高中数学《余弦定理》素材1 苏教版必修5

正弦、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。

今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。

题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。

三．要点精讲1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

R C cB b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。

高中苏教数学⑤1.1～1.2正弦定理、余弦定理要点解读一、正弦定理1．正弦定理及其证明在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==． 课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下：当ABC △为锐角三角形时（如图所示），过点A 作单位向量i 垂直于AB ，因为AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，所以()AC AB BC AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ····i i i i ，cos(90)0cos(90)b A a B -=+-°°，即sin sin b A a B =，得sin sin a b A B=． 当ABC △为钝角或直角三角形时也可类似证明．2．正弦定理常见变形公式 （1）sin sin sin sin b A c A a B C ==，sin sin sin sin c B a B b C A ==，sin sin sin sin a C b C c A B==； （2）::sin :sin :sin a b c A B C =；（3）2sin 2sin a R A b R B ==，，2sin c R C =（R 为ABC △外接圆的半径）； （4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =； （5）sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++===++． 注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式．3．正弦定理的运用利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．二、余弦定理1．余弦定理及表达式三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-． 注：余弦定理反映了a b c A B C ，，，，，元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系．2．余弦定理的另一种表达形式222cos 2b c a A bc+-=； 222cos 2c a b B ac+-=；222cos 2a b c C ab+-=； 注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行．3．余弦定理的运用利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．注：这两类问题在有解时都只有一个解．4．勾股定理和余弦定理的区别与联系勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．。

学习目标核心素养１．掌握余弦定理及其推论．（重点）２．掌握正、余弦定理的综合应用．（重点）３．能应用余弦定理判断三角形的形状．（易错点）１．借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养.２．通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养.１．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a２＝b２＋c２—２bc cos_A，b２＝c２＋a２—２ca cos_B，c２＝a２＋b２—２ab cos_C.思考１：根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c２＝a２＋b２＝a２＋b２—２ab cos C．１试验证１式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？[提示] 当a＝b＝c时，C＝60°，a２＋b２—２ab cos C＝c２＋c２—２c·c cos 60°＝c２，即１式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c２＝a２＋b２—２ab cos C.思考２：在c２＝a２＋b２—２ab cos C中，ab cos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考１的猜想吗？[提示] ab cos C＝|错误!|·|错误!|cos〈错误!，错误!〉＝错误!·错误!.∴a２＋b２—２ab cos C＝错误!＋错误!—２错误!·错误!＝（错误!—错误!）２＝错误!＝c２.猜想得证．２．余弦定理的变形（１）余弦定理的变形cos A＝错误!，cos B＝错误!，cos C＝错误!.（２）余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，c２＝a２＋b２⇔C为直角；c２>a２＋b２⇔C为钝角；c２<a２＋b２⇔C为锐角．思考３：勾股定理和余弦定理有何联系与区别？[提示] 二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．１．在△ABC中，若b＝１，c＝错误!，A＝错误!，则a＝________.１[a＝错误!＝１．]２．在△ABC中，若a＝５，c＝４，cos A＝错误!，则b＝________.6[由余弦定理可知２５＝b２＋１6—２×４b cos A，即b２—错误!b—9＝0，解得b＝6．]３．在△ABC中，a＝３，b＝错误!，c＝２，则B＝________.60°[cos B＝错误!＝错误!＝错误!，∴B＝60°.]４．在△ABC中，若b２＋c２—a２<0，则△ABC必为________三角形．钝角[∵cos A＝错误!<0，∴A∈（90°，１80°）．∴△ABC必为钝角三角形．]已知两边与一角解三角形【例１】在△a.[解] 法一：由余弦定理b２＝a２＋c２—２ac cos B，得３２＝a２＋（３错误!）２—２a×３错误!×cos ３0°，∴a２—9a＋１8＝0，解得a＝３或6．当a＝３时，A＝３0°，∴C＝１２0°.当a＝6时，由正弦定理sin A＝错误!＝错误!＝１．∴A＝90°，∴C＝60°.法二：由b<c，B＝３0°，b>c sin ３0°＝３错误!×错误!＝错误!知本题有两解．由正弦定理sin C＝错误!＝错误!＝错误!，∴C＝60°或１２0°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝错误!＝错误!＝6，当C＝１２0°时，A＝３0°，△ABC为等腰三角形，∴a＝３．已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理已知两边和一边的对角求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题在0，π上，余弦值所对角的值是唯一的，故用余弦定理求解较好.１．在△ABC中，a＝２错误!，c＝错误!＋错误!，B＝４５°，解这个三角形．[解] 根据余弦定理得，b２＝a２＋c２—２ac cos B＝（２错误!）２＋（错误!＋错误!）２—２×２错误!×（错误!＋错误!）×cos ４５°＝8，∴b＝２错误!.又∵cos A＝错误!＝错误!＝错误!，∴A＝60°，C＝１80°—（A＋B）＝7５°.已知三边解三角形【例２】已知△ABC中，a∶b∶c＝２∶错误!∶（错误!＋１），求△ABC的各角的大小．思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解．[解] 设a＝２k，b＝错误!k，c＝（错误!＋１）k（k>0），利用余弦定理，有cos A＝错误!＝错误!＝错误!，∴A＝４５°.同理可得cos B＝错误!，B＝60°.∴C＝１80°—A—B＝7５°.１．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．２．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．２．在△ABC中，已知a＝7，b＝３，c＝５，求最大角和sin C.[解] ∵a>c>b，∴A为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A＝错误!＝错误!＝—错误!，∴A＝１２0°，∴sin A＝sin １２0°＝错误!.由正弦定理错误!＝错误!，得：sin C＝错误!＝错误!＝错误!，∴最大角A为１２0°，sin C＝错误!.正、余弦定理的综合应用[探究问题]１．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a２＝b２＋c２，则sin２A＝sin２B＋sin２C 成立吗？反之说法正确吗？为什么？[提示] 设△ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C，代入a２＝b２＋c２可得sin２A＝sin２B＋sin２C.反之将sin A＝错误!，sin B＝错误!，sin C＝错误!代入sin２A＝sin２B＋sin２C可得a２＝b２＋c２.因此，这两种说法均正确．２．在△ABC中，若c２＝a２＋b２，则C＝错误!成立吗？反之若C＝错误!，则c２＝a２＋b２成立吗？为什么？[提示] 因为c２＝a２＋b２，所以a２＋b２—c２＝0，由余弦定理的变形cos C＝错误!＝0，即cos C ＝0，所以C＝错误!，反之若C＝错误!，则cos C＝0，即错误!＝0，所以a２＋b２—c２＝0，即c２＝a ２＋b２.【例３】在△ABC中，若（a—c·cos B）·sin B＝（b—c·cos A）·sin A，判断△ABC的形状．思路探究：[解] 法一：（角化边）∵（a—c·cos B）·sin B＝（b—c·cos A）·sin A，∴由正、余弦定理可得：错误!·b＝错误!·a，整理得：（a２＋b２—c２）b２＝（a２＋b２—c２）a２，即（a２—b２）（a２＋b２—c２）＝0，∴a２＋b２—c２＝0或a２＝b２.∴a２＋b２＝c２或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．法二：（边化角）根据正弦定理，原等式可化为：（sin A—sin C cos B）sin B＝（sin B—sin C cos A）sin A，即sin C cos B sin B＝sin C cos A sin A.∵sin C≠0，∴sin B cos B＝sin A cos A.∴sin ２B＝sin ２A.∴２B＝２A或２B＋２A＝π，即A＝B或A＋B＝错误!.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．１．（变条件）将例题中的条件“（a—c cos B）·sin B＝（b—c cos A）·sin A”换为“a cos A＋b cos B＝c cos C”其它条件不变，试判断三角形的形状．[解] 由余弦定理知cos A＝错误!，cos B＝错误!，cos C＝错误!，代入已知条件得a·错误!＋b·错误!＋c·错误!＝0，通分得a２（b２＋c２—a２）＋b２（a２＋c２—b２）＋c２（c２—a２—b２）＝0，展开整理得（a２—b２）２＝c４.∴a２—b２＝±c２，即a２＝b２＋c２或b２＝a２＋c２.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．２．（变条件）将例题中的条件“（a—c cos B）·sin B＝（b—c cos A）·sin A”换为“lg a—lg c＝lg sin B＝—lg 错误!且B为锐角”，判断△ABC的形状．[解] 由lg sin B＝—lg 错误!＝lg 错误!，可得sin B＝错误!，又B为锐角，∴B＝４５°.由lg a—lg c＝—lg 错误!，得错误!＝错误!，∴c＝错误!a.又∵b２＝a２＋c２—２ac cos B，∴b２＝a２＋２a２—２错误!a２×错误!＝a２，∴a＝b，即A＝B.又B＝４５°，∴△ABC为等腰直角三角形．判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.１．本节课要掌握的解题方法（１）已知三角形的两边与一角，解三角形．（２）已知三边解三角形．（３）利用余弦定理判断三角形的形状．２．本节课的易错点有两处（１）正弦定理和余弦定理的选择已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．（２）利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．１．判断正误（１）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．（）（２）在△ABC中，若a２>b２＋c２，则△ABC一定为钝角三角形．（）（３）在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．（）[答案] （１）√（２）√（３）×[提示] 由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，（３）错误．２．在△ABC中，a＝7，b＝４错误!，c＝错误!，则△ABC的最小角为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos C＝错误!＝错误!＝错误!，所以C＝错误!，故选Ｂ．]３．（２0１9·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A—b sin B＝４c sin C，cos A＝—错误!，则错误!＝（）Ａ．6 Ｂ．５C．４Ｄ．３A[∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A—b sin B＝４c sin C，cos A＝—错误!，∴错误!解得３c２＝错误!bc，∴错误!＝6．故选Ａ．]４．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,２b＝错误!a，则cos A＝________.错误![由B＝C,２b＝错误!a，可得b＝c＝错误!a，所以cos A＝错误!＝错误!＝错误!.]５．在△ABC中，A＋C＝２B，a＋c＝8，ac＝１５，求b.[解] 在△ABC中，∵A＋C＝２B，A＋B＋C＝１80°，∴B＝60°.由余弦定理，得b２＝a２＋c２—２ac cos B＝（a＋c）２—２ac—２ac cos B＝8２—２×１５—２×１５×错误!＝１9．∴b＝错误!.。

[课题] 1.1.1余弦定理(1)[知识摘记]1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，2b = ，2c =(2) 变形：bc2a c b A cos 222-+=，cos B = ，cos C = 2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．[例题解析]例1.在ABC ∆中，（1）已知3b =，1c =，060A =，求a ；（2）已知4a =，5b =，6=c ，求cos A ．例2. ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m = 063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．练习：在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小．[课外作业]1．在△ABC 中，若bc c b a ++=222，则∠A=2．三角形三边的比为4:3:2，则三角形的形状为3．在△ABC 中，31cos =A ，3=a ，则bc 的最大值为 4．在△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，当ac b c a +≥+222时，角B 的取值范围为5．ABC ∆中，若（6:5:4)(:)(:)=+++b a a c c b ，则ABC ∆的最小内角为（精确到10）6．在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则B 的余弦值为 。

7．△ABC 中，BC=10，周长为25，则cosA 的最小值是 。

8．在△ABC 中，已知A B C >>，且C A 2=，b=4，a +c =8,求a ，c 的长。

9．如图：在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=060，∠BCD=0135，求BC 的长。

总 课 题解三角形 总课时 第 4 课时 分 课 题 余弦定理（二） 分课时 第 2 课时 教学目标 初步运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 重点难点 熟练运用余弦定理．引入新课1．在ABC ∆中，5=AB ，7=AC ，8=BC ，则=•BC AB ____________________．2．已知C a b sin =，B a c cos =，则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．若钝角三角形的边长为连续自然数n ，1+n ，2+n ，则三边长为（ ）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．4，5，64．在ABC ∆中，已知7=a ，8=b ，1413cos =C ，则最大角的余弦值是_____________． 5．在ABC ∆中，a b 2=，︒=45C ，且ABC ∆的外接圆半径2=R ，则=a _______． 例题剖析例1 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状．AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+=．例3 为了测量学校操场四边形ABCD 的周长和面积，在操场中间取一点O ，测得m OA 40=，m OB 37=，m OC 42=，m OD 44=，且︒=∠120DOA ，︒=∠60AOB ，︒=∠45BOC ，︒=∠135COD ．（1）试求四边形的周长；（2）试求四边形的面积．例2巩固练习1．在ABC ∆中，若4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则=C cos ___________________．2．在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，︒=60C ，试证明此三角形为锐角三角形．3．在ABC ∆中，设a CB =，b AC =，且2||=a ，3||=b ，3-=•b a ，求AB ．课堂小结熟练运用余弦定理．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．在ABC ∆中，已知B a c cos 2=，试判断ABC ∆的形状．2．用余弦定理证明：在ABC ∆中，（1）B c C b a cos cos +=；（2）C a A c b cos cos +=；（3）A b B a c cos cos +=．3．在ABC ∆中，已知c b a +=2，C B A sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状．4．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于C ，D ，已知ACD ∆为边长等于a 的正三角形．当目标出现于B 时，测得︒=∠45CDB ，︒=∠75BCD ，试求炮击目标的距离AB ．二 提高题5．在ABC ∆中，若)())((c b b c a c a -=-+且C B A cos sin 2sin =，求证ABC ∆是等边三角形．A CB D6．在ABC ∆中，若︒=60A ，3=a ，3=+c b ，求ABC ∆的面积．7．在四边形ABCD 中，1=BC ，2=DC ，四个内角D C B A ，，，的度数之比为10:4:7:3．求（1）BD 的长； （2）AB 的长．三 能力题8．证明：在ABC ∆中，222sin )sin(c b a C B A -=-．。

§1.2 余弦定理情景引入我们在社会生活中经常会遇到一些工人在开山、凿路、铺桥等，由于某些实际情况不好去直接测量，如开隧道，想知道隧道的长度；如铺桥，河很宽又要知道桥的长度，等等．就象隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A ，量出A 到山脚B 、C 两点间的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC （即线段BC ）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC ．知识技能详解知识点1 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- 余弦定理的推论：222os 2b c a c A bc +-=，222cos 2c a b B ac+-=，222cos 2a b c C ab +-= 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角． 温馨提示：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 知识点2 余弦定理的证明教材中给出了用向量证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的作用，另外，还可以用解析法、三角法等证明余弦定理．证明1：如图1-2-1，以A 点为原点，以△ABC 的边AB 所在直线为x 轴，以过A 与AB 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则(0,0)A ，(cos ,sin )C b A b A ，(,0)B c ，由两点间的距离公式得222(cos )(sin 0)BC b A c b A =-+-，222222cos 2cos sin a b A bc A c b A =-++即2222cos a b c bc A =+-同理可证2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- 证明2：如图1-2-2，当△ABC 为锐角三角形时，过C 作CD AB ⊥于D ，则sin CD b A =，cos BD AB AD c b A =-=- 在Rt △BCD 中，由勾股定理得222BC CD BD =+即2222sin (cos )a b A c b A =+-整理得2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b ac ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- A BD C b a c 1-2-1当△ABC 为钝角三角形时，如图1-2-3,sin CD b A =，cos BD b A c =-在Rt △BCD 中，由勾股定理得222BC CD BD =+ 2222(cos )a b sin A b A c =+-，即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-证明3：由正弦定理，得2sin 2sin()a R A R B C ==+，∴2224sin ()a R B C =+224(sin R B =2cos C 22cos sin 2sin sin cos cos )B C B C B C ++24R =2222sin (1sin )(1sin )sin 2sin sin cos cos B C B C B C B C ⎡⎤-+-+⎣⎦2224sin sin 2sin sin cos()R B C B C B C ⎡⎤=+++⎣⎦ 22224sin 4sin R B R C =+2(2sin )(2sin )cos R B R C A -222cos b c bc A =+-，同理可证：2222cos ,b a c ac B =+-2222cos c b a ba C =+-方法点拨：对于余弦定理的证明方法可以由正弦定理的证明来类比，由正弦定理的证明思路（通过向量）来推导出余弦定理的证明，其中关键是如何将向量等式BC BA AC =+ 转化为数量关系，实际上除了向量方法以外，我们还有好多种方法，如以上的几种方法，所以在解决问题的时候要多注意方法和思路的总结． 知识点3 利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角．例如：在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c a c b a +++=，求ABC ∆的最大内角．解：设4b c k +=，5a c k +=，6b a k +=(0)k >，则7.5a b c k ++=，解的 3.5a k =，2.5b k =， 1.5c k =所以a 是最大的边，即角A 是ABC ∆的最大角．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==- ，000180A << ，0120A ∴=即最大角为0120． 温馨提示：(1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．(2)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的． 知识点4 利用余弦定理判断三角形的形状．利用余弦定理可以确定三角形每个内角的范围，因此很快就能判断三角形是锐角三角形或是直角三角形或是钝角三角形．在判断的过程中我们一般先找到最大角，（即最大边所对应的角），再判断这个最大角AB DC b ac 1-2-3是锐角，直角还是钝角．例如：在ABC ∆中，已知7a =，10b =，6c =，判断ABC ∆的形状．解：因为ABC ∆中最大边为b ，所以我们先确定角B 的范围，由余弦定理2225cos 228a cb B ac +-==-可知：在ABC ∆中，000180B <<；0090180B <<，所以ABC ∆为钝角三角形． 规律总结：（1）由余弦定理还可以推得：若222a b c +>，C 为锐角，若222a b c +<，C 为锐角．这是判断三角形形状的方法之一．（2）在2222cos c a b ab C =+-中，若090C =，则222c a b =+，所以勾股定理可以看成是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广． 知识点5 三角形中最值的求法解决三角形中的有关最值问题的关键在于：利用正弦定理或余弦定理，三角恒等变换思想将有关问题转化为某一个角的三角函数，或某一边的函数，进而求出其最值．例如：已知圆O 的半径为R ，它的内接△ABC 满足222(sin sin )R A C -)sin b B =-，求△ABC 面积的最大值．分析：先可将已知等式转化为边的关系式，再由边的关系式的结构特征联想到正余弦定理可求角C ，最后利用三角函数的有界性确定面积的最大值．解：利用正弦定理可将已知等式变为22)a c b b -=-即222a b c +-=∴222cos 2a b c C ab +-== ∴4C π=∴1sin 2S ab C = 12sin 2sin 2R A R B =⋅⋅2sin sin A B =2[cos()]22R A B =----∴当A ＝B 时，S 有最大值212R +． 警示区：在运用正、余弦定理求解最值问题时，有时要注意三角函数的有界性，否则会导致范围的变化；有时还要用到函数的单调性、不等式的基本性质等． 知识点6 余弦定理的综合应用把余弦定理与正弦定理、三角形的面积相结合可解决三角形、四边形中的证明和计算问题．技能应用导引题型一：余弦定理的简单应用1．解三角形例1 在△ABC 中，已知2,22,15a b C ===︒，求角A 、B 和边c 的值． 【分析】：由条件角C 为边a ，b 的夹角，故应由余弦定理来求c 的值．【解】62cos15cos(4530)4+︒=︒-︒=由余弦定理知，2222cos c a b ab C =+-4822(62)=+-⨯+843=-∴2843(62)62c =-=-=- 由正弦定理得sin sin a c A C= sin sin a C A c =sin15a c ︒=62214262-⨯==- ∵b a > ∴A 为锐角 ∴30A =︒ ∴180135B A C =︒--=︒【评注】利用余弦定理可以解决两类解斜三角形的问题：⑴已知三边，求三个角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 变式练习1. 在△ABC 中，已知20,10,45a b C ===︒，解三角形（边长精确到1，角度精确到1︒）．变式练习2．在ABC ∆中，已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．例2、在四边形ABCD 中，,2BC a DC a ==，四个角A 、B 、C 、D 的度数的比为3:7:4:10，求AB 的长．【分析】如图1-2-4，要求AB 的长，需把AB 放到三角形中处理，为此连结BD ，由题设可求出角A 、B 、C 、D 的值，在△BCD 中，由余弦定理可求出BD ，进而解△BCD ，求AB ．【解】设四个角A 、B 、C 、D 的度数分别为3,7,4,10(0)x x x x x >，则由四边形的内角和定理，有37410360x x x x +++=︒，解得15x =︒．∴45A =︒，105ABC ∠=︒，60C =︒，150ADC ∠=︒ 连结BD ，在△BCD 中，由余弦定理，得 2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅222142232a a a a a =+-⋅⋅= ∴3BD a = 此时，222BC BD CD +=，∴△CBD 为直角三角形，90CBD ∠=︒，30BDC ∠=︒在△ABD 中，45A =︒，120ADB ∠=︒由正弦定理知sin sin AB BD ADB A =∠，sin 32sin 2BD ADB AB a A ∠== ∴AB 322a ABCD 1-2-4【反思】本题要求在四边形ABCD 中求边AB 的长，需构建三角形，通过解三角形解决，本题中求ADB ∠的度数是关键，要善于挖掘隐含条件222BC BD CD +=，如果不能发现这一条件，也可通过余弦定理求出BDC ∠的度数． 变式练习3．在四边形ABDC 中，3CD =，75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，求AB 的长．变式练习4．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，求a.例3．在△ABC 中，A 最大，C 最小，且2A C =，2a c b +=，求此三角形三边之比．【分析】要求三边之比，已知角A 与角C 的关系，可由正弦定理求cos 2a C c=，再由余弦定理得出a 、b 、c 的关系，结合2a c b +=的条件，使问题解决．【解】在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a c A C =，sin 2cos sin a A C c C ==，即cos 2a C c= 由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-= ∵2b a c =+ ∴2221()4222a c a c a a c c a -++=+⋅ 整理得，222530a ac c -+=，解得a c =或32a c = ∵A C > ∴a c >，∴a c =不合题意．当32a c =时，15()24b ac c =+= ∴35::::6:5:424a b c c c c == 故此三角形的三边之比为6:5:4 【评注】在应用正、余弦定理解三角形时，常用到三角函数的有关公式，体现了它们之间的联系，本题中通过解方程求a 、c 的关系，体现了余弦定理与方程的联系．变式练习５．已知三角形的三边长为三个连续自然数，且最大角为钝角，求三边的长．变式练习６．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0，求这个三角形的最大内角．2．判断三角形的形状例4 在△ABC 中，已知7,10,6a b c ===，判断ABC 的形状．【分析】△ABC 的最大边由b 和角B 的范围决定，故问题转化为求角B 的范围．【解】由余弦定理知222cos 2c a b B ac+-=2227610276+-=⨯⨯528=-在△ABC 中，0180B ︒<<︒∴90180B ︒<<︒ ∴△ABC 为钝角三角形． 【评注】对于判断三角形的形状，一般从两个方面：一是角化边，通过余弦定理来判断；二是边化角，结合三角形的内角和定理，判断其中的最大角。

1．2 余弦定理(1)1.掌握余弦定理及其证明方法．2.会用余弦定理解决两类问题：“已知三边”“已知两边夹角”解三角形．3．会用余弦定理判断三角形的形状．, [学生用书P6])1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．3．运用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题 (1)已知三边，求三角．(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．1．判断下列关于余弦定理的命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．( ) (2)在△ABC 中，若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 一定为钝角三角形．( ) (3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．( )解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形． (2)正确．当a 2＞b 2＋c 2时，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0.因为0＜A ＜π，故A 一定为钝角，则△ABC 为钝角三角形．(3)错误．当△ABC 已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC 唯一确定．★答案★：(1)√ (2)√ (3)×2．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为________．解析：设三角形的另一边长为c .由余弦定理得：c ＝52＋32－2×5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝52＝213. ★答案★：2133．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 的形状是________． 解析：因为a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，所以a ×b 2＋c 2－a 22bc ＋b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝c ×a 2＋b 2－c 22ab ，整理得c 4－（a 2－b 2）22abc＝0，即（c 2＋a 2－b 2）（c 2－a 2＋b 2）2abc＝0，所以b 2＝a 2＋c 2或a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形． ★答案★：直角三角形已知两边与一角解三角形[学生用书P6](1)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝________． (2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．【解析】 (1)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC 2－2×5×BC ×910，所以BC 2－9BC ＋20＝0， 解得BC ＝4或5.【★答案★】 (1)1 (2)4或5已知两边与一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理或余弦定理求解．1.在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．解析：法一：在△ABC 中，根据余弦定理， 即BC 2＝AB 2＋AC 2－2×AB ×AC ×cos 60°， 得(3)2＝AB 2＋22－2AB ×2×cos 60°， 整理得AB 2－2AB ＋1＝0， 解得AB ＝1.法二：在△ABC 中，根据正弦定理， 得AC sin B ＝BC sin A ，即2sin B ＝3sin 60°， 解得sin B ＝1，因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝90°，所以AB ＝22－（3）2＝1. ★答案★：1已知三边(三边关系)解三角形[学生用书P6]在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求各角的度数． 【解】 由已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， 令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)． 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋（3＋1）2k 2－4k 22×6k ×（3＋1）k ＝22，所以A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝4k 2＋（3＋1）2k 2－6k 22×2k ×（3＋1）k＝12， 所以B ＝60°.所以C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．2.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角大小为______．解析：因为c <b <a . 所以最小角为C .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32，所以C ＝π6.★答案★：π6判断三角形的形状[学生用书P7]在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．【解】 法一：(化角为边)由正弦定理，得sin C sin B ＝cb ，又2cos A sin B ＝sin C ， 所以cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，得b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2b，即b 2＋c 2－a 2＝c 2，所以b 2＝a 2，所以a ＝b .又(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 由a ＝b ，得4b 2－c 2＝3b 2，所以b 2＝c 2，所以b ＝c ， 所以a ＝b ＝c .故△ABC 是等边三角形．法二：(化边为角)由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，所以C ＝60°.又2cos A sin B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，所以A ＝B ，所以A ＝B ＝C ＝60°， 所以△ABC 是等边三角形.将本例中已知条件改为“若cos 2A 2＝b ＋c2c”，试判断△ABC 的形状．解：法一：在△ABC 中，由cos 2A 2＝b ＋c 2c ，得1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，所以cos A ＝bc ，由余弦定理，b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 是直角三角形． 法二：在△ABC 中，设其外接圆半径为R ， 由正弦定理得，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 由cos 2 A 2＝b ＋c 2c ，得cos A ＝bc ，所以cos A ＝sin Bsin C ，sin B ＝sin C cos A ，又因为B ＝π－(A ＋C )，sin(A ＋C )＝sin C cos A ， 所以sin A cos C ＝0，又A ，C 是三角形的内角，所以cos C ＝0，C ＝π2，△ABC 为直角三角形．判断三角形形状的常用方法：①由正、余弦定理化角为边，利用代数运算求出三边的关系；②由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和定理得到内角的关系，从而判断三角形的形状．3.在△ABC 中，若(a －c cos B )sin B ＝(b －c cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状．解：法一：由正弦定理及余弦定理， 知原等式可化为⎝⎛⎭⎫a －c a 2＋c 2－b 22ac b ＝⎝⎛⎭⎫b －c b 2＋c 2－a 22bc a ，整理，得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0.所以a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理，原等式可化为(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ， 所以sin B cos B ＝sin A cos A ， 所以sin 2B ＝sin 2A ，所以2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π， 所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．对余弦定理的理解(1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可做到知三求一．(4)定理特例：当夹角为90°时(例如C ＝90°)，则定理变为c 2＝a 2＋b 2.这就是直角三角形中的勾股定理．余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．2．利用余弦定理解三角形的注意点余弦定理中边长是平方的关系，因此，利用余弦定理求边长，实质是解一元二次方程，如已知a ，b ，A ，由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，则边长c 的值即为方程的根，由于根的个数不确定，解题时，应根据已知条件对方程的根进行取舍．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，则A ＝________． [解析] 由余弦定理， 得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－4 3. 所以c ＝6－2，又由正弦定理得 sin A ＝a sin C c ＝12，又因为b >a ，所以B >A .又因为0°<A <180°， 所以A ＝30°. [★答案★] 30°(1)此题要注意到已知条件b ＝22>a ＝2，这一隐含条件，如果忽略了这一条件，会出现在求得sin A ＝12时，得到A ＝30°或150°，这样就出现了150°这一增解导致不得分．(2)在利用正、余弦定理解三角形时，一定要准确分析题中的已知条件和求解的关系，挖掘其中的隐含条件，防止出现漏解或增解．1．在△ABC 中，a ＝1，c ＝2，B ＝60°，则b ＝________．解析：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2＝3，所以b ＝ 3. ★答案★： 32．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝________．解析：由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去. ★答案★：33．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.★答案★：1534, [学生用书P73(单独成册)])[A 基础达标]1．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是________． 解析：设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求． ★答案★：120°2．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝63，A ＝30°，则c ＝________．解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－18c ＋72＝0，从而c ＝6或12. ★答案★：6或123．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________．解析：由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.★答案★：2π34．在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝__________．解析：在△ABC 中，∠A ＝2π3， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .因为a ＝3c ，所以3c 2＝b 2＋c 2＋bc ， 所以b 2＋bc －2c 2＝0， 所以(b ＋2c )(b －c )＝0， 所以b －c ＝0，所以b ＝c ， 所以bc＝1.★答案★：15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为________．解析：由3a cos C ＝4c sin A ，得a sin A ＝4c 3cos C .又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c sin C ＝4c3cos C ⇒tan C ＝34.由S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4⇒c sin A ＝5.由tan C ＝34⇒sin C ＝35.又根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253. ★答案★：2536．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________．解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a＝34.★答案★：347．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a 2＝b 2＋14c 2，则a cos Bc 的值为________．解析：因为a 2＝b 2＋14c 2，所以b 2＝a 2－14c 2.所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫a 2－14c 22ac ＝5c 8a .所以a cos Bc ＝a ·5c 8a c ＝58.★答案★：588．在△ABC 中，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状是________三角形．解析：由余弦定理，可得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ，即a 2＋c 2－b 2＝b 2＋c 2－a 2，从而a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．★答案★：等腰9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan C ＝37. (1)求cos C ；(2)若CB →·CA →＝52，且a ＋b ＝9，求c .解：(1)因为tan C ＝37，所以sin Ccos C ＝37. 又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18.因为tan C >0，所以C 是锐角．所以cos C ＝18.(2)因为CB →·CA →＝52，所以ab ·cos C ＝52.所以ab ＝20.又因为a ＋b ＝9，所以a 2＋2ab ＋b 2＝81.所以a 2＋b 2＝41.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36.所以c ＝6. 10．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：法一：化角为边．因为b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，所以b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 根据余弦定理的推论可得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab ，即b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝a 2，所以△ABC 为直角三角形． 法二：化边为角．因为b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ， 由正弦定理得sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C ，即sin B sin C ＝cos B cos C ，cos(B ＋C )＝0， 所以B ＋C ＝90°，所以△ABC 为直角三角形．[B 能力提升]1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，当a 2＋c 2≥b 2＋ac 时，角B 的取值范围为________．解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥12，又B ∈(0，π)，故B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. ★答案★：⎝⎛⎦⎤0，π3 2．在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，那么a ，b ，c 的关系是________．解析：cos 2C 2＝1＋cos C 2，cos 2A 2＝1＋cos A2，代入已知等式得：a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝3b ，所以a ＋c ＋a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ，整理得a ＋c ＝2b .★答案★：a ＋c ＝2b3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是__________．解析：因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，所以bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)．同理ac cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)，ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612.★答案★：6124．(选做题)在△ABC 中，已知AB ＝463，cos ∠ABC ＝66，AC 边上的中线BD ＝5，求sin A 的值．解：如图，设E 为BC 的中点，连结DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，cos ∠BED ＝－cos ∠ABC (∠BED 与∠ABC 互补)．设BE ＝x ，在△BDE 中，利用余弦定理得： BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED ·cos ∠BED ， 即5＝x 2＋83－2x ·263·⎝⎛⎭⎫－66， 解得：x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝283，即AC ＝2213.又sin ∠ABC ＝306， 故2sin A ＝2213306，所以sin A ＝7014.。

正、余弦定理应用举例高考连线本部分内容主要考查同学们对基础知识的掌握程度和灵活应用能力．考查主要以应用正弦定理、余弦定理解决实际问题、求值、证明三角恒等式等为主，兼顾三角恒等变换能力、运算能力及转化的数学思想．高考金题精析例1（2006上海高考）如图1，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1°）？解：如图1所示，在ABC △中，20AB =，10AC =，120BAC ∠=°．由余弦定理知2222212cos1202010220107002BC AB AC AB AC ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭·，∴107BC =． 由正弦定理得sin sin AB BC ACB BAC=∠∠， ∴21sin sin sin120107AB ACB BAC BC ∠=∠==°． ∴41ACB ∠≈°．∴乙船应沿北偏东304171+=°°°的方向沿直线前往B 处救援．评析：在解决与三角形有关的实际应用问题时，应深刻理解一些有关名词、术语的含义，如方位角、仰角、俯角等，并能准确的与题目中相关知识结合，进行准确的定位．例2（2005年全国卷Ⅱ）ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2b ac =，3cos 4B =． （1）求11tan tan A C+的值； （2）设32BA BC =u u u r u u u r ·，求a c +的值． 解：（1）由3cos 4B =，得7sin B =． 由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =．故11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin A C C A C A A C A C A C ++=+=22sin()sin 147sin sin sin 7A C B B B B +====； （2）由32BA BC =u u u ru u u r ·，得3cos 2ca B =． 把3cos 4B =代入上式，得2ac =，即22b =． 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得225a c +=，∴222()2549a c a c ac +=++=+=，∴3a c +=．评析：本题是正、余弦定理与平面向量等知识的交汇题，是高考命题的热点题型． 例3 （2006江西高考题）如图2，已知ABC △是边长为1的正三角形，M N ，分别是边AB AC ，上的点，线段MN 经过ABC △的中心G ．设π2π33MGA αα⎛⎫∠= ⎪⎝⎭≤≤． （1）试将AGM AGN ，△△的面积（分别记为1S 与2S ）表示为α的函数；（2）求221211y S S =+的最大值和最小值． 解：（1）因为G 为边长为1的正三角形ABC 的中心，所以2333AG =⨯=，π6MAG ∠=． 由正弦定理ππsin sin 66GM GA α=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，得36sin 6GM α=+ ⎪⎝⎭， 则11sin sin π212sin 6S GM GA ααα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭·． 又ππsin sin 66GN GA α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，得36sin 6GN α=- ⎪⎝⎭， 则21sin sin(π)π212sin 6S GN GA ααα=-=⎛⎫- ⎪⎝⎭·； （2）222221211144ππsin sin sin 66y S S ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦21722sin α⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭．因为π2π33α≤≤，所以当π3α=或2π3时，y的最大值为240；当π2α=时，y取得最小值216．评析：可以将平面几何的计算问题化归到三角形中，利用正弦定理、余弦定理以及面积公式等基本知识转化为方程或函数问题来处理．问题求解建模帮忙数学建模思想：就是从实际问题出发，经过抽象概括，把实际问题转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，最后还原成实际问题的解．那么在解题中建模思想是如何表现的呢？下面结合例题给大家具体的讲解一下，以帮助同学们更好的体会．例1现从雷达发现一艘船装有走私物品，海关缉私队立即由A港口乘快艇出发追击此船，若快艇在A处时，观测到该船在北偏西15°的B处，A B，间的距离为100海里，且走私船以每小时40海里的速度沿东北方向行驶，快艇的速度可达每小时60海里，问快艇沿什么方向追击，才能尽快追上走私船？用去多少时间？分析：读完题之后，我们知道解决此问题的关键是如何把它转化成数学问题，即建立数学模型．为此，我们可以分四步来进行：一是分析问题，首先确立两船的相对位置及走私船的航向，确定最短追击路线（形成三角形时追击的时间最短）；二是对实际问题抽象概括，得到三角形模型，并找到相应的边角关系；三是对得到的三角形模型求解；四是把得到的模型的解还原成实际问题的解，即解决问题．根据以上分析，我们首先作出示意图，利用图形把它转化为数学问题．解：如图1所示，设t小时后快艇追上走私船，则40BC t=，60AC t=．由余弦定理，得222(60)100(40)210040cos120t t t=+-⨯⨯°，化简、整理，得2250t t--=，解得16t=±．由实际问题我们知道16t=-不符合题意，故舍去．因此，我们可以得出16 3.45t=+≈（小时）．再由正弦定理，得sin 40sin1203sin 60BC B t A AC t ===°， 查表可知35.3A ≈°．所以快艇应沿北偏东20.3°，才能尽快追上走私船，用去约3.45小时．提示：正弦定理与余弦定理的应用过程其实就是建模的过程．因此，我们不但要学会定理本身，还要有较强的建模能力，即有一双学数学人特有的眼睛，能从各种复杂的实际情况中看出或“抽”出它们之间的数量关系，进而建立相应的数学模型，用学过的数学知识求解，最后得出解决实际问题的方法．下面我们试着用这种思路来解决另一个实际问题吧． 例2 在相距3400m 的A B ，两监测所中，听到同一爆炸声的时间差为6s ，且B 处的声强是A 处声强的4倍，声强与距离的平方成反比，求爆炸点到两监测所中点的距离．分析：题中涉及了两个监测所和爆炸点，我们可把它们分别看成一个点，从中抽象出三角形模型，这样所求就转化成了求三角形的一条中线的长．解：如图2，记爆炸点为P ，建立如图所示的三角形，Q 为AB 的中点．根据声强与距离的平方成反比，可得2AP BP =， ①又根据时间差及声音的传播速度，可得6340AP BP -=⨯（m ）．②联立①、②解得4080AP =（m ），2040BP =（m ）．在ABP △中，由余弦定理，得22222240803400204013cos 224080340015AP AB PBPAB AP AB +-+-∠===⨯⨯． 在AQP △中，由余弦定理，得222cos PQ AP AQ AP AQ PAQ =+-∠ 221340801700240801700274115=+-⨯⨯⨯≈（ｍ）． 即爆炸点到两监测所中点的距离约为2741m ．点评：从实际问题出发，构建数学模型，加以探讨研究，得出有助于解决实际问题的答案，这既是学习数学的目的，又是建模思想的具体体现．此外，我们还要了解和掌握一些生活常识，如声音在空气中的传播速度为340m/s ，光的速度为8310⨯m/s ，这在解决一些与之相关的实际问题中有着重要应用．。

余弦定理第一课时余弦定理[新知初探]1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C.[点睛]注意公式中边角的对应，注意公式中加减号．2．余弦定理的变形：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝c2＋a2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.[小试身手]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝3，B＝60°.则b＝________.解析：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以b＝7.答案：72．在△ABC中，若a＝b＝1，c＝3，则角C＝________.解析：由cos C＝a2＋b2－c22ab得cos C＝－12，所以C＝2π3.答案：2π33．在△ABC中，已知23ab sin C＝a2＋b2－c2，则C＝________.解析：由23ab sin C＝a2＋b2－c2得23sin C＝a2＋b2－c2ab，由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab，所以3sin C＝cos C，即tan C＝33，在△ABC中，0<C<π，所以C＝π6.答案：π64．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝1 4.则边c的长度为________．解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B得16＝a2＋4a2－4a2×14，所以a＝2，c＝4.答案：4[典例]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝7，b＝5，c＝3，求△ABC的内角中最大的角．[解]∵a>b>c，∴A最大．cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋32－722×5×3＝－12.又∵0°<A<180°，∴A＝120°.[活学活用]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________.解析：由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵0°<B<180°，∴B＝150°.答案：150°2．在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，则A＝________. 解析：∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k>0)．由余弦定理的变形得，cos A＝b2＋c2－a22bc＝6k2＋(3＋1)2k2－4k22×6k×(3＋1)k＝22.∴A＝45°.答案：45°[典例][解]法一：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B．∴2＝3＋c2－23·22c. 即c2－6c＋1＝0.解得c＝6＋22或c＝6－22，当c＝6＋22时，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°<A <180°，∴A ＝120°，C ＝15°. 故c ＝6＋22，A ＝60°，C ＝75° 或c ＝6－22，A ＝120°，C ＝15°. 法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B得， sin A ＝a sin B b ＝3·sin 45°2＝32.又∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，得C ＝75°. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3＋2－2×6×6－24＝2＋3， ∴c ＝2＋3＝6＋22. 或用正弦定理求边c ，由c sin C ＝bsin B 得c ＝b sin C sin B ＝2·sin 75°sin 45°＝2×6＋2422＝6＋22.当A ＝120°时，得C ＝15°，同理可求c ＝6－22， 故A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22， 或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.[活学活用]1．在△ABC 中，已知a ＝8，b ＝7，B ＝60°，则c ＝________. 解析：由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即72＝82＋c 2－16c cos 60°.即c 2－8c ＋15＝0. 解得c ＝3或c ＝5. 答案：3或52．在△ABC 中，B ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin A ＝________.解析：由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC ＝ 5.再由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A， 所以sin A ＝BC ·sin B AC ＝3×225＝31010.答案：31010题点一：利用余弦定理实现角化边1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 解析：由余弦定理得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a ＝2b ，即ab＝2. 答案：2题点二：利用余弦定理实现边化角2．在△ABC 中，若lg(a ＋c )＋lg(a －c )＝lg b －lg 1b ＋c ，则A ＝________.解析：由题意可知lg(a ＋c )(a －c )＝lg b (b ＋c )， 所以(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )．即b 2＋c 2－a 2＝－bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又0°<A <180°，所以A ＝120°. 答案：120°层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝________.解析：由a 2－c 2＋b 2＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°.答案：30°2．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由余弦定理 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得， 3＝a 2＋1－2a ×1×cos 2π3， 即a 2＋a －2＝0.解得a ＝1或a ＝－2(舍去)． ∴a ＝1. 答案：13．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，整理得15b －60＝0，所以b ＝4. 答案：44．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角的大小为________． 解析：∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，∴C ＝π6. 答案：π65．已知在△ABC 中，b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B ＝________.解析：∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.答案：346．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 的形状是________．解析：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故令a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又因为C ∈(0，π)，所以，C ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以△ABC 为钝角三角形．答案：钝角三角形7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.解析：由已知得3b cos A ＝a cos C ＋c cos A ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b .∴cos A ＝b 3b ＝33. 答案：338．在△ABC 中，下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为120°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的为________(填序号)．解析：①中，a 2>b 2＋c 2可推出cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形；②中，由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知，cos A ＝－bc 2bc ＝－12，∴A 为120°；③中a 2＋b 2>c 2可推出C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形；所以①②正确，③错误．答案：①②9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求边 长a .解：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又因为a ＋c ＝4，b ＝13，所以ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.所以a 等于1或3.10．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c .解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.层级二 应试能力达标1．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，则角C 的大小为________．解析：∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴cos C ＝12，∴C ＝60°.答案：60°2．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c 的长为________．解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.答案：193．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．解析：设边长为7的边所对角为θ，根据大边对大角，可得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，∴180°－60°＝120°， ∴最大角与最小角之和为120°. 答案：120°4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为________． 解析：由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－(13)22×3×4＝12，所以sin A ＝32.则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332. 答案：3325．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43. 答案：436．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(5t )2＋(3t )2－(7t )22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.答案：2π37．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝2，a cos B －b cos A ＝72.(1)求b cos A 的值；(2)若a ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)∵a cos B －b cos A ＝72，根据余弦定理得，a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝72，∴2a 2－2b 2＝7c ，又∵c ＝2，∴a 2－b 2＝7， ∴b cos A ＝b 2＋c 2－a 22c ＝－34.(2)由a cos B －b cos A ＝72及b cos A ＝－34，得a cos B ＝114.又∵a ＝4，∴cos B ＝1116，∴sin B ＝1－cos 2B ＝31516， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3154.8．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求边AB 的长； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值． 解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A， 即AB ＝sin C ·BCsin A ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.故sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.第二课时 余弦定理的应用(习题课)[典例] 地平面上有一旗杆OP ，为了测量它的高度，在地平面上取一基线AB ＝40 m ，在A 处测得P 点的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度(精确到0.1 m)[解] 如图所示，设OP ＝x m ，在△AOP 中，∵∠POA ＝90°，∠OAP ＝30°，∴AO ＝3x . 在△BOP 中，∵∠POB ＝90°，∠OBP ＝45°，∴BO ＝x . 在△AOB 中，∠AOB ＝60°，AB ＝40， ∴AB 2＝AO 2＋BO 2－2AO ·BO cos ∠AOB ， 即1 600＝3x 2＋x 2－23x ×x ×12，∴x 2＝1 6004－3，∴x ＝40 4＋313≈26.6(m)．因此旗杆高约为26.6 m.[活学活用]1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A ，B ，C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°.在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4032．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．解析：因为 cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝800＋100－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为485海里/小时．答案：485[典例] 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132，且AD ＝BD ，求△ABC 的面积．[解] 设CD ＝x ， 则AD ＝BD ＝5－x ，在△CAD 中，由余弦定理，得 cos ∠CAD ＝(5－x )2＋42－x 22×4×(5－x )＝3132.解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理，得AD sin C ＝CDsin ∠CAD ，∴sin C ＝ADCD·1－cos 2∠CAD ＝41－⎝⎛⎭⎫31322＝378，∴S △CAB ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×378＝1574. 故三角形ABC 的面积为1574.已知梯形ABCD 的上底AD 长为1 cm ，下底BC 长为4 cm ，对角线AC 长为4 cm ，BD 长为3 cm ，求cos ∠DBC 及梯形ABCD 的面积．解：过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则在△DBE 中，DE ＝AC＝4，BE ＝5，所以，由余弦定理得 cos ∠DBC ＝32＋52－422×3×5＝35.因为0°<∠DBC <180°，所以sin ∠DBC ＝45，sin ∠ADB ＝45，S 梯形ABCD ＝S △ABD ＋S △DBC ＝12AD ·BD ·sin ∠ADB ＋12DB ·BC ·sin ∠DBC ＝6.[典例] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2(B ＋C )>sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________．[解析] 由题意得sin 2A >sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2>b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2<0. ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，∴A 为钝角，即三角形为钝角三角形．[答案] 钝角三角形[一题多变]1．[变条件]本例的条件变为：若2sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 的形状为________． 解析：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin (A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，即△ABC 是等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .即△ABC 是等腰三角形．答案：等腰三角形2．[变条件]本例的条件变为：若2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．且sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，所以sin B ＝sin C ＝12.因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形．层级一 学业水平达标1．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________．解析：因为a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，所以A 为锐角，又因为a >b >c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.答案：⎝⎛⎭⎫π3，π2 2．在△ABC 中，abc a 2＋b 2＋c 2⎝⎛⎭⎫cos A a＋cos B b ＋cos C c ＝________. 解析：原式＝abca 2＋b 2＋c 2·bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C abc ＝bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ×a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ×a 2＋b 2－c 22ab a 2＋b 2＋c 2＝12. 答案：123．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，经测量，∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为______ km.解析：AC 2＝102＋202－2×10×20×cos 120°， ∴AC ＝107. 答案：1074．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 解析：由题意，根据正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ⇒b 2＋c 2－a 2≥bc ⇒b 2＋c 2－a 2bc≥1⇒cosA ≥12⇒0<A ≤π3.答案：⎝⎛⎦⎤0，π3 5．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.解析：用余弦定理求得：AB 2＝ BD 2＋AD 2－2AD ·BD cos 135°， AC 2＝CD 2＋AD 2－2AD ·CD cos 45°，即AB 2＝BD 2＋2＋2BD ， ① AC 2＝CD 2＋2－2CD ， ②又BC ＝3BD ，∴CD ＝2BD . ∴AC 2＝4BD 2＋2－4BD .③又AC ＝2AB ，∴由③得2AB 2＝4BD 2＋2－4BD . ④④－2×①得，BD 2－4BD －1＝0. ∴BD ＝2＋ 5. 答案：2＋ 56．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________ km/h.解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：6 27．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°.∴AD ＝AB sin B ＝ 3. 答案： 38．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为________小时．解析：如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝514时，DC 2最小，DC 最小，此时它们所航行的时间为514小时． 答案：5149．要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°得在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°， 则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°， 即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°， 解得x ＝40，所以电视塔高为40米．10．在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC的形状．解：在△ABC 中，由已知cos 2A 2＝b ＋c 2c 得1＋cos A 2＝b ＋c2c ，∴cos A ＝bc .根据余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，若CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AB 边的中线长________． 解析：如图所示，在△ABC 中，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC＝81＋64－492×9×8＝23， ∴CD 2＝AD 2＋AC 2－2×AD ×AC cos A ＝⎝⎛⎭⎫922＋82－2×92×8×23＝1454. ∴中线CD 的长为1452. 答案：14522．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，且AC ＝2AB ＝2AD ＝4，则BD ＝________. 解析：如图所示，设BD ＝DC ＝x ，因为∠ADB ＋∠ADC ＝180°，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，又AC ＝2AD ＝2AB ＝4，由余弦定理得x 2＋4－42×2x ＝－4＋x 2－162×2x，解得x ＝6(x ＝－6舍去)．即BD ＝ 6.3．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 答案：10 34．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状是________．解析：∵b 2＝ac ，B ＝60°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________． 解析：a 2＋b 2＝c 2，三边都增加x ，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．答案：锐角三角形6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析：由c 2＝(a －b )2＋6可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6. ① 由余弦定理及C ＝π3可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.答案：3327.如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ， 由正弦定理，得7x sin C ＝8xsin B，∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32. ∴C ＝60°(C ＝120°舍去，由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)． 由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0.∴x ＝3或x ＝5，∴AB ＝21或AB ＝35. 在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ， ∴AD ＝123或AD ＝20 3.8．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连结BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝12sin A (AB ·AD ＋BC ·CD )＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，由余弦定理，得BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin A ＝8 3.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

正弦定理、余弦定理一、知识回顾1.三角形内角和：2.正弦定理： ；变形① ； 变形② ；变形③ .3.余弦定理： ； 变形 .4.三角形面积公式：二、基础练习1.在△ABC 中,AB=4,BC=3,AC=37,则△ABC 中最大角的大小为2.在△ABC 中,BC=3,AC=2,A=3π,则B= 3.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则cosC=4.在△ABC 中,若b=1,c=3,C=32π,则S △ABC = 5.一艘船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°,行驶4h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为 km.6.在△ABC 中, 内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=3π,且△ABC 的面积S=3,求a,b 的值. (2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状.7.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且()C a A c b cos 3cos 32=-. (1)求角A 的大小;(2)若角B=6π,边BC 上的中线AM 的长为7,求△ABC 的面积. 三、巩固练习1.在△ABC 中,若A=60°,B=75°,c=6，则a=2.在△ABC 中,B=6π,AC=1,AB=3,则边BC 的长度为 3.在△ABC 中, A=60°,b=1,3=∆ABC S ,则=++C B c b sin sin 4.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sinA=3sinC,B=30°,b=2,则边c=5.在△ABC 中,若其面积S=()22241a c b -+,则A= 6.在△ABC 中,A=45°,cosB=54. (1)求cosC 的值;(2)若BC=10,D 为AB 的中点,求CD 的长.。