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命题与证明的知识点总结一、知识结构梳理二、知识点归类知识点一定义的概念对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。

如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。

注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。

知识点二命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是华东师大版的”等。

注意：（1）命题必须是一个完整的句子。

（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。

知识点三命题的结构每个命题都有条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。

一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。

有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。

如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。

例把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。

1、同角的余角相等2、两点确定一条直线知识点四真命题与假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。

知识点五证明及互逆命题的定义1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。

注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。

2、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。

注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。

《命题与证明》知识讲解(总5页) --本页仅作预览文档封面，使用时请删除本页--《命题与证明》知识讲解宋老师【学习目标】1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会判断一个命题的真假；2．了解综合法的证明步骤和书写格式.3．运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解决一些简单的问题，用几何语言进行简单的推理论证.4.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立.会判断一个命题的逆命题的真假.【要点梳理】要点一、定义、命题、真命题、假命题定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义.命题：判断一件事情的句子叫命题．真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题.假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.要点二、证明根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理.证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.证明的步骤：1.根据题意，画出图形；2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；3.写出证明过程.要点诠释：推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.要点三、三角形的内角和定理及其推论三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.要点诠释：(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．(2)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（4）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．要点四、互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了.要点诠释：每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.【典型例题】类型一、逆命题与逆定理1. 下列命题是真命题的是（）A．如果|a|=1，那么a=1B．有两条边相等的三角形是等腰三角形C．如果a为实数，那么a是有理数D．相等的角是对顶角.；【答案】B.【解析】如果|a|=1，那么a=±1，故A错误；如果a为有理数，那么a是实数，故C错误；两个直角三角形中的两个直角相等，但不是对顶角，故D错误；而B根据等腰三角形的定义可判断正确；【总结升华】主要考查命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义.举一反三：【变式】（2016春•东平县期中）下列句子中，不是命题的是（）A．三角形的内角和等于180°B．对顶角相等C．过一点作已知直线的平行线D．两点确定一条直线【答案】C．C不是可以判断真假的陈述句，不是命题；A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题．故选C．2.下列命题中，逆命题正确的是（）A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余C.全等三角形面积相等D.全等三角形对应角相等【答案】B.【解析】A选项逆命题是相等的角是对顶角，不对；B选项逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，对的；C选项逆命题是面积相等的三角形是全等三角形显然不对；D选项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不一定，也可能是相似三角形.【总结升华】判断逆命题是否正确，能举出反例即可.举一反三：【变式】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假．(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)若a=0，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；【答案】(1)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；3. 对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，请你以其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果…，那么…”的形式，写出两个正确的命题．【思路点拨】同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一直线的两直线平行，则可由③⑤得到②；由①②得到④．【答案与解析】解：如果③a⊥b，⑤a⊥c，那么②b∥c；如果①a∥b，②b∥c，那么④a∥c．【总结升华】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题为假命题；命题分为题设与结论两部分．也考查了平行线的性质．类型二、证明举例（1）平行线的性质与判定进行几何证明：4.（2015春•姜堰市期末）如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．已知AB⊥ BC、CD⊥ BC，BE∥ CF，，求证：∠ 1=∠ 2．【思路点拨】由于AB⊥ BC、CD⊥ BC得到AB∥ CD，利用平行线的性质得到∠ ABC=∠DCB，又BE∥CF，则∠ EBC=∠ FCB，可得到∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB，即有∠ 1=∠ 2．【答案与解析】证明：∵ AB⊥ BC、CD⊥ BC，∴AB∥ CD，∴∠ ABC=∠ CB，又∵ BE∥ CF，∴∠ EBC=∠ FCB，∴∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB，∴∠ 1=∠ 2．【总结升华】本题考查的是平行线的判定和性质的综合应用.举一反三：【变式】如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．【答案】∠A=∠F．证明：∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，∴∠DGF=∠EHF，∴BD∥CE；∴∠C=∠ABD，又∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，∴DF∥AC；∴∠A=∠F．（2）与三角形有关的几何证明：5.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°．又因为∠BAD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH，所以∠BID=∠CIH．【答案与解析】证明：∵AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，∴∠BAD=12∠BAC，∠ABI=12∠ABC，∠HCI=12∠ACB．∴∠BAD+∠ABI+∠HCI=12∠BAC+12∠ABC+12∠ACB=12（∠BAC+∠ABC+∠ACB）=12×180°=90°．∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI．∵IH⊥BC，∴∠IHC=90°∴90°-∠HCI=∠CIH，∴∠CIH=∠BAD+∠ABI∵∠BID=∠BAD+∠ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）∴∠BID=∠CIH．【总结升华】考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，在推导角的关系时，一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.(3)文字命题的证明：6、求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值. 【思路点拨】先画图，设等边三角形的边长为a,高为h,再利用三角形的面积公式来求，原三角形分成三个大小不等的三个三角形，三个三角形的面积和与原三角形的面积相等，即S △AB C =S △PA B +S △P BC +S △PA C ；可得h=PE+PF+PD.【答案与解析】已知：如图，△ABC 是等边三角形，P 是三角形内任一点，PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC．垂足分别为E 、G 、F ，求证：PE+PG+PF 为定值.证明：设等边三角形△ABC 的边长为a ，面积为S ． 连结PA 、PB 、PC ，则PG ，S △APB =12a •PE ，S △CPB =12a •PF ，S △APC =12a •于是S △APB +S △CPB +S △APC =12a •PE+12a •PF+12a •PG ， 即12a •PE+12a •PF+12a •PG=S ， PE+PF+PG=2S a ，为定值．【总结升华】对于文字命题的证明,要根据文字所描述的内容写出已知和求证，然后证明.。

命题与证明知识点总结命题与证明是数学中基础且重要的一部分，它涉及到逻辑推理、推断和论证等一系列思维活动。

在整个数学学科中，命题与证明贯穿始终，无处不在。

本文将系统总结命题与证明的相关知识点，包括命题逻辑、证明方法、常见证明技巧等内容。

一、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系的一门学科，其中命题是陈述句，它要么为真，要么为假。

在命题逻辑中，我们通常使用符号来表示命题，并通过符号之间的逻辑连接来表达命题之间的关系。

常见的逻辑连接包括合取(∧)、析取(∨)、蕴含(→)、双条件(↔)等。

1.合取合取是指命题p和q同时为真时，合取命题p∧q为真，否则为假。

合取命题p∧q的真值表如下：p q p∧qT T TT F FF T FF F F2.析取析取是指命题p和q中至少有一个为真时，析取命题p∨q为真，否则为假。

析取命题p∨q的真值表如下：p q p∨qT T TT F TF T TF F F3.蕴含蕴含是指当p为真而q为假时，蕴含命题p→q为假，否则为真。

蕴含命题p→q的真值表如下：p q p→qT T TT F FF T TF F T4.双条件双条件是指命题p和q同时为真或同时为假时，双条件命题p↔q为真，否则为假。

双条件命题p↔q的真值表如下：p q p↔qT T TT F FF T FF F T二、证明方法在数学中，我们常常需要证明一个命题的真假，为此我们需要采用合适的证明方法来论证。

常见的证明方法包括直接证明法、间接证明法、数学归纳法等。

1.直接证明法直接证明法是指通过一系列逻辑推理来证明一个命题的方法。

通常情况下，我们能够找到一条直接的逻辑推理路径，从已知的事实得出结论。

举例：证明“所有的偶数都是2的倍数”。

我们可以直接证明该命题，因为偶数的定义就是2的倍数。

2.间接证明法间接证明法是指通过反证法来证明一个命题的方法。

我们假设该命题的反命题为真，然后通过一系列逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。