【同步测控 优化设计】高二人教A版数学选修2-1练习：3.1.1空间向量及其加减运算 Word版含答案[ 高考]

第三章 3.1.1空间向量及其加减运算一、选择题1．下列命题中，正确的有( )(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)向量a 、b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |a ∥b ；(4)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(5)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] (1)正确．∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →.又∵A 、B 、C 、D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c . (3)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (4)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .(5)不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向．故选C. 2．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B ．AC → C.AB → D.BA → [答案] D[解析] 解法1：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.解法2：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.3．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B ．AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →[答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．4．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是( )A.OA →＋OB →＝AB →B.OA →＋OB →＝BA →C.AO →－OB →＝AB →D.OA →－OB →＝CD →[答案] D[解析] OA →－OB →＝BA →＝CD →，故选D.5．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C[解析] 利用向量相等的定义求解．6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①AB →＋BC →＋CC 1→ ②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→ ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→ ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] D[解析] 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐一进行判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1； ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→. 二、填空题7．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________. [答案] b －c －a[解析] A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a . 8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________. [答案] 0[解析] 方法1：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 方法2：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 三、解答题9.如图所示的是平行六面体ABCD —A1B 1C 1D 1，化简下列各式． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→. (2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→.10.在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →；(2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →. (2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.一、选择题11．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ．2＋ 2 D ．2 2[答案] D[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2. 12．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错； ⑤假命题．零向量的方向是任意的．13．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0 [答案] B[解析] EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →， EH →＋GE →＝GH →，易证四边形EFGH 为平行四边形， 故EF →＋GH →＝0，故选B.14．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC →B ．AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向 [答案] D 二、填空题15．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →、AD →表示的结果为________________________________．[答案] 12(AD →－AB →)[解析] MN →＝12BD →＝12(AD →－AB →)16．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确的是__________． [答案] ①②③[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB ′→＋BC →＝AC ′→，∴④不正确．三、解答题17.如图，在空间四边形ABCD 中，AB 的中点为E ，DC 的中点为F ，证明EF →＝12(AD →＋BC →)．[证明] 证法1：设AC 的中点为G ，连接EG ，FG . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →.故EF →＝EG →＋GF →＝12(AD →＋BC →)．证法2：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA →＋EB →＝0，DF →＋CF →＝0，∵EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →， ∴2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12(AD →＋BC →)．证法3：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴GE →＝12(GA →＋GB →)，GF →＝12(GC →＋GD →)，∴EF →＝GF →－GE →＝12(GC →＋GD →－GA →－GB →)＝12[(GC →－GB →)＋(GD →－GA →)]＝12(BC →＋AD →)．。

第三章　3.1　课时作业24一、选择题1．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量的模相等的向量有( )A ′B ′——→ A ．7个 B ．3个C ．5个　D ．6个解析：||＝||＝||＝||D ′C ′——→ DC → C ′D ′——→ CD → ＝||＝||＝||＝||.BA → AB→ B ′A ′——→ A ′B ′——→ 答案：A 2．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( )①＋与＋是一对相反向量；OA→ OD → OB 1→ OC 1→ ②－与－是一对相反向量；OB→ OC → OA 1→ OD 1→ ③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；OA→ OB → OC → OD → OA 1→ OB 1→ OC 1→ OD 1→ ④－与－是一对相反向量．OA1→ OA → OC → OC 1→ A. 1个 B. 2个C. 3个　D. 4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．答案：C 3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD AO→ OB → DO → OC → 是( )A. 平行四边形B. 空间四边形C. 等腰梯形D. 矩形解析：∵＋＝＋，AO→ OB → DO → OC → ∴＝.AB→ DC → ∴∥且||＝||.AB → DC → AB → DC →∴四边形ABCD 为平行四边形．答案：A 4．如果向量、、满足||＝||＋||，则( )AB → AC → BC → AB → AC → BC→ A. ＝＋ B. ＝－－AB→ AC → BC → AB → AC → BC → C. 与同向 D. 与同向AC→ BC → AC→ CB → 解析：∵||＝||＋||AB → AC → BC→ ∴A 、B 、C 共线且点C 在AB 之间，即与同向．AC→ CB → 答案：D 二、填空题5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若＝a ，＝b ，＝c ，则CA → CB → CC1→ ＝__________(用a ，b ，c 表示)．A 1B→ 解析：＝－A 1B → CB→ CA 1→＝－(＋)＝－a ＋b －c .CB→ CA → CC 1→ 答案：－a ＋b －c6．在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简向量表达式－＋－结果是AB→ CD → BC → DA → __________．解析：＋－(＋)＝－＝2.AB → BC → CD → DA → AC → CA → AC→ 答案：2AC→7．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：①＋＝；②－＝AB → BC → AC → AB → BC → AC → AB→ AC → ；③||＋||＝||；④||－||＝||.其中一定不成立的是______．BC → AB → BC → AC → AB → AC → BC→ 解析：①＋＝恒成立；②－＝，故②不成立；③当、、方向AB → BC → AC → AB → AC → CB → AB→ BC → AC → 相同时，有||＋||＝||；④当、、共线且与、方向相反时，有||－|AB → BC → AC → BC → AB → AC → BC → AB → AC → AB→ |＝||.故只有②一定不成立．AC → BC→ 答案：②三、解答题8．如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为的所有向量．5(3)试写出的相反向量．AA1→ 解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，AA 1→ A 1A → BB 1→ B 1B→ ，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共C 1C → CC 1→ DD 1→ D 1D→ 8个．(2)由于长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，55AD 1→ D 1A → A 1D → DA1→ ，，，.C 1B → BC 1→ B 1C → CB 1→ (3)向量的相反向量为，，，.AA 1→ A 1A → B 1B → C 1C →D 1D→ 9．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设＝a ，＝b ，＝c ，M 、N 、P 分别是AA 1、BC 、C 1D 1的中点，试用a 、b 、c 表示以AA 1→ AB → AD→ 下各向量：(1)；(2)；(3).AP → A 1N → MP → 解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴＝＋＋AP → AA 1→ A 1D 1→ D 1P → ＝a ＋＋AD → 12D 1C 1→＝a ＋c ＋＝a ＋c ＋b .12AB→ 12(2)∵N 是BC 的中点，∴＝＋＋A 1N → A 1A → AB → BN → ＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋＝－a ＋b ＋c .12AD→ 12(3)∵M 是AA 1的中点，∴＝＋＝＋MP → MA → AP → 12A 1A → AP →＝－a ＋(a ＋c ＋b )＝a ＋b ＋c .12121212。

[课时作业][A 组 基础巩固]1．若a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( )A ．m ，n ，p 共线B ．m 与p 共线C ．n 与p 共线D ．m ，n ，p 共面解析：由于(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，即m ＋n ＝2p ，即p ＝12m ＋12n ，又m 与n 不共线，所以m ，n ，p 共面．答案：D2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14 解析：AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，所以x ＝1，y ＝14.答案：D3．已知空间向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．答案：A4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( )①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量；④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．答案：C5．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线解析：∵34＋18＋18＝1，∴P ，A ，B ，C 四点共面．答案：B6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.解析：CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.答案：237.如图，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ， CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF →＝________(用向量a ，b ，c 表示)．解析：设G 为BC 的中点，连接EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF → ＝12AB →＋12CD →＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c )＝3a ＋3b －5c .答案：3a ＋3b －5c8．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，若AB →＝e 1＋ke 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________.解析：∵BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，∴BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋4e 2＋e 1＋2e 2＝6e 1＋6e 2.又AB →＝e 1＋ke 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数u ，使AB →＝uBD →，即e 1＋ke 2＝6ue 1＋6ue 2，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧1＝6u ，k ＝6u ，∴k ＝1. 答案：19.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →.解析：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 10.如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．解析：(1)证明：∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是平行六面体，∴AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝DD 1→，∴BE →＝13AA 1→，DF →＝23AA 1→，∴AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，由向量共面的充分必要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，又EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13.[B 组 能力提升]1．若a ，b 是平面α内的两个向量，则( )A ．α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0C ．若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)D ．若a ，b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)解析：当a 与b 共线时，A 项不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，λa ＋μb ＝0，故B 项不正确；若a 与b 不共线，则平面α内任意向量可以用a ，b 表示，对空间向量则不一定，故C 项不正确，D 项正确．答案：D2．已知向量c ，d 不共线，设向量a ＝kc ＋d ，b ＝c －k 2d .若a 与b 共线， 则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：∵c ，d 不共线，∴c ≠0，且d ≠0.∵a 与b 共线，∴存在实数λ，使得a ＝λb 成立，即kc ＋d ＝λ(c －k 2d )， 整理得(k －λ)c ＋(1＋λk 2)d ＝0.∴⎩⎨⎧k －λ＝01＋λk 2＝0，解得k ＝λ＝－1.故选C. 答案：C3．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________.解析：如图，A 1B →＝B 1B →－B 1A 1→＝B 1B →－BA →＝－CC 1→－(CA →－CB →)＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .答案：－c －a ＋b4．如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ， AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：由题意知OM →＝12OA →，ON →＝ 12(OB →＋OC →)，MN →＝ON →－OM → ＝12(OB →＋OC →)－12OA →，又MG →＝2GN →， ∴MG →＝23MN →＝－13OA →＋13OB →＋13OC →，故OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－13OA →＋13OB →＋13OC →＝16OA →＋13OB →＋13OC →，∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 答案：16，13，135.如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解析：∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴2MN →＝12CA →＋AF →＋12FB →－12CA →＋CE →－AF →－12FB →＝CE →，即CE →＝2MN →. ∴CE →与MN →共线．6.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明：法一 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充分必要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．法二连接A 1D 、BD ，取A 1D 中点G ，连接FG 、BG ，则有FG 綊12DD 1，BE 綊12DD 1，∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴A 1B →，B 1C →，EF →都与平面A 1BD 平行， ∴A 1B →，B 1C →，EF →共面．。

描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角 线面角 二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线 与 平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。

3.1.5空间向量运算的坐标表示A组1.已知向量=(2,3,4),点A的坐标是(1,2,0),则点B的坐标是()A.(1,1,4)B.(3,5,4)C.(-1,1,-4)D.(3,6,3)解析:设点B的坐标为(x,y,z),由点A的坐标为(1,2,0),则=(x-1,y-2,z)=(2,3,4).即解得故点B的坐标为(3,5,4).答案:B2.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是()A.a∥b,a⊥bB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上都不对解析:由已知a·b=-2×2-3×0+4=0,∴a⊥b.又∵c=2a,∴a∥c.答案:C3.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离|CM|的值为()A.B.C.D.解析:因为AB中点M,且C(0,1,0),所以,故M到C的距离为|CM|=||=.答案:C4.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为()A. B. C. D.解析:∵a·b=x+2=3,∴x=1,∴b=(1,1,2),∴cos<a,b>=.∴a与b的夹角为.答案:D5.在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A. B.- C.2 D.±解析:∵=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),∴=(-6)×(-3)+2+2k×(-k)=-2k2+20.∵∠C=90°,∴CA⊥CB,∴=0,即-2k2+20=0,∴k=±.答案:D6.与向量a=(2,-1,2)共线且满足a·x=-18的向量x的坐标是.解析:因为x与a共线,所以可设x=k a,由a·x=-18,得a·k a=k|a|2=k()2=9k,所以9k=-18,k=-2.所以x=-2a=(-4,2,-4).答案:(-4,2,-4)7.已知a=(2,-3,0),b=(k,0,3),若a,b的夹角为120°,则k=.解析:由已知可得cos 120°=,解得k=-(k=舍去).答案:-8.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的面积是.解析:∵=(5,1,-7),=(2,-3,1),∴=10-3-7=0.∴,即AC⊥BC.∴S△ABC=|·||=.答案:9.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.解:( 1)因为a∥b,所以,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,故c=(3,-2,2).(2)由(1)得,(a+c)=(5,2,3),(b+c)=(1,-6,1),因此(a+c)与(b+c)所成角的余弦值cos θ==-. 10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点.(1)求EF与C1G所成角的余弦值;(2)求FH的长.解:如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,则有E,F,C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),G.(1)∵-(0,1,1)=,∴||=.又∵,∴||=.∴×0+×(-1)=.∴cos<>=.(2)∵F,H,∴.∴||=.B组1.若△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于()A.5B.C.4D.2解析:设=λ,又=(0,4,-3),则=(0,4λ,-3λ).又∵=(-4,5,0),∴=(-4,4λ+5,-3λ).由=0,得4(4λ+5)+9λ=0,解得λ=-,∴,∴||=5.答案:A2.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是()A. B. C. D.解析:由已知,得b-a=(2,t, t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0),∴|b-a|==,∴当t=时,|b-a|取得最小值,最小值为.答案:C3.若a=(2,3,-1),b=(-2,1,3),则以a,b为邻边的平行四边形的面积是.解析:|a|=,|b|=.设θ为a与b的夹角,则cos θ==-,所以sin θ=.所以S平行四边形=|a||b|sin θ=14×=6.答案:64.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若,求点D的坐标;(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.解:(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0),因为,所以解得即D(-1,1,2).(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2),假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.5.已知a=(5,3,1),b=,若a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解:∵a·b=5×(-2)+3t+1×=3t-,且a与b的夹角为钝角,∴a·b<0,即3t-<0,∴t<.若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使a=λb(λ<0),即(5,3,1)=λ.故即t=-.故t的取值范围是.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,问当点N位于线段AB何处时,MN⊥MC1? 解:以A为坐标原点,棱AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.设正方体的棱长为a,则M,C1(a,a,a).设N(x,0,0),则.由=xa-=0,得x=.所以点N的坐标为,即N为线段AB的四等分点且靠近点A时,MN⊥MC1.。

3.1.2空间向量的数乘运算A组1.当|a|=|b|≠0,且a,b不共线时,a+b与a-b的关系是()A.共面B.不共面C.共线D.无法确定解析:空间中任何两个向量都是共面向量,但不一定共线.答案:A2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=x+y(),则()A.x=1,y=B.x=1,y=C.x=,y=1D.x=1,y=解析:∵),又=x·+y(),故x=1,y=.答案:D3.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D解析:∵=2a+4b=2,∴A,B,D三点共线,故选A.答案:A4.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6+2+3,则()A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面解析:由6+2+3,得=2()+3(),即=2+3,故共面,又它们有公共点P,因此P,A,B,C四点共面.答案:B5.下面关于空间向量的说法正确的是()A.若向量a,b平行,则a,b所在的直线平行B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面C.若A,B,C,D四点不共面,则向量不共面D.若A,B,C,D四点不共面,则向量不共面解析:可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内,因此空间任意两个向量都是共面的,故B,C都不正确.注意向量平行与直线平行的区别,可知A不正确,可用反证法证明D是正确的.答案:D6.非零向量e1,e2不共线,则使k e1+e2与e1+k e2共线的k=.解析:若k e1+e2与e1+k e2共线,则k e1+e2=λ(e1+k e2),即故k=±1.答案:±17.已知点M在平面ABC内,并且对空间任一点O,=x,则x的值为.解析:因为点M在平面ABC中,即M,A,B,C四点共面,所以x+=1.即x=.答案:8.如图,设A是△BCD所在平面外的一点,G是△BCD的重心,求证:).证明:如图,连接BG,并延长BG交CD于点E.由G为△BCD的重心,知.由题意,知E为CD的中点,则,)=[()+()]=).9.如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且.求证:四边形EFGH是梯形.证明:∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴,∴.又∵)=,∴.∴,||=|.又∵点F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.B组1.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则)等于()A.B.C.D.解析:)=×(2)=.答案:A2.已知G为正方形ABCD的中心,点P为正方形ABCD所在平面外一点,则等于()A.4B.3C.2D.解析:=() +()=2+2=4.答案:A3.如图,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且P A⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD的中点,则满足=x+y+z的实数x=,y=,z=.解析:如图,在PD上取一点F,使PF∶FD=2∶1,连接MF,则.∵),=-,∴=-,∴x=-,y=-,z=.答案:--4.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,请判断是否共线?解:共线.如图,取AC中点G,连接EG,FG,则.又∵共面,∴=).即共线.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BB1和A1D1的中点.证明:向量是共面向量.证明:==)-.由向量共面的充要条件,知是共面向量.6.已知向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2共面.若a=m b+n c,试求实数m,n的值.解:λa+μb+γc=λ(e1+e2)+μ(3e1-2e2)+γ(2e1+3e2)=(λ+3μ+2γ)e1+(λ-2μ+3γ)e2.如果λ,μ,γ适合方程组那么就能使λa+μb+γc=0.令λ=-13,可得μ=1,γ=5,得-13a+b+5c=0,则a=b+c,即向量a,b,c共面.故实数m,n的值分别为.。

04课后课时精练一、选择题1．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则|a |＝|b |D ．若a ≠b ，则a 与b 的方向不同解析：根据向量相等的定义，若两向量相等，那么这两个向量的大小和方向均相同，但反过来，大小相等的两个向量，若方向不同，也是不相等的．另外，向量不能比较大小．答案：C2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A. AD →B. BD →C. AC →D. 0解析：AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. 答案：A3．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为ABCDEF 的中心，则PA →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF →等于( )A. PO →B. 3PO →C. 6PO →D. 0解析：PA →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF →＝6PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →＋OE →＋OF →)＝6PO →.答案：C4．如图直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：A 1B →＝A 1C 1→＋C 1C →＋CB →＝AC →－CC 1→＋CB →＝ －CA →－CC 1→＋CB →＝－a ＋b －c . 答案：D5．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC →解析：如右图所示．∵G 是CD 中点， ∴12(BD →＋BC →)＝BG →， ∴AB →＋12(BD →＋BC →)＝AG →. 答案：A6．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →.∴线段AB 、DC 平行且相等． ∴四边形ABCD 是平行四边形．答案：B 二、填空题7．如图所示，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．(用相等、相反填空)解析：根据相等向量、相反向量的定义知， AC →与A ′C ′→是相等向量． AB →与B ′A ′→是相反向量． 答案：相等 相反8．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.解析：由a ，c 同向，a ，b 反向及|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，画图可知：|a ＋b ＋c |＝|a |＋|c |－|b |＝3＋1－2＝2.答案：29. 已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.解析：取BC 中点M (如图所示)，连接EM 、FM ， ∵E ，F 是中点，∴EM 綊12AB ，MF 綊12CD ， ∴EM →＝12AB →＝12a －c ，MF →＝12CD →＝52a ＋3b －4c ， 从而EF →＝EM →＋MF →＝12a －c ＋52a ＋3b －4c ＝3a ＋3b －5c . 答案：3a ＋3b －5c 三、解答题10.在空间中平移△ABC 到△A 1B 1C 1，连接对应顶点，设AA 1→＝a ，AB→＝b ，AC →＝c，E 是BC 1的中点，试用a ，b ，c 表示向量AE →.解：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC 1→ ＝AB →＋12(BB 1→＋BC →) ＝AB →＋12AA 1→＋12(AC →－AB →) ＝12AA 1→＋12AB →＋12AC → ＝12a ＋12b ＋12c .即向量AE →＝12a ＋12b ＋12c .11．如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1C 1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB →＋BC →＋CC 1→；(2)AA1→＋12AB→＋12AD→.解：(1)AB→＋BC→＋CC1→＝AC1→，如图所示．(2)AA1→＋12AB→＋12AD→＝AA1→＋12(AB→＋AD→)＝AA1→＋12(A1B1→＋A1D1→)＝AA1→＋12A1C1→＝AA1→＋A1E→＝AE→，如图所示．12．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG →＝xAC →＋yAF →＋zAH →，求x ＋y ＋z 的值．解：∵xAC →＋yAF →＋zAH →＝x (AB →＋AD →)＋y (AB →＋AE →)＋z (AD →＋AE →)＝(x ＋y )AB →＋(x ＋z )AD →＋(y ＋z )AE →＝AG →＝AB →＋AD →＋AE →.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＋z ＝1，x ＋z ＝1，∴x ＋y ＋z ＝32.。

第三章空间向量与立体几何向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用，如鸟巢体育场的钢结构、北斗卫星定位系统示意图等．本章是在必修2中学习了立体几何初步以及必修4中学习了平面向量的基础上，学习空间向量及其运算，把平面向量推广到空间向量，并利用空间向量的运算解决有关的立体几何问题．由于空间向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个交汇点．学习目标1．空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．2．空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．本章重点空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的线面位置关系；求空间角和空间的距离．本章难点用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题．3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算自主预习·探新知情景引入1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？新知导学1．空间向量(1)定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的__大小__.(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用__有向线段__表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作：____，其模记为__|a|__或__||__.2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量__任意____0____0__单位向量任意__1__相反向量__相反__相等a的相反向量：__－a__ 的相反向量：____相等向量相同__相等__a＝b(1)加法：＝__＋__＝a＋b.(2)减法：＝__－__＝a－b.(3)加法运算律：①交换律：a＋b＝__b＋a__；②结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__.4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个__向量__，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系：λ的范围方向关系模的关系λ>0方向__相同__λa的模是a的模的__|λ|__倍λ＝0λa＝__0__其方向是任意的λ<0方向__相反__①分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②结合律：λ(μa)＝__(λμ)a__5．平行(共线)向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__互相平行或重合__ 平行于同一个__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量与__任意向量__共线充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__唯一__的有序实数对(x，y)使__p＝x a＋y b__推论对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__＝＋t a__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量＝a，则＝__＋t__点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝__x＋y__或对空间任意一点O，有＝__＋x＋y__预习自测1．下列命题中，假命题的是(D)A．向量与的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一条直线上的单位向量都相等[解析]在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反．2．下列命题中正确的是(C)A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb[解析]由零向量定义知选C．而A中b＝0，则a与c不一定共线；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直线可能异面．3．化简下列各式：(1)＋＋；(2)－＋；(3)＋＋－.结果为零向量的个数是(D)A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于(1)，＋＋＝＋＝0；对于(2)，－＋＝＋＝0；对于(3)，＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.4．(内蒙古赤峰市宁城县2019－2020学年高二期末)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M为AC与BD的交点，＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的是(A) A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．a－b＋cD．－a－b＋c[解析]因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出＝＋＝c＋(－)＝c－a＋b，选A．5．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P 与A、B、C三点共面，则λ＝____.[解析]由P与A、B、C三点共面，∴＋＋λ＝1，解得λ＝.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶空间向量的有关概念典例1(1)给出下列命题：①单位向量没有确定的方向；②空间向量是不能平行移动的；③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等．其中正确的是(C)A．①②B．②③C．①③D．①③④(2)如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有__8__个，模为的所有向量为__，，，，，，，__.[思路分析](1)依据空间向量的基本概念逐一进行分析；(2)单位向量的模为1，根据长方体的左右两侧的对角线长均为写出相应向量．[规范解答](1)①正确，单位向量的方向是任意的．②错误，空间向量可以平行移动．③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．④错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等．(2)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量，，，，，，，共8个单位向量．而其余向量模均不为1，故单位向量共8个．长方体的左、右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.『规律总结』处理向量概念问题需注意两点①向量：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可．②单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为1.┃┃跟踪练习1__■如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．[解析](1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．(2)向量的相反向量为，，，.(3)||＝|＋＋|∴||2＝2＋2＋2＝9∴||＝3.命题方向❷空间向量的加减运算典例2如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；(2)＋＋.[思路分析](1)分析题意，将等价转化为，转化为－，平行四边形法则得出结论．(2)应用平行四边形法则先求＋，再应用三角形法则求＋.[规范解答](1)－＝－＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示．『规律总结』化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．┃┃跟踪练习2__■(山东潍坊2018－2019学年高二期末)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，设＝a，＝b，＝c，则＝(B)A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．－a＋b＋c[解析]如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝a－b＋c.故选B．命题方向❸空间向量的数乘运算典例3已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：(1)＝＋x＋y；(2)＝x＋y＋.[思路分析]由题目可以获取以下主要信息：①四边形ABCD是正方形，O为中心，PO⊥平面ABCD，Q为CD中点；②用已知向量表示指定向量．解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出x、y即可．[规范解答]如图，(1)∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.(2)∵＋＝2，∴＝2－.又∵＋＝2，∴＝2－.从而有＝2－(2－)＝2－2＋.∴x＝2，y＝－2.『规律总结』 1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律．2．空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致．┃┃跟踪练习3__■如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.[解析](1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，∴＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)＝a＋b＋c.命题方向❹共线向量典例4如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？[思路分析]要判断与是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数λ，使＝λ.若存在，则与共线，否则与不共线．[规范解答]M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴＝＋＋＝＋＋.又∵＝＋＋＋＝－＋－－，∴＋＋＝－＋－－.∴＝＋2＋＝2(＋＋)．∴＝2，∴∥，即与共线．『规律总结』 1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键是找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使＝λ成立．(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．┃┃跟踪练习4__■e1，e2为不共线的非零向量，如果a＝4e1－e2，b＝e1－e2，试判断a，b是否共线．[解析]∵a＝4e1－e2，b＝e1－e2，∴a＝4(e1－e2)＝4b，∴a，b为共线向量．命题方向❺共面问题典例5正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面．[思路分析]要证M、N、P、Q四点共面，只需证明、、共面，即寻求实数λ、μ、k，使得λ＋μ＋k＝0.为此，令＝a，＝b，＝c，将、、都用a、b、c线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令＝λ＋μ，建立λ、μ的方程组解之．[规范解答]令＝a，＝b，＝c，∵M、N、P、Q均为棱的中点，∴＝b－a，＝＋＝a＋c，＝＋＋＝－a＋b＋c.令＝λ＋μ，则－a＋b＋c＝(μ－λ)a＋λb＋μc，∴，∴.∴＝2＋，因此向量、、共面，∴四点M、N、P、Q共面．『规律总结』 1.证明点P在平面ABC内，可以用＝x＋y，也可以用＝＋x＋y，若用＝x＋y＋z，则必须满足x＋y＋z＝1.2．判定三个向量共面一般用p＝x a＋y b，证明点线共面常用＝x＋y，证明四点共面常用＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．┃┃跟踪练习5__■如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明E、F、G、H四点共面．[思路分析]要证E、F、G、H四点共面，根据共面向量定理，只需探求存在实数x，y，使＝x＋y成立．[解析]如图，连接BG、EG，则＝，＝，＝(＋)，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面．学科核心素养空间向量的线性运算在立体几何中的应用(1)立体几何中的线线平行可转化为两向量的平行，即证明两向量具有数乘关系即可．证明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后根据空间向量的共线定理进行证明．特别地，线面平行可转化为该直线的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示．(2)在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法．利用向量证明平行的关键是构造向量之间的线性关系．(3)解题时，应结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量，再对照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到所有向量都符合目标要求为止．典例6如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.[思路分析]根据共面向量定理，证明向量平面CDE内两个不共线的向量共面即说明MN∥平面CDE.[规范解答]∵点M在BD上，且BM＝BD，∴＝＝＋.同理，＝＋.∴＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.由于与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE.『规律总结』解答本题要注意向量共面与直线平行于平面的联系与区别，如果没有充分理解定义、定理的实质，本题容易漏掉MN不在平面CDE内而致错．┃┃跟踪练习6__■已知AB，CD是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．求证MN∥α.[思路分析]运用共面向量定理先证出与平面α内两个不共线的向量共面，进而说明MN∥α.[证明]因为CD⊂α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存在向量a，b，使得＝a，＝b，且两个向量不共线．由M，N分别是AC，BD的中点，得＝(＋＋＋＋＋)＝(＋)＝(a＋b)．所以，a，b共面，所以MN∥α或MN⊂α.若MN⊂α，则AB，CD必在平面α内，这与已知AB，CD是异面直线矛盾．故MN∥α.易混易错警示典例7如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为__，，__.[错解]因为M为OA的中点，所以＝，因为＝2，所以＝，所以＝OM＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×＋(＋)＝＋＋所以x，y，z的值分别为，，.[辨析]错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当．实际上，本题中由N是BC的中点知＝(＋)．[正解]∵M为OA中点，∴＝，∵＝，∴＝∴＝＋＝＋M＝＋＝·＋·(＋)＝＋＋∴x，y，z的值为，，.。

3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算一、选择题1．【题文】在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-u u u r u u u r u u u r等于( )A ．OA u u u rB ．AB u u u rC ．OC u u u rD ．AC u u u r2．【题型】在空间四边形OABC 中，OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，OC =u u u r c ，点M 在线段OA 上且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN u u u u r等于（）A ．121232-+a b cB ．112223+-a b cC ．211322-++a b cD ．221332+-a b c3．【题文】在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若23AC x AB yBC zC C ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则x y z ++等于( )A ．116B ．76C ．56D ．234.【题文】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算结果为向量1AC u u u u r 的是( )①()1AB BC CC ++u u u r u u u r u u u u r ；②()11111AA A D D C ++u u u r u u u u r u u u u r；③()111AB BB B C ++u u u r u u u r u u u u r ；④()11111AA A B B C ++u u u r u u u u r u u u u r .A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②③④5．【题文】已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 上的点，若AE AB λ=u u u r u u u r ，AF AD λ=u u u r u u u r ，CM CB μ=u u u ur u u u r ，CN CD μ=u u u r u u u r ，则向量EF u u u r 与MN u u u u r满足的关系为( )A. EF MN =u u u r u u u u rB. EF MN u u u r u u u u r PC ．EF MN =u u u r u u u u rD ．EF MN ≠u u u r u u u u r6．【题文】下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A.2OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u rB.111532OM OA OB OC =++u u u ur u u u r u u u r u u u rC.MA MB MC ++=0u u u r u u u r u u u u rD.OM OA OB OC +++=0u u u u r u u u r u u u r u u u r7．【题文】空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB BF EH GH +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rB.EB FC EH GE +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rC.EF FG EH GH +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rD.EF FB CG GH -++=0u u u r u u u r u u u r u u u r8．【题文】对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r()x zOC y z ∈+R u u u r 、、，则1x y z ++=是四点P 、A 、B 、C 共面的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9.【题文】已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则 AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r_____________.10．【题文】已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，四点共面，且234OA xBO yCO zDO =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则234x y z ++=_____.11．【题文】已知平行六面体ABCD A B C D -''''，则下列四式中：①AB CB AC -=u u u r u u u r u u u r ；②AC AB B C CC ''''=++u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ； ③AA CC ''=u u u r u u u u r ；④AB BB BC C C AC '''+++=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r .正确式子的序号是________．三、解答题12.【题文】三棱柱111ABC A B C -中，M N 、分别是1A B 、11B C 上的点，且BM = 12A M ，112C N B N =.设AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，1AA =u u u rc .试用,,a b c 表示向量MN u u u u r .13．【题文】点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ,,M N 分别是,PC PD 上的点，M 分PC 成定比，N 分PD 成定比，求满足MN =u u u u r x AB y AD z AP ++u u u r u u u r u u u r的实数,,x y z 的值．14．【题文】已知在四面体P ABCD -中，PA =u u u r a ，PB =u u u rb ，PC =u u u rc ，G ∈平面ABC ．证明：G 为△ABC 的重心的充分必要条件是()13PG =++u u u r a b c .3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算参考答案与解析一、选择题1．【答案】C【解析】OA AB CB OB CB OB BC OC +-=-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】C【解析】()1221123322MN ON OM OB OC OA =-=+-=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r a b c ，故选C.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】B【解析】因为AC AC CC AB BC CC '''=+=++u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v ，23AC x AB yBC zC C ''=++u u u ur u u u r u u u r u u u u r ，所以111,,23x y z ===-，则76x y z ++=.考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】①()111AB BC CC AC CC AC ++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r；②()111111111AA A D D C AD D C AC ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ；③()1111111AB BB B C AB B C AC ++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ；④()111111111AA A B B C AB B C AC ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r .考点：空间向量的运算. 【题型】选择题 【难度】较易 5．【答案】B【解析】AE AF AB AD DB λλλ-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即FE DB λ=u u u r u u u r.同理，NM DB μ=u u u u r u u u r .因为DB DB μλu u u r u u u r P ，所以FE NM u u u r u u u u r P ，即EF MN u u u r u u u u rP .又λ与μ的大小关系不确定，故MN u u u u r 与EF u u u r的大小关系不确定. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般 6． 【答案】C【解析】C 选项中MA MB MC =--u u u r u u u r u u u u r，∴点M 、A 、B 、C 共面，故选C.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般7． 【答案】B【解析】∵GE EH GH +=u u u r u u u r u u u r ，FC EB BF EB EF +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，EF GH +=0u u u r u u u r，∴EB FC EH GE +++=0u u u r u u u r u u u r u u u r.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般 8． 【答案】C【解析】充分性：若1x y z ++=，则原式可变形为()1OP y z OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r，()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r，∴P 、A 、B 、C 四点共面．必要性：若P 、A 、B 、C 四点共面，则由共面向量定理的推论知对空间任一点O ，有OP OC sCA tCB =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中、是唯一的一对有序实数)． ∵CA OA OC =-u u u r u u u r u u u r ，CB OB OC =-u u u r u u u r u u u r ，∴()1OP s t OC sOA tOB =--++u u u r u u u r u u u r u u u r .令x =1s t --，y s =，z t =，则有1x y z ++=.考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9.【答案】AD u u u r【解析】AB BC CD AC CD AD ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.考点：空间向量的加减运算. 【题型】填空题 【难度】较易 10． 【答案】−1【解析】∵A 、B 、C 、D 共面，∴OA OB BC BD λμ=++u u u r u u u r u u u r u u u r()()()1OB OC OB OD OB OB OC OD λμλμλμ=+-+-=--++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()1234BO CO DO xBO yCO zDO λμλμ=+---=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴()()()23411x y z λμλμ++=+-+-+-=-. 考点：空间向量的运算. 【题型】填空题 【难度】一般 11．【答案】①②③【解析】AB CB AB BC AC -=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，①正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r，②正确；③显然正确；AB BB BC C C AB B C C C AC C C AC ''''''''+++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r，故④错误． 考点：空间向量的运算. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12.【答案】111333MN =++u u u u r a b c【解析】11111111133MN MA A B B N BA AB B C =++=++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r()()1111133333=-++-=++c a a b a a b c . 考点：空间向量的数乘运算. 【题型】解答题 【难度】一般 13．【答案】211,,366x y z =-=-=【解析】取PC 的中点E ，连接NE ，则()12MN EN EM CD PM PE =-=--u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r()12111112322626CD PC PC CD PC AB AP AB AD ⎛⎫=--=-=---++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r 211366AB AD AP =--+u u u r u u u r u u u r ，通过比较知211,,366x y z =-=-=．考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】证明见解析【解析】证明：必要性：连接AG 并延长交BC 于D ，则D 平分BC ，且G 分AD 所成的比为21∶，从而23PG PA AG AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u ur a ，又()()()()1112222AD AB AC PB PA PC PA ⎡⎤=+=-+-=+-⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b c a ，故()()11233PG =++-=++u u u r a b c a a b c ．充分性：设D 分BC 所成的比为p ，G 分AD 所成的比为．则()11p p BD BC PC PB p p ==-++u u u ru u u r u u u r u u u r ，()11q q AG AD PD PA q q==-++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以()1111p p PD PB BD PB PC PB PB PC p P p=+=+-=++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ， 于是，1111q p PG PA AG PA PB PC PA q P p ⎛⎫=+=++-⎪+++⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ()()()()111111q pqPA PB PC q q p q p =+++++++u u u r u u u r u u u r ， 因为()13PG =++u u u r a b c ，故()()()()11111113q pq q q p q p ===+++++， 解得2q =，1p =，于是G 为△ABC 的重心．所以G 为△ABC 的重心的充分必要条件是()13PG =++u u u r a b c .考点：空间向量的运算. 【题型】解答题 【难度】较难。

§3.1 空间向量及其运算3．1.1 空间向量及其加减运算一、基础过关1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A ．a ＋b －cB ．c －a －bC ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b3．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A.BD 1→B.D 1B →C.B 1D →D.DB 1→6．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( )A.AD →B.BD →C.AC →D ．07．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式AB →＋CD →＋BC →＋DA →的结果为________．8．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝____________. 9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中心为O ，①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．则上述结论正确的有__________(填写正确命题的序号)． 二、能力提升10.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方 体ABCD —A 1B 1C 1D 1且以八个顶点的两点为始点和终点的向量 中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量； (4)试写出AA 1→的相反向量．11.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →. 12．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，用AB →，AD →，AA ′→表示AC ′→. 三、探究与拓展13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．答案1．B 2.B 3.B 4.D 5.A 6.A 7.0 8．－a ＋b －c 9．①③④10．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个． (4)向量AA 1→的相反向量有A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →共4个． 11．解 如图．DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝(DA →－DB →)＋(B 1C →－B 1B →)＋(A 1B 1→－A 1B →) ＝BA →＋BC →＋BB 1→ ＝BD →＋BB 1→＝BD 1→.12．解 如图所示，在△ACC ′中，AC ′→＝AC →＋CC ′→，∵CC ′→＝AA ′→，∴AC ′→＝AC →＋AA ′→. 在△ABC 中，AC →＝AB →＋BC →， ∵BC →＝AD →，∴AC →＝AB →＋AD →. ∴AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→. 13．解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点． ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.→＋GD→＋EC→∴AB＝AB→＋BE→＋EF→＝AF→.故所求向量AD→，AF→如图所示．。