且不与点B 重合．AM 、AN 分别平分∠BAP 、∠DAP ，∠B =α，∠BAM =β，在点P 运动的过程中，当∠BAN =∠BMA 时，12α+2β= ．【答案】90°【解析】∵AD//BC∴∠BMA=∠DAM ，∠B+∠BAD=180° ∵AM 平分∠BAP ，∴∠BAM=∠MAP=12∠BAP ，∵AN 平分∠DAP ，∴∠DAN=∠NAP=12∠DAP ，∵∠BAN=∠BMA∴∠DAM=∠BAN∵∠BAM=∠BAN−∠MAN，∠DAN=∠DAM−∠MAN ∴∠BAM=∠DAN∴∠BAM=14∠BAD∵∠B=α，∠BAM=β∴∠BAM=14∠BAD=β∴∠BAD=4β∴α+4β=180°∴12α+2β=90°故答案为：90°．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题7分，第21题8分，第22～24题每题10分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，且∠1+∠3=180°.（1）试判断DG与AC的位置关系，并说明理由.（2）若∠3=3∠2，求∠C的度数.【答案】（1）解：如图，DG//AC理由：∵AD⊥BC，EF⊥BC∴AD//EF∴∠4+∠3=180°∵∠1+∠3=180°∴∠1=∠4∴DG//AC（2）解：∵AD⊥BC∴∠1+∠2=90°∵∠3=3∠2∴∠1+∠3=∠1+3∠2=180°∴∠2=45°由(1)得DG//AC∴∠C=∠2=45°18．如图，在∠ABC中，D，E，F分别是三边上的点，且DE平分∠ADF，∠ADF=2∠DFB.（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由.（2）若EF∠AB，∠DFE=3∠CFE，求∠ADE的度数.【答案】（1）证明：DE与BC的位置关系为：DE∠BC.理由：∵DE平分∠ADF，∴∠ADF=2∠EDF，∵∠ADF=2∠DFB，∴∠EDF=∠DFB，∴DE∠BC.（2）解：∵EF∠AB，∴∠CFE=∠B，设∠CFE=∠B=x，∵DE∠BC，DE平分∠ADF，∴∠DFB＝∠EDF＝∠ADE＝x，∵∠DFB＋∠DFE＋∠CFE＝180°，∴x+3x+x=180°，解之：x=36°，∴∠ADE的度数36º.19．如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个△ABC，△ABC的三个顶点都在格点上，按要求进行下列作图：（只借助于网格，需写出结论）∠过点B画出AC的平行线BD；∠画出先将△ABC向右平移2格，再向上平移3格后的△A ′B ′C ′.【答案】解：（1）BD就是所求作的图形（2）∠A'B'C'即为所求作图形.20．如图，∠ABC和∠BCD的平分线交于点P，延长CP交AB于点Q，且∠PBC+∠PCB=90°（1）求证：AB//CD.（2）探究∠PBC与∠PQB的数量关系.【答案】（1）证明：∵BP平分∠ABC，∴∠ABC=2∠PBC.∵CP平分∠BCD，∴∠BCD=2∠PCB，∴∠ABC+∠BCD=2∠PBC+2∠PCB又∵∠PBC+∠PCB=90∘∴∠ABC+∠BCD=180∘∴AB//CD.（2）解：∵CP平分∠DCB，∴∠PCD=∠PCB.∵AB//CD，∴∠PCD=∠PQB，∴∠PCB=∠PQB.又∵∠PBC+∠PCB=90∘∴∠PBC+∠PQB=90°21．如图，MN∠BC，BD∠DC，∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分线．（1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）试说明：∠ABC=∠C；（3）求∠ABD的度数．【答案】（1）解：AB∠DE，理由如下：∵MN∠BC，∠1= 60°，∴∠ABC=∠1=60°，又∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠2，∴AB∠DE（2）解：∵MN∠BC，∴∠NDE+∠2= 180°，∴∠NDE=180°-∠2= 180°-60°=120°，∵DC是∠NDE的角平分线，∴∠EDC=∠NDC=12∠NDE=60°，∵MN∠BC，∴∠C=∠NDC=60°，∴∠ABC=∠C（3）解：∵∠ADC+∠NDC=180°，∠NDC= 60°，∴∠ADC=180°-∠NDC=180°-60°=120°，∵BD∠DC，∴∠BDC= 90°，∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=120°-90°=30°，∵MN∠BC，∴∠DBC=∠ADB=30°，∵∠ABC=∠C=60°，∴∠ABD=30°22．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD//OE.（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“ ∠AOB=90°°”改为“ ∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得到O′E，其它条件不变（如图2所示），探究∠OCD,∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB，垂足为O′，与∠OCD的角平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，用含α的式子表示∠CPO′（直接写出答案）.【答案】（1）解：∵CD//OE，∴∠AOE=∠OCD=120°，∴∠BOE=360°-90°-120°=150°（2）解：如图2，过O点作OF//CD，∴CD//OE，∴OF∠OE，∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E，∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-（∠OCD+∠BO'E）=120°，∴∠OCD+∠BO'E=240°（3）30°+ 1 2α【解析】（3）如图，∵CP是∠OCD的平分线，∴∠OCP= 12∠OCD，∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP=150°-12∠OCD=150°-12（240°-∠BO'E）=30°+ 12α23．已知AB//CD，（1）如图1，若∠ABE=160°，∠CDE=120°，求∠BED的度数；（2）如图2，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD与∠BED有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD与∠BED有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】（1）解：延长AB交DE于点F．∵∠ABE+∠EBF=180°，∴∠EBF=20°．∵AB//CD，∴∠CDE=∠BFE=120°．∵∠EBF+∠BED+∠BFE=180°，∴∠BED=180°−20°−120°=40°．（2）解：∠BED=2∠BFD．理由：延长AB交FD于点N，交DE于点M．∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE．∵AB//CD，∴∠CDF=∠ANF，∠AME=∠CDE．∵∠E=180°−∠BME−∠EBM=180°−∠CDE−(180°−∠ABE)=∠ABE −∠CDE ，又∵∠F =∠ABF −∠ANF=∠ABF −∠CDF=12∠ABE −12∠CDE =12(∠ABE −∠CDE)，∴∠E =2∠F ．即∠BED =2∠BFD ．（3）解：∠BED +2∠BFD =360°理由：过点F 作FM//AB ，过点E 作EN//CD ．∵BF 平分∠ABE ，DF 平分∠CDE ∴∠ABF =∠FBM =12∠ABE ，∠CDF =∠FDE =12∠CDE ．∵FM//AB ，EN//CD ，AB//CD ，∴AB//FM//EN//CD ， ∴∠BFM =∠ABE ，∠MFD =∠CDF ，∴∠BFD =12(∠ABE +∠CDE) ∵∠BFD +∠FBE +∠FDE +∠BED =360°， ∴∠BED +∠BFD +12(∠ABE +∠CDE)=360°， ∴∠BED +2∠BFD =360°．24．已知，直线AB//DC ，点P 为平面内一点，连接AP 与CP .（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，若∠BAP =50°，∠DCP =20°，求∠APC 的度数. （2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由.（3）如图3，点P 在直线AB 、CD 下方，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，直接写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系.【答案】（1）解：如图1，过P 作PE//AB ，∵AB//CD ，∴PE//AB//CD ，∴∠APE =∠BAP ，∠CPE =∠DCP ，∴∠APC =∠APE +∠CPE =∠BAP +∠DCP =50°+20°=70°；（2）解：∠AKC=12∠APC.理由：如图2，过K作KE//AB，∵AB//CD，∴KE//AB//CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，过P作PF//AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12(∠BAP+∠DCP)=12∠APC，∴∠AKC=12∠APC；（3）解：∠AKC=12∠APC.理由：如图3，过K作KE∠AB，∵AB∠CD，∴KE∠AB∠CD.∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE.∴∠AKC=∠AKE−∠CKE=∠BAK−DCK.过P作PF∠AB，同理可得，∠APC=∠BAP−∠DCP.∵∠BAP与∠DCP的平分线交于点K，∴∠BAK−∠DCK=12∠BAP−12∠DCP=12(∠BAP−∠DCP)=12∠APC，∴∠AKC=12∠APC.。

专题1.22 平行线（全章复习与巩固）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ）A．70°B．45°C．110°D．135°2．图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（）A．3，4B．4，7C．4，4D．4，53．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（ ）A．70°B．80°C．90°D．100°4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）A．3B．2.5C．2.4D．25．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ）A．50°、130°B．都是10°C．50°、130°或10°、10°D．以上都不对6．如图，已知，于点，，，则的度数是（）A．B．C．D．7．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN PK，则∠KHD的度数为（ ）A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°8．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3（）A．70°B．180°C．110°D．80°9．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④10．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．16B．24C．30D．40二、填空题11．如图，已知，，，则___度．12．如图，已知AD//BC，BD平分∠ABC，∠A＝112°，且BD⊥CD，则∠ADC＝_____．13．如图，A、B、C表示三位同学所站位置，C同学在A同学的北偏东方向，在B 同学的北偏西方向，那么C同学看A、B两位同学的视角______．14．如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC 的余角等于2∠B的补角，则∠BAH的度数是_____．15．如图，已知A1B AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．16．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF 的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF 的度数为_____．17．线段AB和线段CD交于点O,OE平分∠AOC,点F为线段AB上一点(不与点A和点O重合)过点F作FG//OE,交线段CD于点G,若∠AOD=110°,则∠AFG的度数为_____°.18．如图，△ABC中，∠C=90︒，AC=5cm，CB=12cm，AB=13cm，将△ABC沿直线CB 向右平移3cm得到△DEF，DF交AB于点G，则点C到直线DE的距离为______cm．三、解答题19．如图，点，分别是，上的点，，.(1) 求证：；(2) 若比大，求的度数.20．按照下列要求完成画图及相应的问题解答．（1）画直线；（2）画；（3）画线段；（4）过点画直线的垂线，垂足为点；（5）点到直线的距离是线段的长度﹒21．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，，图中的余角是______把符合条件的角都填出来；如果，那么根据______可得______度；如果，求和的度数．22．如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC．(1) 填空：BC与AD的位置关系为__________，BC与AD的数量关系为__________；(2) 点G，E都在直线BC上，，DF平分交直线BC于点F．①如图2，若G，E为射线CB上的点，，求的度数；②如图3，若G，E为射线BC上的点，，则__________（用含的式子表示）．23．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．24．（1）问题发现如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC∴∠C= ．∵EF∥AB，∴∠B= ，∴∠B+∠C= .即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°﹣∠BEC．（3）解决问题如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A= ．（直接写出结论，不用写计算过程）参考答案1．C【分析】根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a∥b，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．解：∵∠1与∠5是对顶角，∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，∴a∥b，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝70°，∴∠4=∠6＝110°．故答案为C．【点拨】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定，其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键．2．B【分析】根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．解：，，，，，，，，，，则图中互余的角的对数为4对；，，点C是直线AB上一点，，，，又，，，，则图中互补的角的对数为7对，故选：B．【点拨】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．3．B解：因为AB∥DF，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB与∠AEC是对顶角，所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B．4．C【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故选：C．【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．5．C【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．解：∵两个角的两边分别平行，∴这两个角相等或互补．设其中一角为x°，若这两个角相等，则x＝3x﹣20，解得：x＝10，∴这两个角的度数是10°和10°；若这两个角互补，则180﹣x＝3x﹣20，解得：x＝50，∴这两个角的度数是50°和130°．∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．故选：C．【点拨】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．6．C【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．7．D【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②当在下方时，延长、相交于点，如图所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故选D．【点拨】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．8．C【分析】作AB∥a，先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2＝180°－∠1＋∠3，变形可得结果．解：作AB∥a，由直线a平移后得到直线b，所以，AB∥a∥b所以，∠2＝180°－∠1＋∠3，所以，∠2－∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110°．故选：C【点拨】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．9．D【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.解：∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，∴∠1=∠3，故①正确；∵，∴∠E=60，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故②正确；∵，∴，∵,∴∠3=∠B,∴,故③正确；∵，∴∠CFE=∠C，∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，∴∠1=∠E=,∴∠2=90-∠1=，故④正确，故选：D.【点拨】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.10．D【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，如图，∵图2中长方形的周长为48，∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，∴AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，故选：D．【点拨】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．11．65°【分析】过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．解：过点作∥，如图：，．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，．故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题12．124°【分析】先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC．解：∵AD//BC∴∠ABC=180°-∠A=180°-112°=68°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=34°∵AD//BC∴∠ADB=∠DBC=34°∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC=90°+34°=124°．故答案为124°．【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的性质，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．13．【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得答案．解：如图，作，，，，故答案为．【点拨】本题考查了方向角，利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题关键．14．60°##60度【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BM AD，过点F作FN AD，根据平行线的性质，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，过点B作BM AD，过点F作FN AD，如图所示：∵AD CE，∴AD FN BM CE，∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，∵∠F的余角等于2∠B的补角，∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），解得：x＝30，∴∠BAH＝60°．故答案为：60°【点拨】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．15．【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．解：如图，过点向右作，过点向右作,故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键．16．45°或135°【分析】根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案．解：如图1，过作，，，，，，，同理可得，由折叠可得：，，，如图2，过作，，，，，，，，由折叠可得：，，，综上所述：的度数为或，故答案为：45°或135°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF的度数．17．35°或145°．【分析】分两种情况讨论：点F在AO上，点F在OB上，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AFG度数．解：如图，当点F在AO上时，∵∠AOD＝110°，∴∠AOC＝70°，又∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝35°，∵FG∥OE，∴∠OGF＝35°，∴∠AFG＝∠AOD＋∠OGF＝110°＋35°＝145°；如图，当点F在OB上时，∵∠AOD＝110°，∴∠AOC＝70°，又∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝35°，∵FG∥OE，∴∠AFG＝∠AOE＝35°，故答案为35°或145°．【点拨】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键．18．【分析】根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．解：如图，连接AD、CD，作CH⊥DE于H，依题意可得AD=BE=3cm，∵梯形ACED的面积，∴，解得；故答案为：．【点拨】本题考查的是图形的平移和点到直线的距离，解题的关键是注意图形平移前后的形状和大小不变，以及平移前后对应点的连线相等．19．（1）证明见分析（2）70°【分析】（1）根据平行线的性质得出，从而得到，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出∠A+∠AED=180°，∠A=∠BFD，得到，结合条件比大，即可求出答案．解：（1）证明：（2）解：【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．20．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析；（5）CD【分析】（1）画直线AB即可；（2）画∠BAC即可；（3）画线段BC即可；（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D即可；（5）根据点到直线的距离即可得点C到直线AB的距离．解：如图所示：（1）直线AB即为所求作的图形；（2）∠BAC即为所求作的图形；（3）线段BC即为所求作的图形；（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D，CD即为所求作的图形；（5）点C到直线AB的距离为线段CD的长．【点拨】本题考查了作图，作直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，解决本题的关键是根据语句准确画出图形．21．（1）∠BOC、∠AOD（2）对顶角相等，160（3）26°试题分析：（1）根据互余两角和为90°，结合图形找出即可；（2）从图形中可知∠AOC和∠DOB为对顶角，直接可求解；（3）根据角平分线可求∠AOD的度数，然后根据对顶角和邻补角可求解.解：（1）图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）；（2）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度；（3）∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1=64°，∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°．22．(1)AD∥BC，AD=BC(2)①100°；②180°-2α【分析】（1）根据平移的性质和图形可得得，对应点连线互相平行且相等可得答案；（2）①利用平行线的性质和角平分线的定义得∠ADC=2∠GDF，从而得出答案；②由①同理可得答案．（1）解：∵将线段AB平移至DC，∴AD BC，AD=BC；（2）①∵AD BC，∴∠ADG=∠DGC，∵∠DGE=∠GDE，∴∠ADG=∠EDG，∵DF平分∠CDE，∴∠EDF=∠CDF，∴∠ADC=2∠GDF=2×40°=80°，∵AD BC，∴∠C+∠ADC=180°，∴∠C=100°；②∵AD BC，∴∠ADG=∠DGE，∵∠DGE=∠GDE，∴∠ADG=∠EDG，∵DF平分∠CDE，∴∠EDF=∠CDF，∴∠GDF=∠GDE-∠EDF=（∠ADE-∠CDE）=∠ADC，∴∠ADC=2α，∵AD BC，∴∠BCD+∠ADC=180°，∴∠BCD=180°-2α．【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义，角的和差等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性．23．（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．解：（1）∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=α＝30°，∴∠EOC=90°-30°=60°，∠AOD=180°-30°=150°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；故答案为：60，75；（2）当，．设当射线与射线重合时至少需要t秒，可得，解得：；答：当射线与射线重合时至少需要秒；（3）设射线转动的时间为t秒，由题意得：或或或，解得：或12或21或30．答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．【点拨】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．24．（2）∠B+∠C=360°﹣∠BEC；证明见分析；（3）20°．分析：利用平行线的性质求解.解：（1）∠CEF；∠BEF；∠BEF+∠CEF.（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC，EF∥AB，∴EF∥DC，∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠BEC=360°，∴∠B+∠C=360°﹣∠BEC；（3）∠A=20°．【点拨】平行线的判定定理（1）同位角相等，两直线平行.（2）内错角相等，两直线平行.（3）同旁内角互补，两直线平行.平行线的性质定理：（1）两直线平行，同位角相等.（2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.平面几何中，判定定理和性质定理是成对出现的，定义也可以作为判定定理使用.。

2024年浙教版七年级下第1章平行线复习课件2一、教学内容本节课复习2024年浙教版七年级下第1章《平行线》相关内容。

具体包括：1.1平行线的判定；1.2平行线的性质；1.3平行线的推论。

通过本章学习，使学生掌握平行线的判定方法，理解并熟练运用平行线的性质及其推论。

二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握平行线的判定方法，能运用平行线的性质及其推论解决实际问题。

2. 过程与方法：培养学生观察、分析、概括的能力，提高逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点重点：平行线的判定方法、性质及其推论。

难点：平行线判定与性质的综合运用。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

学具：练习本、铅笔、尺子。

五、教学过程1. 引入：通过实际生活中的实例（如铁轨、操场跑道等），引导学生回顾平行线的概念，为新课学习做好铺垫。

2. 讲解：回顾平行线的判定方法、性质及其推论，结合具体例子进行讲解。

3. 例题讲解：讲解典型例题，引导学生运用平行线的判定方法、性质及其推论解决问题。

4. 随堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 小组讨论：针对练习题中的难题，组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

6. 答疑：针对学生疑问，进行解答，帮助学生扫清知识障碍。

六、板书设计1. 平行线的判定方法2. 平行线的性质3. 平行线的推论4. 典型例题七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列说法是否正确：①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行。

②在同一平面内，两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线一定平行。

（2）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，且∠BEF=∠DFE。

求证：EF∥AC。

2. 答案：（1）①错误；②正确。

（2）证明：∵AB∥CD，∠BEF=∠DFE。

∴∠AEB=∠CFD（同位角相等），∠ABE=∠CDE（内错角相等）。

∴∠AEB+∠ABE=∠CFD+∠CDE，即∠BEF=∠DFE。

浙教版七年级下数学平行线复习培优提高LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】EDC BA 平行线复习1、平行线的概念例题：判断对错：1）不相交的直线互相平行 2）不相交的线段互相平行3）不相交的射线互相平行4）有公共点的直线一定不平行 5）过两点有且只有一条直线6）在同一平面内两条不同的直线有且仅有一个公共点7）经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行8）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直9）过一点有且只有一条直线与已知直线平行10）过任意一点可作已知直线的一条平行线2、平行线的画法：一贴，二靠，三移，四画3、同位角，内错角，同旁内角例：分别判断下列各图中有几对同位角，内错角，同旁内角第1图 第2图 第3图4、平行线的判定；平行线的性质例：1）如图要判断AB DH EG BC ∥∥DC EF∥αββα2,,=∠+∠+∠=∠+∠=证明：D C B E A AB CD ∥ABE ∠CDE ∠F 140E ∠=︒BFD ∠2121//AC BD //AB CD E ∠=∠1F ∠=∠2AE CF O CF AE ⊥7、问题探究——平行线性质和判定综合1）已知：如图，△ABC ．求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°2）如图，∠B ＝∠D ，∠1＝∠3．求证：AD 题探究——平行线间的动点问题如图，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连接PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD ；（2）当动点P 落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立？（3）当动点P 落在第③部分时，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．。

2024年浙教版七年级下册第1章平行线复习课件一、教学内容本节课复习内容基于2024年浙教版七年级下册第1章“平行线”，具体包括：1.1节平行线的性质，1.2节平行线的判定，1.3节平行线的应用。

二、教学目标1. 让学生熟练掌握平行线的性质和判定方法，能够运用其解决实际问题。

2. 培养学生空间想象能力和逻辑推理能力，提高数学素养。

3. 使学生能够运用平行线知识，解决生活中的实际问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：平行线的判定方法，平行线在实际问题中的应用。

2. 教学重点：平行线的性质，平行线的判定。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，平行线模型，直尺，量角器。

2. 学具：练习本，直尺，量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中常见的平行线现象，引导学生发现平行线的应用，激发学习兴趣。

2. 例题讲解：讲解典型例题，引导学生运用平行线性质和判定方法解决问题。

（1）例1：已知直线a//b，点P在直线a上，点Q在直线b上，证明：∠APQ=∠BQY。

（2）例2：如果两条直线被第三条直线所截，使同位角相等，那么这两条直线是否平行？为什么？3. 随堂练习：让学生完成教材第1章第3节后的习题，巩固所学知识。

4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，提高学生的合作能力。

六、板书设计1. 平行线的性质：（1）同位角相等（2）内错角相等（3）同旁内角互补2. 平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行七、作业设计1. 作业题目：（1）已知直线a//b，点P在直线a上，点Q在直线b上，求证：∠APQ=∠BQY。

（2）如果两条直线被第三条直线所截，使同位角相等，那么这两条直线是否平行？为什么？2. 答案：八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：（1）研究平行线与相交线之间的夹角关系（2）了解平行线在实际生活中的应用，如建筑设计、道路规划等。

浙教版七年级下数学辅导一平行线一章培优浙教版七年级下数学辅导一平行线一章培优七年级以下的数学辅导——平行线章节一、选择题1.在同一平面上，两条不重合直线的位置关系为（）a．平行b．相交c．平行或相交d．平行、相交或垂直2.若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是（）a、平行的B.垂直的C.相交的D.在下面的图中，上述三个都不是，通过平移其中一个四边形不能得到的是（）4.（2021春?文安县期中）如图所示，下列说法错误的是（）A.∠ 1和∠ 3是相同的位置角B。

∠ 1和∠ 5是相同的位置角C。

∠ 1和∠ 2为同侧内角D。

∠ 5和∠ 6是内部交错角5.过一点画已知直线的平行线（）a、是的，只有一个B.无C.两个D.无或只有一个6.如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③ad∥be，且∠d=∠b；其中，能推出ab∥dc的条件是（）a．①②b．①③c．②③d．以上都错7.（2022？临沂模拟）如图所示，de‖BC，EF‖AB，则图中的角度必须等于∠ B（不包括∠ b）（）a．1个b．2个c．3个d．4个8（春季2022—新昌县中学中期），如图所示：∠ 2是2的两倍∠ 1那么∠ 2等于（）a．60°b．90°c．120°d．150°9.（2022年？南宁学校级模拟）如图所示，如果直线L1‖L2，∠ 1 = ∠ 2 = 35 °, ∠ P=90°，则∠ 3等于（）a.50°b.55°c.60°d.65°10.（2021?长春二模）如图，a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线a上，若∠1=50°，则∠2的度数字是（）a．30°b．40°c.50?d.45?二、填空11.在同一平面内，直线a，b相交于p，若a∥c，则b与c的位置关系是．12.如图所示，与∠a是同旁内角的角共有个．13.（2022年？瓯海地区的第一次模拟考试），如图ABC所示，如果四边形ABFD的周长为28cm，则△abc的周长是cm．14.如图所示，ab‖CD，∠ CDE=140°，则∠ A是15.（2021?河北一模）如图，m∥n，直角三角板abc的直角顶点c在两直线之间，两直角边与两直直线相交形成的锐角为α、β、beα+β=。