2018年高中数学高考二轮复习：算法与推理(解析版)

推理与证明专题[基础达标](35分钟75分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列叙述正确的是()A.综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法，分析法是间接证法C.综合法、分析法所用语气都是肯定的D.综合法、分析法所用语气都是假定的A【解析】根据相关定义可知A项正确.2.用反证法证明命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反设是()A.自然数a，b，c中至少有两个偶数B.自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a，b，c都是奇数D.自然数a，b，c都是偶数B【解析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反设是“自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”.3.用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n-1>509256时，起始值至少取()A.7B.8C.9D.10B【解析】1+12+14+…+12n-1=1-12n1-12=21-12n.当n=7时，21-127=12764=508 256<509256；当n=8时，21-128=255128=510256>509256，故起始值至少取8.4.[2016·西安八校联考]观察一列算式：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则式子35是第() A.22项B.23项C.24项D.25项C【解析】两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35为和为8的第3项，所以为第24项.5.已知a>b>c>0，则下列不等式成立的是()A.1a-b +1b-c>4a-cB.1a-b +1b-c<4a-cC.1a-b +1b-c≥4a-cD.1a-b +1b-c≤4a-cC【解析】由题意可得(a-c)1a-b +1b-c=[(a-b)+(b-c)]1a-b+1b-c=2+b-ca-b+a-b b-c ≥2+2b-ca-b·a-bb-c=4，当且仅当b-ca-b=a-bb-c，即2b=a+c时取等号，所以1a-b+1b-c≥4a-c.6.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是() A.甲B.乙C.丙D.丁A【解析】若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的是假话，偷珠宝的人是甲.二、填空题(每小题5分，共15分)7利用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n>12(n>1，n∈N*)的过程中，用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为.1 2k+1−12k+2【解析】当n=k时，左边=1k+1+1k+2+…+1k+k①，当n=k+1时，左边=1k+2+1k+3+…+1k+k+12k+1+12k+2②，由②-①得，12k+1+12k+2−1k+1=1 2k+1−12k+2.8.已知如图1所示的图形有面积关系S△P A1B1S△PAB =PA1·PB1PA·PB，用类比的思想写出如图2所示的图形的体积关系V P-A1B1C1V P-ABC=.PA1·PB1·PC1PA·PB·PC【解析】在图2中过点A作AO⊥平面PBC于点O，连接PO，则A1在平面PBC内的射影O1落在PO上，则V P-A1B1C1V P-ABC=V A1-P B1C1V A-PBC=13S△PB1C1·A1O113S△PBC·AO=PB1·PC1·A1O1 PB·PC·AO ，又∵A1O1AO=PA1PA，∴V P-A1B1C1V P-ABC=PA1·PB1·PC1PA·PB·PC.9P1P2P3P4-Q1Q2Q3Q4的棱长为1，集合M={x|x=P1Q1·S i T j，S，T∈{P，Q}，i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：①当S i T j=P i Q j时，x=1；②当S i T j=P i Q j时，x=-1；③当x=1时，(i，j)有8种不同取值；④当x=1时，(i，j)有16种不同取值；⑤M={-1，0，1}.其中正确的结论序号为.(填上所有正确结论的序号)①④⑤【解析】因为P1Q1=P i Q i，所以当S i T j=P i Q j时，x=P1Q1·S i T j=P i Q i·P i Q j=|P i Q i|2=1，①正确，②错误；当x=1时，i=1，2，3，4，j=1，2，3，4，所以(i，j)有16种不同取值，③错误，④正确；当S i T j=P i P j或S i T j=Q i Q j时，x=0，当S i T j=Q i P j时，x=-1，所以M={-1，0，1}，⑤正确.三、解答题(共30分)10.(10分)设f(x)=a x+a-x2，g(x)=ax-a-x2(其中a>0，且a≠1).(1)请将g(5)用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，能否将其推广，用“三段论”进行证明.【解析】(1)由g(5)=a 5-a-52包括a5，易知表示式中必有f(2)g(3)或f(3)g(2)，又f(3)g(2)+g(3)f(2)=a 3+a-32·a2-a-22+a3-a-32·a2+a-22=a5-a-52，因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2)，即g(3+2)=f(3)g(2)+g(3)f(2)，于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明：因为f(x)=a x+a-x2，g(x)=ax-a-x2，(大前提)所以g(x+y)=a x+y-a-(x+y)2，g(y)=ay-a-y2，f(y)=ay+a-y2，(小前提)所以f(x)g(y)+g(x)f(y)=a x+a-x2·a y-a-y2+a x-a-x2·a y+a-y2=a x+y-a-(x+y)2=g(x+y).(结论)11.(10分)用数学归纳法证明：1-12+13−14+…+12n-1−12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*).【解析】①当n=1时，左边=右边=12，命题成立.②假设n=k(k∈N*)时，命题成立，即1-1 2+13−14+…+12k-1−12k=1k+1+1k+2+…+12k，则当n=k+1时，左边=1-12+13−14+…+12k-1−12k+12k+1−12k+2=1k+1+1k+2+…+1 2k +12k+1−12k+2=1k+2+1k+3+…+12k+1+12k+2=右边，于是当n=k+1时，命题也成立.由①②可知，原命题对所有正整数都成立.12.(10分)已知点P n(a n，b n)满足a n+1=a n·b n+1，b n+1=b n1-4a n2(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，-1).(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在(1)中的直线l上.【解析】(1)由题意得a 1=1，b 1=-1，b 2=-11-4×1=13，a 2=1×13=13，∴P 2 13，13 . ∴直线l 的方程为y +113+1=x -113-1，即2x+y=1.(2)①当n=1时， 2a 1+b 1=2×1+(-1)=1成立.②假设n=k (k ∈N *)时，2a k +b k =1成立.则当n=k+1时，2a k+1+b k+1=2a k ·b k+1+b k+1=b k 1-4a k2·(2a k +1)=b k 1-2a k=1-2ak1-2ak=1， ∴当n=k+1时，2a k+1+b k+1=1也成立.由①②知，对于n ∈N *，都有2a n +b n =1，即点P n 都在直线l 上.[高考冲关] (20分钟 30分)1.(5分“已知a ，b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 ( )A.a ，b 都能被5整除B.a ，b 都不能被5整除C.a ，b 不都能被5整除D.a 不能被5整除B 【解析】“a ，b 中至少有一个能被5整除”的反面情况是“a ，b 都不能被5整除”.2.(5分)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A .△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B .△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C .△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D .△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形D 【解析】由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形.由sin A 2=cos A 1=sin π2-A 1 ，sin B 2=cos B 1=sin π2-B 1 ，sin C 2=cos C 1=sin π2-C 1 ，得 A 2=π2-A 1，B 2=π2-B 1，C 2=π2-C 1.那么A 2+B 2+C 2=π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形.3.(5分)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )A .289B .1024C .1225D .1378C 【解析】观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n }，则a n =1+2+3+…+n=n (n +1)2，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n }，则b n =n 2.把四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1225.4.(5分x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观察下列等式： [ 1]+[ 2]+[ 3]=3；[ +[ +[ +[ +[ =10；[ 9]+[ 10]+[ 11]+[ 12]+[ 13]+[14]+[ =21； ……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为 .2n2+n【解析】由题意可得3=1×3，10=2×5，21=3×7，则第n个等式的等号右边的结果是n×(2n+1)=2n2+n.5.(10分)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数.(1)设g(x)=12x2-x+32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a，b(a>-2)，使函数h(x)=1x+2是区间[a，b]上的“四维光军”函数?若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知得g(x)=12(x-1)2+1，其图象的对称轴为x=1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，g(1)=1，g(b)=b，即12b2-b+32=b，解得b=1或b=3.因为b>1，所以b=3.(2)假设函数h(x)=1x+2在区间[a，b](a>-2)上是“四维光军”函数，因为h(x)=1x+2在区间(-2，+∞)上单调递减，所以有ℎ(a)=b，ℎ(b)=a，即1a+2=b，1b+2=a，解得a=b，这与已知矛盾，故不存在常数a，b，使函数h(x)是[a，b]上的“四维光军”函数.。

专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明第四讲 算法、复数、推理与证明高考导航1．对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义．2．对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解．3．对合情推理的考查主要以归纳推理为主，考查学生的观察、归纳和概括能力.1．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i[解析] 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.故选D.[答案] D2．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R 成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i ∈R ，得a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z －2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z －＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.[答案] B3．(2017·天津卷)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为( )A．0 B．1C．2 D．3[解析]执行程序框图，输入N的值为24时，24能被3整除，执行是，N＝8,8≤3不成立，继续执行循环体；8不能被3整除，执行否，N＝7,7≤3不成立，继续执行循环体；7不能被3整除，执行否，N＝6,6≤3不成立，继续执行循环体；6能被3整除，执行是，N ＝2,2≤3成立，退出循环，输出N的值为2，故选C.[答案] C4．(2017·全国卷Ⅰ)下面程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2[解析]本题求解的是满足3n－2n>1000的最小偶数n，可判断出循环结构为当型循环结构，即满足条件要执行循环体，不满足条件要输出结果，所以判断语句应为A≤1000？，另外，所求为满足不等式的偶数解，因此中语句应为n＝n＋2，故选D.[答案] D5．(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在第一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．[解析] 设线段A i B i 的中点为C i (x i ，y i )．(1)由题意知Q i ＝2y i ，i ＝1,2,3，由题图知y 1最大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1.(2)由题意知p i ＝2y i 2x i ＝y ix i，i ＝1,2,3.y ix i 的几何意义为点C i (x i ，y i )与原点O 连线的斜率．比较OC 1，OC 2，OC 3的斜率，由题图可知OC 2的斜率最大，即p 2最大．[答案] (1)p 1 (2)p 2考点一 复数的概念与运算1．复数的除法复数的除法一般是先将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ；(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ； (3)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2D ．2[解析] 解法一：∵(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1＋i )2＝1＋i.∴|z |＝12＋12＝ 2.解法二：∵(1＋i)z ＝2i ，∴|1＋i|·|z |＝|2i|，即12＋12·|z |＝2，∴|z |＝ 2.[答案] C2．(2017·北京卷)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，∴a <－1，故选B.[答案] B3．(2017·山东卷)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( )A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3[解析] ∵z ＝a ＋3i ，∴z －＝a －3i ，又∵z ·z －＝4，∴(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.故选A.[答案] A4．(2017·西安模拟)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( ) A ．i B ．1 C ．－iD ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i3＝－i. [答案] C复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．考点二 程序框图1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝()A．2 B．3C．4 D．5[解析]由程序框图可得S＝0，a＝－1，K＝1≤6；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2≤6；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3≤6；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4≤6；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5≤6；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6≤6；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7>6，退出循环，输出S ＝3.故选B. [答案] B2．(2017·西安八校联考)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12014＋12016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2014?B ．i ≤2016?C ．i ≤2018?D ．i ≤2020?[解析] 依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋12，i ＝4；…；S ＝0＋12＋14＋…＋12014＋12016，i ＝2018，输出的S ＝12＋14＋16＋…＋12014＋12016，所以题中的判断框内应填入的是“i ≤2016？”，选B.[答案] B3．(2017·江西南昌三模)263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为()(参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A．12 B．24C．36 D．48[解析]执行程序框图，可得n＝6，S＝3sin60°＝332≈2.598，不满足条件S≥3.10，继续循环；n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，继续循环；n＝24，S＝12×sin15°≈3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24.故选B.[答案] B求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n？”或“i<n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．考点三推理与证明1．归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论2．类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.[答案] D2．(2017·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5[解析] 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B. [答案] B3．(2017·安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n ＝ 99n 具有“穿墙术”，则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80[解析] 由223＝ 223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5524＝5524，…，可得若99n＝99n具有“穿墙术”，则n＝92－1＝80，故选D.[答案] D合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．热点课题24数学归纳法[感悟体验]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－4a n ＋3，数列{b n }满足b n ＝1a n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{b n }的通项公式； (2)证明：1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n<7.[解] (1)由a 1＝1，得b 1＝12； 由a 1＝1，得a 2＝0，b 2＝1； 由a 2＝0，得a 3＝－13，b 3＝32； 由a 3＝－13，得a 4＝－12，b 4＝2，由此猜想b n ＝n2.下面用数学归纳法加以证明： ①当n ＝1时，b 1＝12符合通项公式b n ＝n 2； ②假设当n ＝k 时猜想成立， 即b k ＝1a k ＋1＝k 2，a k ＝2k －1，那么当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k －1a k ＋3＝2k －1－12k －1＋3＝1－k 1＋k，b k ＋1＝1a k ＋1＋1＝11－k1＋k＋1＝k ＋12，即n ＝k ＋1时猜想也能成立，综合①②可知，对任意的n ∈N *都有b n ＝n2.(2)证明：当n ＝1时，左边＝1b 21＝4<7不等式成立；当n ＝2时，左边＝1b 21＋1b 22＝4＋1＝5<7不等式成立；当n ≥3时，1b 2n ＝4n 2<4n (n －1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，左边＝1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n<4＋1＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝5＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＝7－4n <7，不等式成立．。

算法与推理1．执行如图所示程序框图，若输入的[]0,1x ∈，则输出的x 的取值范围为（ ）A. []0,1B. []1,1-C. []3,1-D. []7,1- 【答案】C【解析】执行程序框图， 1i =时， 12≤成立， []211,1x x =-∈-； 2i =时， 12≤成立， []213,1x x =-∈-； 3i =时， 32≤不成立，输出x 范围是[]3,1-，故选C. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.2．如图所示，若输入的n 为10，那么输出的结果是（ ）A ．45B ．110C ．90D ．55 【答案】D【解析】试题分析：当2k =时，12S =+；当3k =时，123S =++；当4k =时，1234S =+++；……；当10k =时，123...10S =++++；当11k =时，终止循环，输出10(110)123 (10552)S ⨯+=++++==，故选.D考点：1.算法与程序框图；2.等差数列的求和公式. 3．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）．A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】0k =， 3a =， 12q =； 32a =， 1k =； 34a =， 2k =； 38a =， 3k =； 316a =， 4k =； 此时满足判定条件14a <，故输出k 的值4，故选B 。

4．算法如图，若输入m=210,n = 119,则输出的n 为(A) 2(B) 3(C) 7(D) 11 【答案】C 【解析】略5．(数学文卷·2017届四川省资阳市高三上学期第一次诊断考试第9题)公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为 (参考数据：1.732=，sin150.2588︒≈， sin7.50.1305︒≈)A. 12B. 24C. 48D. 96 【答案】B【解析】 6n = 时， 13606sin 2.6 3.10,261226S n ︒=⨯⨯=≈<=⨯=12n =时， 136012sin 3 3.10,21224212S n ︒=⨯⨯=<∴=⨯=12n =时， 136024sin 12sin1512 3.102244S ︒︒=⨯⨯=⨯=⨯≥，输出n ，n=24.故选B 。

算法与推理1．===．．．，= ,（R b a ∈, ）, 则（ ）A ．a=5,b=24B ．a=6, b=31C ．a=5, b=42D ．a=6, b=35【答案】D 【解析】试题分析：本题观察发现a 的取值与根号外的系数相等，故a=6,b 的取值都符合21a -的规律，故选D ． 考点：归纳推理． 2．我们知道：在长方形ABCD 中，如果设AB a =， BC b =，那么长方形ABCD的外接圆的半径R 满足： 2224R a b =+.类比上述结论，在长方体1111ABCD A BC D -中，如果设A B a =， AD b =， 1AA c =，那么长方体1111ABCD A B C D -的外接球的半径R 满足的关系式是（ ） A. 23334R a b c =++ B. 22228R a b c =++C. 33338R a b c =++D. 22224R a b c =++【答案】D【解析】长方体的体对角线即外接球的直径，故()22222R a b c =++.点睛：本题主要考查合情推理与演绎推理，考查几何体外接球半径的求解.在平面中，长方形的外接圆直径就是长方形的对角线，故半径R 满足2224=R a b +.推广到空间中，长方体的外接球的直径就是长方体的体对角线，故半径R 满足()22222R a b c =++.本题用合情推理从平面推导到空间.3．若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（ ）A.37 B. 49 C. 920 D. 511【答案】D【解析】试题分析：由算法流程图所提供的算法程序看出:当时已经结束运算程序,所这时输出的,故应选D.考点：算法流程图的识读和理解.4．如果命题()P n 对n k =成立，则它对1n k =+也成立，现已知()P n 对4n =不成立，则下列结论中正确的是（ ）A. ()P n 对*n N ∈成立 B. ()P n 对4n >且*n N ∈成立C. ()P n 对4n <且*n N ∈成立 D. ()P n 对4n ≤且*n N ∈不成立【答案】D【解析】由题意可知()P n 对3n =不成立（否则4n =也成立），同理可推得()P n 对2n =， 1n =也不成立，故选D.点睛：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由()P n 对n k =成立，则它对1n k =+也成立，由此类推，对n k >的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当()P n 对n k =不成立时，则它对1n k =-也不成立，由此类推，对n k <的任意正整数均不成立，由此不难得到答案. 5．下列程序： Re ad a ,bIf b a > Thent a ← a b ← b t ←End If……中的t 的作用是（ ）A ．把满足条件的a ，b 进行置换，即交换a 与bB ．重新给a ，b 赋值，即把a 与b 都换成另外一个数C ．把满足a 与b 的值赋给tD ．没有什么作用 【答案】A 【解析】试题分析:从题设中提供的伪代码语言的算法程序中的理解可知,算法程序中的t 的作用是把满足条件的a ，b 进行置换，即交换a 与b ,故应选A. 考点：伪代码语言的理解及运用.【易错点晴】伪代码语言是描述算法的思想和方法,也是中学数学中的重要内容和工具及高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以算法伪代码语言程序为背景,考查的是算法伪代码语言的识读和理解及算法语句的正确使用等有关知识和方法.解答本题时要充分利用题设中提供的伪代码算法语言的信息的理解,得出算法中表示的算法是交换a 与b ,从而使得问题获解.6．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，都是偶数 【答案】B 【解析】试题分析：反证法证明时首先假设要证明结论的反面成立，本题中中恰有一个偶数的反面为a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 考点：反证法7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为（ ）A. 15B. 16C. 47D. 48【答案】D【解析】执行程序框图：输入331,2,0n x v i i ====≥，，，是0i ≥，是， 1325,1v i =⨯+==; 0i ≥，是， 53116,0v i =⨯+==; 0i ≥，是， 163048,1v i =⨯+==-;0i ≥，否，输出48v =.故选D. 8．用数学归纳法证明“1121312111+<-+++++n n ”验证n=1成立时,左边所得项是（ ） A. 1 B. 4131211+++C.31211++ D. 211+【答案】C 【解析】9．执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】B 【解析】由程序框图，得1685,1;35116,2;22n i n i n i n i ===⨯+========42,5;1,2n i n ==== 结束循环，输出i 值，即5i =；故选B.10．[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]3π=．1233,10,21,,S S S =++==++++==++++++=依此规律，那么10S =（ ）A. 210B. 230C. 220D. 240【答案】A【解析】试题分析：由题观察可得123,,S S S ，分别含3项，5项，7项，则10S 应含21项。

1．如图所示程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．3 B．11 C．38 D．123【答案】D 【解析】第一步：a＝12＋2＝3＜12，第二步：a＝32＋2＝11＜12，第三步：a＝112＋2＝123＞12，跳出循环，输出a＝123.故选D.2．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是( )A．k＞4? B．k＞5? C．k＞6? D．k＞7?3．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )A ．2log 23B ．log 27C ．3D ．24．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( )A ．2 016B ．2 015C ．1 008D ．1 007【答案】C 【解析】根据题意，该程序运行的是当k ＜2 016时，计算S ＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)k －1·k .∴该程序运行后输出的是S ＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)2 014·2 015＝12×(2 015＋1)＝1 008.故选C.5．执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为( )A ．0B ．6C ．12D ．186．下图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A ．i ＞10?B ．i ＜10?C ．i ＞11?D ．i ＜11? 【答案】A 【解析】经过第一次循环得到s ＝12，i ＝2，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到s ＝12＋14，i ＝3，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到s ＝12＋14＋16，i ＝4，此时的i 不满足判断框中的条件；……经过第十次循环得到s ＝12＋14＋16＋…＋120，i ＝11，此时的i 满足判断框中的条件，执行输出，故判断框中的条件是i ＞10？.故选A.7．如图所示的程序框图所表示的算法的功能是( )A ．计算1＋12＋13＋…＋149的值B ．计算1＋13＋15＋…＋149的值C ．计算1＋13＋15＋…＋199的值D ．计算1＋12＋13＋…＋199的值8．已知z ＝1＋i ，则(z －)2＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i【答案】D 【解析】∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，(z －)2＝－2i ，故选D. 9．已知复数a ＋3i1－2i 是纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6【答案】D 【解析】 a ＋3i 1－2i ＝a －6＋（2a ＋3）i5，∵复数a ＋3i1－2i 为纯虚数，∴a ＝6.10．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．22 D ．33【答案】A 【解析】由题图可知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 1＋z 2＝－2，∴|z 1＋z 2|＝2，故选A. 11．在复平面内，复数z 和2i2－i 表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45iB.25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i12．如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A.2 B.23 C ．－23D ．2【答案】C 【解析】2－b i 1＋2i ＝（2－b i ）（1－2i ）5＝（2－2b ）5－4＋b5i .由2－2b 5＝4＋b 5，得b ＝－23.13．设i 是虚数单位，z －是复数z 的共轭复数．若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i【答案】A 【解析】 令z ＝a ＋b i ，则z －＝a －b i ，代入z ·z －i ＋2＝2z ，得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，得a 2＋b 2＝2b 且2a ＝2，解得a ＝1，b ＝1，则z ＝1＋i ，故选A.14． 在复平面内，复数3－4i ，i(2＋i)对应的点分别是A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为( ) A ．－2＋2i B ．2－2i C ．－1＋i D ．1－i【答案】D 【解析】 ∵i(2＋i)＝－1＋2i ，∴复数3－4i ，i(2＋i)对应的点A ，B 的坐标分别为A (3，－4)，B (－1，2)．∴线段AB 的中点C 的坐标为(1，－1)，则线段AB 的中点C 对应的复数为1－i.故选D.15．设a ＞0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.(1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．16．各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：1a1＋1a2＋…＋1a n≤2n－1对一切n∈N*恒成立．【解析】(1)因为a2n＋1－a2n＝2，所以数列{a2n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a2n＝1＋(n－1)·2＝2n－1，又a n＞0，则a n＝2n－1.(2)证明：由(1)知，即证1＋13＋…＋12n－1≤2n－1.①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立；当n＝2时，左边＜右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即1＋13＋…＋12k－1≤2k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋13＋…＋12k－1＋12k＋1≤2k－1＋12k＋1＜2k－1＋22k＋1＋2k－1＝2k －1＋2（2k ＋1－2k －1）2＝2k ＋1＝2（k ＋1）－1.所以当n ＝k ＋1时不等式成立． 由①②知对一切n ∈N *不等式恒成立． 17．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋ln(x ＋1)(a ∈R )． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值点；(2)若函数f (x )在区间(0，1)上恒有f ′(x )＞x ，求实数a 的取值范围；(3)已知a ＜1，c 1＞0，且c n ＋1＝f ′(c n )(n ＝1，2，…)，证明数列{c n }是单调递增数列．(2)因为f ′(x )＝2x －a ＋1x ＋1，由f ′(x )＞x ，得2x －a ＋1x ＋1＞x ，所以由题意知，a ＜x ＋1x ＋1(0＜x ＜1)恒成立．又x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立．所以a ≤1.故所求实数a 的取值范围为(－∞，1]． (3)证明：①当n ＝1时，c 2＝f ′(c 1)＝2c 1－a ＋1c 1＋1.因为c 1＞0，所以c 1＋1＞1，又a ＜1， 所以c 2－c 1＝c 1－a ＋1c 1＋1＝c 1＋1＋1c 1＋1－(a ＋1)＞2－(a ＋1)＝1－a ＞0，所以c 2＞c 1，即当n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即c k ＋1＞c k ＞0， 当n ＝k ＋1时，c k ＋2－c k ＋1＝c k ＋1－a ＋1c k ＋1＋1＝c k ＋1＋1＋1c k ＋1＋1－(a ＋1)＞2－(a ＋1)＝1－a ＞0.所以c k ＋2＞c k ＋1，即当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②知数列{c n }是单调递增数列．18．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32（k ＋1）＞k ＋1·2k ＋32（k ＋1）＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥（k ＋1）（k ＋2）.由基本不等式得2k ＋32＝（k ＋1）＋（k ＋2）2≥（k ＋1）（k ＋2）成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．19．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝2a n ＋λa n(a ，λ∈R )．(1)若λ＝－2，数列{a n }单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，试写出a n ≥2对任意的n ∈N *成立的充要条件，并证明你的结论．【解析】(1)当λ＝－2时，a n ＋1＝2a n －2a n ，由题意知a n ＋1>a n ，所以a n ＋1－a n ＝a n －2a n>0，解得a n >2或－2<a n <0，所以a 1>2或－2<a 1<0.所以实数a 的取值范围为(－2，0)∪(2，＋∞)．20．已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在x ∈[1，＋∞)内的最小值；(2)若f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(3)求证ln(n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)．(3)证明：当n ＝1时，ln(n ＋1)＝ln 2，∵3ln 2＝ln 8>1，∴ln 2>13，即当n ＝1时，不等式成立． 设当n ＝k 时，ln(k ＋1)>13＋15＋…＋12k ＋1成立． 当n ＝k ＋1时，ln(n ＋1)＝ln(k ＋2)＝ln(k ＋1)＋lnk ＋2k ＋1>13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1. 根据(1)的结论可知，当x >1时，ln x ＋2x ＋1>1，即ln x >x －1x ＋1.令x ＝k ＋2k ＋1，所以ln k ＋2k ＋1>12k ＋3，则有ln(k ＋2)>13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上可知不等式成立．。

2018年高考数学（理）命题猜想 专题4算法、推理证明、排列、组合与二项式定理【考向解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；4.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现. 【命题热点突破一】程序框图例1、【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A ．A >1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1 D ．A ≤1 000和n =n +2【答案】D【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =结束【答案】C【感悟提升】程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以“条件结构”和“循环结构”为主的程序框图．以“条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问题，这两种类型的程序框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用．【变式探究】)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的S的值为72，则判断框内填入的条件可以是(A．n≤8? B．n≤9? C．n≤10? D．n≤11?【答案】A【解析】依题意，可知程序运行如下：n＝1，S＝0→S＝0＋2×1＝2，n＝2→S＝2＋2×2＝6，n＝3→S＝6＋2×3＝12，n ＝4→S＝12＋2×4＝20，n ＝5→S＝20＋2×5＝30，n ＝6→S＝30＋2×6＝42，n ＝7→S＝42＋2×7＝56，n ＝8→S＝56＋2×8＝72，n ＝9，此时输出S 的值为72，故判断框中应填“n≤8？”. 【命题热点突破二】合情推理与演绎推理 例2、(1)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x＋2)＋2×(y－3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________． 【答案】（1）4n －1（2）x －2y ＋3z －6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的． 【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n （n∈N *）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n ＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n 的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n （n∈N *）.【命题热点突破三】排列与组合例3、【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72 ，故选D. 【感悟提升】解决排列组合问题的基本方法有直接法和间接法．直接法就是采用分类、分步的方法逐次求解，间接法是从问题的对立面求解．不论是直接法还是间接法，都要遵循“特殊元素、特殊位置优先考虑”的原则．注意几种典型的排列组合问题：相邻问题(捆绑法)、不相邻问题(插空法)、定序问题(组合法)、分组分配问题(先分组后分配)等． 【变式探究】已知直线x a ＋y b ＝1(a ，b 是非零常数)与圆x 2＋y 2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线有________条. 【答案】60【解析】由于圆x 2＋y 2＝100上满足条件的整数点（x ，y ）有12个：（±10，0），（±6，±8），（±8，±6），（0，±10），所以直线经过这些点，但a ，b 是非零常数，所以直线不与x 轴、y 轴垂直，且不经过原点.满足条件的直线有两类：一类与圆有2个公共点，除去垂直于坐标轴和经过原点的直线，共有C 212－10－4＝52（条）；另一类与圆有1个公共点（即圆的切线），同样除去垂直于坐标轴的直线，共有8条.综上，所求的直线共有60条.【命题热点突破四】二项式定理例4、【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【变式探究】【2016年高考北京理数】在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答） 【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式16(2)r r r r T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=。

2018年高考数学（文）二轮复习讲练测专题八 算法、推理与证明、复数总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分______1.练高考1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ． 2.【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ） A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【解析】3.【2017江苏，2】 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 . 【答案】10【解析】(1)(12)1122510z i i i i =++=++=⨯=，故答案为10．4. 【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D5.【2017天津，文9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2- 【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. 6. 【2017课标II ，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D2.练模拟1. 给出下面四个类比结论：①实数a ，b ，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；类比复数z 1，z 2，若z 1z 2＝0，则z 1＝0或z 2＝0. ②实数a ，b ，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；类比向量a ，b ，若a·b＝0，则a ＝0或b ＝0. ③实数a ，b ，有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比复数z 1，z 2，有z ＋z ＝0，则z 1＝z 2＝0. ④实数a ，b ，有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比向量a ，b ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0. 其中类比结论正确的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C2.【2018届北京市昌平区高三上学期期末】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A. 43B. 55C. 61D. 81 【答案】C【解析】=1+24=2524618;=25184318612;S n S n =-=+==-=，，=4312551266;S n +==-=， =55661660;S n +==-=，结束循环输出61S = ,选C.3.阅读如图所示的程序如图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．6n =B ．6n <C ．6n ≤D ．8n ≤ 【答案】C4.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】设i 是虚数单位，则复数43iiz -=的虚部为（ ） A ． 4i B ． 4 C ． 4i - D ．4-【答案】D 【解析】 因为243i i(43i)34i i i z --===--，其虚部为4-，故选D ． 5. 【2018届河北省廊坊市第八高级中学高三模拟】若复数z 满足32i z i ⋅=-+，且其对应的点为Z ，则点Z 的坐标为__________． 【答案】()2,3 【解析】3223iz i i-+==+，所以()2,3Z ，填()2,3． 3.练原创1.已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2 B ．3 C ．11 D ．6 【答案】D 【解析】因为()()()()()2221221i a i a a ii a i a i a i a ----+-==++-+是纯虚数，所以，12102a a -=⇒= 所以，212226z a i i =++=+=，故选D.2．已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为（ ） A.58B.38C.23D.13【答案】B.3.执行下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的S 属于区间 .【答案】[-3，4] 【解析】由程序框图可知⎩⎨⎧≥-<=1,41,32t t t t t S ，故当)1,1[-∈t 时)3,3[3-∈=t S ；当]3,1[∈t 时]4,3[4)2(422∈+--=-=t t t S ，所以输入的]3,1[-∈t ，则输出的S 属于区间[-3，4]；故答案为：[-3，4]．4.己知2(,)a ib i a b R i+=+∈．其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B. 1 C. 2 D ．3 【答案】B5.定义函数{}{}()f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.52=，{}2.52-=-.当(]0,x n ∈，*n N ∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则12111na a a +++=________． 【答案】21nn + 【解析】易知：当1n =时，因为(]0,1x ∈，所以{}1x =，所以{}{}1x x =，所以{}111,1A a ==； 当2n =时，因为(]1,2x ∈，所以{}2x =，所以{}{}(]2,4x x ∈，所以{}221,3,4,3A a ==；当3n =时，因为(]2,3x ∈，所以{}3x =，所以{}{}{}(]36,9x x x =∈，所以{}331,3,4,7,8,9,6A a ==； 当4n =时，因为(]3,4x ∈，所以{}4x =，所以{}{}{}(]412,16x x x =∈，所以{}441,3,4,7,8,9,13,14,15,16,10A a ==；当5n =时，因为(]4,5x ∈，所以{}5x =，所以{}{}{}(]520,25x x x =∈，所以{}551,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25,15A a ==，由此类推：1n n a a n -=+，所以(1)2n n n a +=，所以12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以 1211121n n a a a n +++=+.。

专题能力训练4 算法与推理一、能力突破训练1.(2017天津南开中学高三月考)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k 值为()A1 B.2 C.3 D.4已知执行如图所示的程序框图,输出的S=485,则判断框内的条件可以是()A.k<5?B.k>7?C.k≤5?一次运行,S=3×1+2=5,k=2;第二次运行,S=3×5+2=17,k=3;第三次运+2=53,k=4;第四次运行,S=3×53+2=161,k=5;第五次运行,S=3×161+2=485,k=6.此时要输出485,即判断框内的条件不成立,由于6≤5不成立,故选C.3.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()B.-f(x)C.g(x)D.-g(x),故g(-x)=-g(x).执行如图所示的程序框图,若输出的b的值为4,则图中判断框内①处应填()A.2B.3a=1时,b=1,不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=2,a=2;2时,b=2,不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=4,a=3;当a=3时,b=4,满足输出条件,故应退出循环,故判断框内①处应填2.5.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是(),M=,S=log2不是整数;第二次运行,M=,S=log2+log2=log2不是整数;第三次运行,M=,S=log2+log2=log2=1是整数,输出的S是1.6.执行如图所示的程序框图,输出的S值是()A.B.C.0 D.-,该框图是求数列{a n}的前2 016项和,其中a n=sin.因为数列{a n}是周期为6的周期数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,又因为2 016=6×336,所以前2 016项和S2 016=0,故选C.7.(2017天津,文4)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为19,则输出N的值为()A.0B.1C.2D.3.当输入N的值为19,则N的值依次为18,6,2.2<3,∴输出N的值为2.故选C.8.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A.y=x+1的图象上B.y=2x的图象上C.y=2x的图象上D.y=2x-1的图象上,输入x=1,y=1,由于1≤4,输出点(1,1),进入循环,x=1+1=2,y=2×1=2,由于2≤4,输出点(2,2),进入循环,x=2+1=3,y=2×2=4,由于3≤4,输出点(3,4),进入循环,x=3+1=4,y=2×4=8,由于4≤4,输出点(4,8),进入循环,x=4+1=5>4,循环结束;故点(1,1),(2,2),(3,4),(4,8)均在函数y=2x-1的图象上.9.观察等式:f+f=1;f+f+f=;f+f+f+f=2;f+f+f+f+f=;……由以上几个等式的规律可猜想f+f+f+…+f+f= .:等式右边依次为1,,2,,将其变为,,,,可以得到右边是一个分数,分母为2,分子与左边最后一项中自变量的分子相同,所以f+f+f+…+f=1 008.10.执行下面的程序框图,若输入n的值为3,则输出的S的值为.第一次运算:S=0+-=-1,显然1≥3不成立,所以i=1+1=2;第二次运算:S=(-1)+-=-1,显然2≥3不成立,所以i=2+1=3;第三次运算:S=(-1)+-=2-1=1,因为3≥3成立,所以输出S=1.11.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.12.(2017北京,文14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于教师人数;(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;②该小组人数的最小值为.x,女学生人数为y,教师人数为z,则x,y,z都是正整数,且即2z>x>y>z,x,y,z∈N*.①教师人数为4,即z=4,8>x>y>4,所以y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.②由题意知2z>x>y>z,x,y,z∈N*.当z=1时,2>x>y>1,x,y不存在;当z=2时,4>x>y>2,x,y不存在;当z=3时,6>x>y>3,x=5,y=4,此时该小组人数最小,最小值为5+4+3=12.二、思维提升训练13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的S为,则判断框中填写的内容可以是()A.n=6?B.n<6?C.n≤6?D.n≤8?S=0+=,n=4;第二次循环S=+=,n=6;第三次循环S=+=,n=8.由于输出的S为,此时要结束循环,所以判断框中填写的内容为选项C.14.执行如图所示的程序框图,输出的S为()A.3B.C. D.-2:S=2-=,k=k+1=2,此时满足条件,继续循环;第二次循环:S=2-=,k=k+1=3,此时满足条件,继续循环;第三次循环:S=2-=-2,k=k+1=4,此时满足条件,继续循环;第四次循环:S=2-=3,k=k+1=5,此时满足条件,继续循环;第五次循环:S=2-=,k=k+1=6,此时满足条件,继续循环;……可知此循环是以4为周期反复循环,由 2 014=4×503+2,可知第 2 014次循环:S=2-=,k=k+1=2 015,此时不满足条件,结束循环,所以输出的S为.15.执行如图所示的一个程序框图,若f(x)在区间[-1,a]上的值域为[0,2],则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[1,]C.[1,2]D.[,2],f(x)=当a<0时,f(x)=log2(1-x)+1在区间[-1,a]上为减函数,f(-1)=2,f(a)=0⇒1-a=,a=,不符合题意;当a≥0时,f'(x)=3x2-3>0⇒x>1或x<-1,∴函数在区间[0,1]上单调递减,又f(1)=0,∴a≥1;又函数在区间[1,a]上单调递增,∴f(a)=a3-3a+2≤2⇒a≤.故实数a的取值范围是[1,].16.对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上(x)=2ax+b.若A正确,则f(-1)=0,即a-b+c=0,①若B正确,则f'(1)=0,即2a+b=0,②若C正确,则f'(x0)=0,且f(x0)=3,即f=3,即c-=3.③若D项正确,则f(2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a,代入④得c=8,代入③得8-=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f(x)=5x2-10x+8,f(-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A不成立.故B,C,D可同时成立,而A不成立.故选A.17.如下是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上到下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10,……,依此类推,则第99个等式为()20+21=320+22=521+22=620+23=921+23=1022+23=1220+24=1721+24=1822+24=2023+24=24……A.27+213=8 320B.27+214=16 512C.28+214=16 640D.28+213=8 448题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);……,又因为99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置,即是27+214=16 512,故选B.。

专题 推理与证明、算法、复数一、选择题1．【2018河南洛阳尖子生联考】已知复数满足（为虚数单位），则为（ ）A. B. C. D.【答案】B点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．．2．【2018天津市滨海新区八校联考】复数21ii=+（ ） A. 1i - B. 1i -- C. 1i + D. 1i -+ 【答案】C 【解析】21ii=+()2i 1i 1i 2-=+ ,选C.3．【2018广西三校九月联考】其中i 为虚数单位，则a b -=（ ）A. -1B. 1C. 2D. -3 【答案】D所以213b a a b ==--=-，， 故选D4．【2018河南中原名校质检二】若，，其中为虚数单位，则复数（ ）A.B.C.D.【答案】B5．【2018吉林百校联盟九月联考】已知实数m 、n 满足()()4235m ni i i +-=+（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z m ni =+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A【解析】由题意可得： ()()()()424242m ni i m n n m i +-=++-，结合题意有： 423{ 425m n n m +=-=，解得：则z 对应的点位于第一象限. 本题选择A 选项.6．【2018湖南省两市九月调研】已知命题p ：若复数z 满足()()5z i i --=，则6z i =；命题q ：复数） A.()()p q ⌝⌝∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ⌝∧ D. p q ∧【答案】C【解析】复数z 满足()()5z i i --=，所以，所以命题p 为真；，所以命题q 为假. A.()()p q ⌝⌝∧为假；B. ()p q ⌝∧为假；C. ()p q ⌝∧为真；D. p q ∧为假.故选C.7．【2018江西省红色七校一模】（i 为虚数单位），则z 的虚部（ ）A. 1B. -1C. iD. -i 【答案】A8．【2018（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i + B. 1i -- C. 1i -+ D. 1i - 【答案】B【解析】试题分析：，故选B.考点：复数9．【2018衡水金卷高三大联考】执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】由图，可知.故①中应填.故选C.10．【2018吉林百校联盟九月联考】运行如图所示的程序框图，若输入的i a （1,2,i =…，10）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（ ）【答案】C点睛：(1)解决程序框图问题要注意的三个常用变量①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.②累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i；③累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．11．【2018湖南两市九月调研】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x的值分别为3,3.则输出v的值为（）A. 15B. 16C. 47D. 48【答案】D12．【2018广东省海珠区一模】执行如图所示的程序框图，则输入的n=（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B13．【2018江西省红色七校一模】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】模拟执行程序可得，a=1,A=1,S=0,n=1≥,执行循环体，S=2 不满足条件S10≥，执行循环体，不满足条件S10≥，执行循环体不满足条件S10≥，退出循环，输出n=4满足条件S10故选B14．【2018广西柳州市一模】执行如图所示的程序框图，若输出K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）【答案】C考点：程序框图及循环结构.x=-，则输出的y= 15．【2018海南省八校联考】执行如图所示的程序框图，若输入的5( )A. 2B. 4C. 10D. 28【答案】Bx=-，【解析】5，不符合题意，y=+=，∴1314故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.16．【2018湖南永州市一模】执行如图所示程序框图，若输入的[]0,1x ∈，则输出的x 的取值范围为（ ）A. []0,1B. []1,1-C. []3,1-D. []7,1- 【答案】C【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 17．【2018广东珠海六校联考】执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：s= ==<==<==<==<不成立，输出8 0,1,03,1,1,13,2,2,23,8,3,33k s s k s k s k考点：程序框图18．【2018陕西西工大附中一模】执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）【答案】D点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.19．【2018陕西西工大附中一模】执行下面的程序框图，如果输入1x =， 0y =， 1n =，则输出的坐标对应的点在以下幂函数图象上的是（ ）B. y x =C. 2y x =D. 3y x =【答案】D【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.20．【2018山东德州晏婴中学二模】执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B，输出n=8，选B。

专题18 算法、复数、推理与证明1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．一、算法框图与复数 1.算法框图(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序．图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种． (2)三种基本的算法结构①依次进行多个处理的结构称为顺序结构．②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构． ③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构． 2．复数(1)复数的相关概念及分类①定义：形如a ＋b i(a 、b ∈R )的数叫复数，其中a 为实部，b 为虚部；i 是虚数单位，且满足i 2＝－1.②分类：设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )z ∈R ⇔b ＝0；z 为虚数⇔b ≠0，z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ≠0.③共轭复数：复数a ＋b i 的共轭复数为a －b i. ④复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (2)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a 、b 、c 、d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a 、b ∈R )． (3)运算法则①加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. ②乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. ③除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2.(4)复数加减法的几何意义①加法：若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．②减法：复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向OZ 1→的终点的向量对应的复数．二、推理与证明 1.合情推理 (1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．归纳推理的思维过程：实验观察→概括、推广→猜测一般性结论． (2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论． 2．演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真． (2)演绎推理的一般模式——“三段论” ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．4．间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断¬q 为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．5．数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．考点一、程序框图例1．【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+23【答案】D【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =【答案】C【解析】当0,1,1x y n ===时，110,1112x y -=+=⨯=，不满足2236x y +≥； 2112,0,21222n x y -==+==⨯=，不满足2236x y +≥；13133,,236222n x y -==+==⨯=，满足2236x y +≥；输出3,62x y ==，则输出的,x y 的值满足4y x =，故选C.5【变式探究】(2015·四川，3)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为()A ．－32 B. 32C ．－12D.12考点二 复数的概念例2．【2017山东，理2】已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D【答案】A【解析】由,4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A. 【变式探究】【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【变式探究】(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B考点三 复数的四则运算 例3．【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。