高二数学数学归纳法综合测试题(20201031214617)

高中数学数学归纳法练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 用数学归纳法证明2n>2n+1，n的第一个取值应是( )A.1B.2C.3D.42. 一个关于自然数n的命题，如果n=1时命题正确，且假设n=k(k≥1)时命题正确，可以推出n=k+2时命题也正确，则（）A.命题对一切自然数n都正确B.命题对一切正偶数都正确C.命题对一切正奇数都正确D.以上说法都不正确3. 用数学归纳法证明不等式1+12+13+...+12n−1<n(n∈N∗，且n>1)时，第一步应证明下述哪个不等式成立( )A.1<2B.1+12+13<2 C.1+12<2 D.1+13<24. 在数学归纳法证明“1+a+a2+...+a n=1−a n+11−a(a≠1，n∈N∗)”时，验证当n=1时，等式的左边为()A.1B.1−aC.1+aD.1−a25. 用数学归纳法证明“2n>2n2−2n+1对于n≥n0的正整数n均成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（）A.1B.3C.6D.106. 用数学归纳法证明“1+a+a2+...+a2n+1=1−a2n+21−a，(a≠1)”，在验证n=1时，左端计算所得项为（）A.1+a+a2+a3+a4B.1+aC.1+a+a2D.1+ a+a2+a37. 用数学归纳法证明1+12+13+...+12n−1<n(n∈N∗, n>1)时，第一步应验证不等式( )A.1+12<2B.1+12+13<2C.1+12+13<3D.1+12+13+14<38. （文）已知f(n)是关于正整数n 的命题．小明证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，并对任意的正整数k ，在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k +m)成立，其中m 为某个固定的整数，若要用上述证明说明f(n)对一切正整数n 均成立，则m 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.49. 利用数学归纳法证明不等式1+12+13+14+...+12n−1+1<f(n)(n ≥2, n ∈N ∗)的过程中，由n =k 变到n =k +1时，左边增加了( ) A.1项 B.k 项C.2k−1项D.2k 项10. 用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n+2+⋯+12n>1324(n >2)”时的过程中，由n =k 到n =k +1，(k >2)时，不等式的左边（ ） A.增加了一项12(k+1)B.增加了两项12k+1+12(k+1)C.增加了一项12(k+1)，又减少了一项1k+1D.增加了两项12k+1+12(k+1)，又减少了一项1k+111. 观察下列数表： 1 3 57 9 11 1315 17 19 21 23 25 27 29 ⋯ ⋯ ⋯设1025是该表第m 行的第n 个数，则m +n =________.12. 用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n+2+1n+3+ (1)3n+1>2512”，当n =1时，不等式左边的项为________．13. 用数学归纳法证明：“1×4+2×7+3×10+...+n(3n +1)=n(n +1)2，n ∈N +”，当n =1时，左端为________．14. 要证明1，√3，2不能为同一等差数列的三项的假设是________．15. 用数学归纳法证明：“1n+1+1n+2+...+13n+1≥1（n∈N+）”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是“________”．16. 利用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n=p(n)”，从n=k推导n=k+1时原等式的左边应增加的项数是________项．17.用数学归纳法证明：4n≥n4(n≥4, n∈N)，第一步验证n=________．18. 用数学归纳法证明："(n+1)(n+2)⋯(n+n)=2n⋅1⋅3⋯(2n−1)". 从"n=k到n=k+1" 左端增乘的代数式为________.19. 用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+13n>910(n∈N∗且n>1)时，第一步：不等式的左边是________．20. 若f(k)=1−12+13−14+⋯+12k−1−12k，则f(k+1)=f(k)+________．21. 用两种方法证明：1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)．22. （本小题12分）设数列{a n}的前n项和为S n，并且满足2S n=a n2+n n a>0 (1)求a1,a2,a3(2)猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；(3)设x>0,y>0，且x+y=1，证明：√a n x+1+√a n y+1≤√2(n+2)23. 已知f(n)=1+12+13+⋯+1n，n=1，2，3，…．求证：100+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)=100f(100)．24. 用数学归纳法证明：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)2(n∈N∗)25. 用数学归纳法证明：11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1.26. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n的等差中项为1．（1）写出a1，a2，a3；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明．27. 用数学归纳法证明：(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ，i为虚数单位，θ∈R，n∈N，且n≥2.28. 若n属于自然数，n≥3，证明：2n>2n+1．29. （1）证明|sin2x|≤2|sin x|；（x为任意值） 29.（2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明|sin nx|≤n|sin x|．（x为任意值）30. 已知数列{a n}满足a1=1，且5a n+1−2a n a n+1+3a n=8(m∈N∗)．（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．31. 若n是自然数，证明：2n>n．32. 用数学归纳法证明：（1）x2n−1能被x+1整除；（2）62n−1+1能被7整除；（3）n(n+1)(2n+1)能被6整除．33. 当n ≥2(n ∈N ∗)时，S n =(1−14)(1−19)(1−116) (1)1n2)，Tn =n+12n（1）求S 2，S 3，T 2，T 3；（2）猜测S n 与T n 的关系且证明．34. 用数学归纳法证明：1+√2√3√n<2√n(n ∈N +)．35. 在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成个部分．现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，．设空间内个平面最多可将空间分成个部分．（1）求的值；（2）用数学归纳法证明此结论．36. 设数列{a n }对一切n ∈N ∗，满足a 1=2，a n+1+a n =4n +2．试用数学归纳法证明：a n =2n ．37. 用数学归纳法证明a n+1+(a +1)2n−1能被a 2+a +1整除(n ∈N ∗)．38. 用数学归纳法证明，若f(n)=1+12+13+...+1n ，则n +f(1)+f(2)+...+f(n −1)=n ⋅f(n)(n ≥2，且n ∈N +)．39. 利用数学归纳法证明不等式：12×34×...×2n−12n<√2n+1∈N ∗)40. 已知数列11×2，12×3，13×4， (1)n(n+1)…计算S 1，S 2，S 3，根据据算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．参考答案与试题解析高中数学数学归纳法练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=1，2，3，命题是否成立；可得答案．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=2×1+1=3，2n>2n+1不成立，n=2时，左=22=4，右=2×2+1=5，2n>2n+1不成立，n=3时，左=23=8，右=3×2+1=7，2n>2n+1成立，因为n≥3成立，所以2n>2n+1恒成立．所以n的第一个取值应是3．故选C．2.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】由题中条件：“假设n=k(k≥1)时命题正确，可以推出n=k+2时命题也正确”结合验证当n=1时命题成立，得到1+2=3时命题成立，进一步得到3+2=5命题也成立，…，即可推出正确选项．【解答】解：本题证的是对n=1，3，5，7，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A、B、D不正确；故选C．3.【答案】B【考点】数学归纳法【解析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．【解答】解：用数学归纳法证明1+12+13+...+12n−1<n(n∈N∗，且n>1)时，第一步应代入n=2，得到1+12+13<2.故选B．4.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：当n=1时，易知左边=1+a.故选C．5.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，验证n=1成立，但当n=2，3，4，5时不成立，从n=6始，命题成立；可得答案．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=2×12−2×1+1=1，2n>2n2−2n+1成立，但是n=2时，左=22=4，右=2×22−2×2+1=5，2n>2n2−2n+1不成立，n=3时，左=23=8，右=2×32−2×3+1=13，2n>2n2−2n+1不成立，n=4时，左=24=16，右=2×42−2×4+1=25，2n>2n2−2n+1不成立，n=5时，左=25=32，右=2×52−2×5+1=41，2n>2n2−2n+1不成立，n=6时，左=26=64，右=2×62−2×6+1=61，2n>2n2−2n+1成立.故选C．6.【答案】D【考点】数学归纳法【解析】当n=1时，左端的a的次数由0次依次递增，最高次数为(2n+1)次，从而可知n=1时，左端计算所得项．【解答】，(a≠1)”左端和式中a的次数由0次依解：∵等式“1+a+a2+...+a2n+1=1−a2n+21−a次递增，当n=k时，最高次数为(2k+1)次，∴用数学归纳法证明“1+a+a2+...+a2n+1=1−a2n+2，(a≠1)”，在验证n=1时，1−a左端计算所得项为1+a+a2+a3，故选：D．7.【答案】B【考点】数学归纳法【解析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．【解答】解：用数学归纳法证明1+12+13+...+12n−1<n(n∈N∗, n>1)时，第一步应验证不等式为：1+12+13<2.故选B．8.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的步骤知，我们由在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k+m)成立，由此类推，对n>m的任意整数均成立，结合小明证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，由此不难得到m的最大值．【解答】解：由题意可知，f(n)对n=1，2，3都成立，假设f(k)成立的前提下，证明了f(k+m)成立时，m的最大值可以为：3．故选C．9.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得出结论．【解答】解：用数学归纳法证明等式1+12+13+14+⋯+12n−1+1<f(n)(n≥2, n∈N∗)的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+14+...+12k−1+1，则当n=k+1时，左边=1+12+13+14+...+12k+1<f(n)∴ 由n =k 递推到n =k +1时不等式左边增加了 共(2k +1)−2k−1−1=2k−1项， 故选C ． 10.【答案】 D【考点】 数学归纳法 【解析】利用数学归纳法的证明方法步骤及其原理即可得出． 【解答】解：用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n+2+⋯+12n >1324(n >2)”时的过程中，由n =k 到n =k +1，(k >2)时，不等式的左边增加了：两项12k+1+12(k+1)，又减少了一项1k+1． 故选：D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】 12【考点】 数学归纳法 【解析】【解答】解：根据数表可知输的排列规律，1，3，5，7，9⋯，都是连续奇数， 第一行共20=1个数，第二行共21=2个数，且第一个数是3=22−1， 第三行共22=4个数，且第一个数是7=23−1， 第四行共23=8个数，且第一个数是15=24−1， ⋯第十行共29=512个数，且第一个数是1023=210−1， 第二个数为1025， 所以m =10，n =2， 所以m +n =10+2=12. 故答案为：12. 12. 【答案】 12+13+14 【考点】 数学归纳法 【解析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“1n+1+1n+2+1n+3+ (1)3n+1>2512(n >2)左边的各项，他们都是以1n+1开始，以13n+1项结束，共2n +1项，写出结果即可．【解答】解：n=1时，1n+1+1n+2+1n+3+ (1)3n+1化为：12+13+14．当n=1时，不等式左边的项为12+13+14．故答案为：12+13+14．13.【答案】4【考点】数学归纳法【解析】由等式1×4+2×7+3×10+...+n(3n+1)=n(n+1)2，n∈N+”，当n=1时，3n+1=4，而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，由此易得答案．【解答】解：在等式：“1×4+2×7+3×10+...+n(3n+1)=n(n+1)2，n∈N+”中，当n=1时，3n+1=4，而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，故n=1时，等式左端=1×4=4故答案为：4．14.【答案】1，√3，2能为同一等差数列的三项【考点】数学归纳法【解析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．【解答】解：应假设：1，√3，2能为同一等差数列的三项．故答案为：1，√3，2能为同一等差数列的三项．15.【答案】1 2+13+14【考点】数学归纳法【解析】分析不等式左边的项的特点，即可得出结论．【解答】解：n=1时，左边的式子是12+13+14．故答案为：12+13+14．16.【答案】2k【考点】数学归纳法【解析】n=k时，最后一项为12k ，n=k+1时，最后一项为12k+1，由此可得由n=k变到n=k+1时，左边增加的项即可．【解答】解：由题意，n=k时，最后一项为12k ，n=k+1时，最后一项为12k+1∴由n=k变到n=k+1时，左边增加了12k+1+12k+2+⋯+12k+1，增加2k项．故答案为：2k．17.【答案】4【考点】数学归纳法【解析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=4时，命题成立；将n=4代入不等式，可得答案．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；结合本题n≥4，n∈N，故要验证n=4时，4n≥n4的成立即44≥44成立；故答案为：4．18.【答案】2(2k+1)【考点】数学归纳法【解析】此题暂无解析【解答】解：当n=k时，原式等于2k⋅1⋅3⋯(2k−1)，当n=k+1时，原式等于2k+1⋅1⋅3⋯(2k−1)⋅[2(k+1)−1]，观察式子可知，下式比上式多了2(2k+1).故答案为：2(2k+1).19.【答案】1 2+1+12+2+12+3+12+4【考点】数学归纳法【解析】用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+13n>910(n∈N∗且n>1)时，第一步：不等式的左边是12+1+12+2+12+3+12+4．即可得出．【解答】解：用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+13n>910(n∈N∗且n>1)时，第一步：不等式的左边是12+1+12+2+12+3+12+4．故答案为：12+1+12+2+12+3+12+4．20.【答案】1 2k+1−1 2k+2【考点】数学归纳法【解析】根据f(k)=1−12+13−14+⋯+12k−1−12k的特征，直接写出f(k+1)的表达式，即可推出要求的结果．【解答】解：因为f(k)=1−12+13−14+⋯+12k−1−12k，所以f(k+1)=1−12+13−14+⋯+12k−1−12k+12k+1−12k+2所以f(k+1)=f(k)+12k+1−12k+2，故答案为：12k+1−12k+2三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：证明：解法一（放缩法）：∵1n2<1(n−1)×n∴1+122+132+⋯+1n2<1+11×2+1 2×3+⋯+1(n−1)×n又∵1(n−1)×n =1n−1−1n∴1+11×2+12×3+⋯+1(n−1)×n=1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1 n =2−1n即1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)，即证．解法二（数学归纳法）：①当n=2时，左端=1+122=54，右端=2−12=32=64，∴左端<右端，即证．②假设n=k时，有1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)恒成立，即1+122+1 32+⋯+1k2<2−1k恒成立，那么当n=k+1时，1+122+⋯+1k2+1(k+1)2<2−1k+1(k+1)2=2−k2+k+1(k+1)2⋅k<2−k2+k (k+1)2⋅k =2−1k+1也成立，即当n=k时上述原命题也成立，综上，由①②知，1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)恒成立，即证．【考点】数学归纳法【解析】此题解法有两种：解法一是运用放缩法来证明；将左端最后一项放大，并变成两项之差，再用叠加法，即可．解法二是运用数学归纳法来证明．在证明过程中，第一步实际是验证思想，将n=2代入检验，第二步是关键一步，尤其是从k到k+1时，要注意增添了哪几项．【解答】解：证明：解法一（放缩法）：∵1n2<1(n−1)×n∴1+122+132+⋯+1n2<1+11×2+1 2×3+⋯+1(n−1)×n又∵1(n−1)×n =1n−1−1n∴1+11×2+12×3+⋯+1(n−1)×n=1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1 n =2−1n即1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)，即证．解法二（数学归纳法）：①当n=2时，左端=1+122=54，右端=2−12=32=64，∴左端<右端，即证．②假设n=k时，有1+12+13+⋯+1n<2−1n(n≥2…,n∈N+)恒成立，即1+12+1 32+⋯+1k2<2−1k恒成立，那么当n=k+1时，1+122+⋯+1k2+1(k+1)2<2−1k+1(k+1)2=2−k2+k+1(k+1)2⋅k<2−k2+k (k+1)2⋅k =2−1k+1也成立，即当n=k时上述原命题也成立，综上，由①②知，1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)恒成立，即证．22.【答案】【考点】数学归纳法【解析】【解答】23.【答案】证明：先用数学归纳法证明等式：(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+ 1)．)=3证(1)当n=1时，左边=2+f(1)=2+1=3，右边=2(f(2))=2(1+12∴左边=右边，∴等式成立．…(2)假设n=k时，等式成立，即(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(k)）=(k+1)f(k+1)上式两边同时加1+f(k+1)得：(k+1)+1+f(1)+f(2)+...f(k)+f(k+1)=(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)∵(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+1)+1，∴(k+1)f(k+2)+f(k+1)+1−(k+2)f(k+2)=(k+2)[f(k+1)−f(k+ 2)]+1=(k+2)(−1)+1=0．k+2∴(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+2)∴[(k+1)+1]+f(1)+f(2)+...+f(k)+f(k+1)=(k+2)f(k+2)∴n=k+1时等式也成立．…由(1)、(2)知，等式(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)对一切n∈N∗都成立．∴100+f(1)+f(2)+...+f(99)=100f(100)．…【考点】数学归纳法【解析】为了证明100+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)=100f(100)．先用数学归纳法证明等式：(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)．故首先检验当n=1时，等式两边成立，再假设当n=k时，等式两边成立，写出此时的等式，准备后面要用，再检验当n=k+1时，等式成立，使用n=k时的条件，整理出结果，最后总结对于所有的自然数结论都成立．从而证得100+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)=100f(100)．【解答】证明：先用数学归纳法证明等式：(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)．证(1)当n=1时，左边=2+f(1)=2+1=3，右边=2(f(2))=2(1+12)=3∴左边=右边，∴等式成立．…(2)假设n=k时，等式成立，即(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(k)）=(k+1)f(k+1)上式两边同时加1+f(k+1)得：(k+1)+1+f(1)+f(2)+...f(k)+f(k+1)= (k+1)f(k+1)+1+f(k+1)∵(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+1)+1，∴(k+1)f(k+2)+f(k+1)+1−(k+2)f(k+2)=(k+2)[f(k+1)−f(k+ 2)]+1=(k+2)(−1k+2)+1=0．∴(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+2)∴[(k+1)+1]+f(1)+f(2)+...+f(k)+f(k+1)=(k+2)f(k+2)∴n=k+1时等式也成立．…由(1)、(2)知，等式(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)对一切n∈N∗都成立．∴100+f(1)+f(2)+...+f(99)=100f(100)．…24.【答案】证明：①n=1时，左边=2，右边=2，等式成立；②假设n=k时，结论成立，即：(k+1)+(k+2)+...+(k+k)=k(3k+1)2则n=k+1时，等式左边=(k+2)+(k+3)+...+(k+k+1)+(k+1+k+1)=k(3k+1)2+3k+2=(k+1)(3k+4)2故n=k+1时，等式成立由①②可知：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)2(n∈N∗)成立【考点】数学归纳法【解析】根据数学归纳法的证题步骤，先证n=1时，等式成立；再假设n=k时，等式成立，再证n=k+1时等式成立．关键是注意n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项【解答】证明：①n=1时，左边=2，右边=2，等式成立；②假设n=k时，结论成立，即：(k+1)+(k+2)+...+(k+k)=k(3k+1)2则n=k+1时，等式左边=(k+2)+(k+3)+...+(k+k+1)+(k+1+k+1)=k(3k+1)2+3k+2=(k+1)(3k+4)2故n=k+1时，等式成立由①②可知：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)2(n∈N∗)成立25.【答案】证明：(1)当n =1时，左边=13，右边=13，等式成立．(2)假设当n =k 时，等式成立， 即11×3+13×5+15×7+⋯+1(2k−1)(2k+1) =k 2k+1，那么，当n =k +1时， 左边=11×3+13×5+15×7+⋯ +1(2k −1)(2k +1)+1(2k +1)(2k +3)=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3，这就是说，当n =k +1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式11×3+13×5+15×7+⋯ +1(2n−1)(2n+1)=n2n+1对任何n ∈N ∗都成立．【考点】 数学归纳法 【解析】 无【解答】证明：(1)当n =1时，左边=13，右边=13，等式成立．(2)假设当n =k 时，等式成立， 即11×3+13×5+15×7+⋯+1(2k−1)(2k+1) =k 2k+1，那么，当n =k +1时， 左边=11×3+13×5+15×7+⋯ +1(2k −1)(2k +1)+1(2k +1)(2k +3)=k 2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3，这就是说，当n =k +1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式11×3+13×5+15×7+⋯ +1(2n−1)(2n+1)=n2n+1对任何n ∈N ∗都成立． 26.【答案】 解：（1）由题意S n +a n =2，∴ a 1=1，a 2=12，a 3=14．（2）猜想：a n =12n−1． 下面用数学归纳法证明：①当n =1时，a 1=1，121−1=120=1，猜想成立． ②假设当n =k 时，等式成立，即a k =12k−1， 则当n =k +1时，由S k+1+a k+1=2，S k +a k =2， 得(S k+1−S k )+a k+1−a k =0， 即2a k+1=a k ， ∴ a k+1=12a k =12k ，∴ 当n =k +1时，猜想也成立， ∴ 对于任意n ∈N +，a n =12n−1． 【考点】 数学归纳法数列的概念及简单表示法【解析】（1）依次把n =1，2，3代入S n +a n =2计算即可；（2）先验证n =1，再假设n =k 猜想成立，推导n =k +1成立即可． 【解答】 解：（1）由题意S n +a n =2， ∴ a 1=1，a 2=12，a 3=14．（2）猜想：a n =12n−1．下面用数学归纳法证明： ①当n =1时，a 1=1，121−1=120=1，猜想成立．②假设当n =k 时，等式成立，即a k =12k−1， 则当n =k +1时，由S k+1+a k+1=2，S k +a k =2， 得(S k+1−S k )+a k+1−a k =0， 即2a k+1=a k ， ∴ a k+1=12a k =12，∴ 当n =k +1时，猜想也成立， ∴ 对于任意n ∈N +，a n =12n−1． 27.【答案】解：(1)当n =12时，(cos θ+i sin θ)2=cos 2θ+2i cos θsin θ−sin 2θ=cos 2θ+i sin 2θ，所以n=2时等式成立；(2)假设当n=k(k≥2)时，等式成立，即(cosθ+i sinθ)k=cos kθ+i sin kθ．当n=k+1时，(cosθ+i sinθ)k+1=(cosθ+i sinθ)k(cosθ+i sinθ)=(cos kθ+i sin kθ)(cosθ+i sinθ)=cos kθcosθ−sin kθsinθ+(cos kθsinθ+sin kθcosθ)i=cos[(k+1)θ]+i sin[(k+1)θ]，∴当n=k+1时，等式成立．综上所述，(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ当n≥2时成立．【考点】数学归纳法【解析】利用数学归纳法即可证明．【解答】解：(1)当n=12时，(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+2i cosθsinθ−sin2θ=cos2θ+i sin2θ，所以n=2时等式成立；(2)假设当n=k(k≥2)时，等式成立，即(cosθ+i sinθ)k=cos kθ+i sin kθ．当n=k+1时，(cosθ+i sinθ)k+1=(cosθ+i sinθ)k(cosθ+i sinθ)=(cos kθ+i sin kθ)(cosθ+i sinθ)=cos kθcosθ−sin kθsinθ+(cos kθsinθ+sin kθcosθ)i=cos[(k+1)θ]+i sin[(k+1)θ]，∴当n=k+1时，等式成立．综上所述，(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ当n≥2时成立．28.【答案】证明：①n=3时，8>7成立；②假设n=k时不等式成立，即2k>2k+1；则当n=k+1时，左边=2k+1>4k+2>2k+3，成立综上所述，2n>2n+1．【考点】数学归纳法【解析】按照数学归纳法的步骤进行证明即可．【解答】证明：①n=3时，8>7成立；②假设n=k时不等式成立，即2k>2k+1；则当n=k+1时，左边=2k+1>4k+2>2k+3，成立综上所述，2n>2n+1．29.【答案】证：(1)|sin2x|=|2sin x⋅cos x|=2|sin x|⋅|cos x|．∵|cos x|≤1，∴|sin2x|≤2|sin x|；（2）当n=1时，结论显然成立．假设当n=k时结论成立，即|sin kx|≤k|sin x|．当n=k+1时，|sin(k+1)x|=|sin kx⋅cos x+cos kx⋅sin x|≤|sin kx⋅cos x|+|cos kx⋅sin x|=|sin kx|⋅|cos x|+|cos kx|⋅|sin x|≤k|sin x|+|sin x|=(k+1)|sin x|．故当n为任意正整数时，结论均成立．【考点】数学归纳法【解析】（1）先利用三角函数的二倍角公式，再结合三角函数的有界性即可证明；（2）用数学归纳法证明三角问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合三角函数的和角公式以及三角函数值的有界性，证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】证：(1)|sin2x|=|2sin x⋅cos x|=2|sin x|⋅|cos x|．∵|cos x|≤1，∴|sin2x|≤2|sin x|；（2）当n=1时，结论显然成立．假设当n=k时结论成立，即|sin kx|≤k|sin x|．当n=k+1时，|sin(k+1)x|=|sin kx⋅cos x+cos kx⋅sin x|≤|sin kx⋅cos x|+|cos kx⋅sin x|=|sin kx|⋅|cos x|+|cos kx|⋅|sin x|≤k|sin x|+|sin x|=(k+1)|sin x|．故当n为任意正整数时，结论均成立．30.【答案】解：（1）∵a1=1，5a n+1−2a n a n+1+3a n=8，∴5a2−2a1a2+3a1=8，∴3a2=5，∴a2=53．同理可得，a3=95，a4=137；（2）由（1）可猜想，a n=4n−32n−1，(n∈N∗)（2）证明：当n=1时，a1=1，等式成立；假设n=k时，a k=4k−32k−1，则n=k+1时，由5a k+1−2a k a k+1+3a k=8得：a k+1=8−3a k5−2a k =8−3×4k−32k−15−2×4k−32k−1=8(2k−1)−12k+95(2k−1)−8k+6=4k+12k+1=4(k+1)−32(k+1)−1，即n=k+1时，等式也成立；综上所述，对任意n∈N∗，a n=4n−32n−1．【考点】数学归纳法【解析】（1）由a1=1，且5a n+1−2a n a n+1+3a n=8，即可求得a2，a3，a4的值；（2）由（1）中a1，a2，a3，a4的值可猜想a n=4n−32n−1，再用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）∵a1=1，5a n+1−2a n a n+1+3a n=8，∴5a2−2a1a2+3a1=8，∴3a2=5，∴a2=53．同理可得，a3=95，a4=137；（2）由（1）可猜想，a n=4n−32n−1，(n∈N∗)（2）证明：当n=1时，a1=1，等式成立；假设n=k时，a k=4k−32k−1，则n=k+1时，由5a k+1−2a k a k+1+3a k=8得：a k+1=8−3a k5−2a k =8−3×4k−32k−15−2×4k−32k−1=8(2k−1)−12k+95(2k−1)−8k+6=4k+12k+1=4(k+1)−32(k+1)−1，即n=k+1时，等式也成立；综上所述，对任意n∈N∗，a n=4n−32n−1．31.【答案】证明：①n=0时，1>0成立；②假设n=k时不等式成立，即2k>k；则当n=k+1时，左边=2k+1>2k>k+1，成立，即当n=k+1时，不等式也成立．由①②可得，n是自然数，2n>n．【考点】数学归纳法【解析】按照数学归纳法的步骤进行证明即可．【解答】证明：①n=0时，1>0成立；②假设n=k时不等式成立，即2k>k；则当n=k+1时，左边=2k+1>2k>k+1，成立，即当n=k+1时，不等式也成立．由①②可得，n是自然数，2n>n．32.【答案】证明：①当n＝1时，x2−1＝(x+1)(x−1)，能被x+1整除；②假设当n＝k时，即x2k−1(k∈N⋅)能被x+1整除，那么当n＝k+1时：x2（k+1）−1＝x2x2k−1＝x2x2k−x2+x2−1＝x2(x2k−1)+(x+1)(x−1)，两个表达式都能够被x+1整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，x2n−1能被x+1整除．证明：①当n＝1时，62×1−1+1＝6+1＝7，能被7整除；②假设当n＝k时，即62k−1+1(k∈N⋅)能被7整除，那么当n＝k+1时：62（k+1）−1+1＝62k+1+1＝6（2k−1）+2+1＝62k−1×62+1=62k−1×36+1=62k−1×(35+1)+1＝62k−1×35+62k−1+1＝62k−1×5×7+ (62k−1+1)，由假设知62k−1×5×7+(62k−1+1)能被7整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，62n−1+1(n∈N⋅)能被7整除．证明：①当n＝1时，n(n+1)(2n+1)＝6，能被6整除；②假设当n＝k时，即k(k+1)(2k+1)能被6整除，那么当n＝k+1时：(k+1)(k+2)(2k+3)＝k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)＝6(k+ 1)2+k(k+1)(2k+1)，两个表达式都能够被6整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，n(n+1)(2n+1)能被6整除．【考点】数学归纳法【解析】用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n＝1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n＝k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n＝k+1时，结论也成立即可．【解答】证明：①当n＝1时，x2−1＝(x+1)(x−1)，能被x+1整除；②假设当n＝k时，即x2k−1(k∈N⋅)能被x+1整除，那么当n＝k+1时：x2（k+1）−1＝x2x2k−1＝x2x2k−x2+x2−1＝x2(x2k−1)+(x+1)(x−1)，两个表达式都能够被x+1整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，x2n−1能被x+1整除．证明：①当n＝1时，62×1−1+1＝6+1＝7，能被7整除；②假设当n＝k时，即62k−1+1(k∈N⋅)能被7整除，那么当n＝k+1时：62（k+1）−1+1＝62k+1+1＝6（2k−1）+2+1＝62k−1×62+1=62k−1×36+1=62k−1×(35+1)+1＝62k−1×35+62k−1+1＝62k−1×5×7+ (62k−1+1)，由假设知62k−1×5×7+(62k−1+1)能被7整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，62n−1+1(n∈N⋅)能被7整除．证明：①当n＝1时，n(n+1)(2n+1)＝6，能被6整除；②假设当n＝k时，即k(k+1)(2k+1)能被6整除，那么当n＝k+1时：(k+1)(k+2)(2k+3)＝k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)＝6(k+ 1)2+k(k+1)(2k+1)，两个表达式都能够被6整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，n(n+1)(2n+1)能被6整除．33.【答案】解：（1）S2=1−14=34，S3=(1−14)(1−19)=23T2=2+12×2=34，T3=3+12×3=23（2）猜想：S n=T n，用数学归纳法证明，①n=2时，由（1）知成立；②假设n=k(k≥2, k∈N)时等式处立．即(1−14)(1−19)(1−116) (1)1k2)=k+12k，则n=k+1时，S k+1=(1−14)(1−19)(1−116) (1)1k2)[1−1(k+1)2]=k+12k⋅[1−1(k+1)2]=(k+1)2−12k(k+1)=(k+1)+12(k+1)所以n=k+1时，等式成立，由①②可知对于n≥2，n∈N猜想成立．【考点】数学归纳法【解析】（1）利用n=2，3，4，分别求出T2，T3，S2，S3，的值；（2）通过（1）的数值，猜想S n与T n的关系；利用数学归纳法验证n=2时猜想成立，然后假设n=k猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．【解答】解：（1）S2=1−14=34，S3=(1−14)(1−19)=23T2=2+12×2=34，T3=3+12×3=23（2）猜想：S n=T n，用数学归纳法证明，①n=2时，由（1）知成立；②假设n=k(k≥2, k∈N)时等式处立．即(1−14)(1−19)(1−116) (1)1k2)=k+12k，则n=k+1时，S k+1=(1−14)(1−19)(1−116) (1)1k2)[1−1(k+1)2]=k+12k⋅[1−1(k+1)2]=(k+1)2−12k(k+1)=(k+1)+12(k+1)所以n=k+1时，等式成立，由①②可知对于n≥2，n∈N猜想成立．34.【答案】证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=2，1<2，所以不等式成立．…(2)假设n=k时不等式成立，即1+√2√3√k<2√k，…则当n=k+1时，1√2√3√k√k+1<2√k√k+1=√k(k+1)+1√k+1<√k+1=2√k+1，…即当n=k+1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对于任意n∈N+时，不等式成立．…【考点】数学归纳法【解析】直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．【解答】证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=2，1<2，所以不等式成立．…(2)假设n=k时不等式成立，即1+√2√3√k<2√k，…则当n=k+1时，123√k√k+1<2√k√k+1=√k(k+1)+1√k+1<√k+1=2√k+1，…即当n=k+1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对于任意n∈N+时，不等式成立．…35.【答案】（1）a=16,b=0,c=56；（2）见解析．【考点】数学归纳法【解析】（1）将n=1,2,3代入f(n)得到方程组，求解得到结果；（2）根据数学归纳法的步骤，当n=k+1时，利用f(k+1)=f(k)+12k2+12k+1整理出结论．【解答】（1）由f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8得{a+b+c=18a+4b+2c=3 27a+9b+3c=7解得a=16,b=0,c=56（2）用数学归纳法证明f(n)=16n3+56n+1,n∈N′①当n=1时，显然成立②假设当n=k时成立，即f(k)=16k3+56k+1那么当n=k+1时，在k个平面的基础上再添上第k+1个平面因为它和前k个平面都相交，所以可得到k条互不平行且不共点的交线，且其中任何3条直线不共点，这k条交线可以把第k+112k2−12k+1个平面划分成个，所12k2−12k+1×加加;加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加(k+1)+11总数增加了即n=k+1时，结论成立根据①②可知，f(n)=16n3+56n+1,n∈N36.【答案】证明：(1)当n=1时，a1=2=2×1，结论成立；(2)假设n=k时，a k=2k，则当n=k+1时，a k+1=4k+2−a k=4k+2−2k=2k+2=2(k+1)，即n=k+1时结论也成立，综上所述，对一切n∈N∗，a n=2n．【考点】数学归纳法【解析】利用数学归纳法，(1)n=1时，易证等式成立；(2)假设n=k时，a k=2k，去证明n=k+1时结论也成立即可．【解答】证明：(1)当n=1时，a1=2=2×1，结论成立；(2)假设n=k时，a k=2k，则当n=k+1时，a k+1=4k+2−a k=4k+2−2k=2k+2=2(k+1)，即n=k+1时结论也成立，综上所述，对一切n∈N∗，a n=2n．37.【答案】解：(1)当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除(2)假设n=k(k∈N∗)时，a k+1+(a+1)2k−1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，a k+2+(a+1)2k+1=a⋅a k+1+(a+1)2(a+1)2k−1=a[a k+1+(a+1)2k−1]+(a2+a+1)(a+1)2k−1，由假设可知a[a k+1+(a+1)2k−1]能被(a2+a+1)整除，(a2+a+1)(a+1)2k−1也能被(a2+a+1)整除∴a k+2+(a+1)2k+1能被(a2+a+1)整除，即n=k+1时命题也成立，∴对任意n∈N∗原命题成立．【考点】数学归纳法【解析】本题考查的知识点是数学归纳法，我们可以先验证①n=1时命题是否成立②假设n=k时命题成立③推证n=k+1时命题成立→得结论．【解答】解：(1)当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除(2)假设n=k(k∈N∗)时，a k+1+(a+1)2k−1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，a k+2+(a+1)2k+1=a⋅a k+1+(a+1)2(a+1)2k−1=a[a k+1+(a+1)2k−1]+(a2+a+1)(a+1)2k−1，由假设可知a[a k+1+(a+1)2k−1]能被(a2+a+1)整除，(a2+a+1)(a+1)2k−1也能被(a2+a+1)整除∴a k+2+(a+1)2k+1能被(a2+a+1)整除，即n=k+1时命题也成立，∴对任意n∈N∗原命题成立．38.【答案】解：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3，)=3，左边=右边，等式成立．ks5u右边=2⋅f(2)=2×(1+12(2)假设n=k时等式成立，即k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)=kf(k)．由已知条件可得f(k+1)=f(k)+1，k+1右边=(k+1)⋅f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）．当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+...+f(k−1)+f(k)=[k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)]+1+f(k)（凑成归纳假设）=kf(k)+1+f(k)（利用假设）=(k+1)⋅f(k)+1=(k+1)•[f(k+1)−1]+1k+1=(k+1)⋅f(k+1)=右边．∴当n=k+1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n≥2的正整数等式都成立．【考点】数学归纳法【解析】应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．【解答】解：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3，)=3，左边=右边，等式成立．ks5u右边=2⋅f(2)=2×(1+12(2)假设n=k时等式成立，即k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)=kf(k)．，由已知条件可得f(k+1)=f(k)+1k+1右边=(k+1)⋅f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）．当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+...+f(k−1)+f(k)=[k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)]+1+f(k)（凑成归纳假设）=kf(k)+1+f(k)（利用假设）=(k +1)⋅f(k)+1 =(k +1)•[f(k +1)−1k+1]+1=(k +1)⋅f(k +1)=右边．∴ 当n =k +1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ≥2的正整数等式都成立． 39. 【答案】证明：(1)当n =1时，左边=12，右边=3<右边，不等式成立，(2)∵ 4n 2−1<4n 2，即(2n +1)(2n −1)<(2n)2．即2n−12n<2n2n+1，∴ √2k+1√2k+2<√2k+2√2k+3， ∴√2k+12(k+1)<√2k+3假设当n =k 时，原式成立，即12×13×...×2k−12k <√2k+1， 那么当n =k +1时，即12×13×...×2k−12k×2k+12(k+1)<√2k+1⋅2k+12(k+1)=√2k+12(k+1)<√2k+3，即n =k +1时结论成立．根据(1)和(2)可知不等式对任意正整数n 都成立． 【考点】 数学归纳法 【解析】数学归纳法的步骤：①证明n =1时A 式成立②然后假设当n =k 时，A 式成立③证明当n =k +1时，A 式也成立④下绪论：A 式对所有的正整数n 都成立． 【解答】证明：(1)当n =1时，左边=12，右边=√3<右边，不等式成立，(2)∵ 4n 2−1<4n 2，即(2n +1)(2n −1)<(2n)2．即2n−12n<2n2n+1，∴ √2k+1√2k+2<√2k+2√2k+3， ∴√2k+12(k+1)<√2k+3假设当n =k 时，原式成立，即12×13×...×2k−12k <√2k+1，那么当n =k +1时，即12×13×...×2k−12k×2k+12(k+1)<2k+1⋅2k+12(k+1)=√2k+12(k+1)<2k+3，即n =k +1时结论成立．根据(1)和(2)可知不等式对任意正整数n 都成立． 40. 【答案】 解： S 1=1−1S2=1−1 3S3=1−1 4猜想：S n=1−1n+1下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，左边S1=1−12=12，右边1−12=12②假设n=k时，猜想成立，即1 1×2+12×3++1k(k+1)=1−1k+11 1×2+12×3++1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=1−1k+1+1(k+1)(k+2)=1−1k+1(1−1k+2)=1−1(k+1)+1∴n=k+1时猜想也成立根据1，2可知猜想对任何n∈N∗都成立．【考点】数学归纳法【解析】由数列11×2，12×3，13×4， (1)n(n+1)…，分别令n=1，2，3，求得S1，S2，S3，的值，猜想S n的表达式，应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．【解答】解：S1=1−1 2S2=1−1 3S3=1−1 4猜想：S n=1−1n+1下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，左边S1=1−12=12，右边1−12=12②假设n=k时，猜想成立，即1+1++1=1−11 1×2+12×3++1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=1−1k+1+1(k+1)(k+2)=1−1k+1(1−1k+2)=1−1(k+1)+1∴n=k+1时猜想也成立根据1，2可知猜想对任何n∈N∗都成立．。

【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知数列{an}为等差数列，a1=3，a5=15，则公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 数列{an}的通项公式为an = 2n 1，则数列{an}的前5项和为（）A. 25B. 30C. 35D. 403. 若数列{an}满足an+1 = 2an，且a1=1，则数列{an}是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论1+3+5+…+(2n1)=n²5. 已知数列{an}的通项公式为an = n² + n，则数列{an+1 an}的前5项和为（）A. 20B. 25C. 30D. 356. 数列{an}为等比数列，a1=2，a3=8，则a5=（）A. 16B. 24C. 32D. 647. 已知数列{an}满足an+2 = an+1 + an，a1=1，a2=1，则a5=（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 若数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则数列{an}的前n项和为（）A. n(3n1)/2B. n(3n+1)/2C. n(3n2)/2D. n(3n+2)/29. 用数学归纳法证明等式2^n > n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论2^n > n²10. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列{an+1 / an}的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、判断题：1. 数列{an}的通项公式为an = n²，则数列{an}是等差数列。

高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵 树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋ 【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。

适用精选文件资料分享高二数学数学概括法的应用检测试题（附答案）题目高中数学复习专题讲座数学概括法的解题应用高考要求数学概括法是高观观察的要点内容之一类比与猜想是应用数学概括法所表现的比较突出的思想，抽象与概括，从特别到一般是应用的一种主要思想方法重难点概括(1)数学概括法的基本形式设P(n)是关于自然数 n 的命题，若 1°P(n0) 成立 ( 确立 ) 2°假设 P(k) 成立 (k ≥n0) ，可以推出 P(k+1) 成立 ( 概括 ) ，则 P(n) 对全部大于等于 n0 的自然数 n都成立 (2) 数学概括法的应用详尽常用数学概括法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何受骗算问题，数列的通项与和等典型题例示范讲解例 1 试证明不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n＞1,n ∈N*且 a、b、c 互不相等时，均有 an+cn＞2bn 命题企图本题主要观察数学概括法证明不等式知识依赖等差数列、等比数列的性质及数学概括法证明不等式的一般步骤错解解析应分别证明不等式相同比数列或等差数列均成立，不该只证明一种状况技巧与方法本题中使用到结论 (ak －ck)(a －c) ＞0 恒成立 (a 、b、c 为正数 ) ，从而ak+1+ck+1＞ak?c+ck?a 证明 (1) 设 a、b、c 为等比数列，a= ,c=bq(q＞0且 q≠1) ∴an+cn= +bnqn=bn( +qn) ＞2bn (2) 设 a、b、c 为等差数列，则 2b=a+c 猜想＞( )n(n ≥2且 n∈N*) 下边用数学概括法证明①当 n=2 时，由 2(a2+c2) ＞(a+c)2 ，∴②设 n=k 时成立，即则当 n=k+1 时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak?c+ck?a)=(ak+ck)(a+c) ＞( )k?( )=( )k+1 也就是说，等式对 n=k+1 也成立由①②知，an+cn＞2bn对全部自然数 n 均成立例 2 在数列 {an} 中，a1=1，当 n≥2时，an,Sn,Sn －成等比数列 (1) 求 a2,a3,a4 ，并推出 an 的表达式； (2) 用数学概括法证明所得的结论； (3) 求数列 {an} 全部项的和命题企图本题观察了数列、数学概括法、数列极限等基础知识知识依赖等比数列的性质及数学概括法的一般步骤采纳的方法是归纳、猜想、证明错解解析 (2) 中， Sk=－应舍去，这一点常常简单被忽视技巧与方法求通项可证明{ } 是以 { } 为首项，为公差的等差数列，从而求得通项公式解∵ an,Sn,Sn －成等比数列，∴Sn2=an?(Sn－ )(n ≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得 :a2= －由 a1=1，a2=－ ,S3= +a3 代入 (*) 式得 a3=－同理可得a4=－ , 由此可推出 an= (2) ①当 n=1,2,3,4 ，由(*) 知猜想成立②假n=k(k ≥2) ， ak=－成立故 Sk2=－ ?(Sk－ ) ∴(2k － 3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk= ( 舍 ) 由 Sk+12=ak+1?(Sk+1－ ), 得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk － )由①②知，an=全部n∈N成立(3)由(2) 得数列前 n 和 Sn= , ∴S= Sn=0 例 3 能否存在 a、b、c 使得等式 1?22+2?32+⋯+n(n+1)2= (an2+bn+c) 解假存在 a、b、c 使的等式成立，令 n=1,2,3, 有于是， n=1,2,3 下边等式成立 1?22+2?32+⋯+n(n+1)2= Sn=1?22+2?32+⋯+n(n+1)2 n=k 上式成立，即 Sk= (3k2+11k+10) 那么 Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24) =［3(k+1)2+11(k+1)+10 ］也就是，等式 n=k+1 也成立上所述，当a=3,b=11,c=10 ，全部自然数 n 均成立学生牢固 1已知 f(n)=(2n+7)?3n+9, 存在自然数 m,使得任意 n∈N,都能使 m整除f(n) ，最大的 m的 ( ) A30 B26 C36 D6 2 用数学法明 3k≥n3(n ≥3,n∈N)第一步 ( ) An=1 Bn=2 C n=3 Dn=4 3 察以下式子⋯可出________ 4 已知 a1= ,an+1= ,a2,a3,a4,a5的分________，由此猜想an=________ 5用数学法明 4 +3n+2 能被 13 整除，此中 n∈N* 6 若 n 大于 1 的自然数，求7 已知数列{bn} 是等差数列，b1=1,b1+b2+⋯+b10=145 (1) 求数列{bn} 的通公式 bn; (2) 数列 {an} 的通 an=loga(1+ )( 其中 a＞0 且 a≠1) Sn是数列 {an} 的前 n 和，比 Sn与 logabn+1的大小，并明你的 8 数 q 足 |q| ＜1, 数列 {an} 足a1=2,a2≠0,an?an+1=－ qn, 求 an 表达式，又假如 S2n＜3, 求 q 的取范参照答案 1 解析∵ f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除明n=1,2，由上得，n=k(k ≥2) ， f(k)=(2k+7)?3k+9 能被 36 整除， n=k+1 ，f(k+1) －f(k)=(2k+9)?3k+1 ?? －(2k+7)?3k=( 6k+27)?3k －(2k+7)?3k =(4k+20)?3k=36(k+5)?3k －2?? (k ≥2) f(k+1) 能被 36 整除∵f(1) 不可以被大于 36 的数整除，∴所求最大的m等于36 答案 C 2 解析由意知 n≥3，∴ n=3 答案 C 3 解析 (n ∈N*) (n ∈N*) 、、、5 明 (1) 当 n=1 ，42×1+1+31+2=91能被 13 整除 (2) 假当 n=k ，42k+1+3k+2能被 13 整除，当 n=k+1 ，42(k+1)+1+3k+3=42k+1?42+3k+2?3－42k+1?3+42k+1?3=42k+1?13+3?(42k+1+3k+2?? ) ∵42k+1?13 能被 13 整除，42k+1+3k+2能被 13 整除∴当 n=k+1 也成立由①②知，当 n∈N* ，42n+1+3n+2能被 13 整除 6 明 (1) 当 n=2 ， (2) 假当 n=k成立，即 7 (1) 解数列 {bn} 的公差 d,由意得 , ∴bn=3n－ 2 (2) 明由 bn=3n－2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+⋯+loga(1+ )=loga ［(1+1)(1+ ) ⋯(1+ ) ］而 logabn+1=loga ,于是，比 Sn 与logabn+1 ?? 的大小比 (1+1)(1+ ) ⋯(1+ )与的大小取 n=1，有(1+1)= 取 n=2，有 (1+1)(1+ 推 (1+1)(1+ )⋯(1+ ) ＞ (*)①当n=1 ，已 (*) 式成立②假 n=k(k ≥1) (*)式成立，即(1+1)(1+ ) ⋯(1+ ) ＞当 n=k+1 ， , 即当 n=k+1 ， (*)式成立由①②知， (*)式任意正整数 n 都成立于是，当 a＞1 ， Sn＞logabn+1 ?? ,当 0 ＜a＜1 ， Sn＜ logabn+1 ??8 解∵ a1?a2=－q,a1=2,a2 ≠0, ∴q≠0,a2= －,∵an?an+1=－qn,an+1?an+2=－qn+1??两式相除，得 , 即 an+2=q?an 于是，a1=2,a3=2?q,a5=2?qn⋯猜想 a2n+1=－ qn(n=1,2,3,⋯)合①②，猜想通公式 an= 下 (1) 当 n=1,2 猜想成立 (2)n=2k－1 ，a2k－1=2?qk－1n=2k+1 ，因为 a2k+1=q?a2k－1??∴a2k+1=2?qk 即 n=2k－1 成立可推知 n=2k+1 也成立n=2k ，a2k=－ qk,n=2k+2 ，因为 a2k+2=q?a2k?? ,因此a2k+2=－qk+1, 明 n=2k 成立，可推知 n=2k+2 也成立上所述，全部自然数 n, 猜想都成立所求通公式an= S2n=(a1+a3⋯+a2n－1)+(a2+a4+ ⋯+a2n) =2(1+q+q2+ ⋯+qn-1 ?? ) － (q+q2+⋯+qn) 由于|q| ＜1, ∴ = 依意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q ＜0 或 0＜q＜。

高二数学数学归纳法试题1.用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）.A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．【答案】C.【解析】当时，左边=；当时，左边=；通过比较，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是.【考点】数学归纳法.2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）.A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【答案】C.【解析】本题难度适中，直接代入，当时，左边，故选C.【考点】数学归纳法.3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋＋(k＋1)2【答案】D【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上.【考点】数学归纳法.4.观察等式：，，,根据以上规律，写出第四个等式为：__________．【答案】．【解析】观察已知等式：，，,知其规律是：第n个等式的左边是n+1个分式的和，且每个分式的分子都是1，每个分母都是两个连续正整数的积，第一个分母均为，以后第k个分母均为，第n个等式的右边是一个分式，其分子等于左边分式的个数，分母为分子加1；故知第四个等式应为：．【考点】归纳推理.5.用数学归纳法证明“”（）时，从“”时，左边应增添的式子是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，左边为：；当时，左边为：，左边多了，故选B【考点】数学归纳法.6.用数学归纳法证明“时，从“到”时，左边应增添的式子是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，左边=；当时，左边=．【考点】数学归纳法．7.用数学归纳法证明“时，从“到”时，左边应增添的式子是（）A．B．C．D．【答案】【解析】当时,等式的左边为;当时,等式的左边为对比可知:增加项为.【考点】数学归纳法.8.用数学归纳法证明: 的第二步中,当时等式左边与时的等式左边的差等于.【答案】3k+2【解析】当时等式左边为，而时的等式左边为，所以差为【考点】数学归纳法9.平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，当时把平面分成的区域数记为,则时 .【答案】k【解析】当时，任取其中1条直线，记为，则除外的其他k条直线的交点的个数为，因为已知任何两条直线不平行，所以直线必与平面内其他k条直线都相交（有k个交点）；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f（k）个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是．故：.【考点】数学归纳法10.用数学归纳法证明：，第二步证明“从到”，左端增加的项数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】n=k时，不等式为，当n=k+1时，不等式为，所以左端增加的项数为2项，故选B。

数学归纳法及其应用举例一、选择题(共49题，题分合计245分)1.用数学归纳法证明:"1+21 +31+++121-n n (n >1)"时,由n =k (k >1)不等式成立,推证n =k +1时,左边应增加的项数是A.2k -1B.2k -1C.2kD.2k +12.球面上有n 个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n 个大圆所分成的部分为f (n ),则下列猜想:①f (n )=n ,②f (n )=f (n -1)+2n ,③f (n )=n 2-n +2中,正确的是A.①与②B.①与③C.②与③D.只有③3.某个命题与自然数m 有关,若m =k (k ∈N)时该命题成立,那么可以推得m =k +1时该命题成立,现已知当m =5时,该命题不成立,那么可推得A.当m =6时该命题不成立B.当m =6时该命题成立C.当m =4时该命题不成立D.当m =4时该命题成立4.设f (n )=n n n n 2121111++++++ (n ∈N ),那么f (n +1)-f (n )等于 A.121+n B.221+n C.121+n +221+n D.121+n -221+n5.用数学归纳法证明1+a +a 2+++ = (n ∈N ,a ≠1)中,在验证n =1时,左式应为A.1B.1+aC.1+a +a 2D.1+a +a 2+a 36.用数学归纳法证明"5n -2n 能被3整除"的第二步中,n =k +1时,为了使用归纳假设,应把5 k+1 -2 k+1变形为A.(5k -2 k )+4×5 k -2 kB.5(5 k -2 k )+3×2 kC.(5 k -2 k )(5-2)D.2(5 k-2 k )-3×5 k7.平面内原有k 条直线,它们把平面划分成f (k )个区域,则增加第k +1条直线后,这k +1条直线把平面分成的区域至多增加A.k 个B.k +1个C.f (k )个D.f (k )+(k +1)个8.已知凸k 边形的对角线条数为f (k )(k ≥3)条,则凸k +1边形的对角线条数为A.f (k )+kB.f (k )+k +1C.f (k )+k -1D.f (k )+k -29.用数学归纳法证明(n +1)+(n +2)+++(n +n )=的第二步中,n =k +1时等式左边与n =k 时的等式左边的差等于A.2k +2B.4k +3C.3k +2D.k +110.下面四个判断中,正确的是A.式子1+k +k 2+++k n (n ∈N ),当n =1时恒为1B.式子1+k +k 2+++k n -1(n ∈N ),当n =1时恒为1+kC.式子++(n ∈N ),当n =1时恒为D.设f (x )=(n ∈N ),则f (k +1)=f (k )+11.用数字归纳法证1+x +x 2+++x n +1=xx n --+112(x ≠1),在验证n =1成立时,左边所得的代数式是A.1B.1+xC.1+x +x 2D.1+x +x 2+x 312.用数字归纳法证明1+2+++(2n +1)=(n +1)(2n +1)时,在验证n =1成立时,左边所得的代数式是A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+413.用数学归纳法证明"当n 是非负数时,34n +2+52n +1能被14整除"的第二步中,为了使用归纳假设应将34k +6+52k +3变形为A.34k +2·81+52k +1·25B.34k +1·243+52k ·125C.25(34k +2+52k +1)+56·34k +2D.34k +4·9+52k +2·514.用数学归纳法证明211⋅+321⋅+431⋅++++)1(1+n n =1+n n (n ∈N )时,从"n =k 到n =k +1",等式左边需增添的项是 A.)1(1+k k B. )2)(1(1)1(1++++k k k k C. )2)(1(1++k k D. )2(1+k k15.利用数学归纳法证明不等式"n n <-++++12131211 ,(n ≥2,n ∈N )"的过程中,由"n =k "变到"n =k +1"时,左边增加了A.1项B.k 项C.2k -1项D.2k 项16.用数学归纳法证明"5n -2n 能被3整除"的第二步中，n =k ＋1时，为了使用假设，应将5k +1-2k +1变形为A.(5k -2k )＋4×5k -2kB.5(5k -2k )＋3×2kC.(5-2)(5k -2k )D.2(5k -2k )-3×5k17.平面内原有k 条直线,它们的交点个数记为f (k ),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为A.f (k )+1B.f (k )+kC.f (k )+k +1D.k ·f (k )18.已知一个命题P (k ),k =2n (n ∈N ),若n =1,2,+,1000时,P (k )成立,且当n =1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是A.P (k )对k =2004成立B.P (k )对每一个自然数k 成立C.P (k )对每一个正偶数k 成立D.P (k )对某些偶数可能不成立19.用数学归纳法证明:)2(2413212111≥>+++++n n n n ,从k 到k +1需在不等式两边加上A. )1(21+kB.221121+++k kC. 221121+-+k kD. 11121+-+k k20.设n n f 1211)(+++= ,则f (2k )变形到f (2k +1)需增添项数为A.2k +1项B.2k 项C.2项D.1项21.欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 3,n 0为验证的第一个值，则A.n 0=1B.n 0为大于1小于10的某个整数C.n 0≥10D.n 0=222.某同学回答"用数字归纳法证明n n +2<n +1(n ∈N )"的过程如下：证明：(1)当n =1时,显然命题是正确的;(2)假设n =k 时有)1(+k k <k +1那么当n =k +1时,4423)1()1(222++<++=+++k k k k k k =(k +1)+1,所以当n =k +1时命题是正确的,由(1)、(2)可知对于(n ∈N ),命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于A.当n =1时,验证过程不具体B.归纳假设的写法不正确C.从k 到k +1的推理不严密D.从k 到k +1的推理过程没有使用归纳假设23.平面上有k (k >3)条直线,其中有k -1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k 条直线将平面分成区域的个数为A.k 个B.k +2个C.2k 个D.2k +2个24.已知凸k 边形的对角线条数为f (k )(k >3)，则凸k ＋1边形的对角线条数为A.f (k )＋kB.f (k )＋k ＋1C.f (k )＋k -1D.f (k )＋k -225.平面内原有k 条直线，它们将平面分成f (k )个区域，则增加第k ＋1条直线后，这k ＋1条直线将平面分成的区域最多会增加A.k 个B.k ＋1个C.f (k )个D.f (k )＋1个26.同一平面内有n 个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,则这n 个圆把平面分成A.2n 部分B.n 2部分C.2n －2部分D.n 2－n ＋2部分27.平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n 个圆把平面分成f (n )个部分，则满足上述条件的n＋1个圆把平面分成的部分f (n ＋1)与f (n )的关系是A.f (n ＋1)=f (n )＋nB.f (n ＋1)=f (n )＋2nC.f (n ＋1)=f (n )＋n ＋1D.f (n ＋1)=f (n )＋n ＋228.用数学归纳法证明不等式22n n >成立时，n 应取的第一个值为A.1B.3C.4D.529.若121413121)(-++++=n n f ……，则)()1(k f k f -+等于A.1211-+k B.121121211-++++k k k C.121211-++k k D.121121211-+++++k k k …… 30.设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n +1) - f (n ) 等于A.πnB.π)2(-nC.πD.π231.用数学归纳法证明不等式"6412721412111>++++-n 成立",则n 的第一个值应取A.7B.8C.9D.10 32.])13)(23(11071741411[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n 等于 A.41B.31C.32D.133.已知a ､b 是不相等的正数,若2lim 11=+-++∞→n n n n n b a b a ,则b 的取值范围是A.0<b ≤2B.0 b <2C.b ≥2D.b >234.利用数学归纳法证明"对任意偶数n ,a n -b n 能被a +b 整除"时,其第二步论证,应该是A.假设n =k 时命题成立,再证n =k +1时命题也成立B.假设n =2k 时命题成立,再证n =2k +1时命题也成立C.假设n =k 时命题成立,再证n =k +2时命题也成立D.假设n =2k 时命题成立,再证n =2(k +1)时命题也成立35.用数学归纳法证明"42n -1+3n +1(n ∈N )能被13整除"的第二步中,当n =k +1时为了使用假设,对42k +1+3k +2变形正确的是A.16(42k -1+3k +1)-13×3k +1B.4×42k +9×3kC.(42k -1+3k +1)+15×42k -1+2×3k +1D.3(42k -1+3k +1)-13×42k -136.用数学归纳法证明(n +1)(n +2)…(n +n )=2n ×1×3×…×(2n -1)(n ∈N )时,从""两边同乘以一个代数式,它是A.2k +2B.(2k +1)(2k +2)C.122++k k D. 1)22)(12(+++k k k37.用数学归纳法证明某命题时,左式为21+cos α+cos3α+++cos(2n -1)α(α≠k π,k ∈Z ,n ∈N ),在验证n =1时,左边所得的代数式为A. 21B. 21+cos αC. 21 +cos α+cos 3αD. 21+cos α+cos3α+cos 5α38.用数学归纳法证明"(n +1)(n +2)+(n +n )=2n ·1·3+(2n -1)"时,第二步n =k +1时的左边应是n =k 时的左边乘以A.(k +1+k +1)B.(k +1+k )(k +1+k +1)C.1)11(++++k k k D. 1)11)(1(++++++k k k k k39.设S k =11+k +21+k +31+k ++++k21,则S k +1为 A.221++k S k B.221121++++k k S k C. 221121+-++k k S k D. 121221+-++k k S k40.用数字归纳法证明某命题时,左式为1-413121-++++n n 21121--,从"n=k到n=k +1",应将左边加上A.121+k B.421121+--k k C.221+-kD.221121+-+k k 41.用数学归纳法证明"当n 为正奇数时,x n +y n 能被x +y 整除"时,第二步应是A.假设n =k (k ∈N )时命题成立,推得n =k +1时命题成立B.假设n =2k +1(k ∈N )时命题成立,推得n =2k +3时命题成立C.假设k =2k -1(k ∈N )时命题成立,推得n =2k +1时命题成立D.假设n £k (k ³1,k ∈N )时命题成立,推得n =k +2时命题成立42.设p (k ):1+k k +≤++++2121212112 (k N ),则p (k +1)为A.1212121312111++≤++++++k k k B.1211212131211++≤++++++k k k C. 12121221121312111++≤++++++++++k k k kD.上述均不正确43.k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱有对角面的个数为A.2f (k )B.k －1＋f (k )C.f (k )＋kD.f (k )＋244.已知1312111)(++++++=n n n n f ……，则)1(+k f 等于 A.1)1(31)(+++k k f B.231)(++k k f C.11431331231)(+-++++++k k k k k f D.11431)(+-++k k k f45.用数学归纳法证明ααααα212sin sin 1)12cos(3cos cos 21+⋅=-++++n n ……)(212cos N ∈≠-n n n ，παα，在验证n =1等式成立时，左边计算所得的项是 A.21B.αcos 21+C.αα3cos cos 21++D.ααα5cos 3cos cos 21+++46.用数学归纳法证明某不等式，其中证n k =+1时不等式成立的关键一步是：()()()()()()()()()k k k k k k k k +++++>+++>++12323123233，括号中应填的式子是 A.k +2 B.k +3 C.k +2 D.232()k +47.对于不等式)(12N ∈+≤+n n n n ，某人的证明过程如下：︒1当1=n 时，11112+≤+不等式成立。

高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。

【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。

高三数学数学归纳法练习题及答案数学归纳法是高中数学中非常重要的一种证明方法，它在数学推理和证明中具有广泛的应用。

通过运用归纳法，我们可以推出一般性的结论，从而能够解决更加复杂的数学问题。

在高三数学的学习中，熟练掌握数学归纳法的使用对于解题至关重要。

下面将为大家提供一些高三数学数学归纳法练习题及答案，希望能帮助大家更好地掌握该方法。

练习题一：证明：对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2答案一：首先，我们需要明确归纳假设的内容。

假设当n=k时，等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。

然后，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。

即1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。

根据归纳假设，1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。

我们需要证明：1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。

将左边的式子进行展开得到： [1 + 2 + 3 + ... + k] + (k+1)。

由归纳假设，我们可以将其中的[1 + 2 + 3 + ... + k]替换成k(k + 1)/2，得到： k(k + 1)/2 + (k+1)。

化简该式子： k(k + 1) + 2(k+1)。

再进一步化简： (k+1)(k + 2) / 2。

可以看出，我们得到了(k+1)(k + 2)/2这个形式，就证明了当n=k+1时，等式也成立。

因此，根据数学归纳法原理，对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2。

练习题二：证明：对于任意正整数n，2^n > n^2。

答案二：同样使用数学归纳法进行证明。

首先，当n=1时，2^1 = 2，1^2 = 1，2 > 1，等式成立。

假设当n=k时，2^k > k^2 成立。

高中数学归纳推理综合测试题(含答案)选修2-2 2.1.1 第1课时归纳推理一、选择题1．关于归纳推理，下列说法正确的是()A．归纳推理是一般到一般的推理B．归纳推理是一般到个别的推理C．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论是或然性的[答案] D[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.2．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积r2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝abD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇[答案] B[解析] 由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B. 3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27[答案] B[解析] 因为5－2＝31,11－5＝6＝32,20－11＝9＝33，猜测x－20＝34,47－x＝35，推知x＝32.故应选B.4．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是() A．2n－2－12B．2n－2C．2n－1＋1D．2n＋1－4[答案] B[解析] ∵a1＝0＝21－2，a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，猜想an＝2n－2.故应选B.5．某人为了观看2019年奥运会，从2019年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2019年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()A．a(1＋p)7B．a(1＋p)8C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]D.ap[(1＋p)8－(1＋p)][答案] D[解析] 到2019年5月10日存款及利息为a(1＋p)．到2019年5月10日存款及利息为a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]到2019年5月10日存款及利息为a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]所以到2019年5月10日存款及利息为a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．故应选D.6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1[答案] B[解析] 因为Sn＝n2an，a1＝1，所以S2＝4a2＝a1＋a2a2＝13＝232，S3＝9a3＝a1＋a2＋a3a3＝a1＋a28＝16＝243，S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4a4＝a1＋a2＋a315＝110＝254.所以猜想an＝2n(n＋1)，故应选B.7．n个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2019到2019箭头的方向依次为()A．B．C．D．[答案] C[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2019到2019为，故应选C. 8．(2019山东文，10)观察(x2)＝2x，(x4)＝4x3，(cosx)＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝() A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．9．根据给出的数塔猜测1234569＋7等于()19＋2＝11129＋3＝1111239＋4＝111112349＋5＝11111123459＋6＝111111A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113[答案] B[解析] 根据规律应为7个1，故应选B.10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2个，第七个三角形数为7(7＋1)2＝28.二、填空题11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．[答案] 13,3n＋1[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n ＋1根．12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [解析] 第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n－1个数相加，且第n 个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个数相加，故第n个式子为：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}＝(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.13．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．[答案] S＝4(n－1)(n2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，S与n的关系为S＝4(n－1)(n2)．14．(2009浙江理，15)观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，右端＝24n－1＋(－1)n22n －1.三、解答题15．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C成立，在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D成立，在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据已知特殊的数值：9、162、253，…，总结归纳出一般性的规律：n2(n－2)3)．在n边形A1A2…An中：1A1＋1A2＋…＋1Ann2(n－2)3)．16．下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？并将结果填入下表中．平面区域顶点数边数区域数(1)(2)(3)(4)(1)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：平面区域顶点数边数区域数关系(1) 3 3 2 3＋2－3＝2(2) 8 12 6 8＋6－12＝2(3) 6 9 5 6＋5－9＝2(4) 10 15 7 10＋7－15＝2结论 V E F V＋F－E＝2推广 999 E 999 E＝999＋999－2＝2019其顶点数V，边数E，平面区域数F满足关系式V＋F－E＝2. 故可猜想此平面图可能有2019条边．17．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液14a升，搅匀后再倒出溶液14a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式．[解析] b1＝ar100＋a4p100a＋a4＝110045r＋15p，b2＝ab1＋a4p100a＋a4＝1100452r＋15p＋452p.b3＝ab2＋a4p100a＋a4＝1100453r＋15p＋452p＋4253P，归纳得bn＝110045nr＋15p＋452p＋…＋4n－15nP.18．设f(n)＝n2＋n＋41，nN＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数．即：当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．但是当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝1681为合数．所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确．。

高二数学数学归纳法试题答案及解析1.观察下列各不等式：…（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数有关的一般性结论；（2）用数学归纳法证明你得到的结论．【答案】（1）且；（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.②假设当n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何且都成立.【解析】（1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系与右侧分子与分母的特征写出一个正整数，有关的一般性结论；（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.试题解析：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为且.（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.②假设当n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何且都成立.【考点】归纳推理；数学归纳法.2.设，其中为正整数．（1）求，，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）；（2）【解析】（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3)由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.试题解析：解：（1） 3分（2）猜想： 4分证明：①当时，成立 5分②假设当时猜想正确，即∴由于8分∴，即成立由①②可知，对成立 10分【考点】数学归纳法及其应用.3.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第4个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A．24B．26C．28D．30【答案】B【解析】由图形间的关系可以看出，第一个图形中有8根火柴，第二个图形中有8+6根火柴，第三个图形中有8+26根火柴，第三个图形中有8+36根火柴，即26根火柴，故选B.【考点】归纳推理.4.是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由.【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.6.用数学归纳法证明（），在验证当n=1时，等式左边应为A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【答案】D【解析】注意到的左端，表示直到共n+3项的和，所以，当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，选D。

高二数学数学归纳法原理试题1.某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立【答案】C【解析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P （n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．解：由题意可知，P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）．同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．故选C点评：当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．2.设f（n）=+++…+（n∈N*），那么f（n+1）﹣f（n）等于（）A．B．C．+D．﹣【答案】D【解析】根据题中所给式子，求出f（n+1）和f（n），再两者相减，即得到f（n+1）﹣f（n）的结果．解：根据题中所给式子，得f（n+1）﹣f（n）=++…+++﹣（+++）=+﹣=﹣，故答案选D．点评：此题主要考查数列递推式的求解．3.在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（）A．n=1成立B．n=2成立C．n=3成立D．n=4成立【答案】C【解析】数学归纳法第一步应验证n的最小值时，命题是否成立．解：多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步验证n等于3．故选C．点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n的自然数n都成立4.用数学归纳法证明“＜n+1 （n∈N*）”．第二步证n=k+1时（n=1已验证，n=k已假设成立），这样证明：=＜=（k+1）+1，所以当n=k+1时，命题正确．此种证法（）A．是正确的B．归纳假设写法不正确C．从k到k+1推理不严密D．从k到k+1推理过程未使用归纳假设【答案】D【解析】必须利用归纳假设才是数学归纳法．解：应该这样证明：假设当n=k≥2时，成立，则当n=k+1时，左边===（k+1）+1，∴n=k+1时，不等式也成立．而原证法只是应用了放缩法和不等式的性质，没有应用归纳假设，故不符合数学归纳法的要求．故选D．点评：正确理解数学归纳法证明命题的要求是解题的关键．5.用数学归纳法证明：“1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2，n∈N”，当n=1时，左端+为．【答案】4．【解析】由等式1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2，n∈N”，当n=1时，3n+1=4，而+等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，由此易得答案．”中，解：在等式：“1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2，n∈N+当n=1时，3n+1=4，而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，故n=1时，等式左端=1×4=4故答案为：4．点评：本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．6.用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3•…•（2n﹣1）（n∈N）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是．【答案】2（2k+1）．【解析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故答案为 2（2k+1）．点评：本题考查用数学归纳法证明等式，用n=k+1时，左边的式子除以n=k时，左边的式子，即得所求．7.观察下表据此你可猜想出的第n行是．【答案】n3【解析】分析已知中13=1，23=3+5，33=7+9+11，…，各式子左右两边的形式，包括项数，每一个式子第一数的值等，归纳分析后，即可得到结论．解：观察下表由上述式子可以归纳：右边每一个式子均有n项，且第一项为n（n﹣1）+1，则最后一项为n（n﹣1）+（2n﹣1），右边均为n的立方．即[n（n﹣1）+1]+[n（n﹣1）+3]+…+[n（n﹣1）+（2n﹣1）]=n3故答案为：[n（n﹣1）+1]+[n （n﹣1）+3]+…+[n（n﹣1）+（2n﹣1）]=n3点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．8.设数列{}前n项和为Sn ，则S1= ，S2= ，S3= ，S4= ，并由此猜想出Sn= ．【答案】．【解析】由已知，直接计算各项，并进行归纳推理即可．解：则S1==S2=+=S3=+=S4=+=由此猜想出Sn=故答案为：．点评：本题考查归纳推理，数字规律探求的能力．实际上可看作给出一个数列的前几项写出数列的通项公式．9.已知f（n）=1+++…+（n∈N*），用数学归纳法证明不等式f（2n）＞时，f（2k+1）比f（2k）多的项数是．【答案】2k．【解析】利用f（2k+1）﹣f（2k）=…+即可判断出．解：∵…+，f（2k+1）=1…+…+，∴f（2k+1）﹣f（2k）=…+，∴用数学归纳法证明不等式f（2n）＞时，f（2k+1）比f（2k）多的项数是2k．故答案为2k．点评：正确理解数学归纳法由归纳假设n=k到n=k+1增加的项数不一定是一项是解题的关键．10.求证：++…+＞（n≥2，n∈N*）．【答案】见解析【解析】在证明当n=k+1时，利用归纳假设和放缩法得到：左边=…+=…+即可．证明：（1）当n=2时，左边=，不等式成立；（2）假设n=k（k≥2，k∈N*）时命题成立，即+…+成立．则当n=k+1时，左边=…+=…+=．所以当n=k+1时不等式也成立．综上由（1）（2）可知：原不等式对任意n≥2（n∈N*）都成立．点评：熟练掌握数学归纳法证明的步骤及其放缩法是解题的关键．。

高二数学数学归纳法试题1.给出四个等式：1＝11－4＝－(1＋2)1－4＋9＝1＋2＋31－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)……（1）写出第5,6个等式，并猜测第n(n∈N*)个等式（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．【答案】（1）第五行第六行第行等式为：（2）证明见解析【解析】（1）根据已知的式子的规律易求得第五、六两行的等式，再由归纳推理即可求得第行的式子；（2）根据数学归纳法证明步骤即可证明.试题解析：（1）第五行第六行第行等式为：（2）证明：①当时，左边，右边，左边右边，等式成立.②假设时，等式成立，即.则当时，时，等式也成立根据①②可知，对等式均成立.【考点】推理与证明；数学归纳法的应用.2.用数学归纳法证明1＋2＋3＋＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋＋(k＋1)2【答案】D【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上.【考点】数学归纳法.3.利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋<f(n)(n≥2，)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项B．k项C．项D．项【答案】D【解析】当时，左边共有项，当时，左边共有项，左边增加了项.【考点】数学归纳法.4.已知，，．（1）当时，试比较与的大小关系；（2）猜想与的大小关系，并给出证明．【答案】（1）,,,（2）【解析】（1）归纳过程，代入验证即可. 当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以．（2）由（１），猜想，用数学归纳法给出证明时注意格式完整，推导有理.本题推导应用作差法证明不等式.假设当时不等式成立，即，那么，当时，，因为所以．（1）当时，，，所以； 1分当时，，，所以； 2分当时，，，所以． 4分（2）由（１），猜想，下面用数学归纳法给出证明： 6分①当时，不等式显然成立． 7分②假设当时不等式成立，即，...9分那么，当时，， 11分因为，14分所以． 15分由①、②可知，对一切，都有成立． 16分【考点】归纳猜想证明5.用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则n＝k＋1时左端在n＝k时的左端加上________．【答案】(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】n＝k左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.，成立．6.用数学归纳法证明：对任意n∈N＋【答案】见解析【解析】(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．(2)假设当n＝k时不等式成立，即……成立，则当n＝k＋1时，左边＝＝＝.所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由(1)，(2)可得不等式恒成立．7.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。

高二数学数列与数学归纳法试题1.对于不等式，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：（1）当时，，不等式成立；（2）假设当时，不等式成立，即，即当时，，∴当时，不等式成立，则上述证法（）A．过程全部正确B．验证不正确C．归纳假设不正确D．从到的推理不正确【答案】D【解析】在（2）中假设时有成立，即成立，即时成立，故选D。

点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.2.利用数学归纳法证明：不等式（，）的过程中，由变为时，左边增加了（）A．1项B．项C．项D．项【答案】D【解析】由题设从到，共有个整数，因此左边应增加项，应选答案D。

点睛：解答本题的关键是运用数学归纳法上“台阶”时，从变为时，项的分母从到，搞清楚共有个整数，从而使得问题获解，这是求解本题的一个难点。

3.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边计算所得的式子为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23【答案】D【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故选D.4.用数学归纳法证明：，则当时，左端在时的左端加上了________【答案】(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】由题意可得，当时，左端为，当时，左端为，即增加了，故答案为.5.用数学归纳法诬明，在验证当时，等式左边为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】观察可知命题中等式左边共项，因此当时，左边应为3项.故选择B.6.用数学归纳法证明,则当时，左端应在n=k的基础上加( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，左边=，当时，左边=，所以观察可知，增加的项为，故选择D。

高二数学数学归纳法综合测试题标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]选修2-22.3数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式( )A．1＋12<2B．1＋12＋13＜2C．1＋12＋13＜3D．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( ) A．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )＋12n ＋2 －12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( ) A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( )A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4k2－2k－3≥0(k＋1)(k－3)≥0k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A．30B．26C．36D．6[答案] C[解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想a n ＝( )[答案] B[解析] 由S n＝n2a n知S n＋1＝(n＋1)2a n＋1∴S n＋1－S n＝(n＋1)2a n＋1－n2a n∴a n＋1＝(n＋1)2a n＋1－n2a n∴a n＋1＝nn＋2an(n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝a13＝13a 3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110猜想a n＝2n(n＋1)，故选B.10．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n(n＋1)，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测S n＝________.[答案]n n＋1[解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1][解析] 由数学归纳法的法则易知．三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2.当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)．[证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右，∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k－1>k－22成立．那么n＝k＋1时，12＋13＋…＋12k－1＋12k－1＋1＋…＋12k－1＋2k－1>k－22＋12k－1＋1＋…＋12k>k－22＋12k＋12k＋…＋12k＝k－22＋2k－12k＝(k＋1)－22，∴当n＝k＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝(k＋1)2＋(k＋1)＋22块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

【高二】高二数学归纳推理综合测试题(含答案)选修2-22.1.1第1课时归纳推理我1．关于归纳推理，下列说法正确的是( )a、归纳推理是一般到一般的推理b．归纳推理是一般到个别的推理c、归纳推理的结论必须是正确的d．归纳推理的结论是或然性的[答：]d[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选d.2.以下推理是归纳的（）a．a，b为定点，动点p满足pa＋pb＝2a>ab，得p的轨迹为椭圆b、从A1=1，an=3n-1，找到S1，S2，S3，猜测序列的前n项和Sn的表达式c．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积s＝πabd、科学家利用鱼的下沉和漂浮原理制造潜艇[答案] b【分析】从归纳推理的定义中，我们知道B是归纳推理，所以我们应该选择B3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )a、 28b．32c、 33d．27[答：]B[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选b.4.在序列{an}中，A1=0，an+1=2An+2，然后猜测an是（）a．2n－2－12b、 2n－2c．2n－1＋1d、 2n＋1－4[答案] b[分析]∵ A1=0=21-2，∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想an＝2n－2.B5．某人为了观看2021年奥运会，从2021年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2021年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )a、 a（1＋p）7b．a(1＋p)8c、 ap[（1+p）7-（1+p）]d.ap[(1＋p)8－(1＋p)][答：]d[解析] 到2021年5月10日存款及利息为a(1＋p)．到2022年5月10日，存款和利息将是a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]到2022年5月10日，存款和利息将是a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)＝a[（1＋p）3＋（1＋p）2＋（1＋p）]……因此，到2022年5月10日，存款和利息将是a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]＝a（1＋p）[1－1（1＋p）7]1－1（1＋p）＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．因此，D6．已知数列{an}的前n项和sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )a、 n（2＋1）b.2n(n＋1)c、 22n－1d.22n－1[答：]B[解析] 因为sn＝n2an，a1＝1，那么S2=4a2=a1+A2？a2＝13＝23×2s3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝a1＋a28＝16＝24×3，s4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4a4＝a1＋a2＋a315＝110＝25×4.因此，应选择（n+1）猜想7．n个连续自然数按规律排列下表：根据法律，箭头的方向从2022到2022是（）a．↓→b。