高中数学分章节训练试题：22坐标系与参数方程2

高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。

高三数学章节训练题22 <坐标系与参数方程2>时量：60分钟 总分值：80分 班级||： 姓名： 计分：个人目标：□优秀 (70’~80’ ) □良好 (60’～69’ ) □合格 (50’～59’ ) 一、选择题 (本大题共6小题 ,每题5分 ,总分值30分 ) 1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是 ( )A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是 ( )A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、3．直线12()2x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为 ( )A ．125 BCD4．假设点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上 ,那么PF 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为 ( )A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为 ( ) A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=- 二、填空题 (本大题共5小题 ,每题5分 ,总分值25分 )1．曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和 ,120t t +=且 ,那么MN = .2．直线2()3x t y ⎧=--⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于的点的坐标是 . 3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数 ,那么此圆的半径为 .4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为 . 5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切 ,那么θ= .三、解答题 (本大题共3小题 ,总分值25分 ,第1、2小题各8分 ,第3小题9分 . )1．分别在以下两种情况下 ,把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：(1 )θ为参数 ,t 为常数； (2 )t 为参数 ,θ为常数；2．过点,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ,求PM PN ⋅的最||小值及相应的α的值 .3．曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数 ) , C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数 ) .(1 )化C 1 ,C 2的方程为普通方程 ,并说明它们分别表示什么曲线； (2 )假设C 1上的点P 对应的参数为2t π=,Q 为C 2上的动点 ,求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数 )距离的最||小值 .高三数学章节训练题22 <坐标系与参数方程2>参考答案一、选择题1．D 1xy = ,x 取非零实数 ,而A ,B ,C 中的x 的范围有各自的限制2．B 当0x =时 ,25t =,而12y t =- ,即15y = ,得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时 ,12t = ,而25x t =-+ ,即12x = ,得与x 轴的交点为1(,0)23．B11221x x t y t y ⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩,把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=12125t t -=== ,12t -=4．C 抛物线为24y x = ,准线为1x =- ,PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离 ,即为4 5．Dcos 20,cos 20,4k πρθθθπ===±,为两条相交直线6．A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-= ,cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴 .即x 轴 ,121222MN p t t p t =-= 2．(3,4)-,或(1,2)-22221()),,22t t +===± 3．5 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩得2225x y +=4圆心分别为1(,0)2和1(0,)25．6π ,或56π 直线为tan y x θ= ,圆为22(4)4x y -+= ,作出图形 ,相切时 ,易知倾斜角为6π ,或56π三、解答题1．解： (1 )当0t =时 ,0,cos y x θ== ,即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时 ,cos ,sin 11()()22t tt t x y e e e e θθ--==+-而221x y += ,即2222111()()44tt t t x y e e e e --+=+-(2 )当,k k Z θπ=∈时 ,0y = ,1()2t tx e e -=±+ ,即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时 ,0x = ,1()2t ty e e -=±- ,即0x =；当,2k k Z πθ≠∈时 ,得2cos 2sin t tt t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ,即222cos sin 222cos sin t t x y e x y e θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得222222()()cos sin cos sin ttx y x y e eθθθθ-⋅=+- 即22221cos sin x y θθ-= . 2．解：设直线为cos ()2sin x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数 ,代入曲线并整理得223(1sin ))02t t αα+++=；那么122321sin PM PN t t α⋅==+ 所以当2sin 1α=时 ,即2πα= ,PM PN ⋅的最||小值为34 ,此时2πα= .3解： (Ⅰ )222212:(4)(3)1,:1.649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是 (4,3)- ,半径是1的圆.2C 为中|心是坐标原点 ,焦点在x 轴上 ,长半轴长是8 ,短半轴长是3的椭圆.(Ⅱ )当2t π=时 ,3(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2P Q M θθθθ--++故3C 为直线3270,|4cos 3sin 13|.x y M C d θθ--==--到的距离从而当43cos ,sin 55θθ==-时 ,5d 取得最小值。

第22题 极坐标与参数方程基础知识 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ，y ′＝μ的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径，记为|OM |；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角ρ叫做点M 的极角，记为xOM ．有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：如图所示，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：5．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．几种常见曲线的参数方程(1)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α.(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(4)抛物线：抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .(t 为参数)．考点题型精讲及方法引导 考点题型一 利用参数方程求距离问题例1．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标．解：(1)曲线C 的方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，通过先平方再求和得，x 23＋y 2＝1.直线l 的极坐标方程展开得，ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)设与直线l 平行的直线l ′的方程为x ＋y ＋m ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2－3＝0，x ＋y ＋m ＝0，消元得4y 2＋2my ＋m 2－3＝0，令4m 2－4×4(m 2－3)＝0，得m ＝2或m ＝－2， 当m ＝2时曲线C 上的点到直线l 的距离最大，此时，直线l ′与曲线C 的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.而直线l 与直线l ′的距离为|2－－4|2＝3 2.∴曲线C 上的点到直线l 的最大距离为32，这个点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.例2．(2015·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sinθ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程； (2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值．此时，点P 的直角坐标为(3,0)． 针对训练1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值． 解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.2．(2016·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值． 解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.3．(2017·德州模拟)在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解析： (Ⅰ)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|．当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12)．考点题型二 利用直线参数方程求与线段有关问题例1．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别为y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )，∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1(负值舍去)．例2．(2015·湖南卷)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)ρ＝2cos θ等价于 ρ2＝2ρcos θ.① 将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.针对训练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解析：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1．将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t )2＋32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167．所以AB ＝|t 1－t 2|＝167．2.已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．解析：(1)消去参数θ得曲线C 的普通方程：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos π3，y ＝5＋t sin π3，t 为参数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t .t 为参数．(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1、t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3． 3．在平面直角坐示系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ(θ为参数，a >0).(1)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，求a 的值； (2)当a ＝3时，曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离． 解析：(1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t 的普通方程为y ＝3－2x ．曲线C 1与x 轴的交点为(32，0)．曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1．曲线C 2与x 轴的交点为(－a,0)，(a,0)．由a >0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，知a ＝32．(2)当a ＝3时，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ为圆x 2＋y 2＝9．圆心到直线y ＝3－2x 的距离d ＝|3|22＋12＝355．所以A ，B 两点的距离|AB |＝2r 2－d 2＝29－3552＝1255．4．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程；(2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0， 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，645．(2016·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝ 2.6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围． 解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x . (2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16sin α＋cos α2－16>0，t 1＋t 2＝－4sin α＋cos α，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．7．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点．(1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．解：(1)由⎩⎨⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎪⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝232－4×－141＝217.考点题型三 利用极坐标或参数方程求参数值例1.(2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解析 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.针对训练1．(2016·全国卷Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ty ＝1＋a sin t (t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解析：(Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(Ⅱ)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1．a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1．考点题型四 直线与曲线位置关系问题例1．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcosθ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．例 2.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π)(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，即为所求．针对训练考点题型五 转化为普通方程求解类型题目例1．(2015·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛ ρ＞0，3π4＜θ＜⎭⎪⎫5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________． 答案：(2，π) 解析：直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤－2)，故直线l 与曲线C 的交点为(－2,0)，对应极坐标为(2，π)．例2．(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案：25解析：直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，得x 2＝12，即x ＝±22，则|AB |＝1＋k 2AB |x A －x B |＝2 5. 针对训练1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 3.(2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解析：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)． (2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.4．(2017·湖北八校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′．(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ，代入⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1．(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)，且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3又点A 在曲线C ′上，∴代入C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4．考点题型七 其他类型题目例1．(2017·贵州适应性考试)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(1)求C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t(t为参数，0≤t ≤π)．(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)，于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33． 由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6，所以，切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6，即(2＋3，1)．针对训练。

第22题 坐标系与参数方程【考法】本主题考题形式为解答题，主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识，难度为基础题，分值为10分.【考前回扣】1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.2.直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a ，0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4.直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).t 的几何意义是0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)..5.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π).(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)【易错点提醒】1. 将参数方程化为普通方程时忽视参数对变量x 、y 范围的限定致错.2.应用直线参数方程时，忽视不是直线参数方程的标准形式而用其参数t 的几何意义致错.【考向】曲线的极坐标方程【解决法宝】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.例【2019届湖南省六校(长沙一中、常德一中等)联考】在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于，两点，求的面积.【分析】（1）直线l 的参数方程消去参数t 能求出l 的直角坐标方程．利用极坐标与直角坐标的互化公式能求出曲线C 的直角坐标方程；（2）求得圆心到直线l 的距离，又分析可得弦长MN 即为直径，由此能求出△MON 的面积． 【解析】（1）由消去参数得，直线的普通方程为.由得，，即，曲线的直角坐标方程是圆：.（2）原点到直线的距离.直线过圆的圆心，，所以的面积.【集训】1.【2019届陕西省汉中市二检】已知直线的参数方程为（为参数，），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）若直线被圆截得的弦长为时，求的值.（2）直线的参数方程为（为参数），若，垂足为，求点的极坐标.【解析】（1）由得（，为参数）得.∵，，∴由得，，即圆心为，，∴到直线距离为，又弦长为，故，解得.（2）由的方程可得，又得：，解，，，.2.【四川省雅安中学2018届下学期第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为．以平面直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin ρθ=．(1) 求曲线1C 的极坐标方程；(2) 设1C 和2C 交点的交点为A ， B ，求AOB ∆的面积.【解析】（1）曲线1C 的参数方程为，消去参数的1C 的直角坐标方程为：∴1C 的极坐标方程为4cos ρθ=（2）解方程组，有得sin2θ=或当时， ρ=时， 2ρ=∴ 1C 和2C 交点的极坐标∴故AOB ∆3.【2019届广东省佛山市一中期中】已知倾斜角为α且经过点的直线l 与椭圆C ：交于A 、B 两点 （1）若，写出直线l 与椭圆C 的参数方程； （2）若，求直线l 的方程．【解析】（1）直线l 的参数方程为，（t 为参数）椭圆C 的参数方程为，（θ为参数）（2）将直线l 的参数方程代入中，得∴，，∴∵，得，∴，则tanα=±∴直线l 的方程为4.【辽宁省辽阳市2018学届一模】在直角坐标系xOy 中，圆1C ：，以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 2C ： 3πθ=（R ρ∈）.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为6πθ=（R ρ∈），设2C 与1C 的交点为O 、M ， 3C 与1C 的交点为O ，N 求OMN 的面积.【解析】（1）因为圆1C 的普通方程为，把cos x ρθ=， sin y ρθ=代入方程得.所以1C 的极坐标方程为，2C 的平面直角坐标系方程为y =.（2）分别将3πθ=， 6πθ=代入，得，.则OMN 的面积为.5.【2019届贵州省凯里一中模拟(三)】在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求圆的极坐标方程； （Ⅱ）射线：与圆的交点为、，与曲线：的交点为，求线段的长.【解析】（Ⅰ）圆的普通方程为，又，，∴圆的极坐标方程为.（Ⅱ）设，则由解得.：化为极坐标方程，设，由解得.∴.6.【2018届广东省揭阳市一模】在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C 的参数方程为为参数,)α;现以原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的方程为,(1)求曲线1C 的极坐标方程;(2)设1C 和2C 的交点为M N 、,求MON ∠的值．【解析】(1)由曲线1C 的参数方程知, 1C 是以原点O 为圆心,,其极坐标方程为.(2)联立方程ρ= =,得,于是tan2θ=,解得π24θ=或5π24θ=, 即N M θθ和的值为π5π88和,所以MON ∠=．7.【2019届山东师范大学附中五模】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程： (为参数)，曲线的极坐标方程：，且直线交曲线于两点.（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）巳知点，求当直线倾斜角变化时，的值.【解析】（Ⅰ），∴（Ⅱ）（为参数）代入，8.【山东省枣庄市2018届二模】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）.（Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离.【解析】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =.由.解得{x y ==或，直线l 被曲线C 截得的线段的长度为.（Ⅱ） 11a =时，直线l 的普通方程为.由点到直线的距离公式，椭圆上的点到直线l ：的距离为，其中0θ满足，.由三角函数性质知，当00θθ+=时， d取最小值此时，，.因此，当点M 位于时，点M 到l的距离取最小值9.【2019届四川广元第二次高考适应考】在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为：，为参数点的极坐标为，曲线C 的极坐标方程为．Ⅰ试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点在直角坐标系下的坐标；Ⅱ设直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，点M 为AB 的中点，求的值．【解析】Ⅰ把，代入，可得曲线C 的直角坐标方程为，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为．Ⅱ点P 的直角坐标为，它在直线l 上，在直线l 的参数方程中，设点A ，B ，M 对应的参数为，，，由题意可知．把直线l 的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得．因为，所以．10.【山西省2018年高考考前适应性测试】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为： {x cos y sin θθ==（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：'{'x x y ==得到曲线2C .（1）以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求2C 的极坐标方程； （2）若直线l ： {x tcos y tsin αα==（t 为参数）与1C ， 2C 相交于A ， B 两点，且，求α的值.（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，由1{ ρθα==得1A ρ=，由得.而，∴1cos 2α=±. 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 11.【2019届安徽省毛坦厂中学4月联考】已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线交于，两点，求的值.【解析】（1）直线的参数方程为（为参数），消去，得，即直线的普通方程为.又曲线，即，，曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）得，直线的标准参数方程为（为参数），代入曲线的直角坐标方程得，，，，.12.【湖南省郴州市2018届二质监】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）, （Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换2{x xy y='='得到曲线C'，曲线C'任一点为(),M x y，求点M直线l的距离的最大值.【解析】（Ⅰ）直线l的普通方程为，∵∴∴221 4xy+=故曲线C的直角坐标方程为221 4xy+=，（Ⅱ）由（Ⅰ）得2214xy+=，经过伸缩变换2{x xx y='='得到曲线C'的方程为，所以曲线C'的方程22116xy+=，可以令(α是参数)，根据点到直线的距离公式可得,故点M 到直线l . 13.【2019届四川省成都市外国语学校一诊】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上一动点，记到直线与直线的距离分别为，，求的最小值．【解析】（1）∵曲线的极坐标方程为，∴，∴曲线的直角坐标方程，即.∴曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）设，，直线与直线的直角坐标方程分别为，，∴，，，∴的最小值为.14.【湖南省三湘名校教育联盟2018届三联考】在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为（ 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点,A B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为()2,2，求AP BP+的最小值.【解析】（1）∵，∴，即，∴直线l的直角坐标方程为；∵，∴曲线1C的普通方程为.15.【2019届安徽省马鞍山二质量监测】在直角坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求以为直径的圆的方程.【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得．所以．因直线过抛物线的焦点所以．由题设知，又，故因此的方程为．的中点坐标为（3，2），因此所求圆的方程为．16.【山西省2018届一模】在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为：{x cosy sinθθ==（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：{x x y ''==得到曲线2C .（1）以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且，求α的值.【解析】（1）1C 的普通方程为，把代入上述方程得，，∴2C 的方程为，令，所以2C 的极坐标方程为； （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，由1{ρθα==，得1A ρ=， 由，得，而，∴1cos 2α=±， 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 17.【2019届南昌外国语学校适应性测试】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为45°的直线，交于点，求的最大值与最小值.【解析】（Ⅰ）由∴的普通方程为，由，可得， ∴， ∴，即，此即的直角坐标方程．（Ⅱ）在曲线上任意取一点则到的距离为 ，则，即当时，|P A|取最大值为12；当时，|PA|取最小值为4.18.【河南安阳2018届二模】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程； （2）射线OP ： 6πθ=与圆C 的交点为O ， A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长.【解析】（1）在中，令cos x ρθ=， sin y ρθ=.得，化简得.即为直线l 的极坐标方程. 由4sin ρθ=得，即.，即为圆C 的直角坐标方程.（2）所以.19.【2019届河南省天一大联考阶段性测试（五)】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）若，求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.【解析】（Ⅰ）当时，直线的参数方程为.所以其普通方程为. 对于曲线，由，得，所以其直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意得，直线过定点，为其倾斜角，曲线：，表示以为圆心，以1为半径的圆.当时，直线为，此时直线与圆不相交.当时，设表示直线的斜率，则：.设圆心到直线的距离为.当直线与圆相切时，令，解得或. 则当直线与圆有两个不同的交点时，. 因为，由，可得，即的取值范围为.20.【宁夏石嘴山市第三中学2018届一模】已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为221164y x +=，以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为椭圆C 上任意一点，求的最大值．（2）根据题意，M （x ，y ）为椭圆一点，则设M （2cosθ，4sinθ），|2x+y ﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin （θ+）﹣1|，分析可得，当sin （θ+）=﹣1时，|2x+y ﹣1|取得最大值9．。

高中数学专题复习《坐标系与参数方程》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．直线l 的参数方程是x=1+2t()y=2-t t R ⎧∈⎨⎩，则l 的方向向量是d可以是 【答】（C ）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为____________.（汇编年高考广东卷（文））(坐标系与参数方程选做题)3．直线y =2x －21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos sin y x （ϕ为参数）的交点坐标是_____.（汇编上海理，10）评卷人得分三、解答题4．【题文】[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB ．【结束】5．在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.6．求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.7．已知某圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos(θ－4π)＋6=0． （1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 224ρθ-=．点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．9．从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ,在OM 上取一点P ,使12OM OP ⋅=.(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设R 为l 上的任意一点,试求RP 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．C解析：直线l 的一般方程是052=-+y x ，21-=k ，所以C 正确 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．(为参数)3．（）解析：①代入②得y ＝1－2x22x2＋y ＝1解方程得：∴交点坐标为（） 解析：（21,21） 解析：⎩⎨⎧-=-==⇒⎩⎨⎧==ϕϕϕϕϕ22sin 211cos 2sin 2cos sin y x y x ①代入②得y ＝1－2x 2⇒2x 2＋y ＝1 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=122122y x x y解方程得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121y x∴交点坐标为（21,21） 评卷人得分三、解答题①②4． 5．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)到直线的距离为413-=，即235a =+，因为0a >，所以152a =-. ………………………………………10分6． 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程：3cos ρθ=即：223x y x +=，即2239()24x y -+=；……4分22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩即：23x y -= ,…… 6分 223203202(1)d ⨯--==+-，…… 8分即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3.…… 10分7．解：（1）x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0；22cos 22sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩6分（2）x ＋y ＝4＋2sin （4πα+） 最大值6，最小值 2 4分8．()πcos 224ρθ-=化简为cos sin 4ρθρθ+=，则直线l 的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离2cos sin 42d αα+-=，即()5sin 42d αϕ+-=，其中12cos ,sin 55ϕϕ==． …………………8分当()sin 1αϕ+=-时，m a x 10222d =+． ………………10分 9．(坐标与参数方程)(Ⅰ)设动点P 的坐标为(,)ρθ,M 的坐标为0(,)ρθ, 则0012.cos 4,3cos ρρρθρθ==∴=即为所求的轨迹方程.…………(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P 的轨迹是以(0,23)为圆心，半径为23的圆，易得RP 的最小值为1.……(10分)。

高二坐标系与参数方程练习题1. 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），焦点坐标为（-2，1），求此抛物线的参数方程。

解析：由于焦点坐标和顶点坐标的 x 坐标相同，可以得知抛物线的对称轴为 x = -2。

所以，参数方程的形式为：x = t - 2y = at^2 + bt + c将顶点坐标（-2，3）代入，可以得到c = 3。

由于焦点坐标（-2，1）在抛物线上，可以得到 a = 1/2b。

因此，参数方程可以表示为：x = t - 2y = (1/2b)t^2 + bt + 3其中，b为任意实数。

2. 已知椭圆的焦点坐标为 F1（-3，0）、F2（3，0），离心率为 e=1/2，求此椭圆的参数方程。

解析：根据离心率和焦点的定义，可以得知椭圆的直线 F1F2 的方程为 x = 0。

所以，参数方程的形式为：x = aty = bt其中，a 为焦点到椭圆上一点的距离，b 为该点到 x 轴的距离。

由于焦点离椭圆上一点的距离与椭圆离心率和焦点的关系为 e = a/b，可以得到 a = eb。

所以，参数方程可以表示为：x = (1/2b)ty = bt其中，b 为任意实数。

3. 已知双曲线的焦点坐标为 F1（-4，0）、F2（4，0），离心率为e= 2，求此双曲线的参数方程。

解析：根据离心率和焦点的定义，可以得知双曲线的直线 F1F2 的方程为 x = 0。

所以，参数方程的形式为：x = aty = bt其中，a 为焦点到双曲线上一点的距离，b 为该点到 F1F2 的距离。

由于离心率与焦点的距离和直线 F1F2 的距离关系为 e = c/a，可以得到c = ae。

所以，参数方程可以表示为：x = (2/b)ty = (b/2)t其中，b 为任意实数。

4. 已知直线 L1：2x - y = 0 和直线 L2 的参数方程为 x = t，y = 3 - 2t。

求直线 L2 在直线 L1 上的投影点坐标。

解析：设直线 L2 在直线 L1 上的投影点为 P，坐标为（x，y）。

高三数学章节训练题22 《坐标系与参数方程2》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分： 个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．把方程1xy =化为以t 参数嘚参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴嘚交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、3．直线12()2x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得嘚弦长为（ ）A ．125B ．1255C ．955 D ．91054．若点(3,)P m 在以点F 为焦点嘚抛物线24()4x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．极坐标方程cos 20ρθ=表示嘚曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切嘚一条直线嘚方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=-二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）1．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上嘚两点,M N 对应嘚参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN = 。

2．直线22()32x tt y t⎧=--⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -嘚距离等于2嘚点嘚坐标是 。

3．圆嘚参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆嘚半径为 。

高三数学章节训练题22 《坐标系与参数方程2》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、 3．直线12()2x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 BCD4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=- 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）1．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN = 。

2．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于的点的坐标是 。

3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为 。

专题22 坐标系与参数方程1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足2AP AM =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【试题来源】2021年全国高考甲卷（理） 【答案】（1）()2222x y -+=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为322cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点．【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为222cos ρρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得；（2）设(),P x y ，设()22cos ,2sin Mθθ+，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得．【解析】（1）由曲线C 的极坐标方程22cos ρθ=可得222cos ρρθ=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得2222x y x +=，即()2222x y -+=， 即曲线C 的直角坐标方程为()2222x y -+=；（2）设(),P x y ，设()22cos ,2sin Mθθ+，2AP AM =，()()()1,222cos 1,2sin 22cos 2,2sin x y θθθθ∴-=+-=+-，则122cos 22sin x y θθ⎧-=+-⎪⎨=⎪⎩，即322cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C 的参数方程为322cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线C 的圆心为()2,0，半径为2，曲线1C 的圆心为()32,0-，半径为2，则圆心距为322-，32222-<∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点．【名师点睛】本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解．1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【解析】（1）当k =1时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆．（2）当k =4时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数t 得1C 的直角坐标方程为1x y +=． 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=．由1,41630x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11(,)44．2．【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤．由2C 的参数方程得22212x t t =++，22212y t t=+-，所以224x y -=． 故2C 的普通方程为224x y -=．（2）由224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 的直角坐标为53(,)22． 设所求圆的圆心的直角坐标为0(,0)x ，由题意得220059()24x x =-+，解得01710x =． 因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 3．【2020年高考全国III 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t ty t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【解析】（1）因为t ≠1，由220t t --=得2t =-，所以C 与y 轴的交点为（0，12）； 由2230t t -+=得t =2，所以C 与x 轴的交点为(4,0)-．故||410AB =． （2）由（1）可知，直线AB 的直角坐标方程为1412x y+=-，将cos sin x y ρθρθ==，代入， 得直线AB 的极坐标方程3cos sin 120ρθρθ-+=．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l 的直角坐标方程为23110x y ++=；（27．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos 3sin 110ρθρθ++=【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l 的直角坐标方程为23110x y ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到l 的距离为π4cos 11|2cos 23sin 11|377ααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）023ρ=，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 233ρπ==． 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos 3θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin 3θ=，解得π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos 3θ-=，解得5π6θ=． 综上，P 的极坐标为π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． 2．极坐标和直角坐标的互化（1）进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．（2）进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧． 3．参数方程与普通方程的互化（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响． 4．直线的参数方程若直线过(x 0，y 0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t 为参数)．这是直线的参数方程，其中参数t 有明显的几何意义．5．圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为0≤θ≤2π．6．椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点M 0(x 0，y 0)，相应的椭圆参数方程为0≤t ≤2π．7．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为： 第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．另外，当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方程设成(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时，把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1+t 2，t 1·t 2，得到|AB |=|t 1-t 2|=．1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos (0)a a ρθ=>，Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ ，且O ，P ，Q 三点按逆时针方向排列．（1）当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程；（2）若曲线22:14x C y +=，经过伸缩变换2x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C'，若P 的轨迹与曲线C '有交点，试求a 的取值范围．【试题来源】江西省南昌市第三中学2021届高三下学期第八次月考试（理） 【答案】（1）320x y a +-=；（2）[1,1]-．【分析】（1）用极坐标求得P 点轨迹方程，再化为直角坐标方程，设(,)P ρθ，则(,)3Q πρθ-，Q 点极坐标代入直线l 的极坐标方程，然后由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化；（2）求出曲线C '的方程，然后由直线与圆有公共点可得参数范围．【解析】（1）设(,)P ρθ，则(,)3Q πρθ-，又P 在直线l 上，所以cos()3a πρθ-=，cos cos sin sin 33a ππρθρθ+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得1302x y a +-=所以P 点轨迹方程为320x y a -=；（2）由2x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2x x y y =⎧⎨=''⎩，又2214x y +=，所以22(2)()14x y ''+=，即221x y ''+=，所以曲线C '的方程是221x y +=， 由22211(3)a d -=≤+得11a -≤≤．所以a 的取值范围是[1,1]-．2．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，直线l 的极坐标方程为πsin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C ､直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l '过点()2,1M -且与直线l 平行，直线l '交曲线C 于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值． 【试题来源】陕西省渭南市富平县2021届高三下学期二模（理）【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为()2214x y ++=，直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，（2）2． 【分析】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入极坐标方程即可得直角坐标方程；（2）设出直线l '的参数方程的标准形式，代入曲线C 的直角坐标方程可得关于t 的一元二次方程，计算12MA MB t t ⋅=的值即可求解．【解析】（1）因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以由22cos 30ρρθ+-=可得22230x y x ++-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为()2214x y ++=，由πsin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得ππsin cos cos sin 244ρθρθ+=，即sin cos 2ρθρθ+=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， （2）直线l 的的斜率为1-，所以倾斜角为3π4， 所以过点()2,1M -且与直线l 平行的直线l '的方程为222212x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入()2214x y ++=可得2222114t t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理可得22220t t +-=，所以12221MA MB t t -⋅===， 所以MA MB ⋅的值为2．3．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知倾角为α的直线l 的极坐标方程为()()sin sin 0ρθαααπ-=-≤<，圆C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ是参数）．（1）求直线l 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且22MN =，求α的值．【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题 【答案】（1）sin cos sin 0x y ααα--=；（2）4πα=或34πα=．【分析】（1）利用两角差的正弦公式结合极坐标与直角坐标之间的转换关系可将直线l 的方程化为普通方程；（2）由圆的参数方程可得出圆心C 的坐标与圆的半径，求出弦心距，利用勾股定理可求得cos α的值，结合α的取值范围可求得α的值．【解析】（1）由sin()sin ρθαα-=-得sin cos cos sin sin ρθαρθαα-=-， 故直线l 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=； （2）由圆C 的参数方程知，圆心()1,2C ，半径2r ，弦心距22sin 2cos sin 2cos sin cos d αααααα--==+，由勾股定理得2222MN d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即224cos 4α+=，可得2cos 2α=±， 因为0πα≤<，因此，4πα=或34πα=．4．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为2,4C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）已知过点()0,1P 且倾斜角为α的直线l 交圆C 于A ，B 两点，且11PA PB +=，求角α． 【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文） 【答案】（1）22cos 2sin 10ρρθρθ---=；（2）6πα=或56πα=．【分析】（1）先求得圆C 的直角坐标方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程，化简整理，即可得答案．（2）先求得直线l 的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，进而可得12t t +，12t t 的表达式，根据t 的几何意义，结合题意，化简计算，即可求得cos α的值，结合角α的范围，即可得答案．【解析】解（1）：圆心2,4C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标坐标为()1,1C ，圆C 的半径3r =，则C 的直角坐标方程为()()22113x y -+-=．将公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()()22113x y -+-=中整理得圆C 的极坐标方程：22cos 2sin 10ρρθρθ---=．（2）过点()0,1P 且倾斜角为α的直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 是参数），代入圆C 的直角坐标方程()()22113x y -+-=中整理得22cos 20t t α--=．设交点A ，B 与参数值1t ，2t 相对应，由根与系数关系得122cos t t α+=，1220t t =-<， 则121211t t t t PA PB +=-=+=，平方得()21212411t t t t +-=， 则24cos 811α+=，所以3cos 2α=±（0απ≤<），6πα=或56πα=．5．在平面直角坐标系xOy 中，C 的参数方程为12cos ,22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）直线l 上的M 到极点O 的距离是2，求点M 的极坐标([0,2))∈θπ； （2）设直线l 与C 相交于,A B 两点，求四边形OACB 的面积【试题来源】河南省郑州市中牟县第一高级中学2021届高三全真模拟训练四（理）【答案】（1）2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）372．【分析】（1）设点M 的极坐标为()ρθ，，则2ρ=，代入直线l 的极坐标方程中，可求出θ，即可求出点M 的极坐标；（2）先求出圆C 及直线l 的直角坐标方程，进而求出点C 和原点O 到直线l 的距离，及弦长AB ，即可求出四边形OACB 的面积．【解析】（1）设点M 的极坐标为(),ρθ，则2ρ=，代入直线l 的极坐标方程，可得πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为[0,2π)θ∈，所以4πθ=，所以点M 的极坐标为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）把圆C 的方程化为普通方程得22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径为2，把直线l 的方程化为直角坐标方程得20x y +-=，如图，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则122222d +-==， 设原点O 到直线l 的距离为d '，则00222d +-'==，221144222AB r d =-=-=，所以14AB =， 所以四边形OACB 的面积：11237()14(2)2222S AB d d '=⋅+=⨯⨯+=． 6．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以x 轴的非负半轴为极轴，原点O 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线π3θ=和5π6θ=()R ρ∈分别与曲线C 相交于A 、B 两点（A 、B 两点异于坐标原点）． （1）求曲线C 的极坐标方程与A 、B 两点的极坐标； （2）求直线AB 的极坐标方程及ABO 的面积．【试题来源】四川省成都市石室中学2020-2021学年高三上学期一诊（文）【答案】（1）曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，(3,)3A π，5(1,)6πB ．（2）AB 的极坐标方程为3sin()62πρθ-=，32ABO S =△． 【分析】（1）曲线C 和参数方程消去参数α能求出曲线C 的普通方程，从而能求出曲线C 的极坐标方程；将直线3πθ=和56πθ=代入圆的极坐标方程能求出A 、B 两点的极坐标． （2）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得3(A ，3)2，3(B -，1)2，根据两点式方程得直线AB 的方程为31y x =+，由此能求出AB 的极坐标方程及ABO 的面积．【解析】（1）曲线C 和参数方程为()1x cos y sin ααα=⎧⎨=+⎩为参数，∴消去参数α得曲线C 的普通方程为2220x y y +-=， ∴曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=．将直线3πθ=和56πθ=代入圆的极坐标方程得13ρ=，21ρ=， A ∴、B 两点的极坐标分别为(3,)3A π，5(1,)6πB ． （2）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得3(2A ，3)2，3(2B -，1)2， 根据两点式方程得直线AB 的方程为313y x =+， AB ∴的极坐标方程为3sin()62πρθ-=． ∴直线AB 恰好经过圆的圆心，故ABO 为直角三角形，且||3OA =，||1OB =，131322ABOS∴=⨯⨯=． 7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为6x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22232cos 3ρρθ-=． （1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知点P 是曲线2C 上的动点，求点P 到曲线1C 的最小距离．【试题来源】【高频考点解密】2021年高考数学（文）二轮复习讲义 分层训练【答案】（1）226013x x y y -+=+=，；（2）22．【分析】（1）曲线C 1的参数方程消去参数，能求出曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，能求出曲线C 2的直角坐标方程； （2）设点P 的坐标为()3cos ,sin θθ，利用点到直线的距离表示点P 到曲线1C 的最小距离，结合三角函数的图象与性质即可得到最小值．【解析】（1）消去参数t 得到6y x =+，故曲线1C 的普通方程为60x y -+=，由22232cos 3ρρθ-=，222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩得到()222323x y x +-=，即2213x y +=， 故曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=．（2）设点P 的坐标为()3cos ,sin θθ，则点P 到曲线1C 的距离π2cos 63cos sin 6622d θθθ⎛⎫++ ⎪-+⎝⎭==， 所以当πcos 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 的值最小，此时()526k k Z πθπ=+∈，22d =， 所以点P 到曲线1C 的最小距离为22．8．已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 经过伸缩变换ϕ：2x xy y =⎧⎨=''⎩，得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若A ，B 为曲线2C 上的两点，且满足OA OB ⊥，证明：2211OAOB+为定值，并求出此定值．【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）【答案】（1）22244cos sin ρθθ=+；（2）证明见解析，定值为54．【分析】（1）直接利用伸缩变换求出普通方程，再化为极坐标方程； （2）直接利用寂静的意义，转化为三角函数即可证明．【解析】（1）由已知得'cos '22sin x x y y αα==⎧⎨==⎩（α为参数），从而2C 的普通方程为2214y x +=，所以极坐标方程为2222sin cos 14ρθρθ+=，即22244cos sin ρθθ=+．（2）证明：设(),A A ρθ，,2B B πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭，22214cos sin 4A θθρ+=，222224cos sin 14sin cos 2244B ππθθθθρ⎛⎫⎛⎫±+± ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==， 则22222211115cos 5sin 544A BOA OB θθρρ++=+==， 所以2211OAOB +为定值，此定值为54． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x t y αα=⎧⎨=⎩（0t >，α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围． 【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理） 【答案】（1）21-；（2）()0,3．【分析】（1）直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，曲线C 的普通方程为221x y +=，求得圆心到直线l 的距离2d =，进而可得结果；（2）问题转化为对R α∀∈，cos sin 20t αα+-<恒成立，即21sin()2t αϕ++<恒成立，所以212t +<，结合0t >可得结果．【解析】（1）将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y +-=， 当1t =时，曲线C 的普通方程为221x y +=，圆心(0,0)到直线l 的距离00222d +-==，故曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为21-；（2）因为曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，即对R α∀∈，cos sin 20t αα+-<恒成立． 即21sin()2t αϕ++<（其中tan t ϕ=）恒成立，所以212t +<，又0t >，解得03t <<，故实数t 的取值范围是(0,3)．10．已知在极坐标系中，点A 的极坐标为()1,π，曲线:4cos 3C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，若直线l 过A 点，且倾斜角为θ （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于B 、C 两点，且11273AB AC +=∣｜∣∣，求直线l 的斜率． 【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三二模（理）【答案】（1）直线l 参数方程是1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 的直角坐标方程：222230x y x y +--=；（2）3． 【分析】（1）利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程，化A 点极坐标为直角坐标，再由直线参数方程的标准形式写出参数方程；（2）把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，由根与系数关系得1212,t t t t +，由参数的几何意义得线段长12,AB t AC t ==，代入已知式可求得tan θ，即直线斜率．【解析】（1）点A 的极坐标为()1,π，则直角坐标为(1,0)-，直线l 参数方程是1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），由4cos()3πρθ=-得4(cos cos sin sin )33ππρθθ=+，即22cos 23sin ρρθρθ=+，所以222230x y x y +--=，即为C 的直角坐标方程．（2）把1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩代入22223x y x y +=+并整理得2(4cos 23sin )30t t θθ-++=，2(4cos 23sin )120θθ∆=+->，2(2cos 3sin )3θθ+>，所以124cos 23sin t t θθ+=+，123t t =，12,t t 同号，所以1212124cos 23sin 11112733t t AB AC t t t t θθ+++=+===， 2cos 3sin 7θθ+=，23cos sin 177θθ+=， 令2sin 7ϕ=，3cos 7ϕ=，ϕ为锐角，则sin cos sin cos sin()1ϕθθϕθϕ+=+=， 所以2k πθϕπ+=+，k Z ∈，θ是直线的倾斜角，所以2πθϕ=-，sin sin cos 32tan cos sin 2cos 2πϕθϕθπθϕϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭====⎛⎫- ⎪⎝⎭，即斜率32k =．11．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1sin (02,0)ρθθπρ=-≤<>，M 为该曲线上的任意一点．（1）当1||2OM =时，求M 点的极坐标：当M 的极角为76π时，求它的极径； （2）若过极点的直线AB 与该曲线相交于两点A ，B ，求证：弦长AB 为定值，并求出这个定值．【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文） 【答案】（1）32；（2）证明见解析，2． 【分析】（1）设M 点的极坐标为(),ρθ将12ρ=代入极坐标方程结合θ的范围即可求M 点的极坐标，将76θπ=代入极坐标方程即可求极径；设直线AB 的方程为θα=和(0,0)θπαραπ=+>≤<，点A ，B 对应的极径分别为1ρ，2ρ，计算12AB ρρ=+即可求证并且得定值．【解析】（1）设M 点的极坐标为(),ρθ，当1||2OM =时，可得12ρ=， 所以11sin 2θ=-可得1sin 2θ=，因为02θπ≤< 所以6πθ=或56πθ=， 所以点M 的极坐标1,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,26π⎛⎫⎪⎝⎭，当M 的极角为76θπ=时，7131sin1622πρ=-=+=． （2）证明：设直线AB 的方程为θα=和(0,0)θπαραπ=+>≤<， 点A ，B 对应的极径分别为1ρ，2ρ，则11sin ρα=-，21sin()1sin ρπαα=-+=+， 所以弦长12||2AB ρρ=+=（定值）．12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos sin 30ρθρθ-+=， （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）在曲线C 上任取一点(),x y ，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 伸长为原来的3倍得到曲线1C ．设直线l 与曲线1C 相交于M ，N 两点，点()1,0P -，求||||PM PN +的值．【试题来源】四川省资阳中学2022 届高三上学期第一次质量检测 【答案】（1）221x y +=，330x y -+=；（2）221． 【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数α，得到曲线C 的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l 的直角坐标方程．（2）设曲线C 上任一点(),x y 经坐标变换后对应的点为(),x y ''，得到33x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入C 得到曲线1C 的普通方程为2213x y +=，再把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程，得到1212,t t t t +的值，结合12||||PM PN t t +=+，即可求解．【解析】（1）由曲线C 的参数方程cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)， 消去参数α，得曲线C 的普通方程为221x y +=； 又由直线l 的极坐标方程为3cos sin 30ρθρθ-+=，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得直线l 的直角坐标方程为330x y -+=． （2）设曲线C 上任一点(),x y 经坐标变换后对应的点为(),x y ''．据题意，得3x x y y ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即33x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，因为221x y +=，代入可得2213x y ''+=，即曲线1C 的普通方程为2213x y +=．因为直线l 过定点()1,0P -，所以直线l 的参数方程为112(32x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程，整理可得25240t t --=， 设1t ，2t 为方程(*)的两个实数根，则1225t t +=，12405t t =-<且840∆=>， 所以()212121212221||||45PM PN t t t t t t t t +=+=-=+-=． 13．已知曲线C 1：2cos sin 1x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），C 2：2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数且0απ<<），在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线C 3：θ＝4π（ρ∈R ）． （1）求曲线C 1，C 2的普通方程； （2）若C 2上的点P 对应的参数α＝2π，Q 为C 1上的点，求PQ 的中点M 到直线C 3距离d 的最小值． 【试题来源】黑龙江省佳木斯市第一中学2021届高三下学期三模（理）【答案】（1）22(2)(1)1x y -++=；2214x y +=()0y >；（2）min 21d -=．【分析】（1）利用三角函数同角平方关系消参得到曲线C 1，曲线C 2普通方程． （2）求出PQ 的中点坐标为（cos sin 1,22t t+），和直线C 3：直角坐标方程为x ﹣y ＝0，利用点到直线的距离公式得解【解析】（1）曲线C 1：2cos sin 1x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），转换为普通方程为22(2)(1)1x y -++=．曲线C 2：2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数且(0)απ<<，转换为普通方程为2214x y +=0y >（）．（2）由于C 2上的点P 对应的参数α＝2π，所以P （0，1），点Q (2cos ,sin 1)t t +-， 所以PQ 的中点坐标为（cos sin 1,22t t+）， 直线C 3：θ＝4π（ρ∈R ）转换为直角坐标方程为x ﹣y ＝0， 所以d ＝cost sint1222sin()1242t π+-=--， 当sin()=14t π-时，min 212d -=．14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为442cos (1cos sin x tt y t t =⎧⎨=+-⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()2sin cos ρθθ=-+．（1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 的极坐标方程为,02πθαρα⎛⎫=∈<< ⎪⎝⎭R ，直线l 与曲线12,C C 分别交于,M N (异于点O )两点，若8OM ON =，求α．【试题来源】全国100所普通高等学校招生全国统一考试2021届高三 数学（理）冲刺卷试题 【答案】（1）1C ：212y x =，2C ：()()22112x y +++=；（2）4π 【分析】（1）将441cos sin y t t =+-化简为22cos y t =，消参即可得到1C 的直角坐标方程， 将()2sin cos ρθθ=-+变为22sin 2cos ρρθρθ=--，从而求出2C 的直角坐标方程； （2）求出1C 的极坐标方程22sin cos θρθ=，由1C ，2C 的极坐标方程得22sin cos OM αα=，()2sin cos ON αα=+，由8OM ON =即可求出α的值．【解析】（1）因为曲线1C 的参数方程为442cos (1cos sin x tt y t t=⎧⎨=+-⎩为参数)，所以()()2442221cos sin 1cos sin cos sin y t t t t t t =+-=++-()2221cos sin 2cos t t t +-==，所以1C ：221222x y x ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭；又因曲线2C 的极坐标方程为()2sin cos ρθθ=-+， 所以22sin 2cos ρρθρθ=--， 即2222x y x y +=--，所以2C ：()()22112x y +++=； （2）1C 的极坐标方程为221sin cos 2ρθρθ=，即22sin cos θρθ=， 把θα=代入1C ，2C 的极坐标方程得122sin cos OM αρα==，()22sin cos ON ραα==+， 所以()()222sin 2sin cos 4tan tan 8cos OM ON αααααα⋅+==+=， 所以2tan tan 2αα+=，解得tan 1α=或tan 2α，因为02πα<<，所以tan 1α=， 所以4πα=． 15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数，α为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程853cos 2ρθ=-．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0P -，直线l 与曲线C 交于A ､B 两点，与y 轴交于M 点，若2PA PB PM ⋅=，求直线l 的普通方程．【试题来源】贵州省凯里市第一中学2021届高三三模《黄金三卷》（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）210x y -+=或210x y ++=．【分析】（1）化简853cos 2ρθ=-，然后根据cos ,sin x y ρθρθ==代入化简即可．（2）分别假设点,,A B M 所对应的参数，然后直线参数代入（1）中的直角坐标方程，结合根与系数关系，然后计算即可．【解析】（1）由853cos 2ρθ=-可得()222853cos sin ρθθ=--， ()2222cos 8sin 8ρθθ∴+=，由cos ,sin x y ρθρθ==22288x y ∴+=，∴曲线C 的直角坐标方程是2214xy +=．（2）设A ､B 两点对应的参数分别为1t ､2t ， 联立直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程，整理得()2213sin 2cos 30tt αα+⋅-⋅-=，122313sin t t α∴=-+，设点M 对应的参数为3t ，由31cos 0M x t α=-+=，可得31cos t α=， 由2PA PB PM ⋅=得2123t t t ⋅=， 即223113sin cos αα-=+， 223113sin cos αα∴=+，222sin cos αα∴=，即21tan 2α=， ∴直线l 的斜率22k =±，故直线l 的方程为210x y -+=或210x y ++=．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1334x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为142sin 4πρθρ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知P (1，3)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求2||||||AB PA PB ⋅．【试题来源】全国2021届高三高考猜题信息卷（三）（文） 【答案】（1）4350x y -+=；22(2)(2)x y -+-9=；（2）704175． 【分析】（1）消参求出直线l 的普通方程，由142sin 4πρθρ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得214cos04sin ρρρθ-=+，从而得出曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程可化为315435x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入22(2)(2)9x y -+-=，得252350t t +-=，利用根与系数关系求出两根的和与积，从而求出AB 、PA PB ⋅，进而得出答案．【解析】（1）由直线l 的参数方程为1334x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 得直线l 的普通方程为4350x y -+=；由142sin 4πρθρ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得214cos θ4sin ρρρθ-=+， 所以曲线C 的直角坐标方程22(2)(2)x y -+-9=；（2）直线l 的参数方程可化为315435x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入22(2)(2)9x y -+-=， 得252350t t +-=，则1225t t +=-，127t t =-， 所以()2121212811||45AB t t t t t ι=-=+-=， 所以127PA PB t t ⋅=⋅=，所以228115||7047175AB PA PB ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⋅． 17．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为33x t y t =-⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线2C 上的点到曲线1C 距离的最大值．【试题来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）冲刺预测试题【答案】（1）曲线1C ：3330x y +-=；曲线2C ：22(1)1x y -+=；（2）31+【分析】（1）消去参数t ，得到曲线1C 的普通方程；由222x y ρ=+，cos x ρθ=，将极坐标方程化为直角方程；（2）圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径，从而求得最大值．【解析】（1）由题知，消去参数t ，得到曲线1C 的普通方程3330x y +-=； 由22cos 2cos ρθρρθ=⇔=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，将极坐标方程化为直角方程2220x x y -+=，即曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=．（2）圆心(1,0)到直线3330x y +-=的距离为3033331d +-==+，则曲线2C 上的点到曲线1C 距离的最大值为131d +=+．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为5cos 15sin x a y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数，其中a 为正实数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 0-=ρθρθ． （1）若直线l 与圆C 相切，求a 的值；（2）在（1）的条件下，设直线l 与圆C 相切于点M ，点N 是圆C 上的一个动点，求MON △面积的最大值．【试题来源】全国Ⅰ卷2020届高三押题卷（文）（黑卷）【答案】（1）3；（2）5．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程､极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）首先利用点到直线的距离公式的应用求出三角形的高，进一步求出三角形面积的最大值．【解析】（1）圆C 的参数方程为5cos 15sin x a y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数，其中a 为正实数)， 转为直角坐标方程为22()(1)5-+-=x a y ．直线l 的极坐标方程为2cos sin 0-=ρθρθ，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转为直角坐标方程为20x y -=．利用圆心(),1a 到直线20x y -=的距离|21|55a d r -===， 由于a 为正值，解得a =3．（2）由（1）得圆心()3,1，则：22||3110=+=OC ，由于⊥OM MC ，则22||||5OM OC r =-=，由于圆心C 到直线l 的距离的最大值为||5d OM ==，。

高中数学《坐标系与参数方程》练习题（附答案解析）一、单选题1．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的一条切线方程为（ ） A ．cos 2ρθ=B ．cos 1ρθ=C ．sin 2ρθ=D ．sin 1ρθ=2．参数方程2x t y t ⎧=⎨=⎩（其中t ∈R ）表示的曲线为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．极坐标方程2sin 0ρθρ-=的直角坐标方程为（ ） A ．220x y +=或1y = B ．1x =C ．220x y +=或1x =D ．1y =4．在极坐标系中，下列方程表示圆的是（ ） A ．tan 1θ= B ．sin 1ρθ= C ．π6θ=D ．π6ρ=5．已知点P 的直角坐标为12⎛- ⎝⎭，则P 的极坐标为（ ）A ．21,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．21,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．41,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．41,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知实数a ，b 满足226a b +=，则ab 的取值范围是（ ） A ．(]0,3B ．(],3-∞C ．(][),33,∞∞--⋃+D ．[]3,3-7．P 是椭圆4sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上一点，且在第一象限，OP （O 为原点）的倾斜角为6π，则点P的坐标为（ ）A ．()3,2B ．⎝⎭C ．()D ．()4,38．在极坐标系中，直线sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为（ ）A BC D ．9．已知复数1z ，2z 满足1111z z ++-=，22i 2z -=，（其中i 是虚数单位），则12z z -的最大值为（ ）A ．3B ．5 C．D．210．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝4上三点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）构成正三角形ABC ，那么222123x x x ++=（ ）A ．0B ．2C ．3D ．6二、填空题11．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：3,2,x x y y ''=⎧⎨=⎩则点A 1(,2)3-经过变换后所得的点A ′的坐标为________．12．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），则曲线C 的普通方程为______．13．参数方程12?33x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，[]0,1t ∈）对应曲线的长度为______．14．变量x ､y满足x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝t 为参数)，则代数式22y x ++的取值范围是___________．三、解答题15．将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 （1）4sin ρθ= （2）sin 2cos ρθθ=+ （3）6πθ=16．（1）我们知道，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程是222x y r +=，那么cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩表示什么曲线？（其中r 是正常数，θ在0,2π内变化）（2）在直角坐标系中，cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，表示什么曲线？（其中a 、b 、r 是常数，且r 为正数，θ在0,2π内变化）17．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．18．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为()2211x y +-=．P 为曲线1C 上一动点，且2OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程； (2)曲线3C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，点M 为曲线3C 上一动点，求MQ的最大值．参考答案与解析：1．A【分析】利用圆的极坐标方程，结合直线的极坐标方程进行求解即可. 【详解】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心为(1,0)，半径为1，如图所示：所以该圆的垂直于极轴的切线方程为：2πθ=，或cos 2ρθ=，故选：A 2．D【分析】将参数方程化为普通方程即可得到结果.【详解】由参数方程可得曲线普通方程为：2y x =，∴曲线为抛物线. 故选：D. 3．A【分析】利用直角坐标与极坐标的互化公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩，即可得到答案．【详解】由曲线的极坐标方程2sin 0ρθρ-=，两边同乘ρ，可得()2sin 10ρρθ-=，再由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩，可得：()()2222100x y y x y +-=⇔+=或1y =，故选：A 4．D【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，根据直角坐标方程可得答案. 【详解】由tan 1θ=及tan yxθ=，可得0x y -=，该方程表示直线；故A 不正确； 由sin 1ρθ=及sin y ρθ=，可得1y =，该方程表示直线；故B 不正确； 由π6θ=及tan ,0y x x θ=>，得,0y x =>，该方程表示射线；故C 不正确；由π6ρ=及222x y ρ+=，得222π6x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，该方程表示圆；故D 正确.故选：D 5．A【分析】极径OP ρ=，极角θ满足tan yxθ=，但要注意点P 所在的象限． 【详解】∵1OP =，∵1ρ=， ∵极角θ满足tan y x θ==12⎛- ⎝⎭在第二象限，∵23πθ=， 点P 的极坐标为21,3π⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ． 6．D【分析】根据圆的参数方程可设a θ=，b θ=，再用二倍角公式整理计算． 【详解】∵226a b +=，不妨设a θ=，b θ= 则[]6sin cos 3sin 23,3b a θθθ==∈-故选：D ． 7．B【分析】设点(),4sin 02P πααα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，即可得出点P 的坐标.【详解】设点(),4sin 02P πααα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，OP k α==所以，1tan 2α=， 所以，22sin 1tan cos 2sin cos 1sin 0αααααα⎧==⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此，点P的坐标为⎝⎭.故选：B. 8．D【分析】根据题意，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆的位置关系，直接列公式求出弦长即可【详解】由已知，sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20x y -+=和2216x y +=，圆心到直线的距离d ==L ==故选：D 9．B【分析】转化椭圆与圆上的动点的距离的最大值即可【详解】复数1z 在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在()1,0-，()1,0的椭圆，方程为2212x y +=；复数2z 在复平面的对应点的轨迹为圆心在()0,2，半径为2的圆，方程为()2224x y +-=，12z z - 即为椭圆 2212x y += 上的点A 与圆22(2)4x y +-= 上的点B 的距离. 12z z -的最大值即为点A 到圆心 (0,2)C 的距离的最大值加半径.设,sin )A θθ.22222||2cos (sin 2)2cos sin 4sin 4OC θθθθθ=+-=+-+ 226sin 4sin (sin 2)10[1,9]θθθ=--=-++∈所以 ||[1,3]OC ∈.12max 325z z -=+=故选：B 10．D【分析】分别设()22442cos ,2sin ,2cos ,2sin ,2cos ,2sin 3333A B C ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，计算222123x x x ++，利用三角函数化简即可.【详解】因为三角形ABC 为正三角形，所以设()222cos ,2sin ,2cos ,2sin 33A B ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，442cos ,2sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故222222123244cos 4cos 4cos 33x x x ππθθθ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222114cos 4cos 4cos 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222224cos cos 3sin cos 3sin θθθθθ=++++()226cos sin 6θθ=+=，故选：D【点睛】关键点点睛：根据A,B,C 在圆上且构成正三角形ABC ，设三点坐标为()222cos ,2sin ,2cos ,2sin 33A B ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，442cos ,2sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，是解题的关键. 11．(1，－1)【解析】由伸缩变换得312x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩即可求出.【详解】设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：32x x y y ''=⎧⎨=⎩得到312x xy y ='='⎧⎪⎨⎪⎩，由于点A 的坐标为1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是1131,(2)132x y =⨯='=⨯-=-'，所以A ′的坐标为(1，－1)． 故答案为：(1,1)-. 12．2215x y +=【分析】根据22sin cos 1αα+=消去参数，即可得到曲线的普通方程； 【详解】解：因为曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），又22sin cos 1αα+=，所以曲线C 的普通方程为2215x y +=；故答案为：2215x y +=13【分析】把参数方程化为普通方程，并判断曲线形状，进而得出曲线的长度.【详解】参数方程12?33x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，[]0,1t ∈），消去t 得3290x y --=，[]1,3x ∈，其表示一条线段，线段的两个端点分别为(1,3)-，(3,0)，14．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据参数方程求出动点(x ，y )的轨迹方程，()()2222y y x x --+=+--可看成点(－2，－2)与点(x ，y )连线斜率，数形结合即可求解．【详解】由x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝t 可得221(0,0)4y x x y +=≥≥，则M (x ，y )的轨迹为椭圆在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点)，()()2222y y x x --+=+--可看成点A (－2，－2)与点M (x ，y )连线斜率，如图，B (1，0)，C (0，2)，()()[]222,,2223AB AC y y k k x x --+⎡⎤=∈=⎢⎥+--⎣⎦， 故答案为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．（1）()2224x y +-=；（2）()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（3）y =.【分析】由极坐标与直角坐标之间的转化关系求解即可.【详解】（1）()222224sin 4sin 424x y y x y ρθρρθ=⇒=⇒+=⇒+-=；（2）()2222215sin 2cos sin 2cos 2124x y y x x y ρθθρρθρθ⎛⎫=+⇒=+⇒+=+⇒-+-= ⎪⎝⎭；（3）6y x πθ=⇒=【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，属于基础题.16．（1）表示以原点为圆心，r 为半径的圆；（2）表示以(),a b 为圆心，r 为半径的圆．【分析】消参法：同角三角函数的平方关系消去cos ,sin θθ，将参数方程化为一般方程，即可判断方程所代表的曲线.【详解】（1）cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩化为222x y r +=，∵cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r 是正常数，θ在0,2π内变化）表示以原点为圆心，r 为半径的圆． （2）cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，化为()()222x a y b r -+-=，∵cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，表示以(),a b 为圆心，r 为半径的圆．17．(1)2214x y +=(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∵2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cossin14ttαα+=，整理得()()222cos4sin10t tααα++-=，设A，B两点所对应的参数为12,t t，则1212221cos4sint t t tαα+==-+，∵2AM MB=，则122t t=-，联立12122t tt t=-⎧⎪⎨+=⎪⎩12tt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将12,t t代入12221cos4sint tαα=-+得221cos4sinαα⎛=-+⎝⎭⎝⎭，解得2223tan4kα==，故直线l的斜率为.18．(1)2sinρθ=；4sinρθ=(2)5【分析】（1）利用直角坐标和极坐标的互化关系求1C的极坐标方程，利用代入法求2C的极坐标方程；（2）M为2212xy+=上一点，Q为()2224x y+-=上一点，可知max max2MQ MN=+，即可求解.（1）由题意可知，将cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y+-=得2sinρθ=，则曲线1C的极坐标方程为2sinρθ=，设点P的极坐标为()00,ρθ，则2sinρθ=，点Q的极坐标为(),ρθ，由2OQ OP=得02ρρθθ=⎧⎨=⎩，即012ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，将012ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入02sinρθ=得4sinρθ=，所以点Q轨迹曲线2C的极坐标方程为4sinρθ=；第 11 页 共 11 页 （2）曲线3C 直角坐标方程为2212x y +=，设点),sin M ϕϕ， 曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，则圆心为()0,2N ，max max 2MQ MN =+， 即MN =当sin 1ϕ=-时，max 3MN = ，所以max 325MQ =+=.。

高考数学 高三数学章节训练题22 《坐标系与参数方程2》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、3．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 B4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=- 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）1．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN = 。

2．直线2()3x t y ⎧=--⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于的点的坐标是 。

3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为 。

高考专题训练(二十二) 坐标系与参数方程A 级——基础巩固组一、填空题1．在直角坐标系xOy 中，已知点C(－3，－3)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－5π6.答案 ⎝⎛⎭⎫23，－5π6 2．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sinα，y ＝cosα＋1(α为参数)，若以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________．解析 依题意知，曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，所以(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρsinθ＝0. 化简得ρ＝2sinθ. 答案 ρ＝2sinθ3．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3，⎝⎛⎭⎫4，π6，则△AOB(其中O 为极点)的面积为________．解析 由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6＝12×3×4×sin π6＝3. 答案 34．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tcosα，y ＝tsinα(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cosφ，y ＝2sinφ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.解析 直线y ＝xtanα，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sinα＝24＝12，∴α＝π6或5π6.答案 π6或5π65．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析 将ρ＝2sinθ＋4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴曲线的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ＋4x ， 即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝06．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r>0)相切，则r ＝________.解析 消去参数t 得抛物线C 的标准方程为y 2＝8x ，其焦点为(2,0)， 所以过点(2,0)且斜率为1的直线方程为x －y －2＝0，由题意得r ＝|4－2|2＝ 2.答案27．已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cost ，y ＝2sint(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析 曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，由圆的几何性质知，切线l 与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l 的斜率为－1，从而l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y ＝2，化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，化简得ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. 答案 ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2 8．(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．解析 由ρsin 2θ＝cosθ可得ρ2sin 2θ＝ρcosθ，因此y 2＝x ， 即曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x ；由ρsinθ＝1可得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以两曲线交点的直角坐标为(1,1)． 答案 (1,1)9．(2014·湖北卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析 由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3， 得y ＝33x(x≥0)，① 由曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2， 可得方程x 2＋y 2＝4，②由①②联立解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，故C 1与C 2交点的直角坐标为(3，1)． 答案 (3，1) 三、解答题10．(2014·福建卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cosθ，y ＝4sinθ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a|5≤4，解得－25≤a≤2 5.11．已知直线l 是过点P(－1,2)，方向向量为n ＝(－1，3)的直线，圆方程ρ＝2cos ⎝⎛⎫θ＋π3. (1)求直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆相交于M ，N 两点，求|PM|·|PN|的值． 解 (1)∵n ＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝2π3.∴直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋tcos 2π3，y ＝2＋tsin 2π3(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝－1－12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)∵ρ＝2⎝⎛⎭⎫12cosθ－32sinθ＝cosθ－3sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－3ρsinθ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，将直线的参数方程代入得t 2＋(3＋23)t ＋6＋23＝0. ∴|t 1t 2|＝6＋23，即|PM|·|PN|＝6＋2 3.B 级——能力提高组1．(2014·广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0,0≤θ＜2π)，曲线C 在点⎝⎛⎭⎫2，π4处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程是________．解析 由ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点⎝⎛⎭⎫2，π4⇒(2，2)，因为点(2，2)在圆x 2＋y 2＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0.答案 x ＋y －22＝02．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cosα，y ＝2＋2sinα(α为参数)相交于两点A 和B ，则|AB|＝________.解析 极坐标方程θ＝π4(ρ∈R)对应的平面直角坐标系中方程为y ＝x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cosα，y ＝2＋2sinα(α为参数)⇒(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1,2)，r ＝2.圆心到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|2＝22，|AB|＝2r 2－d 2＝24－12＝14.答案 143．(2014·辽宁五校联考)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cosφ，y ＝sinφ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sinθ＋3cosθ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解 (1)圆C 的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1， 又x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cosθ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ ρ1＝2cosθ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3. 设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ ρ22＋3cosθ2＝33，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝3，θ2＝π3. 由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2， 所以线段PQ 的长为2.。

第41练 坐标系与参数方程[题型分析·高考展望] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.体验高考1.(2016·课标全国甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.（可以利用直线参数t 的几何意义求解，即取原点为特殊点得12t t AB -=） 解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.2.(2015·江苏)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.高考必会题型题型一 极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).例1 在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值.解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.变式训练1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长.解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6.又∵ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ.∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6，y 2＝8x .得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝12，所以A (2，－4)，B (18，12)，所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2. 即线段AB 的长为16 2.也可以直接两方程联立，利用公式AB =数方程的几何意义。

新疆高考数学提分专练：第 22 题 坐标与参数方程（选考题）姓名:________班级:________成绩:________一、 真题演练 (共 3 题；共 30 分)1. （10 分） (2017 高一上·怀柔期末) 已知函数 f（x）=cos2x+ sinxcosx． （Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值．2. （10 分） (2018·陕西模拟) 在平面直角坐标系中，直线 的方程为 极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为（1） 写出直线 的一个参数方程与曲线 的直角坐标方程；（2） 已知直线 与曲线 交于两点，试求 中点 的坐标.以坐标原点 为 .3. （10 分） (2019 高一下·黑龙江月考) 在直角坐标系中，圆 的方程为，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求圆 的极坐标方程；（2） 直线与圆 交于点二、 模拟实训 (共 12 题；共 120 分)，求线段的长.4. （10 分） (2018·如皋模拟) 在平面直角坐标系中，已知椭圆 的参数方程为参数），以原点为极坐标系的极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程直线 与椭圆 相交于,求线段 的长.（为 .设5. （10 分） (2020 高三上·哈尔滨开学考) 在直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 参数）．的极坐标方程为第 1 页 共 12 页，直线 的参数方程为（为（1） 求 与 的交点的直角坐标； （2） 求 上的点到直线 的距离的最大值．6. （10 分） (2019·晋城模拟) 已知平面直角坐标系中，曲线参数）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.的参数方程为（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；（为（Ⅱ）过点的直线 与曲线 交于 ， 两点，且，求直线 的方程.7. （10 分） (2018 高二下·西宁期末) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为， 的极坐标方程为．（1） 求直线 l 和 的普通方程；（2） 直线 l 与 有两个公共点 A、B，定点 P，求的值．8. （10 分） (2018·攀枝花模拟) 坐标系与参数方程已知直线 的参数方程为 数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 的极坐标方程为(I)求圆 的直角坐标方程；(II)若是直线 与圆面的公共点,求的取值范围.( 为参 .9. （10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为．(t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为（1）写出直线 l 的普通方程及圆 C 的直角坐标方程；（2）点 P 是直线 l 上的，求点 P 的坐标，使 P 到圆心 C 的距离最小．10. （10 分） (2019 高二下·永清月考) 已知曲线 C1 的参数方程为第 2 页 共 12 页（t 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为.（1） 求曲线 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程；（2） 射线 OP：（其中）与 C2 交于 P 点，射线 OQ：与 C2 交于 Q 点，求的值.11. （10 分） (2019 高三上·南京月考) 在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），在以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程是.（1） 求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2） 若直线 l 与曲线 C 相交于两点 A，B，求线段 的长.12. （10 分） (2019 高二上·南昌月考) 在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程.（1） 求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2） 直线 l 与曲线 C 交于两点，点，求的值.13. （10 分） (2016 高二下·汕头期末) 极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种 坐标系中的长度单位相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2（cosθ+sinθ）．（1） 求 C 的直角坐标方程；（2） 直线 l：为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于 E，求|EA|+|EB|的值．第 3 页 共 12 页14. （10 分） (2017·南通模拟) 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 C 的参数方程为 轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程．（α 为参数），现以 O 为极点，x 轴的正半15. （10 分） (2019 高三上·东莞期末) 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线 的普通方程为，曲线 的参数方程为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为（为 .（1） 求曲线 的极坐标方程和曲线 的普通方程；（2） 直线 与曲线 在第一象限内的交点为 ，过点 的直线 交曲线 于 中点为 ，求直线 的斜率.两点，且 的第 4 页 共 12 页一、 真题演练 (共 3 题；共 30 分)参考答案1-1、 2-1、第 5 页 共 12 页2-2、 3-1、3-2、二、 模拟实训 (共 12 题；共 120 分)4-1、第 6 页 共 12 页5-1、 5-2、6-1、第 7 页 共 12 页7-1、 7-2、第 8 页 共 12 页8-1、9-1、第 9 页 共 12 页10-1、10-2、11-1、11-2、12-1、第 10 页 共 12 页12-2、13-1、13-2、14-1、15-1、15-2、。

第41练 坐标系与参数方程[题型分析·高考展望] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.体验高考1.(2016·课标全国甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.（可以利用直线参数t 的几何意义求解，即取原点为特殊点得12t t AB -=） 解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.2.(2015·江苏)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.高考必会题型题型一 极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.例1 在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值.解ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x＋y－1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.变式训练1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长.解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6.又∵ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ.∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6，y 2＝8x .得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝12，所以A (2，－4)，B (18，12)，所以AB ＝18－22＋[12－－4]2＝16 2.即线段AB 的长为16 2.也可以直接两方程联立，利用公式()22121214AB k x x x x =++-数方程的几何意义。