高中数学全套讲义 选修2-1 点,线,面夹角运算 基础 教师版

目录考点一：用向量讨论线线夹角和线面夹角 (2)题型一：利用向量运算求线线夹角 (2)题型二：利用向量求线面夹角 (4)考点二：向量讨论面面夹角 (6)题型三：二面角问题 (7)题型四：立体几何中的向量方法求二面角 (8)课后综合巩固练习 (10)考点一：用向量讨论线线夹角和线面夹角两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，． 求异面直线所成的角已知a ，b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的任意两点，a ，b 所成的角为， 则。

要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。

两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。

求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有。

题型一：利用向量运算求线线夹角1．（2017秋•新乡期末）长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，高为2，M ，N 分别是四边形11BB C C 和正方形1111A B C D 的中心，则向量BM 与DN 的夹角的余弦值是( )θ||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅l a αu θa u ϕ||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a uABCD【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出向量BM 与DN 的夹角的余弦值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，1(2BM =-，11(,22DN =设向量BM 与DN 的夹角为θ，30||||51844BM DN BM DN ==故向量BM 与DN 的夹角的余弦值为：故选：B ．【点评】本题考查向量的夹角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（2018秋•公主岭市期末）若向量(a x =，4，5)，(1b =，2-，2)，且a 与b 的夹角的余，则(x = ) A ．3 B ．3- C ．11- D ．3或11-【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．解：810a b x =-+2||41a x =+||14b =++2,||||3a b x a b a b x +>==+则20x +>，即2x >-， 则方程整理得28330x x +-=，解得11x =-或3．11x =-舍去，3x ∴=故选：A ．【点评】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了计算能力，属于基础题． 题型二：利用向量求线面夹角1．（2019春•三明期末）在正三棱锥P ABC -中，4PA =，AB =，则侧棱PA 与底面ABC 所成角的正弦值为( )A ．14BC ．18D 【分析】由题意画出图形，找出侧棱PA 与底面ABC 所成角，求解三角形得答案．【解答】解：如图，设P 在底面上的射影为O ，则O 为ABC ∆的中心，故选：B ．。

5.2 平面间的夹角-北师大版选修2-1教案一、教学目标1.理解夹角的概念和特点。

2.掌握直线与平面、平面与平面间的夹角的定义及求解方法。

3.培养学生的逻辑思维和空间思维能力。

二、教学重难点1.夹角的概念理解和应用。

2.平面间的夹角问题求解。

三、教学内容1.夹角的概念和特点。

1.夹角的定义：平面上有公共边的两条射线所夹的角称为夹角，两条射线称为夹角的两边，共享的端点称为夹角的顶点。

2.特点：大小只与顶点、两边有关，与边所在平面无关。

3.夹角的符号表示和计算方法。

2.直线与平面的夹角。

1.直线与平面的夹角定义：若直线与平面不在同一平面上，则直线与平面的夹角定义为直线上取定的一点到平面上取定的一点向平面作垂线所得的角。

2.直线与平面的夹角求解方法。

3.平面与平面的夹角。

1.平面与平面的夹角定义：若两个平面不在同一平面上，则它们的夹角定义为平面上两个相交直线所夹的角。

2.平面与平面的夹角求解方法。

四、教学方法1.教师讲授上述知识点，注重提高学生对夹角概念的理解和把握。

2.通过示例讲解、简单实例驱动学生积极思考和实践操作，提升实际应用能力。

3.鼓励学生在课下进行积极学习与实践，加深对知识点的理解和巩固。

五、教学过程1.引入：讲解夹角的概念，引导学生观察和分析不同夹角的特点。

2.直线与平面的夹角求解：通过示例讲解，引导学生理解夹角的定义和计算方法，并让学生自己尝试解决简单的问题。

3.平面与平面的夹角求解：同样通过示例来讲解定义和求解方法，并通过让学生自己解决简单的问题来提高其实践能力。

4.拓展：讲解夹角的应用，举例介绍在实际问题中如何求解夹角问题。

5.总结：对夹角的定义和求解方法再次进行总结和梳理，强化学生的记忆和理解。

六、教学评估1.课堂练习：老师可提供一些简单的练习题，考察学生对夹角概念和求解方法的掌握情况。

2.作业布置：老师可布置一些简单或中等难度的夹角相关的作业题，鼓励学生进行自主练习和思考，扩展其对知识点的应用。

空间向量在立体几何中的应用二——夹角的计算编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1. 知识与技能（1）理解空间中两条直线间与两个平面间夹角的含义；（2）明确空间中两直线夹角的求法及夹角的表示，能够利用平面的法向量求平面间的夹角.2. 过程与方法（1）在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力；（2）通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系.3. 情感、态度与价值观通过数相结合思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.【要点梳理】要点一：直线间的夹角1. 有关概念：两直线的夹角：当两条直线1l与2l共面时，我们把两条直线交角中，范围在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的角叫作两直线的夹角．异面直线的夹角：当直线1l与2l是异面直线时，在直线1l上任取一点A作AB∥2l，我们把直线1l和直线AB的夹角叫作异面直线1l与2l的夹角．要点诠释：异面直线的夹角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦.2. 直线夹角的向量计算方法：已知空间两条直线a，b，且A，C是直线a上不同的两点，B，D是直线b上不同的两点，设直线a，b的夹角θ由向量AC BDu u u r u u u r，确定，满足||cos||||AC BDAC BDθ⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r.要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角. 即设直线1l 与2l 的方向向量分别为1s ，2s . 当0≤12s s ，≤2π时，直线1l 与2l 的夹角等于12s s ，；当2π<12s s ，≤π时，直线1l 与2l 的夹角等于π12s s ，．要点二：平面间的夹角 1. 平面间的夹角的定义：平面1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面1π上作直线1l ⊥l ，在平面2π上作直线2l ⊥l ，则12l l I =R 。

目录考点一：两点及点线间距离计算 (2)题型一：两点距离有关的向量问题 (2)题型二：利用向量计算点线距离问题 (5)考点二：点面、线面和面面距离计算 (7)题型三：点面距离有关的向量问题 (7)题型四：线面及面面距离有关计算 (11)课后综合巩固练习 (12)考点一：两点及点线间距离计算空间两点的距离公式若，，则③ ；②； ③ AB 的中点坐标为121212222x +x y +y z +z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． 求点线距的一般步骤：①在直线上任取一点连结该点得到向量α②找出直线的方向向量β③利用两向量的数量积换算出点线距离即：点A 到直线l 的距离d αββ=，其中β是与直线方向向量平行的任意向量题型一：两点距离有关的向量问题1．（2019春•莲都区校级月考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值为()ABCD【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1A P 长度取最小值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---2||(AB AB x ==(2A ，0，0)，(1E ，2，0)，(0F ，2，1)，1(2A ，0，2)， (1AE =-，2，0)，(2AF =-，2，1)，设平面AEF 的法向量(n x =，y ，)z ，则20220n AE x y n AF x y z ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩，取1y =，得(2n =，1，2)，设(P a ，2，)c ，02a ，02c ，则1(2A P a =-，2，2)c -，1A P 平行于平面AEF ，∴12(2)22(2)0A P n a c =-++-=，整理得3a c +=， 1||(A P a =故选：B ．【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力2．（2019•内江三模）如图所示，在Rt ABC ∆中，4AB =，3AC =，5BC =，在BC 边上任取一点D ，并将ABD ∆沿直线AD 折起，使平面ABD ⊥平面ACD ，则折叠后B 、C 两点间距离的最小值为 ．⊥交AD的延长线于点【分析】设BADθ⊥于E，过点B作BF AD∠=，过点C作CE ADF，得到4sin=，3sinAEθAFθ=，=，3cos=，4cosBFθCEθ【解答】解：如图所示，⊥，交AD的延长线于点F，过点C作CE AD⊥于E，过B作BF AD所以4cos3sin=-，EFθθ【点评】本题主要考查了平面图形的折叠问题，以及两点间距离的最值应用问题，其中解答。