人教版高中数学三角函数真题

高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．4．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______． 5．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．6．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为km r ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan 3θ________．7．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2x xh x -+=，并称其为双曲余弦函数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为______．8．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.10．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相邻交点．．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______. 二、单选题11．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )12．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >13．已知,a b Z ∈，满足)98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5415．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．916．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6B ．62C ．12D ．12217．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >.已知1122,,,a b a b 满足12122||a a b b +22221122a b a b =+⋅+，若||23AB =，则这样的点A 个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．418．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）19．设函数()3sinxf x mπ=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞20．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，cosB=-55，则BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34三、解答题21．（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示ABC ∆的外接圆半径. ①如图，在以O 圆心、半径为2的圆O 中，BC 和BA 是圆O 的弦，其中2BC =，45ABC ∠=︒，求弦AB 的长；②在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（2）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .22．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？ 23．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 24．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.25．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈． （1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211(,)2S m n x y x y =-．解不等式1(,)2S b c >； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围．26．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.27．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式；（2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()33f x m --≤恒成立，求m 的取值范围.28．已知函数()cos s (3co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.29．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．30．已知两个不共线的向量a ，b 满足3)a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈． （1）若//a b ，求角θ的值；（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；（3）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，存在两个不同的θ使得|3|||a b ma =成立，求正数m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1．3π2．33．2⎝45．⎝⎭6．2rr h-+7．1⎡⎤⎣⎦8．742ω<<或91322ω<≤.910．1或2##2或1二、单选题 11．D 12．A 13．B 14．B 15．A 16．C 17．D 18．D 19．C 20．A 三、解答题21．（1）②证明见解析，（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理知2sin sin sin AB b aR C B A===，根据题目中所给的条件可求出AB 的长；②若C ∠是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)a b c R +<<，即可证出结果；（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,a b 的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可. 【详解】（1）①解：因为1sin 22a A R ==，角A 为锐角，所以30A =︒ 因为45ABC ∠=︒，所以105C =︒由正弦定理得，2sin1054sin 75AB R =︒=︒②证明：因为C ∠是钝角，所以cos 0C <，且cos 1C ≠-所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以2222(2)a b c R +<<， 即2224a b R +<（2）当2a R >或2a b R ==时，ABC ∆不存在当2a R b a =⎧⎨<⎩时，90A =︒，ABC ∆存在且只有一个所以c =当2a R b a <⎧⎨=⎩时，A B ∠=∠且都是锐角，sin sin 2a A B R ==时，ABC ∆存在且只有一个所以2sin c R C ==当2b a R <<时，B 总是锐角，A ∠可以是钝角，可以是锐角 所以ABC ∆存在两个当90A ∠<︒时，c =当90A ∠>︒时， c =【点睛】此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题.22．（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【解析】 【分析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有 2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得： 1.52(2)22(2)CE CG x y DF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为： 1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x xBCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-，因为15y ≤≤，所以有55562564y y y y+-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力. 23．（1）212S sin πα=⎛⎫++ ⎪⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)1000021 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题. 24．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题. 25．（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可； （2）由题意得到()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解即可 【详解】（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1sin 2x =-,因为[,]x ππ∈-,所以6x π=-或65x π=-（2）由题,()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=, 因为1(,)2S b c >,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,566x ππ<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数, 所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++, 若()()a b c d +⊥+,则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=, 则()22sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈-- 【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式26．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+42 ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．27．（1）()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-【解析】 【分析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩.【详解】解：（1）由()f x 的图象可知34424T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=.因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3f t π==解得2t =，33⎝⎭（2）因为,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤.因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+， 所以32m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩10m -≤≤.故m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题. 28．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈，解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.29．（1）π；（2）()()min max ππ,0,,148x f x x f x =-===.【解析】(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值.. 【详解】（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()f x 的最小正周期πT =． （2） 因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444x -≤+≤,sin 24x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，()min 0f x =，当242x ππ+=，即8x π=时，()max 1f x =.所以4x π=-时，()min 0f x =，8x π=时，()max 1f x .【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.30．（1）,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜（23）⎣⎭【解析】 【分析】（1）由题得tan θ=2）先求出1a b ⋅=，再利用向量的模的公式求出||7a b +=；（3）等价于2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦有两解，结合三角函数分析得解. 【详解】（1）由题得sin 0,tan θθθ=∴=所以角θ的集合为,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜ . （2）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直，所以()()2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=. 所以222||||2||4217a b a a b b +=+⋅+=++=，故||7a b +=.（3）由3a b ma +=，得223a b ma +=，即2222233a a b b m a +⋅+=，即2434b m +⋅+=，)27cos 4m θθ+=，所以2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦得2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，2647m ≤-<2134m ≤<又因为0m >m ≤<即m 的范围⎣⎭. 【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。

高中数学必修一第五章三角函数必须掌握的典型题单选题1、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．3答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减， 则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3， 即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B2、设函数f(x)=2sin (ωx +φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[83,163)B ．[4,163)C ．[4,203)D ．[83,203) 答案：B分析：t =ωx +φ，只需要研究sint =12的根的情况，借助于y =sint 和y =12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围. 令f(x)=0，则sin (ωx +φ)=12 令t =ωx +φ，则sint =12则问题转化为y =sint 在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少有两个，至少有三个t ，使得sint =12，求ω的取值范围.作出y =sint 和y =12的图像，观察交点个数，可知使得sint =12的最短区间长度为2π，最长长度为2π+23π， 由题意列不等式的：2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<2π+23π 解得：4≤ω<163.故选：B小提示：研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t =ωx +φ），转化为研究y =sint 的图像和性质较为方便.3、cos 2π12−cos 25π12=（ ） A ．12B ．√33C ．√22D ．√32 答案：D分析：由题意结合诱导公式可得cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−sin 2π12，再由二倍角公式即可得解. 由题意，cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−cos 2(π2−π12)=cos 2π12−sin 2π12=cos π6=√32. 故选：D.4、已知α ∈(0,π)，且3cos 2α−8cos α=5，则sin α=（ ） A ．√53B ．23 C ．13D ．√59 答案：A分析：用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosα的一元二次方程，求解得出cosα，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.3cos2α−8cosα=5，得6cos 2α−8cosα−8=0，即3cos 2α−4cosα−4=0，解得cosα=−23或cosα=2（舍去），又∵α∈(0,π),∴sinα=√1−cos 2α=√53. 故选：A.小提示：本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5、已知f (x )=2√3sinwxcoswx +2cos 2wx ，（w >0），若函数在区间(π2,π)内不存在对称轴，则w 的范围为（ ）A ．(0,16]∪[13,34]B ．(0,13]∪[23,34] C ．(0,16]∪[13,23]D ．(0,13]∪[23,56]答案：C分析：先通过三角恒等变换将f (x )化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可． 函数化简得f (x )=√3sin2wx +cos2wx +1=2sin (2wx +π6)+1， 由2wx +π6=kπ+π2(k ∈Z )，可得函数的对称轴为x =kπ+π32w(k ∈Z )， 由题意知，kπ+π32w≤π2且(k+1)π+π32w≥π，即k +13≤w ≤3k+46，k ∈Z ，若使该不等式组有解， 则需满足k +13≤3k+46，即k ≤23，又w >0，故0≤3k+46，即k >−43，所以−43<k ≤23，又k ∈Z ，所以k =0或k =1，所以w ∈(0,16]∪[13,23]．6、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ） （1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； （3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； （4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论. 若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12， （1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确； （5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34， 则一个弓形面积S =π6−√34， 则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32， 而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．7、已知函数f(x)=2sin (x +π4)+m 在区间(0,π)上有零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(−√2,√2)B ．(−√2,2]C ．[−2,√2]D ．[−2,√2) 答案：D分析：令f(x)=0，则2sin (x +π4)=−m ，令g (x )=2sin (x +π4)，根据x 的取值范围求出g (x )的值域，依题意y =g (x )与y =−m 在(0,π)上有交点，即可求出参数的取值范围； 解：令f(x)=0，即2sin (x +π4)=−m ，令g (x )=2sin (x +π4)， 因为x ∈(0,π)，所以x +π4∈(π4,5π4)，所以sin (x +π4)∈(−√22,1]，即g (x )∈(−√2,2]，依题意y =g (x )与y =−m 在(0,π)上有交点，则−√2<−m ≤2，所以−2≤m <√2，即m ∈[−2,√2)； 故选：D8、已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y 轴对称，则|φ|的最小值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12 答案：A分析：首先将函数f (x )化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，然后利用函数图象的对称性建立φ的关系式，求其最小值． f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π3)，所以g(x)=f(x +φ)=2sin [2(x +φ)+π3] =2sin (2x +2φ+π3)，由题意可得，g(x)为偶函数，所以2φ+π3=kπ+π2(k ∈Z)， 解得φ=kπ2+π12(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π12．故选：A. 多选题9、若函数f (x )=√2sinxcosx +√2cos 2x −√22，则下列说法正确的是（ ） A ．函数y =f (x )的图象可由函数y =sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到 B ．函数y =f (x )的图象关于直线x =−3π8对称 C ．函数y =f (x )的图象关于点(−3π8,0)对称D ．函数y =x +f (x )在(0,π8)上为增函数 答案：BD分析：由三角函数的恒等变换化简f (x )=sin (2x +π4)，再由三角函数的平移变换可判断A ；求出f (−3π8)=−1可判断B 、C ；先判断y =f (x )在(0,π8)上为增函数，即可判断y =x +f (x )在(0,π8)的单调性.由题意，f (x )=√2sinxcosx +√2cos 2x −√22=√22sin2x +√22cos2x =sin (2x +π4)．函数y =sin2x 的图象向右平移π4个单位长度可得到f (x )=sin2(x −π4)=sin (2x −π2)=−cos2x ，故A 错误；f (−3π8)=sin [2×(−3π8)+π4]=−1，所以函数y =f (x )的图象关于直线x =−3π8对称，故B 正确，C 错误； 函数y =x 在(0,π8)上为增函数，x ∈(0,π8)时，2x +π4∈(π4,π2)，故函数f (x )在(0,π8)上单调递增，所以函数y =x +f (x )在(0,π8)上为增函数，故D 正确． 故选：BD ．10、已知函数f (x )=sinxcosx −cos 2x ，则（ ） A ．函数f (x )在区间(0,π8)上为增函数B ．直线x =3π8是函数f (x )图像的一条对称轴C ．函数f (x )的图像可由函数y =√22sin2x 的图像向右平移π8个单位得到 D ．对任意x ∈R ，恒有f (π4+x)+f (−x )=−1 答案：ABD解析：首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得f (x )=√22sin (2x −π4)−12，根据正弦函数的单调递增区间可判断A ；根据正弦函数的对称轴可判断B ；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C ；代入利用诱导公式可判断D. f (x )=12sin2x −1+cos2x2=√22sin (2x −π4)−12.当x ∈(0,π8)时，2x −π4∈(−π4,0)，函数f (x )为增函数，故A 中说法正确；令2x −π4=π2+kπ，k ∈Z ，得x =3π8+kπ2，k ∈Z ，显然直线x =3π8是函数f (x )图像的一条对称轴，故B 中说法正确；函数y =√22⋅sin2x 的图像向右平移π8个单位得到函数y =√22⋅sin [2(x −π8)]=√22sin (2x −π4)的图像，故C 中说法错误； f (π4+x)+f(−x)=√22sin (2x +π4)−12+√22sin (−2x −π4) −12=√22sin (2x +π4)−√22sin (2x +π4)−1=−1，故D 中说法正确. 故选：ABD.小提示：本题是一道三角函数的综合题，考查了二倍角公式以及三角函数的性质、图像变换，熟记公式是关键，属于基础题.11、若角α的终边在直线y =−2x 上，则sinα的可能取值为（ ） A ．√55B ．−√55C ．2√55D ．−2√55答案：CD分析：利用三角函数的定义，分情况讨论sinα的可能取值. 设角α的终边y =−2x 上一点(a,−2a )， 当a >0时，则r =√5a ，此时sinα=y r=−2√55， 当a <0时，则r =−√5a ，此时sinα=y r=2√55， 故选：CD 填空题12、若cos 2θ=14，则sin 2θ+2cos 2θ的值为____. 答案：138##158分析：利用二倍角公式后，代入求解.∵cos2θ=14，∴sin2θ+2cos2θ=1−cos2θ2+1+cos2θ=32+12cos2θ=32+12×14=138．所以答案是：138.13、求值：sin10°−√3cos10°cos40°=____________．答案：−2分析：应用辅助角公式及诱导公式化简求值即可.sin10°−√3cos10°cos40°=2(12sin10°−√32cos10°)cos40°=2sin(10°−60°)cos40°=−2sin50°cos40°=−2．所以答案是：−214、函数f(x)=sinx−√3cosx的严格增区间为________．答案：[2kπ−π6,2kπ+5π6],k∈Z分析：利用辅助角公式将f(x)化为f(x)=2sin(x+π3)，然后由三角函数单调区间的求法，求得函数f(x)的单调区间.依题意f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6，k∈Z，所以f(x)单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+π6](k∈Z).所以答案是：[2kπ−π6,2kπ+5π6](k∈Z)解答题15、设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).（1）求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；（2）求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值.答案：（1）π；（2）1+√22.分析：（1）由题意结合三角恒等变换可得y=1−sin2x，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得y=sin(2x−π4)+√22，再由三角函数的图象与性质即可得解.（1）由辅助角公式得f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，则y=[f(x+π2)]2=[√2sin(x+3π4)]2=2sin2(x+3π4)=1−cos(2x+3π2)=1−sin2x，所以该函数的最小正周期T=2π2=π;（2）由题意，y=f(x)f(x−π4)=√2sin(x+π4)⋅√2sinx=2sin(x+π4)sinx=2sinx⋅(√22sinx+√22cosx)=√2sin2x+√2sinxcosx=√2⋅1−cos2x2+√22sin2x=√22sin2x−√22cos2x+√22=sin(2x−π4)+√22，由x∈[0,π2]可得2x−π4∈[−π4,3π4]，所以当2x−π4=π2即x=3π8时，函数取最大值1+√22.。

高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．2．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.3．方程12sin 01x xπ-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________4．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43的体积为___________.5．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.6．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O 3ABC 的周长最小值为___________7．在ABC 中，7AB =3BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △3②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．8．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 9．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.10．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.二、单选题11．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-412．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（ ）①1ω=时，函数()f x 图象关于π4x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④13．已知函数()132,f x x x R =∈，若当02πθ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．,0C ．1,D ．(),1-∞14．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4515．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1616．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．117．在三棱锥A BCD -中，2,AC AD AB CD BC BD ======接球的半径为（ ） ABCD．18．已知函数()2sin 1,022sin 1,02x x f x x x ππ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，()11x g x x -=+，则关于x 的方程()()f x g x =在区间[]8,6-上的所有实根之和为（ ） A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-19．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A ．212+B ．3C ．312+D ．220．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6B ．62C ．12D ．122三、解答题21．在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A 为31-海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 为2海里的C 处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.22．如图，四边形ABCD 是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE ），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建4条路,AE ,BF ,CG DH . 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a 元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a 元，修路每1百米的费用为a 元，其中a 为正常数．设FAB θ∠=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）用θ表示该工程的总造价S ；（2）当cos θ为何值时，该工程的总造价最低？23．已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N*）上恰有2015个零点，求k 的值．24．已知()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，()f x a b =⋅，且函数()f x 在12x π=处取得最大值.（1）求ω的最小值，并求出此时函数()f x 的解析式和最小正周期； （2）在(1)的条件下，先将()y f x =的图像上的所有点向右平移4π个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移32个单位，得到函数y g x 的图像.若在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）在(1)的条件下，已知点P 是函数()y h x =图像上的任意一点，点Q 为函数()y f x =图像上的一点，点3,64A π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+，求()104h x +≥的解集. 25．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值.26．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象. 27．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2x π∈()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值； ()2当2m =时，若对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.28．如图，半圆的直径2AB =，O 为圆心，C ，D 为半圆上的点.（Ⅰ）请你为C 点确定位置,使ABC ∆的周长最大，并说明理由； （Ⅱ）已知AD DC =，设ABD θ∠=，当θ为何值时， （ⅰ）四边形ABCD 的周长最大，最大值是多少? （ⅱ）四边形ABCD 的面积最大，最大值是多少29．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围. 30．已知函数2()2cos 23cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1．6π22 3．1008或100941282π53(21)+ 6．6 7．①③879．5610．⎫⎪⎪⎣⎭二、单选题 11．A 12．B 13．D 14．C 15．C 16．C 17．A 18．B 19．D 20．C 三、解答题21．（1）=BC C 船在B 船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北30才能最快追上走私船． 【解析】（1）在ABC 中根据余弦定理计算BC ，再利用正弦定理计算ABC ∠即可得出方位； （2）在BCD △中，利用正弦定理计算BCD ∠，再计算BD 得出追击时间． 【详解】解：（1）由题意可知1=AB ，2AC =，120BAC ∠=︒， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos1206BC AB AC AB AC =+-︒=，BC ∴，由正弦定理得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即2sin ABC∠解得：sin 2ABC ∠=， 45ABC ∴∠=︒，C ∴船在B 船的正西方向．（2）由（1）知=BC 120DBC ∠=︒，设t 小时后缉私艇在D 处追上走私船，则10BD t =，CD =，在BCD △10sin tBCD∠， 解得：1sin 2BCD ∠=， 30BCD ∴∠=︒，BCD ∴△是等腰三角形，10t ∴=，即t =∴缉私艇沿东偏北30【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．22．（1）()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3cos 4θ=时，()16()S af θθ=取得最小值 【解析】(1)根据题意可知4sin BF θ=,4cos AF θ=,进而求得Rt ABFS 与EFGH S 正方形再求得总造价S 即可.(2)由(1)有()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-,再求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】（1）在Rt ABF 中,FAB θ∠=,4AB =,所以4sin BF θ=,4cos AF θ=. 由于Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE 是四个完全相同的直角三角形,所以4sin AE BF CG DH θ====,4(cos sin )EF FG GH HE θθ====-,所以Rt114cos 4sin 8sin cos 22ABFS AF BF θθθθ=⋅⋅=⨯⨯=, 2224(cos sin )16(12sin cos )EFGH S EF θθθθ==-=-正方形.所以()48sin cos 1016(12sin cos )1344sin S a a a θθθθθθ=⨯⨯+-⨯+⨯⨯16[20sin cos (12sin cos )13sin ]a θθθθθ=+-⨯+ 16(13sin 6sin cos )a θθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）由（1）记()13sin 6sin cos f θθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则22232()cos 6(cos sin )12cos cos 612(cos )(cos )43f θθθθθθθθ'=--=-++=--+. 令()0f θ'=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 4θ=或2cos 3θ=-(舍).记03cos 4θ=,所以当0(0,)θθ∈时,()0f θ'<,()f θ单调递减；当0(,)4πθθ∈时,()0f θ'>,()f θ单调递增. 所以当3cos 4θ=时,()f θ取得极小值,也是最小值, 又0a >,所以当3cos 4θ=时,()16()S af θθ=取得最小值. 【点睛】本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题. 23．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008． 【解析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；（2）令t ，t ∈[1，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x t at t μ==-，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()22f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v 、v的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1），令t =t ∈[1]，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤，∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，∵()11v a =-，v，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >-()f x .（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x -，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+，∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1， ∴k ＝1008． 【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.24．（1）ω的最小值为1，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=，（2）104a <≤（3）原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）先将()f x 化成正弦型，然后利用()f x 在12x π=处取得最大值求出ω，然后即可得到()f x 的解析式和周期（2）先根据图象的变换得到()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭，然后画出()g x 在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，条件转化为()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点即可（3）利用坐标的对应关系式，求出()h x 的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果． 【详解】 （1）因为()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()32sin cos 3f x a b x x πωω⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭212sin cos sin cos 2x x x x x x ωωωωωω⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭11cos 21sin 2sin 22222x x x x ωωωω-=+=+sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()f x 在12x π=处取得最大值.所以22,1232k k Z πππωπ⨯+=+∈，即121,k k Z ω=+∈当0k =时ω的最小值为1此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=（2）将()y f x =的图像上的所有的点向右平移4π个单位得到的函数为sin 2sin 2436y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后将所得图像上所有的点向下平移32个单位，得到函数()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象为：方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根等价于()g x 的图象 与直线12y a =-有两个交点 所以11212a ≤-<，解得104a <≤（3）设(),P x y ，()00,Q x y因为点3,6A π⎛ ⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+ 所以00126132x x y y π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩002332x x y y π⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为点()00,Q x y 为函数()y f x =图像上的一点 所以332sin 2233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1()sin 423y h x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为()104h x +≥，所以1sin 432x π⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以7242,636k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 所以3,22428k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 所以原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．25．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】 【分析】 （1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.26．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω== ∴(3cos sin ,sin )a b xx x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++ 1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）由题意可知222T ππω=≥, ∴1ω≤ 又0>ω, ∴01ω<≤（2）∵T πω=, ∴1ω=∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =-∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.27．（1）1m =；（2）13[,)8a ∈+∞【解析】 【分析】(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立, 等价于12max1()()24f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决.【详解】（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2x π∈令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---，①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，②01m ≤≤，则2min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍） 综上所述：1m =.（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，等价于12max1()()24f x f x a -≤-，2m =，∴2g()(2)6t t =--，[0,1]t ∈max ()g(0)2f x ==-，min ()g(1)5f x ==-12max ()(25)()3f x f x =---=- ∴ 1234a -≥，∴ 138a ≥， 综上所述：13[,)8a ∈+∞.【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题. 28．（Ⅰ）点C 是半圆的中点，理由见解析； （Ⅱ）（ⅰ）6πθ=时，最大值5（ⅱ）6πθ=时，最大面积是334【解析】(Ⅰ)设BC a =,AC b =,AB c =,法一:依题意有222+=a b c ,再利用基本不等式求得2a b c +,从而得出结论;法二:由点C 在半圆上,AB 是直径,利用三角函数求出cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,再利用三角函数的性质求出结论;(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形ABCD 的周长p ,再求p 的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形ABCD 的面积s ,再结合基本不等式求s 的最大值. 【详解】(Ⅰ)点C 在半圆中点位置时,ABC ∆周长最大.理由如下: 法一:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,显然a ,b ,c 均为正数,则222+=a b c , 因为222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立,所以()()2222222a b a b ab a b +≥++=+,所以()2222a b a b c +≤+=, 所以ABC ∆的周长为()21222a b c c ++≤+=+,当且仅当a b =时等号成立,即ABC ∆为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点C 是半圆的中点. 法二:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,02ABC παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,则cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,a b c ++cos sin c c c αα=⋅+⋅+()2cos sin 2αα=++22sin 24πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为02πα<<,所以3444πππα<+<, 所以当42ππα+=,即4πα=时, ABC ∆周长取得最大值222+,此时点C 是半圆的中点.(Ⅱ)(ⅰ)因为AD DC =,所以ABD DBC θ∠=∠=, 所以sin AD DC AB θ==⋅,cos2CB AB θ=⋅, 设四边形ABCD 的周长为p , 则p AD DC CB AB =+++2sin cos22AB AB θθ=++()2214sin 212sin 254sin 2θθθ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭,显然0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以当6πθ=时,p 取得最大值5;(ⅱ)过O 作OE BC ⊥于E ,设四边形ABCD 的面积为s ,四边形AOCD 的面积为1s ,BOC ∆的面积为2s ,则 121122s s s AC OD BC OE =+=⋅+⋅11sin 21cos 2sin 222AB AB θθθ=⋅+⋅ sin 2cos2sin 2θθθ=+⋅()sin 21cos2θθ=+, 所以()222sin 21cos2s θθ=+()()221cos 21cos 2θθ=-+()()31cos21cos2θθ=-+()()331cos 21cos 23θθ=-+()()()2231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦()()()231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()()()2231cos 21cos 21cos 21232θθθ⨯-++⎡⎤++⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()431cos 21cos 221cos 2134θθθ-++++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦413273216⎛⎫==⎪⎝⎭; 当且仅当()31cos21cos2θθ-=+,即1cos 22θ=时,等号成立, 显然04πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以202πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以此时6πθ=,所以当6πθ=时,s =,即四边形ABCD【点睛】本题考查解三角形的应用问题,考查三角函数与基本不等式的应用,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.29．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解. 【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ）当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩ （3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.30．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间;(Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）()22f x cos x =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.。

第五章检测试题时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题每小题5分，共60分 1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝－35，且σ是第四象限角，则cos(－3π＋σ)的值为( B )A.45 B ．－45C ．±45D.35解析：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝sin σ＝－35，且σ是第四象限角，∴cos σ＝45.∴cos(－3π＋σ)＝－cos σ＝－45.2．计算sin135°cos15°－cos45°sin(－15°)的值为( D ) A.12B.33 C.22D.32解析：原式＝cos45°cos15°＋si n45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.故选D.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，原函数的单调递增区间就是y ＝2sin2x －π6的单调递减区间，即2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，对比各选项，令k ＝0，得选项C 正确．4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( B )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析：T ＝2πω＝π，所以ω＝2.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位得函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3的图象关于y 轴对称，所以φ－2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝76π＋k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故选B.5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)等于( C )A ．0B ．503C ．2 017D ．2 012解析：由题意知，函数f (x )＝12sin π2x ＋1，周期T ＝4.S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝504[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋1＝504×4＋1＝2017.选C.6．已知sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝1，则3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6解析：∵sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝sin θtan θtan －θ－sin θtan π＋θ＝－sin θtan θtan θ－sin θtan θ＝tan θ＝1， ∴3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2＝3＋31＋3＋2＝1，故选A. 7．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( C ) A.33 B ．－33 C.539D ．－69解析：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，由已知得周期T ＝π.∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．9．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2X 围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2内的图象，需明确x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x <x <tan x (利用单位圆中的正弦线、正切线结合面积大小的比较就可证明)，然后作出x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点．10．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( B )A.112B.52C.12D.32解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3向右平移π3个单位长度可得y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋56π－ωπ3. 因为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 图象重合，所以ωx ＋5π6－ωπ3＝ωx ＋2k π(k ∈Z )．又ω>0，所以当k ＝0时，ω取最小值为52，故选B.11．将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为( C )A.12，－12B.14，－14C.12，－14D.14，－12解析：f (x )＝12×32sin2x ＋12cos 2x －12sin 5π6＝34sin2x ＋12cos 2x －14 ＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin(2x ＋π6)， 所以g (x )＝12sin(4x ＋π6)．因为x ∈[0，π4]，所以4x ＋π6∈[π6，7π6]，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取得最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取得最小值－14.12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( D )A ．π B.3π4C.3π2 D.7π4解析：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2，画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根． 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8；由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题每小题5分，共20分13．已知一扇形的半径为2，面积为4，则此扇形圆心角的绝对值为2弧度． 解析：设扇形圆心角的绝对值为α弧度，则4＝12α·22，所以α＝2.14．已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值为－45.解析：由已知得32cos α＋32sin α＝435， 所以12cos α＋32sin α＝45，即sin(α＋π6)＝45，因此，sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.15．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝143.解析：由题意知x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω·π4＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，得ω＝8k －103(k ∈Z )．①又π3－π6≤2πω(ω>0)，∴0<ω≤12.② 由①②得k ＝1，ω＝143.16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )的最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是①②③④. 解析：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确． 三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的取值集合．解：(1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2.x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z. 18．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．解：(1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡－π8，⎦⎥⎤π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.19．(12分)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x＝cos2x ·cos π3－sin2x ·sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋12＝12－32sin2x ， ∴当2x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，f (x )max ＝1＋32.T ＝2π2＝π. 故f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32. 又C 为锐角，∴C ＝π3.由cos B ＝13，得sin B ＝223.∴sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，某某数m 的取值X 围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3， 令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值X 围是[3＋1,3)．21．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x .(1)若f (x )＝0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，求x 的值；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，若y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，求函数h (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3上的值域．解：f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x＝3sin2x ＋1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(1)由f (x )＝0，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12，∴2x －π6＝－π6＋2k π或2x －π6＝－5π6＋2k π，k ∈Z .又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，∴x ＝－π3或0或2π3.(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得函数图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＋1＝2sin2x ＋π2＋1＝2cos2x ＋1，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2cos x ＋1.又y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴h (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2sin x ＋1. ∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3，∴sin x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故函数h (x )的值域为(0,3]．22．(12分)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1.(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，某某数b 的取值X 围．解：(1)函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1＝32sin2ωx ＋1＋cos2ωx2＋b ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52 .。

人教版高中数学《三角函数》精选复习检测习题（含答案解析）一、选择题1．cos 30°等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x 等于( ) A ．－34 B ．－43 C.34 D.433．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π2，k ∈Z }．则( ) A ．M ＝N B ．M NC ．N MD ．M ∩N ＝∅4．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度 5．若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是( )A ．{x |2k π－3π4<x <2k π＋π4，k ∈Z } B ．{x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z } C ．{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z } D ．{x |k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z } 6．如图所示，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10 B ．h ＝－8cos π3t ＋10 C ．h ＝－8sin π6t ＋10 D ．h ＝－8cos π6t ＋10 二、填空题7．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.9．函数f (x )＝|sin x |的单调递增区间是__________．10．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ， ①图象C 关于直线x ＝1112π对称； ②函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确论断的序号是________．三、解答题11．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.12．已知函数f (x )＝－sin 2x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a >0，求a 、b 的值．13．若0<x <π2，则2x 与πsin x 的大小关系是( ) A ．2x >πsin x B ．2x <πsin xC ．2x ＝πsin xD ．与x 的取值有关14．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x .给出下列四个命题： ①该函数的图象关于x ＝2k π＋π4 (k ∈Z )对称； ②当且仅当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值1； ③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2 (k ∈Z )时，－22≤f (x )<0. 其中正确的是________．(填序号)参考答案与解析1．C2．D [cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－35<0， ∵x ∈(π，2π)，∴x ∈(π，32π)， ∴sin x ＝－45， ∴tan x ＝43.] 3．B [M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2k ＋14π，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝k ＋24π，k ∈Z .比较两集合中分式的分子，知前者为奇数π，后者是整数π.再根据整数分类关系，得M N .选B.]4．A [∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6. 由题意知要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6的图象只需将y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位长度．] 5．D [sin 2x >cos 2x ⇔|sin x |>|cos x |.在直角坐标系中作出单位圆及直线y ＝x ，y ＝－x ，根据三角函数线的定义知角x 的终边应落在图中的阴影部分，故应选D.]6．D [据题意可设y ＝10－8cos ωt (t ≥0)．由已知周期为12 min ，可知t ＝6时到达最高点，即函数取最大值，知18＝10－8cos 6ω，即cos 6ω＝－1.∴6ω＝π，得ω＝π6.∴y ＝10－8cosπ6t (t ≥0)．] 7．－35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35. 8.32解析 由图象可知三角函数的周期为T ＝4×π3＝2πω，∴ω＝32. 9.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z 解析 f (x )＝|sin x |的周期T ＝π，且f (x )在区间[0，π2]上单调递增，∴f (x )的单调增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z. 10．①②解析 ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫116π－π3＝3sin 32π＝－3， ∴x ＝1112π为对称轴； ②由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，由于函数y ＝3sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内单调递增，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内单调递增； ③∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，得不到图象C .11．解 (1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 12．解 令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2－at ＋b ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋a 22＋a 24＋b ＋1，且t ∈[－1,1]． 下面根据对称轴t 0＝－a 2与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论． (1)当－a 2≤－1，即a ≥2时， ⎩⎪⎨⎪⎧ y max ＝g (－1)＝a ＋b ＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4.解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2.(2)当－1<－a 2<0，即0<a <2时， ⎩⎪⎨⎪⎧ y max ＝g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24＋b ＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－10. 都不满足a 的范围，舍去．综上所述，a ＝2，b ＝－2.13．B [在同一坐标平面内作出函数y ＝2x 与函数y ＝πsin x 的图象，如图所示．观察图象易知：当x ＝0时，2x ＝πsin x ＝0；当x ＝π2时，2x ＝πsin x ＝π； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，函数y ＝2x 是直线段，而曲线y ＝πsin x 是上凸的．所以2x <πsin x ．故选B.]14．①解析f (x )＝max{sin x ，cos x }，在同一坐标系中画出y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象易知f (x )的图象为实线所表示的曲线．由曲线关于x ＝2k π＋π4(k ∈Z)对称，故①对；当x ＝2k π (k ∈Z)或x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )max ＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z)时，－22故③错；观察曲线易知，≤f (x )<0，反之不成立，故④错．。

高中数学三角函数训练卷一、选择题1、已知角α的终边经过点(3, －4)，则sinα的值为（）A 3/5B －3/5C 4/5D －4/5解析：因为角α的终边经过点(3, －4)，所以 r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5，sinα ＝ y/r ＝－4/5，故选 D。

2、若sinθ ＝ 1/3，且θ是第二象限角，则cosθ的值为（）A －2√2/3B 2√2/3C √10/3D √10/3解析：因为θ是第二象限角，所以cosθ ＜ 0。

又因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 （1/3)²) ＝－2√2/3，故选 A。

3、下列函数中，周期为π的奇函数是（）A y ＝ sin2xB y ＝ cos2xC y ＝ sin(x ＋π/2)D y ＝ cos(x ＋π/2)解析：A 选项，y ＝ sin2x，周期 T ＝2π/2 ＝π，且 sin(－2x) ＝sin2x，为奇函数，A 正确；B 选项，y ＝ cos2x 是偶函数，B 错误；C 选项，y ＝ sin(x ＋π/2) ＝ cosx 是偶函数，C 错误；D 选项，y ＝ cos(x ＋π/2) ＝ sinx 是奇函数，但周期 T ＝2π，D 错误。

故选 A。

4、已知tanα ＝ 2，则sin2α的值为（）A 4/5B 3/5C 2/5D 1/5解析：sin2α ＝2sinαcosα ＝2sinαcosα/（sin²α ＋cos²α) ＝2tanα/（tan²α ＋ 1) ＝ 2×2/（2²＋ 1) ＝ 4/5，故选 A。

5、函数 y ＝ sin(2x ＋π/6)的图象可以由函数 y ＝ sin2x 的图象（）A 向左平移π/6 个单位长度得到B 向右平移π/6 个单位长度得到C 向左平移π/12 个单位长度得到D 向右平移π/12 个单位长度得到解析：对于函数 y ＝ sin(2x ＋π/6) ＝ sin2(x ＋π/12)，所以函数 y＝ sin(2x ＋π/6)的图象可以由函数 y ＝ sin2x 的图象向左平移π/12 个单位长度得到，故选 C。

高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________4．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论： ①203f π⎛⎫=⎪⎝⎭； ②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解； ④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 5．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.6．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，若函数()f x 的图象在区间[]0,2π上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点； ②()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点； ③ω的取值范围是3137,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；④()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单递增函数.7．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______． 8．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.9．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．10．函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.二、单选题11．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-412．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，若在椭圆E 上存在点M ，使得12MF F △的面积等于2122sin b F MF ∠，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．12⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭13．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5414．已知三棱锥A BCD -中，4AB BC BD CD AD =====，二面角A BD C --的余弦值为13，点E 在棱AB 上，且3BE AE =，过E 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ）A ．103πB ．3πC ．3π D15．如图，长方形ABCD 中，AB =1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14B ．23C ．15112- D ．518- 16．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π18．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(21,)-+∞B ．(12,)++∞C ．(1,12)D ．(31,)++∞19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16320．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC 3OB =，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．3B ．33C ．63D ．93三、解答题21．函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+（其中0>ω，2πϕ<）在520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象恰有三个不同的交点,,P M N ，PMN ∆为直角三角形，求ϕ的取值范围． 22．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.23．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象.24．如图，长方形ABCD 中，2,3AB BC ==，点,,E F G 分别在线段,,AB BC DA （含端点）上，E 为AB 中点，⊥EF EG ，设AEG θ∠=.（1）求角θ的取值范围；（2）求出EFG ∆周长l 关于角θ的函数解析式()f θ，并求EFG ∆周长l 的取值范围. 25．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝23π，.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ(0)2πθ<<.（1）当θ＝3π时，求∠OPQ 的大小； （2）当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．26．已知函数()2sin 2cos 3f x x a x =+-.（1）当1a =时，求该函数的最大值；（2）是否存在实数a ，使得该函数在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？若存在，求出对应a的值；若不存在，试说明理由.27．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）．PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于点N ．（1）设AP x =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 28．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )2]x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为12-，求实数m 的值.29．已知向量 22(2,22()),(,)2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数． 30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．3π2．33．12(,)369-4．①②④．56．②③ 7．138 9．10．-7二、单选题 11．A 12．A 13．B 14．B 15．A 16．B 17．C 18．B 19．A 20．C 三、解答题21．,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】且为等腰三角形，由此可确定周期，进而得到ω的知；采用整体对应的方式可知若为三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由此可构造不等式求得结果. 【详解】令t x ωϕ=+，结合sin y t =与cos y t =图象可知：sin y t =与cos y t =，其交点坐标分别为4π⎛ ⎝⎭，5,4π⎛ ⎝⎭，94π⎛ ⎝⎭，13,4π⎛ ⎝⎭，．．．，PMN ∆为等腰三角形．PMN ∆∴斜边长为2T πω==，解得，ω=；52553244T T=⋅<，∴两图象不可能四个交点； 由x ⎡∈⎢⎣⎦，有5,2t πϕϕ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，两图象有三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由45924πϕπϕπ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩得：,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查根据三角函数的交点与性质求解解析式中的参数范围的问题，关键是能够利用正余弦函数的性质类比得到正弦型和余弦型函数的交点所满足的关系，从而根据两函数交点个数确定不等关系.22．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()242f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．23．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω== ∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）由题意可知222T ππω=≥,∴1ω≤ 又0>ω, ∴01ω<≤ （2）∵T πω=, ∴1ω=∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =-∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.24．（1）[,]63ππ（2）1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈，EFG ∆周长l 的取值范围为1)]【解析】（1）结合图像可得当点G 位于D 点时，角θ取最大值，点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值，在直角三角形中求解即可. （2）在Rt ΔEAG 中，求出1cos EG θ=，在Rt ΔEBF 中，求得1sin EF θ=，在Rt ΔGEF 中，根据勾股定理得222FG EF EG =+，从而可得111()cos sin sin cos f θθθθθ=++，通分可得1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，令sin cos t θθ=+，借助三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意知，当点G 位于D 点时，角θ取最大值，此时tan θ=02πθ<<，所以max 3πθ=当点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值， 此时=3BEF π∠，所以min 236πππθ=-=故所求θ的取值集合为[,]63ππ（2）在Rt ΔEAG 中，cos AE EG θ=，1AE =，所以1cos EG θ= 在Rt ΔEBF 中，cos cos()2BE BEF EF πθ∠=-=，1BE =，所以1sin EF θ= 在Rt ΔGEF 中，有勾股定理得222FG EF EG =+2222222211sin cos 1sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+== 因为[,]63ππθ∈，所以sin 0,cos 0θθ，1sin cos FG θθ=所以111()cos sin sin cos f EG EF FG θθθθθ=++=++ 所以1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈令sin cos t θθ=+，则21sin cos 2t θθ-=所以22(1)211t l t t +==-- 因为[,]63ππθ∈，57[,]41212πππθ+∈，所以sin()4πθ+∈所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈所以EFG ∆周长l 的取值范围为1)] 【点睛】本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.25．（1）6π.（2）sin θ=. 【解析】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanαθ＝3π代入得答案；（2）令f (θ)f (θ)的最大值，即此时的sin θ，由（1）可知tanα.【详解】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 因为∠AQC ＝23π，所以∠AQO ＝3π.又OA ＝OB ＝3，所以OQ在△OPQ 中，OQOP ＝3，∠POQ ＝2π－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝2π－α＋θ. 由正弦定理，得3sin 2παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝cos (α－θ)．展开并整理，得tanαθ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.此时当θ＝3π时，tanα因为α∈(0，π)，所以α＝6π. 故当θ＝3π时，∠OPQ ＝6π.（2）设f (θ)θ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.则f ′(θ)令f ′(θ)＝0，得sinθθ0满足0sin θ则0cos θ=，即()02f θ===列表如下：由上表可知，f (θ0)＝2是极大值，也是最大值． 由（1）可知tanα＝f (θ)>0，则0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， tanα单调递增则当tanαα也取得最大值．故游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sinθ 【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题. 26．（1）1-；（2）存在，且2a =. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出()()2cos 11f x x =---，由1cos 1x -≤≤结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；（2）换元[]cos 0,1t x =∈，将问题转化为二次函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上的最大值为1，然后分0a ≤、01a <<和1a ≥三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上最大值，进而求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时，()()22sin 2cos 3cos 11f x x x x =+-=---，1cos 1x -≤≤，当cos 1x =时，该函数取得最大值，即()max 1f x =-；（2）()22sin 2cos 3cos 2cos 2x a x x a x f x =+-=-+-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设[]cos 0,1t x =∈，设()222t at g t -+-=，[]0,1t ∈，二次函数()y g t =的图象开口向下，对称轴为直线t a =.当0a ≤时，函数()y g t =在[]0,1上单调递减，所以0=t 时，()()max 021g t g ==-≠，0a ∴≤不符合题意；当1a ≥时，函数()y g t =在[]0,1上单调递增，所以1t =时，()()max 1231g t g a ==-=，2a ∴=满足1a ≥；当01a <<时，函数()y g t =在[]0,a 上单调递增，在(],1a 上单调递减， ∴当t a =时，()()2max 21g t g a a ==-=，a ∴=01a <<.综上，存在2a =符合题意. 【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.27．(1) PN =(0,x ∈；(2) arctan . 【解析】 【分析】（1）求出PM ,AM ,运用余弦定理,求得PN ；（2）求出PN 的最小值,由于//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,通过解直角三角形PMN ,即可得到. 【详解】（1）在APM ∆中,PM =AM =；其中0x <<在MND ∆中,2MN x ⎫=⎪⎪⎝⎭,在PMN ∆中,PN =(0,x ∈；（2）当(0,x 时,PN 最小,此时43PN =.因为在底面ABCD 中,MN BD ⊥,AC BD ⊥,所以//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,在PMN ∆中,PMN ∠为直角,tan PNM ∠=所以arctan4PNM ∠=,异面直线PN 与11A C 所成角的大小 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法等.属于难题. 28．(1)0 (2)32【解析】 【分析】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值. 【详解】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+， 即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒= 故答案为0.（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；②当11m m <-≤⇒<-时，222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；③当m m -><max 131()2222g x g m ==-⨯-=-⇒=故答案为32m = 【点睛】当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果. 29．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =∴f （x ）222a b =⋅=⨯（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=．∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1．∵0＜φ2π＜，∴φ4π=． ∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin2x π，由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018； （Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点； ③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点． 综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点； ③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．30．（1）见解析；（2）32⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c =-，22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-，22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=． (2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S CC=-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。

一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．5-B ．19-C ．5 D ．193．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（ ）米．A ．10B ．2C ．15D ．1524．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．34-B ．43- C ．53- D ．45-5．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ） A ．2425- B ．725 C ．2425D ．725-6．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）.A ．3B ．12-C ．32D ．127．2cos 232cos()4θθθ=-，则sin 2θ=（ ）A ．13B ．23C ．23-D ．13-8．设31cos 29sin 2922a =-，1cos662b -=、22tan161tan 16c =+，则有（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（ ） A ．19B ．459C ．19-D ．459-10．已知()1sin 2=-f x x x ，则()f x 的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．310-B ．310 C ．35D ．35二、填空题13．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 14．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______.15．角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 16．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．17．已知1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ的值为_______．18．将函数()cos 2f x x =图象上的所有的点向左平移4π个单位长度后，得到函数g (x )的图象，如果g (x )在区间[0]a ，上单调递减，那么实数a 的最大值为_________. 19．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 20．对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题21．已知函数)(cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.22．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min7x x π-=，求ϕ的值.23．若函数223sin cos 2cos y x x x =+. （1）求这个函数的单调递增区间.（2）求这个函数的最值及取得最值时的x 集合. 24．已知()()3sin f x x a ωϕ=++0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象的相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 25．已知函数()sin (sin 3cos )1f x x x x =+-. （1）若(0,)2πα∈，且1sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.26．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．D解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算．【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 3．C解析：C 【分析】由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ． 【详解】由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠=∴30PE DE PD CD ==== ∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE 中，AE =15PA =．故选：C ．4．A解析：A 【分析】 由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-． 故选：A ．5．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.6．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒2=. 故选：C.7．B解析：B 【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin2cos()cos cos sin sin444θθθπππθθθ-=-+()cos sin cos sin2cos sinθθθθθθ+-==-，()2cos sin2θθθ∴-=，两边平方得()241sin23sin2θθ-=，解得sin22θ=-（舍去）或2sin23θ=.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin2θθθ-=，再平方求解.8．B解析：B【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,ab c，然后由正弦函数的单调性得出结论．【详解】129si sin(6029)si3n29122na =︒-︒=︒=-，b=sin33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin161tan161ccos16sin32os16c===︒︒︒︒=︒︒︒++，显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b<<．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．9．C解析：C【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．10．B解析：B 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算特殊点的函数值确定选项. 【详解】()()1sin 2f x x x f x -=-+=-，()f x ∴为奇函数，∴图象关于原点对称，故排除A ，D ；当π2x =时，ππ1024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C ． 故选：B. 【点睛】根据函数解析式选择函数图象问题的一般可从以下几点入手： （1）判断函数的定义域；（2）判断原函数的奇偶性，根据图象的对称性排除某些选项； （3）代入特殊点求函数值，排除某些选项.11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B二、填空题13．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 14．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为： 解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1215．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】 由题意3sin 2θ=-，1cos 2θ=，所以，31sin sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-16．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.17．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为 解析：35【分析】利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可 【详解】由题意可知，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2θ=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++ 故答案为35. 18．【分析】求出的平移后的解析式再利用函数在区间上是单调递减函数从而得到的最大值【详解】由题意将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象因为函数在区间上是单调递减所以解得所以实数的最大值为故答案为：解析：4π【分析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到a 的最大值.【详解】由题意，将函数()cos 2f x x =的图象向左平移4x个单位长度，得到函数()cos 2+n 4si 2g x x x π⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，因为函数()g x 在区间[0]a ，上是单调递减，所以022a π<≤，解得04a π<≤，所以实数a 的最大值为4π. 故答案为：4π. 19．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】 由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：120．【分析】讨论的范围得出的表达式求出的值域即可【详解】①当时由得所以此时即则即；②当时由得此时即；③当时由得所以此时则即；④当时则由得不成立此时不存在；⑤当时由得所以此时则即；⑥当时由得综上实数的取值解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】讨论a 的范围得出k 的表达式，求出()k f a =的值域即可. 【详解】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=，此时cos 12a ≤≤2cos 2a ≤≤，则1122cos a ≤≤12k ⎡∈⎢⎣⎦；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =，此时sin 12a ≤≤，即2k ⎤∈⎥⎣⎦； ③当,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()[0,][,2]2,2,1,sin a a a a M M a ππ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=， 此时0sin 1a <<，则11sin a>，即()1,k ∈+∞； ④当a π=时，22a π=，则[0,][,2]1,0a a a M M ==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得10=不成立，此时k 不存在； ⑤当5,4πa π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， 此时0sin 21a <<，则11sin 2a>，即()1,k ∈+∞； ⑥当5,+4a π⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2]52,,1,12a a a a πM M ⎡⎫∈+∞==⎪⎢⎣⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =， 综上，实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论a 的范围，根据a 的不同取值范围得出k 的表达式，再利用三角函数的性质求解.三、解答题21．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝， 所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈， 所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 22．（1）37π；（2）14π. 【分析】（1）题意说明周期6T π≥，4x π=是最小值点，由最小值点得ω表达式，由6T π≥得ω的范围，从而得ω的值；（2）()()122f x g x -=∣∣说明()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值.对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π，由此可得． 【详解】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤.又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，解题关键是由足()()122f x g x -=得出12,x x 是函数的最值点，一个是最大值点，一个是最小值点，由此分析其其差的最小值与周期结合可得结论． 23．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换法求函数的单调递增区间即可；（2）根据三角函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）2cos 2cos 2cos 212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 因为函数sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数2cos 2cos y x x x =+的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以函数的最大值为max 3y =，当且仅当22,62x k k Z πππ+=+∈，即：,6x k k Z ππ=+∈时取得；函数的最小值为min 1y =-，当且仅当22,62x k k Z πππ+=-+∈，即：,3x k k Z ππ=-+∈时取得；所以函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据题意，结合二倍角公式和辅助角公式将已知三角函数表达式化简整理得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，考查运算求解能力，是中档题. 24．（1）单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）34. 【分析】（1）根据图象上相邻两条对称轴的距离为2π可知周期为π，可确定2ω=，然后将点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭代入求解出ϕ的值，利用整体法求解原函数的单调区间即可. （2）由（1）中的结果可知()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，确定出()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，得到关于a 的方程求解即可. 【详解】（1）由函数()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为2π， 得函数()f x 的最小正周期T π=， ∴22πωπ==.又函数()f x 的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，∴21212f a a ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sin 2012πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，6k πϕπ+=.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，则()26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63x k πππ-≤≤+，()k ∈Z ，3222262k x k πππππ+≤-≤+， 解得536k x k ππππ+≤≤+，()k ∈Z ∴函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为5,(k )36k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）知，函数()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又3122f a π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，3f a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为32a a -++=∴34a =. 【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合应用，解答时只要方法如下：（1）求解三角函数单调区间时一般采用整体代换法，将自变量部分的代数式当做一个整体，利用正弦函数、余弦函数的单调性列出不等式求解即可；（2）求解三角函数在某固定区间上的最值或值域时，关键是分析清楚原函数在所给区间上的单调性，利用单调性确定取得最大值或最小值的点，确定最值；也可以采用换元法，将函数()sin y A ωx φ=+的最值转化为求sin y A t =的最值问题，只需根据格据正弦函数的图像性质确定即可. 25．（1）12；（2）T π=；调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈. 【分析】先把函数()f x 化简，（1）根据条件即可求出角α的大小，代入解析式即可求解.（2）根据周期定义即可求出周期，再利用整体代换思想代入正弦函数的递增区间求出x 的范围即可求解. 【详解】21()sin (sin )1sin cos 1sin(2)62f x x x x x x x x π=-=-=--，（1）由(0,)2πα∈，1sin 2α=，可得6πα=，所以1()sin(2)sin 66662f ππππ=⨯-==，（2）函数周期为22T ππ==， 令2[2,2]622x k k πππππ-∈-+，k Z ∈， 解得[,]63x k k ππππ∈-+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈.26．（1）2+（千米）；（2）. 【分析】（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||cos 2AQ PA PAB =∠== 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ； （2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒， 则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，400sin θθ=++200(2sin )θθ=++)θϕ=++tan ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为 【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．。

一、选择题1．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π2．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A ．14B ．2π C ．4π D ．123．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定4．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．12x π=C ．3x π=D ．24x π=5．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．sin15cos15+=（ ） A ．12B ．22C ．3 D ．6 8．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（ ）． A ．1B ．2C ．2.5D ．49．已知sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12B ．13 C ．12-D ．13-10．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π 11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-，则sin θ=（ ）A ．79B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为75°，则山高h =______米.14．已知3sin 2cos()sin 2παπαα⎛⎫++-=⎪⎝⎭，则2sin sin cos ααα+=__________. 15．已知角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos ϕ=__________________． 16．方程2sin 2cos 20x x ++=的解集为________.17．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 18．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=_________． 19．已知50sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，tan α=__________. 20．若πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=________. 三、解答题21．已知函数()sin 31f x x x =++. （Ⅰ）设[0,2π]α∈，且()1f α=，求α的值； （Ⅱ）将函数(2)y f x =的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图像. 当ππ[,]22x ∈-时，求满足()2g x ≤的实数x 的集合.22．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）若[]0,x π∈且6()2f x ≥，求x 的取值范围. 23．已知()()sin23cos2f x x x x R =∈（1）求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的取值范围． 24．已知函数2()sin(2)2cos 1(0)6f x x x πωωω=-+->的最小正周期为π，（1）求ω的值 （2）求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.25．已知()cos2cos 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若323f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 26．已知π0π2αβ<<<<，且5sin()13αβ+=，1tan 22α=. （1）求cos α的值； （2）求sin β.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==， 故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B2．B解析：B 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象， 可得2114T=-=，所以4T =，又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.3．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．4．D解析：D 【分析】由()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度得到()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令52122x k πππ+=+求解. 【详解】因为函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意得()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以52122x k πππ+=+， 解得1,224x k k Z ππ=+∈， 故选：D5．B解析：B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 6．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式． 【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．7．D解析：D 【分析】由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】()6sin15cos152sin 15452sin 60+=+==. 故选：D.8．B解析：B 【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．9．C解析：C 【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】 由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x xf x x x x==--，所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 故选：C.10．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】 因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-， 所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C二、填空题13．【分析】求出在两个直角三角形中表示出再在直角梯形中建立等量关系解得【详解】首先山高为长度根据图可得∴解得故答案为：解析：150【分析】PQ h =，求出CQ ，在两个直角三角形中表示出,BC AQ ，再在直角梯形AQCB 中建立等量关系，解得h ． 【详解】首先sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒2321622-=⨯-⨯=， cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin30︒=︒-︒=︒︒+︒︒2321622+=⨯+⨯=， 31tan 45tan 303tan 75tan(4530)231tan 45tan 3031+︒+︒︒=︒+︒===+-︒︒-， 山高h 为PQ 长度，根据图可得，()200sin155062CQ =︒=-，3tan 603h AQ h ==︒，tan 75PCBC =︒()506223h --=+()()23503652h =---， ∴()()()323503652200cos1550623h h --+-=︒=+，解得()15062h =+.故答案为：()15062+.14．【分析】利用诱导公式化简得出根据的代换结合齐次式化简计算得出函数值【详解】由已知得：则故答案为：解析：35【分析】利用诱导公式化简得出tan 3α=-，根据”1”的代换结合齐次式化简计算得出函数值． 【详解】由已知得：cos 2cos 3cos sin αααα--=-=，则tan 3α=-222222sin sin cos tan tan 933sin sin cos sin cos tan 1915ααααααααααα++-+====+++故答案为：3515．【分析】由题意可得：利用已知条件可以求出利用即可求解【详解】因为角和角的始边均与轴正半轴重合终边互相垂直所以若角的终边与单位圆交于点所以则故答案为：解析：13±【分析】由题意可得：,2k k Z πϕθπ=++∈，利用已知条件可以求出1sin 3θ=，利用 cos sin ϕθ=±即可求解.【详解】因为角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直， 所以,2k k Z πϕθπ=++∈，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ=， 则1cos sin 3ϕθ=±=±， 故答案为：13±16．【分析】原方程化为关于的一元二次方程求得即可求解【详解】由得即解得或（舍去）所以故答案为： 解析：{}2,x x k k Z ππ=+∈【分析】原方程化为关于cos x 的一元二次方程，求得cos 1x =-，即可求解. 【详解】由2sin 2cos 20x x ++= 得21cos 2cos 20x x -++=， 即2cos 2cos 30x x --=，解得cos 1x =-或cos 3x =（舍去）， 所以2,x k k Z ππ=+∈故答案为：{}2,x x k k Z ππ=+∈17．【分析】由结合利用两角和的正切公式求解【详解】故答案为：解析：13-【分析】 由tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用两角和的正切公式求解. 【详解】tan tan1124tan tan 312431tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，故答案为：13-18．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【解析： 【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据其图象关于原点中心对称得,6k k Z πϕπ=-+∈，进而计算得sin 2ϕ=. 【详解】解：根据题意得函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后得到的函数解析式为：sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于原点中心对称， 故,6k k Z πϕπ+=∈，即,6k k Z πϕπ=-+∈所以sin 2sin 2sin 332k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为： 【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈ ； 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()k k Z ϕπ⇔=∈.19．3【分析】由平方关系求出用两角和的正弦公式求得再得然后可得【详解】∵∴∴∴故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系两角和的正弦公式三角函数求值问题需确定已知角和未知角的关系以确定先用的公式象解析：3 【分析】由平方关系求出cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭，用两角和的正弦公式求得sin α，再得cos α，然后可得tan α．【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 44444422ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴cos 10α==， sin tan 3cos ααα==． 故答案为：3． 【点睛】 关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到44ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，需要用用两角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，这就要确定4πα-的范围．以确定余弦值的正负．20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或解析：1-或12【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得． 【详解】由πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得)22cos +sin cos sin 2αααα=-，即)()()cos +sin cos sin cos +sin 2αααααα=-，所以cos sin =αα-或cos +sin 0αα=，当cos sin αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得sin 2α=12； 当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4k k Z παπ=-∈所以()2+2,2k k Z παπ=-∈所以sin 21α=-，故答案为：1-或12. 三、解答题21．（Ⅰ）2=3απ或53π；（Ⅱ）{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤.【分析】（Ⅰ）化简得()2sin()13f x x π=++，则可得sin(+)03πα=，即可求出；（Ⅱ）由题可得2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，不等式化为21sin(2)32x π+≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）由()sin 2sin()131f x x x x π=++=++，由()=2sin()113f παα++=，得sin(+)03πα=，又[0,2]απ∈， 得2=3απ或53π； （Ⅱ）由题知，2sin(23(2)1)x f x π+=+2()2sin 2++12sin 2+1633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()2g x ≤，得21sin(2)32x π+≤， ∴72+22+2,636k x k k Z πππππ-≤+≤∈， 22x ππ-≤≤，252333x πππ-≤+≤， ∴22336x πππ-≤+≤，或5252633x πππ≤+≤， ∴24x ππ-≤≤-，或122x ππ≤≤， 即所求x 的集合为{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为21sin(2)32x π+≤，即可根据正弦函数的性质求解.22．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.【详解】（1）由题意知：A =741234T πππ=-=， 所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤， 因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭可得()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 23．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】（1）本题可直接将56x π=代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）555sin 063322f πππ⎛⎫==-+=⎪⎝⎭，（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的取值范围为[]1,2.24．（1）1ω=；（2）最大值为1；最小值为. 【分析】（1）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可． （2）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可． 【详解】解：（1）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+12cos22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==，0>ω， 解得1ω=.（2）由（1）得π()sin(2)6f x x =+. 因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤. 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为.25．（1）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再整体代入求单调递增区间；（2）由已知得233f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用倍角公式求12f πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；【详解】（1）1()cos2cos 2cos2cos22322f x x x x x x π⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭3cos22223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的单调递增区间5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）由已知得23f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2221263f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212sin 3πα⎤⎛⎫=-+= ⎪⎥⎝⎭⎦．【点睛】求正弦型三角函数的单调区间，常用整体代入法，但要注意保证x 的系数为正，才比较不容易出错；求三角函数值时，要注意整体观察角. 26．（1）3cos 5α=；（2）6365. 【分析】（1）根据二倍角的正切公式以及同角三角函数的关系，可求得结果； （2）由3cos 5α=求出4sin 5α，由5sin()13αβ+=求出12cos()13αβ+=-，再根据[]sin sin ()βαβα=+-以及两角差的正弦公式可得结果.【详解】（1）因为1tan22α=，所以22tan42tan 31tan 2ααα==-， 所以22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得3cos 5α=.（2）由已知得322ππαβ<+<，又5sin()13αβ+=，所以12cos()13αβ+==-，又24sin 1cos 5αα， sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+531246313515565⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，二倍角的公式，两角差的正弦公式，关键在于观察，用已知角表示待求的角，属于中档题.。

(每日一练)人教版2023高中数学三角函数经典大题例题单选题1、将函数f(x)=sinω(x+π2),(ω>0)且f(0)=1，下列说法错误的是（）A．f(x)为偶函数B．f(−π2)=0C．当ω=5时，f(x)在[0,π2]上有3个零点D．若f(x)在[0,π5]上单调递减，则ω的最大值为9答案：D解析：根据f(0)=1求出ω，利用诱导公式判断A、B，再根据余弦函数的性质判断C、D；解：因为f(x)=sinω(x+π2)=sin(ωx+π2ω)，且f(0)=1，即sin(π2ω)=1，即π2ω=π2+2kπ,k∈Z，所以ω=1+4k,k∈Z，又ω>0，所以ω=1，5，…所以f(x)=sin(ωx+π2ω)=cosωx，所以f(x)为偶函数，故A正确；又f(−π2)=sinω(−π2+π2)=0，故B正确．当ω=5时，f(x)=sin(5x+5π2)=cos5x，函数的周期为2π5，令cos5x=0，即5x=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ5+π10，k∈Z，即函数的零点为x=kπ5+π10，k∈Z，可得x=π10，x=3π10，x=π2为在[0,π2]上有3个零点，故C正确．如果ω为9，则：f(x)=sin(9x+π2)=cos9x，由x∈[0,π5]，所以9x∈[0,9π5]，因为y=cosx在[0,9π5]不单调，所以f(x)在[0,π5]上不单调，故D不正确；2、已知锐角α，β，则“α+β<π2”是“sinα+sinβ<cosα+cosβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C解析：分别证明充分性和必要性，由锐角α，β，α+β<π2可得0<α<(π2−β)<π2，再结合函数单调性可证充分性；由sinα+sinβ<cosα+cosβ变形得sinα−cosα<cosβ−sinβ，结合辅助角公式和诱导公式可进一步证明必要性成立.由题知，α，β为锐角，α+β<π2，故0<α<(π2−β)<π2，因为sinx 在(0,π2)为增函数，故sinα<sin (π2−β)=cosβ，同理可证sinβ<cosα， 两式相加得sinα+sinβ<cosα+cosβ，故充分性成立；由sinα+sinβ<cosα+cosβ可得sinα−cosα<cosβ−sinβ，即√2sin (α−π4)<√2cos (β+π4)=√2sin (π2−(β+π4))=√2sin (π4−β)，即sin (α−π4)<sin (π4−β)，因为α，β为锐角，α∈(0,π2),β∈(0,π2)，故α−π4∈(−π4,π4),−β∈(−π2,0),π4+(−β)∈(−π4,π4), sinx 在(−π4,π4)单增， 故α−π4<π4−β，整理得α+β<π2，故“α+β<π2”是“sinα+sinβ<cosα+cosβ”的充要条件. 故选：C3、已知sin (α−π3)+√3cosα=13，则sin (2α+π6)的值为（ ）A ．13B ．−13C ．79D ．−79解析：利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得cos(α−π6)=13，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．因为sin(α−π3)+√3cosα=12sinα−√32cosα+√3cosα=12sinα+√32cosα=sin(α+π3)=sin(π2+α−π6)=cos(α−π6)=13，所以sin(2α+π6)=sin(π2+2α−π3)=cos(2α−π3)=2cos2(α−π6)−1=2×(13)2−1=−79，故选：D 填空题4、已知tanαtan(α+π4)=−23，则sin(2α+π4)的值是_____.答案：√210.解析：由题意首先求得tanα的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.由tanαtan(α+π4)=tanαtanα+11−tanα=tanα(1−tanα)tanα+1=−23，得3tan2α−5tanα−2=0，解得tanα=2，或tanα=−13.sin(2α+π4)=sin2αcosπ4+cos2αsinπ4=√22(sin2α+cos2α)=√22(2sinαcosα+cos2α−sin2αsin2α+cos2α)=√22(2tanα+1−tan 2αtan 2α+1)， 当tanα=2时，上式=√22(2×2+1−2222+1)=√210； 当tanα=−13时，上式=√22(2×(−13)+1−(−13)2(−13)2+1)=√210. 综上，sin (2α+π4)=√210.小提示：本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.5、若1−tanA 1+tanA =4+√5，则cot (π4+A)的值是______. 答案：4+√5解析：利用同角三角函数的基本关系式、两角和的正切公式化简求得所求表达式的值.依题意cot (π4+A)=1tan(π4+A)=1tan π4+tanA1−tan π4⋅tanA =1−tanA 1+tanA =4+√5.所以答案是：4+√5。

人教版高二第一章三角函数单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．tan 600o =（ ）A ．B ．-C D ．【来源】甘肃省平凉市静宁县第一中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（文)试题 【答案】C2．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A ．B ．C ．D ．【来源】2008年高考江西卷理科数学试题 【答案】D3．要得到函数y ＝cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移π个单位长度 B ．向左平移π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 【来源】浙江省金华十校2017-2018学年高一上学期期末调研考试数学试题 【答案】B4．已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]【来源】2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷带解析) 【答案】A5．已知cos cos θθ=，tan tan θθ=-|，则2θ的终边在( ) A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上【来源】辽宁省营口市2017-2018学年高一4月月考数学试题 【答案】D6．记0cos(80)k -=，那么0tan100=（ ）A ．B ．C D ．【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ)理科数学全解全析 【答案】B7．在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，则C 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【来源】广西宾阳县宾阳中学2017-2018学年高一5月月考数学试题 【答案】C8．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】B9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A ．37.5分钟B ．40.5分钟C ．49.5分钟D ．52.5分钟【来源】福建省福州格致中学2017-2018学年高一下学期第四学段质量检测数学试题 【答案】A10．函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=【来源】2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（安徽卷) 【答案】D11．函数y =的定义域是（ ）A ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()22,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【来源】2019年一轮复习讲练测 4.3三角函数的图象与性质 【答案】D12．设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十八 三角函数的图象和性质 教学案 【答案】B象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【来源】2011届江西省湖口二中高三第一次统考数学试卷 【答案】C14．若tan 3α=,4tan 3β=,则tan()αβ-= A ．3B ．3-C ．13D ．13-【来源】北京市清华附中2017-2018学年高三数学十月月考试题（文) 【答案】C 15．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【来源】2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷带解析) 【答案】B16．函数()sin()f x x ωϕ=+（其中2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x xω=的图象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度【来源】2015届福建省八县（市)一中高三上学期半期联考文科数学试卷（带解析) 【答案】A17．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是（ ）． A ．12a =，32A >B ．12a =，32A ≤ C ．1a =，1A ≥ D ．1a =，1A ≤【来源】广东省华南师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】A价y （单位：元/平方米）与第x 季度之间近似满足关系式：()()500sin 95000y x ωϕω=++>.已知第一、二季度的平均单价如下表所示：则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（ ） A ．10000B ．9500C ．9000D ．8500【来源】第一章全章训练 【答案】C19．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2x π=-B ．4πx =-C ．8x π=D ．54x π=【来源】2012-2013学年黑龙江省集贤县第一中学高一上学期期末考试数学试题（带解析) 【答案】A 20．已知－2π<θ<2π，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( ) A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13【来源】浙江省温州中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题 【答案】C 21．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D 22．1cos()2πα+=-，322παπ<<，()sin 2πα-的值为（ ）A ．B ．12C ．±D ．2【来源】江西省上饶市“山江湖”协作体2018-2019学年高一下学期统招班第一次月考【答案】D23．若0<α<β<π4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则( ).A ．a <bB ．a >bC ．ab <1D ．ab >2【来源】河北省石家庄市辛集中学2015-2016学年高一下学期综合练习（三)数学试题 【答案】A24．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =，7c =，60C =︒，则b = （ ） A ．5B ．8C ．5或-8D ．-5或8【来源】正余弦定理 滚动习题（三) [ 范围 1 ] 【答案】B25．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7sin()6πα+的值是（ ）A ．5-B ．5C ．45-D ．45【来源】广东省广州市执信中学2018-2019学年度上学期高三测试数学（必修模块)试题 【答案】C26．将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增 B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减 C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文)试题 【答案】A27．若α是第三象限的角, 则2απ-是( )A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题28．已知函数()()0,0,2f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为 （ ）A ．()sin()84f x x ππ=+B ．()sin()84f x x ππ=-C ．3()sin()84f x x ππ=+D ．3()sin()84f x x ππ=-【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】A29．曲线cos 2y x =与直线y =在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为1P ,2P ,3P ,4P ,5P ,…,则15PP 等于 ( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】B二、填空题30．若sin(+θ)=25，则cos2θ= ． 【来源】2017届福建福州外国语学校高三文上学期期中数学试卷（带解析) 【答案】31．已知直线l ：mx +y +3m −√3=0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于C ，D 两点，若|AB|=2√3，则|CD|=__________． 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷参考版) 【答案】432．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【答案】二33．设定义在R 上的函数()()0,122f x sin x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭,给出以下四个论断：①()f x 的周期为π； ②()f x 在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数；③()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；④()f x 的图象关于直线12x π=对称.以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题（写成“p q ⇒”的形式）______________.（其中用到的论断都用序号表示） 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】①④⇒②③ 或①③⇒②④ 34．关于下列命题：①若,αβ是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>； ②函数sin()2y x ππ=-是偶函数；③函数sin(2)3y x π=-的一个对称中心是(,0)6π；④函数5sin(2)3y x π=-+在,]1212π5π[-上是增函数，所有正确命题的序号是_____．【来源】2018-2019学年高中数学（人教A 版，必修4)第一章《三角函数》测试题 【答案】②③ 35．在ABC ∆中，若B a bsin 2=，则A =______．【来源】正余弦定理 滚动习题（三) [ 范围 1 ] 【答案】30o 或150o36．若sin()2cos(2),αππα-=-则sin()5cos(2)3cos()sin()παπαπαα-+----的值为____________.【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】35-37．若函数f (x )=sin 2x+cos 2x ,且函数y=f 2x ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于_____.【答案】π4三、解答题38．已知函数()3sin(2)3f x x π=-，（1）请用“五点作图法”作出函数()y f x =的图象；（2）()y f x =的图象经过怎样的图象变换，可以得到sin y x =的图象.（请写出具体的变换过程）【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】（1）见解析；（2）变换过程见解析.39．在△ABC 中，222a c b +=(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋cos C 的最大值．【来源】浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高二10月月考数学试题 【答案】（1）π4（2）140．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1. (1)求角A ； (2)若221sin 2cos sin BB B+-＝－3，求tan C ． 【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3【答案】(1)3π;(2) . 41．已知函数()()()sin 0,0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()506f f π⎛⎫=⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的解析式，并写出它的单调递增区间. 【来源】第一章全章训练【答案】（1）π；（2）()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；单调递增区间为7,,1212k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z .42．已知函数()f x =4tan xsin （2x π-）cos （3x π-）-.（Ⅰ）求f （x ）的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f （x ）在区间[,44ππ-]上的单调性.【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3 【答案】（Ⅰ）{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，π；（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 43．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 【来源】2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（安徽卷)【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[ 44．设函数()sin(2)()3f x A x x R π=+∈的图像过点7(,2)12P π-.（2）已知10()21213f απ+=，02πα-<<，求1cos()sin()2sin cos 221sin cos ππαααααα-++-+++的值； （3）若函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称，求函数()y g x =的单调区间.【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】（1）()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）713-；（3）单减区间为15(,)()1212k k k z ππππ-+∈， 单增区间为511(,)()1212k k k z ππππ++∈. 45．(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．【来源】第3章章末检测-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2)【答案】（1）－25(2)见解析（3）见解析 46．是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +acosx +5a 8−32在闭区间[0,π2]上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，请说明理由．【来源】重庆市万州二中0910年高一下学期期末考试【答案】f max (t)=f(a 2)=a 42+58a −12=1， 47．A,B 是单位圆O 上的点,点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点,点B 在第二象限,记∠AOB =θ,且sinθ=45.(1)求点B 的坐标;(2)求sin (π+θ)+2sin(π2−θ)2tan (π−θ)的值.【来源】2015-2016学年广西钦州港开发区中学高二上第一次月考理科数学试卷（带解析)【答案】（1）(−35,45)；（2）−53． 48．已知函数()sin 214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)用“五点法”作出()f x 在7,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的简图; (2)写出()f x 的对称中心以及单调递增区间;(3)求()f x 的最大值以及取得最大值时x 的集合.【来源】2018-2019学年高中数学（人教A 版，必修4)第一章《三角函数》测试题【答案】（1）见解析；（2）k ππ,028⎛⎫+ ⎪⎝⎭,k Z ∈，最大值为2,此时,,8x k k ππ=+∈Z . 49．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，5c =，3cos 5B =. （1）求b 的值；（2）求sin C 的值.【来源】正余弦定理 滚动习题（三) [ 范围 1 ]【答案】（1； （2.50．已知函数f (x )=4sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭cos . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g (x )=f (x )-m 区间在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并计算tan(x 1+x 2)的值.【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评【答案】(1)T=π,递增区间为π5ππ-,π1212k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z).(2) m ∈-3.。

高中数学三角函数测试卷(答案解析版)高中数学三角函数测试卷(答案解析版)一、选择题1. 假设α是锐角，sinα=0.6，那么sin(90°-α)的值是多少？解析：根据三角函数的互余关系，sin(90°-α) = cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - 0.6²) = 0.8。

答案：0.82. 已知tanα = 3/4，sinα的值为多少？解析：由tanα = sinα/cosα可得sinα = tanα × cosα = 3/4 × 4/5 = 3/5。

答案：3/53. 已知sinα = 1/2，cosβ = 3/5，α和β都是锐角，则sin(α+β)的值是多少？解析：根据两角和的公式，sin(α+β) = sinα × cosβ + cosα × sinβ = (1/2) × (3/5) + √(1 - (1/2)²) × √(1 - (3/5)²) = 3/10 + √(3/10 × 7/10) = 3/10 + √(21/100) = 3/10 + 3√21/10√10 = (3 + 3√21)/10。

答案：(3 + 3√21)/10二、填空题4. 在锐角三角形ABC中，已知∠A=30°，BC=6，AC=10，则AB 等于多少？解析：根据正弦定理，AB/AC = sin∠B/sin∠A，代入已知条件得到AB/10 = sin∠B/sin30°，即AB = 10×sin∠B/sin30°。

由∠B + ∠C = 90°可得∠B = 90° - ∠A - ∠C = 90° - 30° - 60° = 0°。

因此，AB =10×sin0°/sin30° = 0/0 = 0。

一、选择题1．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．19-C ．3D ．192．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-3．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ）A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．34．计算cos 20cos80sin160cos10+=（ ）．A ．12B C ．12-D ． 5．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．B ．12C ．12-D ．28．若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）.A ．79-B ．13-C ．13D ．799．若将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是（ ） A ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭10．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（ ） A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.0349111．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．310-B ．310 C ．35D ．3512．已知2cos 432θπ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．已知()sin()cos()1f x a x b x παπβ=++-+，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若()20202f =，则()2021f =________.14．已知函数sin cos y x x =-，其图象的对称轴中距离y 轴最近的一条对称轴方程为x =________.15．已知锐角α满足1cos()35πα+=，则sin α=______． 16．若()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则()()tan 06g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为______．17．已知1tan()3πα+=-，则sin 2cos 5cos sin αααα+=-______． 18．已知tan 2α=，则cos2=α__． 19．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.20．若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 三、解答题21．已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =++．求： （1）()f x 的最小正周期； （2）()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值． 22．已知函数()cos f x x =.（1）已知α，β为锐角，()5f αβ+=-，4tan 3α=，求cos2α及()tan βα-的值；（2）函数()()321g x f x =+，若关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，求实数a 的最大值.23．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，60秒转动一圈.图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ到OB .设B 点与地面的距离为h .（1）求h 与θ的函数关系式；（2）设从OA 开始转动，经过10秒到达OB ，求h . 24．已知函数25()23cos()2cos (0)32f x wx wx wx w π=+-+>的图像上相邻的两个最低点的距离为π. （1）求w 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间. 25．已知函数2()sin(2)2cos 1(0)6f x x x πωωω=-+->的最小正周期为π，（1）求ω的值 （2）求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26．已知α∈(0,)2π，tan α＝12，求tan 2α和sin ()4πα-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算． 【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 2．A解析：A 【分析】 由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-． 故选：A ．3．C解析：C 【分析】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N .因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-， 解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.4．A解析：A 【分析】将160化为20,10化为80后，利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】cos 20cos80sin160cos10+cos 20cos80sin 20sin80=+()cos 8020=-cos60=12=． 故选：A ．5．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=；33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 6．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式． 【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．7．B解析：B 【分析】利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20cos10cos160sin10-()sin 20cos10cos 18020sin10=-- sin 20cos10cos 20sin10=+()sin 2010=+sin30=12=故选：B8．A解析：A 【分析】 根据1sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由2cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解. 【详解】 因为1sin sin 6233πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1cos 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以227cos 2cos 22cos 13339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A9．A解析：A 【分析】先求出平移后的解析式为23sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()223x k k Z ππ+=∈解方程即可求解. 【详解】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度得：23sin 23sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令()223x k k Z ππ+=∈，解得：()32kx k Z ππ=-+∈， 当1k =时，326x πππ=-+=，所以平移后图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A10．B解析：B 【分析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解. 【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒， 所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈， 故选：B11．B解析：B【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】 因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-， 所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C二、填空题13．0【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解【详解】由题意所以所以故答案为：0解析：0 【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解. 【详解】由题意，()sin(2020)cos(2020)1sin cos()12020a b a b f παπβαβ++-++-=+=sin cos 12a b αβ=++=，所以sin cos 1αβ+=a b ，所以()sin(2021)cos(202)201211f a b παπβ++-+=sin()cos()1sin cos 1110a b a b παπβαβ==++-+-+=-+=-.故答案为：0.14．【分析】函数令求解【详解】已知函数令解得所以其图象的对称轴中距离轴最近的一条对称轴方程为故答案为：解析：4π-【分析】函数4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令42x k πππ-=+求解.【详解】已知函数sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令,42x k k Z πππ-=+∈，解得 3,4x k k Z ππ=+∈， 所以其图象的对称轴中距离y 轴最近的一条对称轴方程为x =4π-. 故答案为：4π-15．【分析】利用余弦的两角和公式展开结合代入计算即可【详解】解得根据代入计算解得故答案为：【分析】利用余弦的两角和公式展开，结合22sin cos 1αα+=，代入计算即可． 【详解】1cos cos 2513πααα⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭，解得2cos 5αα=+，根据22sin cos 1αα+=，代入计算，解得sin α=. 16．【分析】先由的最小正周期求出的值再由的最小正周期公式求的最小正周期【详解】的最小正周期为即则所以的最小正周期为故答案为：解析：8π 【分析】 先由()f x 的最小正周期，求出ω的值，再由()tan y x ωϕ=+的最小正周期公式求()g x的最小正周期. 【详解】()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，即24ππω=，则8ω=所以()tan 86g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为8T π=故答案为：8π 17．【分析】由已知条件求出再根据同角公式弦化切可解得结果【详解】故答案为：【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键 解析：516【分析】由已知条件求出1tan 3α=-，再根据同角公式弦化切可解得结果. 【详解】1tan()3πα+=-，1tan 3α∴=-，sin 2cos tan 25cos sin 5tan αααααα++∴=--123153-+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭516=． 故答案为：516【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键.18．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 19．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算解析：45【分析】本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果. 【详解】 因为tan 2α=， 所以2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos tan 15παααααααα⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭， 故答案为：45. 【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.20．【分析】由结合诱导公式和二倍角公式得出答案【详解】故答案为：解析：19-【分析】 由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案． 【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭， 1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-三、解答题21．（1）π；（2）最小值为1，最大值为4． 【分析】（1）由二倍角降幂，由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质可求得最小正周期； （2）求出26x π-的范围，然后由正弦函数性质得最值．【详解】（1）因为2()2sin cos 1f x x x x =++1cos2cos 1x x x =-++2cos 22x x =-+2sin 226x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==． （2）因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤． 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭． 所以()2sin 22[1,4]6f x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．即()f x 的最小值为1，最大值为4． 【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 22．（1）7cos 225α=-，()2tan 11βα-=；（2）a 的最大值为3. 【分析】（1）利用二倍角公式，求出cos2α，然后分别求出()cos αβ+，sin()αβ+，进而求出()tan αβ+，最后，利用()()tan tan 2βααβα-=+-求解即可（2）由()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-，得关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，化简得，即()()()213g x a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解即可【详解】解：（1）∵4tan 3α=，∴222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+2222411tan 73251tan 413αα⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵α，β为锐角，即α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()20,απ∈，()0,αβπ+∈.22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵()cos f x x =，∴()()cos 5f αβαβ+=+=-， ∴()sin αβ+==，∴()()()sin tan 2cos αβαβαβ++==-+， ∴()()()()242tan tan 227tan tan 2241tan tan 211127αβαβααβααβα-++--=+-===+++⨯. 综上，7cos 225α=-，()2tan 11βα-=. （2）()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-， 关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，即()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，则[]1,7t ∈，()()231t a t -≥+有解，即916a t t+≤+-有解， max97a t t ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，设()9h t t t =+，则()h x 在[)1,3上单调递减，在(]3,7上单调递增，则()(){}max9max 1,710t h h t ⎛⎫+== ⎪⎝⎭， ∴3a ≤，故实数a 的最大值为3. 【点睛】关键点睛：（1）利用二倍角公式，以及正切函数的两角和差公式求解； （2）通过化简，把问题转化为()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解；主要考查学生的转化化归思想以及运算能力，属于中档题 23．（1） 5.6 4.8cos h θ=-；（2）3.2m. 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合条件求出点B 的坐标后可得h 与θ间的函数关系式； （2）由60秒转动一圈，易得点A 在圆上转动的角速度是/30rad s π，再计算出经过10秒后转过的弧度数为3π，然后代入（1）中所求函数解析式计算即可得到答案. 【详解】（1）以圆心O 原点，建立如图所示的坐标系，如下图所示，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为2πθ-，故点B 坐标为 4.8cos ,4.8sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ 5.6 4.8sin 5.6 4.8cos 2h πθθ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭； （2）点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是/30rad s π，∴经过t 秒后转过的角度30t πθ=，则经过10秒后转过的角度为3πθ=，∴ 5.6 4.8cos 5.6 2.4 3.23h π=-=-=（m ）.【点睛】关键点点睛：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O 为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，是解决本题的关键． 24．（1）1；（2）()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【分析】本题考查三角函数的图像和性质、三角恒等变换，根据三角恒等变换公式()f x 化简函数解析式，根据图像和性质求单调递增区间. 【详解】（1）5()23(cos cossin sin )(1cos 2)332f x wx wx wx wx ππ=--++23sin 23sin cos 222wx wx wx =--+1cos 2323cos 222wx wx wx -=-⨯-+12cos 22wx wx =+ sin(2)6wx π=+又因为()f x 图象上相邻的两个最低点间的距离为π，0w >， 所以22w，解得1w =.（2）据（1）求解知，()sin(2)6f x x π=+令222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以所求的单调递增区间是()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【点睛】思路点睛：三角恒等变换综合应用的解题思路：（1）利用降幂、升幂公式将()f x 化为sin cos a x b x 的形式；（2）构造())f x x x +；（3）和差公式逆用，得())f x x ϕ=+ (其中ϕ为辅助角，tan b aϕ=)；（4）利用())f x x ϕ=+研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．25．（1）1ω=；（2）最大值为1；最小值为. 【分析】（1）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可． （2）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可． 【详解】解：（1）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+12cos22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==，0>ω， 解得1ω=.（2）由（1）得π()sin(2)6f x x =+. 因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤. 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； 当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x取得最小值为. 26．an 2α＝43，sin ()4πα-＝. 【分析】 先由tan α＝12可得tan 2α＝43，再由sin cos αα＝12，结合角的范围可得sin α和cos α的值，再由in ()4πα-的展开求解即可.【详解】∵tan α＝12，∴tan 2α＝22tan 1tan a a -＝122114⨯-＝43. 且sin cos αα＝12，即cos α＝2sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1.而α∈(0,)2π，∴sin α，cos α. ∴sin ()4πα-＝sin αcos4π－cos αsin 4π。

高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．方程12sin 01x xπ-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________3．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 4．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.5．给出下列命题：①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；④设常数a ∈R ，函数2log ,04()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．其中正确命题的序号为_____．6．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，若函数()f x 的图象在区间[]0,2π上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点； ②()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点；③ω的取值范围是3137,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；④()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单递增函数.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎫⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 8．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________. 9．若向量x y ，满足2212x y +=，则21||2x x y ++的最大值是___________. 10．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭13．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x ＝交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）AB ．3CD ．14．在ABC ∆中，已知3sin sin ,2A C +=设2sin sin ,t A C =则（ ）A ．1B C D ．9815．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．116．已知函数()()sin 302f x x πϕϕ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，现有如下三个结论：①ϕ的最小值为3π； ②当ϕ取得最大值时，将函数()f x 的图像向左平移18π个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则132g π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③函数()f x 在[]0,2π上有6个零点． 则上述结论正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．317．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④18．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞19．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．820．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC =，则ABC 面积的最大值为（ ）AB ．C ．D ．三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象.23．已知函数()2sin 2cos 3f x x a x =+-.（1）当1a =时，求该函数的最大值；（2）是否存在实数a ，使得该函数在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？若存在，求出对应a的值；若不存在，试说明理由.24．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2()02a bf a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 25．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2x π∈()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值； ()2当2m =时，若对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a x b x x ==-， 设函数(),0,2f x a b x π⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求()f x 的值域（Ⅱ）设函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，若不等式()()sin 20f x h x x m ++-<有解，求实数m 的取值范围．27．已知函数()sin()0,04,||2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++><<< ⎪⎝⎭图象的一个最高点和最低点的坐标分别为5,212π⎛+ ⎝和11,212π⎛-⎝． （1）求()f x 的解析式；（2）若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x m ≤-，求m 的取值范围．28．已知1a ≥，函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()sin cos 1g x x x x =--.（1）若()f x 在[],b b -上单调递增，求正数b 的最大值； （2）若函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，求a 的取值范围.29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值30．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．982．1008或10093 4．115．③④ 6．②③ 7．①③8．910．12+二、单选题 11．A 12．C 13．B 14．B 15．C 16．C 17．B 18．C 19．D 20．C 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-.【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u = 当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω== ∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）由题意可知222T ππω=≥, ∴1ω≤ 又0>ω, ∴01ω<≤ （2）∵T πω=, ∴1ω=∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =-∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.23．（1）1-；（2）存在，且2a =. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出()()2cos 11f x x =---，由1cos 1x -≤≤结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；（2）换元[]cos 0,1t x =∈，将问题转化为二次函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上的最大值为1，然后分0a ≤、01a <<和1a ≥三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上最大值，进而求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时，()()22sin 2cos 3cos 11f x x x x =+-=---，1cos 1x -≤≤，当cos 1x =时，该函数取得最大值，即()max 1f x =-；（2）()22sin 2cos 3cos 2cos 2x a x x a x f x =+-=-+-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设[]cos 0,1t x =∈，设()222t at g t -+-=，[]0,1t ∈，二次函数()y g t =的图象开口向下，对称轴为直线t a =.当0a ≤时，函数()y g t =在[]0,1上单调递减，所以0=t 时，()()max 021g t g ==-≠，0a ∴≤不符合题意；当1a ≥时，函数()y g t =在[]0,1上单调递增，所以1t =时，()()max 1231g t g a ==-=，2a ∴=满足1a ≥；当01a <<时，函数()y g t =在[]0,a 上单调递增，在(],1a 上单调递减， ∴当t a =时，()()2max 21g t g a a ==-=，a ∴=01a <<.综上，存在2a =符合题意. 【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 24．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案.【详解】（1）不是.假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin2a ba +=， 当2b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2a k ππ=+，k Z ∈，所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，又因为()f x 是M 类函数，所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2a ba b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，所以()22142(4)0222a a b a a a -+-=+-=>，则2log 102a b +->，所以得22log 12log 12a b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 从而有222log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224a b b +=，即248b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()3226480b b b b ----=，由2b >，则326480b b b ---=，令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()26480g x x x x =---<，且()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力. 25．（1）1m =；（2）13[,)8a ∈+∞【解析】 【分析】(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立, 等价于12max 1()()24f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决. 【详解】（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2x π∈ 令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---，①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，②01m ≤≤，则2min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍）综上所述：1m =.（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()12124f x f x a -≤-恒成立， 等价于12max 1()()24f x f x a -≤-， 2m =，∴2g()(2)6t t =--，[0,1]t ∈max ()g(0)2f x ==-，min ()g(1)5f x ==-12max ()(25)()3f x f x =---=-∴ 1234a -≥，∴ 138a ≥， 综上所述：13[,)8a ∈+∞. 【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题.26．（Ⅰ）11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数()f x 的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得()h x 的解析式，要使()()sin 20f x h x x m ++-<在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，即不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，令()()sin2y f x h x x =++求出函数的最小值，即可得实数m 的取值范围．【详解】解：（1）()222991sin cos 1cos cos cos cos 888f x x x x x x x =+-=-+-=-+- ()211cos 28f x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos 1x ∴≤≤()1188f x ∴-≤≤ ()f x ∴的值域为11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）函数()21cos cos 8f x x x =-+-的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，()2211cos cos sin sin 2288h x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=-+++-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 依题意，不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设()()5sin2cos sin sin24y f x h x x x x x =++=--+ 52sin cos cos sin ,0,42y x x x x x π⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，令[]cos sin ,0,1,142t x x x x t ππ⎛⎫⎡⎤=-=+∈∴∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则[]2211,1,142y t t t t ⎛⎫=-+-=--∈- ⎪⎝⎭∴函数()()sin2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ∴ min 94m y >=- 故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题.27．(1) ()2sin(2)3f x x π=-[22]-， 【解析】【分析】（1）根据题意得到()21T k Z k π=∈+，42k ω=+所以2ω=，再代入数据计算得到，2A =b =3πϕ=-得到答案.（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦得到0()2f x ≤≤+ 202m m +≥⎧⎪⎨+⎪⎩. 【详解】（1）由题意得1151()12122k T ππ-=+，则()21T k Z k π=∈+． 又2T πω=，则42k ω=+，因为04ω<<，所以2ω=．2A ==,b ==因为()f x 的图象经过点5(,212π，所以52sin(2)212πϕ⨯+=+ 所以23k πϕπ=-+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-．故()2sin(2)3f x x π=-+（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦从而,0()2f x ≤≤+()2f x m ≤-≤，所以()2m f x m +≤≤+．要使得存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x m -≤， 则202m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩解得22m -≤≤．故m 的取值范围为[22]-，． 【点睛】本题考查了三角函数的解析式，存在问题，计算函数的值域是解题的关键.28．（1）4π（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求出()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间，令0k =，得3ππ44x -≤≤，可知区间[],b b -3ππ,44⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，即可求出正数b 的最大值；（2）令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，t ⎡∈⎣，可将问题转化为()21122h t t at =-+-在⎡⎣的零点问题，分类讨论即可求出答案.【详解】解：（1）由πππ2π2π242k x k -≤+≤+，k ∈Z 得3ππ2π2π44k x k -≤≤+，k ∈Z . 因为()f x 在[],b b -上单调递增，令0k =，得3ππ44x -≤≤时()f x 单调递增，所以π43π4b b ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩解得π4b ≤，可得正数b 的最大值为4π. （2）()()sin cos 21g x x x af x =-+-()sin cos sin cos 1x x a x x =-++-， 设πsin cos 2sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,2t ⎡⎤∈⎣⎦.它的图形如图所示. 又()()2211sin cos sin cos 1122x x x x t ⎡⎤=+-=-⎣⎦，则()sin cos sin cos 1x x a x x -++-21122t at =-+-，2t ⎡∈⎣，令()21122h t t at =-+-， 则函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，可知()21122h t t at =-+-在2⎡⎣内最多一个零点.①当0为()h t 的零点时，102-=显然不成立； ②2()h t 3202a -=，得32a =32a =211022t at -+-=中， 得21321022t --=，解得12t =，22t =，不符合题意. ③当零点在区间(2时，若210a ∆=-=，得1a =，此时零点为1，即1t =，由24t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可知不符合题意； 若210a ∆=->，即1a >，设211022t at -+-=的两根分别为1t ，2t ，由121t t =，且抛物线的对称轴为1t a =>，则两根同时为正，要使()21122h t t at =-+-在2⎡⎣内恰有一个零点，则一个根在()0,1内，另一个根在()2,+∞内， 所以()()102000h h h ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩解得32a >综上，a 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.29．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦. 【解析】【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值；（2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围．【详解】解：（1）由|a b |，可得222a b =；即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ）即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m 的取值范围是2]．【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。

人教版高中数学三角函数练习题一、选择题1.答案为D。

化简得2-2sin^2，再用三角恒等式cos2θ=1-2sin^2θ，得cos^2θ=1/3，cosθ=±1/√3，故cos2θ=1-2sin^2θ=1-2/3=1/3，再乘以3得1.2.答案为A。

化简得cos(π/2-α)/cos(π/10-α)，用tanα=2tan(π/10-α)化简得cos(3π/10-α)/sin(π/10-α)，再用tan(π/10-α)=1/√5化简得cos(3π/10-α)/(2/√5)，即cos(3π/10-α)×√5/2，故答案为1.3.答案为D。

化简得2cos^2α-1+2sin^2α=1+cos^2α+sin^2α=2，故答案为D。

4.答案为C。

化简得cos2α=3/5，sin2α=4/5，代入得cos2α+2sin2α=3/5+8/5=11/5，故答案为C。

5.答案为D。

将3sinA+4cosB=6和4sinB+3cosA=1联立，得3sinA+4(1-4sinA/3)=6，即sinA=5/6，代入4sinB+3cosA=1，得cosB=1/6，故C=30°或150°。

6.答案为A。

化简得x+y=sin(A+B)，xy=cosAcosB，再用余弦不等式cosAcosB≤(cos^2A+cos^2B)/2，得xy≤(1-x^2+y^2)/2，故答案为A。

7.答案为C。

将sinα+cosα=a和sinβ+cosβ=b联立，得sinα-cosα=sinβ-cosβ=b-a，即(sinα-cosα)^2=(sinβ-cosβ)^2，化简得sinαcosα=sinβcosβ，即sin(α+β)/2sin(α-β)/2=sin(α+β)/2sin(β-α)/2，当00，故sin(α-β)/2=sin(α+β)/2，即sinαcosβ=cosαsinβ，故a<b。

二、填空题8.答案为2009.化简得1+tan^2α=2009(1-tan^2α)，即tan^2α=2008/2009，代入得1+tan^2α/cos^2α=2009，即1/cos^2α=1+2008/2009，故答案为2009.9.答案为sinθ=3/√23，cos^2θ=20/23.根据三角恒等式sin^2θ+cos^2θ=1，得cos^2θ=1-sin^2θ=20/23.10.答案为2/3.由余弦定理得cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=cosA(2cosC-1)-2sin^2A，即cosC=(2cosA+1)/(2cosA-1)，代入cosA+2cosB+C=1/2得cosC=(2cosA+1)/(2cosA-1)=1/2，解得cosA=1/3，cosB+C=1/6，代入cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA=1得cosC=2/3.11.答案为2/3.将x=cos^2α代入f(x)=1-x，得f(cos^2α)=1-cos^2α=sin^2α，代入cosα=f(cos^2α)，得cosα=sinα，即tanα=1，故α=π/4，代入得f(sin^2x)-f(-sin^2x)=1-sin^2x-1+sin^2x=0，故答案为0.三、解答题12.（Ⅰ）由三角恒等式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ得f(x)=10sin(3x/2)cos(x/2)+10cos^2(x/2)，最小正周期为4π/3.（Ⅱ）将f(x)向右平移π得g(x)=10sin(3x/2-π)cos(x/2-π)+10cos^2(x/2-π)=10sin(3x/2)sin(x/2)+10sin^2(x/2)，再向下平移a得g(x)=10sin(3x/2)sin(x/2)+10sin^2(x/2)-a，最大值为2时，即sin(3x/2)sin(x/2)+sin^2(x/2)=1，即sin(5x/2)/2+sin^3(x/2)/2=1，代入sin(x/2)=t，得5t^2-6t+1=0，解得t=1/5或1，代入得a=10/3或10，故g(x)为10sin(3x/2)sin(x/2)+10sin^2(x/2)-10/3或10sin(3x/2)sin(x/2)+10sin^2(x/2)-10.1.求解析式g(x)。

文科人教版数学三角函数复习资料姓名：院、系：数学学院专业: 数学与应用数学1.（上海，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ） A.（1－y ）sin x +2y －3=0 B.（y －1）sin x +2y －3=0 C.（y +1）sin x +2y +1=0 D.－(y +1)sin x +2y +1=0 2.（北京，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（ ） A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝(31)cos xD.y =－cot x3.（全国，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x4.（全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ） A.（2π，43π）∪（π，45π）B.（4π，2π）∪（π，45π） C.（2π，43π）∪（45π，23π） D.（4π，2π）∪（43π，π） 5.（全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x |2k π－43π<x <2k π+4π，k ∈Z } B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π，k ∈Z }C.{x |k π－4π<x <k π+4π，k ∈Z }D.{x |k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z }6.（全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（ ）A.6πB.2πC.32πD.3π7.（全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ ） A.322 B.－322 C.32D.－32 8.（全国，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a 等于（ ）A.2B.－2C.1D.－19.（全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ） A.tan2θ>cot 2θB.tan2θ<cot 2θC.sin2θ>cos 2θD.sin2θ－cos 2θ 10.（上海，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0，3π］上的最大值是2，则ω＝ . 11.（北京，13）sin52π，cos 56π，tan 57π从小到大的顺序是 . 12.（全国，18）︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.13.（全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____.14.（全国，18）函数y ＝sin （x －6π）cos x 的最小值是 .15.（上海，17）函数y ＝sin2x ＋cos 2x在（－2π，2π）内的递增区间是 . 16.（全国，18）已知sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π），则cot θ的值是 .17.（全国，17）已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R .（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 18.（全国，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 19.（上海，21）已知sin α＝53，α∈（2π，π），tan （π－β）＝21，求tan （α－2β）的值.20.（全国，22）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，2π），若x 1、x 2∈（0，2π），且x 1≠x 2，证明21［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）. 21.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性. 22. 求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间23. 已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。

全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数真题单选题1、将函数f(x)=2cosx的图象先向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若对g(x)满足|g(x1)−g(x2)|=4，有|x1−x2|min=π4恒成立，且g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，则φ的取值范围是（）A．[π12，π3]B．[π3，π2]C．(π3，2π3]D．[π3，2π3]答案：D分析：可得g(x)=2cos(ωx−φ)，根据题意可求出最小正周期，得出ω，求出g(x)的单调递减区间，根据包含关系可求出.由题可得g(x)=2cos(ωx−φ)，若满足|g(x1)−g(x2)|=4，则x1和x2必然一个极大值点，一个极小值点，又|x1−x2|min=π4，则T2=π4，即T=π2，所以ω=2πT=4，令2kπ≤4x−φ≤2kπ+π，可得kπ2+φ4≤x≤kπ2+π4+φ4，即g(x)的单调递减区间为[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，因为g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，所以(π6，π3)⊆[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，则{kπ2+φ4≤π6kπ2+φ4+π4≥π3，解得−2kπ+π3≤φ≤−2kπ+2π3,k∈Z，因为0<φ<π，所以可得π3≤φ≤2π3.故选：D.2、函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图像上一点P(s,t)(−2<t<2)向右平移2π个单位，得到的点Q也在f(x)图像上，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，且满足f(π4−x)=f(x)，f(−π2)>f(0)，若y=f(x)，x∈[0,π2]与y=a有两个交点，则a的取值范围为（）A．(−2,−√2]B．[−2,−√2]C．[√2,2)D．[√2,2]答案：A分析：首先根据已知条件分析出|PQ|=2π=2T，可得ω=2，再由f(π4−x)=f(x)可得y=f(x)对称轴为x=π8，利用f(−π2)>f(0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f(x)的解析式，再由数形结合的方法求a的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(t)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t =−3π4即x =0时y =−√2，当t =−π2即x =π8时，y =−2，由图知若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为(−2,−√2]， 故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P (0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f (x )的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围.3、已知简谐振动f (x )=Asin (ωx +φ)(|φ|<π2)的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0,34)，则该简谐振动的频率和初相是（ ） A ．16，π6B ．18，π3C ．18，π6D ．16，π3答案：C分析：根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点(0,34)求出初相即可得解.由题意可知，A ＝32，32＋(T2)2＝52，则T ＝8，ω＝2π8＝π4， ∴ y ＝32sin (π4x +φ).由32sin φ＝34，得sin φ＝12.∵|φ|＜π2， ∴φ＝π6.因此频率是18，初相为π6.故选：C4、若sin(π−α)+cos(−α)=15，α∈(0,π)，则tan (32π−α)的值为（ ）A ．−43或−34B ．−43C ．−34D ．34答案：C分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解. 由sin(π−α)+cos(−α)=15可得：sinα+cosα=15，平方得：sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=125所以tan 2α+2tanα+1tan 2α+1=125，解得tanα=−43或tanα=−34， 又sinα+cosα=15，所以|sinα|>|cosα|， 故tanα=−43，故选：C5、已知函数f (x )=sin (2x +π3)，为了得到函数g (x )=cos (2x +π3)的图象只需将y =f (x )的图象（ ） A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位 答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin (2x +π3+π2)=cos (2x +π3) 所以sin(2x +π3)→sin(2x +π2+π3)，只需将f (x )的图象向左平移π4个单位， 故选：A.6、已知α，β为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−√22，则cosβ=（ ）A ．3√210B ．√210C ．7√210D ．9√210 答案：B分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cosα,sin(α+β)，再利用角变换β=α+β−α，利用两角差的余弦公式求得答案．由α是锐角，sinα=45，则cosα=√1−sin 2α=35， 又α，β是锐角，得α+β∈(0,π)， 又cos (α+β)=−√22，则sin(α+β)=√22，则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√22×35+√22×45=−3√2+4√210=√210.故选：B．7、函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是A．函数f(x)的图象可由y=Asinωx的图象向左平移π6个单位得到B．函数f(x)的图象关于直线x=π3对称C．函数f(x)在区间[−π3,π3]上是单调递增的D．函数f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)答案：D解析：根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且0＜φ＜π2，∴φ=π6，∴f（x）＝2sin（ωx+π6），∵f（5π12）＝0且为单调递减时的零点，∴ω⋅5π12+π6=π+2kπ，k∈Z，∴ω=2+24k5，k∈Z，由图象知T =2πω＞2×5π12，∴ω＜125， 又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x +π6），∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移π12个单位得， ∴A 错，令2x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，对称轴为x =π6+kπ2，则B 错，令2x +π6∈[−π2+kπ,π2+kπ],则x ∈[−π3+kπ2,π6+kπ2]，则C 错，令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x ＝kπ2−π12，则D 对， 故选：D ．小提示：本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题． 8、已知sin (π+α)=35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=（ ）A ．−45B ．45C ．−35D ．35 答案：C解析：由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. ∵sin(π+α)=35=−sinα，∴sinα=−35， 则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sinα=−35，故选：C9、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．23 答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解.因为tanθ=2， 所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ， =21−tanθ=−2，故选：B10、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +r sin∠BPO=5，所以r +r sin1=5，所以r =5sin11+sin1， 故选：C. 填空题11、已知sin α＝√55，sin(α－β)＝－√1010，α，β均为锐角，则β＝________. 答案：π4分析：通过α，β，α－β的范围求出他们的正弦，余弦值，再通过sin β＝sin[α－(α－β)]可得sin β，进而可得β. 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－√1010，所以cos(α－β)＝3√1010. 又sin α＝√55，所以cos α＝2√55， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝√55×3√1010－2√55×(−√1010)＝√22. 所以β＝π4. 所以答案是：π412、若sin (α−π6)=−45，则cos (α+π3)=___________.答案：45分析：由已知函数值，根据诱导公式即可求cos (α+π3)的值.cos (α+π3)=cos [(α−π6)+π2]=−sin (α−π6)，又sin (α−π6)=−45， ∴ cos (α+π3)=45， 所以答案是：45.13、已知tan(α+β2)=√62,tanαtanβ=137,则cos(α−β)的值为______.答案：23分析：应用三角函数的恒等变换公式对tanβ=sinαsinβcosαcosβ变形求得cos(α−β)=−103cos(α+β)，再由tanα+β2求得cos(α+β)，可得结论． tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)]12(cos(α−β)+cos(α+β)]=137，所以cos(α−β)=−103cos(α+β)，cos(α+β)=1−tan 2α+β21+tan 2α+β2=1−(√62)21+(√62)=−15，所以cos(α−β)=−103×(−15)=23．所以答案是：23．解答题14、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3．（Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x ⩽π2，有π6⩽2x −π3⩽2π3，所以12≤sin (2x −π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f (C )=√3，有sin(2C −π3)=√32， ∵C 为锐角，∴2C −π3=π3，∴C =π3． ∵c =2，∴由余弦定理得：a 2+b 2−ab =4， ∵a 2+b 2⩾2ab ，∴4=a 2+b 2−ab ⩾ab ．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．15、已知函数f(x)=asin(x+π4)−√6cos(x+π3)，其中a∈R．(1)当a为何值时，f(x)为偶函数?(2)当a为何值时，f(x)为奇函数? 答案：(1)a=−3(2)a=√3分析：（1）由题意求得f(π2),f(−π2)，根据f(π2)=f(−π2)，求得a=−3，结合偶函数的定义，即可求解；（2）由题意求得f(0)=√22a−√62，根据f(0)=0，求得a=√3，结合奇函数的定义，即可求解；(1)解：由函数f(x)=asin(x+π4)−√6cos(x+π3)，可得f(π2)=√22a+32√2，f(−π2)=−√22a−32√2，若f(x)是偶函数，则f(π2)=f(−π2)，即√22a+32√2=−√22a−32√2，可得a=−3，当a=−3时，函数f(x)=−3sin(x+π4)−√6cos(x+π3)=(−3√22−√62)cosx，此时函数满足f(−x)=f(x)，函数f(x)为偶函数.(2)解：由f(x)=asin(x+π4)−√6cos(x+π3)，可得f(0)=√22a−√62，若f(x)是奇函数，则f(0)=0，可得a=√3，当a=√3时，f(x)=−3sin(x+π4)−√6cos(x+π3)=(√62+32√2)sinx，此时函数满足f(−x)=−f(x)，函数f(x)为奇函数.。

高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为______3．若,,44x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，a ∈R ，且33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，则()cos 2x y +=______（提示：sin y x =在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上严格增函数） 4．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.5．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，若函数()f x 的图象在区间[]0,2π上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点； ②()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点； ③ω的取值范围是3137,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；④()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单递增函数.6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎫⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 7．已知平面四边形ABCD 的面积为36，4AB =，3AD =，5BC =，6CD =，则cos()A C +=___________.8．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．9．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足1222PA PC +=的点P 有__________个.10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，220BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )12．把函数()sin y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈RB ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈RC ．2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈RD ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R13．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-414．已知点P 是曲线4e 3x y -=+上一动点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦15．已知函数()()cos 3sin 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)21,3⎡+⎣16．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>17．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大18．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．919．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16320．设函数()3xf x mπ，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞三、解答题21．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈． （1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211(,)2S m n x y x y =-．解不等式1(,)2S b c >； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围．22．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值. 23．已知函数22cos 3sin 2f xxx a 的最小值为0.(1)求a 的值及函数()y f x =图象的对称中心；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在区间70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，求m的取值范围及()123tan 2x x x ++的值.24．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）．PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于点N ．（1）设AP x =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 25．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值． 26．已知函数()sin 23f x x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心坐标； （2）若02πα-<<，()1f α=，求sin 2α的值.27．已知函数()()22sin cos 2sin f x x x x =+- (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调增区间； (3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求函数的值域．28．已知函数())2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心29．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.30．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．982．3．145．②③ 6．①③ 7．710##0.789．1810．⎡⎢⎣⎦二、单选题11．D 12．D 13．A 14．A 15．C 16．A 17．C 18．A 19．A 20．C 三、解答题21．（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可； （2）由题意得到()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解即可 【详解】（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1sin 2x =-,因为[,]x ππ∈-,所以6x π=-或65x π=-（2）由题,()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=, 因为1(,)2S b c >,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,566x ππ<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数, 所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++,若()()a b c d +⊥+,则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=, 则()22sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈-- 【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式22．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形, ∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-,12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.23．(1)1，,2212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈；(2)[)3,4， 【解析】（1）由题得()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求出a 的值即得函数()y f x =图象的对称中心；（2）作出函数()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象，求出123523x x x π++=即得解.【详解】(1)()cos 2212sin 216x x a x a f x π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭，由已知可得()2110a ⨯-++=，∴1a =，()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令26x k ππ+=可得()y f x =图象的对称中心为,2212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，由图可得[)3,4m ∈，所以123x x π+=，2343x x π+=，所以123523x x x π++=，所以()1235tan 2tan3x x x π++==【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查三角函数图象的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 24．(1) 29252105PN x x -+，(0,25x ∈；(2) 2 【解析】 【分析】（1）求出PM ,AM ,运用余弦定理,求得PN ；（2）求出PN 的最小值,由于//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,通过解直角三角形PMN ,即可得到. 【详解】（1）在APM ∆中,25x PM =5xAM =； 其中05x << 在MND ∆中,252MN x ⎫=⎪⎪⎝⎭, 在PMN ∆中,29252105PN x x =-+(0,25x ∈； （2）当(250,5x 时,PN 最小,此时43PN =.因为在底面ABCD 中,MN BD ⊥,AC BD ⊥,所以//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,在PMN ∆中,PMN ∠为直角,2tan PNM ∠= 所以2arctan4PNM ∠=, 异面直线PN 与11A C 所成角的大小2 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法等.属于难题.25．（Ⅰ）(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）12a =或12a =- 【解析】 （Ⅰ）当1a =时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得. （Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A xb ωϕ=++的形式，分类讨论可得.【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，22()cos sin cos 3f x x x x x =-+-cos 2232sin(2)36x x x π=-=+- ()2sin(2)36f x x π∴=+- 由2,6x k k Z ππ+=∈ 得：,122k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心为(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-()cos 2sin 23f x a x x ∴=-()2sin(2)36f x a x π∴=+- 1sin(2)16x π-≤+≤ 当0a >时，232sin(2)3236a a x a π--≤+-≤- 则有234a --=- 解得12a = 当0a =时，min ()3f x =-，不合题意当0a <时，232sin(2)3236a a x a π-≤+-≤-- 则有234a -=-解得12a =- 综上 12a ∴=或12a =-． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．26．（1）最小正周期为π，对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）12-. 【解析】【分析】（1）利用辅助角公式先将函数()y f x =的解析式化简，然后利用周期公式计算出函数()y f x =的最小正周期，令()23x k k Z ππ+=∈，解出x 的表达式可得出对称中心坐标；（2）由()1f α=得出1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角α的范围求出α的值，代入sin 2α并结合诱导公式求出sin 2α的值．【详解】（1）()1sin 222sin 222f x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 2sin 2333x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=， 令()23x k k Z ππ+=∈，解得()26k x k Z ππ=-∈， 因此，函数()y f x =的对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 213f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02πα-<<，22333πππα∴-<+<，236ππα∴+=，得26πα=-， 因此，1sin 2sin sin 662ππα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的周期和对称中心，考查三角函数求值，解三角函数问题首先就是要将三角函数解析式化简，在求值时，要利用已知角来配凑未知角，借助同角三角函数的基本关系以及两角和差公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．27．（1）π；（2）3[],88k k k Z ππππ-+∈，；（3）[-. 【解析】【分析】（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域.【详解】（1）由题得1cos2()1sin 22sin 2cos2)24x f x x x x x π-=+-⋅=++， 所以函数的最小正周期为2=2ππ. （2）令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,所以3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数的单调增区间为3[],88k k k Z ππππ-+∈，. （3）50,02,2,2444x x x πππππ≤≤∴≤≤∴≤+≤sin(2)1,1)44x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以函数的值域为[-.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.28．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】【分析】 （1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解.（2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+. 于是()yg x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+. （2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题．29．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a =【解析】【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值.【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+--- 令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤ 1t ≤①当2a <a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a ≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去）③当12a >，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a -=，解得6a = 综上，2a =-或6a =【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦. 【解析】【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值；（2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围．【详解】解：（1）由|a b |， 可得222a b =；即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ）即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩m≤2故得m的取值范围是2]．【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。