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09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。
f 和g 都是连续函数。
椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。
不妨设0)0(,0)0(g >=f 。
当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。
这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。
就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。
证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。
2023年全国数学建模题目
一、优化模型
题目：全球能源分配优化问题
问题描述：全球各国对能源的需求不断增长，而能源资源有限。
为了实现可持续发展，需要优化全球能源分配，确保各国都能获得适量的能源供应。
请运用优化模型和方法，设计一个全球能源分配方案，以满足各国能源需求，并尽量减少能源浪费和环境污染。
二、统计分析
题目：社交媒体用户行为分析
问题描述：社交媒体平台上积累了大量用户数据，包括用户发布的内容、关注对象、互动情况等。
请运用统计分析方法，分析社交媒体用户的偏好、行为模式和社交网络结构，为相关企业提供营销策略建议。
三、机器学习
题目：基于机器学习的文本分类问题
问题描述：文本数据包括各种主题，如政治、经济、文化等。
请运用机器学习算法，对给定的文本数据进行分类，并评估分类效果。
同时，请探讨如何提高分类准确率和泛化能力。
四、预测模型
题目：商品价格预测问题
问题描述：商品价格受到多种因素的影响，如市场需求、生产成本、政策因素等。
请运用预测模型和方法，预测未来一段时间内某种商品的价格走势，为投资者和企业提供决策依据。
五、决策分析
题目：企业投资决策问题
问题描述：企业需要在多个项目中做出投资决策，以实现利润最大化。
请运用决策分析方法，评估各项目的风险和收益，为企业制定最优投资策略。
六、系统动力学
题目：城市交通拥堵问题研究
问题描述：城市交通拥堵是一个复杂的问题，涉及多个因素之间的相互作用。
请运用系统动力学方法，建立城市交通拥堵问题的动力学模型，分析各因素之间的因果关系和动态变化规律，提出缓解交通拥堵的策略建议。
2023全国数学建模题目一、选择题（每题3分，共15分）下列哪个数不是质数？A. 2B. 3C. 9D. 13若一个圆的半径是5cm，则它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π下列哪个方程表示的是一条直线？A. y = x²B. y = 2x + 1C. y = 1/xD. xy = 1下列哪个数最接近√10？A. 2B. 3C. 4D. 5一个三角形的两边长分别为3和4，第三边的取值范围是多少？A. 1 < x < 7B. 2 < x < 8C. 3 < x < 9D. 4 < x < 10二、填空题（每题4分，共20分）绝对值等于5的数是_______。
已知|a - 3| + (b + 2)² = 0，则 a + b = _______。
已知一个正方体的棱长是6cm，则它的体积是_______ cm³。
方程2x - 3 = 5 的解是x = _______。
已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积是_______ cm²。
三、计算题（每题10分，共30分）计算：√27 - | - 2| + (1/2)^(-1) - (π - 3)^0。
解方程组：{x + 2y = 5,3x - y = 8.}已知一个矩形的面积是48cm²，一边长为6cm，求另一边长。
四、应用题（每题15分，共30分）某商店购进一批苹果，进价为每千克5元，售价为每千克8元。
若商店想要获得至少300元的利润，则至少需要售出多少千克的苹果？一辆汽车从A地开往B地，前两小时行驶了120km，后三小时行驶了180km。
求这辆汽车的平均速度。
一、填空题（2’*8=16’） 1.对于人口模型0()t x t x e λ=，当t →∞时，人口变化趋势是（）。
2.数学建模方法相结合，可以用（）建立模型结构，用（）确定模型参数。
3.传染病模型中，设λ为日接触率，μ为日治愈率，则/λμ表示（）。
4.若线性回归模型的2R 统计量的值为0.98，F 统计量为206，则该模型（）（线性显著、线性不显著）。
5.对于经济批量订购公式T Q rT ===若订购费1c 增加，则订购周期和订购量的变化趋势是（）。
6.变量123,,x x x 与y 之间的多元线性回归模型为（）。
7.对于模型1max ,nj j j Z c x ==∑1,1,2,...,,0,1,2,...,nij j i j ja xb i mx j n=⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑变量1x 的价值系数为（ ）。
8.二维线性规划问题的可行域若存在，则一定为（ ）。
二、判断题（2*6’=12’)9.线性规划问题12max 2,Z x x =+212121,251562245,0x x x x x x x ⎧≤⎪+≤⎨⎪+≤≥⎩的最优解为*7/2,3/2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭若三个约束分别代表A 、B 、C 三种资源，则哪种资源的影子价格为0？那种资源在生产中已耗费完毕？那种资源未得到充分利用？ 10.“生猪出售时机”模型中，（1）第t 天生猪体重函数为w(t)=w(0)+rt 时，表示体重变化趋势是什么？（2）体重函数为0()(0)/[(0)()]at m m w t w w w w w e -=+-时，表示体重变化趋势是什么？（3）哪个函数更符合实际？ 三、模型分析题（2*6’=12’） 11.物体在时刻t 的温度为().xx t =在常温A 下，假设物体温度对时间的变化率与物体温度和周围温度之差成正比。
比例系数为k>0.（1）建立数学模型。
（2）在初始条件00()x t x =下，求平衡点。
数学建模题目1、山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
➢ 方法一：利用插值的方法，绘制山区的地貌图和等高线，采用了5种插值方法，分别是最邻近插值、线性插值、三次样条插值、立方插值、分段线性插值，得到如图1-5所示的图像：图1 最邻近插值地貌图（左），等高线（右）图2 线性插值地貌图（左），等高线（右）3600 3200 2800 2400 2000 1600 1200 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 Y/x 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000surfc(xi,yi,z3i)xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')%立方插值title('立方插值')figure(5)z4i=interp2(x,y,z,xi,yi','spline');surfc(xi,yi,z4i)xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')%三次样条插值% title('三次样条插值')figure(6)z5i=interp2(x,y,z,xi,yi','linear');surfc(xi,yi,z4i)xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')%线性插值title('线性插值')figure(7)subplot(3,2,1),contour(xi,yi,z1i,10,'r');subplot(3,2,2),contour(xi,yi,z2i,10,'r');subplot(3,2,3),contour(xi,yi,z3i,10,'r');subplot(3,2,4),contour(xi,yi,z4i,10,'r');subplot(3,2,5),contour(xi,yi,z5i,10,'r');%comparefigure(8)contour(xi,yi,z1i,10,'r')title('最邻近插值')figure(9)contour(xi,yi,z2i,10,'r')title('分段线性插值')figure(10)contour(xi,yi,z3i,10,'r')title('立方插值')figure(11)contour(xi,yi,z4i,10,'r')title('三次样条插值')figure(12)contour(xi,yi,z5i,10,'r')title('线性插值')➢方法二：针对绘制等高线和地貌图的问题，使用 Matlab中的contourf命令绘制等高线，surf命令绘制带阴影的三维曲面图，得到地貌图，如图 6所示的地貌图和平面等高线：图 6 山区地貌图（左），等高线图（右）（1）等高线绘制程序：clc;clf;clear;x=1200:400:4000;y=1200:400:3600;z=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];hold onc=contourf(x,y,z,10);clabel(c)（2）地貌图绘制程序：clc;clf;x=1200:400:4000;y=1200:400:3600;z=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];figuresurf(x,y,z),view(50,30),hold on2、假定某地某天的气温变化记录数据见下表，误差不超过0.5℃，试找出其这一天的气温变化规律。
数学建模习题景德镇陶瓷学院信息工程学院习题一1.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
2.模仿1.4节商过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
3.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：（1）分段的指数增长模型。
将时间分为若干段，分别确定增长率r 。
（2）阻滞增长模型。
换一种方法确定固有增长率r 和最大容量m x 。
4.说明1.5节中Logistic 模型(9)可以表为)(01)(t t r m ex t x --+=,其中0t 是人口增长出现拐点的时刻,并说明0t 与r, m x 的关系.5.假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+∆t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。
6.某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿。
次日早8：00沿同一条路径下山，下午5：00回旅店。
某乙说，甲必在二天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
为什么？7.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。
问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。
如果是n支球队比赛呢？8.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
解答：（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。
故商品的价格可表示α，β，γ为大于0的常数）。
（2）显然c是w的减函数。
说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，β为价格)。
T解答：由题意得：总利润为在此约束条件下的最大值点为题目33.某商店要订购一批商品零售，订购费c(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，与时间无关)。
问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。
为使这个平均加什么限制？利润为正值，需要对订购费c解答：设订购量为u，则平均利润为u为使这个利润为正值，应有题目44.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
解答：雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸lv降落，题目55.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解答：（1）设投资证券A,B,C,D,E，按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
初中数学建模题目一、代数方程建模1. 小明每天早上7点上学，他以每分钟70米的速度走到学校，需要30分钟。
请问小明家离学校的距离是多少？2. 一个化肥厂生产化肥，每生产一吨需要耗电40度。
如果电费每度为0.6元，那么生产100吨化肥需要多少电费？二、几何图形建模1. 一个矩形花园的长是15米，宽是8米。
要在花园四周种上花边，花边的总长度是多少？2. 一个三角形ABC的三边长分别为3、4、5厘米，求三角形的面积？三、概率统计建模1. 一盒子里有红球和白球共10个，其中红球有6个。
如果随机从盒子里摸出一个球，那么摸到红球的概率是多少？2. 小华在数学考试中得了85分，全班平均分是90分。
求小华的分数高于全班平均分的概率？四、函数关系建模1. 小明从家里出发去公园，走了1小时后，他走了3公里。
如果他的速度保持不变，请问他还需要多少时间才能到达公园？2. 一个水库的水位高度与降雨量有关，当降雨量为50毫米时，水位会上升5米。
求水库的水位高度与降雨量的函数关系。
五、三角函数建模1. 一个摩天轮的高度为40米，直径为50米。
当摩天轮转过一圈时，求最顶端点到地面的高度？2. 一个登山队要从山脚爬到山顶，已知山的斜度为60度，登山队爬了300米后，他们还有多远才能到达山顶？六、数列建模1. 一个自然数列的前两项分别为1和2，以后各项都是其前面各项的和。
求这个数列的第10项是多少？2. 一个商场销售某商品，每件商品的进价为8元，售价为10元。
每天售出50件，求一个月（30天）后，商场能赚多少钱？七、线性规划建模1. 某地计划建设一个生态公园，需要种上一些树木。
已知种一棵树需要花费100元，而生态公园的总预算是5000元。
问在满足预算限制的条件下，最多能种多少棵树？2. 某公司生产两种产品：产品A的单价为20元，利润率为20%；产品B的单价为15元，利润率为15%。
公司现有资金20万元，问应如何安排两种产品的生产量，才能使公司获得最大利润？。
数学建模练习题数学建模习题题⽬11. 在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。
⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的每⽀元，⼆者单位重量的价格⽐是：1.试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减⼩的程度变⼩，解释实际意义是什么。
解答：（1）分析：⽣产成本主要与重量w成正⽐，包装成本主要与表⾯积s成正⽐，其他成本也包含与w和s成正⽐的部分，上述三种成本中都包含有与w,s 均⽆关的成本。
⼜因为形状⼀定时⼀般有3事/ ,故商品的价格可表⽰为1 ⼀.⼀⼀ | ⼀： :（a，B，丫为⼤于0的常数）。
（2）单位重量价格',显然c是w的减函数。
说明⼤包装⽐⼩包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变⼤是逐渐降低的，不要追求太⼤包装的商品。
函数图像如下图所⽰：题⽬22. 在考虑最优定价问题时设销售期为T,由于商品的损耗，成本q随时间增长, 设q = * 0 t, B为增长率。
⼜设单位时间的销售量为x = a - bp（p为价格）今将销售期分为⼀⼆，?⼀和?⼕-⼁两段，每段的价格固定，记为/ .求的最优值，使销售期内的总利润最⼤。
如果要求销售期T内的总销售量为丁 ,再求'的最优值解答：由题意得：总利润为 ||| ：；◎,「.=' ⼚「I ⼗、^.7 -⼗+ '' ■■''■' ■■- l ，J以⼧⼈hPt -(舸 + @ ■ bp$ - b[p2 - (go 3p T/4)]由⼀=0, — -「，可得最优价格设总销量为丁 ,〔a - bpp dt + J'/a - bp^dt - aT - —(pf +在此约束条件下U的最⼤值点为$bT~ bT a题⽬33. 某商店要订购⼀批商品零售，设购进价 G ,售出6,订购费C o （与数量⽆关），随机需求量r 的概率密度为p （r ），每件商品的贮存费为（与时间⽆关）。
历年数学建模题目
以下是部分历年的数学建模题目：
1. 1992年：施肥效果分析问题、实验数据分解问题。
2. 1993年：非线性交调的频率设计问题、足球排名次问题。
3. 1994年：逢山开路问题、锁具装箱问题。
4. 2002年：车灯线光源的优化设计、彩票中的数学、车灯线光源的计算（大专组）、赛程安排（大专组）。
5. 2003年：SARS的传播、露天矿生产的车辆安排、奥运会临时超市网点设计、电力市场的输电阻塞管理、饮酒驾车、公务员招聘。
6. 2005年：出版社的资源配置、艾滋病疗法的评价及疗效的预测、易拉罐形状和尺寸的最优设计、煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制。
7. 2008年：数码相机定位、高等教育学费标准探讨、地面搜索、NBA赛程的分析与评价。
8. 2009年：制动器试验台的控制方法分析、眼科病床的合理安排、卫星和飞船的跟踪测控、会议筹备。
以上信息仅供参考，如需历年数学建模题目，建议查阅数学建模论坛或相关网站获取。
小学数学建模试题及答案
一、选择题
1. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？
A. 50
B. 100
C. 150
D. 200
答案：B
2. 一个班级有40名学生，其中男生人数是女生人数的两倍，那么这个班级有多少名男生？
A. 16
B. 20
C. 24
D. 28
答案：C
二、填空题
3. 如果一个数乘以3后再加上5等于22，那么这个数是______。
答案：5
4. 一个数的一半加上3等于9，那么这个数是______。
答案：12
三、解答题
5. 一个水池，每天注入水量是前一天的两倍，第一天注入了1升水。
请问第五天注入了多少升水？
答案：第五天注入了32升水。
6. 小明有若干个苹果，他给小华一半，然后又给小华两个，最后自己剩下3个。
问小明最初有多少个苹果？
答案：小明最初有10个苹果。
四、应用题
7. 一个农场有鸡和兔子共35只，脚的总数是94只。
问农场上有多少只鸡和多少只兔子？
答案：农场上有23只鸡和12只兔子。
8. 一个水果店早上卖出了苹果和橘子共100个，其中苹果的数量是橘子的两倍。
问水果店早上卖出了多少个苹果和橘子？
答案：水果店早上卖出了66个苹果和34个橘子。
数学建模13道题数学建模是数学中的一个分支，它是指将现实世界中的问题抽象成数学模型，并用数学方法来解决这些问题。
数学建模题一般包含数学模型的建立，问题的分析和求解等几个方面。
下面介绍13道数学建模题，希望读者可以从中得到启发。
题目一：如何预测股票价格？这是一个经典的数学建模题。
股票价格是由多种因素决定的，如市场供求关系、经济政策等。
数学建模者需要考虑这些因素，并根据历史数据建立合适的模型来预测未来的股票价格。
题目二：如何优化物流配送？对于物流配送问题，数学建模者需要考虑到多种因素，如配送距离、时间、运输工具等。
通过建立运输成本函数，制定合适的配送策略，可以实现物流配送的优化。
题目三：如何求解最优化问题？在最优化问题中，数学建模者需要考虑多种因素，如成本、效率、质量等。
通过建立目标函数、限制条件等方程，可以求得最优解。
题目四：如何优化网络布局？网络布局优化是一个复杂的问题。
数学建模者需要考虑到多种因素，如节点距离、带宽、延迟等。
通过建立合适的模型，可以制定出最优的网络布局方案。
题目五：如何预测自然灾害？自然灾害是不能预测的，但数学建模可以通过历史数据、气象预报等多种信息来建立模型，以预测未来可能发生的自然灾害，提前做好应对措施。
题目六：如何优化生产流程？生产流程优化需要考虑多种因素，如成本、效率、质量等。
数学建模者可以通过建立合适的模型，分析生产流程的瓶颈和优化空间，从而实现生产流程的优化。
题目七：如何优化城市规划？城市规划优化需要考虑多种因素，如人口密度、交通拥堵、环境保护等。
数学建模者可以通过建立合适的模型，预测城市未来的发展趋势，制定出最优的城市规划方案。
题目八：如何提高学生的学习成绩？学生的学习成绩受多种因素影响，如个人能力、学习环境、教学质量等。
数学建模者可以建立合适的模型，帮助学生发现自己的学习问题，并制定出最优的学习策略。
题目九：如何优化教学质量？教学质量优化需要考虑多种因素，如教师水平、教材质量等。
数学建模试题及答案1．设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,43)(+-=+=kp p f p p ϕ其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。
解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：)()(1n n p f p =-ϕ 2分9431+-=+-n n kp p即： kp k p n n 531+-=- 经递推有：kk p kkk k p k p n nn nn n 5)3()3(5)53(31102⋅-+⋅-=++-⋅-=-=-∑6分0p 表示初始时的市场价格:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13n p k 即k<<<-。
10分 2．某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手) 由遗传学原理有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n c b a c c b a b c b a a 4分设向量T n n n n c b a x )..(=1-⋅=n n X M x式中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12100211000M 递推可得：0X M X n n ⋅=对M 矩阵进行相似对角化后可得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ1000210000 其相似对角阵1111012001-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=p p 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅Λ=-111012001)21(111012001101n n n p p M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=----1)21(1)21(10)21()21(0001111n n n n nM10101010))21(1())21(1(0)21()21(0b ac c b a b a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=++==---- 8分 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。
数学建模例题题数学建模试题⼀、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有⼀些传染病暴发或流⾏，危害⼈们的健康和⽣命。
社会、经济、⽂化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，⽽最直接的因素是：传染者的数量及其在⼈群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能⼒、免疫能⼒等。
⼀般把传染病流⾏范围内的⼈群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能⼒，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的⼈，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈⽽具有免疫⼒的⼈。
要求：请建⽴传染病模型，并分析被传染的⼈数与哪些因素有关？如何预报传染病⾼潮的到来?为什么同⼀地区⼀种传染病每次流⾏时，被传染的⼈数⼤致不变？⼆、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12⽉的进货、售货计划，已知商店仓库最⼤容量为1500件，6⽉底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每⽉初进货⼀次，假设各⽉份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每⽉的库存费⽤为0.5元，问各⽉进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建⽴数学模型，并⽤软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划⽬标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束⽅程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调⽤线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、⼀阶常微分⽅程模型—⼈⼝模型与预测下表列出了中国1982-1998年的⼈⼝统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万⼈，200000=m N 万⼈。
《数学建模课程》练习题一一、填空题１、设开始时得人口数为,时刻得人口数为,若人口增长率就是常数，那麽人口增长问题得马尔萨斯模型应为。
２、设某种商品得需求量函数就是而供给量函数就是,其中为该商品得价格函数，那麽该商品得均衡价格就是8０。
3、某服装店经营得某种服装平均每天卖出1１０件，进货一次得手续费为200元，存储费用为每件0、01元/天,店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为。
4、一个连通图能够一笔画出得充分必要条件就是图中奇点个数为０或２、、5、设开始时得人口数为，时刻得人口数为,若允许得最大人口数为，人口增长率由表示，则人口增长问题得罗捷斯蒂克模型为、6、在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量将与下列因素有关:（1)参加展览会得人数； (2)气温超过；(3)冰淇淋得售价、由此建立得冰淇淋销量得比例模型应为就是比例常数、7、若银行得年利率就是%，则需要时间，存入得钱才可翻番、若每个小长方形街路得8、如图就是一个邮路，邮递员从邮局Ａ出发走遍所有长方形街路后再返回邮局、边长横向均为1km，纵向均为2ｋm，则她至少要走42km、、A9、设某种新产品得社会需求量为无限,开始时得生产量为100件,且设产品生产１0、商店以１０元/件得进价购进衬衫,若衬衫得需求量模型就是就是销售单价(元／件）,为获得最大利润,商店得出售价就是、二、分析判断题1．从下面不太明确得叙述中确定要研究得问题,需要哪些数据资料(至少列举3个）,要做些甚麽建模得具体得前期工作(至少列举3个）,建立何种数学模型:一座高层办公楼有四部电梯,早晨上班时间非常拥挤，该如何解决.1）要研究得问题：如何设置四部电梯得停靠方式，使之发挥最大效益2)所需资料为:每天早晨乘电梯得总人数、各层上、下电梯得人数、电梯得速度、楼层得高度、层数等3)要做得具体建模前期工作:观察与统计所需资料,一般讲，需要统计一周内每天得相关资料4）可以建立概率统计模型，亦可在适当得假设下建立确定性模型2．某种疾病每年新发生1０00例，患者中有一半当年可治愈、若2００0年底时有１20０个病人,到２00５年将会出现甚麽结果？有人说,无论多少年过去,患者人数只就是趋向２０00人，但不会达到２000人,试判断这个说法得正确性、根据题意可知：下一年病人数==当年患者数得一半+新患者、于就是令为从20０0年起计算得年后患者得人数,可得到递推关系模型：由可以算出2005年时得患者数人、递推计算得结果有，容易瞧出，故结论正确、3．一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路得习惯,不愿意走临近得“斑马线”。
交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人,准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路.那末“选择设置斑马线得地点”这一问题应该考虑哪些因素?试至少列出3种。
（1)车流得密度（2)车得行驶速度（3）道路得宽度（4)行人穿越马路得速度（5）设置斑马线地点得两侧视野等。
4、某营养配餐问题得数学模型为ｍinZ＝4x1+3x２s、t、其中表示参与配餐得两种原料食品得采购量，约束条件（1）、（2）、（３)依次表示铁、蛋白质与钙得最低摄入量.并用图解法给出了其最优解,试分析解决下述问题: （１）假如本题得目标函数不就是求最小而就是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果?（2)本题最后定解时，只用了直线(1)与直线（3)，而直线(２）未用上,这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释、（1)因为可行域得右上方无界,故将出现目标函数趋于无穷大得情形,结果就是问题具有无界解;（2）将最优解代入约束条件可知第二个约束条件为严格不等式,而其她为严格等式。
这说明，铁与钙得摄入量达标，而蛋白质得摄入量超最低标准18个单位。
5。
据绘画大师达芬奇得说法，在人体躯干与身高得比例上,肚脐就是理想得黄金分割点。
也就就是说，这个比值越接近0、6１８,就越给人以一种美得感觉。
很可惜,一般人得躯干(由脚底至肚脐得长度)与身高比都低于此数值,大约只有0、58-0、６0左右。
设躯干长为,身高为,一位女士得身高为,其躯干与身高之比，若其所穿得高跟鞋高度为(单位与，相同），那么,她该穿多高得高跟鞋(=?)才能产生最美得效应值。
穿高跟鞋后新得比值应为令，由此可解得三、应用题１.从厂家A往B、C、D三地运送货物，中间可经过9个转运站、从A到得运价依次为３、８、7；从到得运价为4、3；从到得运价为2、8、４；从到得运价为7、6；从到得运价为１０、1２；从到得运价为1３、5、7;从到得运价为６、８；从到得运价为9、10；从到得运价为5、1０、15；从到得运价为8、7。
试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少得运输路线。
1、先建立模型（图１)，然后使用双标号法求解,得到图2。
图1 图２由图2进行逆向搜索可知，从厂家A到Ｂ只有一条路线最短：;从厂家Ａ到C有两条最短路线可选择：从厂家Ａ到D也只有一条路线最短：、2、试求如表2所示运输问题得最优运输方案与最小运输费用：表2ﻩ单位：百元/吨销地产地运价B1B２B3Ｂ4产量A1 A2Ａ3 3 5 2 94 7 512６９１0１１2015２5销量10 20 15 15如表1，表销地产地运价B１B２Ｂ３B4产量A1 A2Ａ33⑤ 5 2⒂94⑤７⑩5１2６9⑩1011⒂２０152５销量10 20 15 15使用闭回路法可得负检验数为=-1,故令进基。
再使用闭回路法进行调整知出基,便得新得运输方案，再进行检验知，所有检验数,故上述方案即为最优运输方案。
最小费用为38５（百元).3．某工厂计划用两种原材料生产甲、乙两种产品，两种原材料得最高供应量依次为22与20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位,产值为３（百元）乙得需要两依次为3、1个单位，产值为９(百元);又根据市场预测,产品乙得市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品得需求比不超过5:2,试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：（1）最优生产方案就是否具有可选择余地?若有请至少给出两个，否则说明理由、（2）原材料得利用情况、设表示甲、乙两种产品得产量,则有原材料限制条件：又由产品乙不超过6件以及两种产品比例条件有另外两个条件：以及目标函数满足便可以得到线性规划模型:（1）使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组（这就是因为第一个约束条件所在直线得斜率与目标函数直线得斜率相等），其中得两个方案为该直线段上得两个端点：目标值均为 (百元)、(2)按照上面得第一个解，原材料将有10个单位得剩余量,而按照第二个解，原材料将有6个单位得剩余量、不论就是哪一个解，原材料都全部充分利用、4、两个水厂将自来水供应三个小区每天各水厂得供应量与各小区得需求量以及各水厂调运到各小区得供水单价见表、试安排供水方案,使总供水费最小？5、及其间距离如图所示(单位：）、试设计一个从到得运输路线，使得总运输路程最短,并求出最短路线、本问题可以瞧成就是一个产销不平衡得运输问题,属于供小于求问题、为此,虚设一个水厂，其供水量为30小区将有30吨水得缺口、总费用为 (元）、５、使用双标号法可得知,本问题有两条最短路线,分别就是：《数学建模课程》练习题二一、填空题1、若则与得函数关系就是就是比例常数2、有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动得距离几乎与鱼身得长度相等，则鱼尾摆动得次数（次/秒）、鱼身得长度与它得速度得关系式为；、3、已知行星得质量与它得密度与它得半径得立方成正比、若某行星得直径就是地球直径得倍,且它得平均密度就是地球得倍，则此行星质量就是地球得倍、4、马尔萨斯与逻辑斯蒂克两个人口增长模型得主要区别就是假设了长率就是常数还就是人口得递减函数5、设表示挣得钱数,表示花得钱数，则“钱越多花得也就越多"得数学模型可以简单表示为就是比例常数、、6、在超级市场得收银台有两条队伍可选择,队1有个顾客，每人都买了件商品，队2有个顾客，每人都买了件商品，假设每个人付款需秒,而扫描每件商品需秒秒，则加入较快队１得条件就是、;7、在建立人口增长问题得逻辑斯蒂克模型时，假设人口增长率就是人口数量得递减函数,若最大人口数量记作为简化模型,采用得递减函数就是、，其中均为正常数;８、一次晚会花掉１00元用于食品与饮料，其中食品至少要花掉４0％，饮料起码要花３0元，用与列出花在食品与饮料上得费用得数学模型就是9、设某种商品得需求量函数就是(万件）,其中为该商品得价格函数,那么该商品得社会最大需求量就是、1200(万件);10、设某种商品得供给量函数就是，其中为该商品得价格函数，那麽该商品下一时段得价格达到１0０、,才能迫使供给商停止供给。
二、分析判断题１．地方公安部门想知道,当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要得时间,假设有足够得安全通道、若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样得疏散计划、请就这个计划指出至少三个相关因素,并使用数学符号表示、撤离时人员得分布状态、人员总数、撤离速度、人们之间相对拥挤程度、人员所在地与安全地点得距离、人员撤离完毕所需要得总时间等、2、假设某个数学模型建成为如下形式:试在适当得假设下将这个模型进行简化、当较小得时候,可以利用二项展开式将小括号部分简化为从而有、若也很小，则可以利用将其进一步化简为3.要为一所大学编制全校性选修课程表,有哪些因素应予以考虑?试至少列出5种、问题涉及到时间、地点与人员三大因素,故应该考虑到得因素至少有以下几个：(1）教师：就是否连续上课,对时间得要求,对多媒体得要求与课程种类得限制等；（2)学生：就是否连续上课，专业课课时与共同课就是否冲突,选修人数等；（3)教室:教室得数量，教室得容纳量,就是否具备必要得多媒体等条件;4.一起交通事故发生3个小时后,警方测得司机血液中酒精得含量就是又过两个小时，含量降为试判断,当事故发生时，司机就是否违反了酒精含量得规定（不超过8０/1０0、设为时刻血液中酒精得浓度,则浓度递减率得模型应为其通解就是而就就是所求量、由题设可知故有与由此解得可见在事故发生时，司机血液中酒精得浓度已经超出了规定、5、为了节约用水，业内人士提出水费应按照阶梯式进行收费。
譬如对于居民用水收费,在一般月用水量得平均值之内按照原价格收取，超出部分要加大收费力度.对此问题建立模型应该考虑那些问题与因素?至少列举三个.从问题角度说，应该考虑低收入家庭得承受能力，必须进行调查研究;从制定何种收费模型角度瞧，需要研究模型得结构，譬如分几段收费等；用水得平均值数据怎样获得,分段力度达到多大;既要考虑平民百姓,也不能不考虑高收入人群，怎样兼顾等。
三、应用题１、某铝合金加工单位要加工一批成套窗料,每套窗料含有与长度得料各两根,总计要加工套,所用原料得长度均为试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少?、先列出所有可能得截料方案:由两个约束条件得一起代入目标函数得可见应令但非整数,于就是可将原问题添加条件构成两个新得整数规划问题：其中问题（2)无解，而（1）可同上求解得代入目标函数可知依此再进行分支与求解,最后获得解为即按照方案１、2、3各自截１2、4、18根原料即为最优方案、2、求如图所示网络中到得最短路线及其路长、利用双标号法可得下图:故得到得最短路线（两条）及其路长分别为第一条：第二条:3、 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛与某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要得三种原料依次为3、2、8个单位,产值为５８０元；生产一个单位产品乙需要得三种原料依次为2、3、5个单位,产值为6８０元,三种原料在计划期内得供给量依次为90、３0与8０单位、试建立线性规划模型以求一个生产方案,使得总产值达到最大,并由此回答:（3） 最优生产方案就是否具有可选择余地？若有请至少给出两个,否则说明理由、（4） 原材料得利用情况、设表示甲、乙两种产品得产量，则有原材料限制条件:，目标函数满足 合在一起便就是所求线性规划模型,其中(1)使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这就是因为所有约束条件所在直线得斜率与目标函数直线得斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地、计算知最优解为：目标值为 （万元）、(2)利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量,将解代入可检验而知羊毛有单位得剩余量、4、 三个砖厂向三个工地供应红砖、各砖厂得供应量与各工地得需求量以及各砖厂调运红砖到各工地得单价见表、试安排调运方案，使总费用最小？本问题就是一个产销平衡得运输问题，可以利用表上作业法直接求解，即可获得总运费用最低得调运方案为（求解过程从略）：21503310223021160231701,,,,B A B A B A B A B A −→−−→−−→−−→−−→− 总费用为 (百元）、5、求解以下线性规划模型，并回答所给两个问题：（1）该模型得最优解就是否唯一?为什么？若有两个以上最优解，请至少给出两个。
