解题研究２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀一题多解㊀发散思维从一道菱形试题出发◉甘肃省庆阳市宁县早胜初级中学㊀张长青㊀㊀摘要:新课程改革要求课堂教学不能停留在知识传授层面,而应该深入到学生素养的培养㊁发展与提升上．初中数学是一门逻辑性非常强的学科,对学生的数学思维具有一定的要求．为了让学生的思维常学常新,教师需想方设法培养学生的发散性思维．本文中从一道菱形试题的一题多解出发,尝试在渗透数形转化的过程中让学生的思维得到发散．关键词:思维;数形转化;一题多解;菱形㊀㊀在课堂教学时,笔者经常有这样的经验:如果学生的思维受限严重,那么数学课堂氛围将会异常沉闷,而如果学生的思维比较灵活,那么课堂教学效果也会得到提升．由此可见,课堂教学不应只是传授知识,而更应该培养学生的发散性思维．本文中从一道菱形试题出发,尝试研究通过渗透数形转化㊁一题多解的方式提升学生的思维能力．１数形转化与思维发散之间的关系数形转化是解决数学问题非常重要的一种思想或方法,也就是将 数 与 形 进行转化,借助直观图形对抽象的问题进行分析并最终解决问题．发散思维强调多角度分析问题及多方法解决问题,而当分析的问题比较抽象㊁复杂时,往往需要利用数形转化思想具体化或简化问题．因此,笔者认为数形转化是思维发散的过程,而思维发散是数形转化的结果．下面,借一道例题进行分析和说明:图１例题㊀如图１所示,在菱形A B C D中,对角线A C与B D相交于点O,点E,F,G,H分别是O A,O B,O C,O D的中点．求证:四边形E F G H是菱形．本题需要证明四边形E F G H是菱形,而所给的条件只有菱形A B C D和四条线段的中点．很显然,需要仅仅抓住 中点 这一 数 的特点,并与 菱形 这一形 结合起来分析问题．那么,此题如何体现出数形转化与思维发散之间的关系首先,应明确各条件所能得到的结论有哪些,如由菱形A B C D 可得四边形A B C D的四条边都相等㊁对角线互相平分且垂直㊁两组对边分别平行且相等㊁对角线平分一组对角等． 菱形A B C D 是 形 ,而边相等㊁角相等都是 数 量关系,是通过 形 推理出 数 ．然后,由 点E,F,G,H分别是O A,O B,O C,O D的中点 可证得E F,F G,G H,H E分别是әA O B,әB O C,әC O D,әD O A的中位线,再结合三角形中位线定理即可证得四边形E F G H是菱形． 点E,F,G,H分别是O A,O B,O C,O D的中点 是 数 ,而证得 四边形E F G H是菱形 是 形 ,是通过 数 推理出 形 ．发散思维是一种不依常规㊁寻求变异㊁从多方面寻求答案的思维方式．那么,如何发散学生的数学思维与渗透数学转化思想呢由于菱形的判定定理非常多,因此可从多种思路出发,尝试一题多解,最终让问题得到解决．２一题多解及评析根据上述分析,本题的解法非常多．在实际课堂教学中,主要出现了以下三种解法．证法一:ȵ四边形A B C D是菱形,ʑA B＝B C＝C D＝D A．ȵE是O A的中点,F是O B的中点,ʑE F是әA O B的中位线．ʑE FʊA B,E F＝１２A B．同理,可得G FʊB C,G F＝１２B C;H GʊD C,H G＝１２D C;H EʊA D,H E＝１２A D．ʑE F＝G F＝H G＝H E．ʑ四边形E F G H是菱形(四条边都相等的四边６５Copyright©博看网. All Rights Reserved.２０２３年１０月下半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀形是菱形)．证法一紧紧抓住 点E,F,G,H分别是O A,O B, O C,O D的中点 这个条件,积极利用三角形中位线定理和菱形的性质,通过证明四条边都相等得到四边形E F G H是菱形．可以说,靶向定位准确㊁思路清晰明了,过程层次分明,内容通俗易懂,是这种解法最大的特点．证法二:ȵE是O A的中点,F是O B的中点,ʑE F是әA O B的中位线．ʑE FʊA B,E F＝１２A B．同理,可得H GʊD C,H G＝１２D C．ȵ四边形A B C D是菱形,ʑA BʊD C,A B＝D C．ʑE F＝H G,E FʊH G．ʑ四边形E F G H是平行四边形．ȵ四边形A B C D是菱形,ʑB DʅA C．ʑ四边形E F G H是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．证法二先根据 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 证明四边形E F G H是平行四边形,然后结合菱形A B C D的性质 菱形的对角线互相垂直 得到B DʅA C,最后根据 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 证得四边形E F G H是菱形．其中,菱形的性质与判定的灵活使用是重要前提,如果性质与判定搞混淆了,将会给解题带来极大的困扰[１]．证法三:ȵE是O A的中点,F是O B的中点,ʑE F是әA O B的中位线．ʑE FʊA B,E F＝１２A B．同理,可得H EʊA D,H E＝１２A D．ȵ四边形A B C D是菱形,ʑA B＝A D．ʑH E＝E F．ȵH是O D的中点,G是O C的中点,ʑH G＝１２D C,H GʊD C．ȵ四边形A B C D是菱形,ʑA B＝D C,A BʊD C．ʑE F＝H G,E FʊH G．ʑ四边形E F G H是平行四边形．ʑ四边形E F G H是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)．证法三先结合菱形的性质㊁三角形的中位线定理证得一组邻边相等,即H E＝E F,然后根据 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 证明四边形E F G H是平行四边形,最后根据 一组邻边相等的平行四边形是菱形 证得四边形E F G H是菱形．该判定方法与前两种判定都不同,抓住菱形与平行四边形之间的区别是解决这类问题的关键．３总结与启示首先,从题目要证明的结论出发,引导学生思考具体能根据哪些判定进行证明．如本题的结论是 四边形E F G H是菱形 ,那么让学生思考菱形的判定方法有哪些,这样就给学生解决问题提供了重要启示．然后,结合菱形的判定寻找条件．如果根据 四条边都相等的四边形是菱形 来证明,那么需要证明四条边都相等．如果根据 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 来证明,那么需要证明四边形是平行四边形且对角线互相垂直．如果根据 一组邻边相等的平行四边形是菱形 来证明,那么需要证明四边形是平行四边形且一组邻边相等．最后,继续探究如何根据已知条件证明所需条件．例如,如果根据 一组邻边相等的平行四边形是菱形 来证明,那么题中有哪些已知条件可证明一组邻边相等,又有哪些条件可证明四边形是平行四边形．如此下去,将每个所需条件根据已知条件全部证得即可．需注意的是,在以上三种不同的解法中,菱形的性质和判定都有体现,注意区分菱形的性质和判定是正确解决该问题的关键．因此,在讲完性质和判定之后,笔者认为应将性质与判定之间的区别讲清㊁讲透,让学生将性质与判定完全区分开,否则在解题时极易混用[２]．总之,像本文展示的例题一样,有些题目的思维突破口非常多,但因其综合程度较高,其中包含了许多其他的知识点,所以无形中提高了解题难度,学生解答的准确性也随之降低．因此,在日常教学中注重基础知识的夯实与借助变式㊁一题多解等训练学生的思维非常有必要．参考文献:[１]张静,张晗煜,贺媛．数学习题教学策略之 一题多解 [J]．新教育时代电子杂志(学生版),２０１９(３１):２５７Ｇ２５８．[２]苏猛．从一道课本例题谈 一题多解 对学生数学思想方法的培养[J]．内蒙古教育(职教版),２０１３(１０):６７Ｇ６８．Z７５Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
